Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации 14
1.1. Постановка и анализ задачи 14
1.2. Обработка исходной информации в задаче управления надежностью .22
Выводы 27
CLASS Глава 2. Анализ методов решения некорректных задач 2 CLASS 8
2.1. Основные понятия 28
2.2. Вариационные методы решения 32
2.2.1. Метод квазирешений 32
2.2.2. Метод регуляризации 38
2.2.3. Метод невязки 48
2.2.4. Связь между вариационными методами, обобщения и выводы 50
2.3. Невариационные методы решения 53
2.3.1. Метод итераций 54
2.3.2. Конечноразностный (сеточный метод) 57
Выводы 60
Глава 3. Разработка метода решения некорректных задач в гильбертовом пространстве 61
3.1. Интегральное уравнение первого рода 61 -
3.2. Геометрия гильбертова пространства 62
3.3. Базис гильбертова пространства 66*
3.4. Матричное представление линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве 68
3.5. Ортогональные системы функций в Z,2- Ряды по ортогональным системам 69
3.6. Решение некорректных задач в гильбертовом пространстве методом обобщенного суммирования-рядов Фурье 81
Выводы 86
Глава 4. Аналитическое решение задачи. управления'надежностью технических систем 87"
4.1. Постановка задачи 87
4.2. Решение прямой задачи теории надежности 88'
4.3. Решение обратной задачи теории надежности 91
4.4. Оценка погрешности метода 101
4.5. Управление надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космических аппаратов серии «А» 104
Выводы 119
Заключение 120
Литература 122
- Обработка исходной информации в задаче управления надежностью
- Вариационные методы решения
- Интегральное уравнение первого рода
- Решение прямой задачи теории надежности
Введение к работе
Практика производства и эксплуатации высоконадежных малосерийных объектов космической техники показывает необходимость предъявления
требований к надежности космической техники уже на этапе разработки, с тем чтобы технические характеристики проектируемых объектов обеспечивали требуемый уровень надежности. При этом сокращаются как объемы заводских, так и летных испытаний.
В такой постановке задача управления надежностью является «обратной» задачей по отношению к прогнозированию надежности, являющемуся прямой задачей оценивания надежности.
Задача управления надежностью или задача синтеза составляющих комплекса условий испытаний является следствием решения проблемы анализа надежности уникальных и малосерийных объектов, естественным завершением круга вопросов, связанных с созданием технических объектов с заданными эксплуатационными характеристиками, в частности с заданной надежностью.
В математической модели задачи управления надежностью заданными являются классы функций, описывающих законы изменения характеристик надежности, и характеристики условий применения уникальных объектов, а искомыми являются требуемые законы распределения характеристик технического качества.
Под управлением надежностью понимается получение законов изменения характеристик качества системы на основе требуемого закона изменения надежности.
Данная задача относится к классу обратных задач математической теории надежности. Обратные задачи являются некорректными, т. е. их решения неустойчивы к изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произ-
вольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.
Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения.
Однако можно указать некорректно поставленные задачи, относящиеся как к классическим разделам математики, так и к различным классам практически важных прикладных задач.
К таким задачам относятся задачи создания систем автоматической математической обработки результатов эксперимента, задачи оптимального управления и оптимального проектирования систем, задача управления- надежностью сложных технических систем с неточно заданными параметрами.
Исходные данные задачи управления надежностью, получаемые обычно в результате измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при-построении приближенных решений и при оценке их погрешностей, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный.
В течение долгого времени считалось, что некорректные задачи- не имеют практического значения и их теория не может привести к содержательным математическим результатам. Такое мнение было распространено' даже после работы А. Н>. Тихонова! 943 г., в которой впервые была указана; практическая важность подобных задач и возможность их устойчивого- решения. В конце пятидесятых и, особенно, в начале шестидесятых годов*появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привлекли к ней внимание многих математиков.
В настоящее время по теории некорректных задач имеется обширная литература [41, 65, 76, 96, 97], охватывающая большинство аспектов этой теории.
Основным объектом исследования теории некорректных задач являются операторные уравнения первого рода
Ах=у (1)
в линейных нормированных пространствах X (хєХ) и Y (yeY), А - заданное отображение (оператор), действующий из X в Y (в общем случае X и Y есть произвольные топологические пространства). Многие задачи математической физики сводятся к уравнению (1) с вполне непрерывным (компактным), в частности интегральным оператором А. Уравнения такого вида возникают, например, при исследовании так называемых обратных задач, когда исходя из некоторых характеристик физического поля необходимо восстановить характеристики самой среды, которая порождает это поле [65, 96]. В этом случае по аналогии с интегральными уравнениями (1) называют абстрактным уравнением Фредгольма первого рода. Данный класс уравнений составляет основу математической модели задачи управления надежностью.
Трудности, возникающие при исследовании таких уравнений, связаны, главным образом, с незамкнутостью области значений оператора А и отсутствием непрерывной зависимости решения от правой части (неустойчивость или некорректность задачи). В этих условиях обычные методы, используемые для приближенного решения корректных задач, оказываются, как правило, непригодными.
При решении уравнения.типа (1) естественно исходить из предположения, что точные данные задачи {А, у} известны нам лишь приближенно, т. е. в действительности считать известной пару {Ah, у), аппроксимирующую в, выбранной топологии пару {А, у). Ошибки можно интерпретировать, например, как неадекватность идеализированной математической модели (1)- и описываемой ею физической реальности; кроме того, погрешность может возникнуть как за счет ошибок измерения исходных данных, так и за счет построения приближенной модели для уравнения (1) с целью проведения численных расчетов.
Задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным {А/„ ys) такой последовательности приближенных решений x/„s, которая сходится в пространстве X к точному решению х уравнения (1) при условии сходимости исходных данных {А/„ ys}->{A, у}.
В начале XX века французским математиком Адамаром были сформулированы три условия, которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию. Они известны как условия корректности по Адамару [1] и выражают естественные требования к математической задаче, отображающей реальную действительность, которые состоят в том, что решение должно существовать, быть единственным и непрерывно зависеть от исходных данных. Для абстрактного уравнения (^условия Адамара обычно формулируют в следующем виде:
для любого yeY существует элемент х<еХтакой, что Ах=у, т. е. область значений оператора R(A)=Y (существование);
элементом у решение х определяется однозначно, т. е. существует обратный оператор^"1 (единственность);
имеет место непрерывная зависимость х от у, т. е. обратный оператор А" непрерывен (устойчивость).
При выполнении этих условий задача (1) называется корректно поставленной (корректной) (по Адамару). Задачи, рассматриваемые в классической, математической физике (задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача Копій для уравнений теплопроводности и волнового уравнения), удовлетворяют условиям корректности Адамара при* естественном-выборе пространств X, Y. Поэтому было высказано мнение, нашедшее широкое распространение в. литературе [1, 78], что задачи, не удовлетворяющие условиям 1)-3) и называемые некорректно поставленными задачами, лишены физического смысла и в принципе не могут быть решены. Мотивировалось это тем, что при нарушении условия 3) сколь угодно малые погрешности (неизбежные при численном решении (1)) исходных данных (например, правой части у) могут привести к сколь угодно большим изменениям в решении и, следовательно, при-
ближенное решение, полученное как решение уравнения Ах=у , лишено разумного смысла и практической ценности. Однако, как показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают при описании многих реальных физических явлений в геофизике, гидродинамике, спектроскопии, т. е. «корректно поставленные задачи - это далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические явления» [67].
Важно отметить, что устойчивость (свойство 3)) задачи (1) зависит от выбранных топологий в/и У и, вообще говоря, подходящим выбором топологий (например, наделив Y сильнейшей топологией) можно добиться непрерывности оператора А'1. Но это будет лишь формальным преодолением трудности, так как обычно топологии навязываются нам постановкой задачи и не могут выбираться произвольно. Наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии - это топологии нормированных пространств L.2, С, С(т).
Таким образом, если не изменить постановку неустойчивых задач, то-обычные методы, применяемые для решения корректных задач, оказываются, естественно, непригодными для решения некорректных, так как сколь бы малой не была погрешность исходных данных, нельзя быть уверенным в малости погрешности решения. Поэтому потребности практики в решении некорректных задач привели к необходимости пересмотреть классическое понятие корректности и выработать более широкий и приспособленный к реальным нуждам подход. Начало этому было положено в 1943 г. А. Н. Тихоновым [95].
К настоящему времени разработано- большое число как общих, так и частных методов решения некорректных задач, нашедших разнообразное применение на практике. Применение этих методов, требует в каждом частном случае разработки специальных вычислительных алгоритмов и методов отбора «приемлемых» решений.
Поэтому актуальность данной работы заключается в необходимости разработки аналитических методов решения задачи управления надежностью
сложных технических систем с неточно заданными исходными данными позволяющих находить устойчивое решение в аналитическом виде.
Целью исследования является разработка аналитического метода решения широкого класса некорректных задач, возникающих в различных практически важных приложениях, в первую очередь, в задаче управления надежностью сложных технических систем при отсутствии точных исходных данных.
Важность данной задачи заключается в практической невозможности проведения всего комплекса испытаний сложной системы с целью сбора необходимой информации, без которой, в тоже время, невозможно и само проектирование. Т. е. необходимо выбрать на этапе разработки параметры проектируемой системы на основе требуемого закона изменения ее характеристик с течением времени при отсутствии точных значений исходных параметров и законов их изменения. Применяя, разработанный в данном исследовании метод, удалось решить одну из таких задач (выбор характеристик технической системы при заданном законе изменения надежности).
В первой главе данной работы дается постановка задачи управления надежностью сложных технических систем при неточных исходных данных. Математической моделью управления надежностью является система интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Далее в первой главе проводится анализ поставленной задачи с точки зрения определения точности исходных данных, на основе которых получаются параметры, характеризующие состояние системы. Доказывается- неустойчивость решений, задачи управления надежностью к изменению исходных данных. Более того, в* первой главе показывается, что поставленная задача не может быть решена классическими .методами, т. е. задача некорректна.
Далее в первой главе описывается методика обработки исходной информации в задаче управления надежностью, т. к. от правильности принятых статистических гипотез и качества обработки информации в большой степени зависит эффективность и точность решения основной задачи.
Особенностью задачи управления надежностью является анализ поведения системы на длительном интервале времени (от нескольких месяцев до нескольких лет). В этом случае случайные флуктуации переменных внешних воздействий на систему (внешних нагрузок) «сглаживаются», а сами переменные внешние нагрузки приобретают характер стационарных случайных процессов.
В первой главе приводятся статистические методы получения характеристик внешних воздействий в виде параметров стационарного в широком смысле случайного процесса и анализируются их особенности.
Во второй главе диссертации проводится анализ причин некорректности (неустойчивости) в постановках задач, дается определение корректности по Тихонову и вводится понятие регуляризующего оператора. Рассматриваются также существующие методы решений некорректных задач, проводится их анализ и сравнение.
В начале второй главы приводится постановка задачи регуляризации неустойчивых решений.
В настоящий момент разработано большое число методов решения широкого класса некорректных задач. Эти методы можно условно разделить на два больших класса: вариационные методы и методы, основанные на численных приближениях.
Во второй главе проанализированы вариационные методы решения,некорректных задач, а именно: метод квазирешений, метод регуляризации и метод невязки;
Анализ вариационных методов позволил определить границьь их применения, трудности, возникающие при их использовании на практике; и вычислительные особенности нахождения устойчивых решений.
В конце второй главы кратко рассматриваются численные методы решения некорректных задач, имеющие более узкую область применимости по сравнению с вариационными методами, на примере метода итераций и ко-нечноразностного (сеточного) метода.
По результатам подробного анализа существующих методов решения некорректных задач делается вывод о необходимости разработки нового метода решения некорректной задачи управления надежностью и формулируются требования, которым он должен отвечать.
Третья глава посвящена разработке метода решения некорректных задач в гильбертовом пространстве, в частности решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, являющегося математической моделью задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.
Задача, исследуемая в третьей главе, заключается в построении по приближенным исходным данным такой последовательности приближенных решений, которая сходится в к точному решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода при условиихходимости исходных данных.
На основании свойств гильбертовых пространств в диссертации доказываются необходимые и достаточные условия устойчивости решения задачи управления надежностью к изменененикьисходных данных.
Устойчивое к малым изменениям исходных данных решение задачи управления надежностью получается в виде конечного ряда Фурье, т. е. в аналитическом виде.
Регуляризация решения некорректной задачи осуществляется при помощи согласования погрешности решения и погрешности исходных данных путем изменения размерности редуцированного конечномерного пространства.
Четвертая глава диссертации посвящена решению задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.
С целью определения точности решения задачи управления надежностью методом, разработанным в третьей главе, проводится серия вычислительных экспериментов.
Решение некорректной задачи управления надежностью устойчивое к изменению исходных данных получается в виде отрезка ряда Фурье по данной ортонормированной системе функций.
В диссертации проводится анализ полученного решения, оценка его погрешности, на основе чего сделан вывод о достаточной степени согласованности полученного решения с заданным.
Далее в четвертой главе данного исследования рассматривается практически важная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции (СОК) космических аппаратов (КА) серии «А». Условия функционирования таких объектов отличаются стационарностью или квазистационарностью случайных процессов воздействия, определяющих режимы работы устройств, установленных на борту. Практика показывает, что в процессе эксплуатации беспилотных космических аппаратов (КА) имеют место в основном внезапные отказы, т. е. отказы, не связанные со старением или изменением свойств устройств.
Основными дестабилизирующими факторами или нагрузками, влияющими на работоспособность систем КА в условиях космического полета являются тепловые, радиационные, электрические, механические и др.
Существенную роль среди нагрузок, действующих на бортовые устройства КА, играют тепловые нагрузки. Фактически тепловым воздействиям подвержены все без исключения устройства борта КА. Не все они в равной мере чувствительны к этим нагрузкам и не для всех устройств те значения температуры, которые имеют место в различных режимах эксплуатации КА, опасны в отношении отказов. Для контроля за температурным режимом бортовых устройств вфазличных точках как внутренних отсеков КА, так и на его внешних элементах установлены датчики температуры. Измеренные тепловые нагрузки по каналам телеизмерений передаются наземным станциям и поступают в центральный командно-измерительный комплекс. Данные телеизмерений являются основой для оперативного контроля работоспособности некоторых систем борта.
Анализ показывает, что наибольшей чувствительностью к тепловым нагрузкам отличаются устройства системы ориентации и контроля (СОК), для которых полезным сигналом является радиация, излучаемая различными космическими телами: Землей, Солнцем и др. Источниками случайных флуктуации температуры на борту КА являются изменения солнечной радиации, работа бортовых тепловыделяющих приборов, длительность и чередование тени и света за один оборот вокруг Земли и т. д.
СОК обеспечивает успокоение, ориентацию и удерживание осей КА относительно орбитальной системы координат. В качестве чувствительных элементов СОК используются датчики ориентации на центр Земли (М56Д, 42Д), датчик ориентации на Солнце(26Д), инфракрасные датчики коррекции на центр Земли (40Д-І). Нормальными условиями эксплуатации, оговоренными в технической документации, для этих датчиков являются определенные диапазоны температур.
Характерными отказами датчиков СОК являются отказы, обусловленные выходом температуры корпуса датчика за допустимые пределы. Повышение температуры датчика приводит к снижению уровня полезного сигнала на фоне шумов, что в конечном счете не позволяет СОК произвести ориентацию антенны ретранслятора в направлении наземной станции. Событие, связанное с потерей связи со спутником, вследствие отсутствия должной ориентации антенны ретранслятора, следует рассматривать как отказ СОК.
Анализ результатов телеизмерений показывает, что тепловое воздействие на датчики СОК имеет характер стационарного случайного процесса:.
В четвертой главе диссертации первоначально проводится проверка статистических гипотез о стационарности и эргодичности тепловых процессов на основе данных телеизмерений.
Для проверки предположения о стационарности процессов по их корреляционным (автокорреляционным) функциям для каждой реализации процесса с помощью компьютера рассчитываются нормированные корреляционные функции центрированных случайных процессов.
Затем проверяется гипотеза о стохастической независимости наибольших значений температуры. Для этого используется критерий серий.
После этого определяются параметры функции распределения наибольшего значения температуры и проверяется достоверность гипотезы о законе экстремальных распределений некоррелированных наибольших значений температур, при помощи критерия со2 (критерий Мизеса).
Поставленная некорректная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и стабилизации космических аппаратов серии «А» решена в четвертой главе разработанным в диссертации аналитическим методом.
В результате расчетов были сформированы рекомендации к характеристикам технического качества датчиков системы ориентации и коррекции. Полученные результаты позволяют на этапе проектирования уточнить требования к характеристикам датчиков системы ориентации и коррекции при условии достижения требуемого уровня надежности, что позволяет сократить цикл испытаний и доработок проектируемого изделия.
В заключении приводятся основные результаты данной диссертационной работы.
Обработка исходной информации в задаче управления надежностью
В задаче управления надежностью сложных технических систем особое значение приобретает получение исходных данных для модели, описываемой уравнениями (1.3)-(1.4). От правильности принятых гипотез и от качества обработки исходной информации будет в большой степени зависеть и эффек-тиивность основной задачи управления надежностью.
Особенностью данной задачи является анализ поведения системы на длительном интервале времени (от нескольких месяцев до нескольких лет). В этом случае случайные флуктуации переменных внешних воздействий на систему (внешних нагрузок) «сглаживаются», а сами переменные внешние нагрузки приобретают характер стационарных случайных процессов. Т. е. процесс нагружение имеет характер случайной функции времени X{t), где при to величина X(t0) представляет собой функцию распределения случайного значения нагрузки в момент времени t = t0. Поэтому основными задачами обработки исходной информации в задаче управления надежностью являются статистическое подтверждение гипотезы о стационарности, случайного процесса нагружения и нахождение параметров данного случайного процесса.
В общем случае любой случайный процесс описывается некоторым числом кратких характеристик, являющихся неслучайными функциями параметра t (времени). Основными параметрами, характеризующими случайный процесс, являются маетматическое ожидание MX(t), дисперсия DX(t) и корреляционная функция Bx{t ,t").
Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция MX(t), значение которой при каждом значении t = t0 параметра t равно математическому ожиданию MX(t0) той случайной величины X(to), кторая отвечает этому значению параметра.
По самому смыслу MX(t) представляет некоторую среднюю функцию, около которой группируются все возможные реализации данного процесса. На рис. 1.1 приведен пример возможных реализаций случайного процесса и его математического ожидания.
Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция DX(t), значение которой при каждом значении t = t0 параметра t равно дисперсии ШГ(/0) той случайной величины X(to), которая отвечает этому значению параметра.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайного процесса характеризуют величину рассеивания возможных реализаций относительно среднего течения случайного процесса. На рис. 1.2. показаны некоторые возможные реализации гипотетического случайного процесса и указаны графики среднего квадратического отклонения.
Чтобы получить представление о третьей характеристике случайного процесса, рассмотрим две случайные величины X(t ) и X(t"), отвечающие значениям Ґ и /" параметра t случайного процесса X(/). Связь между этими величинами может быть охарактеризована их кова-риацией Bx(t ,t") = v[X(t ),X(t")] = = M{[X(t ) - MX(t )][X(t") - MX(t")]}. (1.7) В данном случае ковариация представляет неслучайную функцию Bxit J") двух переменных t и /". Функция Bx(t ,t") называется корреляционной функцией или, точнее, автокорреляционной функцией процесса X{t).
В задаче управления надежностью случайные процессы нагружения протекают в вероятностном отношении однородно при изменении параметра / (времени). ся при любом сдвиге всей группы точек t\,ti,—,ts вдоль числовой оси, т. е. при переходе к точкам + г,?2 + т,..., + г, где г произвольно. Поэтому, прежде всего, случайная величина X(t) для любого омента времени имеет одно и то же распределение и, значит, имеет одинаковые математические ожидания и дисперсии, т. е. для процесса в целом MX(t) = const и DX(t) = const, a автокорреляционная функция процесса непрерывна и зависит только от разности t " = т, т. е. является непрерывной функцией В(т) одного аргумента т. Данный случайный процесс называется стационарным случайным процессом.
Для стационарных случайных процессов в очень широких условиях доказывается сходимость по вероятности автокорреляционной функции к величине
В случае если математическое ожидание1 и дисперсия стационарного случайного процесса не зависят от неслучайного аргумента, а корреляционная функция зависит только от разности Ґ " = т случайный процесс называется стационарным в широком смысле.
Рассматривая случайный процесс нагружения X{t) как совокупность случайных величин X(t), можно в отношении каждой из этих величин, решать задачу статистической оценки соответствующих параметров, в частности, математических ожиданий MX(t) и автокорреляционных функций
Bx{t ,t"). Для этого необходимо располагать достаточным числом независимых реализаций процесса X{t), полученных в одинаковых условиях.
Для всех реализаций необходимо выбрать общее начало отсчета, т. е. общий для всех реализаций момент времени (по отношению к циклу рассматриваемого процесса).
Далее ось времени t разбивается на к равных интервала, выбирая их длину так, чтобы на ее протяжении каждая реализация мало менялась. При каждом значении t, в конце каждого интервала математическое ожидание MX(t,) оценивается по средней арифметической x(t,) из значений ,,15 ,,2 5-- ,,,, величины полученных из п реализаций процесса.
Получив ряд средних арифметических x(t\), x(t2) -, x(tk), можно аппроксимировать его подходящей кривой (процесс предполагается непрерывным) и получить эмпирическую оценку x(t) функции MX(t) - математического ожидания процесса.
Вариационные методы решения
Выше отмечалось, что корректность по Тихонову восстанавливается путем сужения множества рассматриваемых решений и соответствующего сужения множества правых частей уравнения. В. К. Иванов [41] предложил иной подход, основанный на обобщении понятия решения.
Определение 2.4. Квазирешением уравнения (2.1) на множестве М с X называется всякий элемент х еМ, для которого справедливо равенство р(Ах ,у) = Ыр{Ах,у).
Другими словами, квазирешение х є М - это такая точка, образ которой Ах реализует расстояние правой части у є Y до образа N = AM множества М. Если множество М содержит точное решение, то это решение является и квазирешением. Таким образом, понятие квазирешения обобщает понятие решения, и для его существования не требуется принадлежность решения множеству М. Тем самым снимаются трудности с требованием Г) тихоновской корректности, вызывающим переопределенность задачи, и трудно-сти с требованием 3 ), поскольку обычно нам неизвестна принадлежность приближенных правых частей уравнения множеству N, а критерии этой принадлежности часто сами бывают неустойчивыми.
Лемма 2.2. Если множество N czY - компакт, то для у є Y всегда существует ближайшая точка q(y) є N, и если для любого у eY ближайшая в N точка q(y) определена однозначно, то она непрерывно зависит от у GY . Доказательство см. [65].
Следствие. Если оператор А непрерывен и взаимно однозначен, а компакт М z X таков, что множество N = AM с: Y обладает свойством единственности ближайшей точки для любого у є Y, то задача об определении квазирешения х(у,М) уравнения (2.1) на множестве М поставлена корректно по Адамару. Доказательство см. [41, 65].
Этот результат показывает полезность рассмотрения квазирешений. Чтобы сделать его конструктивным, применим следующую лемму.
Лемма 2.3. В выпуклом подмножестве N строго выпуклого банахова пространства Г существует не более одной ближайшей к у є Y точки q(y).
Доказательство. Пусть qvq2eN и jy-gj = 1)/- 1 = / ,7 ). Тогда весь отрезок aql + (l — a)q2, 0 а 1, принадлежит как множеству N, так и шару V = \q : \q - у\\ p(y,N)} вследствие их выпуклости. Но лежать на сфере, ограничивающей шар, этот отрезок не может, иначе пространство Y не было бы строго выпуклым. Значит, внутренность отрезка должна лежать внутри шара, что тоже невозможно, так как это означает, что в ІУ существуют точки, расстояние от которых до точки у меньше расстояния p{y,N).
Следовательно, данный «отрезок» - вырожденный: qx = q2,n лемма доказана. Из предыдущих результатов и того факта, что аддитивный оператор переводит выпуклые множества в выпуклые же множества, непосредственно следует Теорема 2.1. Пусть X, Y - банаховы пространства, причем пространство Y строго выпукло. Если оператор А взаимно однозначен, непрерывен и аддитивен, то задача об отыскании квазирешения уравнения (2.1) на выпуклом компакте МсХ поставлена корректно по Адамару.
Таким образом, если компакт М содержит точное решение уравнения (2.1), то квазирешения на М для уравнения с приближенной правой частью аппроксимируют точное решение, несмотря на некорректность задачи.
С помощью теоремы 2.1 можно построить регуляризатор на некомпактном множестве. Возьмем расширяющуюся систему выпуклых компактов в пространстве X: Мх Мг ... = М, =... с X. Будем в определении регуляризатора (2.2) придавать параметру а значения -, / = 1, 2, ... Тогда значение оператора Ry, на элементе yeY опреде-i лим как квазирешение Ryly = x(y,M,) уравнения (2.1) на компакте М, Теорема 2.1 обеспечивает непрерывность оператора Ryt на всем пространстве Y. Областью регуляризуемости в данном случае является множество м« = UM,
Действительно, для всякого х є Moo имеет место СХОДИМОСТЬ Ry, Ах — X , і —» оо, так как такой х , начиная с некоторого /, принадлежит всем компактам Мх, и, следовательно, начиная с этого /, все квазирешения х(Ах,М,) = R\/,Ax попросту совпадают с данным х. Область регуляризуемости м , можно сделать некомпактной, взяв компакты м,, например, так, чтобы множество м было плотным в,пространстве X.
Теорема 2.2. Если в условиях теоремы 2.1 пространство X - гильбертово, а под множеством М cz X понимается любой замкнутый ограниченный шар \х: \\х - х\\ г], то задача об отыскании квазирешений на этом шаре слабо корректна по Адамару.
Теорема эта является простым следствием теоремы 2.1, поскольку для аддитивного оператора непрерывность относительно сильных топологий пространств X, Y эквивалентна непрерывности относительно их слабых то пологий, а замкнутый ограниченный шар гильбертова пространства представляет собой слабый компакт. Таким образом, относительно слабых топологий данная задача попадает в условия теоремы 2.1, что и обеспечивает корректность по Адамару в слабом смысле задачи о квазирешениях.
Однако, сильной устойчивости квазирешений в условиях теоремы 2.2. может не быть.
Если взять Mi = [х \х - jcjj г,}, г, — 5 / —» оо, и положить, как выше, Яі/іУ = х(у,М,)і т0 получим слабый регуляризатор с множеством регуляри-зуемости м = X (т. е. этот регуляризатор будет глобальным).
Приведем конкретные примеры регуляризаторов для пространства X=L2(0, 1) (пространства функций с интегрируемым по Лебегу на отрезке (О, 1) квадратом модуля), основанные на теоремах 2.1 и 2.2.
Для множества определенных на [0, 1] вещественных функций, имеющих обобщенные в смысле С. Л. Соболева производные до порядка п \ включительно, введем скалярное произведение (см. Гл. 2) по формуле {х,у)„ = )x{t)y{t)dt + )xw(t)yl"\t)dt. о о Тогда это множество функций с указанным скалярным произведением становится гильбертовым пространством, обозначаемым jPj "(0,l) (отметим, что обобщенная производная совпадает с обычной в случае, если последняя существует).
Интегральное уравнение первого рода
Широкий класс задач может быть описан в абстрактной форме операторными уравнениями первого рода Az = и, где z - искомый, и - данный элемент некоторых топологических пространств Z и U, а А - заданное отображение (оператор), действующее из Z в U. Частным случаем такого уравнения является интегральное уравнение Фред гольма 1-го рода: ь \К(х,s)z(s) = и(х), с x d, а где z(s) - искомая функция из пространства F, и(х) - заданная функция из пространства U, К(х, s) - ядро интегрального уравнения.
Пространства F и U, в подавляющем большинстве практически важных задач, принадлежат классу гильбертовых пространств 2 т- е- классу функций интегрируемых с квадратом модуля на соответствующем интервале.
Данное уравнение является классической некорректной задачей, т. е. бесконечно малым изменениям правой части и(х) могут соответствовать, произвольно, большие изменения решения z{s) [96].
К этому уравнению приводится большое число- практически важных-, задач физики (задача спектрального анализа, задача Дирихле для уравнения-Лапласа, задача гравиметрии), техники (задачи теории управления, теории надежности), теории вероятности и теории случайных процессов (уравнения свертки, уравнения полной вероятности) и т. д.
Некорректность задачи решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода, т.е. неустойчивость решения, усугубляется в случае прибли женно известных исходных данных: правой части и(х) и ядра интегрального оператора K(x,s). В этом случае задача становится «существенно некорректной» [96].
Решению подобных задач методом регуляризации посвящена обширная литература [41, 96]. В данной главе предлагается новый аналитический метод решения некорректных задач первого рода и, в частности, интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.
Геометрия гильбертова пространства
Гильбертовым пространством называется множество //"элементов х\,х2, JC3..., обладающее следующими свойствами:
1) //представляет собой линейное пространство, т. е. в //определены действия сложения элементов и умножения их на действительные или комплексные числа (в зависимости от этого Н называется действительным или комплексным пространством);
2) в //введено скалярное произведение, т. е. отображение ( , \:НхН -» С, где С - поле комплексных чисел, удовлетворяющее аксиомам[39, 40]: a) \х\,Хг) = \Хг,Хх) , b) \Ях„Хг) = А \Х»Хг) , С) \Xi+Xi,X,} = \Х,Х,} + (х2,Хъ) , d) {х,х} 0 прих#); e) {х ,х ) = 0 при х=0; 3) //является полным метрическим пространством относительно мет рики р(х\, х2) = \xi - х\\, где для любого элемента хє// его норма определяется из соотношения II X = і]{х,х) Примеры:
1) Простейшим примером гильбертова пространства является конечномерное линейное пространство R", если в нем ввести скалярное произведение удовлетворяющее аксиоме 2 определения 3.1.
2) Рассмотрим пространство 12, элементами которого являются после довательности чисел {„} таких, что Z „ оо. В этом пространстве естест «=i венно определяются линейные операции: если %, Г]є12, ={„}, rj={rjn}, то а Рт]= {a i+firji, аЕа+РЦг-, }, где а и /?- некоторые числа.
Решение прямой задачи теории надежности
С целью определения точности и эффективности метода решения некорректных задач, разработанного в предыдущей главе, будем придерживаться следующего алгоритма: 1) Будем считать правую часть уравнения (1.5) известной и решим прямую задачу: определим ря (п); 2) Полученное значение Рй(п) подставим в левую часть уравнения (1.5), а функцию (х) будем считать неизвестной. При заданном ядре мы получим требуемую обратную задачу. Далее, решим поставленную некорректную задачу разработанным в данном исследовании методом; 3) Сравним полученное решение с изначально заданной функцией ф-х (х) с целью оценки степени отклонения полученного решения от заданно го.
Необходимо отметить, что как ядро уравнения (1.5) К(х,п), так и полученную на первом этапе решения левую часть ря{х) следует считать приближенно заданными с погрешностями h и д соответственно.
Принадлежность функций pR{ri) и (р {х) пространству 2(-со,оо) следует из физической сущности задачи и проверяется непосредственно.
На первом этапе, в соответствии с вышеизложенным алгоритмом, решим прямую задачу. Параметры распределения ядра ( Inn К(х, п) = ехр -ехр х- /л -Р V (1 - ехр{- ехр[- р(х - ju)]}) примем равными ju = 30 (математическое ожидание), /? = 0.1 (характеристика рассеяния).
Следует подчеркнуть, что на самом деле, мы имеем дело не с конкретным, точно заданным ядром, а с семейством интегральных ядер, отличающихся друг от друга величинами параметров ju и /?. Для точного расчета берутся лишь средние или наиболее вероятные значения этих параметров. Так как значения ju и /?либо получены экспериментальным путем, либо оценочно заданы, то мы имеем дело с существенно некорректной задачей: как ядро, так и правая часть уравнения (1.4) заданны приближенно.
Графическое изображение ядра интегрального уравнения как функции от двух переменных приведено на рис. 4.1.
Для изоморфного отображения пространства L2 в пространство /2, т. е. отображения пространства функций, с интегрируемым квадратом модуля, в пространство бесконечных последовательностей, нам необходимо вычислить коэффициенты Фурье левой части интегрального уравнения и коэффициенты матричного представления оператора по определенной ортонормированной системе функций. Согласно 3.4 ортонормированная система функций на интервале (-оо, оо) строится на основе полиномов Эрмита, эту систему мы примем в качестве базиса пространства /лО-00 00) Необходимо отметить, что областью определения функции pt(ri) служит интервал (0, со), поэтому нам необходимо продолжить ее на левую полуось. Для этого мы определим функцию Р3я(п) в виде сохранив ее непрерывность на всем интервале (-со, оо).
Некоторый произвол в выборе функции Т]{Е) И В определении самой погрешности є связан с невозможностью определить в общем случае скорость убывания коэффициентов Фурье. Исходя из этого, параметр q и функцию rj{s) следует выбирать основываясь на данных конкретной задачи. Число N дает приблизительное число необходимых членов разложения. Реально оно может быть как больше, так и меньше расчетного. Поэтому функцию г]{є) удобнее выбрать так, чтобы число N получилось как бы с «запасом». В дальнейшем его уже можно будет уменьшить.
Теоретически, чем больше членов разложения мы берем, тем точнее получается результат. Однако реально это может привести к вычислительной неустойчивости и, как следствие, к потере решения.
Примем 7](є) = кє + Ъ, т. е. 77( ) - линейная функция; возьмем Л: = 170 и Ъ = 100. Тогда N = 6. Как будет видно в дальнейшем, данного числа членов разложения достаточно.
Похожие диссертации на Аналитические методы и модели управления надежностью систем при неточной исходной информации
