Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблемы анализа и синтеза следящих систем.Основные положения блочного подхода
1.1. Описание проблемы управления выходными переменными объектов автоматического управления 10
1.1.1. Постановка задачи .- 10
1.1.2. Проблема отображения 11
1.1.3. Виды и источники неопределенностей 21
1.2. Расширенная задача слежения 28
1.2.1. Алгебраический подход 28
1.2.2. Геометрический подход 30
1.3. Блочные формы линейных динамических систем 33
1.3.1. Блочная форма управляемости 33
1.3.2. Блочная форма наблюдаемости 34
1.4. Системы с разрывными управлениями, функционирующими в скользящем режиме 37
1.4.1. Условия попадания и скольжения 37
1.4.2. Метод эквивалентного управления 38
1.4.3. Идеальный и реальный скользящий режим 39
1.4.4. Наблюдатели состояния на скользящих режимах 41
1.5. Цели и задачи диссертационной работы 41
Глава 2. Блочный анализ выходного отображения 43
2.1. Основные типы неособых преобразований 43
2.1.1. Регулярная форма относительно управления 44
2.1.2. Замена координат вектора состояния выходными переменными 48
2.2. Блочная форма общего вида относительно выходных переменных с учетом внешних возмущений (БФОВВ) 49
2.2.1. Процедура получения блочного выходного отображения 50
2.2.2. Условия окончания процедуры 55
2.3. Условия существования решения различных задач управления относительно выходных переменных 63
2.3.1. Наблюдаемость относительно выходных переменных . 63
2.3.2. Инвариантность выходных переменных 66
2.3.3. Слежение за заданными траекториями выходных переменных 67
2.4. Краткие выводы 70
Глава 3. Блочный анализ и синтез следящих систем при действии неконтролируемых возмущений без предположения об их гладкости 71
3.1. Постановка задачи 71
3.2. Совместная блочная форма управляемости и наблюдаемости линейных систем относительно выходных переменных с учетом возмущений без предположения о гладкости (СБФВВ) 72
3.3. Процедура конструктивного анализа 77
3.4. Декомпозиционный синтез обратной связи на основе СБФВВ . 90
3.5. Краткие выводы 102
Глава 4. Блочный анализ и синтез следящих систем при действии гладких неконтролируемых возмущений 103
4.1. Постановка задачи 103
4.2. Совместная блочно-каноническая форма управляемости и наблюдаемости (СБКФ) 104
4.3. Процедура конструктивного анализа 109
4.4. Декомпозиционный синтез обратной связи на основе СБКФ . 120
4.5. Краткие выводы 126
Заключение 127
Список литературы 128
- Идеальный и реальный скользящий режим
- Регулярная форма относительно управления
- Совместная блочная форма управляемости и наблюдаемости линейных систем относительно выходных переменных с учетом возмущений без предположения о гладкости (СБФВВ)
- Совместная блочно-каноническая форма управляемости и наблюдаемости (СБКФ)
Введение к работе
Актуальность работы. В диссертационной работе изучается задача слежения за заданными траекториями выходных переменных объекта автоматического управления. Несмотря на то, что рассматриваемая математическая модель объекта управления представлена линейной динамической системой, она имеет такие качественные признаки сложной системы как высокую размерность, многоканальность, неполноту измерений переменных вектора состояния, допускается неопределенность параметров. На систему действуют внешние неконтролируемые возмущения, не имеется аналитического описания задающих воздействий и, как следствие, информации об их производных. Такие особенности присущи достаточно широкому классу современных систем автоматического управления различного назначения. Учитывая, что задача слежения является одной из основных при автоматизации технологических объектов, ее разработка представляется актуальной проблемой современной теории и практики управления.
В указанных условиях возможность обеспечить асимптотическую сходимость выходных сигналов к задающим воздействиям определяется не только структурными свойствами оператора объекта управления, но таюке возможностью восстановить текущую информацию об объекте управления и среде его функционирования, требуемую для синтеза обратной связи и компенсации действия имеющихся неопределенностей. Требуется найти комплексное решение задач оценивания и синтеза обратной связи, обеспечивающее робастность и инвариантность замкнутой системы слежения.
Задача слежения при наличии внешних возмущений достаточно полно изучена в рамках геометрического и вариационного подходов в расширенной постановке, в предположении, что возмущающие и задающие воздействия порождаются автономными динамическими моделями с известными параметрами (У.М. Уонем, Ю.Н. Андреев и др.). В то же время проблемы синтеза следящих систем при наличии неконтролируемых внешних воздействий, модель которых неизвестна, недостаточно представлены в современных публикациях и требуют привлечения и разработки специальных методов для комплексного решения задач оценивания и синтеза обратной связи, обеспечивающей инвариантность в асимптотике замкнутой системы слежения.
В данной работе задача слежения рассматривается в условиях целого комплекса указанных неопределенностей без расширения пространства состояний. Для информационного обеспечения законов управления, обеспечивающих инвариантность замкнутой системы слежения в асимптотике, разработан альтернативный подход, не требующий ввода автономных моделей и основанный на использовании наблюдателей состояния с разрывными корректирующими воздействиями, функционирующими в скользящем режиме (СВ. Емельянов, В.И. Уткин). Данный класс наблюдателей при определенных условиях позволяет решить задачу оценивания не только неизмеряемых переменных, но и неизвестных внешних воздействий (С.А. Краснова, В.А. Уткин), что позволяет компенсировать их влияние с помощью комбинированного управления (B.C. Кулебакин, Б.Н. Петров, С.Д. Земляков и др.).
Важной особенностью рассматриваемого объекта управления настоящего исследования является многомерность и многоканальность. В таких системах, как правило, возникает необходимость в предварительном преобразовании исходной модели в канонические формы, в терминах которых проблемы анализа и синтеза упрощаются, а формулировка результатов значительно облегчается по сравнению с формулировкой в терминах исходной системы. Конструктивным приемом в решении задачи слежения как линейных, так и нелинейных динамических систем является неособое преобразование координат вектора состояния, приводящее к эквивалентной системе вход-выход, непосредственно отражающей связи входных и выходных переменных (А. Исидори, И.В. Мирошник и др.). Наиболее целесообразным является прямой метод - получение выходного отображения исходной системы путем многократного дифференцирования выходных переменных с целенаправленной неособой заменой координат вектора состояния координатами выходного вектора и их производными.
В качестве методологической основы декомпозиции как задачи анализа, так и задачи синтеза в работе используется блочный подход, основы которого предложены в середине 80-х годов прошлого века (А.Г. Лукьянов, В.А. Уткин, В.И. Уткин, П. Кокотович), и который обладает большей конструктивностью, а также грубостью к вариациям параметров по сравнению с известными каноническими представлениями. К настоящему времени в рамках блочного подхода разработаны декомпозиционные процедуры анализа и синтеза задач стабилизации и наблюдения применительно к многомерным системам общего вида, в том числе и при наличии внешних возмущений. Суть блочного метода заключается в том, что в ходе неособых однотипных элементарных преобразований математической модели удается выявить соответствующие структурные свойства (управляемости и наблюдаемости) и представить систему в блочном виде, определяющем архитектонику декомпозиционного синтеза соответствующей задачи. Однако данные результаты, хотя и решают проблему «большой размерности», не находят непосредственного применения в задаче управления выходными переменными, требующей комплексного анализа и синтеза указанных проблем. Блочные формы наблюдаемости и управляемости исходной системы, как правило, не совпадают, задачи наблЕодения и собственно управления решаются относительно разных координатных базисов, что требует при синтезе обратной связи выполнения прямых и обратных преобразований в реальном времени.
Возникает естественное желание упростить структуру регулятора, сформулировав и задачу наблюдения, и задачу собственно управления выходами в терминах совместной эквивалентной блочной формы управляемости и наблюдаемости, на основе которой обе задачи будут решаться относительно одних и тех же блоков преобразованных координат, что позволяет избежать выполнения прямых и обратных замен переменных в реальном времени. В рамках блочного подхода синтез обеих задач будет сведен к последовательному решению элементарных подзадач стабилизации невязок, размерности которых равны размерностям блоков блочной формы.
Рассматриваемые в диссертационной работе задачи управления выходными переменными объектов автоматического управления являются развитием блочного подхода и метода разделения движений в классе систем с разрывными управлениями. В отличие от известных покомпонентных децентрализованных форм, в данной работе предлагается блочная структура эквивалентной модели, которая состоит из связанных подсистем вход-выход различной размерности с учетом возмущений. В каждой подсистеме группы компонент выходного вектора регулируются «своими» управляющими воздействиями (или непосредственно, или через цепочку интеграторов), не влияющими на поведение других выходных координат, и в которых имеется возможность устранить или компенсировать внутренние перекрестные связи и внешние возмущения с помощью обратной связи.
Цель работы состоит в изучении структурных свойств линейных стационарных динамических систем общего вида относительно выходных (регулируемых и измеряемых) переменных при действии внешних возмущений различного типа и последующий синтез инвариантных систем слежения в рамках блочного подхода. Основные задачи работы:
- формализовать классы линейных стационарных систем, для которых за
дача слежения за заданными траекториями выходных переменных при дей
ствии внешних возмущений различного типа имеет решение в асимптотике;
- разработать процедуры приведения математической модели объекта
управления к совместным блочным формам управляемости и наблюдаемо
сти, которые комплексно отражают структурные свойства оператора объекта
управления (инвариантность, управляемость и наблюдаемость относительно
выходных переменных) с учетом возмущений различного типа;
получить ранговые условия существования совместных блочных форм;
на основе совместных блочных форм разработать декомпозиционные процедуры синтеза базовых (т.е. в предположении об измеряемости всех переменных) законов комбинированного управления, обеспечивающих асимптотическую сходимость выходных переменных к заданным траекториям инвариантно к действию внешних возмущений;
- разработать методы информационного обеспечения базовых законов
управления с использованием наблюдателей на скользящих режимах.
Указанный комплекс задач определяет структуру и содержание диссертационной работы, состоящей из четырех глав.
Первая глава имеет обзорно-постановочный характер. В разделе 1.1 формулируется постановка задачи слежения по выходным переменным объекта автоматического управления, обсуждается комплекс проблем, которые возникают при ее решении. В разделе 1.2 рассматривается расширенная задача слежения с учетом динамических моделей задающих и возмущающих воздействий. В следующих разделах на содержательном уровне изложены специальные разделы современной теории автоматического управления, используемые в диссертационной работе. В разделе 1.3 представлены основные положения одного из методов декомпозиции - блочного подхода. В разделе 1.4 описываются особенности систем с разрывными управлениями, функциони-
рующими в скользящем режиме. В разделе 1.5 определяются цели и задачи диссертационной работы.
Во второй главе в рамках блочного подхода изучаются структурные свойства линейных многомерных динамических систем при действии внешних возмущений без предположения об их гладкости в задачах управления выходными переменными. В разделе 2.1 вводятся основные типы неособых линейных преобразований, используемых в рамках блочного подхода. В разделе 2.2 вводится понятие блочной формы общего вида относительно выходных переменных с учетом внешних возмущений (БФОВВ), разработана пошаговая процедура ее получения. В разделе 2.3 в терминах БФОВВ формализованы условия наблюдаемости и инвариантности относительно выходных переменных, а также условия, при которых БФОВВ является совместной формой управляемости и наблюдаемости с учетом возмущений, что является предпосылкой решения задачи слежения.
В третьей главе исследуется задача слежения за заданными значениями выходных переменных при действии внешних неконтролируемых возмущений без предположения об их гладкости. В разделе 3.1 детализируется постановка задачи. В разделе 3.2 сформулированы достаточные условия существования совместной блочной формы управляемости и наблюдаемости линейных систем относительно выходных переменных с учетом возмущений (СБФВВ). В разделе 3.3 в рамках блочного подхода разработана пошаговая процедура приведения математической модели объекта управления к СБФВВ. В разделе 3.4 на основе полученной блочной формы разработана декомпозиционная процедура синтеза обратной связи, обеспечивающая отработку выходными переменными заданных траекторий инвариантно к действию внешних возмущений. Для информационного обеспечения базовых законов управления используются наблюдатели состояния на скользящих режимах, позволяющие решить задачу оценивания ошибок преобразованной системы, имеющихся неопределенностей и внешних возмущений за теоретически конечное время.
В четвертой главе исследуется задача слежения за заданными значениями выходных переменных при действии внешних неизвестных гладких возмущений с ограниченными производными в общем случае до (я-І)-го порядка. В разделе 4.1 детализируется постановка задачи. В разделе 4.2 вводится понятие совместной блочно-канонической формы управляемости и наблюдаемости линейных систем с учетом возмущений рассматриваемого класса (СБКФ), формализуются условия ее существования. Показано, что предположение о гладкости внешних возмущений расширяет класс линейных систем, в которых задача слежения решается в асимптотике инвариантно к действию внешних возмущений. В разделе 4.3 разработана пошаговая процедура трансформации математической модели исходной системы в СБКФ. На основе СБКФ в разделе 4.4 разработана декомпозиционная процедура синтеза комбинированной обратной связи, которая сводится к последовательно решаемым элементарным подзадачам стабилизации и обеспечивает асимптотическую сходимость выходных сигналов к заданным траекториям инвари-
антно к внешним возмущениям. Для информационного обеспечения базовых алгоритмов управления разработана процедура синтеза наблюдателей состояния на скользящих режимах, позволяющих за теоретически конечное время решить задачу оценивания составляющих базового закона управления, что существенно упрощает структуру регулятора. В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы.
На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертационной работе при исследовании в рамках блочного подхода задачи слежения за заданными траекториями выходных (измеряемых и регулируемых) переменных линейных динамических стационарных систем при действии внешних неконтролируемых возмущений различного типа:
предложена концепция эквивалентных моделей вход-выход линейных систем, имеющих блочную структуру, с учетом внешних возмущений различного типа (СБФВВ - без предположения о гладкости внешних возмущений, СБКФ - в предположении об их гладкости);
получены ранговые условия существования СБФВВ, СБКФ;
разработаны декомпозиционные процедуры трансформации математической модели объекта управления в СБФВВ, СБКФ, которые позволяют комплексно исследовать структурные свойства исходных систем: инвариантность в асимптотике, управляемость и наблюдаемость относительно выхода;
разработаны процедуры блочного синтеза инвариантных систем слежения на основе СБФВВ, СБКФ;
5) разработаны методы информационного обеспечения алгоритмов
управления с помощью наблюдателей на скользящих режимах, имеющих
структуру СБФВВ, СБКФ с замкнутыми локальными связями, что позволяет
декомпозировать процедуру синтеза разрывных корректирующих воздейст
вий наблюдателя и за теоретически конечное время получить текущие оцен
ки составляющих базовых законов комбинированного управления. Данный
подход существенно упрощает структуру регулятора, не требует построения
моделей возмущающих и задающих воздействий.
Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата линейной алгебры, математического анализа, методов современной теории управления: блочного принципа управления, разделения движений в классе систем с разрывными управлениями, функционирующими в скользящем режиме, теории наблюдателей состояния, инвариантности и устойчивости.
Научная новизна диссертационной работы.
1) В постановке задачи слежения предполагается, что система функционирует в условиях целого комплекса неопределенностей: только выходные (регулируемые) переменные подлежат измерениям; на систему действуют внешние неконтролируемые возмущения; допускается параметрическая неопределенность оператора объекта управления; не имеется аналитического описания задающих воздействий. Задача рассматривается без расширения пространства состояний.
Разработаны принципы организации и построения эквивалентных моделей вход-выход, имеющих блочную структуру: совместной блочной формы управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных с учетом возмущений без предположения об их гладкости (СБФВВ); совместной блочно-канонической формы управляемости и наблюдаемости с учетом гладких возмущений (СБКФ). Сформулированы ранговые условия существования СБФВВ, СБКФ в терминах исходной системы.
Показано, что на основе СБФВВ, СБКФ задача синтеза разделяется на независимо решаемые подзадачи меньшей размерности. При этом и задача наблюдения, и задача собственно управления выходными переменными решаются относительно одних и тех же переменных нового координатного базиса, что не требует выполнения прямых и обратных преобразований в реальном времени и существенно упрощает структуру регулятора.
Использование наблюдателей на скользящих режимах для информационного обеспечения базовых законов управления является альтернативой по отношению к расширенным постановкам задач слежения, так как не требует построения динамических моделей возмущающих и задающих воздействий и позволяет существенно снизить объем априорной информации об объекте управления и среде его функционирования.
Практическая значимость. Разработанные процедуры анализа и синтеза инвариантных систем слежения, опирающиеся на структурные свойства объекта управления, функционирующего в условиях неопределенности, достаточно универсальны, могут быть реализованы посредством вычислительной техники, что определяет возможность внедрения разработанных алгоритмов в АСУ современными сложными технологическими объектами различного назначения.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем», DSMSI (Киев, 2007); «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, 2007); «Идентификация систем и задачи управления», SICPRO (Москва, 2008, 2009); III Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления, ВМКПУ (Москва, 2008); X Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008); X Международном семинаре по системам с переменной структурой, VVS (Турция, Анталия, 2008), а также на семинарах МГТУ им. Н.Э. Баумана, ИПУ РАН.
Работа выполнена в рамках комплексного проекта фундаментальных исследований РАН 2.4.2, 2422/07 (тема 3.4.1, 3412/07).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе две [5, 6] в журналах, рекомендуемых ВАК РФ.
Структура работы. Диссертация изложена на 134-х страницах, состоит из введения, 4-х глав, заключения, 8 рис., списка литературы (100 наименований).
Идеальный и реальный скользящий режим
Задача слежения (1.1.1), (1.1.3) рассматривается в «узкой» постановке без расширения пространства состояний за счет динамических моделей задающих и возмущающих воздействий, не предполагается также использование динамического компенсатора, порождающего производные управляющих воздействий, класс допустимых управлений включает функции того же класса, к которым относятся внешние воздействия. Исследование включает два этапа: 1) анализ разрешимости, т.е. формализация класса линейных систем, для которых задача имеет решение в условиях определенности; 2) синтез обратной связи, которая включает и решение задачи наблюдения, и формирование закона управления, обеспечивающего отработку задающих сигналов регулируемыми переменными инвариантно в асимптотике к возмущениям.
Изложенные методы декомпозиционного анализа и синтеза фундаментальных задач на основе блочных форм, отражающих структурные свойства математической модели объекта управления, и последующие процедуры блочного синтеза, используются как достаточно универсальный и эффективный инструмент для анализа и синтеза линейных многомерных динамических систем в задаче слежения. Одна из задач настоящей работы состоит в разработке принципов организации и получения совместных блочных форм наблюдаемости и управляемости относительно выходных переменных с учетом, возмущений различного типа. В этом смысле предлагаемый в данной работе подход носит прагматический характер. Математическая модель объекта управления сразу подвергается процедурным преобразованиям в блочную форму, на основе которой делается вывод о структурных свойствах управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных и разрешимость задачи слежения, и которая определяет архитектонику декомпозиционного синтеза следящей системы. Для информационного обеспечения базовых алгоритмов управления будут использованы наблюдатели состояния на скользящих режимах. ГЛАВА 2. БЛОЧНЫЙ АНАЛИЗ ВЫХОДНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
В данной главе в рамках блочного подхода изучаются структурные свойства линейных многомерных динамических систем (1.1.1) при действии внешних возмущений без предположения об их гладкости (1.1.35) в задачах управления выходными переменными y{(t) = Dx(t) [2, 3]. В разделе 2.1 вводятся основные типы неособых линейных преобразований, используемых в рамках блочного подхода. В разделе 2.2 вводится понятие блочной формы общего вида относительно выходных переменных с учетом внешних возмущений (БФОВВ), разработана пошаговая процедура ее получения. В разделе 2.3 в терминах БФОВВ формализованы условия наблюдаемости и инвариантности относительно выходных переменных, а также условия, при которых БФОВВ является совместной формой управляемости и наблюдаемости с учетом возмущений, что является предпосылкой решения задачи слежения.
При синтезе обратной связи в задаче слежения относительно выходных (наблюдаемых и регулируемых) переменных требуется найти комплексное решение как задачи наблюдения неизмеряемых координат вектора состояния, так и задачи собственно слежения инвариантно в асимптотике к действию внешних возмущений. В данной главе проводится анализ выходного отображения системы (1.1.1), отражающего структурные свойства математической модели объекта управления (наблюдаемости, управляемости, инвариантности в асимптотике относительно выходных переменных), что обуславливает условия разрешимости задачи слежения (1.1.3) при произвольных гладких задающих воздействиях (1.1.6)-(1.1.7). Рассматривается общий случай действия ограниченных возмущений без предположения об их гладкости (1.1.35). В основе построений лежит прямой метод (см. параграф 1.1.2), что предполагает многократное дифференцирование выходных переменных в силу системы (1.1.1). В отличие от известных покомпонентых представлений [60, 75], предлагается блочная организация выходного отображения.
В данной главе в рамках блочного подхода разработана пошаговая процедура приведении математической модели системы (1.1.1) к БФОВВ. Тот факт, что задача слежения рассматривается без расширения пространства состояний за счет динамических моделей, порождающих производные управляющих и возмущающих воздействий, означает, что не все выходные переменные подлежат многократному дифференцированию. Наличие внешних возмущений без предположения об их гладкости может существенно повлиять на размерность наблюдаемого и управляемого инвариантно к внешним возмущениям подпространства вектора состояния вплоть до полной потери наблюдаемости и инвариантности [23, 45]. Суть процедуры приведения системы (1.1.1) к БФОВВ заключается в том, чтобы в процессе неособых однотипных преобразований выявить группы компонент вектора выходных переменных, которые подлежат многократному дифференцированию, что определяет структуру наблюдаемости исходной системы с учетом возмущений. Соответственно, разрешимость задачи инвариантности в асимптотике определяется возможностью компенсировать в уравнениях относительно недиф-ференцируемых повторно переменных действие внешних возмущений истинным управлением, что определяет структуру управляемости относительно выходных переменных в задаче стабилизации [43, 65]. С этой целью, на каждом шаге каждый блок БФОВВ, переменными которого являются компоненты укороченного вектора производных выходных переменных, последовательно приводится к регулярной форме относительно истинных управлений, внешних возмущений и фиктивных управлений, в качестве которых рассматриваются координаты вектора состояния - переменные следующего блока. Для удобства изложения введем базовые неособые преобразования, используемые в рамках блочного подхода.
Регулярная форма относительно управления
Процедура заканчивается по условию 3 - «выборка компонент вектора управления», которые отсутствуют в последнем уравнении системы (2.2.30). Получена неполная БФОВВ, в которой часть переменных вектора состояния отображена в линейную комбинацию выходных переменных У\,У\,У\- У\- Заметим, что, приступая к процедуре приведения системы (1.1.1) к БФОВВ, предполагалось rank/) = m0 Ф 0, rank/? = р Ф 0, /п0 п, rankO = q Ф 0. Никаких априорных требований к парам (А, В), (D, А), (В, О), от которых зависит разрешимость задач наблюдения, управления и инвариантности в асимптотике координат вектора состояния, не предъявлялось. Как было показано в главе 1, разрешимость задачи слежения относительно выходных переменных определяется специфическими требованиями, которые в полной мере не обусловлены стандартными предположениями об управляемости пары (А, В), наблюдаемости пары ( , А) и выполнении условий согласования пары (В, О). В этом смысле представление в БФОВВ, которая отражает структурные свойства системы (1.1.1) - наблюдаемость, управляемость и инвариантность в асимптотике относительно выходных переменных, конструктивно. Анализ разрешимости указанных задач в терминах БФОВВ в зависимости от того или иного ее конечного вида будет представлен в разделе 2.3. В замечании 2.1.1 говорилось о многовариантности выбора матрицы перехода системы (1.1.1) к БФУ (2.1.1). Это замечание распространяется и на конечный вид БФОВВ, так как в общем случае на каждом шаге процедуры может быть несколько вариантов выбора неособых преобразований Тп — Ti6, і = \,ju, что определяется количеством имеющихся базисных миноров соответствующих матриц. Важно отметить, что представленная процедура, которая состоит из последовательности неособых преобразований, не изменяет присущих системе (1.1.1) структурных свойств, которые определяют конечный вид БФОВВ. В связи с этим выскажем следующее Утверждение 2.2.1 . Любые реализации БФОВВ, полученные в результате последовательностей неособых преобразований с различными локальными матрицами перехода эквивалентны и имеют одинаковую структуру, т.е. все являются полными (или неполными), имеют одинаковое количество блоков и подблоков одинаковой размерности. Замечание 2.2.2. Операции, связанные с перебором различных сочетаний базисных миноров и проверки их обусловленности, образуют дополнительную логику, не отраженную в параграфе 2.2.1, но являющуюся неотъемлемой частью процедуры (которая может быть реализована на ПК). Здесь можно провести аналогию с методом окаймляющих миноров для определения ранга матрицы [8], в котором значение ранга матрицы окончательно устанавливается после перебора всех возможных вариантов. Замечание 2.2.3. Дадим некоторые комментарии к проблеме плохо обусловленных матриц. Как известно, при решении линейных систем одним из негативных факторов, влияющих на точность решения, является погрешность элементов матриц в решаемых подсистемах. Признаком плохо обусловленной СЛАУ является наличие у матрицы А строк at=(an ai2 ... ain), aJ=(ail±sl аі2±є2 ... аіп±єп), ІФ], є О, которые формально линейны независимы, но в силу st « 0 очень близки. Несмотря на то, что плохо обусловленные системы имеют единственное решение, на практике искать это решение чаще всего не имеет смысла. Надо заметить, что для системы 2-го порядка точное решение получить легко, однако при решении СЛАУ большой размерности незначительные ошибки округле 62 ния, неминуемо накапливаемые при расчетах (в том числе и «точным» алгоритмом Гаусса), приводят к огромным погрешностям результата. Плохо обусловленная система — это система, у которой определитель det А Ф О, но число обусловленности cond(/I) = \Л\ А" велико. Число обусловленности cond(y4) 1 является мерой чувствительности решения системы по отношению к арифметике конечной точности и имеет следующее значение: при решении СЛАУ результат будет получен с относительно погрешностью порядка -macheps cond(/l), где macheps - машинная точность (машинный эпсилон), с которой совершаются все операции с вещественными числами. Если, например, cond( 4) = 104, macheps = 10" , то СЛАУ будет решена с точностью до 11-го знака после запятой. Если cond( 4) macheps" , то вероятно вычисленное решение будет ненадежным (в таком случае многие процедуры, решающие СЛАУ и оценивающие число обусловленности, выдают предупреждение). На практике, обычно считают, что если cond( 4) 10, то вычисленное решение не заслуживает доверия.
Число обусловленности матрицы зависит от выбора норм, но если матрица хорошо обусловлена, то ее число обусловленности будет мало при любом выборе нормы, а если она плохо обусловлена, но ее число обусловленности будет велико при любом выборе нормы. Следовательно, норму можно выбирать исходя из соображений удобства. Поскольку вычисление обратной матрицы и следовательно ее нормы связано со значительными временными затратами, постольку точное значение числа обусловленности не вычисляется, а дается его оценка, позволяющая охарактеризовать обусловленность задачи: condest = MJinvest, где М есть либо А, либо множитель разложения А, имеющий вероятнее всего такую же обусловленность, как и обусловленность у матрицы А, a invest - оценка для М .
Число обусловленности матрицы А оказывается полезной величиной при оценке сверху того, насколько чувствительным будет решение системы, как к неточностям данных, так и к влиянию арифметики конечной точности. В случае плохо обусловленных систем вдали от решения задачи, то есть где модель нельзя считать точной, возможно возмутить линейную систему с целью улучшения ее обусловленности. Если плохо обусловленные системы встречаются вблизи от решения, то это означает, что решение задачи само по себе очень чувствительно к малым изменениям в данных. Если изначально известно, что параметры модели получены с существенной погрешность, то решать плохо обусловленные системы не имеет вовсе никакого смысла, поскольку малые ошибки модели приводят к большим погрешностям результата. Задачи, обладающие такими свойствами, называются некорректными.
Получение БФОВВ связано с неособыми преобразованиями отдельных блоков, т.е. процедуры замены переменных и преобразований декомпозируются на последовательно выполняемые преобразования меньшей размерности. При таком детальном рассмотрении появляется больше пространства для маневра, например, непосредственно выявить проблемные, плохо обусловленные или нестационарные фрагменты матриц и по возможности их обособить. Образно говоря, конечный вид выходного отображения в данных построениях формируется из отдельных блоков и в ходе процедуры имеется возможность корректировать построения на каждом шаге с тем, чтобы получить добротную конструкцию.
Совместная блочная форма управляемости и наблюдаемости линейных систем относительно выходных переменных с учетом возмущений без предположения о гладкости (СБФВВ)
В данной главе в рамках блочного подхода рассматривается задача слежения за заданными траекториями (1.1.6), (1.1.7) выходных переменных ух = Dx объекта автоматического управления (1.1.1) [6]. Ставится задача обеспечения асимптотической сходимости (1.1.3) невязок между выходными и задающими воздействиями (1.1.2). Предполагается, что только выходные (регулируемые) переменные подлежат измерениям; на систему действуют внешние неконтролируемые возмущения (1.1.35), (1.1.36) без предположения об их гладкости; не имеется аналитического описания задающих воздействий и, как следствие, информации об их производных.
Исследование проблемы включает два этапа: 1) анализ разрешимости, т.е. формализация класса линейных систем (1.1.1), для которых существует базовый закон комбинированного управления (1.1.39), обеспечивающий (1.1.3) в предположении об измеряемости всех переменных; 2) декомпозиционный синтез обратной связи, которая включает и решение задачи наблюдения, и формирование закона управления, обеспечивающего отработку задающих сигналов инвариантно в асимптотике к внешним возмущениям.
В качестве методологической основы декомпозиции как задачи анализа, так и задачи синтеза в работе используется блочный подход (см. раздел 1.3), который обладает большей конструктивностью, а также грубостью к вариациям параметров объекта управления по сравнению с известными каноническими представлениями. Исследования данной главы опираются на результаты главы 2, где введено понятие совместной блочной формы управляемости и наблюдаемости линейных систем относительно выходных переменных с учетом возмущений (СБФВВ), которая является предпосылкой решения задачи слежения в случае внешних возмущений без предположения об их гладкости. Как было отмечено, возможности структурных преобразований в случае негладких входных воздействий сужаются в связи с их недифференцируемостью. Одним из способов преодоления указанной проблемы является метод расширения пространства состояния и ввод динамического компенсатора, который порождает производные входных воздействий требуемого порядка. Этот метод, в частности, был использован в [44] для решения задачи автономного управления выходными переменными нелинейных систем. В данной работе рассматривается «узкая» задача в том смысле, что ее постановка допускает решение с помощью обратной связи по состоянию и по возмущению, но не предусматривает наращивания динамического порядка системы. Проблема обеспечения инвариантности в асимптотике выходных переменных к внешним возмущениям решается за счет их компенсации на основе оценок, полученных в устройствах наблюдения, или их подавления за счет организации скользящих режимов с помощью разрывных управлений.
Глава имеет следующую структуру. В разделе 3.2 сформулированы достаточные условия существования (СБФВВ). В разделе 3.3 в рамках блочного подхода разработана пошаговая процедура приведения математической модели к СБФВВ. В разделе 3.4 на основе полученной блочной формы разработана декомпозиционная процедура синтеза обратной связи, обеспечивающей отработку выходными переменными заданных траекторий инвариантно в асимптотике к действию внешних возмущений. Для информационного обеспечения базовых законов управления используются наблюдатели состояния на скользящих режимах [23], позволяющие решить задачу оценивания ошибок вектора состояния преобразованной системы, имеющихся неопределенностей и внешних возмущений за теоретически конечное время. Совместная блочная форма управляемости и наблюдаемости линейных систем относительно выходных переменных с учетом возмущений без предположения об их гладкости (СБФВВ) Наша цель состоит в трансформации математической модели (1.1.1) в эквивалентную модель вход-выход. В отличие от известных покомпонентных децентрализованных форм рассматривается блочная модель (СБФВВ (2.3.7), (2.3.6)), которая состоит из связанных подсистем вход-выход различной размерности с упорядоченными перекрестными связями с учетом возмущений. В каждой подсистеме группы выходных переменных должны регулироваться «своими» управляющими воздействиями (или непосредственно, или через цепочку интеграторов), не влияющими на поведение других выходных координат, дающими возможность устранить или компенсировать внутренние перекрестные связи и внешние возмущения с помощью обратной связи. При этом допускается формирование согласованных линейно независимых комбинаций как выходных, так и входных переменных с целью «закрепления» за группами выходных переменных, имеющих различную относительную степень, «своих» управляющих воздействий. Базовым понятием, определяющим разрешимость задачи слежения относительно выходных переменных, является максимальная относительная степень vmax = /л, 1 /.i n, которая означает, сколько раз минимум требуется продифференцировать выходные переменные в силу системы (1) с учетом имеющихся ограничений до комплектации полного управления с матрицей ранга т0. Если после п дифференцирований данное условие не выполнится, то часть выходных переменных не будет обеспечена «своими» управляющими воздействиями, т.е. будет не управляема в контексте рассматриваемой задачи слежения.
Совместная блочно-каноническая форма управляемости и наблюдаемости (СБКФ)
В данной главе в рамках блочного подхода рассматривается задача слежения за заданными траекториями (1.1.6), (1.1.7) выходных переменных ух =Dx объекта автоматического управления (1.1.1) [5]. Ставится задача обеспечения асимптотической сходимости (1.1.3) невязок между выходными и задающими воздействиями (1.1.2) в следующих предположениях: 1) компоненты вектора внешних возмущений rj(t) (в отличие от постановок главы 3) полагаются неизвестными гладкими ограниченными по модулю функциями времени с ограниченными производными в общем случае до (я-І)-го порядка (1.1.34), (1.1.36), допускается невыполнение условий согласования (1.1.37): rank(i? О) гапкЯ, в общем случае ImOctlmB; 2) полагается, что измерениям подлежат только выходные переменные у1, шумы в измерениях отсутствуют; 3) класс допустимых управлений может включать как непрерывные, так и разрывные воздействия; 4) допускается параметрическая неопределенность матрицы О, а также фрагментов матрицы А, которые включены в пространство управлений Іт В. Предполагается, что известны конечные границы диапазонов, которым принадлежат значения данных элементов (допускается даже их плавная вариация в известных диапазонах); 5) аналитический вид задающих воздействий g(t) не известен, имеются только их текущие значения. Решение задачи слежения (1.1.3) в сделанных предположениях включает два этапа: 1) анализ разрешимости, т.е. формализация требований к тройке матриц (D (А, В)) системы (1.1.1), при которых задача слежения может быть решена в условиях полной определенности; 2) синтез обратной связи, которая включает решение проблемы информационного обеспечения базовых законов управления, обеспечивающих отработку выходными переменными задающих сигналов инвариантно в асимптотике к внешним возмущениям. Еще раз подчеркнем, что задача рассматривается без расширения пространства состояний за счет динамических автономных моделей задающих и возмущающих воздействий, не предполагается также ввода динамического компенсатора, порождающего производные управляющих воздействий. Как показано в разделе 2.3, для решения задачи слежения даже в условиях полной определенности оператор объекта управления должен удовлетворять специфическим условиям. В свою очередь, наличие указанного комплекса неопределенностей потребует привлечение специальных методов синтеза.
Глава имеет следующую структуру. В разделе 4.2 вводится понятие совместной блочно-канонической формы управляемости и наблюдаемости линейных систем с учетом возмущений рассматриваемого класса (СБКФ), формализуются условия ее существования. Показано, что предположение о гладкости внешних возмущений расширяет класс линейных систем, в которых задача слежения решается в асимптотике инвариантно к действию внешних возмущений. Заранее ориентируясь на предполагаемую высокую размерность задачи и допустимую неопределенность параметров модели объекта управления, в разделе 4.3 разработана пошаговая процедура трансформации математической модели исходной системы в СБКФ, что позволяет декомпозировать анализ разрешимости задачи слежения на независимо решаемые подзадачи меньшей размерности. На основе СБКФ в разделе 4.4 в рамках блочного подхода разработана декомпозиционная процедура синтеза комбинированной обратной связи по состоянию и по возмущению, которая сводится к последовательно решаемым элементарным подзадачам стабилизации и обеспечивает асимптотическую сходимость выходных сигналов к заданным траекториям инвариантно к внешним возмущениям. Для информационного обеспечения базовых алгоритмов управления разработана процедура синтеза наблюдателей состояния на скользящих режимах, позволяющих за теоретически конечное время решить задачу оценивания составляющих базового закона управления, что существенно упрощает структуру регулятора.
Формализуем класс линейных систем (1.1.1), в которых в принципе (т.е. при измеряемости всех переменных) имеется возможность обеспечить задачу слежения за произвольными задающими воздействиями в асимптотике инвариантно к действию внешних гладких возмущений.
По аналогии с СБФВВ (3.2.2)-(3.2.3), в данном разделе вводится понятие эквивалентной блочной модели вход-выход (СБКФ) системы (1.1.1), на основе которой группы компонент выходного вектора у1 будут регулироваться группами «своих» управляющих координат (или непосредственно, или через цепочку интеграторов), не влияющих на поведение других групп выходных координат. СБКФ может быть получена в режиме off-line путем многократного (// раз, где /л — максимальная относительная степень, \ jii n) дифференцирования выходных переменных с целенаправленной неособой заменой вектора состояния выходными переменными и их производными до комплектации полного управления с матрицей ранга т0.
Будем рассматривать общий случай, когда вектор выходных переменных может быть разделен на непересекающиеся группы компонент каждая из которых состоит из переменных, имеющих одинаковую относительную степень Vj=/, т.е. полное управление в соответствующих дифференциальных уравнениях относительно уи появляется минимум после / дифференцирований. В частных случаях все выходные переменные могут иметь одинаковую относительную степень Уц= М и р„ = т0; та или иная группа компонент уи (z =1, 2,...,// —1) может отсутствовать при РІ=0; разделению (4.2.1) подлежат линейно независимые комбинации выходных переменных ранга р = 2, т.е. Процесс «закрепления» за группами выходных переменных (или их линейных комбинаций), имеющих различную относительную степень, «своих» управляющих воздействий потребует также выполнения неособой замены координат вектора управления.
Введем понятие СБКФ системы (1.1.1), организация которой отражает указанную специфику задачи и является предпосылкой решения задачи слежения за произвольными задающими воздействиями в предположении, что оператор объекта управления известен, имеется информация о задающих и возмущающих воздействиях и их производных требуемого порядка.
Определение 4.2.1. Совместной блочно-канонической формой управляемости и наблюдаемости (СБКФ) будем называть эквивалентную модель вход-выход системы (1.1.1), полученную в результате неособых преобразований координат вектора состояний и управляющих воздействий, и имеющую блочную структуру вида
