Содержание к диссертации
Введение
Глава 1: Обзор литературы по расчету оболочек и численным методам 10
1.1. Обзор литературы по расчету оболочек на статические нагрузки 10
1.2. Метод конечных элементов 22
1.3. Метод последовательных аппроксимаций 24
1.4. Обобщённые уравнения метода конечных разностей (МКР) 25
Глава 2: Расчет пологих оболочек 28
2.1. Разрешающие дифференциальные уравнения пологих оболочек 28
2.2. Переход к безразмерным величинам 30
2.3. Аппроксимация системы дифференциальных уравнений обобщёнными уравнениями МКР 32
2.4. Учет краевых условий
2.4.1. Краевые условия пологой оболочки 34
2.4.2. Приведение краевых условий пологой оболочки к безразмерному виду 36
2.4.4. Аппроксимация краевых условий 38
2.5. Алгоритм расчета и составление программы для ЭВМ 41
2.6. Примеры расчета пологих оболочек 45
2.6.1. Пологая оболочка под действием равномерно распределенной
нагрузки по всей поверхности 45
2.6.1.1. Шарнирно-подвижная опора по всему контуру 45
2.6.1.2. Жестко заделанная по контуру оболочка 50
2.6.1.3. Задача расчета пологих тонких оболочек со смешанными краевыми условиями 52
2.6.1.4. Расчет пологой оболочки; шарнирно-неподвижно опирание в четырех углах
2.6.2. Расчет пологих оболочек, загруженных локальной нагрузкой 58
2.6.3. Расчет пологих оболочек, загруженных полосовой нагрузкой 63
2.6.4. Выводы по главе 2 64
Глава 3. Расчет цилиндрических оболочек
3.1. Разрешающие дифференциальные уравнения круговых цилиндрических оболочек в безразмерных величинах 65
3.2. Аппроксимация системы дифференциальных уравнений обобщёнными уравнениями МКР 67
3.2.1. Цилиндрическая оболочка в общем случае деформации 67
3.3. Краевые условия 69
3.3.1. Приведение краевых условий цилиндрической оболочки к безразмерному виду 69
3.3.2. Аппроксимация краевых условий обобщёнными уравнениями МКР для общего случая деформации 69
3.3.3. Аппроксимация краевых условий обобщёнными уравнениям МКР для осесимметричной деформации 73
3.4. Алгоритм расчета, программа для ЭВМ 73
3.4.1. Преобразование уравнений к разрешенному виду для регулярных точек 74
3.4.2. Преобразование уравнений к разрешенному виду для краевых точек 74
3.4.3. Вычисление производных для определения внутренний усилий.
3.5. Пример расчета цилиндрической оболочки 78
3.6. Проверка решения - переход к осесимметричной задаче 80
3.7. Выводы по главе 3 84
Глава 4. Расчет сферических оболочек 85
4.1. Разрешающие дифференциальные уравнения сферических оболочек в безразмерных величинах 85
4.2. Аппроксимация системы дифференциальных уравнений обобщёнными уравнениями МКР 88
4.3. Учет краевых условий
4.3.1. Краевые условия сферической оболочки 90
4.3.2. Приведение краевых условий сферической оболочки к безразмерному виду 91
4.3.3. Аппроксимация краевых условий сферической оболочки для общего случая деформации 92 4.3.4. Аппроксимация краевых условий сферической оболочки для осесимметричных задач 94
4.4. Алгоритм расчета и составление программы для ЭВМ 95
4.4.1. Преобразование уравнений к разрешённому виду для регулярных точек 96
4.4.2. Преобразование уравнений к разрешённому виду для краевых точек 97
4.4.3. Вычисление необходимых производных для определении внутренний усилий 99
4.5. Примеры расчета сферических оболочек 101
4.5.1. Расчет сферической оболочки под действием циклической нагрузки 101
4.5.2. Проверка решения - переход к осесимметричной задаче 103
4.5.3. Расчет сферической оболочки под действием распределенной нагрузки 106
4.6. Выводы по главе 4 109
Заключение 110
Список литературы
- Метод последовательных аппроксимаций
- Аппроксимация краевых условий
- Аппроксимация системы дифференциальных уравнений обобщёнными уравнениями МКР
- Преобразование уравнений к разрешённому виду для краевых точек
Введение к работе
Актуальность темы диссертации.
Отметим, что в настоящее время происходили в РФ и за границей аварии покрытий бассейнов, рынков, резервуаров, тоннелей и зданий аэропортов. Расчеты таких оболочечных конструкций были разработаны по вычислительным программам, применяющим аналитический метод, метод конечных элементов (МКЭ).
Для проверки верности расчетов является жизненным построение новых методов расчета оболочек. Одним из таких способов, имеющих высокую верность и достаточную легкость, являются разработанные на кафедре строительной механики МГСУ обобщённые уравнения метода конечных разностей (МКР) , которые и используются в диссертации.
Степень разработанности.
Оболочки являются одним из наиболее используемых компонентов конструкций в строительстве, а также в авиастроении, судостроении и в других отраслях. Вопрос создания новых концепций и улучшения способов расчета тонкостенных пространственных конструкций типа оболочек (своды, резервуары, др.) являлся и является в фокусе внимания специалистов, изучающих проблемы механики твердого тела и строительной механики.
Совокупность проблем, связанных с решением строительных задач: устойчивости, прочности и динамики оболочечных конструкций в пределах гипотезы типа Кирхгофа-Лява, преимущественно, представляется полностью использованной.
В то же время имеется необходимость пересмотра и проверки верности существующих гипотез и способов расчета оболочечных конструкций, побуждающих разработку численно-аналитических (или численных) приемов, увеличивающих область приложения классической концепции.
Цели и задачи.
Цель диссертационной работы заключается в разработке метода расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек с применением обобщённых уравнений метода конечных разностей (МКР), составлении программы для ЭВМ с приложением ее для решения задач строительной механики.
Для решения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
В первой главе дан обзор литературных источников, посвященных расчету пологих, цилиндрических, сферических оболочек. Особое внимание уделено трудам В.З. Власова, А.А. Назарова, Габбасова Р.Ф и других ученых, в которых разработаны проблемы использования теории оболочек и способов их расчета.
Во второй главе диссертации рассмотрен способ расчета пологих оболочек, прямоугольных в плане, на которые действуют различные виды нагрузок, с использованием обобщённых уравнений метода конечных разностей (МКР). Аппроксимируя разрешающие дифференциальные уравнения пологих оболочек в перемещениях обобщёнными уравнениями метода конечных разностей, получаем линейные алгебраические уравнения для внутренних и краевых точек. Приводится алгоритм и программы для ЭВМ.
В третьей главе диссертации изложен способ расчета круговых цилиндрических оболочек, на которые действуют различные виды нагрузок, с использованием обобщённых уравнений метода конечных разностей (МКР). Аппроксимируя дифференциальные уравнения в перемещениях обобщёнными уравнениями метода конечных разностей, получаем линейные алгебраические
уравнения для внутренних и краевых точек. Построен алгоритм расчета и составлена программа для ЭВМ.
Четвертая глава диссертации посвящена изложению способа расчета сферических оболочек, круглых в плане, на которые действуют различные виды нагрузок, с использованием обобщённых уравнений метода конечных разностей (МКР). Аппроксимируя дифференциальные уравнения в перемещениях обобщёнными уравнениями метода конечных разностей, получаем линейные алгебраические уравнения для внутренних и краевых точек. Построен алгоритм и составлена программа для ЭВМ.
Научная новизна работы.
1. Разработан способ расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек в
перемещениях.
2. Разработанный метод расчета тех же оболочек используется для проверки точности
других методов (МПА, аналитический метод ...)
3. По разработанному способу составлена программа расчета на компьютере,
испытанная на решении тестовых задач.
4. Решены новые задачи расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек.
Теоретическая и практическая значимость работы.
Разработанные способы и программа позволяют осуществлять расчет и проверку верности расчетов другими методами пологих, цилиндрических, сферических оболочек, применяющихся в строительной практике.
Методология и методы исследования.
Проведение исследований выполняется с использованием российских и зарубежных материалов о расчете пологой, цилиндрической, сферической оболочек, включая анализ современных численных методов в строительной механике. Тестовые задачи проводились посредством ЭВМ.
Личный вклад автора в решение исследуемой проблемы состоит в разработке методов расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек.
Положения, выносимые на защиту. Обоснование системы алгебраических уравнений по дифференциальным уравнениям цилиндрической, пологой, сферической оболочек, с использованием обобщённых уравнений метода конечных разностей;
Учет краевых условий этих оболочек и их аппроксимации в виде алгебраических уравнений;
Алгоритмы программирования для вычислительной машины;
Тестовые задачи со сравнением с известными результатами.
Степень достоверности и апробация результатов обеспечивается корректностью постановки задач, применением апробированного численного способа, сравнением ряда результатов с ранее известными, численным изучением конвергенции решений.
Основные положения диссертационной работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:
Международная научная конференция «Интеграция, партнерство и инновации в строительной науке и образовании» (Москва, МГСУ, 2014 г.),
Международная конференция-семинар "Расчет и проектирование металлических конструкций" (Москва, МГСУ, 2014 г.).
По теме диссертации опубликованы 3 статьи, которые опубликованы в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Структура диссертации:
Диссертация состоит из оглавления, введения, основной части, состоящей из
четырёх глав, заключения, списка литературы. Работа изложена на 125
страницах машинописного текста, включая список литературы из 163 наименований, 47 рисунков, 22 таблиц.
Метод последовательных аппроксимаций
Пастернак П.Л. построил практический способ расчета оболочек вращения, представляющих собой тонкостенные круглые резервуары, нагруженные осесимметрично.
Для оболочек вращения любой формы общее решение можно получить приближенно методом суммирования решений безмоментных уравнений и уравнений «граничного эффекта». Решения, соответственные граничному эффекту, быстро затухают с удалением от границы оболочки. Эта проблема разработана в работах Гольденвейзера А.Л [48,51], а также в трудах Работнова Ю.Н. [115] иМуштариХ.М. [99].
Ряд результативных решений осесимметричных задач теории оболочек выработан в капитальной монографий Власова В.З [32].
Общее изучение конической оболочки разработано Балабухом Л.И. [11]. Расчет катеноидной оболочки анализирован Новожиловым В.В. [ПО]; торообразной - Новожиловым В.В. [109], Эстриным М.И [157] и Тумаркиным С.А.
В развитие общей теории оболочек и различных ее вопросов за последние десятилетия большой вклад внесли Всероссийские научные конференции по теории пластин и оболочек, организованные в научных центрах России по предложению Института проблем механики АН России под руководством Гольденвейзера А.Л.
Теория оболочек пополняется отличающимися работами, в которых было предложено много ценных мнений и концепций. К таковым причисляется монография Векуа И.Н. о тонких пологих оболочках переменной толщины [24]. В этой работе разрабатывается вариант теории оболочек, который в противоположность от классической теории оболочек не применяет допущения Кирхгоффа-Лява.
Монография Черных К. Ф. [136,137] включает две части. В первой части излагается систематический обзор основ линейной теории тонких оболочек, вырабатывается решение ряда задач, существенных с точки зрения применения. Во второй части даются некоторые фундаментальные вопросы теории: термоупругие напряжения, вариационные методы и некоторые общие теоремы, асимптотическое интегрирование, расчет торообразных компенсаторов и труб с круговой осью. Излагается дальнейшее развитие систематичного метода и вырабатывается вывод фундаментальных соотношений теории оболочек в координатах общей формы.
Монография Кана СИ [64] предназначена способам расчета прочности, устойчивости и колебаний при разных видах нагружения тонкостенных оболочек: трехслойных, конических, цилиндрических и оболочек с поперечными, продольными подкреплениями, используемых в различных областях машиностроения и строительства. Анализированы также оболочки с криволинейной осью (тороидальные) и оболочки различной формы. Изложен единый энергетический метод. Указаны примеры расчета как из авиационной, так из различных областей машиностроения.
В монографию Биргера И.А. [13] включен расчет на прочность пологих оболочек. Волновые течения деформаций упругих плит и оболочек изучены в статье Айнола Л. И и Нигул У. [4].
В труде Даревского В. М. по общей теории оболочек [53] рассматривается проблема о допустимых упрощениях соотношений упругости в общей теории оболочек. В [54,55] изложены нелинейные уравнения равновесия оболочки любой формы, выведенные с учетом вращения и удлинений линейных компонентов срединной поверхности.
Использование метода интегральных уравнений к расчету оболочек изложено в труде Вайнберга Д. В., Синявского А. Л. [16].
Сферическая оболочка представляет собой одну из наиболее исследованных форм оболочек. Задача о расчете таких оболочек, загруженных любым образом, решена Соколовским В. В. [125], Репманом Ю. В. [118], Гольденвейзером А. Л. [47] и Новожиловым В. В. [110]. Репман Ю. В. [118] ввел задачу о расчете асимметрично загруженной сферической оболочки к единственному уравнению четвертого порядка и двум уравнениям Пуассона.
Векуа И. Н. использовал способы решения эллиптических уравнений к теории тонкой сферической оболочки. Им высказан [21,22] способ интегрирования системы уравнений равновесия тонкой сферической оболочки. Как пример вырабатывается краевая задача для оболочки, обладающей формой сферической секции, закрепленной по контуру.
Осесимметричная задача теории расчета сферической оболочки исследована Штаерманом И. Я. [153]. Им был в первый раз высказан способ асимптотического интегрирования уравнений оболочки вращения [153-155], что получил впоследствии значительное развитие в работах Гольденвейзера А. Л. В его монографии [51] большое место уделено анализу проблем асимптотического интегрирования как уравнений с частными производными вообще, так и уравнений теории оболочек в частности
Штаерман И. Я. построил также универсальный и простой для приложения способ параллели между куполом и аркой на упругом основании [156].
В своей основательной монографии [32] Власов В. В. предложил новый вид записи уравнений тонких сферических оболочек. Рекач В. Г. разработал в докторской диссертации [116] метод их интегрирования, вследствие этого предложил алгоритм решения уравнений в функциях Лежандра. Им же дано сравнение предлагаемого в диссертации метода решения с методом асимптотического интегрирования.
Аппроксимация краевых условий
Верность решения задачи МКЭ зависит от вида и количества конечных элементов, на которые разделена оболочка. При минимальном количестве конечных элементов имеется существенное расхождение с известными результатами, но по мере увеличения разбиения сетки результаты устремляются к верному.
Для расчёта оболочек - оболочечные системы можно разделять на компоненты в форме криволинейных или прямолинейных стержней с разными условиями совмещения компонентов в узлах [124, 142].
Вопрос применения МКЭ в задачах строительной механики прямо связан с осуществлением этого способа. Вопреки внешней простоте появляются затруднения переложения её на ЭВМ. Появляется ряд задач, решение которых может быть только МКЭ. Вместе со всеми достоинствам, МКЭ имеется свои недостатки.
Самый важный недостаток МКЭ - необходимость формирования вычислительных программ и использования ЭВМ, обладающих значительной оперативной памятью. Крупное количество совместно решаемых алгебраических уравнений связано со слишком большими расчетами даже при решении элементарных задач.
Несмотря на то, что в настоящее время построены сильные иностранные (Ansys, Nastran [151], Robot) и российские, украинские (Лира [131], SCAD [НО], Stark) вычислительные программы, разрешающие при наличии применения, решать почти произвольные задачи, ими не всегда есть возможность пользоваться из-за потребности крупных ресурсов ЭВМ и их затраты, когда это иметь отношение к зарубежным ПК.
Кроме этого проверка верности решений расчёта по ним усложняется, потому что инженер видит только обертку, но не существо работы вычисленной программы. Итак, для расчета некоторого ряда задач разумнее использовать способы, которые менее затруднены и не нуждаются в специальных вычислительных программах и мощных ЭВМ, и одновременно имеют высокую точность и сходимость даже при выполнении расчета на микрокалькуляторе.
Первоначально численный способ интегрирующих матриц был выработан А.Ф. Смирновым при решении обыкновенных дифференциальных уравнений [127]. Автором была высказана концепция о выражении меньшей производной через высшие посредством матрицы интегрирования, выработанной с применением аппроксимирующих функций, созданных на базе многочленов Лагранжа. Одновременно, используя матрицу интегрирования, можно приближённо выражать искомую функцию через её производные.
А.В. Александров [6] в свою очередь применяя многочлены Лагранжа, разработал матрицу дифференцирования, использование которой разрешило преобразовать функцию в её первое производное.
В труде Б.Я. Лащеникова [80] было показано, что способы решения дифференциальных уравнений, полученные в [6, 127], приносили одни те же результаты и являются, практически, разными видами одного и того же способа, который в [35] был наименован методом последовательных аппроксимаций.
При применении этого способа функция и каждое её производное последовательно аппроксимируется (выражается приближённо) одним и тем же аппроксимирующим многочленом, как высказано выше, или какой-либо другой известной функции.
Применяемые в виде аппроксимирующих функций интерполяционные многочлены Лагранжа приносят значительную точность при малом числе разбиений. В [6, 127] не рекомендуется применять многочлены выше шестого порядка. Были высказаны другие методы формирования матрицы интегрирования. М.Б. Вахитовым [20] предложены матрицы интегрирования с применением алгебраических многочленов низкой степени. На задачах, излагаемых в [14, 15, 20], указано, что аппроксимация требуемого уравнения «скользящей» кубической параболой приносит достаточную конвергенцию, упрощает создание матрицы интегрирования, к тому же матрица обладает ленточной структурой.
Аналогичная аппроксимация может быть при произвольном числе расчётных точек, определять скачки, непостоянный шаг интерполирования [20]. Недостаток этого метода заключается в его высокой кропотливости.
В работе [35] для формирования матриц интегрирования и дифференцирования были использованы кусочно-полиномиальные функции [7, 144]. При этой аппроксимации можно учесть скачки исходного уравнения и его производных.
В трудах [34, 37, 161] Р.Ф. Габбасова в качестве аппроксимирующих функций для создания матрицы интегрирования и дифференцирования применялись сплайны. Использование сплайнов разрешило учитывать конечные скачки на краях стыкуемых мест уравнений. Проблема создания матрицы интегрирования с непостоянным шагом разрабатывается в труде В.В. Шрамко [152].
Использование матриц интегрирования и дифференцирования в решении задач строительной механики указало, что такой прием обладает хорошей перспективой. Надо подчеркнуть, что алгоритм с использованием указанных матриц нетрудно реализуется на ЭВМ.
Концепция метода последовательных аппроксимаций (МПА), предложена А.Ф. Смирновым [127] и А.В. Александровым [6], получила последующее продольжение в трудах [35, 36, 38, 40, 128]. 1.4. Обобщённые уравнения метода конечных разностей ( МКР)
Среди численных методов, кроме метода конечных элементов (МКЭ), популярным и широко применяемым в инженерной практике является метод конечных разностей. Основа метода конечных разностей заключается в следующем. На участке анализируемого тела построена сетка линий, точки пересечения которых являются узлами. Неизвестными в узлах являются значения функций, соответственно которым справедливы известные дифференциальные функции строительной механики. Точное решение, соответствующее системе дифференциальных функций, заменяют приближённым. Это приближённой расчет выбирается так, чтобы он аппроксимировал исходное уравнение, как можно мало отклоняясь от предопределённого точного расчета. Потом выбирается способ приближения этой аппроксимации к верному расчету. По МКР вырабатывается замена производных конечно-разностными отношениями, и неизвестными в них оказываются значения функций в узлах. Расчет в конечном итоге сводится к решению конечной системы алгебраических уравнений.
Имеется несколько методов разработки разностных уравнений с различной степенью точности [2, 3, 19, 57, 68]. Методу конечных разностей посвящены работы известных российских и иностранных учёных [2, 3, 4, 6, 7, 12, 20]. В вышеуказанных трудах предложен комплексный материал по методу конечных разностей и его приложение к интегрированию дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных. МКР в известной форме имеет несколько недостатков: сложное конечно-разностное выражение краевых условий; затруднения, связанные с присутствием законтурных точек при расчете;
Аппроксимация системы дифференциальных уравнений обобщёнными уравнениями МКР
Неизвестные вычисляются из совместного решения уравнений типа (4.4.1) - (4.4.4). Объём памяти ЭВМ определяется только числом неизвестных, а не размерами матрицы коэффициентов. Программа реализуется при достаточном числе разбиений с учетом пределов оперативной памяти.
Решения разностных уравнений МКР с помощью итерационного процесса сходятся быстро. Мы рассмотрим конкретные результаты ниже. По указанным выше уравнениям получим результаты для и, u,w,co, по этим значениям вычислим внутренние усилия. Перед тем необходимо вычислить производные искомых функций.
В качестве примера мы рассмотрим сферическую оболочку, загруженную циклически моментом MJf = 1 вдоль края, с размерами a/d = 100 (где a, d- соответственно радиус и толщина сферической оболочки), опертую шарнирно-неподвижно (рис. 4.5.1).
На поверхность сферической оболочки нанесем сетку (рис. 4.5.2), и приведем результаты по отдельным меридианам ОА, ОВ, ОС . Загруженные моментами участки Рис.4.5.2 Сферическая оболочка под циклически приложенными моментными нагрузками В таблице 4.5.1 приведены значения прогибов w вдоль меридианов сферической оболочки.
Рассмотрим сферической оболочку с такими размерами и краевыми условиями как в предыдущей задаче, но здесь оболочка нагружена осесимметричной нагрузкой.
В таблице 4.5.2 приведены значения прогибов циклической задачи (колонки 2,3,4) по меридианам ОА, ОВ, ОС (рис. 4.5.2), прогибы осесимметричной задачи (колонка 5) и результаты [39] по МПА и результаты аналитического решения [117] - колонка 7.
Линия ОА- значенияw по меридиану 0/4(рис. 4.5.2); Линия ОВ- значения w вдоль меридиана ОВ (рис. 4.5.2); Линия ОС- значения w вдоль меридиана ОС (рис. 4.5.2).
Отметим, что в [117] наибольшая ордината эпюры w не приводится, хотя она на порядок больше других ординат.
В качестве второй задачи мы рассмотрим сферическую оболочку с размерами al d = \00 (где а -радиус сферической оболочки, и d -толщина оболочки), защемленную в фундаменте. Рассматриваемая полусфера загружена распределенной нагрузкой по всей ее поверхности (рис. 4.5.6).
Полученные результаты, определенные по обобщённым уравнениям МКР на различных сетках (колонка 1), показываются в таблице 4.5.2, они сравниваются со значениями, найденными по МКЭ с помощью программы SAP 2000 (колонка 2).
В четвертой главе представлен алгоритм расчета сферических оболочек, круглых в плане, с разными краевыми условиями, загруженных различной нагрузкой, в том числе циклической. Применен метод Зейделя для решения СЛАУ с точностью точки, где of -решение при к оиитерации; /-предшествующее решение. Этот метод упрощает составление программы на ЭВМ. Выполнено сравнение полученных результатов с известными аналитическими решениями, а также с результатами по МКЭ. По сравнению с МПА, МКЭ мы можем использовать метод обобщённых уравнений МКР как более простой.
В диссертации осуществлена разработка алгоритмов расчета пологих, цилиндрических и сферических оболочек при действии различных нагрузок.
Исследованные алгоритмы просто программируются и выполняются на ЭВМ. Результаты решения задач имеют значительную степень верности, практически сходятся с результатам по МПА и известными аналитическими решениями при достаточном разбиении на расчетную сетку. Решения, определенные на основе разработанного алгоритма, быстро сходятся. Рекомендации:
По диссертации можно вывести следующие главные выводы и предложения. 1. Разработаны алгоритмы расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек с различными видами краевых условий при действии различных типов нагрузок, включая локальные и полосовые, циклические. Для этого использованы предложенные Р.Ф. Габбасовым обобщённые уравнения метода конечных разностей (МКР). В известной мере построение указанных алгоритмов допустимо рассматривать как дальнейшее развитие МКР. 2. По предложенным алгоритмам составлены программы для расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек на ЭВМ. Программа позволяет рассчитывать эти оболочки при различных видах краевых условий на действие любых статических нагрузок. 4. Разработанные алгоритмы проверены на тестовых задачах и численно исследованные на сходимость. 5. Решены новые задачи по составленной программе по расчету пологих, цилиндрических, сферических оболочек. Перспективы дальнейшей разработки темы Подводя результаты диссертационной работы, можно отметить: Ill - Разработанный алгоритм работает надежно, устойчиво, что подтверждается сравнением результатов расчета с известными решениями и численным исследованием конвергенции решений. - Алгоритм может быть представлен для практического применения не только к расчету пологих, цилиндрических, сферических оболочек, но и искривленных пластин. - На многочисленных примерах подтверждено, что построенный в диссертационном труде способ расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек по МКР может быть применен для удовлетворительной оценки напряженно - деформированного состояния изгибаемых пологих, цилиндрических, сферических оболочек при достаточном числе разбиений на расчетную сетку. К тому же можно использовать простейшие вычислительные устройства в некоторых случаях.
Преобразование уравнений к разрешённому виду для краевых точек
В этом параграфе в качестве тестовой задачи мы выполним расчет пологой оболочки, загруженной полосовой нагрузкой В частности рассмотрим пологую оболочку, прямоугольную в плане шарнирно-подвижно опертую по всем её сторонам при В таблице 2.16 указаны полученные результаты прогибов в середине оболочки по обобщённым уравнениям МКР(колонка 1); они сравниваются с числовыми значениями по МКЭ (программа SAP 2000, колонка 2) на сектах с различными разбиениями.
Легко заметить, что результаты почти совпадают. 2.6.4. Выводы по главе 2 Во второй главе представлен алгоритм расчета пологих оболочек, прямоугольных в плане, с разными краевыми условиями, загруженных различной нагрузкой, в том числе локальной. Применён метод Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений с точностью для каждой расчетной точки, где сок -решение при к ои итерации; cokt x - предшествующее решение.
Этот метод упрощает составление программы на ЭВМ. Сравнение полученных результатов выполнено с известными аналитическими решениями, а также с результатами по МПА. По сравнению с МПА и МКЭ мы можем использовать метод обобщённых уравнений МКР как более простой. Глава 3. Расчет цилиндрических оболочек
Уравнения (3.1.1)-(3.1.4) составляют систему четырех дифференциальных уравнений второго порядка относительно безразмерных неизвестных и, v,w,m в общем случае деформации цилиндрической оболочки.
Цилиндрическая оболочка в общем случае деформации Дифференциальные уравнения (3.1.1)-(3.1.4) представляют собой частные случаи (2.3.1). Благодаря этому аппроксимация дифференциальных уравнений (3.1.1)-(3.1.4) выполняется аналогично 2.3.
Запишем аппроксимацию дифференциального уравнения (3.1.1) обобщенным уравнениям МКР в регулярной точке //на равномерной сетке с шагами тик:
В [39] показано, что краевые условия при расчете замкнутой круговой цилиндрической оболочки, как и в случае открытой, ничем не отличаются от пологих оболочек. Поэтому здесь мы можем использовать краевые условия, определенные во второй главе. Для того чтобы избежать повторения, мы приведем только окончательные выражения краевых условий в каждом случае.
Таким образом, с помощью (3.3.13), (3.3.16) определим краевые неизвестные т ..; w... К этим указанным двум условиям присоединяются: г =0; s = 0, где s - безразмерная сдвигающая сила; по (3.1.5) получим:
Применяем итерационный метод Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений. Уравнения преобразуются к виду, соответствующему необходимому условию конвергенции итерационного процесса, так чтобы все коэффициенты в правой части уравнений были не больше единицы. Вычисление производных для определения внутренний усилий Неизвестные вычисляются из совместного решения уравнений типа (3.4.1)-(3.4.11). Объём памяти ЭВМ определяется только числом неизвестных, а не размерами матрицы коэффициентов. Программа реализуется при достаточном числе разбиений с учетом пределов оперативной памяти.
Решения разностных уравнений МКР с помощью итерационного процесса сходятся быстро. Мы рассмотрим конкретные результаты ниже.
По указанным выше уравнениям получим результаты для и; и; w; т, по этим значениям вычислим внутренние усилия. Перед тем необходимо вычислить производные искомых функций.
В строительной практике мы нередко встречаем циклическую нагрузку, которая не распределяется по всей поверхности оболочки и не осесимметрична, а действует на отдельные участки цилиндрической оболочки циклически (рис. 3.5.1). Сравним полученные результаты с осесимметричной, которая будет рассмотрена в следующем параграфе.
План цилиндрической оболочки, нагруженной циклической нагрузкой На рис. 3.5.1 выделения со штрихом являются загруженными, а пустые участки являются незагруженными.
В качестве тестовой задачи рассмотрим бетонную цилиндрическую оболочку, загруженную циклически давлением с удельным весом у = 0,001 (кг/см3) с размерами а = 125 (см), Я = 400 (см), ґ = 15(см), = 180 000 (кг.см ), где а -радиус цилиндрической оболочки; и t - толщина оболочки, h 79 высота, Е - модуль упругости бетона. Оболочка понизу жестко заделана (рис. 3.5.2).
Рассмотрим цилиндрическую оболочку с такими же размерами и краевыми условиями как в предыдущей задаче, но здесь оболочка нагружена осесимметричной нагрузкой. Сравнение результатов осесимметричной задачи с результатами циклической задачи проведём следующим образом (рис. 3.6.1):