Математические методы и алгоритмы обработки информации при идентификации динамических систем Малевинский Михаил Федорович

Содержание к диссертации

Введение 6

Глава 1. Показатели идентификации динамических систем 26

1. Основные показатели контроля текущего состояния системы. Принципы оценки 26

2. Принцип прогнозирования 31

3. Постановка задачи оценки показателей идентификации динамических систем 32

4. Принципы представления результатов идентификации

на дисплее ПЭВМ 41

Глава 2. Метод синтеза тестовых сигналов для идентификации

динамических систем 43

5. Постановка задачи синтеза тестовых сигналов в базисе ВВСФ 43

6. Метод вьгаисления ВВСФ на основе полной проблемы собственных значений для симметрической матрицы 48

7. Вычисление ВВСФ методом коллокации с использованием сплайнов произвольной степени 50

8. Вычисление ВВСФ с использованием

эрмитовых сплайнов третьей степени 53

2.5. Метод вьгаисления ВВСФ с использованием В-сплайнов 56

2.6. Метод вьгаисления ВВСФ на основе ряда Котельникова 60

Глава 3. Алгоритмы синтеза и характеристики тестового сигнала для

идентификации динамических систем 65

9. Алгоритм синтеза тестового сигнала 65

10. Характеристики тестового сигнала, представимого в базисе ВВСФ 65 Глава 4. Методы оценки и прогнозирования весовых функций при

параметрами 83

4.1. Оценка параметров весовой функции методом наименьших

квадратов 83

2. Оценка параметров весовой функции методом минимаксных квадратов 84

3. Оценка параметров весовой функции при априорной неопределенности относительно значений корреляционной функции

ошибок измерений 85

4.4. Оценка параметров весовой функции системы, представимой
нелинейным разностным уравнением 88

4.5. Алгоритмы прогнозирования весовой функции системы 91

Глава 5. Методы оценки весовых функций при идентификации систем

с расределенными параметрами 96

* 5.1. Оценка параметров весовой функции системы двумерным

оператором статистического сглаживания 96

4. Оценка параметров весовой функции системы байесовским оператором сглаживания 103

5. Оценка параметров весовой функции методом максимума апостериорной вероятности 109

6. Оценка параметров весовой функции статистически линеаризованным

методом максимума апостериорной вероятности 112

5.5. Оценка параметров весовых функций распределенных

систем методом наименьших квадратов 115

6. Оценка параметров весовой функции методом минимальных модулей 123

7. Оценка параметров весовой функции методом максиминного правдо-

подобия 125

8. Оценка весовой функции, основанная на применении линейного согласованного фильтра 126

9. Оценка весовой функции нелинейным согласованным фильтром 132

10. Оценка весовой функции системы нелинейным оператором Гаммерштейна 140

11. Вероятностные характеристики параметров весовой функции системы, оцениваемые двумерным оператором статистического сглаживания 149

12. Вероятностные характеристики параметров весовой функции системы, оцениваемые байесовским оператором сглаживания 151

Приложение 5 Л. Методы решения уравнений для расчета оптимальной

весовой функции оператора сглаживания 155

1. Решение уравнений для оптимальной весовой функции оператора сглаживания прямыми методами вариационного исчисления 155

2. Метод решения уравнения для оптимальной весовой функции для квазистационарного входного процесса 158

5.1.3. Решение уравнений для оптимальной весовой функции
оператора сглаживания с использованием дискретного
преобразования Фурье 160

Глава 6. Методы оценки частных показателей текущего состояния

динамических систем 163

3. Метод вычисления переходной характеристики 163

4. Метод вычисления частотных характеристик с использованием сплайнов Лагранжа 165

5. Метод расчета частотных характеристик нелинейной системы, представимой полиномом Вольтера 168

6. Метод расчета частотных характеристик нелинейной системы, представимой нелинейным разностным уравнением 171

7. Метод оценки частотной характеристики на основе финитности весовой функции 172

8. Метод оценки частотной характеристики модифицированным

методом итераций Лаврентьева 176

Глава 7. Оценка вероятностных характеристик фазовых координат

динамических систем 178

9. Интерполяционный метод вычисления вероятностных характеристик 178

10. Оценка вероятностных характеристик систем методом сплайн-интерполяции 179

11. Сравнительный анализ методов 183

12. Метод расчета статистических узлов для произвольных плотностей распределений 187

Глава 8. Методы восстановления сигналов и их спектров при идентификации
динамических систем 196

13. Постановка задачи оценки параметров сигнала и восстановления его спектра по конечной выборке 196

14. Оценка параметров спектра сигнала рекуррентным методом 199

8.2. Восстановление сигнала и его спектра байесовским оператором
сглаживания 206

8.3. Восстановление сигнала обобщенным рядом Котельникова 211

Приложение 8.1. Оценка погрешности интегрирования сильно

осциллирующих функций с финитным спектром на

основе сплайнов Лагранжа и Бернштейна 216

Глава 9. Оценка параметров двумерных полей при идентификации

динамических систем 222

15. Контрастирование перепадов на двумерных полях с использованием весовой функции синусх/д: 222

16. Контрастирование перепадов на изображениях с использованием В-сплайнового вейвлета 227

3. Алгоритм расчета контуров объектов на изображении 239

4. Определение геометрических характеристик объектов на изображении с использованием сплайнов 241

5. Алгоритм оценки параметров круговых структур на изображении 246

6. Алгоритм оценки параметров траектории движения геометричес-

кого центра круговой структуры 249

9.7. Алгоритм оценки параметров круга согласованной фильтрацией 251

9.8. Интерполяция изображения на основе преобразования Фурье 253
Глава 10. Вычислительные схемы в задачах оценки параметров

и фильтрации изображений 256

10.1. Вычислительные схемы расчета сплайнов 256

10.2 Вычислительные схемы оценки параметров объектов на

изображениях 260

1. Оценка параметров сплайна методом наименьших квадратов 260

2. Оценка параметров сплайна методом расщепления 261

3. Оценка коэффициентов двумерного сплайна с использо-

ванием сопряженных сплайнов 262

4. Вычисление параметров весовой функции оператора статистического сглаживания 263

5. Оценка параметров весовой функции двумерного сплайн-оператора

с равномерным расположением узлов '. 264

10.2.6. Оценка параметров весовой функции байесовского двумерного
сплайн-оператора 266

10.3. Вычислительная схема оценки параметров траектории

движения геометрического центра изображения 268

10.4. Вычислительная схема пролонгации траектории движения
геометрического центра изображения методом локальной
аппроксимации 271

1. Вычислительная схема пролонгации траектории движения геометрического центра полиномом первой степени 271

2. Вычислительная схема пролонгации траектории движения геометрического центра полиномом второй степени 272

10.5. Вычислительные схемы расчета ВВСФ 273

10.5.1. Расчет ВВСФ на основе полной проблемы собственных

значений 273

2. Вычислительная схема расчета ВВСФ на основе ряда Котельникова 274

3. Вычислительные схемы расчета интегрального синуса

и интегрального косинуса 275

Глава 11. Алгоритмы расчета временных и частотных характеристик

системы передачи информации 277

1. Алгоритм расчета весовой функции системы (канала) передачи информации 277

2. Алгоритм расчета переходной характеристики 279

3. Алгоритмы расчета амплитудно-частотной, фазо-частотной характеристик системы и группового времени запаздывания 280

Глава 12. Моделирование на ПЭВМ алгоритмов оценивания

основной и частных характеристик системы 282

4. Структура математической модели исследования алгоритмов 282

5. Оценки основной и частных характеристик системы '. 284

6. Алгоритмы отображения результатов оценки основной и частных

характеристик системы 286

Заключение 301

Список литературы 306

Введение к работе

Одним из эффективных способов поддержания сложных динамических систем в требуемом состоянии является совершенствование и развитие алгоритмического диагностического контроля показателей их функционирования (состояния). Под показателями контроля состояния динамических систем понимаются отклонения их основных-доминирующих и частных характеристик, оцененных (вычисленных) в конкретных текущих условиях от требуемых их значений, установленных для нормального штатного режима. Такие показатели характеризуют устойчивость, как необходимое качество систем. Они должны не только оцениваться, но и прогнозироваться непосредственно в процессе их функционирования в различных реальных условиях: детерминированных и/или при воздействии внешних и внутренних случайных факторов в том числе и при имитации ситуаций и объектов, на которые система должна реагировать в соответствии со своим назначением.

В диссертации показатели состояния оцениваются и прогнозируются для динамических систем, аксиоматически определяемых [1] множествами моментов времени —Т, состояний — X, мгновенных входных воздействий - U, допустимых входных воздействий - Q = {со: Т -» Щ * 0, ОсГ, Q - замкнутое множество, множеством мгновенных значений выходных величин -Y, множеством выходных величин Г = {у: Т -> У}. Принципиальным при этом является то, что перед каждой системой ставится определенная цель, то есть контролю по показателям состояния подлежат целенаправленные динамические системы. В этих системах воздействия со = {co(t),a(t)} обусловливаются соответственно состояниями внешней среды и внутрисистемными факторами - параметрами a(t) = {аг,(0,а₂(0»->Д/(0} Текущее состояние системы определяется по соотношению x(t) = ^(tj^xit^coitXa^t)), где teT,t>t₀, t₀- начальный момент времени, x(t)-траектория поведения системы на множестве Xпри {co{t),a(t)} є Q, 77(0 - случайные возмущения, Ч* - переходная функция состояния на X. ЧР - это основная характеристика системы, но она не наблюдаема в текущих условиях, так как априори принципиально невозможно полностью описать все множество альтернативных состояний системы и связей между ними, порождаемые возможными отклонениями параметров от их номинальных значений в процессе функционирования системы. Известно только, что для режима нормального функционирования должно иметь место выполнение условия а^ < a(t) < а^,

иначе будет иметь место нештатный режим: "ВНИМАНИЕ " или "БРАК". При известных же , x(t), co(t,t₀) можно было бы однозначно установить текущее состояние системы в зависимости от параметров a(t) = {a_x(t),a₂(t),...,a,(t)} и при этом спрогнозировать состояние системы на момент t_k>t>t₀eT, а значит и установить выходные величины y(t) = ₀)) как на текущий, так и на прогнозируемый моменты времени; ^-выходное отображение - оператор вы-

хода. Но поскольку ЧР и X неизвестны, то текущее состояние системы можно оценить только по результату её реакции на известные входные воздействия. Так, если входное воздействие задать в виде одиночного кратковременного (широкополосного) сигнала, то оператор выхода будет представляться интегральным оператором, например, в виде оператора Дюамеля, Гаммерштейна, Вольтерра. Ядра этих операторов описывают полностью весовую (импульсную) функцию системы при конкретных, но априори неизвестных, её параметрах.

Очевидно, что весовая функция является основной определяющей характеристикой системы и она восстанавливаема в текущих условиях функционирования системы при заданном входном воздействии и наблюденной выходной величине. Затем для каждой выходной величины можно оценить такие статистические характеристики как математическое ожидание, авто и взаимную корреляционную функцию, центральный момент высшего порядка и интегральный закон распределения вероятностей; эти характеристики условные - вычисляются при известном входном воздействии и они, по отношению к весовой функции, являются частными.

Динамические системы описываются, в общем случае, нелинейными дифференциальными уравнениями. Заметим, что собственно выходная величина в условиях наличия случайных воздействий формируется в виде выборки измерений и описывается уравнением наблюдения, в котором непосредственно учитывается и весовая функция.

На основе результатов прогноза состояния системы должны реализовываться соответствующие воздействия-управления по поддержанию системы в штатном режиме. Однако такие целенаправленные воздействия в диссертации не рассматриваются, так как формирование их множеств и выбор соответствующего управления в текущих условиях составляет самостоятельную проблему - проблему оптимального управления динамическими системами. Далее всюду будем исходить из учета зависимости

y(t) = (p(t,y/(t,t₀,x(t_u),a(t),как уравнения наблюдения, которое представляется в пространстве сигналов -в пространстве входных и выходных величин при нахождении системы в состоянии x(t), характеризующимся вектором параметров а(0 = {аі(0>^а2(0>-,Д/(0}-Из этой зависимости непосредственно следует возможность определения при контроле системы компонент вектора a(t) = {а^),а₂(ґ),...,а,(0} ^или> иначе, возможность определения параметров весовой функции системы и её частных характеристик при известных измеренных данных y(t) и априорных данных относительно x(t₀), a)(t), 7(0» ^{что в} целом составляет содержание задачи идентификации системы, причем идентификации как параметрической, так и непараметрической.

Сущность параметрической идентификации будет заключаться в представлении характеристик контролируемой системы в виде разложения в конечный ряд с неизвестными коэффициентами и точечном статистическом оценивании последних по измеренным данным на выходе системы в её текущем состоянии

в условиях известных входных воздействии, аддитивно взаимодействующих с другими реально имеющими место внешними и внутренними воздействиями естественного происхождения.

При непараметрической идентификации будет осуществлено, при тех же условиях, восстановление характеристик системы как функциональных зависимостей из соответствующих пространств функций; при этом параметрическое представление искомых характеристик не вводится а учитываются только их свойства гладкости.

Очевидно при контроле - идентификации системы входные воздействия должны представлять смесь полезного сигнала co(t) и помех rj(t), формироваться специальным образом и в том числе с модуляцией их параметров, чтобы удовлетворить условию сочленения входных воздействий [1,2], что возможно с использованием имитаторов.

В техническом плане динамические системы представляются совокупностью однотипных или разнотипных устройств, взаимосвязанных между собой согласно поставленным перед ними целям. Типы связей могут быть самыми различными: последовательными, параллельными, обратными, иерархическими и др. Системы могут быть с сосредоточенными или распределенными параметрами, линейными или нелинейными, непрерывными или дискретными и др. В качестве примеров систем здесь назовем систему автоматической стабилизации курса самолета, находящегося в условиях случайных воздействий вследствие флюктуации ветра, плотности атмосферы, силы тяги и др. причин, систему стабилизации курса морского судна, подверженного случайным воздействиям из-за волнения моря, ветра, неравномерности течений и из-за других факторов, и автоматизированную систему управления продольным движением самолета, учитывающую изменение жесткости его корпуса и действие сил внутреннего неупругого сопротивления.

Типичными звеньями динамических автоматизированных систем являются информационно-измерительные устройства, вычислительные системы, системы передачи данных, средства отображения результатов функционирования и контроля системы. Каждое из них определяется своей весовой функцией и частными характеристиками, а значит, может быть оценено своими показателями текущего или прогнозированного состояний. Конкретно в диссертации изложены (наряду с методами восстановления весовой функции системы в целом) результаты оценки этих показателей для звена типа канала передачи информации.

Актуальность темы. К настоящему времени по проблемам теории и практики идентификации систем опубликовано достаточно большое число работ. Результаты этих работ, накопленные к 1984—1987 гг., изложены, например, в книгах Я. 3. Цыпкина, «Основы информационной теории идентификации» (М.: Наука, 1984, 320 с), А. А. Бессонова, Ю.В.Загашвили, А. С. Маркелова «Методы и средства идентификации динамических объектов» (Л.: Энергоатомиздат, 1984,280 с), В.Я. Катковника «Непараметрическая идентификация» (М: Наука, 1985, 336с), Ш.Е. Штейнберга «Идентификация в системах управления» (М.: Энергоатом-

издат, 1987, 80 с.) и в «Справочнике по теории автоматического управления» под ред. А. А. Красовского (М.: Наука, 1987, 712 с). В последующие годы была издана книга Л. Льюнга «Идентификация систем—теория для пользователя» (М.: Наука, 1991, 432 с), перевод с английского под редакцией Я. 3. Цыпкина и опубликовано большое количество статей в различных научных журналах в нашей стране и за рубежом (их краткое содержание изложено в реферативном журнале ВИНИТИ за 1988—2003 гг. «Техническая кибернетика» в разделе «Теория кибернетических систем управления»).

В этих работах такие задачи идентификации динамических систем как формирование испытательного сигнала (ИС), оценка характеристик и параметров систем рассматриваются как независимые самостоятельные частные задачи.

Принципиальным моментом при идентификации систем является необходимость применения оптимального испытательного сигнала, обеспечивающего получение достоверной информации за минимальное время. Сигнал должен обладать свойствами практической финитности по спектру и на временном интервале. В известных работах таких сигналов не предложено. Например, в качестве испытательного предложено использовать сигнал в виде отрезка ряда Котельникова, имеющий ограниченный спектр с неограниченными по времени координатными функциями.

Используется в качестве испытательного сигнала дельта-функция, имеющая бесконечный спектр, но мгновенный импульс нельзя практически реализовать.

Испытательный сигнал, синтезированный на основе принципа максимума Понтрягина при ограничении амплитуды сигнала, представляется релейной функцией с неизвестными моментами переключений, которые вычисляются методами многомерной оптимизации. Но такой сигнал из-за сложности формы невозможно также практически реализовать.

Другие применяемые на практике испытательные сигналы являются мало информативными, то есть определяют узкий набор частных показателей идентификации и не определяют основную характеристику системы-ее оператор как весовую функцию.

Все существующие испытательные сигналы в должной мере не учитывают свойств динамической системы, для которой они применяются, и, следовательно, не обеспечивают оперативности и достоверности идентификации.

Вторым ключевым направлением при идентификации систем является оценивание их операторов по выходным данным при подаче на вход системы испытательных сигналов. Для линейных систем (непрерывных и дискретных ) в качестве характеристики оператора, представляющего систему, принимается ее весовая функция ( импульсная переходная функция). Для нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра или Гаммерштейна, в качестве весовой функции принимается набор их ядер.

Обычно в качестве критерия идентификации принимается минимум среднего значения квадрата (дисперсии) ошибки между выходными значениями истинного неизвестного оператора реальной (идентифицируемой) системы и ис-

комого оператора системы. Такой критерий справедлив в тех случаях , когда случайные входные воздействия распределены по нормальному закону с известными параметрами. Однако при статистической непараметрической идентификации, когда входные случайные воздействия должны формироваться с заданными математическими ожиданиями и корреляционными функциями, то для этого потребуется большое количество реализаций. Поэтому вероятностные характеристики входного процесса реализуются с некоторыми погрешностями, границы которых можно оценить методами математической статистики. Кроме того, на практике, как правило, неизвестны значения корреляционных функций входных сигналов, а известны только границы их изменения.

Для этих условий актуальна постановка задачи идентификации по критерию
минимаксной (максиминной) дисперсии ошибки в условиях априорной неопре
деленности о вероятностных характеристиках входных воздействий, обеспечи-
* вающего гарантированное значение дисперсии ошибки.

С другой стороны, как правило, известны математические ожидания (номинальные значения) и взаимные моменты второго порядка (разброса) отклонений весовых функций ( входных полезных сигналов фильтров статистической обработки ) от номинальных значений. В этом случае сужается область их определения. За счет учета этого может быть значительно повышена точность определения оператора идентифицируемой системы.

Поэтому задача идентификации динамических систем с учетом априорной информации о значениях весовых функций в минимаксной ( максиминной) постановках является актуальной. Это особенно важно для динамических систем, к которым предъявляются повышенные требования по надежности, например, экологически опасных систем, и систем, связанных с безопасностью человека.

Если система нелинейная или входные случайные воздействия не распреде
лены по нормальному закону, то поиск оптимального оператора, обеспечиваю-
_ч щего минимум среднеквадратического значения ошибки, должен осуществ-

ляться в классе нелинейных операторов, например, при представлении системы функциональным полиномом(оператором) Вольтерра. Полиномы Вольтерра нашли широкое применение для исследования нелинейных систем с полиномиальными нелинейностями и для которых используются временные и спектральные методы анализа линейных систем.

Однако применение полиномов Вольтерра ограничено при статистической непараметрической идентификации систем с сосредоточенными параметрами и особенно для систем с распределенными параметрами, из-за необходимости решения систем многомерных интегральных уравнений повышенной кратности для определения ядер, как функций от многих переменных.

Поэтому актуальной задачей является применение такого оператора при непараметрической идентификации нелинейных систем, для определения ядер которого не требуется вычисления многомерных интегралов повышенной кратности. Таким оператором является функциональный полином Гаммерштейна.

Таким образом возникает необходимость комплексного подхода к решению

*

проблемы идентификации, как проблемы синтеза оптимального испытательного сигнала, разработки методов и алгоритмов определения оптимальных операторов линейных и нелинейных динамических систем, разработки программно-реализуемых на ПЭВМ алгоритмов, обеспечивающих достоверный и своевременный контроль состояния динамических систем в текущих условиях их функционирования.

Цель работы. Разработка математических методов, вычислительных алгоритмов и программ решения комплекса задач идентификации: оптимизации испытательного сигнала и формирования случайных входных воздействий; восстановления операторов линейных и нелинейных систем, наилучшим образом по заданным критериям, аппроксимирующих истинные (реальные) неизвестные операторы идентифицируемых систем; оценки параметров весовых функций линейных систем и ядер операторов Вольтерра или Гаммерштейна для нелинейных систем (параметрическая идентификация ); оценки вероятностных характеристик систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных и нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра и Гаммерштейна; восстановления частотных характеристик систем (сигналов) по конечной временной выборке, содержащей случайные ошибки; создание библиотеки процедур и моделей для идентификации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами.

На защиту выносятся следующие концепции- положения:

1.Комплексный подход к решению проблемы идентификации, заключающийся в совместной оптимизации испытательного сигнала и алгоритмов идентификации динамической системы.

В основу синтезирования испытательного сигнала принята концепция максимальной сосредоточенности его энергии по времени и спектру, практически финитного в частотной и временной областях, с использованием двух разработанных численных методов вычисления вытянутых волновых сфероидальных функций (ВВСФ).

В основу восстановления оператора нелинейной системы принята концепция параметрического оценивания ядер полинома Вольтерра для систем с сосредоточенными параметрами и непараметрического оценивания ядер полинома Гаммерштейна для систем с распределенными параметрами, для линейных и статистически линеаризованных по методу Казакова- Бутона систем- концепция представления их байесовскими фильтрами с конечной памятью, учитывающими априорную информацию о параметрах нестационарного случайного полезного входного сигнала.

2.Концепция непараметрического оценивания операторов нелинейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, основанная на минимизации среднего квадрата ошибки идентификации, при описании системы полиномом Гаммерштейна. Это обеспечивает оптимальность оценок при негауссовых входных случайных процессах.

3.Концепция непараметрического оценивания операторов линейных систем, основанная на минимаксимизации ( максиминимизации) критерия среднего значения квадрата ошибки идентификации байесовскими фильтрами с конечной памятью, учитывающими априорную информацию о первых двух статистических моментах параметров входного сигнала. Использование априорной информации об ограниченности областей допустимых значений входного полезного сигнала существенно повышает точность идентификации.

4.Концепция параметрического оценивания операторов нелинейных динамических систем, имеющих нелинейности с разрывами непрерывности производных нулевого и первого порядков, основанная на статистически линеаризованном методе максимума апостериорной вероятности.

5.Концепция оценки вероятностных характеристик случайных процессов на
*- выходе динамических систем (дисперсий, высших моментов, корреляционных

функций, функций правдоподобия и т.д.) по аналитическим выражениям без дополнительного статистического моделирования функционирования динамических систем.

б.Концепция аналитического высокоточного вычисления частотных характеристик динамических систем на основе решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с сильно осциллирующим ядром при их аппроксимации сплайнами Лагранжа, ВВСФ, обобщенным рядом Котельникова.

7.Концепция построения классов математических моделей в системе объектно-ориентированного программирования "Дельфи " на основе разработанной библиотеки процедур и моделей для исследования методов идентификации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. Научная новизна диссертации состоит:

1 .В синтезе испытательных сигналов в базисе ВВСФ, полученных в результате решения однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с

* сильно осциллирующим ядром, и с максимальными значениями коэффициен
тов подобия как собственных значений соответствующих ВВСФ.

Собственно синтез осуществляется по критерию минимизации среднеквадра-тической ошибки приближения единичного спектра линейной комбинацией ВВСФ с учетом требований по заданной энергии и согласованности с полосой пропускания частот идентифицируемой динамической системы.

Известные методы не обеспечивают формирования испытательных сигналов с максимальными значениями коэффициентов подобия при требовании их фи-нитности в частотной области и с заданной энергией во временной области.

2.В синтезировании оптимальных операторов линейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами при априорной неопределенности о пространственно-временных и частотных характеристиках внешних воздействий как условий функционирования, вызывающих дополнительные ошибки при формировании выборочных данных измерительными средст-

* вами идентифицируемой системы.

Синтез основан на доказательстве

а)оптимальности операторов систем (весовых функций), описываемых байесовскими минимаксными (максиминными ) фильтрами с конечной памятью при учете ограничений на значения корреляционных функций ошибок выборочных данных. Доказательство построено на сведении задачи поиска условного минимакса (макси-мина ) к задаче минимизации квадратичной формы без ограничений на весовые функции. Ограничения по несмещенности на весовую функцию снимаются за счет представления полезного входного сигнала каноническим разложением со случайными коэффициентами, характеризующимися априори заданными математическими ожиданиями и взаимными центральными моментами второго порядка, а также за счет введения требования точного преобразования фильтром априорного математического ожидания, заложенного в его структуре.

Это теоретическое положение охватывает имеющееся решение {/

аналогичной задачи, для случая, когда коэффициенты разложения имеют бесконечные дисперсии и нулевые взаимные моменты.

б) оптимальности метода вычисления эффективных оценок парамет
ров весовой функции по критерию максимума правдоподобия ( при
нормальном законе распределения аддитивных ошибок измерений) по
средством условной максимизации квадратичной формы с положи
тельно определенной матрицей, при условии, что ошибки измерений
ограничиваются заданными пределами второй составляющей ошибок,
и последующем сведением задачи максимизации к полной проблеме
собственных значений, легко реализуемой на ПЭВМ. Существующие
же методы решения таких задач являются весьма трудоемкими для
реализации на ПЭВМ.

в) необходимого условия оптимальности весовой функции линейной системы
с распределенными параметрами как двумерного согласованного фильтра. До
казательство основано на принципе построения согласованного фильтра по
критерию максимума отношения сигнал/шум на выходе системы, приводящего
к формированию двумерного интегрального уравнения Фредгольма первого
рода, решением которого является искомая оптимальная весовая функция. Ус
тановленное таким образом необходимое условие в форме интегрального урав
нения является общим по отношению к существующим методам определения
весовых функций линейных систем как согласованных фильтров.

3. В синтезе оптимальных операторов нелинейных динамических систем с распределенными параметрами как нелинейных согласованных фильтров-обнаружителей тестовых сигналов.

Синтез основан на реализации критерия максимального отношения сигнал/шум на выходе динамической системы, представимой оператором Гам-мерштейна п-го порядка, и приводит к необходимым условиям оптимальности в виде системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода, которой должны удовлетворять ядра Гаммерштейна.

Полученные необходимые условия являются обобщением соответствующих условий для линейных согласованных фильтров, так как последние получаются как частный случай при представлении динамической системы полиномом Гаммерштейна первой степени.

4. В синтезе оптимальных операторов нелинейных динамических систем, как сглаживающих фильтров, представимых двумерным оператором Гаммерштейна п-го порядка, по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки воспроизведения требуемого выходного сигнала идентифицируемой системы. Необходимые условия оптимальности оператора получены в форме системы п-го порядка двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. При этом уравнение Винера- Хопфа является частным случаем полученной системы при представлении динамической системы полиномом Гаммерштейна первой степени.

5. В доказательстве эквивалентности по выходным значениям операторов
Вольтерра и Гаммерштейна для нелинейных систем, содержащих в качестве
линейного инерционного звена фильтр низких частот и безынерционное поли
номиальное звено.

Замена полинома Вольтерра полиномом Гаммерштейна для таких систем позволяет проводить их синтез и вероятностный анализ без необходимости вычисления многомерных интегралов повышенной кратности.

6. В разработке методов аналитической оценки и прогнозирования вероятно
стных характеристик процессов на выходе линейных и нелинейных динамиче
ских систем, представимых интегральной (дискретной ) сверткой, дифференци
альными уравнениями в пространстве состояний, операторами Вольтерра и
Гаммерштейна.

Выведены аналитические выражения авто и взаимных корреляционных функций ошибок фильтрации для оптимальных линейных дискретных байесовских фильтров с конечной памятью. В байесовском фильтре с нарастающей памятью (рекуррентном фильтре Калмана) вычисляется ковариационная матрица оцениваемых параметров. Она не отражает вероятностную степень связи значений случайных ошибок в оценках параметров в различные моменты времени. В такой же мере эта вероятностная связь не учитывается и в формулах В. С. Пугачева, полученных для байесовского фильтра с конечной памятью.

Разработан сплайн-интерполяционный метод расчета вероятностных характеристик нелинейных систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, а также метод вычисления статистических узлов на основе решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Из сплайн-интерполяционного метода как частный случай следует интерполяционный метод В.И. Чернецкого, если интервалы существования случайных величин не разбивать на частичные подынтервалы. Применение сплайн-интерполяционного метода наиболее эффективно для расчета вероятностных характеристик динамических систем, нелинейности которых (как функции от случайных величин ) имеют разрывы не-

прерывности низких порядков и для несимметричных нелинейностей.

В интерполяционном методе статистические узлы выбираются только в зависимости от порядка аппроксимирующего полинома и плотностей распределений по всей области задания случайных величин, и поэтому в должной степени не учитываются динамические свойства системы. В методе локальных статистических узлов А.В.Поцелуева плотности распределений аппроксимируются трапециями, что может привести к большим погрешностям вычисления статистических узлов.

7. В разработке метода вычисления частотных характеристик (спектров
сигналов, интегрального преобразования Фурье функций) по конечным
выборкам весовых функций

( сигналов ), содержащих случайные ошибки.

Собственно вычисление сводится к решению интегрального уравнения Фред-гольма первого рода с сильно осциллирующим ядром и аппроксимации частотной характеристики в базисе сплайнов Лагранжа, ВВСФ и обобщенным рядом Котельникова. Принятые аппроксимации приводят к аналитическому вычислению интеграла интегрального уравнения и представлению последнего в виде линейной регрессии. При этом оценивание параметров регрессии производится фильтром Калмана или байесовским фильтром с конечной памятью. Установлена оценка погрешности вычисления интеграла с сильно осциллирующим ядром, для которой выведено уточненное неравенство С.Н.Бернштейна для функций с финитным спектром и конечной энергией.

В существующих методах решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода интеграл заменяется какой-либо квадратурной формулой. При сильно осциллирующем ядре это потребует большого числа узлов.

Из предложенного метода вычисления интегралов как частный случай выводится известный метод Филона, в котором используются сплайны Лагранжа второй степени.

Обобщенный ряд Котельникова обеспечивает лучшую аппроксимацию функций и их спектров по сравнению с обычным рядом Котельникова.

8. В разработке проблемно- ориентированного комплекса вычислительных
алгоритмов, программ и процедур для интеллектуальной поддержки принятия
решений при идентификации систем.

Новизна состоит в разработке программ и процедур, приспособленных для непосредственной реализации в системе современного программирования " Дельфи ", для решения следующих задач : синтеза сигналов, расчета весовых функций оптимальных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, расчета вероятностных характеристик линейных и нелинейных систем, моделирования функционирования линейных и нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра и Гаммерштейна, для исследования алгоритмов идентификации.

9. В разработке метода точного вычисления распределения Стьюдента для
любых значений к-степеней свободы. Новизна состоит в рекуррентном вычис-

*

лении отношения гамма-функций в формуле распределения Стьюдента. Метод реализован в устройстве авторского свидетельства на изобретение. Распределение Стьюдента вычисляется через элементарные функции с помощью громоздких формул и при значениях к>20 заменяется нормальным законом, но нет оценки погрешности такой аппроксимации.

Изложенные теоретические положения в целом составляют вклад в теорию статистической параметрической и непараметрической идентификации линейных и нелинейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, в статистическую теорию анализа и синтеза оптимальных линейных и нелинейных систем, вероятностного анализа динамических систем, представимых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, в теорию интегральных уравнений в части решения однородного уравнения Фредгольма второго рода и уравнения Фредгольма первого рода с сильно осциллирующим ядром.

Практическая значимость. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих практических задач:

1 .Расчета с потенциально высокой точностью оптимальных весовых функций систем с сосредоточенными и распределенными параметрами для линейных стационарных и нестационарных систем, представимых в интегральной и дискретной форме, по минимуму среднего значения квадрата ошибки преобразования, а также по минимаксному (максиминному) критерию и, для нелинейных стационарных систем, представимых оператором Гаммерштейна, при негауссовых входных случайных процессах.

2.Расчета весовых функций согласованных линейных фильтров, учитывающих априорную информацию о первых двух моментах коэффициентов нестационарной составляющей случайного полезного сигнала и нелинейных согласованных фильтров, представимых оператором Гаммерштейна, в условиях негауссовых помеховых воздействий и случайных полезных входных сигналов.

3.Расчета вероятностных характеристик ( математических ожиданий, моментов высших порядков, авто и взаимных корреляционных функций, плотностей распределений) выходных процессов нелинейных стохастических систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, сплайн-интерполяционным методом с определением статистических узлов интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

4,Оценки параметров траекторий движения объектов максиминным методом правдоподобия при их аппроксимации уравнениями линейных регрессий и статистически линеаризованным методом максимума апостериорной вероятности при аппроксимации траекторий уравнениями нелинейных регрессий. Прогнозирования траекторий движения объектов и расчета вероятностных ошибок прогнозирования по аналитическим выражениям.

5.Оценки текущего и прогнозируемого состояний систем передачи информации с применением синтезированного в базисе ВВСФ испытательного сигнала

в аппаратно-программных комплексах контроля функционирования этих систем.

б.Вычисления частотных характеристик линейных стационарных динамических систем по весовым функциям, реставрации изображений, аналитического продолжения спектра изображения для его восстановления на основе решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с аппроксимацией искомых функций сплайнами Лагранжа, ВВСФ, обобщенным рядом Котельникова и аналитическим вычислением интеграла этого интегрального уравнения. Данный метод вычисления интегрального уравнения применим также для синтеза антенн (акустических, радиотелескопов и др.), для повышения разрешающей способности антенн, оценки энергетического спектра по функции автокорреляции, восстановлении сигналов и их спектров в оптике, в том числе и с аналитическим продолжением спектров.

7. Оценки доверительных интервалов для оцениваемых параметров весовых функций динамических систем с вычислением точных значений квантилей ( без привлечения таблиц и интерполяции ) интегрированием дифференциального уравнения первого порядка. Алгоритм вычисления квантилей для больших выборок (обратной функции Лапласа) реализован в устройстве, защищенным авторским свидетельством на изобретение, алгоритм вычисления доверительных интервалов для математических ожиданий при малых выборках реализован в устройстве, защищенным в другом авторском свидетельстве на изобретение.

Результаты диссертации используются при чтении лекций и проведении практических занятий со студентами по специальному курсу: "Методы и алгоритмы оценки параметров случайных процессов".

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на XIV Московской городской НТК, посвященной Дню Радио (Москва, 1988); на двух межотраслевых научно-производственных конференциях " Развитие и совершенствование телевизионной техники " (НИИТТ "Электрон" г. Львов, 1990-1991г.г.); на 1-12-ой ежегодных Всероссийских научно-технических конференциях "Современное телевидение" ( Москва; 1992-2004 г. г.); на НТК специалистов и молодых ученых "Развитие и совершенствование телевизионной техники" (НИИТТ " Электрон ", г. Львов, 1993) ; на двух Международных конференциях "Информационные технологии в проектировании", "Восток-Запад" (Москва, 1994,1996 г.г.); на Международной конференции " 100-летие начала использования ЭМ волн для передачи сообщений и зарождения РТ " (Москва, 1995); на 2-ой Международной конференции " Спутниковая связь " (Москва, 1996); на LII научной сессии, посвященной Дню Радио(РНТО РЭС им. Попова А.С., Москва, 1997); на 22^ Europen Meeting of Statistitical, 7^ті Vilnus Conference of Probability Theory and Mathematical Statistics (Вильнюс, 1998); на 3-м сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л.Соболева (1908-1989) ( Новосибирск, 1998); в Российском научном обществе исследования операций, ВЦ РАН (Москва, 2001); на 4-ой Московской Международной конференции по исследованию операций (Москва,2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух монографиях издательства "Радио и связь", статья в иностранном журнале, в центральных научных журналах, в ведомственных научных журналах и научно-методических сборниках, в Трудах Межведомственных, Всероссийских и Меж-дународых конференций; в сборниках трудов Тверского государственного университета, в виде авторских свидетельств на изобретения. Список работ приведен в конце автореферата. Достоверность результатов основана:

-на корректности постановок задач, адекватно описывающих изучаемые физические процессы;

-строгом выводе необходимых условий оптимальности весовых функций фильтров обработки информации и аналитических выражений для вероятностных характеристик ошибок оцениваемых параметров;

-на реализации требований несмещенности и состоятельности оценок параметров;

-на доказательстве, что сплайн-интерполяционный метод дает лучшие по точности оценки математического ожидания и дисперсии для несимметричных и негладких (в том числе разрывных) нелинейностей по сравнению с интерполяционным методом Чернецкого;

-на оценке положительного вклада от использования априорной информации в точность оценок параметров весовых функций в зависимости от объема выборки;

-на установлении в результате сравнительного анализа повышенной точности оценок параметров, полученных в диссертации байесовскими фильтрами и методом наименьших квадратов;

-на оценивании параметров весовых функций динамических систем с доверительными вероятностями в диапазоне 0,95 <Р< 0,999.

В основу постановки и решения проблемы идентификации приняты следующие исходные положения-данные:

1. Когда система находится в нормальном режиме функционирования, то считается, что её амплитудно-частотная характеристика аппроксимируется константой в пределах рабочей полосы пропускания частот и равна нулю—вне ее, а фазочастотная характеристика—линейной функцией. Иначе говоря, это приводит к следующим известным фактам: входной сигнал передается и обрабатывается без каких-либо искажений, справедлив принцип суперпозиции и выходной сигнал записывается во временной области сверткой вида

Я0= jh(r)x(t-T)dr,

t-T

гдех(г)- входной сигнал; h(r)- весовая функция; Т—память системы.

Для пространственно-временного входного сигнала (двумерного поля, изображения) f(t,u,v), где и, v - пространственные координаты, значение выходного

I*

сигнала в момент времени t в точке (а,Р) через весовую функцию двумерной системы h(u,v) записывается в виде

а Р

z(t,a,P)= j tyi(u_yv)f(t,a-u,p-v)dudv,

а-Т, Р-Т_у

где Т_х, Т_у- память двумерной системы.

Заметим, что для двумерных дискретных систем с целью облегчения их анализа в некоторых случаях от матричной записи сигналов будем переходить к векторной, что позволит выполнить анализ с использованием развитых для одномерных систем методов.

Пользуясь теперь условием равенства для неравенства Буняковского-Коши, имеем

h(t) = kx{t-t₀),
а в частотной области S_y{jcS) = K{jai)S_xUoi)- для одномерной системы

и S₂(ja)_x,jo)_y) = KU_x,j6)_y)S_fUu)_x,jco_y)- для двумерной системы,

где S_y(ja>), S_x(Ja>), S_z(jto_x,ja>_y), S_f(ja>_x,ja>_y)- спектральные плотности сигналов на выходе и входе системы;

K{ja>) = ke~^iat - частотная характеристика одномерной системы с АЧХ, равной к и ФЧХ -(-jo)t₀), а для двумерной системы K(ja_x,ja>_y) = ке~^іт'^хе^)ШуУ и (-jco_xx-jco_yy) соответственно.

Весовая функция одномерной системы

h{t) =

kSin27cF{t-t₀)

л (t-t₀)

а двумерной - h(u, v) = — — ^у- —,

ж (и-и₀) n{v-v₀)

где F, F_x, F_y—верхние граничные частоты,

t₀, и₀, v₀ - характеристики запаздывания систем.

Отсюда следует, что амплитудно-частотный спектр входного сигнала совпадает с АЧХ одномерной или двумерной системы. Это положение принимается в основу формирования одного из требований к испытательному сигналу в частотной области.

2. Если в процессе функционирования параметры и характеристики системы изменяют свои свойства и возникает рассогласование текущего состояния системы с входным испытательным сигналом, то сигнал на выходе естественным образом должен быть согласован с текущим, но априори неизвестным состоянием системы и нести информацию об этом. Установление и идентификация текущего состояния по выходному сигналу составляет обратную задачу относительно задачи формирования входного сигнала, согласованного с системой. Она заключается в восстановлении в ортогональном базисе и оценке параметров весовой функции Щ) по выражению

y(t)= jk(r)x(t-T)dT + 0(O, k(t)*h(t),

t-T

когда имеют место мешающие воздействия 0(t) и линейные искажения в системе, или в восстановлении ядер отрезка ряда Вольтерра совместно с коэффициентами нестационарности по выражению [3]

У(0 = Ь_о(0 + МО J*,(r,)x(r-x_x)dr_x + +

t-T t

+ Kit) j ^„(r,,^,...,^)^-r,) x(t-T_n)dr, dr_n^0(t),

t-T t-T

когда в системе возникают нелинейные искажения и её функционированию сопутствуют мешающие воздействия 0(t), которые считаем заранее неизвестными.

Теперь воспользуемся еще одним известным обстоятельством: динамическая система в исходном нормальном состоянии представляется идеальным фильтром низких частот с весовой функцией h(t), а в других состояниях—реальным фильтром низких частот с неизвестной весовой функцией Щ) или с неизвестной совокупностью ядер отрезка ряда Вольтерра ^(ОЛЄі'^'-ЛОі^'-Л) ^и коэффициентов нестационарности b₀(t),b_x(t),...,b_n(t). Очевидно, что наибольшую трудность представляет решение второй из отмеченных обратных задач. Эта задача из-за необходимости вычисления многомерных интегралов и синтезирования входного сигнала, наилучшим образом удовлетворяющего требованиям сосредоточения энергии на заданном отрезке времени Т, является очень сложной. Сложность задачи усиливается при программной ее реализации на ПЭВМ в реальном масштабе времени. 3. Для облегчения решения можно воспользоваться математической моделью системы в виде оператора Гаммерштейна. Переход к оператору Гаммерштейна обоснован, так как при отмеченном в п.2 представлении системы сигнал на её выходе полностью совпадает с сигналом на входе, когда эта система представляется в рассматриваемой исходной обратной задаче отрезком ряда Вольтерра. Отсюда следует, что ядра Вольтерра в ортогональном базисе функций пространства L₂ (обозначим их Ч'ДО» i⁼0, N)> должны быть представлены не многомерными суммами, а одномерными, т. е.

1=0

к₂ (г, ,т₂) = а„^ (г, )yr_t (т₂),

/=о

к_п(т_х,т_г,...т_п) = 5Х..,^(*і)^(^г2) y/_t(T_n)»

1=0

что значительно понижает порядок системы алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов Фурье a,,a_j(,...,а_{; ;}. Точность решения

исходной задачи в целом не ухудшается.

4. Наличие мешающих воздействий 0(t) обусловливает статистический характер обратной задачи, поэтому метод ее решения существенно зависит от полноты описания характера и частотно-временных параметров воздействий. В диссертации рассматриваются аддитивные флуктуационные, импульсные широкополосные и сосредоточенные узкополосные помехи. Статистические характеристики и основные параметры помех в процессе исследований были приняты по данным [4-10]. Согласно этим данным оказалось возможным представить помехи как аддитивные гауссовы и помехи, для которых могут быть установлены только диапазоны изменения энергетического параметра в полосе частот динамической системы.

5. Построение метода решения задачи идентификации должно осуществляться с учетом требований по частотно-временным характеристикам к входному испытательному сигналу, по достоверности, своевременности и полноте оценок характеристик текущего состояния контролируемой системы. Это, в свою очередь, вызывает необходимость восстановления соответствующего принципа оптимальности. Для его восстановления общая задача идентификации декомпозируется на две: задачу оптимального синтеза широкополосного импульсного входного испытательного сигнала и задачу оценивания параметров ядер Воль-терра как функций, представимых в ортогональном базисе пространства L₂. При этом вводится допущение о том, что на интервале времени (t-T, і) получения выборки измерений состояние системы не изменяется, изменение может иметь место при сдвиге интервала Т на временной оси. В результате искомый принцип оптимальности должен объединить отмеченные здесь требования, т. е. должен представляться объединением принципа неопределенности, принципа формирования общего вида функционала в L₂ на всевозможных линейных комбинациях базисных функций и принципа оптимальности Лагранжа.

6. Для отображения результатов решения задачи оценки показателей контроля состояния системы, как задачи идентификации, предполагается использование обобщенных и детальных дисплейных информационных моделей на автоматизированных рабочих местах операторов органа контроля и управления техническим состоянием динамической системы. Все необходимые данные для отображения определяются оцененными весовой функцией и частными характеристиками, либо оцененными ядрами отрезка ряда Вольтерра и частными характеристиками, либо оцененными оператором Гаммерштейна и частными характеристиками.

Дополнительно отметим, что в настоящее время в задачах идентификации наибольшее распространение получили алгебраические многочлены. Однако при применении таких многочленов для представления модели входного сигнала в задачах фильтрации и оценки параметров изображений имеют место следующие недостатки:

для уменьшения динамической ошибки аппроксимации необходимо увеличивать степень полинома, а это приводит к увеличению дисперсии случайной ошибки аппроксимации, к трудности реализации на ЭВМ вычислений самих полиномов и коэффициентов аппроксимации;

на апертуре фильтра во входном сигнале трудно учесть разрывы производных низких порядков.

Свободными от этих недостатков являются широко используемые в диссертации сплайны, так как они имеют следующие преимущества по сравнению с алгебраическими полиномами:

матрицы коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений, составленных для определения коэффициентов, являются слабо заполненными, что позволяет эффективно применять различные численные методы для их решения;

обладают свойством локальности, то есть наличие особенности в какой-либо точке входного сигнала не влияет на поведение аппроксимирующего сплайна в целом;

позволяют за счет адаптивного выбора опорных узлов уменьшить динамическую ошибку аппроксимации, не повышая степени сплайна; -применение сплайнов Лагранжа и оптимального выбора узлов интерполяции обеспечивает повышение точности расчета вероятностных характеристик сложных динамических систем с одновременным сокращением количества операций интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих систему, по сравнению со стандартным интерполяционным методом и методом статистических испытаний.

Разработанные методы и алгоритмы были внедрены в работе по созданию программного комплекса для проектирования автоматизированной системы контроля канала передачи телевизионной информации с использованием специальных испытательных сигналов. Это свидетельствует об универсальности и практической значимости полученных в диссертации результатов. Полученные результаты рекомендуются для использования в работах по прогнозированию технического состояния контролируемых динамических систем а также для разработки экспертной диагностической системы контроля как метрологической системы.

Эти результаты в совокупности составляют вклад в развитие научного направления идентификации и оценки показателей контроля текущего состояния систем при априорной неопределенности, они опережают достигнутый уровень в известных работах по близким проблемам отечественных и зарубежных авторов и определяют научную значимость выполненной работы.

Диссертация состоит из двенадцати глав, приложения к пятой главе, приложения к восьмой главе, заключения и списка литературы.

В первой главе формулируются принципы и показатели контроля состояния систем; приведены методы их идентификации.

Во второй главе сформулирована постановка задачи синтеза тестовых сигналов в базисе ВВСФ для контроля технического состояния систем. Показаны

преимущества предложенного метода синтеза тестового сигнала перед существующими. Разработаны методы вычисления ВВСФ на основе ряда Котельнико-ва, сплайнов Лагранжа, В-сплайнов, эрмитовых сплайнов третьей степени и полной проблемы собственных значений для симметрической матрицы.

В третьей главе изложен вычислительный алгоритм синтеза тестовых сигналов по заданным частотно-временным параметрам. Приведены характеристики тестового сигнала, представимого линейной комбинацией ВВСФ.

Четвертая глава содержит методы оценки весовых функций линейных и нелинейных систем с сосредоточенными параметрами при различных условиях априорной неопределенности об ошибках измерений.

В пятой главе развиты методы оценки параметров весовых функций систем с распределенными параметрами двумерным оператором статистического сглаживания, двумерным байесовским оператором сглаживания, методом максимума апостериорной вероятности, статистически линеаризованным методом максимума апостериорной вероятности, максиминным методом правдоподобия, методом минимальных модулей, линейным и нелинейным согласованным фильтрами, нелинейным оператором Гаммерштейна. В этой главе получены аналитические выражения для расчета вероятностных характеристик ошибок оценок параметров весовых функций: дисперсии, взаимных моментов второго порядка, взаимных и автокорреляционных функций. Глава включает также приложение. В нем приведены методы решения уравнений оптимальной линейной фильтрации.

В шестой главе разработаны методы оценки временных и частотных характеристик контролируемых систем: переходной характеристики, амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик, группового времени запаздывания.

В седьмой главе предложен метод расчета вероятностных характеристик: математического ожидания, центральных моментов высших порядков, корреляционных функций, интегрального закона распределения выходных процессов нелинейных динамических систем, представимых нелинейными дифференциальными уравнениями. Эти вероятностные характеристики рассчитываются с использованием сплайнов Лагранжа, что позволяет учитывать априорную информацию о свойствах контролируемой системы и входного процесса для оптимального выбора статистических узлов. При таком выборе узлов сокращается объем вычислений и повышается точность расчета вероятностных характеристик. В главе предложен также численный метод вычисления распределения Стьюдента, устойчивый при реализации на ПЭВМ к большим значениям степеней свободы. Разработанный метод вычисления статистических узлов на основе решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка может использоваться для произвольных законов распределения с конечными и бесконечными диапазонами изменения аргумента а также для формирования случайных чисел на ПЭВМ.

В восьмой главе изложены статистические методы восстановления спектров тестовых сигналов, частотных характеристик систем по конечной выборке во временной области. С использованием сплайнов Лагранжа, ряда Котельникова

и ВВСФ задача восстановления частотных характеристик, спектров сигналов сведена к оценке параметров уравнений линейной регрессии. Оценка параметров производится фильтром Калмана и байесовским оператором сглаживания. В главе предложен обобщенный ряд Котельникова, обладающий лучшими ап-проксимационными свойствами по сравнению с обычным рядом Котельникова. В приложении к главе получена оценка погрешности интегрирования сильно осциллирующих функций с финитным спектром на основе сплайнов Лагранжа и Бернштейна. При этом уточнено фундаментальное неравенство Бернштейна для сигналов с конечной энергией.

В девятой главе приводятся два метода контрастирования перепадов на двумерных сигналах на основе линейного интегрального оператора дифференцирования входного поля. В одном методе в качестве весовой функции используется производная от функции типа синуся/х. В другом - весовая функция формируется в виде обратного преобразования Фурье от линейной комбинации В-сплайнов и-ой степени с равномерным расположением узлов в частотной области, интерполирующей моном со". В главе показано, что из предложенного фильтра в частном случае выводится фильтр низких частот.

В главе рассматриваются также вопросы определения геометрических характеристик объектов на тестовом двумерном поле. Приведена вычислительная схема расчета контуров объектов. Для аппроксимации контуров используются параметрические сплайны различных типов: кубические дефекта 1, кусочно-линейные, рациональные. С помощью этих сплайнов рассчитываются геометрические характеристики объекта: длина периметра, кривизна контура, радиус кривизны контура, площадь объекта, координаты геометрического центра объекта.

В главе приведены алгоритмы оценки параметров круга согласованной фильтрацией и оценки параметров круговых структур. Экстраполяция траектории движения геометрического центра круговой структуры производится с использованием полинома второй степени.

В десятой главе приведены вычислительные схемы алгоритмов оценки параметров весовых функций распределенных систем, вычисления ВВСФ. Вычислительные схемы написаны так, что по ним можно легко составить программы для ПЭВМ.

В одиннадцатой главе разработаны вычислительные алгоритмы оценки весовой функции, переходной характеристики и частотных характеристик контролируемой системы.

В двенадцатой главе содержится структура математической модели и результаты исследования показателей качества разработанных методов и алгоритмов контроля динамической системы типа канала передачи информации, изложены также алгоритмы отображения результатов контроля текущего состояния системы в виде четырех информационных моделей.

Таким образом, в целом в диссертации развита теория и созданы новые методы оценки показателей состояния динамических систем при контроле их текущего и прогнозируемого состояний, приведены результаты исследований

по оценке показателей, характеризующие высокую эффективность разработанных методов.

1. Показатели контроля состояния динамических систем

1.1. Основные показатели контроля текущего состояния системы. Принципы оценки.

В процессе функционирования любой технической системы объективно имеют место проявления факторов, отрицательно влияющих на эффективность выполнения возложенных на неё задач. Такие факторы обусловлены конструктивно-производственными, эксплуатационными и внешними обстоятельствами. Первые из названных факторов влияют непосредственно на надёжность технических средств системы в процессе их проектирования и создания, вторые -влияют на надёжность системы в процессе её эксплуатации, третьи - приводят к изменению условий функционирования как средств, так и системы в целом.

В связи с этим система может находиться в текущих условиях в различных состояниях, в том числе и в состояниях, опасных для обслуживающего персонала и окружающей среды. Очевидно при этом переходы системы из одного состояния в другое следует классифицировать как случайные события с неизвестным законом распределения вероятностей моментов времени их возникновения, а систему считать квазистационарной и обладающей свойствами наблюдаемости, идентифицируемости и управляемости.

В математическом плане эволюцию системы можно описывать конечно-марковским процессом с непрерывным временем и доходами в виде ожидаемой эффективности, которую система может обеспечить в произвольный текущий момент времени. Соответствующее исходное выражение, представляющее эволюцию эффективности системы, в пространстве состояний запишем в виде

&,(t + At) = (1 - ]Га,,(ґ, $,,,^)40^,4/ + 3(0]⁺

+5^,(^1^)^+^(0].

s_u - интенсивность затрат на текущее обслуживание системы, находящейся в режиме нормального - штатного функционирования (здесь индекс 11 указывает на пребывание системы в состоянии 1- в нормальном режиме на промежутке времени At), s_y - интенсивность затрат на проведение упреждающих регламентных работ для

обеспечения неперехода системы в состояние j є [2,п] ненормаль-

ного функционирования из режима нормального функционирования-1,

и У>1

вероятность того, что система будет находиться в состоянии 1 на промежутке времени At; здесь параметр a_XJ(t,s_{l 1}}5_1;) не известен,

3_x(t), &j(t), - эффективность системы, приходящаяся на единицу времени, когда система находится в режиме 1 ,или в состоянии j * 1 ненормального функционирования соответственно.

Очевидно (в силу свойства управляемости системы), интенсивностями s_u, j_ly, J є [2,и] , можно и необходимо управлять и что они должны отражать

полезность и безопасность эксплуатации системы.

Теперь запишем выражение для эволюции эффективности системы в пространстве состояний в форме дифференциального уравнения

4(0=*п(о-2Х('.*1Л)аожо+

+ XM''⁵n>⁵i;)K^+,9;(0]

с начальным условием ^(r₀) = &₀₁.

Это линейное дифференциальное уравнение с переменными параметрами. К нему можно применить преобразование Лапласа и затем выписать выражение для основной характеристики - передаточной функции системы. По выражению для передаточной функции достаточно просто выписываются обобщенные выражения для весовой, переходной и спектральных функций системы. Однако установить их инженерные выражения и выполнить на их основе конкретный анализ качества функционирования системы в текущих условиях не представляется возможным из-за невозможности получения конкретных функций а_І7(ґ,5_п,5_1;) и s_y(t) до перехода системы в у'-е состояние; выявить

такие функции для конкретной системы можно только на основе полных данных о ее реальных состояниях, переходах на них и соответствующих затратах s_u(0> имевших место на всем установленном времени эксплуатации системы.

Имеется другой способ, эквивалентный предыдущему по конечному результату и опирающийся также на свойства наблюдаемости системы, когда последнее реализуется посредством измерений в пространстве сигналов и процессов на входе и выходе системы. Это - способ, заключающийся в непосредственном восстановлении весовой, переходной и спектральной функций по текущим измерениям выходного процесса системы при известном заданном входном. При этом измерения по выходу будут составлять конечную выборку отсчетов на отрезке времени [t-T,t] контроля функционирования системы, где t -текущий момент времени. Этот способ есть ничто иное, как статистическая идентификация или, что по существу то же, как реализация свойств наблюдаемости и идентифицируемости системы, причем идентифицруемости в общем случае, в условиях неопределенности относительно ее истинного состояния, а весовая, переходная и спектральная функции становятся основными определяющими характеристиками системы. Последние однозначно определяют каче-

ство функционирования системы в текущих условиях. Действительно, если значения этих характеристик (а значит и показателей эффективности) соответствуют требуемым, то система находится в штатном - нормальном режиме функционирования.

В математических терминах показатели контроля состояния системы запишем в виде следующих выражений:

a(k,jO=Z|k-(0-k,(4

1=0

а(к„к,)= Ё|к_а-(0-к_;(о|

_A(K,,Kj = m^K,(0-K,(0|,

где K_d = (K_d(t₀),...,K_a(t_N))- вектор вычисленных значений весовой функции динамической системы при реализации методов параметрической идентификации,

К,. = (К, (t₀),...,K, (t_N)) - вектор номинальных значений весовой функции контролируемой системы на моменты времени t₀,...,t_N.

Если значения р_х,р₂,р_ъ удовлетворяют заданным условиям: р_х < А,, р_г < А₂, р_ъ < А₃, то система находится в нормальном режиме функционирования; если же какое-либо одно из этих условий не выполняется, то система—в преда-варийном режиме, а если все три условия не выполняются, то - в аварийном режиме.

Аналогичным образом записываются показатели контроля состояния при контроле системы и по другим характеристикам.

При использовании методов непараметрической идентификации контролируемые характеристики текущего состояния системы представляются функциями на отрезке [-Т, Т] а показатели контроля записываются в виде

_А(К_в5К_н)= |к_в(о-к„(оЦ

-т

т —

/>₂(к_в,к„)=[|к_в(0-к_н(оГ^] ,

-т

a(k,jO=,j»Jk*(0-k#<0|-

При этом правило выбора решения о текущем состоянии системы остается по существу тем же, что и при контроле системы методами параметрической идентификации.

Заметим, что в пространстве сигналов система может описываться как линейной, так и нелинейной динамической моделью.

В связи с изложенным в основу идентификации системы принимается принцип непрерывного автоматизированного диагностического алгоритмического контроля функционирования средств и системы в целом, описываемой линейной или нелинейной динамической моделью, при имитации входных воздействий.

Под входным воздействием будем понимать модулированную по интенсивности (амплитуде) конечную последовательность или конечную совокупность широкополосных импульсных сигналов с одинаковой или различной длительностью, представляющую реализацию соответственно случайного потока с ограниченным последействием или случайного 8 - коррелированного поля заданной пространственно-временной конфигурации. Каждый сигнал такой последовательности или поля есть результат аддитивного взаимодействия тестового сигнала с помехами естественного происхождения, сопутствующими функционированию системы.

Тестовый сигнал синтезируется в базисе ортогональных функций по критерию наилучшего приближения к возможному истинному входному сигналу в смысле минимума среднеквадратической ошибки.

Построение случайной последовательности осуществляется на ПЭВМ посредством установления для каждого сигнала момента времени его поступления на вход системы как реализации случайной величины с заданным законом распределения вероятностей и последующего формирования выборочных значений амплитуды и длительности тестового сигнала, а построение 8 - поля осуществляется по заданной пространственно-временной конфигурации согласно следующему принципу: каждой пространственно-временной координате ставятся в соответствие два числа, одно из которых - выборочное значение амплитуды, а другое - длительность сигнала.

Выборочные значения принимаются как требования-ограничения при синтезе формы тестового сигнала. Формирование таких значений осуществим в результате интегрирования дифференциального уравнения

^{d-._^_} _(1Л⁾

при 4(g) = 0,#=0 до значения д₃

д_ъ = \p(x)dx-0.5,

где jc₃ - реализация случайной величины от датчика случайных чисел, распределенных, например, по равномерному или нормальному законам -р(х),

4 = ЧЯъ) - реализация случайной величины - амплитуды сигнала с требуемой плотностью распределения вероятностей /() или

= в(Чг)~ реализация случайной величины - длительности сигнала с требуемой плотностью распределения вероятностей у/(в).

Вывод-обоснование дифференциального уравнения (1.1) приведено в главе 7. Сформированный таким образом тестовый сигнал поступает на вход функционирующей в реальных условиях системы, где он аддитивно смешивается с помехами естественного происхождения.

Уравнение (1.1) является (на этапе исследования алгоритмов оценки показателей контроля функционирования системы) основой математического формирования и аддитивных помех как реализаций случайного процесса

x(t) = (p(t)x(t), где заданная неслучайная функция,

x{t) = Тад (SinZt + jCosAi) -неканоническое разложение центрированной случайной функции с корреляционной функцией R{t),

/-случайная величина с произвольной плотностью распределения и единичной дисперсией.

Плотность распределения /(Л) случайной величины Л определяется выражением

/(Я) = —-— \R(T)e-^JXzdr. (1.2)

^JK 2яЯ(0)_{ ^{v J}

В общем случае корреляционная функция процесса x(t) записывается в виде

пк тк

R^^A^KCos^r + B.Sin^ + ^Cje-^, (1.3)

к=\ J=\

А_к, В_к, v_k, /З_к, Cj, aj, пк, mk, к = \,пк, j = \,тк -известные величины.

Подставив выражение (1.3) в подынтегральное выражение (1.2) и взяв интеграл аналитически, получим

^{

"* v 1 1
У А_к {-Ч —. г" + —г Т) +

В_кг /З_к+Л Р_к-Л А а і

2я \Р_к+Л)²+ у² ifi_k - Л)² +у² ^ ^J п{Л² +_aj) Л(0)

Отметим также, что наряду с основными характеристиками в процессе идентификации могут оцениваться и параметры тестовых сигналов на выходе системы. К таким параметрам относятся: амплитуда, фаза, спектр, мощность, моменты времени начала и окончания сигнала, длительности фронта и среза. Таким образом, установлено важное для контроля текущего состояния системы утверждение: идентификация системы есть и основа оценки показателей контроля её функционирования.

В математическом плане сущность задачи идентификации сводится к статистической оценке оператора аппроксимации функционирования реальной системы и его распознаванию как сложной нестационарной гипотезы при заданных требованиях по своевременности и достоверности. Причем оценка и распознавание должны осуществляться при априорной неопределенности на

каждом текущем положении интервала времени (t -T,t) получения конечной выборки наблюдений по синтезированному оптимальному испытательному сигналу.

1.2. Принцип прогнозирования

Сущность прогнозирования состояния системы заключается в предсказании её основных и частных характеристик на основе оценки тенденций изменения текущего состояния системы по результатам выполненных измерений на [t_N -T,t_N]- конечном текущем отрезке времени за наблюдаемым процессом на её

выходе; здесь t_N- текущий момент,Г- длительность отрезка времени.

Процесс на выходе не является стационарным и относительно его статистических характеристик не имеется априорных сведений.

Факторы, обусловливающие изменения текущего состояния системы непосредственно влияют на элементы её устройств. При этом изменяются параметры устройств, ход изменения их в общем случае должен описываться нелинейными зависимостями со случайными коэффициентами, пропшые измерения могут не содержать полезной информации (по сравнению с текущей выборкой) для прогнозирования состояния системы. То есть метод прогнозирования состояния системы должен строиться без введения каких-либо априори допущений относительно свойств наблюдаемого на выходе системы процесса но так, чтобы при прогнозировании удовлетворялись требования по оптимальности, однозначности, несмещенности результатов в условиях безошибочных измерений и их сходимости к истинным при увеличении объема выборки.

При прогнозировании можно учитывать только то, что параметры устройств, а значит и параметры основных и частных характеристик системы, могут изменяться в определенных пределах, причем параметры можно описывать функциями, удовлетворяющими условию Липшица порядка а = 1. Поэтому соответствующий метод может строиться только на принципе наилучшего гарантированного результата.

Применительно к рассматриваемой проблематике этот принцип формулируется следующим образом.

Изменение каждого оцениваемого и подлежащего прогнозированию параметра y(t) основной (или частной) характеристики системы, при удовлетворении ими условию Липшица, однозначно описываются обобщенным полиномом-отрезком ряда Фурье

;К0 = 2>Я(0,

где _t{t)- координатные функции, составляющие систему Чебышева на отрезке времени [t_N-T,t_N],

а, - случайные коэффициенты-коэффициенты Фурье-Чебышева с априори

установленными математическими ожиданиями и корреляционными моментами второго порядка.

В текущих условиях коэффициенты a_t, i = 0, л, неизвестны и должны быть

оценены по наблюдениям на отрезке времени [t_N -T,t_N] за выходным процессом

с учетом, что наблюдениям всегда сопутствуют воздействия аддитивного шума n(t), относительно которого известно только, что его значения принадлежат линейному нормированному пространству и что его норма ограничена, то есть p(n(t)) < А или значения корреляционной функции находятся в пределах

E*K_Mtt,)*DQ, m,l = 0,N,

где A, D¹*], D%) - известные величины. Конкретно норму можно определить как корень квадратный из интеграла от квадрата функции n(t) на отрезке [t_N -T,t_N], либо как интеграл от модуля этой функции на том же отрезке, либо максимальным значением модуля функции n(t) на [t_N -T,t_N], либо истинным максимумом

vraimax\n(t)\ на [t_N -T,t_N].

В таких условиях критерий оптимальности прогнозирования может быть записан в виде

min max I(W(t), n(t%

где t <= [t_N -T,t_N], N- объем выборки - количество измерений,

W{i)- значения весовой функции системы как фильтра статистической обработки измерений на [t_N -T,t_N] и прогнозирования параметров весовой функции посредством прогнозирования значений обобщенного полинома Чебышева, I(W(t),n(t))~ дисперсия ошибки прогноза или это квадратичная форма,

p(n(t)) = \n(t)\) є [-С,С];

это выражение отражает требование равномерности распределения энергии в полосе пропускания частот системы.

Решениями однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода являются, как известно [20], вытянутые волновые сфероидальные функции. Эти функции имеют финитные спектры, являются собственными функциями оператора преобразования Фурье и каждая из них соответствует своему собственному значению (числу); т. е. они образуют ортогональный базис в гильбертовом пространстве L₂ и, таким образом, представляют класс функций m{t,C,T). Значит решением уравнения Фредгольма будут и линейные комбинации ВВСФ или иначе - отрезки ряда Фурье в базисе из ВВСФ в пространстве Х₂. Это обстоятельство является основой формулирования принципа оптимальности синтезирования искомого сигналаx'_opt(t)l ^т- ^е- сущность принципа оптимальности заключается в том, что значения функционала ! необходимо рассматривать на всевозможных линейных комбинациях ВВСФ, очевидно имеющих финитные спектры и множество которых плотно в L₂, при ограничениях-требованиях, предъявленных к сигналу x*(t) по равномерности спектра в полосе частот [ -С, С] и по величине энергии на интервале времени Т. Таким образом, новый принцип оптимальности синтезирования x'_opt (t) должен формулироваться как

объединение обобщенного принципа неопределенности, принципа Ритца и принципа Лагранжа, назовем его принцип Лагранжа-Ритца. Согласно этому принципу задача синтеза сигнала х'_ор1 (?) записывается в виде:

min Ф,(а(х(0), 2>л/,(*,С,Г))

где коэффициенты а і , і = 0,п определяются при ограничениях

-Т /=о

|(а_/уг_|(г,С,Г))²Л

ZP,

jx\t)dt

)

\S_x{a>)do

-? = Const

fS_x(a>)da>

-с

Аналогичный принцип синтезирования тестового сигнала реализуется и для линейных систем с распределенными параметрами с полосой пропускания частот на прямоугольнике [-N_g,N_g]x[C_y,C_y], так как такие системы осуществляют

подобное преобразование входных сигналов в виде произведения ВВСФ

^і(х,С_х)^(у,С_у), /,./ = 0,/1, в сигналы вида

с максимальной концентрацией энергии на прямоугольнике [-Т_х,Т_х]х[-Т_у,Т_у].

Здесь Л, и /₇ собственные числа функций y/_t(x,C_x) и ср_}(у,С_у). Следовательно,

для фильтра низких частот, аппроксимирующего контролируемую систему с

весовой функцией

., . SinC_xx SinC у
Кх,у) = —,

лх лу и входном сигнале вида

^К^Хх,С_х)<р^у,С_у),

',7=0

где К_/у, і J = 0, я, постоянные коэффициенты, сигнал на выходе представляется выражением вида

/,;=о

Поэтому задача синтеза двумерного сигнала для системы с распределенными параметрами формулируется в виде

РОССИЙСКИ

ГС-ГіШРСТБЕг

айІШОТЕК.

n,W„j.j-0,N _1J=0

mm_O_l(p₂(x(t,T),w_iiy_t(t)_J(T)) при ограничении

/ \²

00 00 I ft '

dtdr > p

-Г, -T_y \i,j=0 J

,'.7=0

Конкретизации и решения изложенных здесь постановок задач осуществляются в последующих главах.

1.4. Принципы представления результатов идентификации на дисплее ПЭВМ

Известно, что в практике отечественного и зарубежного дизайна информационных панелей и табло отображения результатов цифровой обработки информации для контроля технологических процессов, протекающих в системах различного назначения, широко развивается направление использования дисплейных информационных табло. Такие табло по сравнению с иными техническими решениями обеспечивают оперативное, полное представление результатов цифровой обработки и анализа информации для своевременного и достоверного принятия соответствующих решений операторами органов контроля и управления техническим состоянием систем.

Для непосредственного представления результатов идентификации системы предполагается, что используется цветной монитор ПЭВМ, принтер и информационные модели. С помощью последних на экране цветного монитора в реальном масштабе времени отображаются обобщенные и детальные характеристики текущего состояния системы. К обобщенным характеристикам системы относятся: весовая функция; переходная характеристика; амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики; групповое время запаздывания в системе и показатели контроля состояния системы.

К детальным характеристикам относятся: амплитуда (размах) ИС, длительность ИС, длительность фронта ИС, длительность среза ИС и др. Совокупность обобщенных и детальных характеристик составляют следующие информационные модели:

1. отображения весовой функции;

2. отображения переходной характеристики;

3. отображения амплитудно-частотной характеристики;

4. отображения фазо-частотной характеристики;

5. отображения характеристики группового времени запаздывания;

6. отображения показателей контроля состояния системы.

В общем случае количество информационных моделей, конкретное содержание каждой из них зависит от назначения системы, требований, предъявляемых к ней и физических принципов её функционирования. Так, при контроле каналов

передачи информации используются следующие основные информационные модели [21]:

обобщенная информационная модель установки (смены, снятия) режимов контроля каналов;

информационная модель текущего состояния каналов в установленных режимах контроля;

информационная модель детальной информации по установленной характеристике канала; информационная модель графического изображения оценной характеристики.

Похожие диссертации на Математические методы и алгоритмы обработки информации при идентификации динамических систем

Идентификация параметров интерферометрических систем на основе рекуррентных алгоритмов обработки информацииВоробьева, Елена Александровна

Алгоритмы и методы обработки информации в системах контроля качества процессов крашенияГайнуллин Марат Фаритович

Метод и алгоритмы обработки информации в системе прогнозирования охлаждения агломерата на прямолинейном охладителеВеселов Юрий Владимирович

Метод и алгоритмы обработки информации в системах прогнозирования сложных процессов металлургического производстваХисамутдинов Станислав Николаевич

Метод и алгоритмы обработки информации в системе поддержки принятия решений процесса получения защитной азотно - водородной атмосферы в производстве метизовВишнякова, Ирина Леонидовна

Методы и алгоритмы обработки информации комплексной системы определения параметров железнодорожного путиНиколаев, Дмитрий Валерьевич

Метод и алгоритмы обработки информации в системе прогнозирования качества агломератаВиноградова, Людмила Николаевна

Разработка метода и алгоритмов обработки информации в интегрированной системе тревожной сигнализацииФедоренко, Ирина Владимировна

Метод и алгоритмы обработки информации в моноимпульсной системе мониторинга источников радиоизлученияФилиппов, Роман Николаевич

Методы и алгоритмы обработки информации для автоматизированных систем диагностики электрооборудования электрических станций Котельников Борис Викторович