Введение к работе
Метод конечных элементов является в настоящее время наиболее универсальным методом расчета конструкций. Вместе с тем, при использовании метода конечных элементов, как и любого другого приближенного метода, возникает вопрос о точности приближенного решения.
Чаще всего точность решения оценивается следующим образом: производится последовательное сгущение сетки элементов и исследуется разница между значениями изучаемых величин, получаемых в каждом предыдущем и последующем шагах сгущения. Если эта разница не превосходит некоторой наперед заданной величины, то точность считается удовлетворительной. В случае медленной сходимости процесса такой подход не гарантирует точности решения: разница может быть малой, а решение при этом будет находиться далеко от точного. Иногда точность решения можно оценить, сравнивая приближенное решение с классическим, найденным какими-либо аналитическими методами, но это возможно лишь в простейших случаях.
Другая возможность состоит в получении двусторонних оценок точного решения по энергии. Это требует применения так называемых встречных методов, которые заключаются в решении прямой и двойственной задач. Этот подход в линейной теории упругости состоит в решении двух экстремальных задач: нахождения экстремума функционала Лагранжа и экстремума функционала Кастильяно.
В методе конечных элементов первый подход является общепринятым. Это объясняется тем, что построение базисных функций, которые удовлетворяют предварительным условиям функционала Лагранжа, в плоской и пространственной задачах теории упругости осуществляется сравнительно просто. Эти функции должны быть только непрерывными и удовлетворять кинематическим граничным условиям. Конечные элементы, допускающие возможность построения таких функций, называются "совместными по перемещениям" или просто "совместными". Идеализированная конструкция, состоящая из таких элементов и называемая совместной моделью, имеют большую жесткость, чем действительная конструкция, и при заданных нагрузках и нулевых кинематических граничных условиях дает нижнюю оценку точного решения по энергии.
Решение двойственной задачи — нахождение экстремума функционала Кастильяно — является значительно более трудным. Конечные элементы в этом случае должны содержать поля напряжений, удовлетворяющие уравнениям равновесия и статическим граничным условиям. Такие конечные элементы называются "равновесными". Идеализированная конструкция, составленная из таких элементов, называется равновесной моделью. Жесткость такой конструкции меньше истин-
ной, и при указанных выше граничных условиях таким путем может быть получена верхняя оценка точного решения по энергии.
В некоторых случаях решение в напряжениях является наиболее рациональным подходом к получению результатов. Например, хорошо известно, что обычное решение в перемещениях в случае плоской деформации невозможно при коэффициенте Пуассона, равном 1/2 (несжимаемый материал типа резины). Применение решения в напряжениях позволяет получить непрерывную зависимость результата от коэффициента Пуассона при 0^ \i ^1/2.
Целью данной работы является практическая реализация двойственного подхода на существующих программных комплексах, предназначенных для расчета конструкций по методу перемещений, без их специальной модификации.
Актуальность работы.
Важнейшим вопросом метода конечных элементов (МКЭ) является его точность в зависимости от свойств элементов и густоты сетки. В диссертации рассматривается вопрос двусторонней оценки точности приближенного решения по энергии.
Научная новизна.
В работе строится алгоритм реализации равновесной модели метода конечных элементов в функциях напряжений для любой одно-связной или многосвязной плоской области, при статических и кинематических граничных условиях, на существующих программных комплексах, реализующих МКЭ. Такая возможность обеспечивается с помощью предложенных автором фиктивных элементов контура. При разработке алгоритма систематически использовалась общая система уравнений строительной механики. Разработана библиотека равновесных конечных элементов на основе статико-геометрической аналогии. Предложен алгоритм для решения пространственных задач.
Практическая ценность.
Применение алгоритма, разработанного автором, позволяет, наряду с обычным решением по методу конечных элементов, эффективно проводить двустороннюю оценку по энергии и по перемещениям для плоских задач теории упругости на одних и тех же программных комплексах без их специальной модификации, а лишь путем расширения библиотеки элементов. Применение равновесной модели на основе уравнений метода сил и смешанного метода расширяет возможности практического конечноэлементного анализа.
Данный алгоритм позволяет решать задачу плоской деформации с коэффициентами Пуассона р=1/2, что важно для расчетов конструкций из материалов типа резины при малых деформациях. При этом до-
стигается возможность получения непрерывной зависимости решения от коэффициента Пуассона при значениях 0^ /і ^1/2, что невозможно при расчете по методу перемещений.
На защиту выносится:
Универсальный алгоритм практической реализации двойственного анализа конструкций на существующих программных комплексах и примеры его применения в задачах концентрации напряжений и других задачах для односвязных и многосвязных областей в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния как в случае сжимаемого, так и в случае несжимаемого материала.
Апробация работы.
Материалы диссертации докладывались на научно-исследовательских конференциях МАДИ 1991-1995 гг. (и более ранних лет), на 2-й международной конференции "Актуальные проблемы железнодорожного транспорта", посвященной 100-летию МИИТа (секция строительной механики) — сентябрь 1996, научном семинаре "Актуальные проблемы прикладной механики", посвященном 90-летию со дня рождения профессора И. К. Снитко, организованном в ноябре 1996 г. Санкт-Петербургском Домом ученых РАН, и других конференциях и семинарах. По теме диссертации имеется 9 печатных работ, указанных в списке литературы.