Идентификация моделей погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции методами нелинейной фильтрации Моторин Андрей Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Анализ традиционно применяемых методов и алгоритмов идентификации модели погрешностей 12

1.1 Модели погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции, методы их описания и суть задачи идентификации 12

1.2 Идентификация с использованием корреляционной функции 20

1.3 Идентификация с использованием спектральной плотности 25

1.4 Идентификация с использованием вариации Аллана 32

Выводы по главе 39

Глава 2 Постановка задачи идентификации модели погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции в рамках байесовского подхода и ее общее решение с использованием методов нелинейной фильтрации 41

2.1 Модель погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции в пространстве состояния 41

2.2 Постановка и решение задачи идентификации модели погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции в рамках байесовского подхода 46

2.3 Процедура расчета показателей, количественно определяющих качество решения задачи идентификации 57

Выводы по главе 60

Глава 3 Исследование эффективности предложенного и традиционно применяемых алгоритмов 62

3.1 Решение задачи идентификации типовых моделей погрешностей с использованием предложенного алгоритма 62

3.2 Оценка качества решения задачи идентификации типовых моделей погрешностей с использованием предложенного алгоритма 67

3.3 Сравнительная оценка эффективности предложенного и традиционно применяемых алгоритмов идентификации моделей погрешностей 72

3.4 Оценивание постоянной составляющей погрешностей 78

Выводы по главе 82

Глава 4 Апробация предложенного алгоритма на реальных данных 84

4.1 Решение задачи идентификации модели погрешностей инерциальных датчиков 84

4.2 Решение задачи идентификации модели суммарных погрешностей карты и измерителя поля 94

4.3 Адаптивный алгоритм оценивания аномалии силы тяжести 98

Выводы по главе 110

Заключение 111

Список сокращений 114

Список литературы

• Идентификация с использованием корреляционной функции
• Постановка и решение задачи идентификации модели погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции в рамках байесовского подхода
• Оценка качества решения задачи идентификации типовых моделей погрешностей с использованием предложенного алгоритма
• Решение задачи идентификации модели суммарных погрешностей карты и измерителя поля

Введение к работе

Актуальность темы диссертации. В настоящее время при создании
навигационных систем, как правило, предполагается использование

информации от множества датчиков и средств коррекции, что позволяет существенно повысить точность и надежность разрабатываемых систем. Для совместной обработки поступающей навигационной информации в таких системах широкое применение получили алгоритмы стохастической фильтрации, в частности фильтр Калмана и различные его модификации, а также алгоритмы, основанные на методах Монте-Карло и позволяющие учесть нелинейный характер задачи. Построение алгоритмов стохастической фильтрации опирается на предположение о случайном характере погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции, что, в свою очередь, требует задания их моделей в виде случайных процессов или последовательностей. Для получения этих моделей в настоящее время обычно применяются методы, базирующиеся на предположении о стационарном и эргодическом характере погрешностей, что позволяет с использованием их реализаций получать выборочные характеристики в виде оценок спектральной плотности (СП) или корреляционной функции (КФ). В последнее время широкое распространение получил также метод вариации Аллана (ВА), который может быть использован и для некоторых нестационарных процессов. Общими недостатками таких методов являются: отсутствие формализованной постановки задачи выбора структуры модели погрешностей, требование использования достаточно длительных реализаций погрешностей и трудности расчета характеристик точности вырабатываемых оценок параметров моделей.

Таким образом, задача совершенствования методов идентификации моделей погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции, которой посвящена настоящая работа, является актуальной.

Степень разработанности темы диссертации. Модель погрешностей
навигационных датчиков и средств коррекции в соответствии с

отечественными и зарубежными стандартами, как правило, включает в себя систематическую, или закономерно изменяющуюся, составляющую и случайную составляющую, которые оцениваются отдельно и с применением различных методов. Для получения оценок параметров, описывающих свойства систематических составляющих, применяется аппроксимация на основе метода наименьших квадратов. Для определения свойств случайных составляющих погрешностей используются такие характеристики, как среднеквадратическое отклонение (СКО), КФ и СП, а в зарубежных стандартах – ВА. При этом требования к методам их оценивания часто носят рекомендательный характер и заключаются в аппроксимации выборочных характеристик, полученных по реализации погрешности, функциями известного вида.

Однако для применения в современных навигационных системах, полезным представляется изначально описывать погрешность датчика в виде стохастической динамической модели с неизвестной структурой и неопределёнными параметрами. В этом случае задачу идентификации

возможно сформулировать в рамках байесовского подхода и рассматривать её как совместную задачу распознавания гипотез о структуре такой модели и оценивания её параметров.

Накопленный опыт решения подобных задач в приложениях: траекторного и визуального слежения, определения маневра цели, определения дороги, по которой двигается автомобиль, разрешения неоднозначности спутниковых фазовых измерений, контроля целостности и диагностики навигационных систем, и других – позволяет рассматривать возможность применения методов байесовской нелинейной фильтрации для построения алгоритмов решения задачи идентификации моделей погрешностей навигационных датчиков и средств их коррекции, что является расширением области применения таких методов.

Целью диссертации является разработка и апробация алгоритмов идентификации моделей погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции в рамках байесовского подхода с использованием методов нелинейной фильтрации. Для её достижения были решены следующие

основные задачи:

1. Разработана модель погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции, основанная на их описании с помощью набора формирующих фильтров, заданных в пространстве состояний с точностью до неизвестных параметров.

2. Сформулирована постановка задачи и разработан алгоритм идентификации моделей погрешностей в рамках байесовского подхода с использованием методов нелинейной фильтрации.

3. Разработана процедура расчета показателей, количественно характеризующих качество решения задачи идентификации в среднем. С её использованием проведены анализ точности и сопоставление предложенного алгоритма и алгоритмов, традиционно применяемых при решении задач идентификации.

4. Проведена апробация алгоритма на реальных данных в задачах идентификации моделей погрешностей инерциальных датчиков, суммарных погрешностей карт и измерителей геофизических полей Земли.

5. Разработан адаптивный алгоритм оценивания аномалии силы тяжести, актуальный в условиях неточно известных моделей аномалии и погрешностей используемых измерений.

Положения, выносимые на защиту:

6. Модель погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции, основанная на их описании с помощью набора формирующих фильтров, позволяющая проводить совместную идентификацию всех составляющих погрешностей.

7. Алгоритм идентификации предложенной модели погрешностей, предусматривающий решение задачи на произвольном интервале времени и выработку показателей, количественно характеризующих качество решения для текущего набора измерений.

3. Процедура вычисления показателей, количественно характеризующих качество решения задачи идентификации в среднем, создающая предпосылки для объективного анализа точности решения задачи идентификации с использованием различных алгоритмов.

4. Адаптивный алгоритм оценивания аномалии силы тяжести, позволяющий повысить точность оценивания в условиях наличия неопределённостей в моделях аномалии и погрешностей используемых измерений.

Научная новизна:

1. Предложена модель погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции, отличающаяся от существующих представлением погрешностей в пространстве состояний с помощью набора формирующих фильтров и создающая основу для решения широкого класса возникающих на практике задач идентификации всех составляющих погрешностей в рамках единой постановки.

2. Разработан оригинальный алгоритм решения задачи идентификации предложенной модели погрешностей, отличающийся от традиционно применяемых возможностью определения структуры и вычисления оценок параметров модели на произвольном интервале времени, а также возможностью получения показателей, количественно характеризующих качество решения задачи для текущего набора измерений.

3. Разработана процедура вычисления показателей, количественно характеризующих качество решения задачи идентификации в среднем. Получение таких показателей открывает новые возможности для объективного исследования эффективности решения в зависимости от исходных данных, а также для анализа точности решения субоптимальных алгоритмов.

4. Разработан новый адаптивный алгоритм оценивания аномалии силы тяжести с борта летательного аппарата, реализующий режим фильтрации и сглаживания. Алгоритм обеспечивает повышение точности оценивания и сокращение переходного процесса в условиях неточно известных моделей аномалии и погрешностей используемых измерений.

Теоретическая и практическая значимость:

5. Предложенные модель и алгоритм позволяют с единых позиций рассматривать и решать задачи идентификации всех составляющих погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции, а также получать адекватные количественные характеристики качества решения таких задач.

6. Разработанный адаптивный алгоритм обеспечивает решение задачи оценивания аномалии силы тяжести при наличии структурных и параметрических неопределённостей в модели аномалии и её погрешностях.

7. Результаты работы вошли в отчеты по НИР «Исследование путей построения сверхвысокоточных криогенных гироскопов, акселерометров и инерциальных навигационных систем», шифр «Крио-6-1-3», и грантам РФФИ № 11-08-00372-а, № 14-08-00347-а и РНФ № 14-29-00160.

8. Предложенный алгоритм идентификации погрешностей использован при определении модели суммарных погрешностей карты и измерителя геофизических полей при выполнении ОКР "Разработка малогабаритного

аэроморского гравиметра нового поколения", шифр "Шельф-Э" (АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2015 г.).

5. Разработанный адаптивный алгоритм оценивания аномалии силы тяжести использован при обработке результатов аэрогравиметрических съемок в АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», что позволило повысить точность оценивания и уменьшить время, затрачиваемое на обработку данных.

6. Создана и внедрена в учебный процесс на базовой кафедре Информационно-навигационных систем (ИНС) Университета ИТМО лабораторно-практическая работа для изучения алгоритмов идентификации погрешностей датчиков и средств коррекции в задачах обработки навигационной информации.

Методология и методы исследований.

В работе использовался аппарат теории вероятностей и математической статистики, теории линейной и нелинейной оптимальной фильтрации, матричной алгебры, для получения ряда результатов применялись методы математического моделирования.

Степень достоверности, апробация работы и публикации.

Материалы работы докладывались на российских и международных
конференциях: Санкт-Петербургской международной конференции по

интегрированным навигационным системам (в 2014, 2015 гг.), Санкт-Петербург, Россия; конференциях молодых ученых с международным участием «Навигация и управление движением» (2014, 2015, 2016 гг.), Санкт-Петербург, Россия; Всероссийской научной конференции по проблемам управления в технических системах (2015 г.), Санкт-Петербург, Россия; 8-й Всероссийской мультиконференции по проблемам управления (2015 г.), с. Дивноморское, Россия; конференциях памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов Н. Н. Острякова (2014, 2016 гг.), Санкт-Петербург, Россия; IEEE International Conference on Multisensor Fusion and Integration (2015 г.), Сан-Диего, США; 1st Conference on Modeling, Identification and Control of Nonlinear Systems, MICNON-2015 (2015 г.), Санкт-Петербург, Россия; 4th IAG Symposium on Terrestrial Gravimetry: Static and Mobile Measurements (2016 г.), Санкт-Петербург, Россия; China International Conference on Inertial Technology and Navigation (2016 г.), Пекин, Китай; The 20th World Congress of the International Federation of Automatic Control (2017 г.), Тулуза, Франция. Результаты работы вошли в монографию: «Современные методы и средства измерения параметров гравитационного поля Земли» (2017 г.), под общей ред. В.Г. Пешехонова; науч. редактор О.А. Степанов.

Всего непосредственно по материалам диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 3 статьи в научно-технических журналах, рекомендуемых ВАК, и 12 публикаций в изданиях, индексируемых в международных базах данных Web of Science или Scopus.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 134 страницы, в тексте имеется 62 рисунка, 3 таблицы, список литературы содержит 163 наименования.

Идентификация с использованием корреляционной функции

Это соотношение выполняется и для некоторых нестационарных процессов, если вместо S (со) подставить соответствующие условные СП [95, 119].

Наиболее часто при описании флуктуционной составляющей погрешностей навигационных датчиков используются такие случайные процессы как винеровский процесс, экспоненциально-коррелированный марковский процесс первого порядка и узкополосный марковский процесс второго порядка [2, 31, 60, 61, 69, 74, 80, 84]. В ряде случаев применяются так называемые фликкер шум и шум квантования с условными СП вида у и со, соответственно [95, 118, 119]. 1со Под высокочастотной составляющей модели погрешностей в (1.1.1) будем понимать случайный процесс, представленный белым шумом, для которого также могут быть определены все вышеперечисленные характеристики.

Статистические характеристики упомянутых выше часто используемых для описания погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции процессов, приведены в таблице 1.1. Такие процессы далее будем называть типовыми.

Фиксированную совокупность составляющих вида (1.1.1), описывающих погрешности датчика или средств коррекции, в дальнейшем будем назвать структурой модели погрешностей.

Суть рассматриваемой далее в работе задачи идентификации заключается в выявлении структуры модели погрешностей, то есть определении ее состава в виде набора типовых процессов, и оценивании неизвестных параметров, конкретизирующих соответствующие им статистические характеристики.

Например, при нулевом входном воздействии модель погрешностей инерциального датчика нередко представляется в следующем виде [2, 87, 120]: у - не изменяющаяся во времени систематическая (постоянная) погрешность, обычно называемая смещением нуля и описываемая в виде случайной константы с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2у [80]; y(t) флуктуационная составляющая, для которой используется термин «дрейф нуля в пуске», обычно описываемая винеровским или экспоненциально-коррелированным процессами; v(t) - белый шум с фиксированной интенсивностью. В этом случае задача идентификации модели погрешностей сводится к определению типа процесса y(t), описывающего флуктуационную составляющую, оцениванию постоянной составляющей у, величины, определяющей интенсивность белого шума v(7), а также к оцениванию параметров выбранной статистической характеристики, описывающей процесс y(t), то есть оцениванию интенсивности белого шума, порождающего винеровский процесс, либо среднеквадратического отклонения (СКО) и интервала корреляции экспоненциально-коррелированного марковского процесса первого порядка. Как правило, оценивание модели осуществляется по дискретной последовательности измерений погрешностей у( ) = у, i = 1...N, которая считается стохастически эквивалентной процессу y(t) [80, 114].

Традиционно при решении задачи идентификации модели погрешностей выделяется две подзадачи: сначала определяются параметры квазидетерминированной составляющей, после чего она исключается из погрешности, и лишь затем - определяются структура и параметры флуктуационной составляющей погрешности и оценивается интенсивность белого шума [14, 119].

Алгоритм, используемый для определения квазидетерминированной составляющей, удобно пояснить, полагая, что она представляет собой полином фиксированного порядка. В этом случае необходимо решить линейную задачу оценивания неизвестных коэффициентов такого полинома. Алгоритм вычисления этих коэффициентов легко получить, используя обычный метод наименьших квадратов (МНК), в предположении, что две другие составляющие модели погрешностей y(t) и v(t) трактуются как «погрешности измерения» значений этого полинома [14, 119]. Именно так и поступают, как правило, при идентификации погрешностей навигационных датчиков. Этот этап обычно называют этапом калибровки приборов [62]. В случае когда квазидетерминированная составляющая может быть представлена постоянной систематической ошибкой, такой алгоритм сводится к обычному осреднению значений y(tl) = yi [14, 16]. Субоптимальный характер этого алгоритма проявляется в том, что в обычном МНК не учитывается действительный характер корреляционной матрицы «погрешностей измерения». Возможные, вообще говоря, незначительные потери в точности при использовании такой процедуры иллюстрируются далее на примере в разделе 3.4. Основные же недостатки традиционно применяемых методов идентификации связаны с теми процедурами и алгоритмами, которые используются при идентификации типа процесса и определении параметров, конкретизирующих флуктуационную составляющую погрешности. Такие процедуры и алгоритмы основаны на построении выборочных статистических характеристик и, как правило, включают в себя три основных этапа [58]: 1) построение выборочной статистической характеристики модели погрешностей (оценки статистической характеристики) по дискретной реализации погрешностей y(t) = у.; 2) определение структуры модели, то есть выбор (распознавание) функций статистических характеристик типовых процессов или их комбинаций, соответствующих выборочной характеристике и заданных с точностью до неизвестных параметров; 3) оценивание неизвестных параметров выбранных функций статистических характеристик.

Постановка и решение задачи идентификации модели погрешностей навигационных датчиков и средств коррекции в рамках байесовского подхода

Сформулируем теперь постановку задачи, которая будет основана на описании погрешностей в виде набора ФФ, заданных в пространстве состояний с точностью до неизвестных параметров. При этом будем руководствоваться тем фактом, что измерения, как правило, представляются в виде случайной последовательности Y. = ух ... у. , а модель (2.1.12), (2.1.13) может быть легко приведена к дискретному виду. В соответствии с этим предположим, что задан набор гипотез \ , к = 1...К о возможных моделях погрешностей в виде ФФ: хк = Ok(Qk)xk+Гk(Qk)wk 11-1 (2.2.1) е =е _1=е , у. =Нкіфк)х1 + f(9 )vf, (2.2.2) где г = 1,2... - номер измерения; хк - вектор состояния, описывающий составляющие погрешности датчика для гипотезы hk; Фк(дк), Гк(дк), Hk(Qk), (0 ) - известные матрицы ФФ, характеризующие структуру модели погрешности для этой гипотезы; 9 - случайный вектор неизвестных параметров модели с заданной начальной функцией плотности распределения вероятностей (ф.п.р.в.) /еД9"); w\ и vf - рк и тк -мерные белошумные центрированные гауссовские последовательности с известными ковариационными матрицами. В начальный момент времени значения хк предполагаются независимыми от 9 гауссовскими векторами с известными математическими ожиданиями и матрицами ковариаций. Зависимость элементов матриц от 9 в общем случае предполагается нелинейной. Набор гипотез Н. = (\,к2,..\,.МК) трактуется как случайная величина с возможными значениями h k = 1...К, априорная функция плотности распределения представляется в виде: K /H(H) = 2 (H = /z,)5(H-/zJ, (2.2.3) k=\ где Pr(H = h) определяет априорную вероятность соответствующей гипотезы. Постановка задачи формулируется следующим образом: располагая вектором г 1Т измерений Y. = ух ... у. и набором гипотез о моделях погрешностей (2.2.1), (2.2.2), определить номер гипотезы, максимизирующей апостериорную вероятность Pr(H = hk / X), и найти соответствующие этому номеру оптимальные в смысле минимума критериев: JQ = М/(е {(0 - 0 )г(0 - 0 )}, Jx = Mf{x {(xf - хк f(xk - хк)}, (2.2.4) оценки (г, хк вектора параметров 9 и вектора состояния хк, где f(Qk,Y?) и f(xk,Y.) совместные ф.п.р.в. этих векторов и вектора измерений 7. Таким образом, суть задачи сводится к совместному решению задач распознавания гипотез и оценивания неизвестных параметров.

Задача определения структуры модели погрешностей в сформулированной постановке заключается в определении номера гипотезы, максимизирующей значение апостериорной вероятности Pr(H = hk / 7), а задача оценивания параметров - в получении для этой гипотезы оптимальных байесовских оценок и их расчетных дисперсий для вектора параметров 9 .

Как отмечалось во введении, такая постановка задачи в части оценивания структуры модели погрешностей имеет много общего с задачами идентификации гипотез, решаемых при определении отказов систем, навигации по картам дорог, разрешения фазовой неоднозначности в сигналах спутниковых систем [21, 22, 26, 101], а в части оценивания параметров - с постановками задач нелинейного байесовского оценивания, широко описанными в литературе [72, 153, 156]. Совместное решение задач идентификации и оценивания рассматривается в работе [4] для общего случая динамических систем, близкой к предложенной постановке можно считать постановку задачи, описанную в [94], где она используется для получения алгоритма определения маневра цели. Однако в этих работах не предполагается получение оптимальных байесовских оценок параметров, а также не рассматриваются задачи с различной размерностью вектора параметров 9 . Важно подчеркнуть, что задача идентификации моделей погрешностей навигационных датчиков в такой постановке решается впервые.

Для получения алгоритма оценивания представим апостериорную плотность вероятности распределения гипотез в виде: f(H/Yi) = Fr(H = hk/Yi)5(H-hk), (2.2.5) k=i откуда очевидно, что максимизация условной вероятности Pr(H = hk IYt) аналогична максимизации апостериорной (условной) ф.п.р.в. /(Н / Y.): /z; = argmax/YH/Z). (2.2.6) н V 1/ Используя формулы Байеса, ф.п.р.в., fn(H/Y.) можно представить, как: ч /(Н,7) /YZ/H)/YH) /н(Н/»ШІЖ/н)/(н) (2Z7) где /(Н, ) - совместная ф.п.р.в. и Н, /(H) - априорная ф.п.р.в. гипотез (2.2.3), а /( /Н) - функция правдоподобия измерений. Здесь и далее пределы интегрирования предполагаются бесконечными. Рекуррентные соотношения для вычисления ф.п.р.в. (2.2.7) могут быть получены в виде: f(H/Y.) f(H/vY) А /Ум) /U/rM,H)/(H/rM) /ні J /ні Я, ,-i) f y/Yii) f f (yf / Yl_ltH) f (H/,_№ где /(x /7 15H) - функция правдоподобия измерения на шаге /. С учетом (2.2.5) значения условной вероятности для каждой гипотезы могут быть рассчитаны с использованием соотношения: f(y /Г,,Н = /7,)Рг(Н = /7, ІУ.Л Pr(H = \ I Yt) = KJ Кг kJ± , (2.2.9) к=\ где f(y. I Yt,Н = hk) - значение функции правдоподобия измерения на шаге / при фиксированной гипотезе. Отметим, что в (2.2.8) и (2.2.9) априорная ф.п.р.в. /(H) и априорные вероятности Pr(H = hk) играют роль начальных условий. Таким образом, для получения рекуррентного алгоритма расчета значений вероятностей каждой из гипотез достаточно рассчитать значения функции правдоподобия f{yt / Z_15H = / ) на каждом шаге. Помимо этого, для каждой из гипотез оптимальные в смысле критериев (2.2.4) оценки векторов и х определяются как условные математические ожидания: ef(Z) = je%(eVZ,H = \)je, (2.2.10) х (%) = $х / (х /Yi91I = hk)dx , (2.2.11) соответствующие апостериорным ф.п.р.в. f к 0дк I Z,H = hA и f к (xkt I Z,H = hk), при фиксированной гипотезе о модели погрешностей П = \. Расчетные характеристики точности таких оценок в виде матриц ковариаций можно получить с использованием соотношений: F {Y = \{& -ЩхЬ-Щу/ (& lY h dtf, (2.2.12) p (Yt) = ]( -х")(х" -xkJ fxk [х] /r,U = hk)dx". (2.2.13) Для расчёта интегралов (2.2.10), (2.2.12) могут быть применены численные методы, основанные на рекуррентном представлении апостериорной ф.п.р.в. fQk (Є /Х,Н = hk) с использованием формул Байеса: /Д9 /1%Н = \) = УЛ /±Л , (2.2.14) \fyt (yt I Yt_l9H = hk$k)fQk (Qk I I ,H = hk)dQk где fyi(yi/Yi_1,H = hk,tf) - функция правдоподобия измерения на шаге / при фиксированной гипотезе и значении вектора параметров 0 . При этом необходимо задаться априорным значением ф.п.р.в. /еД0"). Искомые функция правдоподобия f(yi/Yi_1,H = hk) и ф.п.р.в. f (x] /Y,H = hk) также могут быть вычислены с помощью fkydkIYi,Yl. = hA в виде: f(y1/Yi_l,n = hk) = jfyQk(yi dk /Yi_l,n = hk)dQk = (2.2.15) fxk(x /Yi,U = hk)=\fxk(x ,Qk/Yi,U = hk)dQk = J (2.2.16) = j7xf( f /Yt,U = hk,Q%k(Qk /Yt,U = hk)dQk, где / (JC /%H = \,9 ) - условная ф.п.р.в. вектора при фиксированной гипотезе и значении вектора параметров 9 .

Таким образом, для вычисления оценок (2.2.10), (2.2.11) и матриц ковариаций (2.2.12), (2.2.13) необходимо располагать функциями правдоподобия /Уі{Уі/і-і н = кк ) и условными ф.п.р.в. /хк[х" /%Н = \,9 ). Особенность модели (2.2.1), (2.2.2) заключается в том, что при фиксированных значениях гипотезы и вектора параметров 9 она соответствует задаче линейной гауссовской фильтрации. При этих условиях искомые функции являются гауссовскими, а выражения для их моментов могут быть получены в замкнутой форме. Этот факт делает возможным решение рассматриваемой задачи с использованием метода разделения [4, 72, 117, 126], также называемого методом аналитического интегрирования по части переменных (англ. Rao-Bleckwellization procedure) [111, 153]. Идея метода заключается в численном интегрировании по вектору неизвестных параметров и аналитическом по вектору состояния х\. Ясно, что сокращение размерности интегралов, подлежащих численному интегрированию, уменьшает вычислительную сложность получаемого алгоритма [111, 126, 153], так что в вектор 9 включаются только те параметры, которые придают задаче нелинейный характер. Именно поэтому компоненты вектора состояния, определяющие квазидетерминированную составляющую модели погрешностей и входящие в уравнения для измерений линейно, включаются в вектор хкг .

Оценка качества решения задачи идентификации типовых моделей погрешностей с использованием предложенного алгоритма

Как отмечалось в первой главе, в традиционно применяемых методах выделяется две подзадачи, одна из которых направлена на определение и исключение из погрешности кваздетерминированной составляющей, а другая – на определение структуры и параметров флуктуационной составляющей. Такой вариант, в частности, описан в [15, 17, 120]. Предложенный алгоритм позволяет обе эти подзадачи решать в рамках единой постановки. Обсудим этот вопрос более подробно на примере оценивания постоянной составляющей.

Оценку постоянной составляющей, как правило, находят путем осреднения измеренной реализации [15, 17, 120]. Заметим, что эта процедура аналогична получению оценки математического ожидания при вычислении выборочных КФ (1.2.1), (1.2.2). Проанализируем в общем виде точность такой оценки, предполагая, что модель погрешностей задана в виде (1.1.1). При осреднении на конечном интервале времени т оценку постоянной составляющей можно представить, как: 1х 1х р(т) = - \y{t)dt = у + - \\y{t) + v(t)]dt. (3.4.1) Дисперсия погрешности такой оценки определяется выражением: Ml a2=Mv-v = 1 M ґх (3.4.2) j[y(t) + v(t)]dt Vo ) Очевидно, что СКО погрешности оценивания (3.4.2) зависит от вида флуктуационной составляющей y(i). Например, в случае, если y(i) винеровский процесс, то интеграл (3.4.2) может быть рассчитан аналитически: CTJ =M{(J-J)2U + , (3.4.3) где q2 = а2 - интенсивность порождающего шума винеровского процесса, а р = avAt - интенсивность белого шума. С некоторого момента времени дисперсия такой оценки начинает возрастать, поэтому встает вопрос о существовании оптимального интервала осреднения (рис. 3.4.1, слева). Принимая во внимание известные выражения для ВА винеровского процесса и белого шума (1.4.3), можно заметить, что дисперсия оценки постоянной составляющей в этом частном случае совпадает с ВА, а СКО - с девиацией Аллана. Такое совпадение представляется весьма полезным, поскольку в этом случае по точке минимума графика выборочной ВА удается судить о точности оценивания постоянной составляющей и определить соответствующее минимальной дисперсии оптимальное время осреднения (рис. 3.4.1, справа). Дифференцируя (3.4.3) по т и приравнивая производную к нулю, получим аналитические выражения для этих параметров: х =І5Р а2 = 2рд V -Ы) q v г (3 ) Расположение точки минимума ВА, как следует из (3.4.4), зависит от соотношения интенсивностей белого шума и порождающего шума винеровского процесса. ВА для различных соотношений интенсивностей белого шума и порождающего шума винеровского процесса. Следует, однако, отметить, что указанное совпадение верно не для всех процессов y(t). В работах [54, 141] показано, что если соблюдается равенство: М то оценка ВА совпадает с дисперсией погрешности случайной величины. Доказательство справедливости (3.4.5) для винеровского процесса и белого шума приведено в Приложении А.

Таким образом, наличие коррелированных составляющих в модели погрешности в некоторых случаях приводит к снижению точности оценки методом осреднения при увеличении интервала времени осреднения и необходимости выбора оптимального интервала в смысле минимума дисперсии погрешности оценивания. В случае же применения предложенного алгоритма оценка постоянной составляющей погрешности отыскивается совместно с другими составляющими процессе решения задачи идентификации модели, как, например, в постановке (3.1.1) – (3.1.3).

Слева – девиация Аллана (1), СКО погрешности оценивания постоянной составляющей оптимального фильтра (2), расчетное (3) и действительное (4) СКО погрешности оценивания постоянной составляющей и пример реализации погрешности оценки (5) для нелинейного алгоритма. Справа – увеличенный масштаб без реализации погрешности оценки.

На рисунке 3.4.3 приведены СКО погрешности оценивания постоянной составляющей предложенным алгоритмом и график девиации Аллана, соответствующий СКО погрешности оценивания путем осреднения реализации для модели погрешностей (3.1.1) - (3.1.3). Графики на этом рисунке подтверждают возможность получения оценки постоянной составляющей, точность которой, вследствие учета свойств погрешностей, не ухудшается со временем, в отличие от оценки, полученной методом осреднения. На рисунке также приведены результаты решения задачи с использованием фильтра Калмана, настроенного на известные параметры модели qKalm = М iq\ = 0,11 , Ршт = М\р\ = 1,1, из которого видно, что предложенный алгоритм практически не проигрывает ему в точности.

Рассмотрены примеры применения предложенного алгоритма для решения задач идентификации моделей типовых процессов, используемых для описания погрешностей навигационных датчиков, и проиллюстрированы его достоинства, связанные не только с возможностью решения задачи идентификации на произвольном интервале времени, но и выработкой показателей, количественно определяющих качество решения задач идентификации для текущего набора измерений.

Проиллюстрировано применение процедуры вычисления показателей, количественно определяющих качество решения задачи идентификации в среднем. С ее использованием проанализировано влияние СКО белошумной составляющей погрешности и количества подлежащих оцениванию параметров на вероятность определения правильной гипотезы о модели погрешностей и точность оценивания параметров модели.

Проведено сопоставление результатов решения задачи идентификации, получаемых с помощью предложенного алгоритма, и алгоритмов, основанных на традиционно применяемых методах идентификации. Проиллюстрированы преимущества предложенного алгоритма, связанные, в том числе, с повышением точности оценивания отыскиваемых параметров и сокращением времени, необходимого для ее достижения, а также с возможностью получения адекватных расчетных показателей качества решения задачи. Показано, что оценку эффективности традиционно применяемых и субоптимальных алгоритмов возможно проводить с использование введённых показателей качества решения задачи идентификации. Показано, что с использованием предложенного алгоритма возможно решение задач оценивания постоянной составляющей совместно с идентификацией структуры модели погрешностей и ее параметров. Установлена взаимосвязь вариации Аллана с дисперсией погрешности оценивания постоянной составляющей, полученной путем осреднения, которая в ряде случаев позволяет определять оптимальное время осреднения.

Решение задачи идентификации модели суммарных погрешностей карты и измерителя поля

Анализ чувствительности, представленный в работе [140], показал, что в случае рассогласования реальных и предполагаемых значений ае /8 на 3 мГал/км потери в точности достигают 50%. Кроме того, наблюдается существенное (до 300%) отличие действительных и рассчитанных в алгоритме СКО погрешностей оценивания, что не позволяет использовать последние в качестве текущей характеристики точности оценивания. При расхождении между действительным и заданным в фильтре значениями на 1 мГал/км потери в точности в целом невелики, но и в этих случаях расчётное СКО погрешностей оценивания дает существенно завышенную или заниженную оценку точности. Таким образом, полученные результаты показывают актуальность учета неточности знания CJS /S/.

Кроме того, попытки обработки реальных данных показали, что достичь удовлетворительной точности оценки АСТ с использованием модели (4.3.4) не удается. Последнее обстоятельство говорит о необходимости уточнения модели (4.3.4). В связи с этим были выдвинуты две гипотезы, предполагающие наличие дополнительной составляющей погрешности: где х4 описывает дополнительную составляющую погрешности в виде марковского процесса первого порядка с СКО зт и интервалом корреляции тт.

Гипотеза (4.3.6) соответствует наличию дополнительной небелошумной погрешности, входящей в разностные измерения, которая может быть вызвана, например, неточной синхронизацией СНС и гравиметра. Гипотеза (4.3.7) соответствует присутствию небелошумной составляющей погрешности непосредственно в измерениях гравиметра. Таким образом, была поставлена задача структурной идентификации модели погрешностей (4.3.6), (4.3.7) с г \Т вектором неизвестных параметров 0= тт стт odg/dp и оцениваемым вектором ГА \Т x(t) = Ah AV х1 х2 х3 х4 .

Далее приводятся результаты обработки данных аэрогравиметрических работ, полученных на самолете L-410 06 марта 2015 г. в районе г. Ступино, который находится на расстоянии около 150 км южнее г. Москва. На борту самолета был установлен мобильный гравиметр «Чекан-АМ», изготовленный АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор» [56]. В качестве приемной аппаратуры СНС использовалась двухчастотная ГЛОНАСС/GPS приемная аппаратура фирмы NovAtel в составе бортового приемоиндикатора SE-D-RT2-G-J-Z с инерциальным блоком и антенной GPS-702 GG. Для организации работы дифференциального режима использовался базовый приемник DL-V3-L1L2-G с антенной GPS-702 GGL, устанавливаемый в опорном пункте. Максимальная удаленность носителя от базовой станции при выполнении полета составила около 150 км. За время полета выполнено прохождение прямого и обратного галса протяженностью около 170 км с генеральными курсами 170 и 350. Данные гравиметра и приемной аппаратуры СНС обрабатывались в камеральном режиме.

Результаты применения предложенного алгоритма с введенными выше моделями к данным гравиметрической съемки показали, что наиболее вероятной оказалась гипотеза (4.3.6), соответствующая модели с дополнительной погрешностью в разностных измерениях. Из графиков на рисунке 4.3.3 видно, что оценки составляющих неизвестного вектора 0= тт ат ydg/dp на прямом и обратном галсах сходятся примерно к одинаковым значениям.

Следует заметить, что решение задачи оценивания АСТ в режиме фильтрации, как правило, не дает необходимой точности [38, 102, 103], и для оценки АСТ традиционно применяются алгоритмы сглаживания. Под сглаживанием понимается процедура обработки информации, использующая для выработки оценки в момент времени t не только все предыдущие, но и все последующие измерения, накопленные на интервале [0-Г]. Поскольку набор гипотез зафиксирован, а неизвестные параметры постоянны, решения задач определения гипотез и оценки параметров в режиме сглаживания и фильтрации совпадают. Учитывая это, для получения сглаженной оценки вектора состояния х и, как следствие, сглаженной оценки АСТ могут быть использованы известные алгоритмы оптимального сглаживания [80, 114, 153]. Один из этих алгоритмов может быть реализован с использованием двух фильтров Калмана в прямом и обратном времени (forward-backward Kalman filter). Один фильтр вырабатывает оценку, по измерениям до текущей точки, а другой - по последующим измерениям. Итоговая оценка при этом может быть записана в виде: x(t) = P(t){iPf(t)Y xf(t) + [p(t)Yx(t)Y (4.3.9) где Jr (t),x (t),P (t),P (t) - оценки и матрицы ковариаций, соответствующие фильтрам Калмана для прямого и «обратного» времени. Матрица ковариаций погрешностей сглаживания может быть получена в виде Ps(t) = ((pf(t)y1+(pb(t))Л . (4.3.10) Таким образом, предложенный адаптивный алгоритм оценивания АСТ отличается от алгоритма идентификации моделей погрешностей наличием фильтра Калмана в «обратном времени», реализующего режим сглаживания для оценки вектора состояния, что обеспечивает требуемую точность оценивания

АСТ. Результаты оценивания АСТ при использовании фильтрации и сглаживания приведены на рисунке 4.3.4. Из приведенных результатов видно, что значения СКО погрешностей оценивания АСТ в режиме сглаживания существенно ниже (до трех раз) по сравнению с режимом фильтрации, что подтверждает эффективность применения сглаживания и адаптивного алгоритма при оценке

На рисунке 4.3.5 приведены графики, позволяющие провести сравнение оценок, полученных с помощью предложенного адаптивного алгоритма сглаживания и ранее используемого алгоритма, предусматривающего двухэтапную процедуру оценивания, в основе которой лежат стационарные фильтры [32, 38].

Следует заметить, что расхождение оценок АСТ, полученных на взаимно обратных траекториях с использованием предложенного алгоритма, находится в пределах, которые соответствуют вырабатываемым расчетным показателям точности в виде СКО погрешностей оценивания, вычисляемых в адаптивном алгоритме (рис. 4.3.6).

Таким образом, можно утверждать, что предложенный адаптивный алгоритм оценивания АСТ обеспечивает точность, как минимум, не хуже традиционного стационарного алгоритма. Его несомненными плюсами являются строгий подход к задаче оценивания, более высокая точность в переходном режиме, и, что весьма важно, возможность получения адекватных показателей качества решения задачи оценивания.

Алгоритм также был апробирован на данных, полученных в районе Северного Ледовитого океана. Обработке подвергались десять пересекающихся галсов, расположение которых показано слева на рисунке 4.3.7, справа также приведено трехмерное изображение полученных на этих галсах оценок АСТ.

Оценки параметров погрешностей для различных галсов приведены на рисунке 4.3.8, из которого видно, что интервал корреляции дополнительной помехи составил 1,5-2,5 мин, а СКО 6-12 см, таким образом, параметры погрешности не сильно разнятся от галса к галсу. Сравнивая же их с параметрами погрешности испытаний в г. Ступино (рис. 4.3.3), можно заметить существенное различие, что подтверждает предположение о том, что такая погрешность вызвана рассинхронизацией СНС и гравиметра, так как в этих испытаниях использовались разные способы синхронизации.