Введение к работе
Актуальності, проблемы. Научно-технический прогресс современного машиностроения во многом связан с использованием тонкостенных конструкций. Их монопольное положение в ряде новых областей техники объясняется тем, что образованные из них конструкции обеспечивают удачное сочетание легкости и высокой удельной прочности.
При установлении модели оболочки, которая в теоретических исследованиях должна представлять реальные оболочки, как правило, приходится делать ряд допущений. Эти допущения прежде всего должны касаться конструкции оболочки и материала, из которого она изготовлена.
Под неоднородностью из всего множества идей, вкладываемых в это понятие, мы будем понимать неоднородность, связанную с переменностью двух физических величин E(x,y,z) и p{x,y,z).
Наиболее важным моментом при проектировании тонкостенных конструкций является обеспечение их работоспособности при действии сжимающих усилий, поэтому потребность развития универсальных алгоритмов численного исследования деформирования и устойчивости тонкостенных оболочек является весьма актуальной.
Цель диссертационной работы. Анализ современного состояния вопроса о решении задач теории пластин и оболочек и исследовании сходимости методом Бубнова-Галеркина показал, что он является одним из наиболее эффективных и широко используемых численных методов решения как статических, так и динамических задач теории пластин и оболочек. Современная вычислительная техника и накопленные математические знания о нем позволяют использовать его для решения сложных задач теории неоднородных пологих оболочек при конечных прогибах.
Настоящая работа, не претендующая на полноту и завершенность исследования названной выше проблемы, представляет собой еще одну попытку продемонстрировать простоту реализации и эффективность применения метода Бубнова-Галеркина в задачах-такого класса.
Научная новизна. В работе с единых методологических позиций делается попытка исследовать задачи устойчивости и колебаний неоднородных пологих оболочек методом Бубнова-Галеркина. Рассматриваются прямоугольные в плане сферические и замкнутые круговые цилиндрические оболочки.
В главе 1 исходя из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского получено вариационное уравнение, из которого формально можно получить краевую задачу для системы дифференциальных уравнений в смешанной форме с разрывными коэффициентами. В случае гладких функций Ей р может иметь место и классическое решение для системы
дифференциальных уравнений, если нагрузка допускает существование такого решения. Метод Бубнова-Галеркина в высших приближениях решения краевой задачи применялся именно в смысле обобщенного решения этой задачи, т.е. непосредственно к вариационному уравнению.
При исследовании участки неоднородности характеризуются переменными параметрами жесткости и плотности.
В главе 2 при решении задач статической устойчивости принят путь определения критических нагрузок - непосредственно из решения нелинейных уравнений. Критические нагрузки определяются по предельным точкам в характеристиках задачи q - w.
Исследована устойчивость прямоугольных, квадратных в плане, сферических однородных и неоднородных оболочек, находящихся под воздействием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Рассмотрены оболочки с тремя схемами расположения участков жесткости по плану оболочки: в центре, типа "крест", типа "перфорация"(рис.1).
ЕЗ \
4 -ф-
-Є 3—{
;-- 3-
а - в центре б - типа "крест" в - типа "перфорация"
Рис. 1. Схема расположения участков жесткости по плану оболочки
При этом рассматриваются как "мягкие" (/^ <1), так и "жесткие" оболочки (у\.- > 1). Для однородной оболочки /1/=1..
В главе 3 исследованы собственные колебания неоднородных пластин и оболочек. Задача отыскания частот колебаний оболочки сводится к задаче отыскания собственных значений соответствующей матрицы.
При исследовании колебаний неоднородной оболочки для каждой гармоники вводится параметр Kd -коэффициент динамичности гармоники, который представляет собой отношение соответствующей частоты неоднородной и однородной оболочек. В расчетах число мод ограничено-9.
Для исследования свободных нелинейных колебаний пластин и оболочек предложен численный метод построения зависимостей "размах ко-лебаиий-частота", использующий преобразование Фурье. Показано, что данный метод имеет хорошую сходимость по частоте и размаху колебаний.
Приводятся необходимые оценки длины интервача записи (наблюдения) и частоты Найквиста, представляющей наивысшую частоту, которую можно обнаружить на данных, полученных с заданным интервалом отсчета.
В главе 4 исследована динамическая потеря устойчивости неоднородных оболочек с типовым набором схем неоднородности, построены зависимости критической нагрузки от параметров неоднородности для "мягких" и "жестких" оболочек.
В главе 5 рассмотрены задачи устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки при неосєсимметричной деформации, находящейся под действием нагрузки ветрового типа, в статической и динамической постановке, когда такая нагрузка содержит по времени периодическую составляющую заданной частоты.
В главе 6 использованный ранее прием учета неоднородности по плану оболочки с успехом применяется для учета неоднородности по толщине оболочки. В этом случае участки неоднородности занимают весь план оболочки, т.е. оболочка становится слоистой. В рамках построенной модели исследована статическая и динамическая устойчивость слоистой оболочки, выполненной из сплавов титана и алюминия.
В главе 7 исследуется поведение пластинок и оболочек, находящихся под воздействием "подвижной нагрузки". Решение задачи о динамическом воздействии движущихся масс на детали машин и элементы конструкций при расчленении механической системы существенно упрощается, поскольку сводится к предварительному независимому решению более простых задач колебаний направляющей конструкции под действием движущейся силы Рд и перемещения в пространстве движущихся масс под
действием этой же силы.
Построенный алгоритм расчета позволяет учитывать тот факт, что точка входа груза на направляющую поверхность может быть любой, а скорость груза имеет как горизонтальную, так и вертикальную составляющие.
Решены различные задачи взаимодействия груза с направляющей поверхностью(пластинка или оболочка): оболочка при поперечном ударе твердым телом с учетом и без учета отрыва груза от направляющей поверхности; оболочка при подвижной нагрузке, когда груз движется вдоль координатной оси с постоянной и переменной скоростью (равноускоренно и равнозамедленно).
Достоверность результатов диссертационной работы. Полученные уравнения для однородной оболочки совпадают с известными(монография А.С. Вольмира). В этом случае надо положить Е = const, р = const и "перебросить" производные от варьируемой функции. Если функциональ-
ная зависимость Е и р от координат соответствует прямоугольным вырезам, то после соответствующих преобразований уравнения совпадают с уравнениями монографии И.Н. Преображенского.
Все задачи решаются в высших приближениях. Задача о динамической потере устойчивости однородной прямоугольной оболочки решается для сравнения методом конечных разностей при различном разбиении. При сравнении этих решений предпочтение отдается методу Бубнова-Галеркина. Полученные результаты численного решения задачи о динамической устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки практически совпадают с результатами, полученными С. А. Рыжовым в конечных разностях.
Практическая значимость работы. Показана возможность с единых методологических позиций исследовать задачи устойчивости и колебаний неоднородных пологих оболочек (как со ступенчато изменяющейся толщиной, так и с участками, выполненными из материалов с различным модулем упругости и плотности) методом Бубнова-Галеркина.
На защиту выносятся:
-алгоритм решения методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях уравнений смешанного типа, с единых методологических позиций рассматривающий оболочки как со ступенчато изменяющейся толщиной, так и с участками, выполненными из материалов с различным модулем упругости и плотности;
-алгоритм получения собственных частот и форм линейных колебаний неоднородных пластин и оболочек;
-метод и алгоритм построения амплитудно-частотных характеристик свободных колебаний пластин и оболочек;
-результаты исследования на статическую и динамическую устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек при неосесимметричном деформировании;
-адаптация используемого способа учета неоднородности оболочки к расчету слоистой оболочки;
-алгоритм расчета системы "оболочка -движущийся груз" при односторонней и двусторонней связи, наложенной на движущуюся массу.
Апробация работы
Основные положения диссертации докладывались и обсуждались:
-на IX Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Ленинград, 1973 г.);
-на итоговой научной конференции Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина, секция механики твердого де-
формированного тела под рук. проф. К.З. Гапимова и проф. А.В. Саченкова (Казань, 1974 г.);
-на Московском городском семинаре по прочности, устойчивости и выносливости конструкций авиационной техники под рук. проф. А.С. Вольмира и проф. В.В. Новицкого (Москва, 1974 г.);
-на Всесоюзной конференции по проблемам нелинейных колебаний механических систем (Киев, 1974 г.);
-на Всесоюзной конференции по нелинейным задачам теории пластин и оболочек (Саратов, 1981 г.);
-на научных семинарах по нелинейным задачам теории пластин и оболочек кафедры высшей математики СГТУ под руководством проф. Крысько В.А.;
-на VI межвузовской конференции по математическому моделированию и краевым задачам (Самара, 1996 г.);
-на XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин. (Саратов, 1997 г.);
-на II Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика-99" (Минск, 1999 г);
В целом работа докладывалась:
-на научном семинаре по нелинейным задачам теории пластин и оболочек кафедры высшей математики СГТУ под руководством проф. Крысько В.А. (29.12.99 г.);
-на Объединенном семинаре кафедр прикладной механики и информатики, теоретической механики, высшей математики СГТУ под руководством академика Петрова В.В. (10.02.00 г);
Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 работ, в том числе 3 монографии.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, 7 глав, выводов, списка литературы. Общий объем составляет 255 страниц и включает 19 таблиц, 87 рисунков.