Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Воздействие высокоскоростных подвижных нагрузок на окружающую среду 10
1.1. Вводные замечания 10
1.2. Особенности воздействия высокоскоростных нагрузок 11
1.3. Задачи, возникающие при оценке воздействий высокоскоростных нагрузок 12
1.4. Краткое описание содержания диссертации 13
ГЛАВА 2 Воздействие подвижных нагрузок на балки на упругом основании 16
2.1. Введение 16
2.2. Модели балок и дифференциальные уравнения 17
2.3. Расчёт балки на упругом основании при воздействии подвижной, постоянной по величине, сосредоточенной силы
2.3.1. Расположение корней знаменателя (биквадратного уравнения) на комплексной плоскости 19
2.3.2. Критическая скорость и критическое демпфирование 24
2.3.3. Прогибы и внутренние усилия балки 29
2.3.4. Прогиб, изгибающий момент и поперечная сила в сечении под точкой приложения силы 38
2.4. Гармоническая подвижная сила 42
2.4.1. Критические скорости 43
2.4.2. Определение функций прогибов и внутренних усилий
2.5. Оценка вибраций тоннелей при движении поездов 53
2.6. Выводы 59
ГЛАВА 3 Воздействие подвижных нагрузок на плиты расположенные на упругом основании
3.1. Вводные замечания 60
3.2. Дифференциальное уравнение 60
3.3. Колебания плиты на упругом основании при воздействии сосредоточенной постоянной силы, движущейся с постоянной скоростью 63
3.4. Плита на упругом основании при воздействии сосредоточенной гармонической нагрузки, движущейся с постоянной скоростью 72
3.5. Выводы 79
ГЛАВА 4 Колебания поверхности полупространства при воздействии подвижныъх нагрузок 80
4.1. Общие положения 80
4.2. Дифференциальные уравнения теории упругости в обобщённых функциях и представление уравнений в области изображений Фурье 4.2.1. Дифференциальные уравнения теории упругости в обобщённых функциях 80
4.2.2. Представление уравнений в области изображений Фурье 82
4.3. Колебания упругого полупространства при движении постоянной сосредоточенной силы по поверхности полупространства 84
4.3.1. Представление нагрузки в обобщённых функциях 84
4.3.2. Определение изображений Фурье перемещений на поверхности упругого полупространства 85
4.3.3. Определение функций перемещений на поверхности упругого полупространства во временной области 86
4.3.4. Перемещения поверхности упругого полупространства в зависимости от отношения скорости движения нагрузки к скоростям распространения волн
4.4. Движение постоянной распределенной нагрузки на полубесконечном пространстве 92
4.5. Выводы 95
ГЛАВА 5 Приложение теоремы взаимности при решении задач на подвижные нагрузки 96
5.1. Вводные замечания 96
5.2. Теорема взаимности Бетти-Релея для задач динамики
5.2.1. Теорема взаимности и функция Грина для упругого полупространства 98
5.2.2. Колебание упругого полупространства создаваемого подвижной нагрузкой 100
5.2.3. Колебание грунта при движении сосредоточенной постоянной и гармонической силы 1 5.3. Балка на упругом основании 106
5.4. Плита на упругом основании при воздействии подвижной нагрузки 108
5.5. Выводы 114
Заключение 115
Список литературы 1
- Задачи, возникающие при оценке воздействий высокоскоростных нагрузок
- Расположение корней знаменателя (биквадратного уравнения) на комплексной плоскости
- Колебания плиты на упругом основании при воздействии сосредоточенной постоянной силы, движущейся с постоянной скоростью
- Колебания упругого полупространства при движении постоянной сосредоточенной силы по поверхности полупространства
Введение к работе
Актуальность работы. При движении современных высокоскоростных экипажей, поездов, самолетов и автомобилей, увеличение уровней вибраций особенно значительно, когда скорости движения экипажей приближаются к критическим скоростям распространения волн в рельсах, плитах и грунте. Наиболее важными являются три типа таких критических скоростей: скорость поверхностной волны Рэлея в грунтах, скорость волн в плитах и минимальная фазовая скорость изгибных волн, распространяющихся в верхнем строении пути. Все эти критические скорости могут быть даже превышены современными высокоскоростными поездами и автомобилями, особенно в случае, когда трассы расположены на мягких грунтах. При взлёте и посадке авиалайнеров их скорости могут достигать больших значений и так же превышать критические.
Степень разработанности темы. Проблемами воздействия подвижных нагрузок на сооружения занимались многие ученые: Тимошенко СП., Александров А.В., Болотин В.В., Барченков А.Г., Муравский Г.Б., Бондарь Н.Г., Иванченко И.И., Потапов В.Д, Курбацкий Е.Н., Симонов И.В., Голыптейн Р.В. и другие авторы. Из учёных других стран, работавших в этой области, следует отметить: Lamb Н., Fryba L., Verruijt A.., LuSun, Kim S.M., Roesset J.M., Auersch L., Yang Y.B., Yau J.D., Wu Y.S., и др. Особенно следует отметить серию работ Крылова В.В., занимавшегося научным сопровождением при проектировании высокоскоростных трасс в Европе.
Теорема взаимности Бетти-Рэлея для решения динамических задач использовалась многими авторами. В первую очередь отметим классиков: Лява А., Тимошенко СП., Lamb Н., Wite J.E. При решении прикладных динамических задач строительной механики и теории упругости теорему взаимности применяли: Зылев В.Б., Курбацкий Е.Н., Титов Е.Ю., Сан Ли Тун, Аунг Мо Хей, Cao Y.M., Xia Н., Lombaert G. и др.
Цель работы - исследование напряженно-деформированного состояния балок, плит на упругом основании и полупространства при воздействии высокоскоростных подвижных нагрузок.
Задачи исследования:
- выполнить анализ существующих методов расчёта балок, плит и
полупространства на высокоскоростные нагрузки;
разработать аналитические методы расчета балок, плит и полупространства на подвижные нагрузки;
разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния балок и рельсов при воздействии высокоскоростных нагрузок;
разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния
автодорожных и аэродромных плит при воздействии высокоскоростных нагрузок;
- разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния
полупространства при воздействии высокоскоростных нагрузок;
разработать методики определения критических скоростей и критических коэффициентов демпфирования для верхнего строения пути и автодорожных и аэродромных плит;
- выполнить расчёты по оценке воздействий высокоскоростных нагрузок
на реальные конструкции.
Научная новизна:
-
разработан аналитический метод определения напряжённо-деформированного состояния балок, плит и полупространства при воздействии подвижных нагрузок;
-
разработан метод определения критических скоростей для разных моделей балок, плиты и полупространства;
-
разработаны методики определения критических коэффициентов демпфирования для разных моделей балок;
-
разработаны методики решения динамических задач с использованием интегрального преобразования Фурье и обобщённых функций;
5) разработаны методики решения динамических задач с использованием
свойства взаимности функции Грина.
6) разработана методика оценки вибраций тоннельной обделки при
движении поездов.
Методология и методы исследования включают построение математических моделей рассматриваемых систем, их численный и аналитический анализ с использованием преобразования Фурье, обобщенных функций, теории вычетов и дискретного быстрого преобразования Фурье (БПФ); сопоставление полученных результатов; разработку предложений по использованию полученных результатов в инженерной практике.
Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные решения можно использовать для определения критических параметров при проектировании высокоскоростных транспортных дорог и разработки нормативных документов.
Разработанные методики можно использовать для оценки воздействий на конструкции и окружающую среду при движении высокоскоростного транспорта.
Достоверность и обоснованность. При разработке метода решения задач используются известные положения теории упругости и теории
распространения волн, а также интегральные преобразования.
Выполнено сравнение результатов, полученных по разработанным методикам.
Аналитические решения и исследования задач выполнены с помощью программного комплекса MATLAB R2009b.
Достоверность исследований подтверждается хорошим совпадением результатов, полученных с использованием разных аналитических методов, а также с результатами, полученными другими авторами.
Основные положения, выносимые на защиту:
- методы решения задач воздействия высокоскоростных подвижных
нагрузок на балки, плиты на упругом основании и полупространство с
использованием интегрального преобразования Фурье, свойств аналитичности
изображений Фурье обобщенных функций, теории вычетов и быстрого
преобразования Фурье (БРФ);
результаты по определению критических скоростей движения нагрузок по разным моделям балок, по плитам и полупространству, и формулы для определения критических вязких параметров демпфирования упругого основания;
результаты по оценкам колебаний балок, плит и полупространства при воздействии подвижных нагрузок;
приложение теоремы взаимности при решении динамических задач на подвижные нагрузки.
Апробация работы. Основные научные результаты докладывались:
на научно-практической конференции «Неделя науки-2013. Наука МИИТа - транспорту» в МИИТе, г. Москва, 25 апреля 2013 г.
на научной конференции «Потенциал интеллектуально одаренной молодежи развитию науки и образования», г.Астрахань, 20-24 мая 2013 г.
на научной конференции «Перспективы развития строительного комплекса», г. Астрахань, 28-31 октября 2013 г.
на научной конференции «Потенциал интеллектуально одаренной молодежи развитию науки и образования», г. Астрахань, 21-25 мая 2014 г.
на международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» в Московском государственном строительном университете (МГСУ), г. Москва, 16 декабря 2014 г.
Публикации: По материалам исследования опубликовано 5 статей, из которых 3 - в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов диссертационных работ на соискание степени кандидата технических наук.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 122
Задачи, возникающие при оценке воздействий высокоскоростных нагрузок
Колебания поверхности грунта, создаваемые различными подвижными нагрузками (железнодорожные поезда, поезда метро, автомобили), вызывают значительное беспокойство у жителей расположенных рядом с трассами зданий. При возрастании скоростей движения интенсивность генерируемых колебаний, как правило, увеличивается.
В последние годы проблема воздействия подвижных нагрузок на сооружения и окружающую среду требует все большего внимания в связи с возрастанием скоростей движения, особенно в области железнодорожного и автомобильного и авиационного транспорта [46,29,52,56,31].
Вопрос воздействия высокоскоростных подвижных нагрузок на балки на упругом основании был исследован многими авторами [28, 20, 10], работы которых посвящены определению прогибов и внутренних усилий балок на упругом основании с переменными параметрами при докритических скоростей приложенных нагрузок.
Теоретические исследования [24,11,35] показаны, что при движении нагрузки со критической скоростью по балке и плите на упругом основании без учета демпфирования прогиб стремится к бесконечности.
Проблема исследований колебания грунта при динамических воздействиях была предметом исследований Лэмба ещё в 1904. Работы Лэмба, главным образом, посвящены определению реакций упругого полупространства и упругих тел с бесконечными границами на стационарные или почти стационарные нагрузки [43].
Теоретически было предсказано [39,7,12], если скорость движения поездов превышает скорость распространения волн Рэлея CR В грунте, являющемся основанием пути, вибрации существенно возрастают. Возрастание вибраций при движении поездов со сверх Рэлеевскими скоростями было подтверждено экспериментально на европейских высокоскоростных трассах, на участках с мягкими грунтами, на которых скорости движения поездов достигали и превышали скорости распространения волн Рэлея [40,41].
При движении современных высокоскоростных экипажей, поездов и автомобилей, увеличение уровней вибраций особенно значительно, когда скорости движения экипажей приближаются к критическим скоростям, распространения волн в рельсах, плитах и грунте. Наиболее важными являются три типа таких критических скоростей: скорость поверхностной волны Рэлея в грунтах, скорость волн в плитах и минимальная фазовая скорость изгибных волн, распространяющихся в верхнем строении пути. Все эти критические скорости могут быть даже превышены современными высокоскоростными поездами и автомобилями, особенно в случае, когда трассы расположены на мягких грунтах. Было теоретически предсказано [39], если скорость движения поездов превышает скорость распространения волн Рэлея CR В грунте, являющемся основанием пути, вибрации существенно возрастают. Это явление подобно звуковому удару, создаваемому самолетами, пересекающими звуковой барьер. Это явление: возрастание вибраций при движении поездов со сверх Рэлеевскими скоростями было подтверждено экспериментально [40,41] на участках с мягкими грунтами, на которых скорости движения поездов достигали и превышали скорости распространения волн Рэлея. Повышенное внимание железнодорожных компаний и экологов к проблеме защиты от вибраций, связанных с высокоскоростными поездами стимулировало большое число теоретических и экспериментальных исследований в этой области (см. например [53,32,50,51]).
В работе СП. Тимошенко «К вопросу о прочности рельс» [24] определяется величина критической скорости и отмечается, что величина этой скорости велика, и на практике вряд ли достижима. Выполненные в последние годы теоретические исследования, а так же натурные испытания показали, что при превышении поездами скоростей распространения волн Рэлея в грунте, на котором укладывается путь, вибрации, создаваемые поездами, существенно возрастают.
Этот феномен имеет такое же объяснение, как эффект пролёта самолёта со сверхзвуковой скоростью, а так же эффект «Вавилова - Черенкова» в физике [8].
Наиболее важными являются два типа таких критические скоростей: скорости поверхностных волн Рэлея и минимальные фазовые скорости изгибных волн, распространяющихся в конструкции пути, уложенного на балластном слое. Скорость распространения изгибных волн называют критической скоростью верхнего строения пути.
При движении поездов со скоростями, близкими к критическим, прогибы рельсов и вибрации могут существенно возрасти и даже привести к сходу подвижного состава с рельсов. Обе эти критические скорости могут быть превышены современными высокоскоростными поездами, особенно в тех случаях, когда путь уложен на мягких грунтах и эти критические скорости невысокие. Для оценки взаимодействия высокоскоростных поездов с конструкцией пути наиболее часто используются модели балок Эйлера-Бернулли на упругом основании.
В настоящей работе получены формулы для определения критических скоростей и критических продольных сил при движении постоянной подвижной нагрузки по балкам, описываемым моделями Рэлея и Тимошенко.
Расположение корней знаменателя (биквадратного уравнения) на комплексной плоскости
При движении поездов даже с идеально круглыми колёсами по идеально гладким и ровным рельсам обязательно возникают колебания. При возрастании скоростей движения интенсивность генерируемых колебаний, как правило, увеличивается. При движении современных высокоскоростных экипажей, поездов и автомобилей, увеличение уровней вибраций особенно значительно [42], когда скорости движения экипажей приближаются к критическим скоростям, распространения волн в рельсах и грунте. Как уже отмечалось в первой главе, наиболее важными являются два типа таких критических скоростей: скорость поверхностной волны Рэлея в грунтах и минимальная фазовая скорость изгибных волн, распространяющихся в верхнем строении пути. Все эти критические скорости могут быть даже превышены современными высокоскоростными поездами и автомобилями, особенно в случае, когда трассы расположены на мягких грунтах. Возрастание вибраций при движении поездов со сверх Рэлеевскими скоростями было подтверждено экспериментально на участках с мягкими грунтами, на которых скорости движения поездов достигали и превышали скорости распространения волн Рэлея.
Выполненные в последние годы теоретические исследования, а так же натурные испытания показали, что при превышении поездами скоростей распространения волн Рэлея в грунте, на котором укладывается путь, вибрации, создаваемые поездами, существенно возрастают [35,37, 38,42].
При движении поездов со скоростями, близкими к критическим, прогибы рельсов и вибрации могут существенно возрасти и даже привести к сходу подвижного состава с рельсов. Для оценки взаимодействия высокоскоростных поездов с конструкцией пути наиболее часто используются модели балок Эйлера-Бернулли на упругом основании.
В настоящей работе получены аналитические решения для определения критических скоростей и критических продольных сил при движении постоянной подвижной нагрузки по балкам, описываемыми моделями Рэлея и Тимошенко.
Решения получены с использованием преобразования Фурье и теории вычетов [4, 34]. Полученные результаты представлены в аналитическом виде и удобны при решении конкретных задач.
В качестве исходной модели рассмотрим дифференциальное уравнение балки Тимошенко [3] на сплошном упругом основании при воздействии постоянной силы, движущейся с постоянной скоростью. Модели балок Эйлера-Бернули и Рэлея будем рассматривать как частные случаи, полагая соответствующие параметры равными нулю.
Вычисление интеграла (2.9) будет выполняться в комплексной плоскости с использованием контурного интегрирования и теории вычетов. Для этой цели найдём корни знаменателя подынтегрального выражения, который представляет собой биквадратное уравнение:
Схемы возможных расположений корней знаменателя и соответственно полюсов подынтегрального выражения представлены на Рисунок 2.2. Постоянные коэффициенты аі, аг, и b, зависящие от параметров балки и свойств упругого основания, а так же от скорости движения силы, определяются из условий:
После подстановки выражений (2.14) и (2.15) в третье уравнения (2.13) получим уравнение для определения параметра Ь: 64b6 +32mV2b4 +4(mV4 -4k)b2 -c2V2 =0. (2.16) Для определения параметров, входящих в выражения (2.11) необходимо найти положительные корни b уравнения (2.16). Подставляя найденные решения (значения Ь) в (2.14) и (2.15), получим значения коэффициентов ai и аг.
Рассмотрим частные случаи решений в зависимости от значений скоростей и параметра, определяющего демпфирование,
Полученное уравнение является биквадратным. Решения этого уравнения зависят от соотношений погонной массы, скорости движения и характеристики упругого основания. Расположение корней уравнения в зависимости от соотношения этих параметров представлено на соответствующих рисунках. При m2V4 4k. Рисунок 2.2, а).
Из выражения (2.35), (2.36) и (2.37) следует, что значения критического демпфирования зависят от скорости движения нагрузки. Аналогично, для колебания системы с одной степенью свободы критическое демпфирование зависит от собственной частоты системы. Такая зависимость для разных моделей балки показана на Рисунок 2.4 с использованием параметров из предыдущего параграфа и радиусом инерции г=0.5. На Рисунок 2.5 представлена зависимость безразмерного критического демпфирования для балки Тимошенко при разных значениях радиуса инерции. Из показанных графиков заметим, что при малом значении радиуса инерции разница критического демпфирования для разных моделей балки незначительна.
Колебания плиты на упругом основании при воздействии сосредоточенной постоянной силы, движущейся с постоянной скоростью
Вычисление (2.66) будет выполняться в комплексной плоскости с использованием контурного интегрирования и теории вычетов. Для этой цели необходимо найти полюса подынтегрального выражения. Полюсами подынтегрального выражения являются корни знаменателя:
Решение этого уравнения и вычисление интегралов выполнены численным методом. Исследуя выражения для полюсов, можем найти значения критических скоростей и критические значения вязкого демпфирования. Учитывая результаты приведённых в этой главе исследований, заметим, что критическая скорость определяется кратными действительными полюсами, а критическое демпфирование определяется кратными мнимыми полюсами.
Значение критических скоростей при воздействии подвижной гармонической силы зависит от частоты, изменяется которой сила. Зависимость критической скорости при воздействии подвижной гармонической нагрузки от частоты, с которой изменяется сила, показана на Рисунок 2.12.
Зависимость критических скоростей от соотношения частот Заметим, что при движении по балке на упругом основании силы, изменяющейся с заданной частотой ю0, следует рассмотреть два случая: - частота гармонической силы Юо меньше собственной частоты колебаний балки юь, - частота гармонической силы Юо больше собственной частоты колебаний балки юь, Если частота гармонической силы меньше собственной частоты балки, то существует два значения критической скорости: одно - меньше критической скорости при воздействии подвижной постоянной нагрузки, а другое - больше. Если частота гармонической силы больше собственной частоты колебаний балки, то критическая скорость больше, чем критическая скорость балки при воздействии подвижной постоянной нагрузки.
Используя полученные выражения, определим прогиб балки, изгибающий момент и поперечную силу. Если приложенная сила представляет сосинусоиду, необходимо использовать действительную часть полученных результатов, если нагрузка синусоидальная, необходимо использовать мнимую часть решения.
В качестве примера приведём результаты расчёта верхнего строения железнодорожного пути. Используются исходные данные предыдущего примера. Прогибы, изгибающие моменты и поперечные силы получены в соответствии с выражениями (2.76)-(2.82). a)
Графики относительных значений в точке х=0: а) прогибов, б) изгибающих моментов, в) поперечных сил, при следующих параметрах: с =0.1,
Зависимости максимальных относительных значений: а) прогибов, б) изгибающих моментов, в) поперечных сил, от частоты приложенной нагрузки при разных скоростях движения при =0.05 ГО
Зависимости максимальных относительных значений: а) прогибов, б) изгибающих моментов, в) поперечных сил, от частоты движущейся силы при разных коэффициентах демпфирования, а=0.5 2.5. Оценка вибраций тоннелей при движении поездов
Вибрация тоннелей и расположенных вблизи линий метро зданий при эксплуатации тоннелей неглубокого заложения является серьезной проблемой в городских условиях. Вибрация тоннеля при движении поездов вызывается следующими причинами: в результате движения постоянных сил (вес поезда), вследствие ударного взаимодействия колесных пар и рельсов, вынужденных колебаний вагонов и двигателей, из-за неровностей колёс и рельсов.
В настоящей работе рассматриваются колебания тоннеля, создаваемые сосредоточенными подвижными силами от веса поезда. Тоннель моделируется балкой на вязко-упругом основании, параметрами которого являются коэффициенты постели грунта и коэффициенты вязкого демпфирования, характеризующего рассеяние энергии в грунт при распространении продольных волн.
Расчетная схема Дифференциальное уравнение балки Эйлера-Бернулли на вязко-упругом основании при воздействии подвижных сил представим в виде: EI— + Ku + m— + C— = Y,PjS(x + lj-Vt) . (2.83) где: и - прогиб балки, х - координата направления движения подвижной нагрузки, t - время, EI - жесткость балки, Е - модуль Юнга, / - момент инерции балки, m -массовая единица балки, К- коэффициент постели основания, С- коэффициент вязкого демпфирования основания, Pj- j-я сосредоточенная сила, э0- круговая частота колебания нагрузки, 5 (х + /, - Vt) - дельта-функция Дирак, V- скорость движения поезда, /,- расстояние от j-й сосредоточенной силы до крайней левой силы, п- число колес.
Колебания упругого полупространства при движении постоянной сосредоточенной силы по поверхности полупространства
В числителе выражения (4.13) кроме заданной нагрузки находятся функции, описывающие перемещения на поверхности. Обычно эти функции определяются путём подстановки граничных условий в общее решение. В настоящей работе используется другой подход. Ввиду того, что функции t/.(x), определяющие перемещения, должны быть тождественно равны нулю при х2 о , изображения Фурье этих функций должны быть аналитическими в комплексной полуплоскости Im v 2 о . Таким образом, для определения изображений Фурье неизвестных функций на границе полупространства необходимо найти корни знаменателя выражения (4.13), лежащие в верхней комплексной полуплоскости v2 0, и подставить их в числитель. Такой подход упрощает решение в том случае, если требуется определять только перемещения на границе области. Корни знаменателя выражения (4.13) определяются из уравнения: рс2р (vf + v22 - а2со2 )(vf + v22 - со2) = 0. (4.17) Найдём корни знаменателя, лежащие в верхней полуплоскости: v2д = со2 - v2 и v2 2 = yja2co2 - v2. (4.18) Подставляя эти корни в числители выражений (4.13), получим систему уравнений для определения неизвестных изображений Фурье функций перемещений в зависимости от частот и волновых чисел:
Определение функций перемещений на поверхности упругого полупространства во временной области Выполнив обратное преобразование Фурье функций, представленных в выражениях (4.20), получим:
При выполнении обратного преобразование Фурье по времени используется свойство дельта функций, что позволяет легко выполнить интегрирование. 4.3.4. Перемещения поверхности упругого полупространства в зависимости от отношения скорости движения нагрузки к скоростям распространения волн
Как следует из анализа вида интеграла (5.21), результаты интегрирования буду существенно зависеть от отношения скорости движения силы к скоростям распространения волн в грунте.
Рассмотрим три случая: - сила перемещается со скоростью меньшей скорости распространения волн сдвига ар 1 (V cs), - сила перемещается со скоростью большей скорости распространения волн сдвига, но меньше скорости распространения продольных волн cs V ср, - сила перемещается со скоростью превышающей скорости распространение продольных волн. Примечание. Для этих интервалов скоростей автором работы приняты следующие определения: докритические скорости, околокритические скорости, сверхкритические скорости.
Полученное уравнение определяет фазовую скорость распространения поверхностных волн Рэлея. Отметим, что перемещения поверхности полупространства неограниченно растут, когда скорость движения силы приближается к фазовой скорости поверхностной волны Рэлея. Второй случай: — /3 \ (cs V c ), околокритические скорости. а Выражения функций перемещений поверхности имеют следующий вид:
Третий случай, р 1 (V cp), сверхкритические скорости Перемещения поверхности грунта определяются выражениями: і U A ) = ===-=====— -— sgn - fir)
Ниже представлены графики относительных перемещений поверхности грунта в зависимости от скоростей движения силы, полученные с использованием представленных выше аналитических выражений (рисунок 4.2 -4.5). Рисунок 4.2. Зависимость горизонтальных относительных перемещений поверхности грунта от скорости движения силы для различных значений коэффициента Пуассона, без учёта демпфирования.
Зависимость вертикальных относительных перемещений поверхности грунта от скорости движения силы для различных значений коэффициента Пуассона, без учёта демпфирования. Рисунок 4.4. Зависимости горизонтальных перемещений поверхности грунта от скорости движения силы с учётом различных коэффициентов демпфирования грунта. Коэффициент Пуасонна v=0.3.
Получены аналитические решения перемещений поверхности упругого полупространства при движении по поверхности сосредоточенной силы. Для решения используется аппарат обобщённых функций и интегральное преобразование Фурье. При представлении уравнений теории упругости в обобщённых функциях в обобщённую нагрузку входят и силовые факторы (силы) и кинематические (перемещения на поверхности).
Для определения изображений Фурье неизвестных функций перемещений на границе полупространства используется условия аналитичности изображений Фурье функций перемещений в нижней комплексной полуплоскости, для чего числитель изображения Фурье функций перемещений приравнивается нулю при значениях, равных нулям знаменателя, расположенных в нижней комплексной полуплоскости.
Такой подход упрощает решение в том случае, если требуется определять только перемещения на границе области. Теорема взаимности широко используется при решении задач строительной механики и теории упругости. Как правило, эта теорема применяется при решении статических задач. Если в качестве массовых сил добавить и силы инерции, то эта теорема распространяется и на динамические задачи [5,9,26,16, 21, 30,55]. В книге Лява «Математическая теория упругости» на странице 184 упоминается, что «теорема взаимности принадлежит Е. Betti (1872 г.) и является частным случаем более общей теоремы Рэлея (1873 г.). Общие изыскания, касающиеся теоремы в динмике можно найти в работах H.Lamb (1889 г)». При решении динамических задач с помощью этой теоремы необходимо учитывать не только инерционные силы, но и начальные и граничные условия. Поэтому уравнения теоремы взаимности для динамических задач принимают более сложные выражения.
В этой главе решения колебаний балки и плиты на сплошном упругом основании грунта при воздействии подвижных нагрузок получены аналитическим методом. Теорема взаимности Бетти-Рэлея позволяет заменить подвижный источник (силу), силой, приложенной в фиксированной точке, определяя при этом колебания в точке, движущейся в противоположном направлении. Эта замена значительно упрощает сложное аналитическое решение колебаний плиты, балки на упругом основании и грунта под действием подвижных нагрузок. Разработаны программы для вычисления реакций балок, плиты при воздействии постоянных и гармонических подвижных нагрузок. На основании выведенных аналитических выражений выполнены расчёты для конкретных примеров. Получены функции перемещения балок и плиты при воздействии постоянной и гармонической нагрузки в области изображений Фурье и во временной области. В настоящей главе используются результаты, представленные в интересной работе Y.M. Сао, Н. Xia, G. Lombaert [30] «Оценка вибраций грунта, создаваемых подвижной нагрузкой на основании динамической теоремы взаимности Бетти Рэлея».