Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Локально-оптимальное управление с учетом запаздываний по управлению 16
1.1. Постановка задачи 18
1.2. Оптимизация локального критерия для модели объекта с запаздываниями 19
1.3. Построение управления при косвенных наблюдениях 24
1.4. Применение алгоритма локально-оптимального управления к задаче управления запасами при эшелонном расположении складов с учетом дополнительных ограничений 25
1.5. Локально-оптимальное управление запасами для модели оптового и розничных складов с учетом дополнительных ограничений 33
1.6. Выводы по главе 1 39
Глава 2. Локально-оптимальное управление для дискретных объектов с запаздыванием по состоянию 40
2.1. Постановка задачи 41
2.2. Оптимизация локального управления для структуры системы управления по выходу 42
2.3. Исследование асимптотического поведения замкнутой системы управления по выходу 56
2.4. Результаты моделирования
2.4.1. Моделирование системы управления 2-го порядка 65
2.4.2. Задача управления производством и сбытом товара 66
2.5. Выводы по главе 2 72
Глава 3. Управление по наблюдаемому выходу объектами с интервальными неопределенностями с учетом запаздывания
3.1. Постановка задачи 74
3.2. Построение локально-оптимального управления для объекта с запаздыванием по состоянию и с интервальными неопределенностями 75
3.3. Исследование асимптотического поведения замкнутой системы для объекта с запаздыванием по состоянию и с интервальными неопределенностя ми 85
3.4. Результаты моделирования 92
3.5. Выводы по главе 3 97
Глава 4. Динамические локально-оптимальные системы управления по выходу объектами с запаздыванием посостоянию 98
4.1. Постановка задачи 99
4.2. Синтез динамической системы управления по выходу с интервальными неопределенностями 100
4.3. Синтез динамической системы управления по выходу со случайными параметрами 116
4.4. Исследование асимптотического поведения динамической замкнутой системы управления по выходу 122
4.5. Результаты моделирования системы управления объектом с интервальными неопределенностями 130
4.6. Результаты моделирования системы управления объектом со случайными параметрами 133
4.7. Выводы по главе 4 134
Заключение 136
Список сокращений и условных обозначений 139
Список литературы 140
- Оптимизация локального критерия для модели объекта с запаздываниями
- Оптимизация локального управления для структуры системы управления по выходу
- Исследование асимптотического поведения замкнутой системы для объекта с запаздыванием по состоянию и с интервальными неопределенностя
- Исследование асимптотического поведения динамической замкнутой системы управления по выходу
Введение к работе
Актуальность работы. Одним из широко используемых подходов к синтезу систем управления является метод прогнозирующего управления – Model predictive control (MPC). Основным достоинством метода является простота формирования обратной связи, возможность учета ограничений, запаздываний, неопределенностей и реализации процесса управления в реальном времени.
Наряду с методом MPC, при синтезе систем управления так же применяются алгоритмы, в основу которых положена оптимизация локальных критериев. Такие алгоритмы представляют собой частный случай метода MPC и реализуют управление с прогнозом на один такт. Этот подход развивался в работах Г.Л. Дегтярева, И.С. Ризаева, Н.Н. Моисеева, В.И. Зубова, В.И. Смагина, Ю.И. Параева, Г.К. Кельманса, А.С. Позняка, А.В. Черницера, А.И. Рубана и других авторов.
Области использования метода MPC и, соответственно, метода
локально-оптимального управления охватывают задачи управления
техническими системами: B.D.O. Capron, M.T. Uchiyama, C.L. Castillo, W. Moreno, K.P. Valavanis, E. Joelianto, E.M. Sumarjono, A. Liu, L. Yu, W. Zhang и др., производственными системами: A. Seirstad, K. Sydsaeter, М.Ю. Киселева, В.И. Смагин и т.д., управление запасами: Перепелкин Е.А., E. Aggelogiannaki, Ph. Doganis, H. Sarimveis, J.-C. Henneta, P. Conte, P. Pennesi, N. Nandola, D. Rivera, C. Stoica, M. Arahal, K. Subramanian и др., финансовую математику: В.В. Домбровский, Д.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко, B. Piccoli, A. Marigo и другие области.
Синтез управления системами с запаздываниями рассматривается в работах: Х. Гурецкий, Р.Т. Янушевский, А.Н. Клименко, Г.Л. Дегтярев, И.С. Ризаев, А.М. Цыкунов, М.Ю. Приступа, В.И. Смагин, И.Б. Фуртат, M. Bobal, P. Kubalcik, J. Dostal, V. Matejicek, D. Bresch-Pietri, J. Chauvin, N. Petit, P. Conte, P. Pennesi и др.
Учет неопределенностей может быть осуществлен с использованием методов адаптивного управления, с использованием теории нечетких множеств, робастного управления и др. Эти методы описаны в работах И.Б. Фуртата, М.М. Когана, Ю.И. Неймарка, А.А. Воеводы, А.Е. Невского, Ю.Л. Сиека, T-S. Lin, S-W. Chan, L.A. Zadeh, N. Alon, M. Krivelevich, J.H. Spencer, А.А. Воеводы, В.В. Домбровского и др.
Анализ литературы показал, что задачи синтеза систем управления для объектов с запаздываниями остаются актуальными для систем с неопределенными параметрами. Также актуальными для объектов с запаздываниями являются задачи синтеза систем управления по выходу для дискретных систем без использования расширения пространства состояния в случае косвенных наблюдений за вектором состояния.
Цели и задачи исследования. Цель работы состоит в разработке
систем управления дискретными линейными объектами,
функционирующими в условиях ограничений и при неполной информации с учетом запаздываний по состоянию и управлению на основе оптимизации локального критерия.
В рамках сформулированной цели решены следующие задачи:
-
Разработка алгоритма синтеза локально-оптимального управления дискретным объектом со случайными возмущениями, запаздываниями по управлению и состоянию без применения классических приемов расширения пространства состояний;
-
Построение локально-оптимального управления по наблюдаемому выходу для дискретного объекта с интервальными неопределенностями и с запаздыванием по состоянию на основе вероятностного метода;
3. Разработка алгоритма динамического локально-оптимального
управления по наблюдаемому выходу для дискретных систем с
интервальными неопределенностями и случайными параметрами с учетом
запаздывания по состоянию. Для систем с интервальными
неопределенностями разработка алгоритма на основе вероятностного метода;
4. Моделирование систем управления запасами с учетом запаздываний
для различных структур расположения складов. Апробация алгоритмов с
помощью вычислительных экспериментов.
Научная новизна работы заключается в решении задач локально-
оптимального управления системами со многими запаздываниями по
управлению и состоянию без использования метода расширения
пространства состояний. Основная новизна полученных результатов заключается в следующем:
1. Найден локально-оптимальный закон управления дискретными
объектами с учетом многих запаздываний по управлению для случаев
полного и косвенного наблюдения за вектором состояния;
2. Найден локально-оптимальный закон управления по наблюдаемому
выходу для дискретных объектов заданной траектории с запаздыванием по
состоянию в условиях неопределенности описания модели;
3. Разработан закон локально-оптимального управления по
наблюдаемому выходу для дискретных объектов с интервальными
неопределенностями с учетом запаздывания по состоянию на основе
вероятностного метода, в основе которого лежит оптимизация локального
критерия;
4. Осуществлен синтез динамических локально-оптимальных законов
управления дискретными системами со случайными параметрами и
интервальными неопределенностями с учетом запаздываний по состоянию;
5. Решены задачи управления запасами с учетом транспортных
запаздываний, ограничений на грузоподъемность транспортных средств и с
учетом уровней страховых запасов. Для решения предлагаются алгоритмы, в
основе которых лежит оптимизация модифицированного локального критерия и критерия суммарных издержек на скользящем интервале оптимизации. Приведено решение задачи управления производством и сбытом товаров при наличии запаздываний по состоянию и при неполной информации о модели объекта.
Теоретическая значимость работы состоит в развитии теории
локально-оптимального управления дискретными системами с
запаздываниями по состоянию и управлению без предварительного расширения пространства состояний, а так же для систем с неопределенными параметрами.
Практическая значимость работы заключается в возможности использования разработанных и апробированных в рамках диссертационной работы методов и алгоритмов в различных областях (например, логистика, производственные системы и пр.), в которых модели управляемых объектов содержат запаздывания, ограничения, неизвестные параметры и возмущения.
Методология и методы исследования. Для достижения
поставленных в диссертационной работе целей используется аппарат теории управления, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, численные методы и методы имитационного моделирования. Численные расчеты и анализ результатов проводился с помощью компьютерного моделирования.
Достоверность и обоснованность полученных результатов
подтверждается тем, что математические вычисления и доказательства проведены на строгом математическом уровне, а так же результатами численных расчетов, результатами моделирования систем управления объектами управления запасами и приведенными в работе иллюстрациями.
Положения, выносимые на защиту:
1. Решение задачи синтеза локально-оптимального управления
состоянием дискретного объекта со случайными возмущениями, со многими
запаздываниями по управлению;
2. Алгоритмы управления выходом объекта для дискретных систем
при наличии запаздываний по состоянию без использования расширения
пространства состояний;
-
Локально-оптимальный и динамический локально-оптимальный законы управления по наблюдаемому выходу для дискретного объекта с интервальными неопределенностями с учетом запаздывания по состоянию на основе вероятностного метода. Динамический локально-оптимальный закон управления по наблюдаемому выходу для дискретного объекта со случайными параметрами с учетом запаздывания по состоянию;
-
Решение задачи управления запасами для различных структур расположения складов с учетом транспортных задержек, ограничений на грузоподъемность транспортных средств и уровней страховых запасов;
5. Получены асимптотические оценки для критерия,
характеризующего точность слежения систем управления по выходу и динамических систем управления по выходу дискретными объектами с интервальными и случайными параметрами с учетом запаздываний по состоянию.
Апробация результатов. Основные результаты диссертационной
работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии.
Инновации» (г. Новосибирск, 2008); VII, IX, ХI Всероссийская научно-
практическая конференция с международным участием «Информационные
технологии и математическое моделирование» – «ИТММ–2008», «ИТММ–
2010», «ИТММ–2012» (г. Анжеро-Судженск, 2008, 2010, 2012); IX, X
Российские конференции с международным участием «Новые
информационные технологии в исследовании сложных структур»
(пос. Катунь, Алтайский край, 2012, 2014); ХII Всероссийская научно-
практическая конференция с международным участием имени
А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое
моделирование» – «ИТММ–2013» (г. Анжеро-Судженск, 2013); Молодежная
всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество
молодежи. Математика. Информатика» (г. Анжеро-Судженск, 2014); XV
Международная научно-техническая конференция «Измерение, контроль,
информатизация» – «ИКИ–2014» (г. Барнаул, 2014); XIII, XIV
Международная научно-практическая конференция имени А.Ф. Терпугова
«Информационные технологии и математическое моделирование» –
«ИТММ–2014», «ИТММ–2015» (г. Анжеро-Судженск, 2014, 2015).
Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы используются в ООО «Сибирская машиностроительная компания» (г. Томск) в службе материально-технического обеспечения при решении задач управления запасами, а также в учебном процессе на кафедре «Исследования операций» Национального исследовательского Томского государственного университета.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 15 работ. Из них 4 работы опубликованы в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (из них 1 статья в журнале, индексируемом Web of Science).
Личный вклад автора. Постановка задач, представленных в
диссертации, сделана научным руководителем, д.т.н., профессором
Смагиным В.И. Основные теоретические результаты, вычисления, а так же результаты численного моделирования, представленные в диссертации и выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю. В опубликованных
работах основные результаты теоретического исследования и численного моделирования выполнены автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 160 страниц, в том числе 31 рисунок, 3 таблицы; список литературы насчитывает 151 наименования.
Оптимизация локального критерия для модели объекта с запаздываниями
Модель (1.17) может быть представлена в виде (1.3), поэтому для решения задачи управления запасами может быть применен метод, описанный в разделах 1.1, 1.2 главы 1. Из уравнений управлений (1.10) получим векторы оптимальных поставок, подстановкой которых в (1.17) получим вектор состояния склада в текущий момент времени.
Для учета суммарных издержек на хранение запасов на складах, вводится дополнительный критерий, учитывающий издержки на хранение товаров, который оптимизируется на скользящем интервале [k,k]. Оптимизируемый критерий имеет вид: L к KЕ{k) = Y, X VMt)= mm, (1.18) i=\ t=k-Т Z( где Vi - затраты на хранение единицы товара на i-ом складе в единицу времени; Т - длина скользящего интервала оптимизации, z{k) - отслеживаемый вектор (входит в локальный критерий). Отметим, что критерий (1.18) использовался в [69] при решении задачи управления запасами для изолированного склада с одним запаздыванием. В настоящем разделе эта методика применяется для задачи управления запасами со многими запаздываниями.
Учет страхового запаса выполняется с помощью введения дополнительных ограничений. Настраиваться система управления запасами будет при условии, что страховой запас неприкосновенен. Это обеспечивается выполнением следующего неравенства: xk) Xст\k)yke{k,ky = \L, (1.19) где Х{ст\к) - страховой запас i-го склада. Страховой запас может быть определен с использованием методов [67, 68, 70].
На объемы поставок накладываются транспортные ограничения, суть которых заключается в том, что каждая поставка должна быть выполнена с коэффициентом использования грузоподъемности транспортного средства не хуже заданного значения КГ. В логистике допустимым считается, если коэффициент принимает значение 0,8 Г 1. Учет ограничений позволяет исключить поставки малого количества товара, что позволяет сократить транспортные расходы или наоборот, исключает перегруженность транспортных средств, что также может привести к дополнительным затратам. Учет транспортных ограничений может быть выполнен по методике предложенной в работах [69, 70] при решении задачи минимизации общих логистических затрат и расчет поставок с учетом этих ограничений примет вид: [ 0, если u{k.) U\mm\ и(к-т,)=\ и(к-т.), если U\mm) u{k-rt) (max),i = \L, (1-20) f/.(max), если u(k -rt) и(Г \ где u{kI. ) = \ul(kt),...,uL(k-r. )J определяется из решения системы (1.10); Ulmm) = KГUlmilx) - минимально допустимый уровень поставок товаров на i-й склад, в дальнейшем будем обозначать вектором U(mm) = [uimm\...,U m)J); U(max) = — максимально допустимый уровень поставок товаров на i-й склад, Р в дальнейшем будем обозначать вектором /(max)= [c/1(max),...,C/fax)f(Р - вес единицы товара). Поставки, объем которых ниже заданного минимального уровня L mm) являются экономически невыгодными и приводят к дополнительным (max) i транспортным издержкам, а те, объем которых выше заданного уровня U приводят к перегруженности транспортных средств. Рассмотрим пример эшелонной цепи поставок, состоящей из 2-х однономенклатурных складов, т.е. L=2, с задержками поставок г,., і = 1,2, тх = 1, г2 = 2. В этой задаче спрос является возмущением и при моделировании выбирался случайным и генерировался в соответствии с формулой: s(k) = (s + ju{k))+, где 0 - константа, определяющая среднюю величину спроса; ц{к) - некоторая случайная заданная последовательность с характеристиками: М{/и(к)} = 0;М{/и(к)/ит(j)} = ASkj (А 0 заданное число). Модель (1.17) примет вид:
\xx{k +1) = (1 - wjx k) + щ(к-\)- s(k); x2{k + X) = {\-w2)x2{k) + u2{k-2)-ul{k-X).
Требуется осуществить синтез системы управления запасами по управлению так, чтобы издержки на хранение (1.18) были минимальными и при этом обеспечивалась загруженность транспортных средств с коэффициентом использования грузоподъемности не менее заданного значения КГ. Будем также предполагать, что для каждого склада определен страховой запас Хг(ст), который должен оставаться неприкосновенным в условиях нормального функционирования складов (при отсутствии форс-мажорных ситуаций: к таким обстоятельствам относятся возможные задержки поставок товаров и возникновение ажиотажного спроса).
Оптимизация критерия (1.18) производится численно с учетом ограничений (1.19), (1.20) (при L=2) и осуществляется по желаемому запасу (вектору z(k)). Подставив оптимальные векторы z в (1.10), можно построить оптимальные векторы объема поставок м. (к). При этом на каждом шаге пересчитываются значения и(к - г,-) в соответствии с (1.10) и с учетом транспортных ограничений. Отметим, что при решении системы (1.10), прогноз выполняется на скользящем интервале оптимизации. Найденное значение вектора z , минимизирующее критерий (1.18), приводит к минимизации издержек на временном интервале от к - Т до к и обеспечивает загруженность транспортных средств с коэффициентом использования грузоподъемности транспортных средств не менее заданного значения КГ. Определение объема поставок в следующий момент и(к + 1-т,) производится по найденному вектору z , и далее, по аналогии, решается задача минимизации критерия на следующем шаге К (к +1), с учетом всех ограничений (\/кє[к-Т + 1,к + 1]. Вычислив новый вектор z , определяются поставки в момент времени к + 2, и так далее.
При моделировании с использованием метода «скользящего окна» ширина окна Г=8. В качестве исторических данных взяты данные о количестве товара на складах с 0-го по 7-ой такт. В качестве функции, используемой для прогнозирования исследуемой случайной величины взята функция (1.22).
В результате оптимизации определен вектор z , минимизирующий критерий (1.18) с ограничениями (1.20): = (453,2 . 531,4 ) Оптимальные векторы объема поставок и(к) и векторы объема продукции на складах х (к) представлены на графиках. Отметим, что реализация компонент каждого вектора на графике, представлена, начиная с 9 такта. Это обусловлено тем, что предыдущие значения векторов не рассчитывались и были заранее заданными.
Оптимизация локального управления для структуры системы управления по выходу
Рассматривается динамическая модель производства и сбыта товара в условиях рынка c учетом запаздывания. Подобная модель для непрерывного времени без учета запаздывания предложена в работе [7]. Модель описывает производство и продажу на рынке товара повседневного спроса и основана на соотношениях баланса потоков товара у производителя, на рынке и у потребителя, а также дохода от продажи товара. Взаимодействие между производителем и покупателем определяется темпом продаж, который зависит от цены товара, назначаемой производителем, от количества товара у потребителя и непроданного товара на рынке, а так же от коэффициента потребления.
Вектор состояния x(k)состоит из трех компонент: х(к)= v(k) I , (к), (2.58) где z(k)- количество товара на рынке в момент времени к ( = 0,1,2,...); v(k)-количество товара у потребителя в момент времени к; w{k) - прибыль. Математические модели динамики изменения количества товара у потребителя и количества товара на рынке могут быть записаны в следующем виде: z(k +1) = (1 - K)z{k) + и(к) - s(k); z(0) = z0; (2.59) v(k +1) = (1 - k2)v(k) + s(k); v(0) = v0. (2.60) Здесь u{k) - количество товара, выпускаемого в момент времени к (объем выпуска продукции); кх - коэффициент потерь (0 к, 1); к2 - коэффициент потребления купленного товара за 1 такт (0 к2 \); s(k) - количество проданного товара в момент времени к. Рассмотрим два варианта динамики изменения прибыли с учетом запаздываний финансовых потоков: w(k +1) = w(k) + cs(k) - с0и(к) k3z(k - И); w(0) = w0; (2.61) Модель (2.61) соответствует случаю, когда задержки происходят при оплате за хранение товара, например, оплата аренды склада производится до текущего периода. w(k +1) = w(k) + cs(k-И)-с0и(к)-k3z(k); w(0) = w0; (2.62) Случай, когда существуют задержки при поступлении денег производителю за проданный товар. Например, когда перевод денег от покупателя к продавцу осуществляется через банк и требует времени. В уравнениях (2.61), (2.62) къ - стоимость хранения единицы товара за 1 такт времени; с0- себестоимость производства единицы товара; с - стоимость (цена) единицы товара; /z 0 - величина временного запаздывания (целое число). Количество проданного товара в единицу времени s(k) определяется с помощью функции продаж: s(k) = п0е с(\ - v(k)Y-l)z(k), (2.63) где п0 - коэффициент продаж; Y - объем рынка (потенциальный спрос). Предположим, что потенциальный спрос неограничен (7-х»), тогда функция продаж примет вид: s(k) = n0e-cz(k). (2.64) Переменные имеют ограничения s(k) z(k); и(к) 0; и(к) итах; z(k) 0; v(k) 0, где wmax- максимальный объем выпускаемой продукции.
Математическую модель производства и сбыта товара можно представить в виде (2.1). Матрицы динамики А и А\ для данного объекта в случае, когда задержки происходят при оплате хранения товара, как в модели (2.61) имеют вид: (\-kx-nQe c 0 (Г п0е с \-к2 0 ; А А [ сп0е с Матрица В следующая: 0 (Л о 0 0, -къ 0 (2.65) (2.66) В= 0 . V со) Для второго случая, когда существуют задержки при поступлении денег производителю за проданный товар (2.62), матрицы динамики имеют следующий
Для оценки работоспособности алгоритма применен второй подход, который заключается в использовании метода расширения пространства состояний [10] с последующим применением оценивателей компонент расширенного вектора состояния [4, 117]. В этом случае система с запаздыванием вида (2.1) преобразуется к расширенной системе без запаздывания вида:
Вектор локально-оптимального управления для расширенной системы будет иметь вид: и (к) = -(ВТНТСНВ + Оу1ВтНтС(НАЩ) - z(k)\ где вектор х{к) является оценкой вектора х{к) и вычисляется с помощью фильтра Калмана. Отметим, что в случае, когда задержки исходной модели велики, преобразованная модель будет содержать матрицы больших размерностей, что приводит к дополнительным вычислительным затратам. Чтобы избежать чрезмерного увеличения размерностей матриц, которые возникают при синтезе систем с запаздываниями, в настоящей диссертационной работе предложен другой подход, заключающийся в использовании структуры систем управления по выходу, предложенный в разделе 2.2.
Результаты моделирования управления производством и сбытом товаров для разных случаев запаздывания и для двух вариантов построения оптимального управления приведены на графиках ниже. На рисунках 2.4., 2.5., 2.8., 2.9. приведены результаты моделирования с использованием оценивателя в контуре управления, на рисунках 2.6., 2.7., 2.10., 2.11. - по наблюдаемому выходу.
Исследование асимптотического поведения замкнутой системы для объекта с запаздыванием по состоянию и с интервальными неопределенностя
Рассматривается задача динамического локально-оптимального управления по наблюдаемому выходу для дискретных объектов с запаздыванием по состоянию с интервальными неопределенностями [5, 6, 9, 17, 28, 49, 53, 73, 86, 130] и случайными параметрами [16, 71, 85, 92, 102, 104-107, 109, 118, 139]. Для ее решения предлагаются алгоритмы, в основе которых лежит оптимизация локального критерия без использования расширения пространства состояний.
В целях улучшения качества управления объектами применяется практика введения в закон управления наблюдателей Люенбергера [118] или динамической обратной связи пониженной размерности [12, 13, 36].
В настоящей работе для объекта с интервальными неопределенностями предлагается осуществлять синтез следящих динамических систем управления по выходу на основе оптимизации локального критерия при косвенных измерениях на основе вероятностного метода с учетом запаздывания по состоянию.
Для моделей объекта, как с интервальными неопределенностями, так и со случайными параметрами управление определяется как функция измеряемых переменных, динамического звена и отслеживаемого сигнала. Исследуется асимптотическое поведение систем, строятся оценки для асимптотической точности слежения. Результаты работы являются развитием главы 3 и [64] на случай синтеза динамической системы управления по выходу для модели объекта с запаздыванием по состоянию, с интервальными неопределенностями и со случайными параметрами.
Основные результаты главы опубликованы в работе [40, 64, 124]. 4.1. Постановка задачи Пусть управляемый объект с запаздыванием по состоянию описывается разностным уравнением: г г г х(к +1) = (А + YuAii )х(к) + (А + YuAii )x(k -h) + (B + YuBiet )"( )+ ї(к); /=1 /=1 /=1 х(т)=ф);т = -h,1 -h,2-h,...-1; A: = 0,1,2,..., (4.1) модель канала измерений имеет вид: у(к) = Sx(k) + v(k). (4.2)
В (4.1), (4.2) x(k)GR" - вектор состояний; /z 0 - величина временного запаздывания (целое число); u(k)eRm - управление; у(к)єRl- вектор измерений; A,At,A,At,B,Bt,i = 1,J- - матрицы соответствующих размерностей; S - матрица канала наблюдения; матрицы В и S полного ранга; пары матриц (А,В) и ( , В) управляемы; пары матриц (S,A) и (S, ) наблюдаемы; р(т) - заданная детерминированная функция начальных условий на интервале [-Л,1-Л,...,-1], при этом (р(0) = х(0) = х0 - случайный вектор с характеристиками: М{х0}=х0; M\X0XI = Р ; q(k) - гауссовская случайная последовательность входных возмущений (M{q(k)}=0; M{q(k)qT(j)}= Q(k)SkJ; Q(k) = QT(k) 0 неотрицательно определенная матрица); v(k) - гауссовская случайная последовательность ошибок измерений с характеристиками: M{v(k)}=0; M (k)v(j)\=0; M{v(ky(j)}=V(k)SkJ; V(k) = V(k) 0 - неотрицательно определенная матрица; Qt - неопределенные параметры интервального типа. Оптимизируемый локальный критерий представлен следующим образом: I(k) = M{(w(k +1) - z(k))TC(w(k +1) - z(k)) + u(k)Du(k)/Y0k I (4.3) где w(k) = Hx(k) - управляемый выход системы (Я - матрица выхода системы); C = CT 0 и D = Z)T 0 - весовые матрицы; Y0k ={у(0),у(1),...,у(к)}\ z(k) Rn -отслеживаемый вектор, удовлетворяющий уравнению: 100 z(k + 1) = Fz(k) + qz(k); z(0) = z0,k = 0,1,2,.... (4.4) В (4.4) qz(k) - гауссовская случайная последовательность с характеристиками M{qz(k)}= 0;M z(k)q(j)\= 0;M z(k)v(j)\= 0;м{/z(k)qZJ(j)}= Qz(№j; – начальные условия (случайный вектор с характеристиками: M{z0}=z0; M{Z0Z0T}=PZ0; M{Z0XI}=PZ0X0; M{K0Z0T}= P ); F - матрица динамики модели отслеживаемого сигнала. Требуется найти управление объектом (4.1), используя наблюдения (4.2), минимизируя критерий (4.3). Суть вероятностного подхода заключается в том, что неопределенности интервального типа заменяются независимыми случайными последовательностями, с равномерным законом распределения на интервале [-1;1]. Синтез динамической системы управления по выходу с интервальными неопределенностями Динамический закон управления объектом (4.1) при измерениях (4.2) зададим в виде: и(к) = К0 (k)co(k) + К1 (k)y(k) + К2 (k)y(k -h) + K3 (k)z(k) = = К0 (k)co(k) + К1 (k)Sx(k) + К1 (k)v(k) + К2 (k)Sx(k -h) + + K2 (k)v(k -И) + К3 (k)z(k), (4.5) где коэффициенты передачи K0 (k),K1(k),K2 (k),K3(k) подлежат определению, а переменная ю(к) определяется с помощью наблюдателя Люенбергера [118] или динамического звена заданной размерности [12, 13] w(k +1) = А(к)а)(к) + В(к)у(к);й)(0) = 0. (4.6) Здесь w(k)GRp(1 р п),А(к) = (L + МВК0(k)),B(k) = М(ВК1(k) + N). МатрицаМ удовлетворяет уравнению
Исследование асимптотического поведения динамической замкнутой системы управления по выходу
Диссертационная работа посвящена разработке систем локально оптимального управления дискретными линейными объектами с учетом запаздываний в условиях неполной информации о состоянии и параметрах объекта модели без использования концепции расширения пространства состояний. Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:
1) Решена задача управления по локально-оптимальному критерию для дискретного объекта со случайными возмущениями с учетом многих запаздываний по управлению. Предложен алгоритм последовательного решения системы векторных уравнений с запаздываниями по управлению с использованием прогнозов управлений и возмущений. Управление объектом реализуется без расширения пространства состояний модели на основе оптимизации локального критерия. Рассмотрен алгоритм построения управления дискретным объектом с учетом многих запаздываний по управлению при косвенных наблюдениях за вектором состояния. Дано применение результатов главы к решению задачи управления запасами с учетом запаздываний в поставках, транспортных ограничений и дополнительных критериев. Выполнено моделирование систем управления запасами при эшелонном расположении складов и для структуры, состоящей из оптового и розничных складов.
2) Рассмотрена задача локально-оптимального управления дискретными объектами с запаздываниями по состоянию. Предложена методика учета запаздываний, реализованная без расширения пространства состояний, которая заключается в применении процедур параметрического синтеза для закона управления по наблюдаемому выходу. Задача управления выходом решается на основе синтеза локально-оптимальной следящей системы управления линейным объектом при косвенных измерениях. Исследовано асимптотическое поведение системы управления по выходу объектом с учетом запаздывания по состоянию. Построены оценки критерия, определяющего точность слежения. Дано применение результатов главы к моделированию следящих систем управления для различных форм отслеживаемого сигнала и к решению задачи управления производством и сбытом товара с учетом различных запаздываний финансовых потоков в объекте.
3) Описано решение задачи синтеза локально-оптимального управления по наблюдаемому выходу для дискретных объектов с интервальными неопределенностями и с запаздыванием по состоянию. Синтез системы управления осуществляется на основе вероятностного метода и без предварительного расширения пространства состояний. Проведено исследование асимптотического поведения системы с неопределенностями интервального типа с учетом запаздывания по состоянию и получены асимптотические оценки критерия точности слежения. Выполнено моделирование алгоритма локально оптимального управления объектами с интервальными неопределенностями с запаздыванием по состоянию, которое показало, что предложенный алгоритм обладает меньшей чувствительностью к изменению параметров
4) Решена задача динамического локально-оптимального управления по наблюдаемому выходу для дискретных систем с интервальными неопределенностями и со случайными параметрами с учетом запаздывания по состоянию. Решение строится на основе синтеза локально-оптимальной следящей системы управления линейным динамическим объектом при косвенных измерениях и с введением дополнительного динамического звена в закон управления. Синтез динамической системы управления объектом с интервальными неопределенностями осуществляется на основе вероятностного метода. Исследовано асимптотическое поведение динамических систем управления по выходу для объектов со случайными параметрами и интервальными неопределенностями с учетом запаздывания по состоянию. Выполнена апробация алгоритмов с помощью вычислительных экспериментов. Произведено сравнение критерия оценки точности отслеживания. Моделирование алгоритмов локально-оптимального управления с динамическим звеном объектами с учетом запаздывания по состоянию, как с интервальными неопределенностями, так и со случайными параметрами показало, что оптимальная динамическая система управления, построенная по неопределенностям интервального типа и, соответственно, случайным параметрам, с постоянными коэффициентами передачи обладает свойством робастности. Показано, что при введении в систему динамического регулятора усредненные характеристики точности слежения становятся менее чувствительными к изменению параметров.