Содержание к диссертации
Введение 4
Глава 1. Теоретические основы исследования нелинейных
распределённых систем 15
-
Линейные модели распределённых объектов 15
-
Линеаризация нелинейных распределённых систем 17
-
Импульсные переходные функции 18
-
Ряды Фурье по ортогональным системам функций 22
-
Синтез программных управлений тепловыми процессами . 23
-
Классификация нелинейных звеньев и систем 26
-
Использование теории сосредоточенных систем для анализа нелинейных распределённых систем 28
-
Математическая модель пространственно-одномерного объекта 35
-
Метод фазовой плоскости при анализе нелинейных систем 39
Глава 2. Описание релейной распределённой системы управления
на основе аналитических решений 46
-
Распределение температуры в результате действия мгновенного точечного источника 46
-
Исследование процесса формирования температурного поля при нескольких управляющих воздействиях 51
-
Формирование функции начального нагрева под действием равномерно распределённых источников 56
2.4. Расчёт времени первого включения управляющего воздействия 64
Глава 3. Исследование влияния параметров дискретизации
распределённых управляющих воздействий на процесс
регулирования 67
3.1. Оценка погрешности регулирования в зависимости от шага
дискретизации 67
-
Методика оценки влияния параметров дискретизации распределённых управляющих воздействий на процесс регулирования 76
-
Исследование фазовых траекторий распределённой системы 85
-
Обобщение результатов на класс систем с распределёнными параметрами 87
Глава 4. Решение практических задач 91
4.1. Система управления температурным полем нагревательной камеры
для процесса вытяжки световодов 91
-
Описание процесса вытяжки световодов 91
-
Математическая модель нагревательной камеры 93
-
Конструктивные и теплофизические параметры камеры 96
-
Управление по релейному принципу 96
4.2. Система управления температурным полем камеры спекания световодов.. 105
-
Описание объекта управления 105
-
Конструктивные и геометрические параметры камеры 106
-
Управление по релейному принципу 107
4.3. Фазовый портрет нелинейной распределённой системы 115
Заключение 117
Библиографический список использованной литературы 118
Приложения 133
Введение к работе
Актуальность и постановка проблемы исследования
Управление системами с распределёнными параметрами - это чрезвычайно обширная и труднообозримая часть кибернетики - науки об управлении, информации и системах. С развитием науки и техники потребность в изучении этой дисциплины постоянно возрастает. Для получения надлежащего уровня точности и адекватности, многие объекты в природе и в обществе следует рассматривать как объекты с распределёнными параметрами. Электромагнитные поля, теплопроводность и диффузия, аэродинамика и гидродинамика, упругость и пластичность, квантовая физика, экономика и демография и многое другое — всё это объекты и системы с распределёнными параметрами.
Современное состояние и перспективы развития прикладной теории управления анализируются в работах [51,61,69-71,116,117].
Классические результаты теории автоматического управления, получены применительно к системам с сосредоточенными параметрами. Их поведение однозначно характеризуется изменением во времени управляемых величин и описывается соответствующими системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Но практически все реальные объекты управления характеризуются определённой пространственной протяжённостью. Поэтому управляемые величины зависят не только от времени, но и от их распределенности по пространственной области, занимаемой объектом. Изменение управляемых величин, как во времени, так и в пространстве описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями или системами уравнений самой различной природы. В нашей стране и за рубежом более сорока лет развивается теория управления системами с распределёнными параметрами, начиная с основополагающих работ профессора А.Г. Бутковского [11-21]. Становление этой теории характеризуется использованием сложного и нетрадиционного для классической теории автоматического управления математического аппарата.
5 Задача реализации систем управления объектами с распределёнными параметрами резко усложняется по сравнению с системами с сосредоточенными параметрами. Это происходит как за счёт необходимости осуществления пространственно-распределённого контроля состояния объекта в целях наблюдения за результатами процесса управления и использования соответствующих сигналов обратных связей, так и за счёт необходимости построения регуляторов с пространственно-распределёнными управляющими воздействиями. По сравнению с системами с сосредоточенными параметрами принципиально расширяется класс управляющих воздействий, прежде всего за счёт возможности включения в их число пространственно-временных управлений, описываемых функциями нескольких аргументов - времени и пространственных координат. Применительно к таким воздействиям становится непригодной стандартная техника исследования систем с сосредоточенными параметрами. Особенности систем с распределёнными параметрами требуют создания нового аппарата для их анализа и синтеза на базе нетрадиционных для теории управления математических средств.
Большинство результатов полученных в теории систем с распределёнными параметрами относятся к линейным системам [3,10,23,84,122]. Реальные системы автоматического управления не являются чисто линейными, и в ряде случаев их поведение не может быть даже приближённо описано линейными дифференциальными уравнениями, т.е. не могут быть представлены как линеаризованные. Нелинейная автоматическая система содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. Это уравнения, в которые некоторые координаты или их производные входят в виде произведений или степени, отличной от первой, или же их коэффициенты являются функциями некоторых координат или их производных. Применение методов разработанных для линейных систем управления, для нелинейных систем общего вида невозможно. Это относится даже к системам с сосредоточенными параметрами. Среди нелинейных систем, для которых разработанный аппарат применим с незначительными изменениями, можно выделить класс систем управления с одним нелинейным элементом. Основные задачи исследования нелинейных автоматических систем сводятся к отысканию возможных состояний равновесия системы и исследованию их устойчивости, определению периодических движений, исследованию процессов перехода системы к тому или иному установившемуся состоянию при различных начальных отклонениях. Все нелинейные звенья можно разделить на аналитические и неаналитические (характеристика описывается с указанием логических условий - неоднозначные, релейные и др.). Из-за нелинейности характеристик выходная переменная не будет пропорциональна входной переменной, поэтому форма реакции системы на скачкообразный сигнал будет зависеть от величины этого сигнала. Для некоторых нелинейных систем изменение входного сигнала может привести к превращению устойчивого переходного процесса к неустойчивому и наоборот. Особенностью динамики нелинейных систем является то, что при затухающих колебаниях переходного процесса происходит изменение периода колебаний. Исследование нелинейных систем связано с преодолением значительных математических трудностей, т.к. не существует единого точного метода решения нелинейных уравнений и при исследовании различных нелинейных систем приходится изыскивать особый частный метод [25,26,32,42,54,83,140].
Специфической особенностью релейных систем является то, что форма выходной переменной релейного элемента не зависит от формы его входной переменной. В этих системах управляющее воздействие, прикладываемое к исполнительному устройству или к регулирующему органу, изменяется скачком всякий раз, когда управляющий сигнал на входе релейного элемента проходит через некоторые пороговые значения.
Состояние проблемы исследования
В литературе известен ряд методов синтеза регуляторов для объектов с распределёнными параметрами: аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР); параметрический синтез регуляторов; конечномерная аппроксимация систем с распределёнными параметрами и решение задачи синтеза регуляторов методами, используемыми в сосредоточенных системах; синтез систем управления с подвижным воздействием; частотный метод синтеза.
Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов для систем с распределёнными параметрами основывается на принципе оптимальности Беллмана и принципе максимума Понтрягина. Общим вопросам АКОР для систем с распределёнными параметрами посвящены работы [123-127,28,29,35,36]. В работах [124,36] дан вывод интегро-дифференциального уравнения типа Риккати при квадратичном критерии качества. При этом полагается, что объект описывается системой линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Граничные условия считаются однородными и нулевыми. Вывод интегро-дифференциального уравнения типа Риккати для стохастических систем при неполном измерении функции состояния системы приведён в [123]. Уравнение типа Риккати, полученное в [127] представляет систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. В [135,139] рассматривается решение задачи АКОР для систем с распределёнными параметрами, когда существует полная биортогональная система собственных вектор-функций. В частных случаях решения задач синтеза для теплового процесса [125,107,108], гидродинамических процессов [85,88], задачи синтеза регуляторов, минимизирующих напряжение в упругих конструкциях [127], полученные уравнения типа Риккати решаются методом последовательных приближений. В задаче синтеза системы управления проводником в магнитном поле [132,134] уравнение типа Риккати решается с использованием аппарата Фурье. Решение задач синтеза оптимальных регуляторов для объектов с запаздыванием рассмотрено в [43,52]. Для выработки управляющего воздействия регулятором, синтезированным по методу АКОР, необходимо знать состояние объекта управления, а измерению, как правило, доступно состояние ограниченного числа точек распределённых объектов,
8 поэтому возникает задача восстановления функции состояния объекта, или задача наблюдения по результатам измерений. Определение наблюдаемости для систем с распределёнными параметрами является развитием концепции наблюдаемости сосредоточенных систем предложенной Калманом. Оно заключается в требовании возможности восстановления начального состояния системы на некотором временном интервале в некоторой конечной пространственной области [5,104,143,145,149,151,152]. Задача оценивания состояния распределённых систем методом наименьших квадратов рассмотрена в [146]. В [30] предложены алгоритмы оценки системы с распределёнными параметрами методом наименьших квадратов. Работы [29,148] посвящены построению фильтра Калмана для систем с распределёнными параметрами. В [130,147,150] рассмотрены вопросы построения оптимальных фильтров для дискретных распределённых систем. Обобщение результатов исследований по фильтрации случайных полей в предположении, что наблюдаемый сигнал является некоторым линейным оператором, дано в работе [29]. Вопросы оптимального размещения датчиков для измерения состояния распределенных объектов рассмотрены в [144]. Таким образом, основным препятствием на пути применения АКОР является трудность решения интегро-дифференциальных уравнений типа Риккати. Даже если удалось построить решение интегро-дифференциального уравнения на основе собственных вектор-функций, остаётся неясным, как аппроксимировать конечным образом бесконечную систему дифференциальных уравнений, к решению которой сводится решение уравнения типа Риккати. Следует также отметить трудность выбора весовых функций функционала оптимизации и сложность решения задачи наблюдения.
Одно из направлений параметрического синтеза регуляторов базируется на использовании структурной теории, в которой введено понятие распределённых блоков [6-8,12-14,136,141]. Описание распределённых блоков даётся импульсной переходной функцией (функцией Грина)[45-50]. В [14] приведены импульсные переходные функции для различных физических процессов, описываемых уравнениями в частных производных. Для описания сложных взаимосвязанных
9 систем с распределёнными параметрами в [6,7] определены операции соединения отдельных блоков, а также выводится передаточная функция замкнутой распределённой системы. Ввод передаточных функций для неоднородных систем приведён в [8]. Для решения задачи параметрического синтеза создают компьютерную модель системы управления и выбирают параметры регулятора. Данное направление развивается в работах [112,114,115,118].
Конечномерная аппроксимация распределённых систем базируется на использовании конечномерных представлений частных производных на основе метода «сеток» и «прямых», а так же с использованием рядов Тейлора [31,33,34,132,144]. В [34] приведено решение задачи управления объектами, описываемьши уравнениями параболического типа, при этом используется конечная аппроксимация на основе метода «прямых». Однако, во многих задачах процесс аппроксимации является неустойчивым относительно погрешностей промежуточных вычислений, и иногда весьма сложно доказать сходимость конечномерных аппроксимаций [72,102]. Широкую известность в исследовании систем с распределёнными параметрами получил метод модального управления, в котором используется разложение входного воздействия в ряды по собственным функциям оператора объекта [13,109]. При использовании этого метода задача синтеза распределяется на ряд подзадач синтеза по каждой моде, причём число мод выбирается, как правило, конечным. Решение ряда технических задач, в которых используется аппарат модального управления, приведено в [27,76,121]. Одной из разновидностей модального управления является спектральный метод. Используя понятие обобщённой функции спектральных характеристик, в [52,53] разработана процедура перехода от уравнений в частных производных к системе уравнений в форме Коши. При этом если управляющее воздействие распределено по некоторой граничной области, то, используя дельта-функции, оно переносится в основное уравнение, описывающее распределённый объект.
Для систем с подвижным воздействием разработаны специальные методы анализа и синтеза [20,73,110,111]. Основной технической трудностью в
10 построении таких систем управления является трудность создания высокоскоростных источников воздействия любой физической природы.
Частотный метод синтеза регуляторов является основным рабочим инструментом при проектировании сосредоточенных систем с одним входом и одним выходом. При этом основные результаты, полученные в сосредоточенных системах, могут быть обобщены на системы с распределёнными параметрами. Для одномерных сосредоточенных систем управления решена задача обеспечения устойчивости и точности в установившемся режиме. Установлена аналитическая зависимость между переходной функцией и частотной характеристикой системы [23,24]. Разработаны приближённые методы оценки времени регулирования и перерегулирования по вещественным частотным характеристикам [2,10]. Применение частотного метода синтеза для многомерных сосредоточенных систем рассмотрено в [1,120,145]. Основная трудность применения частотного метода синтеза для многомерных сосредоточенных систем связана с необходимостью приведения системы управления к такому виду, когда взаимодействие между контурами можно не учитывать и рассматривать систему в виде совокупности независимых одномерных сосредоточенных систем. Для объектов, описываемых уравнениями в частных производных, зависящих от одной пространственной координаты в [23] получены их передаточные функции. Они представляются отношениями иррациональных или трансцендентных функций, зависящих от физических свойств объекта и краевых условий. Аналогичные передаточные функции получены в [89,91-99] для объектов, описываемых уравнениями в частных производных с разделяющимися переменными.
Исследование нелинейных распределённых систем управления проводится в работах [77,78,82,86].
Нелинейные алгоритмы управления рассматриваются в [37,38,55-57,133]. Наряду с рядом преимуществ по сравнению с линейными алгоритмами (точность регулирования, снижение перерегулирования, уменьшение времени регулирования, расширение области устойчивости), реализация нелинейных алгоритмов значительно сложнее. Они менее универсальны, часто индивидуальны, их трудно унифицировать. Более развитые модификации нелинейных алгоритмов применяют в интеллектуальных системах управления, в виде алгоритмов с нечёткой логикой управления.
Теория нечётких (размытых) множеств была впервые предложена американским математиком Лотфи Заде и предназначалась для преодоления трудностей представлений неточных понятий, анализа и моделирования систем, которых участвует человек [41]. Для обращения с неточно известными величинами обычно применяется аппарат теории вероятностей. Однако случайность связана с неопределённостью, касающейся принадлежности некоторого объекта к обычному множеству. Это различие между нечёткостью и случайностью приводит к тому, что математические методы нечётких множеств совершенно не похожи на методы теории вероятностей. Подход на основе теории нечётких множеств является одной из альтернатив общепринятым количественным методам анализа систем. Он имеет три основные отличительные черты [4]: вместо или в дополнение к числовым переменным используются нечёткие величины и так называемые «лингвистические» переменные; простые отношения между переменными описываются с помощью нечётких высказываний; сложные отношения описываются нечёткими алгоритмами.
Такой подход даёт приближённые, но в то же время эффективные способы описания поведения систем, настолько сложных и плохо определённых, что они не поддаются точному математическому анализу. Применение нечётких логических регуляторов рассматривается в работах [9,39,40,67,68,87,106,142].
В настоящее время в связи с проблемой моделирования нелинейных динамических систем получила развитие синергетическая концепция управления [61-63]. Синергетический подход базируется на принципах направленной самоорганизации нелинейных динамических систем, он выделяется ярко выраженным физическим содержанием процессов управления. На основе
12 синергетической теории управления, развитой в работах профессора ф Колесникова А.А. осуществлён прорыв в проблеме синтеза систем управления широким классом нелинейных многомерных многосвязных объектов, что позволило на базе концепции инвариантных многообразий разработать общую теорию и методы АКАР - аналитического конструирования агрегированных регуляторов. Синергетическая концепция управления развивается в работах [58-60,64,66,105,128,129,138].
Предметом исследования в данной работе являются нелинейные системы управления с распределёнными параметрами. «Г
Объект исследования - влияние параметров дискретизации управляющих воздействий на системы управления с распределёнными параметрами.
Целью работы является исследование нелинейных систем управления с распределёнными параметрами, при реализации дискретных управляющих воздействий.
В соответствии с целью, объектом и предметом исследования намечено решить следующие задаче:
Проанализировать состояние проблемы исследования.
Исследовать возможные формы построения математической модели объекта.
Разработать методику оценки влияния размеров дискретизации управляющих воздействий (при их реализации) на параметры переходных процессов нелинейных распределённых систем управления. ~ Цель и задачи исследования обусловили совокупность методов исследования: - Теоретический анализ литературы по проблеме исследования.
Использование аналитических методов теплопроводности твёрдых тел.
Компьютерное моделирование исследуемого процесса.
Проведение практических экспериментов.
Научная новизна н теоретическая значимость исследования:
Исследовано влияние шага дискретизации распределённых управляющих воздействий на параметры регулирования.
Разработана методика выбора параметров дискретизации управляющих воздействий в зависимости от точности решения поставленной задачи.
Исследован фазовый «портрет» нелинейной распределённой системы.
Практическая значимость и реализация работы:
Разработана методика оценки влияния шагов дискретизации распределённых управляющих воздействий на точность регулирования. По сути, эта методика позволяет выбрать геометрические параметры размеров секции нагревателя (при исследовании тепловых процессов) исходя из требуемой точности регулирования.
Указанная методика внедрена в учебный процесс Пятигорского государственного технологического университета по специальности 200100 -управление и информатика в технических системах (используется в лабораторных работах, курсовом и дипломном проектировании).
На защиту выносятся следующие положения:
Оценка влияния шагов дискретизации распределённых управляющих воздействий на параметры регулирования.
Методика выбора параметров дискретизации управляющих воздействий в зависимости от точности решения поставленной задачи.
Методика построения и исследование фазовых «портретов» нелинейных систем с распределёнными параметрами.
Решение практических задач оценки влияния шага дискретизации на параметры переходного "процесса.
14 Апробация работы: ф Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции «Управление и информационные технологии» (Пятигорск — 2004); Всероссийской научно-практической конференции «Корпоративное управление в Российской Федерации» (Кисловодск - 2003); Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука -Северо-Кавказскому региону» (Ставрополь - 2003).
Структура и объём работы:
Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы Щ включающего 152 наименования, 7 приложений. Содержание работы изложено на 153 страницах, содержит 38 рисунков и 8 таблиц.
