Расчет многослойных пластин и оболочек Ниродж, Пандей

Введение к работе

Актуальность работы. Слоистые (многослойные) конструкции - пластины и оболочки являются одним из наиболее эффективных типов конструкций, в которых требование наименьшей материалоемкости успешно сочетается с требованием повышенной прочности и жесткости. Прогресс в области разработки новых эффективных конструкционных материалов и совершенствование современных технологий предопределяют дальнейший перспективный путь развития исследований как в области разработки новых конструктивных решений слоистых конструкций, так и в области совершенствования теории и методов их расчета.

В настоящее время слоистые конструкции находят очень широкое применение в авиации и космонавтике, в судостроении, вагоностроении, в общем машиностроении и других отраслях хозяйства.

Большое применение находят эти конструкции и в строительстве. Например, из облегченных трех- и многослойных па-нелей построены ангары, жилые и другие строения в районах Севера России; возведены большепролетные слоистые купола. Повсеместное применение находят деревокомпо8иционные элементы конструкций.

Современное развитие техники предопределяет широкое применение слоистых конструкций, работающих в условиях внешних воздействий высокой интенсивности - силовых, температурных и др., как статических, так и динамических. Это вызывает необходимость применения слоистых конструкций, которые могут

быть отнесены к классу толстостенных или средней толщины. Расчет такого рода конструкций требует использования уточненных теорий, основанных на более сложных расчетных схемах и учитывающих эффекты поперечного сдвига и поперечного обжатия. Как показывает анализ, эта проблема является недостаточно изученной. На фоне многочисленных исследований, насчитывающих сотни и тысячи наименований и посвященных расчету тонких слоистых оболочек и пластин, имеются лишь отдельные работы, где рассматривались вопросы расчета слоистых конструкций средней толщины и толстостенных.

Настоящая работа посвящена разработке прикладных методов расчета слоистых плит и оболочек средней толщины и толстостенных. Рассматриваются два крайних случая - когда оболочка (плита) состоит из двух или трех слоев, и когда число слоев достаточно велико (т.е. собственно многослойные конструкции).

Цель диссертационной работы состоит в обобщении приближенной трехмерной теории расчета нетонких пластин и оболочек на задачи расчета слоистых конструкций и разработке методик приближенного расчета многослойных нетонких оболочек и плит.

Научная новизна работы состоит в следующем:

разработана методика расчета двух- и трехслойных нетонких оболочек и плит, основанная на постановке задачи как контактной задачи сопряжения слоев, в общем случае-нетонких и анизотропных;

получены разрешающие уравнения трехслойной ортотропной цилиндрической оболочки и разработан алгоритм их решения;

на тестовых примерах уста* татов, получаемых по предл

разработана методика расчє и плит, основанная на сп конструкции к однородной п

получена разрешающая систе цилиндрической оболочки ср щая одному из существующи ных оболочек;

с помощью численного ме построены решения некоторы формации цилиндрической о сопоставлены с известными ; Практическая ценность рабо¹

непосредственного использования практике расчета слоистых нетоні возможностью обобщения их на исследовательских аадач.

Достоверность подученных корректностью постановки краевыз емых математических методов их t да от предлагаемой теории к и; оболочек и сопоставлением рез^ точными решениями и результат прикладным теориям.

Апробация работы. Работа оС нара кафедры Строительная мехаго

Структура и объем диссерт?'

почения, содержащего сводку ос-литературы, включающего 78 наи-:ации составляет 125 страниц мале 3 таблицы и 15 рисунков.

мй обзор работ по теории расче-гаведен их анализ, на основании цели и задачи исследования, расчета многослойных пластин и шичество работ, которые можно направления.

постановкой задачи расчета мно-контактной задачи сопряжения В.В.Болотина, Г.М.Амбарцумяна, Н.Москаленко, В.В.Парцевского, а также Я.М.Григоренко, В.Т.Ball. Андреева, А.А.Амосова и др. е некоторых основных работ дан-преимущества и недостатки дан-витии теории многослойных плас-ением некоторых гипотез относи-его пакета слоев. Это направле-ярность и развивалось в подав-священных расчету слоистых ани-

зотропных конструкций на прочность, устойчивость и динамику. Здесь следует отметить имена С.А.Амбарцумяна, А.Н.Андреева, А.Ш.Боженова, Л.Я.Брюкера, В.В.Васильева, В.Т.Василенко, Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, В.К.Иванова, А.Н.Елпатьевско-го, Б.Г.Королева, В.Н.Кобелева, Ф.А.Когана, Г.М.Куликова, Ю.И.Немировского, Б.Л.Пелеха, В.В.Пикуля, В.Г.Пискунова, А.П.Плеханова, А.П.Прусакова, А.О.Рассказова, А.Ф.Рябова, А.Н.Ульяшиной, Л.П.Хорошуна, В.Е.Чепига, П.П.Чулкова и др.

Отмечается, что в подавляющем большинстве работ данного направления, реализующего идею приведения слоистой конструкции к однородной, рассматриваются тонкостенные пластины и оболочки, тогда как вопросам расчета толстостенных конструкций уделено недостаточное внимание.

В заключение главы на основании проведенного анализа формулируются основные цели и задачи диссертации.

Во второй главе диссертации даются основные сведения приближенной теории расчета нетонких оболочек и плит, предложенной в работах А.А.Амосова и основанной на редукции трехмерных краевых задач теории упругости к двухмерным краевым задачам теории пластин и оболочек с помощью способа полиномов Лежандра.

Приводятся основные уравнения приближенной теории N-ro порядка - уравнения равновесия (движения), геометрические уравнения и физические соотношения обобщенного закона Гука. Приближенная теория N-ro порядка определяется как теория, в которой удерживаются коэффициенты разложений искомых функций напряжений, деформаций и перемещений при полиномах Лежандра до N-ro порядка включительно.

Отмечается, что отличительной особенностью используемой теории является возможность тождественного удовлетворения на лицевых поверхностях оболочки граничных условий произвольно заданного типа - статических, кинематических или смешанных. Это открывает возможность формулировки контактных задач сопряжения оболочек по лицевым поверхностям, что и лежит в основе постановки задачи расчета толстостенных слоистых оболочек, рассматриваемой в третьей главе.

Третья глава диссертации посвящена разработке методики расчета толстостенных слоистых оболочек вращения. Для простоты рассматриваются цилиндрические оболочки двух- или трехслойного строения. Ограничение по числу слоев связано с тем, что порядок разрешающей системы уравнений при использовании данного подхода составляет п 6 (N + 1), где п- число слоев, N - порядок используемой приближенной теории. Поэтому при большом количестве слоев данная методика приводит к необходимости решения краевых вадач для систем дифференциальных уравнений высокого порядка, что может вызвать определенные вычислительные трудности.

Для каждого из слоев разрешающая система уравнений строится в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно первых производных искомых функций по осевой координате - рис.1

dX(x)

= MX + в (1)

где Х(х) - вектор искомых функций

X(X)= X (бц, 6l2, б , Ui, U₂, U }

(2)

И - матрица коэффициентов; В - вектор свободных членов.

Каждая из компонент вектора (2) в свою очередь представляет собой вектор, составленный из коэффициентов разложений функций в ряды по полиномам Лежандра

^k 14 41

(3)

где f^k =(k+l/2) \ f (xi,x₂)Pk(4)d4 ; (4)

4 = h/R ; -1 < С < 1

h - полутолщина оболочки

Рк(0 - полиномы Лежандра к-го порядка.

В развернутом виде система уравнений (1) записывается следующим образом:

бц.і = іацбіг + ПЧ2⁶ - V ^ги - Fi ;

14 h 14

612.I = m2l6ii+m22U2⁺n23U +m24U2*+«25U V~% -F2 ',

4 4 h 24

б =тзібц +тз2Ч2 + юззи + ЩзФг* + nfcsU V^-1M -F ;

14,1 4 4 h 14 4

Ui.i = ІП41611 + Ш42И2 + m43Uj + ITI44U ;

U2-1 = П151612 + Шбгиі ;

u = Шбіб + Ш62111 + i»63Ui :
4,1 14

Коэффициенты этой системы уравнений определяются следующими формулами:

^m 1 * і
віц = V^-1; mi2 = V^і N;

R h

m_Zi= -m Г¹; m₂₂ 5-V^_1(AI - H)V~%2 +т^а-^-Г¹Г¹;

R h^ R^z

т₂з = V^і [eW¹ - 44U + *4<ЯІ -ЮЗ.

Фз Фе

Ш24 = 5-V¹(AI - H)V^_1 ; ГО25 = -m V^-1 ;

h^z Rh

1 .
газі = V^_a(*iXI - Ф2Н) ;

тэг = V~¹[4.₈V"¹U2' + (ФзАІ + 4.4Н) V"¹];

Изз= V"^aC(*3*⁸I - *iXN)V^_1 -(+4X1 +*5»)U]+ n²^|—V¹^¹;

h FT

+8 1

Rh h^

- и -

+1 1
Ш41 = ФбІ І ЧІ42 = V^-1 ; ГП4З = (4>lXV^_1 - ^U) Ї

R h

Ф2
ІП44 =

^m 1

Ш51 = 9 І І ИІ52 = V^і ;

шві = Ф7 I ; oi62 = —— ^и > ^63 = 1 ;

h h

Здесь V, N, 0ИІІ2- квадратные матрицы N-го порядка, определенные в диссертации;

«И - коэффициенты, зависявде от физических свойств материала;

М и Ui - векторы, определяемые видом заданных it

граничных условий на лицевых поверхностях оболочки, соответственно, статических или кинематических;

m - номера гармоник разложений в тригонометрические ряды:

f (бц, б , Ui, ц ) = f(x) sin Шф

f -Сбіг, U2> = f (Х) COS ШФ

Введенные обозначения напряжений и перемещений представлены на рис.2. Индекс после запятой обозначает дифферен-

- IS -

цирование по соответствующей координате.

Далее рассматривается трехслойная оболочка со слоями заданной толщины V Л и V, где штрихи обозначают соответственно относительные толщины верхнего V и нижнего слоев У ' ( \ = h/R). Предполагается, что каждый из слоев определяется соответствующей матрицей жесткости материала. Показано, что формулировка контактной вадачи сопряжения слоев свявана с построением матриц сопряжения Кь которые определяют вид векторов

М ', М , М " , UiVUi'-и Ui" и вависят от заданных усло-Н 14 К

вий сопряжения. Приведены примеры построения этих матриц для

случая жесткого сопряжения слоев.

Построен алгоритм решения вадачи о расчете слоистой цилиндрической оболочки, который состоит в следующем.

С помощью описанной методики построения матриц сопряжения для конкретно заданных условий формируется рагрешающая система уравнений вида

(7)

При этом в рамках разработанной методики для каждого из слоев может быть задан свой собственный порядок приближенной теории - N', N, N". Таким образом, суммарный порядок системы (7) составляет 6 [ (N'+l)+(N+l)+(N"+l) ].

Для каждого из слоев могут быть заданы соответствующие

граничные условия, определяемые условиями закрепления слоя.

= 0; Cl X х=0

- 0 (8)

х=1

где Со и С^ - некоторые прямоугольные матрицы, определяемые граничными условиями.

В совокупности для каждого из краев слоистой оболочки описанным образом может быть составлено 3 [ (N'+1)+(N+1)+ +(N"+1) ] граничных условий.

Сформулированную таким образом двухточечную краевую задачу предлагается решать методом ортогональной прогонки.

В качестве тестового примера, иллюстрирующего работоспособность предлагаемого варианта расчета был выбран пример осесимметричной деформации толстостенной двухслойной цилиндрической оболочки, подверженной внешнему давлению интенсивности Р. Для описания НДС каждого из слоев использовалась теория третьего порядка. Сопоставление результатов расчета по предлагаемой методике с результатом точного аналитического решения показало, что погрешность приближенного решения в данном случае не превышает 2% для напряжений и 0,5% - для перемещений.

Четвертая глава диссертации посвящена разработке методики расчета нетонких слоистых оболочек и пластин, основанной на способе приведения слоистой оболочки к эквивалентной однородной по толщине оболочке.

В данной методике существенно испольвуются известные теоремы из теории полиномов Лежандра, в силу которых кусочно-гладкие и кусочно-непрерывные функции, описывающие НДС

многослойной оболочки, могут быть разложены в сходящиеся ряды по полиномам Лежандра, причем в силу теоремы Нейманна для кусачно-непрерывной функции этот ряд имеет сумму 1/2[f (+0)+ + f (4-О)] в любой точке с, промежутка -1 < 4< 1.

Теперь, основываясь на этих положениях и используя общую методику редукции трехмерных задач теории упругости к двухмерным задачам теории оболочек, описанную во второй главе диссертации, легко заключить, что уравнения равновесия (движения) и геометрические уравнения для многослойной оболочки (плиты) будут в точности совпадать с соответствующими уравнениями приближенной теории N-ro порядка.

Таким образом, основная специфика рассматриваемого варианта теории нетонких многослойных оболочек состоит в формулировке физических соотношений.

С учетом введенных предпосылок соотношения обобщенного закона Гука для анизотропного многослойного тела можно записать в виде:

L 6^(k)(rti,tf₂) PkU) = D(0 e^ck)(tfi,«₂) Fk<0 (9)
k=0 k=0

где б^1Ю и e^tk) - векторы, составленные из коэффициентов разложений компонент тензоров напряжений и деформаций:

^ 44 гс, 41 / (Ю)

D(0- симметричная матрица упругих постоянных, элементы которой рассматриваются как кусочно-непрерывные функции координаты 4 Конкретный вид этих функций определяется упругими свойствами материала слоев.

Вводя для элементов матрицы D() разложения в ряды но полиномам Лежандра, согласно выражению (9) приходим к необходимости перемножения бесконечных рядов. Поэтому, в данном случае, в отличие от уравнений равновесия и геометрических уравнений не удается получить замкнутые соотношения общей приближенной теории.

Ситуация упрощается, если проблема редукции физических соотношений формулируется в рамках приближенной теории N-ro порядка. Тогда на основании формулы Адамса, приведенной в диссертации, удается члены, содержащие произведения полиномов Лежандра P_mPn сгруппировать в конечные ряды, определяющие разложения функции- матрицы D() по полиномам Лежандра.

Приводится методика построения матриц жесткости, которая в частном случае использования приближенной теории первого порядка, названной в данной работе линейной теорией, сводится к выражению

.(0)

|П)

»ш

0(0)+.

i(2)

(11)

где D^ck> представляют собой разложения матриц D(0 по полиномам Лежандра.

Показано, что формула (11) в точности соответствует представлениям матриц жесткости, используемым в существующих прикладных теориях расчета многослойных оболочек.

В последующих пунктах данной главы изложена методика расчета многослойной цилиндрической оболочки, разрешающие

уравнения которой полностью совпадают с уравнениями (5), за исключением того, что в формулах (6) фигурируют матрицы жесткости Фі вместо коэффициентов фі. Вид этих матриц приведен в диссертации.

В заключение данной главы приведены тестовые примеры расчета многослойных цилиндрических оболочек, некоторые результаты которых представлены на рис.4- 5.

В качестве тестового примера была выбрана многослойная цилиндрическая оболочка согласно рис.3.

Рассматривались три вида традиционной постановки задач осесимметричной деформации - нагружение краевыми усилиями и моментами на свободном крае и загружение равномерно-распределенной нагрузкой при жестком закреплении краев. В расчетах принималось АО.05 и Л=0,1, т.е. рассматривались оболочки, которые могут быть отнесены к классу оболочек средней толщины. Для простоты решения задачи и учитывая необходимость сопоставления полученных результатов с известными, было принято предположение об изотропности слоев. Результаты решения по предлагаемой методике сопоставлялись с результатами решения аналогичных 8адач, построенных на базе теории, использующей гипотезы Кирхгоффа-Лява (С.А.Амбарцумян).

Проведенный анализ показывает, что для достаточно широкого спектра изменения коэффициента

к_г(1-у₂) (1+vi) d-2vi) ki(l-vi) (l+vi)(l-2vi) где кг и ki - коэффициенты, определяющие параметры

модуля упругости слоев;

- vi и V2 - соответственно, коэффициенты Пуассона материала слоев; значения элементов матриц жесткости ( Сг = 1 * 0) незначительно отличаются от матрицы жесткости, определяемой элементами ї⁽⁰⁾ =«⁽⁰⁾ + 23^<0) И 8⁽⁰\ где

_Е(0) _v(0) _Е(0)
_а(0) ₌ ^ь . _а(0) ₌ _Г мої

(l+v<>)Cl-2v^(C») ' 2(1+ v⁽⁰⁾5 _v(0) _и g(0)_ соответственно значения обобщенных коэффициентов Пуассона и модулей упругости Юнга, определяемых по формуле

f(v⁽⁰>,E^t0>) « — if, І^і+1аЧ (14)

2 1=1 Аі

где S - число слоев - рис.3.

Анализ полученных результатов численного расчета позволяет заключить, что предлагаемая теория расчета многослойных оболочек позволяет выявить основные эффекты, связанные с учетом деформаций поперечного сдвига и поперечного обжатия.

Представленные на рис. 4-5 результаты расчета цилиндрической оболочки, подверженной внешнему давлению, позволяют заключить, что при х=0,1 расхождение результатов между данными, полученными по предлагаемой теории ( сплошная линия), и данными, получаемыми по теории С.А.Амбарцумяна, использующей гипотезы Кирхгоффа-Лява, не превосходит величины порядка 15%.