Анализ и синтез пространственно многомерных распределенных систем с учетом дескрипторной структуры представления на основе спектрального метода Торгашова Ольга Юрьевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Состояние проблемы и задачи диссертации 19

1.1. Анализ и синтез распределенных систем управления 20

1.2. Устойчивость распределенных систем автоматического управления 34

1.3. Управляемость и наблюдаемость распределенных систем автоматического управления 37

1.4. Представление распределенных систем управления в виде бесконечных систем уравнений на основе спектрального метода 40

1.5. Особенности решения задач анализа и синтеза в дескрипторных системах 47

1.6. Общая постановка задач анализа и синтеза пространственно распределенных систем управления 52

1.7. Заключение главы 1 57

Глава 2. Спектральный анализ пространственно многомерных объектов управления в прямоугольной системе координат 58

2.1. Пространственно двумерная система ортогональных разложений и спектральные характеристики 58

2.2. Представление двойного интеграла от произведения двух пространственно двумерных распределенных функций в спектральной форме 60

2.3. Представление произведения двух пространственно двумерных распределенных функций с помощью спектральных характеристик 61

2.4. Представление производных по пространственным переменным двумерно распределенных функций в спектральной форме 69

2.5. Представление интегралов по пространственным переменным двумерно распределенных функций в спектральной форме 102

2.6. Решение задачи анализа пространственно двумерного объекта на основе спектрального метода представления 107

2.7. Пространственно трехмерная система ортогональных разложений и спектральные характеристики 115

2.8. Представление тройного интеграла от произведения двух пространственно трехмерных распределенных функций в спектральной форме 118

2.9. Представление произведения двух пространственно трехмерных распределенных функций с помощью спектральных характеристик 119

2.10. Представление производных по пространственным переменным трехмерно распределенных функций в спектральной форме 123

2.11. Представление интегралов по пространственным переменным трехмерно распределенных функций в спектральной форме 142

2.12. Решение задачи анализа пространственно трехмерного объекта 144

2.13. Заключение главы 2 150

Глава 3. Спектральный анализ пространственно двумерных объектов управления в цилиндрической системе координат 152

3.1. Разложение функции в ряд Фурье по двум пространственным переменным в цилиндрической системе координат 152

3.2. Представление в спектральной форме двойного интеграла от произведения двух функций, заданных в цилиндрической системе координат 156

3.3. Представление в спектральной форме произведения двух функций, заданных в цилиндрической системе координат 157

3.4. Представление в спектральной форме производных по пространственным переменным функций, заданных в цилиндрической системе координат 162

3.5. Представление в спектральной форме двойного интеграла по пространственным переменным функций, заданных в цилиндрической системе координат 182

3.6. Решение задачи анализа пространственно двумерного объекта, заданного в цилиндрической системе координат 185

3.7. Дескрипторное спектральное представление математической модели плазменного шнура в магнитном поле установки токамак 194

3.8. Заключение главы 3 207

Глава 4. Анализ бесконечной линейной дескрипторной системы уравнений 210

4.1. Алгоритм анализа бесконечных дескрипторных систем 210

4.2. Бесконечные системы алгебраических уравнений 213

4.3. Бесконечные неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений 215

4.4. Анализ дескрипторного спектрального представления объекта управления в системе стабилизации потенциала ускорения плазмы 221

4.5. Заключение главы 4 229

Глава 5. Синтез динамических регуляторов дескрипторных систем по критерию H2-оптимизации 231

5.1. Постановка задачи 231

5.2. Обратная связь с использованием оценки вектора состояния 234

5.3. Синтез наблюдателя минимальной размерности 237

5.4. Синтез H2-оптимального регулятора 241

5.5. Синтез системы стабилизации потенциала ускорения плазмы в магнитном поле установки токамак 249

5.6. Заключение главы 5 258

Глава 6. Решение задач управления многомерными температурными полями в технологических установках 259

6.1. Постановка задачи синтеза системы управления технологической установкой нагрева нефтепродуктов 259

6.2. Представление математической модели технологической установки нагрева нефтепродуктов в спектральной форме 267

6.3. Описание процедуры синтеза регулятора установки нагрева нефтепродуктов 277

6.4. Пример синтеза регулятора для управления нагревом нефтепродуктов 283

6.5. Синтез регулятора для управления температурным полем установки термической обработки стеклоизделий 291

6.6. Заключение главы 6 304

Заключение 305

Список литературы

• Особенности решения задач анализа и синтеза в дескрипторных системах
• Представление двойного интеграла от произведения двух пространственно двумерных распределенных функций в спектральной форме
• Представление в спектральной форме двойного интеграла от произведения двух функций, заданных в цилиндрической системе координат
• Анализ дескрипторного спектрального представления объекта управления в системе стабилизации потенциала ускорения плазмы

Введение к работе

Актуальность темы. Распределенные системы управления, регулируемые параметры которых зависят не только от времени, но и от пространственных переменных или переменных какой-либо другой природы, широко распространены практически во всех отраслях производства: в химической и металлургической промышленности, при термообработке материалов и изделий, при управлении радиационными и магнитогидродинамическими процессами, протекающими в энергетических установках, при добыче и транспортировке нефти и газа, при управлении упругими конструкциями в авиационной и космической технике и т.д.

Основные обзоры, опубликованные в работах отечественных и зарубежных авторов А.Г. Бутковского, Г.Л. Дегтярева и Т.К. Сиразетдинова, W.H. Ray, M.J. Balas, R.F. Curtain и H.J. Zwart, I. Lasiecka, R. Padhi и S.F. Ali, P.D. Christofides, охватывают широкий круг проблем теории распределенных систем, а также подходы и методы, применяемые для их решения. Основными проблемами являются устойчивость, управляемость, наблюдаемость, анализ и синтез распределенных систем. Для решения этих задач предлагается применять самые различные подходы.

Несмотря на обширную теоретическую базу, практическое применение методов решения указанных проблем затруднено, что вызвано сложностью описания распределенных систем уравнениями с частными производными, интегральными и интегродифференциальными уравнениями, зависящими от одной, двух или трех пространственных координат.

Традиционные подходы к синтезу регуляторов систем с распределенными параметрами основаны на методах дискретизации либо на методах решения задач оптимизации с учетом распределенной природы объекта. Основным ограничением методов дискретизации, особенно для пространственно многомерных систем, является то, что они приводят к аппроксимации исходной системы уравнений системой, состоящей из большого количества обыкновенных дифференциальных уравнений, которую невозможно использовать для реализации регулятора, работающего в реальном времени. Кроме того, в ряде случаев дискретизация может приводить к нарушению основных физических принципов рассматриваемого процесса. Поэтому значительные исследовательские усилия были сосредоточены на развитии методов описания и расчета систем с распределенными параметрами, учитывающих распределенную, или бесконечномерную, природу рассматриваемых систем.

Такие известные методы, как методы аналитического синтеза регуляторов, геометрический метод поиска алгоритмов управления, методы пространственно частотной декомпозиции и т.д., осложнены тем, что решение оптимизационных задач, задач управляемости и наблюдаемости, как правило, связано с решением дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с частными производными, что представляет самостоятельную сложную научную задачу и существенно влияет на результат анализа и синтеза исследуемой распределенной системы.

При решении задач управления распределенными объектами часто прибегают к понижению пространственной размерности математической модели, что значительно упрощает решение поставленных задач. Однако принятые допущения могут весьма существенно влиять на точность и динамические характеристики разработанных систем управления.

Еще одной особенностью описания распределенных объектов, усложняющей решение задач анализа и синтеза, является присутствие в математических моделях распределенных систем уравнений, описывающих взаимосвязи внутри объекта и не содержащих производных по времени.

В диссертационной работе используется спектральный метод представления математической модели распределенного объекта, дающий возможность применения методов пространства состояний для анализа и синтеза распределенных систем. Если исходная математическая модель распределенной системы описывается интегродифференциальными или дифференциальными уравнениями, содержащими производные по времени, и интегральными уравнениями или уравнениями с частными производными только по пространственным координатам, то спектральное представление системы будет представлять собой две связанные бесконечномерные системы дифференциальных и алгебраических уравнений. Такие системы принято называть де-скрипторными.

Таким образом, разработка математической базы для анализа и синтеза пространственно многомерных распределенных дескрипторных систем является актуальной научной проблемой, имеющей важное научно-техническое значение, решение которой дает возможность повысить точность, надежность и экономическую эффективность разрабатываемых систем управления.

Цель диссертационного исследования. Разработать теоретические основы представления математической модели пространственно многомерной распределенной системы в спектральной форме в виде совокупности бесконечномерных систем уравнений – дифференциальной и алгебраической, составленных относительно векторов спектральных характеристик пространственно распределенных функций состояния исходной системы, что дает возможность использовать методы пространства состояний для синтеза регуляторов распределенных систем. Применить разработанные теоретические положения для создания регуляторов распределенных систем.

Для достижения указанной цели поставлены и решены следующие научно-технические задачи.

1. Для пространственно многомерных распределенных объектов управления, описываемых системами дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, с учетом возможных внутренних взаимосвязей, не содержащих производных по времени, разработать новые теоретические положения спектрального метода, с использованием которых можно осуществить переход к спектральной форме представления рассматриваемого объекта управления связанными бесконечными системами дифференциальных и алгебраических уравнений.

1. Разработать алгоритмы вычисления операционных матриц и матриц граничных условий спектрального преобразования, дающие возможность повысить точность и сократить объем вычислений.

2. Исследовать вопросы существования и единственности решения задачи анализа на основе спектральной модели пространственно многомерного распределенного объекта управления, описываемого бесконечной дескрип-торной системой уравнений.

3. Получить необходимые условия, которым должна удовлетворять бесконечная дескрипторная система уравнений в спектральной области представления, при которых решение усеченной системы обладает свойством сходимости и при достаточно большом количестве уравнений стремится к решению бесконечной системы, что необходимо для выполнения вычислительных процедур анализа и синтеза систем управления.

4. С использованием методов пространства состояний решить задачу синтеза для дескрипторной системы в классе непрерывных динамических регуляторов минимальной размерности.

5. Получить дескрипторное спектральное представление математической модели для стабилизации плазмы в магнитном поле установки Токамак и выполнить синтез регулятора.

6. Разработать цифровые системы управления многомерными температурными полями в технологических нагревательных установках по проточному нагреву нефтепродуктов, в установках для термической обработки стек-лоизделий.

Объект исследования. Пространственно многомерные распределенные дескрипторные системы.

Предмет исследования. Анализ и синтез пространственно многомерных распределенных дескрипторных систем.

Методы исследования. Поставленные в диссертационной работе задачи решаются на основе функционального анализа, теории обобщенных функций, методов математической физики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, теории дескрипторных систем, теории матриц, аналитической теории автоматического управления.

Основные научные результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Условия и теоремы перехода от математических моделей пространственно многомерных распределенных объектов управления, представленных системами дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных и алгебраических уравнений к математической модели в спектральной форме в виде совокупности бесконечномерных систем дифференциальных уравнений в форме Коши и бесконечномерных систем алгебраических уравнений, то есть к дескрипторной модели.

2. Алгоритмы вычисления операционных матриц перехода к спектральной форме для пространственно многомерных функций.

3. Необходимые условия существования и единственности решения, полученного на основе бесконечномерной дескрипторной модели системы, составленной относительно вектора спектральной характеристики.

4. Необходимые условия сходимости полученного решения рассматриваемой бесконечномерной дескрипторной системы и необходимые условия, при которых решение усеченной дескрипторной системы, при достаточно большом количестве дифференциальных и алгебраических уравнений стремится к решению бесконечномерной системы, что определяет правомерность усечения при выполнении вычислительных процедур.

5. Развитие метода синтеза динамического регулятора на основе наблюдателя минимальной размерности, представленного в классе обыкновенных систем, по критерию H₂-оптимизации для дескрипторной системы.

6. Дескрипторная математическая модель распределенного объекта и алгоритм синтеза регулятора для стабилизации потенциала ускорения плазмы в магнитном поле.

7. Математические модели пространственно многомерных распределенных объектов и алгоритмы синтеза цифровых регуляторов при дискретном по пространству и времени управлении с границ в технологических установках проточного нагрева нефтепродуктов и термической обработки стеклоизделий.

Обоснованность научных результатов диссертационной работы базируется на использовании апробированных научных положений в области функционального анализа, теории ортогональных функций, рядов Фурье, теории оптимальных и распределенных систем управления, согласованности полученных результатов с результатами, полученными другими методами, результатами практического использования алгоритмов и программ, предложенных в диссертации.

Достоверность полученных в диссертационной работе научных результатов обеспечивается корректным применением используемых теоретических положений, моделированием разработанных систем управления на ЭВМ и апробацией результатов работы при создании действующих промышленных установок.

Научная новизна:

1. Доказаны новые теоремы о спектральных характеристиках для пространственно двумерных и трехмерных объектов управления, описываемых в прямоугольной и цилиндрической системах координат, которые определяют переход от дифференциально-интегральной формы математической модели к спектральной форме, представляющей собой форму Коши, бесконечным вектором состояния которой является вектор спектральной характеристики. Благодаря введенным определениям и теоремам в правую часть полученного спектрального представления аддитивно входят выражения, определяющие граничные условия, управления, внешние воздействия и возмущения.

2. Получены аналитические выражения для вычисления операционных матриц преобразования к спектральной форме математической модели. Элементы операционных матриц, вычисляемые в соответствии с этими выраже-

ниями, не зависят от выбранной размерности вектора спектральной характеристики. Это дает возможность исключить накопление ошибок вычислений. Получено представление операционных матриц преобразования и матриц граничных условий для пространственно многомерных объектов с использованием матриц преобразования и матриц граничных условий пространственно одномерных объектов, что существенно уменьшает объем вычислений в процессе анализа и синтеза систем управления.

3. Сформулированы необходимые условия существования и единственности решений бесконечномерной дескрипторной системы, составленной относительно векторов спектральных характеристик.

4. Сформулированы необходимые условия сходимости решения бесконечномерной дескрипторной системы и получены необходимые условия, при которых при выполнении вычислительных процедур можно провести усечение дифференциальной и алгебраической подсистем дескрипторной системы, не нарушая физики исследуемого процесса.

5. Для пространственно многомерной распределенной системы на основе дескрипторного спектрального представления предложен метод синтеза динамического регулятора, представленного в классе обыкновенных систем, по критерию H₂-оптимизации.

6. Разработано дескрипторное спектральное представление математической модели невесомой потенциальной идеально проводящей жидкости для стабилизации плазмы в магнитном поле установки токамак, позволяющее провести математическое моделирование процессов, протекающих в системе, не прибегая при этом к дорогостоящим экспериментам, и синтезировать регулятор.

7. Разработаны математические модели и синтезированы регуляторы на основе спектрального представления для систем управления многомерными температурными полями в технологических нагревательных установках при дискретном по пространству и времени управлении с границ.

Научная значимость. В диссертации разработаны методологические основы спектрального метода анализа и синтеза пространственно многомерных обыкновенных и дескрипторных распределенных систем, что является решением важной научной проблемы разработки распределенных систем управления.

Практическая значимость:

1. Разработанные теоретические положения по анализу и синтезу пространственно многомерных обыкновенных и дескрипторных распределенных систем могут быть использованы специалистами научно-технических организаций, занимающихся разработкой сложных пространственно многомерных распределенных систем в области технологии обработки материалов, при автоматизации радиационных и магнитогидродинамических процессов в атомной промышленности и энергетике, при построении автоматизированных систем транспорта газа и нефтепродуктов, систем управления упругими конструкциями и т. д.

2. Разработанные математические модели и программы анализа и синтеза систем управления многомерными тепловыми объектами дают возможность повысить качество и снизить затраты на разработку, проектирование и изготовление систем, обеспечивающих заданные температурные поля в нагревательных устройствах для проточного разогрева нефтепродуктов перед их транспортировкой и в цилиндрических нагревательных камерах для технологической обработки стеклоизделий, что подтверждено актами внедрения в производственный процесс.

3. Разработка спектральной модели пространственно многомерного де-скрипторного объекта открывает возможность не только синтезировать регулятор для стабилизации потенциала ускорений плазмы в магнитном поле, но и исследовать различные режимы эксплуатации проектируемой системы, что весьма важно для сложных объектов, к которым относятся, например, объекты ядерной энергетики, для которых возможности эксперимента ограничены.

Реализация и внедрение результатов работы. Проведенные в работе исследования выполнены в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре «Радиоэлектроника и телекоммуникации» СГТУ имени Гагарина Ю.А. в рамках научного направления кафедры «Аналитическая теория многомерных систем автоматического управления». Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект «Исследование проблемы синтеза робастных регуляторов распределенных систем управления на основе алгебро-дифференциальных моделей» 12-08-31173), Министерства образовании и науки РФ, Германской службы академических обменов (проект «Разработка методов оптимального синтеза и идентификации сингулярных систем» A1173739) и Американского фонда гражданских исследований и развития (проект «Исследование эффективности параметрической адаптации и управления режимом синхронизации подсистем» Y5-B-06-03).

Полученные результаты использовались в ООО «РН-Информ» (г. Красноярск) при разработке системы управления путевым подогревателем нефти и в ООО НПП «Наноструктурная технология стекла» (г. Саратов) при разработке системы управления температурным режимом установки термической обработки стекловолокна, что подтверждается соответствующими актами внедрения. Результаты работы также использовались в учебном процессе при чтении лекций по курсу «Современные проблемы теории управления» и «Спектральная теория анализа и синтеза распределенных управляемых систем» магистрантам направления 27.04.04 «Управление в технических системах».

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены и обсуждены на Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-23, 24, 25, 26, 27 (Саратов, 2010, 2011; 2012, 2013; Тамбов, 2014), Российской научной конференции с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля, измерения» УКИ-10, 12 (Москва,

2010. 2012), Международной научной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO-12 (Москва, 2012), Международной научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика» (Пятигорск,

2011. 2013), Всероссийской научно-практическая конференции «Инновации и актуальные проблемы техники и технологий» (Саратов, 2010), Международной научной конференции «Проблемы управления, обработки и передачи информации» АТМ-2013 (Саратов, 2013), Международной научной конференции «Проблемы управления, обработки и передачи информации» УОПИ-2015 (Саратов, 2015), а также на научных семинарах кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» СГТУ имени Гагарина Ю.А.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 53 печатные работы, из которых 16 в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендуемых ВАК РФ. Получен патент на изобретение и 2 свидетельства о регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 6 глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 386 страниц, включая 32 рисунка, 8 таблиц, список литературы из 320 наименований и 5 приложений.

Особенности решения задач анализа и синтеза в дескрипторных системах

Анализ и синтез распределенных систем управления Методы оптимального и адаптивного управления. Вопросам анализа и синтеза распределенных систем на основе общей теории оптимального управления, построенной с применением классического вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования Бел-лмана, методов функций Ляпунова, посвящены работы А.Г. Бутковского [3, 5, 7].

Для задачи оптимального управления в теплопроводной среде Y. Sakawa предложено два пути решения [282]: с помощью методов вариационного исчисления получено необходимое условие оптимального управления в виде интегрального уравнения Фредгольма первого рода и с использованием методов линейного и нелинейного программирования решена задача синтеза распределенной системы управления.

Большая группа работ по синтезу оптимальных распределенных систем выполнена Т.К. Сиразетдиновым. Использование метода динамического программирования для синтеза оптимальных законов управления, вывод необходимого и до 21 статочного условия оптимальности приведены в [93, 100]. Аналитическому конструированию регуляторов для магнитогидродинамических и газодинамических процессов посвящены работы [20, 97, 98].

Вопросы измерения, устойчивости, синтеза рассмотрены в [100, 102]. Использование метода функций Ляпунова в задачах управления системами с распределенными параметрами рассмотрено в [100].

В.Н. Куршевым и Т.К. Сиразетдиновым выполнен ряд работ по решению задачи оптимального управления стохастическими процессами тепло- и массопе-реноса [47, 48], оптимизации разрывных систем со случайными параметрами [49]. Синтезу оптимального управления в системах с распределенными параметрами при неполном измерении состояния посвящен обзор Г.Л. Дегтярева и Т.К. Сиразетдинова [28]. Обобщение работ Т.К. Сиразетдинова дано в монографии [104]. Работы Г.Л. Дегтярева [21, 24] посвящены решению задач оптимального управления одномерными процессами с запаздывающим аргументом на основе принципа максимума. Доказаны необходимые условия оптимальности. Решена задача оптимального управления температурным полем трубчатого реактора при наличии запаздывания на входе. Г.Л. Дегтяревым показана возможность использования локальных критериев качества для оптимального управления стохастическими процессами с распределенными параметрами [25], решена задача оптимальной фильтрации линейных систем с распределенными параметрами [24], исследовано оценивание состояния полей распределенных объектов управления на основе метода наименьших квадратов [27].

Для решения многих практических задач в области техники, экономики, теории информации используется параметрическая оптимизация на основе принципа максимума, что приводит к специальным негладким задачам математического программирования полубесконечной оптимизации. Один из путей решения данной задачи развит Э.Я. Рапопортом в работах [75-79] на основе чебышевских свойств решений полубесконечной оптимизации, именуемых альтернансными. На основе этих свойств и их преобразования к расчетным системам уравнений разра 22 ботан альтернансный метод оптимизации управляемых процессов [81, 82]. Аль-тернансный метод дает возможность определить оптимальные параметры системы. В [84] альтернансный метод применен для параметрического синтеза Ноо-оптимальных замкнутых систем автоматического управления на основе использования равномерно-частотных показателей [92] в форме Ноо-норм частотных характеристик, являющихся количественной мерой оценки критериев оптимальности, устойчивости, качества и робастности системы. Основные результаты работ Э.Я. Рапопорта изложены в монографиях [80, 83] и учебниках [85-87].

Метод Гамильтона-Якоби применен к синтезу системы на основе квадратичного функционала при управлении с границ для объекта, описываемого одномерным волновым уравнением, рассмотрен в [230]. Получено множество уравнений Риккати, дающих решение задачи оптимального управления, представлены алгоритмы решения полученных уравнений.

В работе [214] для анализа оптимального управления объектами, описываемыми уравнениями гиперболического вида, используется интегральное преобразование Лапласа, показан эффект влияния распределенности на вид закона управления.

В [223, 224] предложен алгоритм синтеза оптимального управления линейной системой с распределенными параметрами, в соответствии с которым нет необходимости решать уравнения с частными производными.

Применение метода динамического программирования Беллмана для решения задач оптимального управления тепловыми и диффузионными процессами в конце 70-х и начале 80-х годов натолкнулось на серьезные трудности, связанные с получением и анализом самого уравнения Беллмана. В работах А.И. Егорова [31-34] предложено использование аппарата обобщенных решений краевых задач и понятие дифференциала Фреше, что дало возможность развить ряд положений теории оптимального управления распределенных систем и указать пути приближенного решения задачи синтеза.

В [244] представлены результаты, относящиеся к теории синтеза оптимальных двумерных распределенных систем, записанных в гамильтоновой форме. Приведенные в работе результаты основаны на уравнениях для переменной состояния и сопряженной переменной, а также граничных условий.

В статьях [173, 174] рассмотрен синтез регулятора для квазилинейных систем, описываемых уравнениями с частными производными параболического вида. Спектр собственных значений распределенного оператора разделен на два устойчивых спектра: конечномерный медленный и бесконечномерный быстрый. Синтезированный нелинейный регулятор, обеспечивающий заданное качество системы управления.

Для многосвязного манипулятора, являющегося упругим распределенным объектом управления, в [252] построен пропорционально-дифференциальный закон управления по принципу обратной связи без использования конечномерной аппроксимации. На основе выражения для полной энергии системы введена функция Ляпунова. Предложен распределенный динамический закон управления по выходу, структура которого такова, что в частном случае регулятор представляет собой сосредоточенную систему. С использованием собственных функций дифференциального оператора доказаны свойства асимптотической устойчивости замкнутой системы и сходимости к желаемому стационарному состоянию. Основные теоретические положения подтверждаются экспериментом.

В работе [203] представлен принцип максимума для параболических систем с распределенными параметрами в банаховом пространстве. Результаты работы применимы и для систем, описываемых нелинейным уравнением теплопроводности и диффузии в пространствах Lx, Lm .

Представление двойного интеграла от произведения двух пространственно двумерных распределенных функций в спектральной форме

Анализ линейных дескрипторных систем, основанный на представлении системы в нормальной декомпозиционной форме, сводится к анализу быстрой и медленной подсистем [186, 197]. Решение для медленной подсистемы ничем не отличается от решения, полученного для линейной обыкновенной системы. Решение для быстрой подсистемы содержит производные от управляющего входа и импульсные составляющие. Более того, в отличие от обыкновенной линейной си 48 стемы, реакция линейной дескрипторной системы на любые начальные условия может и не существовать. Для дескрипторной системы вводятся понятия регулярности и согласованности начальных условий. Решение регулярной линейной де-скрипторной системы существует для любых начальных условий, но содержит обобщенные функции. Согласованные начальные условия допускают существование решения, не содержащего обобщенных функций.

Можно выделить два направления исследований решения регулярной де-скрипторной системы. В исследованиях первого направления полагается, что начальные условия должны быть согласованными, в исследованиях второго направления полагается, что могут иметь место любые начальные условия. Согласованные начальные условия могут рассматриваться как ограничение, гарантирующее согласованность решения [180, 181, 231, 295, 308].

Как и для любой динамической системы, свойство устойчивости является одним из основных для линейных дескрипторных систем. Изучению устойчивости дескрипторных систем посвящено множество работ. В [290] сформулировано условия устойчивости дескрипторной системы в форме двух уравнений Ляпунова. Позднее в [260, 285, 286] были приведены критерии устойчивости некоторых типов обобщенных матричных уравнений Ляпунова. Для линейных непрерывных дескрипторных систем со структурными возмущениями в [316] рассмотрена задача робастной устойчивости. В работе [166] задача робастной устойчивости непрерывной дескрипторной системы решается с применением LMI-подхода, опирающегося на линейные матричные неравенства. Для решения проблемы устойчивости дескрипторных систем с запаздыванием в работе [208] применяется ляпунов-ский подход.

Для дескрипторных систем, в отличие от обыкновенных систем, можно установить несколько типов управляемости и наблюдаемости. Если система представлена в нормальной декомпозиционнной форме, то можно использовать критерии управляемости и наблюдаемости в терминах медленной и быстрой подсистем. В дескрипторных системах при определении критериев управляемости и наблюдаемости действует принцип дуальности. Управляемости и наблюдаемости дескрипторных систем посвящено множество публикаций. Теория различных видов управляемости, наблюдаемости и соотношений дуальности изложена в работах [165, 169, 172, 181, 241, 295, 310, 319]. Непрямые критерии, основанные на эквивалентных формах представления де-скрипторных систем, представлены в [319].

Важнейшим свойством линейной дескрипторной системы является регулярность. Регулярность гарантирует существование и единственность решения линейной дескрипторной системы [197, 312]. О свойстве регулярности разомкнутых дескрипторных систем можно прочитать в работах [186, 241, 295]. Однако предположение о регулярности разомкнутой дескрипторной системы затрудняет анализ реальных систем [242, 268].

Проблема регуляризации линейных дескрипторных систем с использованием обратной связи привлекает множество исследователей. В [268] рассматривается регуляризация линейной дескрипторной системы с помощью обратной связи по состоянию и представлены необходимые и достаточные условия существования решения задачи. В [178, 190, 266] внимание исследователей сосредоточено на регуляризации линейных дескрипторных систем с помощью пропорционально-дифференциальной обратной связи. В [206] предложена регуляризация линейной дескрипторной системы с использованием пропорциональной обратной связи по состоянию с учетом заданного расположения собственных чисел системы, приведены необходимые и достаточные условия существования решения задачи.

Помимо изучения теоретических аспектов регуляризации, множество исследований посвящено разработке численных алгоритмов синтеза обратной связи по состоянию, гарантирующей желаемые характеристики замкнутой системы. Одной из таких задач является синтез регулятора, обеспечивающего регулярность и установление единичного индекса замкнутой системы [157, 163, 177]. Еще одним направлением является синтез обратной связи, регуляризующей замкнутую систему и устраняющей импульсные составляющие решения [248, 297]. В [177, 156] синтез обратной связи, исходя из условия регулярности, дополняется условиями управляемости и наблюдаемости. Регуляризация дескрипторных систем с помощью обратной связи по выходу изучена гораздо слабее. Большинство результатов основывается на некоторых формах разложения для дескрипторных систем и, как следствие, полученные условия выражаются не через исходные матрицы объекта.

Задача заданного размещения полюсов, или задача модального управления, рассмотрена в работах [141, 165, 179, 204, 228, 247, 267, 293, 302, 319]. Размещение полюсов в линейных дескрипторных системах с использованием обратной связи по выходу представлено в [142, 189, 192].

Оптимальному управлению стационарных систем посвящено множество публикаций. В [165, 150, 254] исследуются вопросы существования, единственности и устойчивости решений сингулярных задач линейно-квадратического управления и показано, что непрерывные и дискретные задачи могут быть изучены одинаковым образом. В [151] приводится численное решение задачи линейно-квадратического оптимального управления в дескрипторных системах, основанное на обобщении известных методов. В [259] рассматривается задача линейно-квадратического оптимального управления линейными стационарными механическими дескрипторными системами. В работе [320] изучается задача сингулярного линейно-квадратического управления нерегулярной дескрипторной системой. Конструирование оптимальной обратной связи, зависящей только от состояния системы, в задаче управления непричинной системой рассмотрено в [233]: закон управления строится на основе несимметричного решения алгебраического уравнения Риккати. Работа [168] посвящена синтезу субоптимального линейно-квадратического закона управления. В [249] исследуется сингулярная линейно-квадратическая задача для дескрипторных систем и получен такой оптимальный закон управления, при котором замкнутая система регулярна, не содержит импульсных составляющих и устойчива.

Представление в спектральной форме двойного интеграла от произведения двух функций, заданных в цилиндрической системе координат

Представим уравнение (2.6.1) в безразмерном виде: дв(х, , т) _ d26(z, & т) d2e(z, 4, т) дт а% dZ2 + df (2.6.4) гє(0,оо), є(0,1), є(0,1), где в = Т/Тн ,T = t/tн,z = x/Lx , = y/Ly - безразмерные переменные; Тн - некоторая номинальная температура, например, максимальное значение температуры Т х на границе х = 0, град; tн - некоторая номинальная величина, значение которой можно принять приблизительно равным времени переходного процесса, с; ах = atQ/L2x , а4 = atQ/L2y - безразмерные коэффициенты. Начальные условия (2.6.2) принимают вид e(z,%,Q) = T0/Tн, є[0,1], є[0,1]. (2.6.5) Граничные условия (2.6.3) преобразуются к виду в(х, 4, г) = ви, 4, т%__0 = віх, 4, т)\ = Тс/Тн, в(%,,т]х=0 = в\,т), тє[0,оо), ( . . ) где в\,т) = Ґ/Тн. Поскольку объект управления линейный, без потери общности можно принять Тс = 0. Тогда граничные условия (2.6.6) примут вид в(х, 4, т\=1 = віх, 4, % = віх, 4,4=і = ві%,4,т)\ =в\4,т), г є [0, оо).

Для объекта управления (2.6.4), (2.6.5), (2.6.7) для переменных %, 4 будем использовать разложение в ряд Фурье по системам ортонормированных функций Рг,Р2 соответственно.

С использованием спектрального представления второй производной по пространственной координате на основании выражений (2.4.79), (2.4.106) полу \д2в(х, 4, г)1 чим выражения для векторов спектральных характеристик S% \ и 1 dZ \ 109 \д26{х,І;,т)\ SzA2 1 \ ф20(т) = P20Фв(т) + Г120(т) + Г (г) + Г20(г) + Г (т), (2.6.8) ф02(г) = P02Фв(т) + Г (г) + Г (г) + Г02(г) + Г(т), (2.6.9) где Ф20, Ф02 eR 2, nІ5 n2=1, оо - векторы спектральных характеристик функ ций S Г и S соответственно; ФвєК , \_ ох \ \_ ug J n19 n 2 = 1, оо - вектор спектральной характеристики функции в(х, т); P20, P02 -операционные матрицы дифференцирования второго порядка по переменным Х,% соответственно; Г , ГЦ, Г , Г - векторы граничных условий, появляющиеся в результате скачков функции на границах; Г2о, Г 1, Г , Г 1 векторы граничных условий, получающиеся в результате скачков первой производной на границах. Учитывая вид граничных условий (2.6.7), получаем спектральное представление граничных условий: -Г?п = Г = Гпт = Im =Г = Гп = Гп = о, гоо J P(Х) L д% , (2.6.10) In2 \Фв(т), где O GR , n2 = 1,оо - вектор спектральной характеристики одномерно распределенной функции в\%, т).

Учитывая выражения для вычисления операционных матриц дифференцирования второго порядка (2.4.79), (2.4.96), выражения (2.6.8), (2.6.9) и выражения для векторов граничных условий (2.6.10), представим исходное уравнение объекта (2.6.4) в спектральной форме:

) In \Фй(т), (2.6.11) Z=0 J d be(r) \a vPzQj л + aЛIn P]1ф (г) + aрPК dr L х 2 n2 4 щ 2 J в zl Введем обозначения для матричных коэффициентов уравнения (2.6.11) по # Pl( ) In2 (2.6.12) A = ax[P% 8 In2 ] + [Inі (8)Pf], B = az\ и представим (2.6.11) в виде d0 = AФв(т) + BФ в(т). (2.6.13) Результатом анализа будет решение векторно-матричного дифференциального уравнения (2.6.13), которое представляет собой изменяющийся во времени вектор амплитуд Фв(h1,h2,т) произведений пространственных функций разло жения Px(hx, z)P2(h2,%), hvh2 =\,оо. Обратный переход к функции 6 (/,,г) осуществляется с помощью ряда Фурье по выражению в(Х,,т)= 2 2Ів(h h P h Х)P2(h ) (2.6.14) hl=lh2=l Решим задачу анализа объекта (2.6.1), представляющего собой тонкую стальную пластину с коэффициентом температуропроводности a = 8.61 106 м2/с и геометрическими параметрами Lx =0.5 м, Ly =0.7 м при действии на границе x = 0 функции T =0ЛTн. В качестве номинального значения t0 выберем t0 =10 7 с и вычислим безразмерные коэффициенты aх =3.4440, =1.7571. В качестве систем разложения по переменным % % выберем системы орто нормированных функций Pл =V2{sin;rr, sin2;rr, sin3;rr,...}, г є [0,1], (2.6.15) P2 = V2{sin , sin2 , sin3 ,...}, є[0,1]. Найдем операционные матрицы дифференцирования. Для пространственно одномерного случая системы разложения (2.6.15) операционная матрица дифференцирования второго порядка по пространственной переменной имеет вид P{ =P/ =diag{-9.8696, -39.4784, -88.8264, -157.9137, -246.7401}. Ill Вычислим операционные матрицы дифференцирования второго порядка P20, P02 для пространственно двумерной системы. Для этого используем выражения P20 = [P 2 In2], P02 = [In 1 8 P 2\]. (2.6.16) Матрицы объекта, вычисленные согласно (2.6.12), будут иметь следующую числовую реализацию: -51.3332 0 A -103.3601 0 0 0 0 0 -190.0717 0 0 0 0 0 -311.4678 0 0 0 0 0 -467.5458 L BФ = colon{1.3776, 0, 0.4591, 0, 0.2754,...}. Уравнение (2.6.13) решим в Matlab для случая n 1 = n2 = 20 и перейдем к исходной функции по выражению (2.6.14). Результаты анализа системы для n1 =n2 =20 представлены на рисунке 2.1.

Анализ дескрипторного спектрального представления объекта управления в системе стабилизации потенциала ускорения плазмы

Полагаем, что регулируемая переменная объекта управления в цилиндрической системе координат представляется функцией p(r,z,t), где г є [R1, R2], z є [a, b ] - пространственные переменные, R1=R1-s, R2=R2+s, a =a-s, b =Ь + є, є - бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю, t є [0, оо) - время. Функция (p(r, z, і) является вещественной, однозначной, непрерывной, всюду дифференцируемой по пространственным переменным и времени и является ограниченной функцией с интегрируемым квадратом на указанных интервалах по пространственным переменным. Согласно [112], такую функцию можно разложить в двумерный ряд Фурье по пространственным переменным. По переменной г будем использовать разложение в ряд Фурье-Бесселя по системе функций {Bv(ahr)}, ортонормированных с весовым коэффициентом г на интервале г є [R1,R2], то есть [0, h1 h1, [rB(ah/maTi/)dr h (3u) А1,А1 =1,оо, где Bv(ahr) является линейной комбинацией функций Бесселя первого и второго рода [1] Bv(ah r) = Mvh [Jv(ah r)Yv(ah R1)-Yv(ah r)Jv(ah R1)], (3.1.2) / =1,00 или Bv(ah1r)=Mvh1[Jv(ah1r)Yv(ah1R2)-Yv(ah1r)Jv(ah1R2)], (3.1.3) A1=1,o; Jv(ahr), Yv(ahr) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно порядка v = 0,1,2,...; аА - положительные корни уравнений, представленных в таблице 3.1; М,, - нормирующий множитель, определяемый по выражению VII1 i?2 \ (3.1.4) Kh1=\ \rU2v(ahr)dr \R1 J Uv(ahr) = Jv(ah1r)Yv(ah1R1)-Yv(ah1r)Jv(ah1R1), h1=1, GO. Более подробно вычисления нормирующего множителя рассмотрены в приложении П3.1. Доказательство ортонормированности функций (3.1.2), (3.1.3) с корнями уравнений из таблицы 3.1 приводится в приложении П3.1. 154 Таблица 3.1 - Уравнения для определения корней ah функций (3.1.2), (3.1.3) Функция Уравнение Номер уравнения (3.1.2) h 2) v ( h Jv(ah R2)Yv(ah R1)-Yv(ah R2)Jv(ah R1) = 0, (3.1.5) Л1 =1,oo, (3.1.2) dJv(ah r) dr r=R Yv(ahR1) dYv(ahr) dr r=R Jv(ahR1) = 0, (3.1.6) /4=1,00, (3.1.3) Vv2 Vv2 h Jv(ah R1)Yv(ah R2)-Yv(ah R1)Jv(ah 2) = 0, (3.1.7) Л1 =1,oo, (3.1.3) dJv(ah r) dr r=R1 Yv(ahR2) dYv(ah r) dr r=R1 Jv(ah1R2) = 0, (3.1.8) /4=1,00. По переменной z будем использовать разложение в ряд Фурье по системе ортонормированных тригонометрических функций {P(h2, z)} & 2 2 Л2=Л2, 0, h2 Фh \P(h2,z)P(h2,z)dz = \ (3.1.9) h2, h2=1,oo. Ряд Фурье по двум пространственным переменным r и z с учетом (3.1.1), (3.1.9) представляется в виде q (r, z, t) = ф(Л1, Л2, t)Bv(ah1r)P(h2,z), (3.1.10) h1=1h2=1 R2b (3.1.11) Ф(Л1, Л2,) = J J p(r, z, t)rBv(ah1r)P(h2, z)dzdr, R1a Л2, Л2=1,оо. Функцию Ф(Л1,Л2,ґ), определяющую коэффициенты двумерного ряда 155 Фурье, назовем спектральной характеристикой функции p(r,z,t) по пространственным переменным г и z. Эта функция зависит от двух дискретных значений

Л15 h2 = 1,оо, времени t и может быть представлена в векторной форме в соответствии с приложением П3.2: Ф(0 = со1оп{Ф(1,1,0,Ф(1,2,0,...,Ф(2,1,0,Ф(2,2,0,...}. (3.1.12) За меру точности приближения функции p(r,z,t) примем функцию R2bY щ п2 I2 Jnin2(t)=\\\(p(r,zJ)-YY Kt)BMhr)P(h2,z)\ dzdr, (3.1.13) где пъ п2- порядок усечения по переменным г, z соответственно. Точность представления квадратично-интегрируемых функций оценивается относительной погрешностью приближения Л п (О А»1И2(0 = щ . (3.1.14) На основании (3.1.11) можно сформулировать свойство линейности спектральных характеристик. Если функция ф, z, і) является линейной комбинацией функций pfazj), p2(r,z,t), …, pk(r,z,t), то спектральная характеристика (p(r,z,t) будет линейной комбинацией спектральных характеристик соответствующих функций (рх (г, z, 0, р2 (г, z, і), …, (рк {г, z, І): 2_jCt Pj(r, z, t) _ г=1 rz i=\ S = 2 Azk( ,oL (3.1.15) где ct, і = \,v - постоянные величины; Srz - спектральная характеристика по переменным г, z, полученная в соответствии с (3.1.11). Ниже будут сформулированы и доказаны теоремы о спектральных характеристиках пространственно двумерных функций, описываемых в цилиндрической системе координат. 156 3.2. Представление в спектральной форме двойного интеграла от произведения двух функций, заданных в цилиндрической системе координат Рассмотрим двойной интеграл от произведения двух функций (px{r,z,t) и (p2{r, z, t) с весовым коэффициентом г: Rib J(t)= \\r(px{r,z,t)(p2{r,z,t)dzdr. (3.2.1) Rx a Полагаем, что для подынтегральных функций существуют спектральные характеристики Ф к к ґ), Ф2(Ь,1,Ь,2,ґ) (/z15 h2 =1,QO) по ортонормированным системам {Bv(ahr)} и {P(h2,z)}. Представим функции cpx{r,z,t), p2(r,z,t) в виде двойного ряда Фурье по системам функций {Bv{ahr)} и {P{h2,z)}: 00 00 q x{r, z, t) = 2 Ефі(Лі К )Ву(ау,г)р(К2\ й,=1й,=1 (3.2.2) 00 p2(r, z, t) = ХХФ2(Й1, h2J)Bv{oc-hr)P{h2,z). й1=1й2=1 С использованием введенных обозначений сформулируем теорему о представлении интеграла от произведения функций (px(r,z,t), (p2{r,z,t) в спектральной форме. Теорема 3.2.1 о представлении двойного интеграла от произведения двух пространственно двумерных распределенных функций в спектральной форме. Интеграл (3.2.1) представляется в спектральной форме в виде J(t) = ФІ (і)Фт (0, (3.2.3) где Фу, (г), Фу, (?)eR" "2, щ, п2 =1, о - векторы спектральных характеристик функций (px{r,z,t) и p2(r,z,t), составленные в соответствии с приложением П3.2. Доказательство теоремы основано на подстановке функций в виде двойного 157 ряда Фурье-Бесселя (3.2.2) в выражение (3.2.1). После перемножения сумм и взятия интегралов, с учетом ортонормированности функций {Bv(ahr)} и {P(h2,z)}, слагаемые, в которых индексы hl,hl и h2,h2 попарно различные, будут равны нулю, а интеграл (3.2.1) преобразуется к виду 00 00 J(t)=L 2.ф (Лі Л250Ф 2(ЛІ5Л2,0. (3.2.4) hl=lh2=l В соответствии с приложением П3.2 составим векторы спектральных характеристик 0 (0 = со1оп{Ф_ (1,1,0,Фда (1,2,0,...,Фда (2,1,0,Фда (2,2,0,...}, (3.2.5) Фт (0 = colon! Фт (1,1,0, Фт (1,2,0, , Фт (2,1,0, Фт (2,2,0,...} Интеграл J(0, представленный с помощью спектральных характеристик функций px{r,z,t) и q 2(r,z,t), можно записать в матричной форме (3.2.3), что доказывает теорему 3.2.1.

Представление в спектральной форме произведения двух функций, заданных в цилиндрической системе координат Сформулируем теорему о спектральном представлении произведения двух функций q (r, z, 0 = Pi(r, z, t)q 2(r, z, 0, (3.3.1) с использованием понятия спектральной характеристики на основе ортонормиро-ванных систем {Bv{ahr)} и {P(h2,z)}. Теорема 3.3.1 о представлении произведения двух пространственно двумерных распределенных функций, описываемых в цилиндрической системе координат, с помощью спектральных характеристик. Спектральная характеристика произведения двух функций (3.3.1) может быть представлена в век-торно-матричной форме Ф (0 = Р (оа (0, (3.3.2) где ФДО, Фй(0 ИіИ2,«і,«2єї – бесконечномерные векторы спектраль 158 ных характеристик функций p(r, z, і) и p2(r, z, і), составленные в соответствии с приложением П3.2; Рт (і) - операционная матрица первого сомножителя Pi(r, z, і), составленная по приложению П3.3, элементы которой имеют вид Pm(hx,h2,huh2J) = = J ]rBv(aJiir)P(h2,z)q l(r,z,t)Bv(ahir)P(h2,z)dzdr, (3.3.3) Al5A2, ЛІ5Л2=1,оо.

Отметим, что структурно векторы Е (V), Ф«, (0 и матрица R, (Л совпада ют с векторами (2.3.11) и матрицей (2.3.12), однако элементы этих векторов и матрицы определяются выражениями с учетом того, что функции (p{r,z,i), (px{r, z, t), (p2{r, z, t) описываются в цилиндрической системе координат. Ход доказательства теоремы также будет несколько отличен от доказательства аналогичной теоремы 2.3.1 для произведения функций в прямоугольной системе координат.