Содержание к диссертации
Введение
1 Адаптивное оптимальное прогнозирование процесса VAR(1) с дискретным временем 17
1.1 Введение 17
1.2 Постановка задачи 17
1.3 Случай известной дисперсии шума 20
1.4 Случай неизвестной дисперсии шума 27
1.5 Выводы 44
2 Адаптивное оптимальное прогнозирование процесса VRCA(1) с дискретным временем 45
2.1 Введение 45
2.2 Постановка задачи 45
2.3 Основной результат 47
2.4 Выводы 59
3 Адаптивное оптимальное прогнозирование процесса VARMA(1,1) с дискретным временем 60
3.1 Введение 60
3.2 Постановка задачи 60
3.3 Случай известных дисперсии шума и параметра скользящего среднего 64
3.4 Случай неизвестной дисперсии шума и известного параметра скользящего среднего 71
3.5 Случай известной ковариационной матрицы шума и неизвестного параметра скользящего среднего 82
3.6 Случай неизвестных ковариационной матрицы шума и параметра скользящего среднего 87
3.7 Выводы 90
4 Численное моделирование 91
4.1 Моделирование процедуры прогнозирования для процесса VAR(1) 91
4.2 Моделирование процедуры прогнозирования для процесса VRCA(1) 95
4.3 Моделирование процедуры прогнозирования для процесса VARMA(1,1) 98
4.4 Пример работы процедуры прогнозирования на реальных данных 102
4.5 Выводы 104
Заключение 105
Список обозначений 108
Список литературы 110
Приложение
- Случай известной дисперсии шума
- Случай неизвестной дисперсии шума
- Основной результат
- Случай неизвестной дисперсии шума и известного параметра скользящего среднего
Введение к работе
Актуальность проблемы. Синтез и анализ моделей стохастических динамических систем – широко востребованная задача современной математики. Она возникает во многих отраслях, таких как экономика, социология, биология и многие другие естественные науки, где изучению подлежат объекты случайной природы. При этом одной из основных является задача идентификации и построения по имеющимся данным математической модели.
Существуют различные подходы к оцениванию качества модели. Одним из доказавших свою эффективность является подход, предложенный Л. Льюнгом1,2, согласно которому модель считается хорошей, если позволяет строить качественные прогнозы. Понятие полной вероятностной модели случайного процесса Льюнг определяет как совокупность последовательности одношаговых прогнозов значений процесса и условных относительно прошлого процесса плотностей распределения ошибок предсказания.
Среди линейных параметрических моделей стохастических динамических систем в число наиболее используемых входят модель авторегрессии (AR), модель скользящего среднего и смешанная модель авторегрессии-скользящего среднего (ARMA). Построение прогнозов для таких моделей обычно требует оценивания неизвестных параметров. В существующих работах по проблеме адаптивного прогнозирования в основном изучаются асимптотические свойства прогнозов, полученных с помощью использования оценок неизвестных параметров либо классическими асимптотическими методами (такими как метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия), либо методом последовательного анализа. В первом случае свойства оценки можно изучить лишь в асимптотике, во втором случае можно получить оценку заданной точности на выборках конечного, но случайного объема.
В недавнее время в работе В.А. Васильева3 был предложен метод усеченного оценивания параметров и функционалов типа отношений, позволяющий получить оценки с гарантированным качеством при фиксированном объеме наблюдений. Использование таких оценок в процедурах адаптивного прогнозирования позволяет исследовать качество прогнозов с использованием практически значимых
1 Ljung L., Soderstrom T. Theory and practice of recursive identifcation. Massachusets, 1983. 530 p.
2 Ljung L. System identifcation theory for user. Englewood Clifs, 1987. 519 p.
3 Vasiliev V.A. A truncated estimation method with guaranteed accuracy // Ann. Inst. Stat. Mat. 2014.
Vol. 66, № 1. P. 141-163.
критериев для многомерных систем. При этом получаемые процедуры отличаются достаточной простотой реализации.
Цель работы состоит в построении процедуры адаптивного оптимального одношагового прогнозирования многомерных устойчивых процессов авторегрессионного типа с дискретным временем и неизвестными параметрами, а также в подтверждении работоспособности и свойств полученной процедуры с помощью имитационного моделирования.
Для достижения этой цели сформулированы и решены следующие задачи: построение усеченных оценок матричных параметров многомерного процесса AR(1) (далее VAR(1)), процесса VAR(1) со случайным параметром динамики (далее VRCA(1)) и многомерного процесса ARMA(1,1) (далее VARMA(1,1)) и исследование их статистических свойств;
построение для перечисленных моделей одношаговых прогнозов значений процесса на основе полученных усеченных оценок неизвестных параметров и оптимизация процедуры прогнозирования в смысле заданной функции потерь;
проведение экспериментов с помощью численного моделирования процедур прогнозирования для подтверждения результатов, сформулированных в ходе решения первых двух задач.
Методика исследования. Результаты получены с использованием методов теории вероятностей, теории случайных процессов, анализа временных рядов, линейной алгебры, математического анализа, статистической обработки информации и имитационного моделирования.
Научная новизна. Положения, выносимые на защиту. Впервые при решении задачи прогнозирования в моделях стохастических динамических систем использовались оценки матричных параметров моделей по методу усеченного оценивания, имеющие гарантированную точность на выборках фиксированного объема и обладающие свойством сильной состоятельности. Это позволило построить и изучить свойства одношаговых прогнозов для многомерных устойчивых процессов авторегрессионного типа с дискретным временем при неизвестном распределении шумов. Полученные результаты обобщают результаты ряда известных работ4,5.
4 Sriram T.N. Sequential estimation of the autoregressive parameter in a frst order autoregressive process. // Seq.
Anal. 1988. Vol. 7, № 1. P. 53-74.
5 Sriram T.N., Ross Iaci. Sequential estimation for time series models. // Seq. Anal. 2014. Vol. 33, № 2. P. 136-157.
По мнению автора, основные результаты диссертационного исследования обладают научной новизной, можно сформулировать их в виде следующих положений, выносимых на защиту:
Предложена процедура адаптивного одношагового прогнозирования, оптимальная в смысле заданной функции потерь, для перечисленных ниже многомерных устойчивый процессов
VAR(1) для случаев известной и неизвестной дисперсии шумов;
VRCA(1) для случая неизвестной дисперсии шумов процесса;
VARMA(1,1) для случаев известных дисперсии шума и параметра скользящего среднего, неизвестной дисперсии шума и известного параметра скользящего среднего, известной ковариационной матрицы шума и неизвестного параметра скользящего среднего, неизвестных ковариационной матрицы шума и параметра скользящего среднего.
Для процесса VRCA(1) построена усеченная оценка среднего значения случайного параметра динамики, имеющая гарантированное качество в смысле 2 -нормы на выборках фиксированного объема, установлены условия на матричный параметр динамики и моменты распределения шумов, при которых эта оценка сильно состоятельна.
Для процесса VARMA(1,1) построены усеченные оценки параметра динамики и дисперсии шума, а также усеченная оценка параметра скользящего среднего в случае известной ковариационной матрицы шума, все оценки имеют гарантированное качество в смысле 2-нормы на выборках фиксированного объема, установлены условия на моменты распределения шумов, при которых они сильно состоятельны.
Достоверность полученных результатов. Полученные результаты сформулированы в виде лемм и теорем, имеющих строгое математическое доказательство. Произведено численное моделирование, его результаты подтверждают теоретические выводы.
Практическая ценность работы. Построенная в результате работы процедура прогнозирования может применяться в прикладных задачах, рассматривающих стохастические динамические системы в условиях, когда увеличение числа наблюдений состояний системы невозможно или затратно. Среди отраслей науки и техники, допускающих применение результатов данной диссертации: генетика, биомедицина, финансовая математика, социология и др. Теоретические
результаты могут быть использованы в курсах лекций для студентов математических факультетов.
Реализация и внедрение результатов работы. Рассмотренные в диссертации процедуры адаптивного прогнозирования и усеченные оценки параметров многомерных процессов авторегрессионного типа используются в учебном процессе факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета в курсе «Эконометрическое моделирование и стохастические процессы» и при выполнении курсовых и квалификационных работ.
Апробация работы. Результаты исследований по теме диссертации обсуждались на следующих конференциях:
-
XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014), Москва, 16-19 июня 2014.
-
Международная научно-техническая конференция «Интеллектуальные системы, управление и мехатроника – 2015», Севастополь, 13-15 мая 2015.
-
III Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», Томск, 22-23 мая 2015.
-
Международная научная конференция «Робастная статистика и финансовая математика», Томск, 01-02 июля 2015.
-
XXXII Международная научно-практическая конференция «Естественные и математические науки в современном мире», Новосибирск, 01 июля 2015.
Публикации. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в шести работах, в их числе три работы в журналах из перечня ВАК.
Структура и объем. Работа состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, списка использованной литературы. Полный объем диссертации составляет 123 страницы, 5 рисунков, 12 таблиц. Список литературы включает 103 наименования.
Случай известной дисперсии шума
Следует отметить, что величины ХІ в (0.5) формально не являются адаптивными прогнозоми, поскольку оценка параметра динамики Хп вычисляется в момент времени (і — 1) с использованием будущих значений процесса ХІ, ... , хп. Уместнее в данном случае говорить об интерполяции в интервале і = 1,п. Тем не менее, полученные результаты могут быть полезны при построении моделей динамических систем по реальным данным.
Результаты Шрирама были дополнены и уточнены в работах [64], [97], подобная постановка рассматривалась в [52].
Как показано в настоящей работе, использование оценок неизвестных параметров динамических систем по методу усеченного оценивания (0.3) позволяет решить подобную задачу для прогнозов ХІ = ХІ-ІХІ-І, которые строятся в реальном времени. Кроме задачи адаптивного прогнозирования метод усеченного оценивания параметров динамических систем с дискретным и непрерывным временем может быть эффективно применен, например, в адаптивных процедурах фильтрации, управления и интерполяции. Актуальность проблемы Актуальность построения и исследования свойств адаптивных прогнозов динамических систем в реальном времени объясняется необходимостью развития теории адаптивного оптимального прогнозирования и применения ее при построении математических моделей стохастических динамических систем с дискретным временем, а также решения других статистических задач по неполной информации. Задача адаптивного оптимального прогнозирования также характеризуется применимостью на практике в широком классе отраслей.
В существующих работах по проблеме адаптивного прогнозирования в основном изучаются асимптотические свойства прогнозов, полученных с помощью использования оценок неизвестных параметров либо классическими асимптотическими методами (такими как МНК, ММП), либо методом последовательного анализа. В недавнее время в работе [98] был предложен метод усеченного оценивания параметров и функционалов типа отношений, позволяющий получить оценки с гарантированным качеством при фиксированном объеме наблюдений. Использование таких оценок в процедурах адаптивного прогнозирования позволяет исследовать качество прогнозов с использованием практически значимых критериев для многомерных систем. При этом получаемые процедуры отличаются достаточной простотой реализации на практике.
Цель диссертационного исследования состоит в построении процедуры адаптивного оптимального одношагового прогнозирования многомерных устойчивых процессов авторегрессионного типа с дискретным временем и неизвестными параметрами, а также в подтверждении работоспособности и свойств полученной процедуры с помощью имитационного моделирования.
Для достижения этой цели сформулированы и решены следующие задачи: построение усеченных оценок матричных параметров многомерного процесса AR(1) (далее VAR(1)), многомерного процесса RCA(1) (далее VRCA(1)) и многомерного процесса ARMA(1,1) (далее VARMA(1,1)) и исследование их статистических свойств; построение для перечисленных моделей одношаговых прогнозов значений процесса на основе полученных усеченных оценок неизвестных параметров и оптимизация процедуры прогнозирования в смысле заданной функции потерь; проведение экспериментов с помощью численного моделирования процедур прогнозирования для подтверждения результатов, сформулированных в ходе решения первых двух задач. Методы исследования
Результаты получены с использованием методов теории вероятностей, теории случайных процессов, анализа временных рядов, линейной алгебры, математического анализа, статистической обработки информации и имитационного моделирования. Научная новизна и результаты, выносимые на защиту Впервые при решении задачи прогнозирования в моделях стохастических динамических систем использовались оценки матричных параметров моделей по методу усеченного оценивания, имеющие гарантированную точность на выборках фиксированного объема и обладающие свойством сильной состоятельности. Это позволило построить и изучить свойства одношаговых прогнозов для многомерных устойчивых процессов авторегрессионного типа с дискретным временем при неизвестном распределении шумов.
По мнению автора, основные результаты диссертационного исследования обладают научной новизной. Эти результаты можно сформулировать в виде следующих положений, выносимых на защиту:
Предложена процедура адаптивного одношагового прогнозирования, оптимальная в смысле заданной функции потерь, для перечисленных ниже многомерных устойчивый процессов — VAR(1) для случаев известной и неизвестной дисперсии шумов; — VRCA(1) для случая неизвестной дисперсии шумов процесса; — VARMA(1,1) для случаев известных дисперсии шума и параметра скользящего среднего, неизвестной дисперсии шума и известного параметра скользящего среднего, известной ковариационной матрицы шума и неизвестного параметра скользящего среднего, неизвестных ковариационной матрицы шума и параметра скользящего среднего.
Для процесса VRCA(1) построена усеченная оценка среднего значения случайного параметра динамики, имеющая гарантированное качество в смысле 2 -нормы на выборках фиксированного объема, установлены условия на матричный параметр динамики и моменты распределения шумов, при которых эта оценка сильно состоятельна.
Для процесса VARMA(1,1) построены усеченные оценки параметра динамики и дисперсии шума, а также усеченная оценка параметра скользящего среднего в случае известной ковариационной матрицы шума, все оценки имеют гарантированное качество в смысле 2-нормы на выборках фиксированного объема, найдены условия на моменты распределения шумов, при которых они сильно состоятельны. Достоверность Установленные результаты сформулированы в виде лемм и теорем, имеющих строгое математическое доказательство. Произведено численное моделирование, его результаты подтверждают теоретические выводы. Практическая ценность работы Построенная в результате работы процедура прогнозирования может применяться в прикладных задачах, использующих в качестве математических моделей стохастические динамические системы в условиях, когда увеличение числа наблюдений состояний системы невозможно или затратно. Среди отраслей науки и техники, допускающих применение результатов данной диссертации: генетика, биомедицина, финансовая математика, социология и др.
Процедуры адаптивного прогнозирования и усеченные оценки параметров многомерных процессов авторегрессионного типа, предложенные в диссертации, используются в курсе лекций «Эконометрическое моделирование и стохастические процессы» (раздел «Стохастические процессы»), читаемом на старших курсах факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Апробация работы
Случай неизвестной дисперсии шума
На основе определенной в [98] усеченной оценки параметра динамики построены одношаговые прогнозы и произведена оптимизации процедуры прогнозирования в соответствии с заданной функцией потерь, определяющей среднюю ошибку прогнозов и длительность процедуры. Задача рассмотрена в предположениях об известной и неизвестной дисперсии шума (к).
Установлено, что оптимальная длительность наблюдений имеет вид пл = (Аа2)1 2, где А - параметр процедуры, и а2 = Е (1)2 - дисперсия шумов модели.
В случае, если а2 неизвестна, построена оценка величины пА в виде момента остановки Тд, зависящего от А. Доказана эквивалентность величин пА и ТА-, в смысле сходимостей Р#-п.н. и в среднем при стремлении стоимости одного наблюдения к нулю, а также эквивалентность соответствующих значений заданной функции риска и адаптивного риска. 2 Адаптивное оптимальное прогнозирование процесса VRCA(1) с дискретным временем
В этом разделе рассматривается случай, когда матричный параметр динамики устойчивого процесса VAR(1) является случайным, а его среднее значение постоянно. Распределения шумов процесса и параметра динамики предполагаются неизвестными.
Аналогично Главе 1 решается задача построения адаптивных одно-шаговых прогнозов, а также оптимизации процедуры в соответствии с заданной функцией потерь. Прогнозы основаны на использовании усеченной оценки матричного параметра динамики , для которой доказаны неасимптотические свойства, аналогичные свойствам усеченных оценок параметра динамики процесса VAR(1), полученным в Главе 1. Е(1) = Е?7(0) = 0, av = Е(1) оо, а = Ет7(0) оо, а2 и а2 неизвестны. Кроме того, Еж(0)2 оо, и в качестве условия устойчивости процесса (2.1) матрица Л = ЕЛ = Л02 + Erfj2{0) предполагается устойчивой (см. формулу (2.10) и работу [78]), здесь Y2 = Y S Y. Обозначим вектор параметров модели в = (Л11,..., Хрр, Ф, т2). Определим множество Ото = {9 : ЕЛ т устойчива, 0 72, т2 оо}.
Процесс х(к), задаваемый уравнением (2.1), согласован с семейством сигма-алгебр J k = (т{(1),г)(0),... ,(к),г)(к — 1)}, к 1.
Замечание 2.1. В работе [86] было показано, что модель RCA, определяемая (2.1) при р = 1, в случае гауссовских шумов (&) и т](к) эквивалентна по распределению модели AR/GARCH равного порядка.
Требуется минимизировать функцию риска Rn по п. В случае отсутствия необходимой априорной информации о параметрах модели требуется построить момент остановки типа (1.29) и изучить его асимптотические свойства в предположении об убывающей до нуля стоимости одного наблюдения.
Для исследования свойств полученного выражения воспользуемся оператором векторизации vec[-], обладающим следующим свойством (см. [83], [84]) vecfyyZ] = (Z S V) уес[У]. (2.8) Применяя оператор vec[-] к обеим сторонам (2.7) и учитывая (2.8), имеем
Определена усеченная оценка среднего значения Л случайного матричного параметра динамики Л наблюдаемого процесса. Найдена неасимптотическая граница для 2m -нормы отклонения оценки. Показано, что в случае неизвестных дисперсий шумов модели скорость сходимости оценок отличается от оптимальной лишь на логарифм.
На основе оценки неизвестного параметра Л построены одношаговые прогнозы и произведена оптимизация процедуры прогнозирования. Доказано, что ее оптимальная длительность имеет вид А = (2)1 2, где 2 -скалярное выражение дисперсии неустранимой ошибки прогноза. В случае, когда это значение неизвестно, в качестве оценки величины А построен момент остановки специального вида А. Доказана асимптотическая эквивалентность величин А и А в смысле сходимостей Р#-п.н. и в среднем, а также эквивалентность соответствующих значений заданной функции риска и адаптивного риска. 3 Адаптивное оптимальное прогнозирование процесса VARMA(1,1) с дискретным временем
В данной главе рассматривается устойчивый векторный процесс авторегрессии скользящего среднего VARMA(1,1) с дискретным временем. Распределение шумов модели предполагается неизвестным.
С использованием усеченной оценки параметра динамики, построенной на основе корреляционной оценки типа Юла-Уокера, решается задача построения адаптивных одношаговых прогнозов и последующей оптимизации процедуры в соответствии с заданной функцией потерь. Задача рассмотрена в различных комбинациях предположений об известных и неизвестных параметрах шумов и параметре скользящего среднего.
Построена усеченная оценка параметра скользящего среднего модели VARMA(1,1) для случая известной ковариационной матрицы шумов модели.
Для усеченной оценки параметра авторегрессии и для усеченной оценки параметра скользящего среднего доказаны неасимптотические свойства, аналогичные свойствам усеченных оценок параметра динамики, полученным в Главах 1, 2. Для обеих оценок установлено свойство сильной состоятельности. Результаты этой главы опубликованы в работах [21], [69].
Постановка задачи Пусть р -мерный устойчивый процесс VARMA(1,1) задается следующим уравнением х(к) = х (к — 1) + (к) + M(& — 1), к 1, (3.1) где Л и М - р х р матрицы параметров, для которых выполнено условие устойчивости (устойчивость М необходима для обратимости процесса), кроме того не имеющие общих собственных значений (см., например, [62]). Предполагается, что параметр Л неизвестен, а относительно М рассматриваются оба варианта. Случайные векторы (к) при к 1 являются н.о.р. с нулевым средним, ковариационной матрицей Е = Е(0) (0) и конечной дисперсией а2 = Е (0)2. Пусть также Еж(0)2 оо. Обозначим область устойчивости матриц Л и М, соответственно, Л, М С Мрхр, вектор параметров модели в = (Ли,..., Хрр, /in,..., црр, а2). Определим множество О = {9 : Л Є Л, М Є М, 0 а2 оо}.
Основной результат
Определены усеченные оценки матричного параметра динамики Л и - в случае известной ковариационной матрицы шума - матричного параметра скользящего среднего М. Найдены неасимптотические границы для
С помощью указанных оценок построены оценки значений ( — 1), а также одношаговые прогнозы. Во всевозможных сочетаниях наличия априорной информации о параметрах шумов и параметре скользящего среднего решена задача оптимизации процедуры прогнозирования. Установлено, что в предположении об одном или двух известных параметрах модели оптимальная длительность имеет вид л = (2)1 2, где 2 = Е(0)2.
В случае неизвестного параметра 2 построена его оценка 2. На основе А и 2 определен момент остановки А, доказана его эквивалентность величине А в смысле сходимостей Pfl-п.н. и в среднем при стремлении стоимости одного наблюдения к нулю, а также эквивалентность соответствующих значений заданной функции риска.
В случае, когда неизвестны и 2, и М, адаптивный прогноз имеет вид прогноза для процесса VAR(1), тогда оптимальная длительность процеду 1 /9 ры принимает значение л = ( tr ( ( + М М)Е)) , где Е - ковариационная матрица шумов (). Для соответствующим образом определенного момента остановки справедливы результаты, аналогичные результатам других разделов. 4 Численное моделирование
Для подтверждения теоретических результатов предыдущих Глав относительно свойств момента остановки А и функций риска nA, A, было произведено численное моделирование процедуры прогнозирования для процессов VAR(1), VRCA(1) и VARMA(1,1) различных размерностей.
В этом разделе приводятся результаты численного моделирования процедуры прогнозирования для процесса VAR(1) размерностей = 1, 3 и 5. Реализация номер процесса () обозначается т = ( тЦ) ), п с собственными значениями 1 = 0.9, е2 = 0.1, = —0.1. В Таблицах 1(a, б) значения o сравниваются с теоретически установленными величинами 21 2 минимального риска при увеличивающейся цене ошибки прогноза и различных значениях дисперсии шумов модели. Также приводятся значение л = 1 2 и численные оценки выражений А/А и A/nA.
По данным таблиц видно, что величины / и / сходятся довольно быстро и близки к единице уже при равном 40-50. В скалярном случае поведение рисков и момента остановки изучается при различных значениях параметра динамики в области устойчивости и для двух значений дисперсии шумов. Таблица 2 – Значения рисков и главной части риска для процесса VAR(1) размерности = 1
Звездочками помечены минимумы обеих функций, приводятся соответствующие значения объема выборки. Минимум главной части функции риска достигается, когда выборка имеет теоретический оптимальный объем , значение риска в этот момент 133.2, тогда как действительный минимум функции риска достигается при = \ и равен 129.5.
В этом разделе приводятся результаты численного моделирования для скалярного и двумерного процессов VARMA(1,1) в предположениях об известном и неизвестном параметре М и неизвестной дисперсии шумов 2.
На Рисунке 2 ниже приведены графики численных оценок функции риска для процесса VARMA(1,1) в скалярном случае = 1 с параметрами = 0.3, M = 0.5, 2 = 1, функции риска для процесса VAR(1) при = 1 с параметрами = 0.3, 2 = 1, а также их главной части 21 2 (главная часть рисков для процессов VAR(1) и VARMA(1,1) совпадает в предположении об известном параметре M), значение стоимости ошибки прогноза = 3000 в обоих случаях.
В этом разделе приводятся результаты работы процедуры адаптивного прогнозирования на реальных данных буферного давления в скважине одного из газовых месторождений Томской области. Объем выборки – 95. Данные () представляют собой разницу между давлением в текущий момент времени и давлением десятью измерениями раньше, т. е. () = ()-(-10), где () – измерения давления.
Предполагаемая модель AR(5) выбрана с помощью байесовского информационного критерия, вычисленного средствами программного пакета MATLAB.
На Рисунке 3 ниже представлены графики значений реальных данных и адаптивных одношаговых прогнозов, построенных с помощью усеченной оценки параметра динамики. Для ее вычисления скалярный процесс AR(5), аналогично Разделу 4.1, был представлен как процесс VAR(1) пятого порядка.
Кроме того была вычислена величина А = 79, соответствующая значению параметра = 1600, подобранному экспериментально. На Рисунке 5 приведен график функции потерь, звездочками отмечено ее значение в момент д, равное 210.7, а также фактический минимум, достигаемый при = 64 (значение функции потерь 207.3). Шкала ординат логарифмическая.
Данные всех таблиц подтверждают справедливость сформулированных теорем об эквивалентности величин EQTA и nA, а также величин RA и RnA при А — оо.
Величина риска существенно возрастает с увеличением дисперсии шумов модели. Изменение параметра динамики внутри области устойчивости не имеет заметного влияния на скорость сходимости исследуемых величин, при приближении параметра динамики к ее границам значение риска незначительно растет.
Работа процедуры продемонстрирована на реальных данных, значение функции потерь в момент ТА близко к действительному минимуму функции потерь.
В настоящей работе рассматривается задача адаптивного оптимального одношагового прогнозирования многомерных устойчивых процессов авторегрессионного типа с дискретным временем и неизвестными параметрами динамики при различной априорной информации о прочих параметрах модели. Оптимизация процедуры прогнозирования производится в соответствии с заданной функцией потерь, отражающей одновременно объем выборки и качество прогноза в смысле среднеквадратической ошибки. Распределение шумов модели во всех случаях предполагается неизвестным.
В Главе 1 поставленная задача решена для процесса VAR(1) в случаях известной и неизвестной дисперсии шумов модели. С помощью усеченной оценки параметра динамики, имеющей гарантированное качество в смысле 2 -нормы на выборках фиксированного объема, построены одношаговые прогнозы значений процесса.
Установлен оптимальный объем выборки, минимизирующий главную часть заданной функции риска, и найдено минимальное значение функции риска. Эти величины являются функциями параметра (цена ошибки прогнозов) и зависят от дисперсии шумов модели. В случае если она неизвестна, на основе ее оценки вместо оптимального объема наблюдений построен момент остановки специального вида. Доказана эквивалентность момента остановаки и оптимального объема выборки в смысле сходимости в среднем и почти наверное при , а также эквивалентность функции риска, вычисленной в момент остановки, и теоретического минимального значения риска.
В Главе 2 аналогичная задача решена для процесса VAR(1) со случайным параметром динамики, имеющим постоянное среднее значение, в случае неизвестных дисперсий шумов модели и шумов параметра. Построена сильно состоятельная усеченная оценка среднего значения параметра динамики, имеющая гарантированное качество в смысле 2 -нормы на выборках фиксированного объема. Найдено условие устойчивости произвольных степеней процесса.
С помощью усеченной оценки неизвестного матричного параметра построены одношаговые прогнозы, найден оптимальный объем выборки и соответствующее минимальное значение заданной функции риска. Эти величины зависят от дисперсии неустранимой ошибки прогнозов, которая выражается через дисперсию шумов модели, моменты шумов параметра и ковариационную матрицу процесса. На основе оценки дисперсии неустранимой ошибки прогнозов построен момент остановки, оценивающий оптимальный объем выборки. Подобно Главе 1, доказана эквивалентность момента остановки оптимальному объему выборки и эквивалентность соответствующих значений функции риска при .
В Главе 3 та же задача решена для процесса VARMA(1,1) в различных предположениях о наличии априорной информации о параметрах модели. В общем случае построена усеченная оценка параметра динамики, имеющая гарантированное качество в смысле 2-нормы на выборках фиксированного объема и доказано свойство ее сильной состоятельности. В случае известной ковариационной матрицы шумов построена усеченная оценка матричного параметра скользящего среднего с аналогичными свойствами. В случае известного параметра скользящего среднего построена сильно состоятельная оценка дисперсии шумов.
Построены одношаговые прогнозы для всех рассматриваемых случаев. Найден оптимальный объем выборки и построена его оценка в виде момента остановки. Доказана эквивалентность момента остановки оптимальному объему выборки, аналогично Главам 1 и 2, а также эквивалентность соответствующих значений рисков при .
В Главе 4 приведены результаты численного моделирования процедур адаптивного прогнозирования. Моделирование произведено для процессов различных размерностей и при различных комбинациях значений параметров, удовлетворяющих условиям соответствующих теорем. Исследовано поведение процедур прогнозирования для различных значений дисперсии шумов модели и параметра динамики внутри области устойчивости процесса. Исследована функция потерь и вычислен момент для реальных данных давления в газовой скважине. Результаты моделирования подтверждают теоретические результаты Глав 1-3
Случай неизвестной дисперсии шума и известного параметра скользящего среднего
На основе определенной в [98] усеченной оценки параметра динамики построены одношаговые прогнозы и произведена оптимизации процедуры прогнозирования в соответствии с заданной функцией потерь, определяющей среднюю ошибку прогнозов и длительность процедуры. Задача рассмотрена в предположениях об известной и неизвестной дисперсии шума (к).
Установлено, что оптимальная длительность наблюдений имеет вид пл = (Аа2)1 2, где А - параметр процедуры, и а2 = Е (1)2 - дисперсия шумов модели.
В случае, если а2 неизвестна, построена оценка величины пА в виде момента остановки Тд, зависящего от А. Доказана эквивалентность величин пА и ТА-, в смысле сходимостей Р#-п.н. и в среднем при стремлении стоимости одного наблюдения к нулю, а также эквивалентность соответствующих значений заданной функции риска и адаптивного риска.
В этом разделе рассматривается случай, когда матричный параметр динамики устойчивого процесса VAR(1) является случайным, а его среднее значение постоянно. Распределения шумов процесса и параметра динамики предполагаются неизвестными.
Аналогично Главе 1 решается задача построения адаптивных одно-шаговых прогнозов, а также оптимизации процедуры в соответствии с заданной функцией потерь. Прогнозы основаны на использовании усеченной оценки матричного параметра динамики , для которой доказаны неасимптотические свойства, аналогичные свойствам усеченных оценок параметра динамики процесса VAR(1), полученным в Главе 1.
Матрица размера р х р предполагается неизвестной, (&) и г](к — 1) для к 1 образуют независимые между собой последовательности н.о.р. случайных векторов и матриц соответственно, для которых выполнено = Е(1) (1) 0, = Е?/(0)?7(0) 0, Е(1) = Е?7(0) = 0, av = Е(1) оо, а = Ет7(0) оо, а2 и а2 неизвестны. Кроме того, Еж(0)2 оо, и в качестве условия устойчивости процесса (2.1) матрица Л = ЕЛ = Л02 + Erfj2{0) предполагается устойчивой (см. формулу (2.10) и работу [78]), здесь Y2 = Y S Y. Обозначим вектор параметров модели в = (Л11,..., Хрр, Ф, т2). Определим множество Ото = {9 : ЕЛ т устойчива, 0 72, т2 оо}.
Процесс х(к), задаваемый уравнением (2.1), согласован с семейством сигма-алгебр J k = (т{(1),г)(0),... ,(к),г)(к — 1)}, к 1.
Замечание 2.1. В работе [86] было показано, что модель RCA, определяемая (2.1) при р = 1, в случае гауссовских шумов (&) и т](к) эквивалентна по распределению модели AR/GARCH равного порядка.
Оптимальным в среднеквадратическом смысле одношаговым прогнозом является, как и прежде, функция xopt{k) = Ах{к — 1), к 1. В качестве оценки параметра Л будем пользоваться оценкой Л/е, определенной в (1.5) А = А х (Л/г Hj ) , к 1, где Ak = GkFk , к р; АІ = 0, і = 0,р — 1, Н = In- {к + 1), л к л к — 1 —v . — 1 —v , г Gk = г / х(і)х (і — 1), г k = т / х\ 4х \i 4-і к = detir k) г=1 г=1 Отметим, что базовая оценка Л не является оценкой МНК для процесса (2.1). Воспользоваться оценкой МНК не позволяет отсутствие априорной информации о дисперсиях шумов (&), г)(к), (см., например [67]).
Доказательство. Доказательство Леммы 2.1 проводится по схеме доказательства Леммы 1.1, поэтому будут рассмотрены лишь основные отличия.
Обозначим \{) = vec[() ()], 1. Из (2.1) и свойства (2.8) вытекает, что уравнение, описывающее i(), имеет вид
Процесс {Ck)k 1 представляет, в силу независимости х(і — 1) от r)(i — 1), сумму двух нормированных мартингалов, поэтому аналогично (1.15) можно показать Е# 11 (к \\2тр С к тр. Тогда для к р оценка вытекает из неравенства Гельдера, отсюда следует и утверждение (2.16). Для оценивания величины E#(Afc — А)2т, где А = det(F), необходимо изучить свойства величины [F — F). Далее используется следующее тождество
Теорема 2.1. Пусть для процесса (2.1) размерности р справедливо Е (1)8р+4 оо, Еж(0)8р+4 оо, и матрица ЕЛ0 р устойчива. Пусть к тому же функция ПА в (2.30) такая, что ПА = о(А ) при А — оо, ПА maxj&o, Аг1п А}, г Є [2/5, 1/2). Пусть прогнозы х(к) определяются формулой (2.2), а функции риска Rno, RA -формулами (2.29), (2.32) соответственно. Тогда для любого в Є Qsp+A
Определена усеченная оценка среднего значения Л случайного матричного параметра динамики Л наблюдаемого процесса. Найдена неасимптотическая граница для 2m -нормы отклонения оценки. Показано, что в случае неизвестных дисперсий шумов модели скорость сходимости оценок отличается от оптимальной лишь на логарифм.
На основе оценки неизвестного параметра Л построены одношаговые прогнозы и произведена оптимизация процедуры прогнозирования. Доказано, что ее оптимальная длительность имеет вид А = (2)1 2, где 2 -скалярное выражение дисперсии неустранимой ошибки прогноза. В случае, когда это значение неизвестно, в качестве оценки величины А построен момент остановки специального вида А. Доказана асимптотическая эквивалентность величин А и А в смысле сходимостей Р#-п.н. и в среднем, а также эквивалентность соответствующих значений заданной функции риска и адаптивного риска. 3 Адаптивное оптимальное прогнозирование процесса VARMA(1,1) с дискретным временем
В данной главе рассматривается устойчивый векторный процесс авторегрессии скользящего среднего VARMA(1,1) с дискретным временем. Распределение шумов модели предполагается неизвестным.
С использованием усеченной оценки параметра динамики, построенной на основе корреляционной оценки типа Юла-Уокера, решается задача построения адаптивных одношаговых прогнозов и последующей оптимизации процедуры в соответствии с заданной функцией потерь. Задача рассмотрена в различных комбинациях предположений об известных и неизвестных параметрах шумов и параметре скользящего среднего.
Построена усеченная оценка параметра скользящего среднего модели VARMA(1,1) для случая известной ковариационной матрицы шумов модели.
Для усеченной оценки параметра авторегрессии и для усеченной оценки параметра скользящего среднего доказаны неасимптотические свойства, аналогичные свойствам усеченных оценок параметра динамики, полученным в Главах 1, 2. Для обеих оценок установлено свойство сильной состоятельности.