Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Состояние вопроса 8
1.1. Описание проблемы 8
1.2. Состояние вопроса 9
1.3. Це ли и задачи работы 18
Г ЛАВА 2 Динамический конечный элемент 19
2 .1. Пост роение мат риц жест ко сти 19
2.1.1. Растяжение (сжатие) стержня 19
2 .1 .2 И з гиб 22
2 .1 .3. Кручен ие 28
2 .2 Построение матриц инерции 30
2.2.1. Растяжение (сжатие) стержня 30
2 .2 .2 И згиб 31
2.2 .3 Кручение 33
Выводы по главе 2 34
ГЛАВА 3. Расчет свободных колебаний стержневых конструкций с помощью динамических конечных элементов 35
3.1. Консольный стержень 35
3.1.1. Растяжение (сжатие) 35
3 .1 .2 .Изгиб 38
3 .2. Ступенчатый стержень 41
3.2.1. Растяжение (сжатие) 41
3 .2 .1 Изгиб 43
3.3. Анализ сложных систем 44
3.3 .1 Плос к ая ферма 44
3.3.2. Рама 47
Выводы по главе 3 51
ГЛАВА 4. Расчет вынужденных колебаний стержневых конструкций с помощью динамических конечных элементов 52
4.1. Консольный стержень 52
4.2. Сложные систе мы 59
4.3. Оценка динамических напряжений 63
Выводы по главе 4 67
ГЛАВА 5. Динамика стержневых конструкций при ударной нагрузке с помощью динамического конечного элемента 68
5.1. Консольный стержень 68
5.2. Расчет сложных систем 73
5.3. Влияние частоты ударной нагрузки на движе ние системы 77
Выводы по главе 5 83
Заключение 84
Список использованных источников 86
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Стержневые системы находят
широкое применение в строительных конструкциях различного назначения.
Это, например, перекрытия объектов большой площади (торговые павильоны,
стадионы, ангары), опоры линий электропередач, мостовые
сооружения.Стержневые системы как компоненты строительных конструкций в большой степени подвергаются динамическим нагрузкам при эксплуатации. Это, например, сейсмические, ветровые, техногенные воздействия. Поэтому точная оценка поведения стержневых конструкций под действием динамических нагрузок имеет большое значение при проектировании и эксплуатации.
Многие исследования посвящены вопросам моделирования динамики и получению уравнений движения при колебаниях стержневых конструкций различной конфигурации. Предложено множество подходов для определения частот колебаний, например, подход Галеркина, метод Релея-Ритца, метод динамических жесткостей и податливостей, конечно-элементная постановка. Наиболее распространенным является метод конечных элементов (МКЭ) в классической постановке, где матрицы элементов построены на основе статических (в основном, полиномиальных) функций форм. Такой подход дает приближенные уравнения в форме статической матрицы жесткости и матрицы инерции. Предполагается, что разбиением стержня уточнятся частотные характеристики при свободных колебаниях и амплитудно-частотные характеристики при вынужденных колебаниях, однако, это не всегда так.
Вариацииклассической постановки МКЭ позволяют повысить точность
расчета. Так, всвоих работахСоболевВ.И. предлагает аналог метода конечных
элементов – метод гармонического элемента (ГаЭ), основанный на
использовании и развитии метода динамической податливости, однако, такой
метод ориентирован на моделирование вынужденных колебаний
конструкции. Механизм свободных колебаний здесь не реализуется.
Желтков В.И. предлагает новый подход к решениям динамических задач для пространственных стержневых систем, основанный на применении МКЭпо принципу «один стержень – один конечный элемент». Используются строгие решения уравнений движения линейно-упругого стержня, при этом уравнение для определения собственных частот является трансцендентным которое в отличие от классического уравнения динамической задачи МКЭ не является обобщенной алгебраической проблемой собственных значений и требует применения численных методов решения.Принципиальным отличием от классической постановки МКЭ является то, что матрица жесткости элемента составлена из узловых сил, определенных строгим решением динамической задачи и не требует вычисления матрицы масс. При таком подходе возможен расчет только свободных колебаний стержневой системы.
В случае классической постановки МКЭ, альтернативным подходом повышения точности динамического расчета может быть использование функций форм элементов, отличных от полиномов. Например, Юлдашев О.И.
и Юлдашева М.Б.в своих работах предлагают использовать гармонические конечно-элементные функции формы и описывают несколько алгоритмов для их определения. Точность расчета при таком подходе повышается существенно, однако, не учитывается в полной мере динамическое поведение элемента. Колебательные формы элементов могут не являться гармониками (или их суперпозициями), поэтому точный результат возможен при случайном совпадении функции формы с истинной колебательной формой элемента.
Детальные исследования существующих методов расчета стержневых конструкций привели к созданию подхода на основе динамического (частотно зависимого) конечного элемента (ДКЭ). При таком подходе для построения элементав качестве функции формы используетсяточная колебательная форма, что приводит к высокоточному результату. При этом, погрешность будет зависеть только от численных методов решения частотного уравнения.
Поскольку стержневые системы широко распространены в
строительстве, а методы расчета их динамики требуют дальнейшего развития, то разработка конечного элемента на основе аналитических (точных) решений уравнений колебаний является актуальной задачей.
Объектом исследованияявляются стержневые системы, подверженные воздействию динамических нагрузок.
Предметом исследования являются процесс расчета динамики стержневых систем методом конечных элементов, динамические внутренние силовые факторы, воздействие ударной нагрузки на стержневые системы.
Целью диссертационной работыявляется совершенствование методов расчета колебаний стержневой системы на основе динамического конечного элемента.
Для достижения поставленной цели определены следующие основные
задачи работы:
-
Построить динамический конечный элемент в виде стержня с помощью функций форм, полученных на основе аналитических решений уравнений колебаний для простых видов деформаций: растяжение, кручение, изгиб. Получить зависимости для коэффициентов матриц жесткости и инерции динамического конечного элемента.
-
Выполнить расчет свободных и вынужденных колебаний различных стержневых конструкций с помощью динамического конечного элемента. Получить значения собственных частот и амплитудно-частотные характеристики. Оценить динамическое напряженно-деформированное состояние, а также движение систем в результате ударной нагрузки.
-
Показать эффективность применения динамического конечного элемента при анализе динамики стержневых конструкций путем сравнения полученных решений с известными аналитическими решениями для простых систем.
-
Выполнить оценку погрешностей расчета динамики стержневых конструкций при использовании классического подхода метода конечных элементов относительно динамического конечного элемента.
5. Сделать выводы, дать рекомендации и обозначить ограничения
по применимости динамического конечного элемента к расчету динамики стержневых конструкций.
Научная новизна. При выполнении диссертационной работы получены следующие новые научные результаты:
- разработан специальный конечный элемент для анализа динамики
стержневых конструкций, функции формы которого представляют собой
точные колебательные формы стержней при различных видах деформаций:
растяжение, кручение, изгиб;
- получены функциональные зависимости коэффициентов матриц
жесткости и инерции от частот колебаний - собственных при свободных
колебаниях, и вынужденных при внешнем воздействии;
- доказано, что динамический конечный элемент позволяет получить
точное решение для стержневых конструкций в рамках классических
положений строительной механики, а погрешность расчета определяется
только методом решения частотного уравнения или интегрирования.
Теоретическая значимость работы:
- на основе аналитических решений уравнений колебаний при
различных видах деформаций получены теоретические зависимости для
коэффициентов матриц жесткости и инерции конечного элемента в виде
стержня;
- теоретические зависимости коэффициентов матриц жесткости и
инерции могут быть использованы для расчета динамики стержневых
конструкций в классической постановке задач метода конечных элементов.
Практическая значимость работы:
- возможность получения точных результатов расчета динамики
стержневых конструкций при минимальном числе конечных элементов;
- построенный динамический конечный элемент может быть внедрен
в промышленные программные комплексы конечно-элементного анализа
конструкций с целью получения высокоточных результатов оценки
динамического поведения систем.
Методология и методы исследования.Теоретические исследования в области формирования функций форм для динамического конечного элемента основаны на классических положениях строительной механики, методах теории колебаний, теории дифференциальных уравнений и интегрального исчисления. Теоретические исследования в области решения задач динамики стержневых систем основаны на положениях метода конечных элементов и численных методах, теории удара.При проведении численного моделирования по методу конечных элементов были использованы методы программирования.
На защиту выносятся следующие положения:
- метод определения функций форм для динамических конечных элементов на основе аналитических решений уравнений движения стержня при различных видах деформаций;
теоретические зависимости для определения коэффициентов матриц жесткости и инерции динамических конечных элементов;
динамический конечный элемент как средство анализа стержневых конструкций при свободных, вынужденных колебаниях, а также при действии ударной нагрузки.
Достоверностьнаучных положений и полученных результатов подтверждается их сравнением с известными аналитическими результатами, полученными с помощью фундаментальных методов строительной механики и теории колебаний.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах: международной научной конференции: «Открытия и достижения науки» (г. Москва, 2015); международной научной конференции: «Фундаментальная и прикладная наука» (г. Москва, 2015); научно-технический семинар в Юго-Западном государственном университете (г. Курск, 2016).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 5 работ в изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки Российской Федерации для публикации материалов диссертационных исследований.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов по работе, списка литературы из 87 наименований. Работа содержит 91страницу, в том числе 33 рисунка и 22 таблицы.
Состояние вопроса
В течение последних десятилетий было предложено большое количество методов расчета стержневых конструкций с целью получения точных результатов как в рамках классической теории, так за ее пределами, чтобы учесть различные эффекты. Для усовершенствования стержневой модели использовались различные подходы, которые, к примеру, учитывали сдвиговые деформации, использовали законы деформирования, основанные на решении Сен-Венана, вариационные асимптотические решения, обобщенную теорию и многое другое.
Первые исследования были сфокусированы на применении коэффициентов учета сдвиговых деформаций, чтобы повысить точность расчета, например, в работах [79], [76], [78], [55]. Коэффициенты учета сдвиговых деформаций обычно использовались с позиции статического анализа, что вызывало определённые ограничения. В связи с этим, в работе [57] показано, что коэффициенты учета сдвига могут зависеть от частоты собственных колебаний стержня. В дальнейшем, в работах [58] и [49] сделан акцент на том, что создание универсального подхода к определению коэффициентов учета сдвига довольно затруднительно.
Другой важный класс усовершенствованных методов, которые встречаются в литературе, основан на применении функций деформации. Важный вклад в данный метод внесен в работах [52], [50], [51], в том числе и применительно к анизотропным материалам [63], [64]. Подобный подход использован в работах [69] и [61] применительно к расчету свободных колебаний конструкций – здесь была введена депланация сечения без учета изменения формы в плоскости сечения.
Также в литературе предлагаются решения в виде асимптотического разложения в ряд в сочетании с вариационными методами. В частности, в работе [36] излагается обзор подобных исследований по развитию классической теории, которые оцениваются весьма перспективно. В дальнейшем, значительный вклад в этом направлении сделан в работах [80], [68], [87], [85], [86]. Другие исследования, связанные с развитием вариационных методов, опубликованы в работах [62] и [53].
Та к, в работах [71] и [72] предложена так называемая обобщенная теория изгиба балок. Эта теория является развитием классической теории и предполагает кусочно-линейное описание тонкостенных сечений. Обобщенная теория получила широкое распространение и была расширена применительно к произвольным ортотропным материалам [73], [75], а также анализу устойчивости цилиндрических оболочек [74]. Обобщенная теория также применялась для динамического расчета тонкостенных элементов при сжатии и изгибе [35]. Теории более высоких порядков обычно получаются применением уточненных полей перемещений поперечных сечений балки. Например, установлено, каким образом применение произвольно выбранного поля перемещений приводит к точному решению трехмерной задачи в замкнутой форме [81]. В дальнейшем было предложено множество других теорий более высоких порядков, позволяющие выйти за рамки классической теории. Обзор таких теорий выполнен в работах [59] и [60], где особое внимание уделено изгибным деформациям, расчету колебаний, распространению волн, устойчивости и поведению конструкций после потери устойчивости.
Широкое распространение при расчете стержневых конструкций получил так называемый унифицированный подход [39], [46], [47], [40], [42]. Такой подход предполагает иерархическую формулировку, в которой в качестве неизвестного параметра принимается порядок модели N. Другими словами, уточненную модель можно получить без заранее определенного ее описания. Данный подход нашел свое применение при статическом – [41], [45] и динамическом [43], [44], [67] – анализе конструкций с произвольной геометрией, а также тонкостенных конструкций.
Метод динамической жесткости (МДЖ) нашел самое широкое применение при анализе свободных колебаний как стержневых конструкций [31], [29], [33], [34], [30], [28], [32], так и пластин [82], [83], [37], [38].
Согласно [65] в МДЖ используется так называемая точная динамическая матрица жесткости. Эта матрица записывается в частотной области с использованием динамических функций форм, полученных из точных волновых решений определяющих дифференциальных уравнений. Точные решения получаются переводом дифференциальных уравнений из временной области в частотную, полагая, что решение представляет собой гармоники определенной частоты.
Точная динамическая матрица жесткости является частотно зависимой и включает в себя инерционные, жесткостные и демпфирующие свойства элемента. Поскольку эта матрица формируется на основе частотно зависимых функций форм, полученных из точных решений, она автоматически учитывает непрерывное распределение массы внутри элемента [65]. Поскольку МДЖ основан на точных решениях дифференциальных уравнений колебаний, результат расчета также имеет высокую точность.
В работе [65] МДЖ получает развитие, в результате чего для динамического анализа конструкций предлагаются метод спектрального анализа (МСА) и метод спектральных элементов (МСЭ).
Метод спектрального анализа (МСА) предполагает быстрое преобразование Фурье (БПФ) определяющих дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений представляется в виде суперпозиции бесконечного числа мод разной частоты. Метод МСА предполагает определение бесконечного числа спектральных компонентов (коэффициентов Фурье) в частотной области и затем выполнение обратного преобразования Фурье чтобы построить зависимость решения во времени [65].
Метод спектральных элементов (МСЭ) является совокупностью МДЖ и МСА [65]. Коротко алгоритм расчета по МСЭ можно сформулировать следующим образом. На первом этапе происходит дискретизация конструкции, затем формируется динамическая матрица жесткости согласно МДЖ. Далее динамическая матрица преобразуется по алгоритму быстрого преобразования Фурье (БПФ), решается система уравнений, выполняется обратное преобразование и получается решение, зависящее от времени, т.е. используются приемы МСА.
К основным недостаткам МДЖ, а также методов, полученных на его развитии, можно отнести то, что в данном случае возможен расчет только свободных колебаний конструкций. Механизм вынужденных колебаний здесь не реализуется.
Построение матриц инерции
Тщательные исследования существующих методов анализа динамики стержневых конструкций в рамках допущений классической теории выявили необходимость создания универсального инструмента, позволяющего восполнить пробел между классическим МКЭ, дающим неточный результат, и МДЖ, позволяющим точно оценить только свободные колебания.
Целью данной работы является построение стержневых конечных элементов, предназначенных для расчета динамики конструкций. Такой конечный элемент, называемый «динамическим конечным элементом» (ДКЭ), строится на базисных функциях форм, построенных на основе аналитических решений дифференциальных уравнений колебаний [8], [9], [20], [21], [22], [23]. При таком подходе базисные функции ДКЭ зависят от частоты колебаний: при свободных колебаниях зависят от частоты собственных колебаний, при вынужденных – от частоты возмущения. Соответственно зависят от этих частот и компоненты матриц жесткости и инерции элемента. Если в расчете используются точные функции формы, то и результаты получаются точными, а погрешность в оценке, например, собственных частот зависит только от численных методов решения частотного уравнения.
С помощью ДКЭ в рамках данной работы решаются следующие задачи: 1. Оценка свободных колебаний стержневых систем: - определение собственных частот и форм конструкций; - рассмотрение простейших стержневых систем, для которых известны аналитические решения, их сравнение с решениями, полученными с применением ДКЭ; - рассмотрение более сложных систем, для которых получить аналитические решения затруднительно. 2. Решение задачи вынужденных колебаний стержневых конструкций: - определение резонансных частот для простых и более сложных стержневых систем; - построение амплитудно-частотных характеристик. 3. Оценка динамических напряжений 4. Расчет систем при ударной нагрузке: Также, дл я каждого расчетного с л уч а я предполагается провести сравнение с результатами, полученными с применением классического МКЭ, а, именно, оценить погрешности расчета в зависимости от степени дискретизации системы на примере как простых систем, для которых известны аналитические решения, так и сложных, для которых получить аналитическое решение затруднительно.
Подробно вывод уравнения (2.1.1) описывается в учебной литературе [1], [3]. Важно отметить, что при выводе уравнения не учитывались силы инерции, связанные с поперечными движениями частиц стержня при его растяжении и сжатии. Следовательно, уравнение продольных колебаний является приближенным. Однако, его погрешности становятся заметными только при исследовании колебаний на очень высоких частотах, когда длины волн, распространяющихся в стержне, имеют размеры порядка размеров поперечного сечения.
Согласно общему принципу линейной теории колебаний - принципу суперпозиции малых колебаний - предполагается, что малые колебания системы с бесконечным числом степеней свободы представляют собой линейное наложение главных гармонических колебаний [1]. Согласно данному принципу продольные гармонические колебания стержня имеют вид: u(z, t) = U(z) cos(/ct + ці), где U(z) - функция, определяющая непрерывную совокупность амплитудных продольных отклонений сечений стержня от их равновесных положений, или амплитудная функция. Амплитудная функция уравнения (2.1.1) имеет вид: U(z) = q cos az + c2 sin az, (2.1.2)
В данном случае принято, что начало локальной системы координат находится в сечении стержня с узловым перемещением (степенью свободы) qv
Подставим выражения для узловых перемещений (2.1.3) и (2.1.4) в амплитудную функцию (2.1.2): /(z) = q, cos az + (g7 — q, cos al) sin az = sin al sin az = qAcosaz — ctg alsinaz) + q7 -. (2.1.6) sin at Таким образом, функции формы стержневого конечного элемента, работающего на растяжение, имеют вид: /-L(Z) = cosaz — ctg al sin az, (2.1.7) sinaz /200 = Г- (2-1-8) sin al Матрица жесткости конечного элемента, представленного на рис.2.1, имеет размерность 2х2:
Растяжение (сжатие)
Амплитудная функция при продольных колебаниях в общем виде записывается как (2.1.2). Граничными условиями для схемы, представленной на рис. 3.1, являются отсутствие перемещений на закрепленном конце и равенство нулю внутренних усилий на свободном конце [1], [3]: {/(0) = 0, U (l) = 0. (3.1.1) Из (3.1.1) следует уравнение частот cos al = 0, (3.1.2) откуда получаются собственные частоты и формы стержня: atl = (і — 0.5) я, t = l,2,3,... , (3.1.3) Ut(z) = sin ((і-0.5) ), і = 1,2,3,.... (3.1.4) Далее, получим решение данной задачи с помощью ДКЭ. Предположим, что стержень (рис. 3.1) представлен одним конечным элементом. Матрица жесткости (2.1.16) и матрица инерции (2.2.6) элемента с учетом условия закрепления на одном из концов принимают вид: EFa С{а) = — [2al + sin 2al), (3.1.5) 4 sin2 al Yft /1 \ M(a)= %— lal--sm2al). (3.1.6) 2a sin2 al \ 2 ) Собственные частоты системы представляют собой решения частотного уравнения detC(a) — (аа)2М(а)\ = 0, (3.1.7) где к = аа - частота собственных колебаний. Собственные частоты стержня, представленного на рис. 3.1, определены путем численного решения уравнения (3.1.7). Полученные частоты совпадают с частотами, полученными аналитическим методом (3.1.3), при различных геометрических и физических значениях параметров стержня. Следует отметить, что решения, полученные по ДКЭ, совпадают с аналитическими решениями при любом числе разбиений стержня. Погрешность расчета в данном случае определяется погрешностью численных методов решения частотного уравнения (3.1.7).
В случае традиционного МКЭ матрицы жесткости и масс построены на основе функций форм статики и имеют достаточно простой вид. При анализе динамики конструкций этот факт может приводить к серьезным погрешностям. Ниже проведено сопоставление точности расчета собственных частот при использовании МКЭ и ДКЭ.
При использовании МКЭ возможны различные приемы формирования матрицы масс [10], в результате которой получается согласованная, например (2.2.6), или диагональная матрица. Диагональная матрица применяется для упрощения расчетов, что приводит к снижению точности и увеличению числа конечных элементов в стержне. В таблице 3.1 представлены погрешности оценки первых пяти собственных частот стержня, представленного на рис. 3.1, в зависимости от числа конечных элементов в стержне. В числителе каждой ячейки приведены погрешности расчета при согласованной матрице масс, в знаменателе – при диагональной.
Из таблицы 3.1 следует, что при расчете собственных частот продольных колебаний стержня по МКЭ при согласованной и диагональной матрицах масс получаются близкие по модулю, но противоположные по знаку погрешности. При этом согласованная матрица в большинстве случаев дает завышенные значения частот, а диагональная – заниженные. Достаточная точность расчета достигается при 5…30 элементах.
В дальнейшем в случае растяжения для сопоставления результатов, полученных согласно традиционному МКЭ и ДКЭ, будем использовать решения МКЭ на основе согласованной матрицы масс.
Ниже на рис. 3.2 представлены колебательные формы стержня, схема которого приведена на рис. 3.1. Полученные формы полностью совпадают с формами, полученными аналитическим методом.
Рассмотрим стержень, работающий на изгиб, один конец которого жестко закреплен (рис. 3.3). Аналитическое решение данной задачи, как и в случае растяжения, известно и также представлено в литературе [1], [3]. Кратко его можно сформулировать следующим образом.
Данная задача решена с помощью ДКЭ в предположении, что стержень (рис. 3.3) представлен одним конечным элементом. Коэффициенты матриц жесткости (2.1.72)-(2.1.81) и инерции (2.2.14)-(2.2.23) изгибаемого конечного элемента получены в главе 2. Собственные частоты изгибаемого стержня (рис. 3.3) получены путем решения уравнения (3.1.7) известными численными методами. Полученные частоты совпадают с частотами, полученными аналитическим методом (3.1.12), при различных геометрических и физических значениях параметров стержня. Как и в случае растяжения, решения, полученные по ДКЭ, совпадают с аналитическими решениями при любом числе разбиений стержня.
Решения, полученные по ДКЭ, сопоставлены с решениями, полученными при использовании МКЭ. Ниже в таблице 3.2 приведены погрешности оценки первых пяти собственных частот изгибаемого стержня в зависимости от числа конечных элементов. В числителе каждой ячейки приведены погрешности расчета при согласованной матрице масс, в знаменателе – при диагональной.
Оценка динамических напряжений
Также следует отметить, что, начиная со второго резонанса, погрешности расчетов резко увеличиваются. При резонансных частотах амплитудно-частотная характеристика стержня резко уходит вверх (рис. 4.2). Следовательно, при минимальном несовпадении резонансных частот, полученных с применением ДКЭ и классического МКЭ, на графике (рис. 4.2) наблюдаются практически параллельные участки характеристик, что в дальнейшем приведет к б о л ь ши м погрешностям при определении характера движения точек стержня.
Подобное объяснение распространяется не только на случай растяжения стержня. Если присутствует другой вид нагружения, например изгиб, то большая погрешность расчета наблюдается не только для амплитудных перемещений отдельных узлов (например, точка приложения силы), но и для его угловых деформаций.
На рис. 4.3 представлена расчетная схема стержня, работающего на изгиб, один конец которого закреплен. К д р у г о м у концу стержня приложено вертикальное гармоническое возмущение (4.1.1) с единичной амплитудой и заданной частотой .
Аналитическое решение задачи изгиба при вынужденных колебаниях получается следующим образом. Движение стержня будет происходить с частотой возмущения и запишется в виде у(х, г) = Y(x) sin cot = (с1К1(ашх) + с2К2(ашх) + с3К3(ашх) + с4К4(ашх) sin cot, (4.1.11)
Граничными условиями для схемы, представленной на рис. 4.3, являются отсутствие перемещений и угла поворота на закрепленном конце, а на свободном конце -отсутствие изгибающего момента и равенство поперечной силы (4.1.1): у(0) = 0, Г(0) = 0, EIY"(l) = 0, EIY "(l) = P0sm(jot. (4.1.12) Подставив граничные условия (4.1.12) в амплитудную функцию уравнения движения системы (4.1.2), получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов. После решения системы коэффициенты примут вид: c1 = c2 = 0, Р0К2(ашЬ) сз = ElaJ (кА(ашЬ)К2(аш1) - К(с і)), PoK L) с = ElaJ L) - К(ашЦК2(ашІ)). Уравнение движения системы с учетом полученных коэффициентов принимает вид: У(х,f) = 1 , ч— 2 J sin u)t. (4.1.13) ҐР0К2(аші)К3(ашх) - Р0К1(ашЬ)К4(ашх) EIaJ(K4(aML)K2(aML) - К(с і)) Рассмотрим перемещение точки на свободном конце стержня. В таком случае уравнение движения (4.1.13) приобретает вид У(1, V = I i, w г N )sin ШҐ. (4.1.14) Р0К2(ашрК3(ашр - PQK(aaV)K(aaL) ЕІаш(КА(ашЬ)К2(ашІ) - К(с і))
Здесь, как и в случае с растяжением, множитель перед синусом представляет собой динамическую амплитуду перемещений точки на свободном конце стержня. Аналогичным образом представим амплитудное перемещение точки в виде отношения динамической амплитуды к статическому перемещению. Статический прогиб стержня при вертикальном приложении силы Pо имеет вид
Задача вынужденных изгибных колебаний стержня (рис. 4.3) была решена с применением ДКЭ и МКЭ с согласованной матрицей масс. При использовании ДКЭ полученное решение полностью совпадает с решением, полученным аналитическим путем (4.1.15).
Расчет вынужденных колебаний изгибаемого стержня выполнен различными способами: аналитическим, с применением динамического конечного элемента (ДКЭ), с применением классического элемента (МКЭ) при разном числе конечных элементов. В таблице 4.2 представлено сравнение результатов проведенных расчетов. Для классического элемента (МКЭ) показана только относительная погрешность расчета (в %). Здесь k\ - первая собственная частота стержня, определенная в предыдущей главе. Таблица 4.2. Частоты и перемещения стержня, работающего на изгиб
Путем сравнения результатов, приведенных в таблицах 4.2 и 4.3, можно заключить, что погрешности при определении амплитудных перемещений сравнимы с погрешностями расчета амплитуд углов поворота.
На рис. 4.4 показаны амплитудно-частотные характеристики стержня, работающего на изгиб (рис. 4.3). На графиках приведены результаты, полученные с применением ДКЭ, и классического элемента с линейными функциями форм при десяти конечных элементах. Хорошая сходимость упомянутых элементов наблюдается лишь на первых двух резонансах, а начиная с третьего, результаты расчетов сильно не совпадают не только по резонансным частотам, но и по перемещениям и углам поворотов.
Таким образом, на примере простейшей стержневой системы, показано, что динамический конечный элемент позволяет получить точную оценку динамического поведения системы. Сходимость решений по ДКЭ подтверждена сравнением с результатами, полученными аналитическими методами. 4.2. Сложные системы
На примерах расчета простых стержневых конструкций показана эффективность применения динамического конечного элемента к оценке вынужденных колебаний. Полученные таким способом решения полностью совпадают с решениями, полученными аналитическими методами.
Если рассмотреть более сложные системы, когда аналитически оценить динамику системы невозможно или слишком затруднительно, динамический конечный элемент может являться универсальным средством анализа.
В качестве примера подобной конструкции рассмотрим плоскую ферму, расчетная схема которой представлена на рис. 4.5. Стержни фе р мы работают на растяжение и сжатие; также имеют одинаковое поперечное сечение и выполнены из одинакового материала. К одному из узлов приложено гармоническое возмущение (4.1.1) с единичной амплитудой и заданной частотой .
В таблице 4.4 приведены частоты резонанса фе р м ы рез, а также частоты антирезонанса 0 (при нулевых узловых перемещениях), амплитудные перемещения на частотах 0,8рез и 1,2рез для узла, к которому приложена нагрузка. При этом, k 1 – первая собственная частота конструкции, определённая в предыдущей главе.
В случае расчета по методу ДКЭ каждый стержень фермы моделируется одним элементом. В случае классического конечного элемента с линейными функциями формы расчет выполнен при разбиении каждого стержня фермы на один элемент, а в скобках приведены относительные погрешности расчета (в %).