Решение нестационарных динамических задач строительной механики методом подконструкций Николаенко, Мария Николаевна

Введение к работе

Диссертационная работа посвящена разработке численных методов вшения задач динамики сооружений на основе метода подконструкций [суперэлементов).

Актуальность темы. Наиболее универсальным и широко распространенным методом расчета строительных конструкция шляется метод конечных . элементов (МКЭ), который формально тозволяёт выполнить исследование конструкций любой степени зложности. Однако, на практике, расчет сложных сооружений с 5ольшим числом конструктивных элементов с помощью МКЭ встречает герьезные трудности. Это обусловлено тем, что, во-первых, с увеличением порядка систем разрешающих уравнений резко возрастает время счета ввиду ограниченного быстродействия ЭВМ и необходимости многократного обращения к внешней , памяти. Во-вторых, с усложнением расчетных схем, с ростом числа элементов усложняются подготовка и контроль исходных данных, возрастают объемы вводимое и перерабатываемой информации.

Одним из подходов, направленных яа увеличение вычислительных возможностей конечноэлементных программ является метод подконструкций, известный также^: как метод суперэлементов. Во многих случаях применение метода суперэлементов позволяет существенно сократить затраты времени на вычислительный процесс за счет понижения порядка системы разрешающих уравнении и уменьшения числа обращений ко внешним запоминающим устройствам. Особенно эффективным метод суперэлементов оказывается при расчете больших конструктивных систем, состоящих из большого числа одинаковых частей. Одним из главных преимуществ метода суперэлементов является существенное сокращение объемов исходной информации и трудоемкости ее задания.

Представляется актуальным распространение суперэлементного подхода на решение нестационарных динамических задач, возникающих при расчёте конструкций на импульсные воздействия, сейсмические воздействия, при расчете переходных режимов в конструкциях. Целью работы является:

- разработка варианта метода подконотрукций для решения
нестационарных задач динамики сооружение;

- исследование вычислительных свойств разработанных алгоритмов;

- программная реализация и применение метода подконструкциа д»
решения нестационарных динамических задач.

Научная новизна состоит в:

- построении варианта - метода подконструкциа для решения нестационарных динамических задач;

- разработке алгоритмов дія основных операций динамического
метода подконотрукци*. ;

Практическая данность состоит в:

- разработке пакета программ дія статического и динамического
расчета' конструкцив ва основе метода годконструкци*
(оупералемевтов);

~ практических рекомендациях по использованию приближенных вариантов> метода подконструкциа для динамических расчетов;

- результатах решений конкретных задач раочета конструкций о
применением предлагаемого подхода.

Внедрение работы состоит в использовании методов, алгоритмов и программы для динамического расчета конструкций в организациях ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко; МНИИТЭП; ВЦ МИСИ.

На завиту выносятся; ,

- вариант метода тадаонструкций для решения нестационарных
задач динамики сооружении, в частности, точная система уравнений
двяаения ансамбля супералементов и полученные ва ее. основе

ЩЗв&ОШВВНЬїд 3fP8BB6ffiBli

- шаговый алгоритм для решения системы интегро-
дифференциальных уравнений метода псдконструкций для
нестационарных динамических задач;

- алгоритмы х пакет программ для статического и динамического
раочета конструкций методом супералементов;

- примори р*^нныт динамических задач.
Апробация работы состоялась на семинарах:

ЦНМИСК ам. В.А.Кучеренко; МНИИЗП; на семинаре кафедры прикладной математики ШКЯ под руководством проф. В.В.Кучеренко; Достоверность результатов основана на:

- строгости математических выкладок; .

сопоставлении математических формулировок задач с известными вариантами метода подконотрукци;

сопоставлении результатов счета о аналитическими решениями и решениями известными численными методами.

Публикацди.

По катериалЕя и результата!! исследования опубликовали деэ, научные статьи. »

Обьен работы.

Диссертация состоит пз введения, пяти глав, заключения, пзлозэна на ІІБ страницах . иешшописного текста, содержит Зв рисунков, список литературы на Б9 напкзнованка.

СОДЕРаШЕ РАБОТЫ '

Во введении показана актуальность Есслэдуекой npodJsiaj, сформулированы сэл! п задачи, научная новизна.

В первой глава содержится обзор литературы по катодам рзсэшм задач строительной ееханики, использувакм декоапозипдо исходной расчетной кодела на подсонструкцнп. Сусественньа вклад в развитие таких катодов вязели А.А.Гвоздев, В.А.Постнов. А.С.Вольшф, В.В.Болопш, З.И.Бураап, Н.Н.Вапозшнков, И.О.Образпрв, Дз.Аргирас, Е.Прсешвщкиа, Б.Аероне, Р.Гааан, Е.Вплсон, А.Лзупг п ряд других отечественных в зарубешшх ученых. Анализ лятератури показал, что, в настопзэзе вреия катод супералевэвтов для рэсэшш задач статического расчата детально разработан п реализован во tsiona програгшых коншэксах по ИКЭ. Ввдду больпоа актуальности расчетов слозных конструкцка па длнааичоскпз воздействия, п последяю году иетод подаопструкцйз в¹~ сочетании с гатодся конечных алзі*зптов был распространен на ротанга задач о собстсэнЕыж колебаниях упругих систса. Однако, недостаточно рззргботапы кэтоды подкопструппка для рапзиия наиболее сбпщх ц спетых задач дшаетгеского расчета, которыии пвлются пзстацгонаршгэ динамические задачи. Такса задачи возпикаат при расчэто сооружения па взрывпыэ п каїульснкз нагрузки, при расчете переходных рзясюз при вклтвнна п выключении оборудования, при рзечэто пдяпуп на сейсмические нагрузки (по реальные сэасйогргаааа) и т.д. Такге обсувдаятся преиутчэотва кетодов повкоаструкща, область их прикеЕения, подробно описаны атапн расчета по супарзлекаптиому алгоритму.

Во второй главе для удобства послэдупдэго паго-ашгл рассеотрэн вариант катода подконструкцш для вычисления частот и форм собственных колебаний упругих систен

Бее потери общности все расоуадвния будам проводить для одной

подконструкции. Частоты и формы собственных колебаний являкггся решениями следующэа обобщенной проблемы собственных значений

к и » р*м и , (і;

где к,м - соответственно матрица иесткости и матрица масі подконструкции, р - круговая частота собственных колебаний. Задачу (I) можно представить в блочной форме

(2

где индексы ^ні^н и "b" указывали¹ на внутренние (подлежащие исключению) и граничные (супералекентныа> неизвестные соответственно.

Формально применяя к (2) процедуру статической конденсации, можно получить

Последнее уравнение представляет собой сужение проблемы собственных значений на множество граничных неизвестных. Однако, решать задачу в таком вида очень сложно, т.к. в левую часть (4) входит матрица, обратная к матрице K_it - р^ам... зависящая от неизвестного, параметра р. Поэтому предлагаются следующие эквивалентные формулировки задачи (4):

к и. - р»м и_к-вф [о* - р"і,Г⁴Ф^{Т e}* ^uv « 0 (5)

кд - р* м и. + р"а_ь ф la' - р'і Г*ф* в* и =0 (в)

\^иъ - ^рЧ^иь - рЧФ t" - р'^Г'Ф* ^в! ^и_ь - 0 <⁷>
Здесь в_а, [м_ьім- - к_ьік-] к_и, в_ь - [к_ык- - n_fevM-] м_и,

[

- М"*М 1 Г- К"*К 1

матрицы ф и о = dia9(u ,и ,....».] представляет собой pememse обобщенной проблемы собственных значений

к ф = м ф о* (8)

Столбцы матрицы ф представляют собой формы колебания подконструкции с закрепленными граничными узлами ("_ь=0), а даагональные элементы матрицы п - соответствующие этим формаа частоты собственных колебаний.

Суперэлементныа уравнения (5),(6),(7) является точными, если при их построении используется все частоты и форм колебаний подконструкции с закрепленными граничными степенями свободы. Использование лишь части этих форм и частот приводит к приближенным уравнениям. В частном случае, когда не используется ни одной форш колебаний закрепленной подконструкции, например, уравнение (7) приводит к простевшей из приближенных задач рассматриваемого семейства.

i<_ku_b - q*M_ku_b - 0 (9)

Для минимальной собственной частоты .приближенных задач, порождаемых уравнением (7), получены априорные оценки точности. Пусть P_t - искомая минимальная частота собственных колебаний, q_t-значониэ этоп частоты, получаемое из решения приЗлиженной задачи. Пусть в уравнении (7) удерживается г форм колебаний закрепленной подконструкции (ггО). Оценка для относительной погрешности минимальной частоты собственных колебания имеет вид

, * - (Ю>

г+1

- ^{+ 1}

р.

где 0 s as і, "_rtl- г+1-я частота собственных колебаний закрепленной подконструкции. Учитывая, что р" s u* , мояно

записать

ч? -р"

^s : г- <И>

Неравенства (10) и (II) показывает, что с увеличением г относительная погрешность уменьшается. Они позволяет' оценить

чнсло форм колебаний закрепленной подковструкцни, необходимое дхя шдученвя квадрата первой собственно* частоты р" с заданной точностью, причем неравенство (II) позволяет сделать ото, вэ используя никакое информации о величине р₍.

В третьей главе рассматривается вариант катода подконструкцка для решения нестационарных динамических задач.

Нестационарная динамическая вадача для одной годконструкции представляет собой задачу Коши для системы уравнений даишенвя

Н u + Ku . f (t), t>0 1

(12)

"(0) - " . "(0) - v

о'

где и - матрица масс подконструкцвя, к - матрица жесткости, u(t) - вектор узловых перемещений, f(t) - вектор узловых нагрузок. Использование обобщенных функций позволяет сформулировать (12) в виде одного операторного урявнания. вклотавдэго начальные условия

И и + кИ ш f (t) + И fv_o4(t) + u_o*(t)j, (ІЗ)

где <5(t> - дольта-функция Дирака. Знак "*^и обозначает нулевое продолжение функции в область *<0.

Систему ураввениа (13) шяно представить в блочном ваде

_Ruiu-tel

(і*)

гдэ обозначено d - м a*/dt" + к , p,q - "l","b", a f и f

РЧ РЧ РЯ *

представляот собой соответствущЕэ коипопанты правой части. Выражая (формально) и₍ из первой блочной строки (14)

"і - ^Du \ - ^Du іь"ь <^ІБ>

и подставляя во второе блочное уравнение, получаса

[

D - D D"* D 1 u т F - D D"* F (16)

На множестве векторных функций, равных пула при t<0 оператор,

ОбраТНЫЙ К D_u ИЙ108Т вид

оЦ ш ф о-* flintot]* ф*, (17)

где фиіь diss <ш ,ы ,... ,w_n j - матрицы форы и частот свободных
колебаний годконструкции с закрепленньст граничными степенями
свободы, sin tot] Qlag [sin<«t),ein(«"t) sln(ot)j. Знак

"»" обозначает олэрзюэ сЕзртет по врэкэпп, т.е.

7 т)2(т)От - J 7(T>Z(t-T)dr

о о

Урзппэшэ и J + к и. -в A n"*aln[ntJ » 4⁷ и_ - , (Ю j

« M⁷f(t) + м (u

Hjj_w + K_fcJ_b - а^ф o-*flln[ntJ ф%^ o(t)_fc - (20)

ffu_b + K_kJ_b - а^ф o-'alntotl ф%* d"/ut"/e(t)i_bJ - (21)

- «J *(t> + t\ i"_obaoba(t)j + о_кф n-'alntot] ф* f'*' ЗВ>сь папаяьзуэтся обознзтанпл, прпяятьэ в формулах (5),(8),(7),

р"' - Mt) + m_ul* |u_oa(t) + v_o*(t)},

f;«' . ?_i(t) + «_ttL» {u_oa(t) + v_oe(t)}.

f;"' . fiVdff^t) + H_t|L» {u„*(t) + v_o<5(t)}

Уравнения (19), (20), (21) прэдстазхязтг собой рзавпгкз формы зашел сусэния настацлзнзрзоз данаязчэскоз задачи па гагопэство граничных ЕэизЕэстпых. Ecjsn супшнэя задача решона (какпм-то образом), то ротанга для внутренних степэнэй свобода годконструкцпп могэт быть восстаповгзяо го значащим граничных неизкзетшд, напряскэр, по $op;syj3

u.= ф a'STN [о tl» Ф^Т{р'*' - «_lbu_b- K_ltu_b] (22)

Получешыэ уравнения (19)-(21) представляет собой

интвгро-дафференциалъные уравнения типа свертки (по времени) относительно граничных степеней свобода. В работе показано, что уравнения метода подконструкций для нестационарных динамических задач содержат уравнения метода подконструщиа для статических задач и для задач о собственных колэбаниях (5)-(7) как частные случаи. Установлено, что с механической точки зрения предлагаемый вариант метода подконструкций представляет собой распространение суперэлементного подхода, в форме метода перемещений на нестационарный случае.

В случае, когда конструкция состоит из нескольких
подконструкций, суженные уравнения движения для отдельных
подконструкций объединяются в глобальную систему с помощью
процедуры суперзлвментной сборки. При этом между подконструкциякш
могут быть установлены дополнительные упругие и вязко-упругие
связи. * .

В четвертой главе излагается шаговые алгоритм решения системы нестационарных суперэлементных уравнений, полученных в главе 3. Для простоты опишем шаговые алгоритмы для случая одной подконструкций. Обобшениэ на случай нескольких подконструкциа дается нише. При описании алгоритма подразумевается, что в области изменения переменной t введена сетка с шагом At, узлы которой соответствуют моментам времени t_n= n At, п = 0,1..... .

Будем исходить из суперзлементных уравнений (20), эквивалентных следующей задачи Коши і

М_тй_ь + Ки_ь - ГіЗ_кф n-*SIN[Ot) * ф'Ь* u_fc= N*f (t) + G^w^t) (23)

u_b(0) =и_оь, й_ь(0) =V_Qb

Вектор ^(t) в правое части (23) представляет собой решение следующей нестационарной динамической задачи для подконструкций с закрепленной границей

^НіЛ- t*^ -«,<$>'; _Mi(0)=l;u_o; w;(Q)=lV_o; <24)

Точное решение этой задачи можно представить в виде

w_t(t) = 4>4 (25)

где, q(t> »COS(Ot] ф^т M..L*u + fi^_,SlH[nt] ф^т H L^Tv

^т -*v к о U k о

+ o"*SIN[qtJ» ф^т* (t)

-IO-

Ha интервал U t s t_M>,(t_ni>t- t_n = At), т.е. в пределах одного шага по времени, принимается следующая аппроксимация для вектора ускоренна граничных узлов

"ь = <1-г>Л .+ rt_ntt. <2в)

Перемещения и скорости граничных узлов в момент времени t=t_n^ вычисляются по формулам

u = u + At t (1-P)ii + Р u 1* .

U = U + At u t У [|l '- ) U + a u ], (27)

где a, p_t r - параметры катода. В случае <*=р=г, очевидно, фориулы (27) получаются из (2в) интегрированием по времени.

С учетом того, что и_ь аппроксшшруется кусочно-постоянной функцией времени, аппроксимация интегрального члена в левой части уравнения (23) имеет вид

' *«.

^J'<^tn*,> ⁼ rSlN[ri(t_n>i-T>] ф^т В* и_ь(т) dx =

о <28>

= SIN[Ot ]J (t ) - COSIOt ]J (t )+ 20~'SlN¹t0.5nAt]A^TG7 r ,

ГДЭ J (t > = J (t ) + o"⁴< SIN[Qt ] - SINlftfc ] ) r ,

^J-<*„.> ^J-cos[nt_n*J - coe[ok_n] ) r_n, (29)

r_n -ф-в' ((1-r)u„ +г%>: Подставляя (27) и (28) в уравнение (23) и удовлетворяя ему при t=t_nii, получаем систему лшеаных алгебраических уравненнз для определения Еектора '"_п+1

Г М +0.5 a At*K. - 2 * S A O^IN^aC0.5 e&t П] A'S* їй

І «і к tn^T J ⁿ

+ G A / 2y n'^zQltt'[0.5 eat O] A^TS* и + q(t )+ ' (30)

+ 0^_1{ SINfnt ) J (t ) - COSfflt ) J (t ) > "l.

После решения этой системы по формулам (27) вычисляются значения

-II-

даремвдшна в скоростей граштих узлов ддя і"*,*.,» а такш вычисляется J (t > a J At > по формулам (29) дія подготовки е аюдупщаду шаг; по вдавана. До начала вагового процесса доївши оіпь заданы аначзкия начальны! схоростов, перамеоэнт граничных узлов в векторы J_#(0)»Q, J_fc(0)-0 . Отиэтва, что в частвсза случю, когда в уравввявв (23) отсутствует йтегральвщ член (простешвеа* случаа првДляаавиоа вадачи), построенный алгоритм совпадает с известный методом Вьшарва. Нетрудно показать, что горзішзйшя, воатветстаувдвэ ввутревнш сташвш свобода шдконструкция ва лзбоы ешго по времени опрздзлдогся по формула

⁺ Ф {"<*...> * «"^^^t^.W^t^^-costot^.U^t,,..))} (ЗІ) В одучао вапколыпд подаовструкциа система ураваавна движения ансамбля супералеиевтов имеет над

йи- * Си к и_к - V [ в^ф o"4lN(o(t-Ti 1ф*а*и_к(г)чт -

. ..
- JVo^the^m > (32)

где й « J н^ н_в; с - с_ж; к - J *_ к^. Здесь подразумевается

оушвровавга ю всем подконструкцвда. Обоаначэннл й_в, с*_ж в к^ Ерпадьауится дія дополнительных матриц масс, лмшфероввшя в еостюств, которые вогут буть добавлены в ссштвзтствущрі штрвдаа по&ш сборки. Пусть для всех шдшшструшщй заданы начальные ввачавия пэремецэвнз в скоростоа в пачалышэ вулзшэ вдачания векторов J„ в J_a (дія каждое подаошлрукцаа). Одан саг по времени дія предлагаемого алгоритме прямого ввтегрированвя системы уравневиа (32) имеет вид:

^ф * "*„»! f - f(t); й-u_n» Atu_n+*|"(1 - a)u_n;

v - v_n* At (1 - д) U_n; _t

Для каждой подконструкэди:

q - 4(t); J « q-*{ fiiNtntlJ₀(t_n) - costntli,,^) >;

s - 2r о"*в1м*[о.а At о) ф^тв* il ;

(II)

по всем подконструкциям

ГДЭ Ь = У | N*f + «_тф (q+J+S)|-Cv-KU

по всем подконструкциям <Ш> Вычисление и^ и u_Mt по формулам (27);

для каждой подконструкции:

вычисление ^J₀(t_T+t) и ^J_n(t_ntt) го формулам (29). (IV) Дяя любой подконструкции, если требуется могут быть вычислены перемещения по внутренним степеням свобода по формуле (31).

Численное исследование предлагаемого алгоритма на модельных задачах показало его хорошую точность. Оптимальные значения параметров алгоритма для широкого круга задач равны а=р=г=о.5. Варьируя параметр р можно управлять искусственной вязкостью аговоа схемы, что полезно при решении задач о распространении ударных волн в конструкциях. Алгоритм обладает свойством абсолютной устойчивости.

ч В пятой главе дано описание пакета программ для решения
статических и динамических задач строительной механики методом
конечных элементов. Для решения статических задач используется
многоуровневый метод суперзлементов. Решение нестационарных
динамических задач производится с помощь» предлагаемого в данной
работе варианта метода подконструкции. Для решения
вспомогательных задач о собственных колебаниях подконструкции с
закрепленными граничными степенями свободы используется известный
метод итерирования подпространства. Для статической конденсации
матриц ким реализован профильный алгоритм частичного
треугольного разложения, позволяющий достаточно полно учитывать
разреженность матриц. Пакет программ оснащен графическим пре- и
постпроцессором, ориентированным на использование компьютеров
типа IBM PC. .

Разработанный пакета програна был использован для решения динамических задач строительной механики. Среди них задачи о распространении волн в стержнях и балках, плоские и ооеоиммотричныо вадачи теории упругости,' задачи о динамическом изгибе пластин и другие задачи. В диссертации приведены примеры

К о

и о

о о о

о о о ю

решенных задач: даны постаношси задач, подробно иллюстрируется полученное в результате решения напряженно-деформированное состояние.

Рассмотрим пример плоской динамической задачи теории упругости (плоское напряженное состояние,) об ударе прямоугольной пластинки с тремя круговыми отверстиями об абсолютно жесткую преграду. Конечноэлементная модель 1/2 симметричной части пластинки представлена' на рис.1. Пластинка выполнена из материала с модулем упругости =3-10'кН, коэффициентом Пуассона i>=0.4 и плотностью р=1 п/м*. Пластинка движется поступательно со скоростью 10 м/сек в сторону, противоположную положительному направлению оси X, ив момент времени t=0 абсолютно. неупруго ударяется об вертикальную жесткую преграду (с прилипанием). При решении задачи исходная область разбивалась на три одинаковых подконструкций, как показано на рис.1. Шаг по времени для алгоритма прямого интегрирования принимался At=3-10""*. На этом ие рисунке показаны деформированные схемы (в искаженном масштабе) в моменты времени t=Q.00003,...,t=Q.00024.

В заключении сформулированы основные выводы по работе и обсуждаются возможности дальнейшего развития предлагаемого подхода.