Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сравнительный анализ методов оценки надежности 17
1.1. Расчет на надежность элементов строительных конструкций и систем 17
1.2. Метод предельных состояний и надежность конструкций 30
1.3. Методы оценки надежности строительных конструкций 45
1.4. Погрешности метода оценки надежности при разложении функции работоспособности вряд Тейлора 69
1.5. Влияние кривизны границы области отказа на вероятность безотказной работы конструкции. 75
1.6. Достоинства и недостатки существующих вероятностных методов расчета 81
Глава 2. Построение вероятностных моделей прочности и нагрузок 85
2.1. Анализ обеспеченности механических свойств материалов конструкций 85
2.2. Характеристики законов распределения прочности бетона и арматуры 95
2.3. Построение распределения абсолютного максимума процесса нагружения 98
2.4. Анализ случайного процесса накопления снега 106
2.5. Вероятностная модель ветровой нагрузки 118
2.6. Вероятностное моделирование нагрузок на перекрытия зданий 129
Глава 3. Метод интегрирования по аппроксимирован ной области отказа 135
3.1. Основные положения 135
3.2. Определение координат узловой точки 136
3.3. Аппроксимация поверхности отказа в узловой точке 141
3.4. Преобразование стандартизованного центрированного пространства к исходной системе координат 143
3.5. Построение плотности распределения функции работоспособности 145
3.6. Сравнительный анализ методов численного интегрирования при построении плотности распределения функции работоспособности 150
3.7. Интегрирование плотности распределения функции работоспособности 160
3.8. Область применения метода интегрирования по аппроксимированной области отказа 161
Глава 4. Анализ надежности стержневых конструкций и систем с учетом нелинейного характера их деформирования 163
4.1. Границы областей отказа внецентренно сжатых стержней 163
4.2. Вероятностный расчет внецентренно сжатых стержней 167
4.3. Расчет сжато-изогнутых стержней на надежность 173
4.4. Детерминированный расчет стальных рам как единых нелинейных систем 177
4.5. Расчет стальных рам на основе детерминированного решения Мерчанта 183
4.6. Анализ применимости детерминированного решения Мерчанта для расчета стальных рам 185
4.7. Особенности вероятностного расчета стержневых систем на основе детерминированного решения Мерчанта 190
Глава 5. Оценка надежности статически неопределимых стальных и железобетонных рам 195
5.1. Анализ надежности рам методом интегрирования по аппроксимированной области отказа на основе детерминированного решения Мерчанта 195
5.2. Надежность П-образной стальной рамы 201
5.3. Анализ надежности ячейки многоярусного каркаса 208
5.4. Надежность однопролетной двухэтажной стальной рамы 213
5.5. Надежность однопролетной двухэтажной железобетонной рамы 224
Глава 6. Исследование надежности строительных конструкций при различных видах отказа 231
6.1. Оценка надежности методом интегрирования по аппроксимированной области отказа на основе решения задачи определения напряженно-деформированного состояния конструкции 231
6.2. Вероятностная оценка пластической усталостной долговечности стальной рамы 237
6.3. Оценка живучести многоэтажной стальной рамы 242
6.4. Анализ надежности стержневых систем при различных видах отказов 249
6.5. Надежность балки при действии динамических нагрузок 251
6.6. Оценка надежности многоэтажного здания при сейсмическом воздействии на основе спектрального метода 259
6.7. Оценка надежности многоэтажного здания при сейсмическом воздействии на основе решения динамической задачи 268
Глава 7. Вероятностная и вероятностно экономическая оптимизация стержневых конструкций и систем 281
7.1 Основные положения 281
7.2 Нормирование надежности конструкций с экономическим типом ответственности 283
7.3 Нормирование надежности конструкций с неэкономическим и смешанным типами ответственности 285
7.4 Вероятностная оптимизация стальной статически неопределимой рамы 289
7.5 Вероятностно-экономическая оптимизация стержневых конструкций и многоэлементных стержневых систем 296
Основные выводы 303
Список литературы 307
- Метод предельных состояний и надежность конструкций
- Построение распределения абсолютного максимума процесса нагружения
- Сравнительный анализ методов численного интегрирования при построении плотности распределения функции работоспособности
- Надежность однопролетной двухэтажной стальной рамы
Введение к работе
Актуальность темы. Конечной целью проектирования инженерных и, в частности, строительных конструкций является обеспечение их надежности при возведении и эксплуатации.
Поведение строительных конструкций в эксплуатации описывается факторами случайной природы. Современные нормы проектирования строительных конструкций учитывают вероятностный характер нагрузок и несущей способности только в части обработки исходных данных. Метод предельных состояний, заложенный в действующих нормах проектирования, является полувероятностным, и надежность конструкции при проектировании обеспечивается на основе использования частных коэффициентов запасов - коэффициентов надежности по нагрузкам, по материалам, коэффициентов условий работы, коэффициентов надежности по назначению, величины которых не имеют достаточного теоретического и экспериментального обоснования.
При проектировании конструкций по существующим нормам фактический уровень их надежности остается неизвестным. Современные нормы в большинстве случаев позволяют проектировать конструкции с достаточным уровнем безопасности, что подтверждается многолетней практикой их эксплуатации. Однако, в некоторых случаях, уровень надежности конструкций оказывается завышенным и обуславливает перерасход материалов или недостаточным, что ведет к излишним расходам на ликвидацию последствий отказов при эксплуатации.
Расчет строительных конструкций, отражающий их реальное поведение в эксплуатации, должен в полной мере базироваться на теории надежности, основанной на вероятностных методах, которые позволяют дать более объективную оценку пригодности конструкции к ее нормальной эксплуатации. Методы теории надежности дают теоретическую основу для правильной организации сбора и обработки статистических данных, относящихся к воздействиям на сооружение, характеристикам материалов и конструкций из них и других расчетных параметров. Эти методы наиболее правильно отражают случайную природу основных расчетных величин и взаимосвязь между внешними воздействиями и прочностью конструкции.
Основным препятствием в развитии теории надежности строительных конструкций в настоящее время является отсутствие или недостаточное развитие вероятностных методов оценки надежности сложных многоэлементных систем, каковыми являются большинство проектируемых зданий и сооружений. Это связано с особенностями строительных конструкций: сложностью детерминированных решений, их высоконадежностью и сложными взаимосвязями между элементами. Все это приводит к трудностям методологического и математического характера. Преодоление ука-
занных трудностей представляется в разработке качественно более эффективных и универсальных вероятностных методов расчета, сочетающих в себе аналитические и численные процедуры, реализация которых требует активного использования современных вычислительных средств.
Данная работа посвящена разработке метода расчета на надежность, который открывает возможности для решения ряда практически значимых задач нормирования и оценки надежности многоэлементных систем инженерных конструкций и сооружений.
Разработка и совершенствование вероятностных методов расчета вносит существенный вклад в создание новых норм по основным положениям вероятностного расчета строительных конструкций.
Цель работы. Разработка эффективного метода расчета на надежность многоэлементных систем инженерных конструкций с учетом нелинейного характера их деформирования, включающего аппроксимацию поверхности отказа и построение плотности распределения функции работоспособности; решение задачи оценки надежности стальных и железобетонных статически неопределимых рам, задачи проектирования конструкций с заданным уровнем надежности; оценка надежности при различных видах отказов (частичных отказов: возникновение краевой текучести, образование одного или нескольких пластических шарниров; полных отказов: возникновение механизма разрушения, наступление пластической усталости); оценка надежности инженерных конструкций при динамических нагрузках; проведение вероятностной, вероятностно-экономической оптимизации и рассмотрение проблемы нормирования надежности строительных конструкций.
В представленной работе автор защищает:
проведенный сравнительный анализ существующих методов оценки надежности строительных конструкций;
вероятностную модель климатических воздействий на здания и сооружения в виде распределения абсолютных годовых максимумов снеговой и ветровой нагрузок;
-метод интегрирования по аппроксимированной области отказа для оценки надежности многоэлементных систем инженерных конструкций, включающий аппроксимацию поверхности отказа и построение плотности распределения функции работоспособности;
- выполненный вероятностный анализ внецентренно сжатых и сжато-
изогнутых стальных стержней в предположении различных моделей их де
формирования;
-методику вероятностного расчета статически неопределимых рам при действии независимых случайных нагрузок на основе детерминированного решения с использованием метода предельного равновесия;
обоснование и методику вероятностного расчета стальных рам как единых нелинейных систем на основе детерминированного решения Мер-чанта;
методику и результаты вероятностного анализа одноэтажных стальных рам с учетом нелинейного характера их деформирования;
методику и результаты анализа надежности многоэтажных стальных и железобетонных рам на основе,детерминированного решения Мер-чанта;
методику и алгоритм оценки надежности стержневых конструкций на основе детерминированного решения задачи определения напряженно-деформированного состояния конструкции, претерпевшей пластические деформации, при известных параметрах;
методику вероятностной оценки пластической усталостной долговечности статически неопределимых стальных рам;
методику оценки живучести статически неопределимых одно- и многоэтажных стальных рам как многоэлементных систем с учетом нелинейного характера их деформирования;
методику и сравнительный анализ результатов вероятностного расчета стержневых рамных конструкций при различных видах частичных отказов системы;
методику оценки надежности статически определимой балки при динамической нагрузке с учетом и без учета затухания колебаний в рамках использования случайных величин с учетом фактора времени в явном виде;
методику оценки надежности многоэтажного здания при сейсмическом воздействии на основе спектрального метода и непосредственного интегрирования уравнений движения как системы с несколькими степенями свободы;
- методику и результаты вероятностной и вероятностно-экономи
ческой оптимизации стержневых конструкций и многоэлементных стерж
невых систем.
Научная новизна. Разработан новый эффективный метод расчета на надежность многоэлементных систем инженерных конструкций и сооружений, получивший название метода интегрирования по аппроксимированной области отказа. С помощью данного метода решен ряд актуальных задач теории надежности строительных конструкций.
Достоверность полученных результатов определяется:
корректностью постановки рассматриваемых задач;
использованием общепринятых в строительной механике допущений;
комплексным подходом к решению рассматриваемых проблем с разных позиций и с использованием различных методик;
тестированием разработанного для проведения исследований программного комплекса;
сопоставлением с результатами, полученными известными аналитическими и численными методами расчетов, а также данными других авторов.
Практическое значение. Разработанный вероятностный метод расчета инженерных конструкций и систем позволяет оценить надежность существующих реальных строительных конструкций, проектировать стержневые рамные системы с заданным уровнем надежности, а также осуществлять вариантное проектирование. Результаты сравнения вероятности возникновения различных видов отказов статически неопределимых рамных конструкций указывают на скрытые резервы надежности, что может быть учтено в практике проектирования. Полученные результаты и методика вероятностной и вероятностно-экономической оптимизации предназначены для использования при нормировании надежностных требований и разработке норм проектирования стальных и железобетонных конструкций.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и получили одобрение на заседании кафедры "Строительная механика" МГСУ (МИСИ им. В.В. Куйбышева) (Москва, 1999); на заседаниях кафедры "Сопротивление материалов и строительная механика" Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (РГОТУПС) (Москва, 1998, 1999); на научном семинаре кафедры "Сопротивление материалов и строительная механика" РГОТУПС (Москва, 2000); на 3-ей традиционной научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов "Строительство - формирование среды жизнедеятельности" (Москва, 2000); на 5-й межвузовской научно-методической конференции "Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта" (Москва, 2000); на 8-й международной конференции "Probabilistic Mechanics and Structural Reliability" (Notre Dame, Indiana, USA, 2000); отдельные положения, представленные в диссертационной работе, использованы при подготовке раздела "Надежность инженерных конструкций" учебника "Строительная механика", Саргсян А.Е. и др.'- М.: Высшая школа, 2000. - 416 с, рекомендованного Министерством образования РФ, и внедрены в учебный процесс в высших технических учебных заведениях Российской Федерации.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 20 научных работах, в том числе в одной монографии, а также нашло отражение в отчетах по научно-исследовательской работе.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, основных выводов и списка литературы. Она содержит 324 страницы, 45 таблиц, 102 рисунка, 19 страниц списка литературы на 172 наименования.
Метод предельных состояний и надежность конструкций
Метод предельных состояний подвел единую идейную базу под уже существующие надежностные требования, но не сформулировал правил их установления. В результате многие кардинальные положения современных норм расчета строительных конструкций не имеют общей теоретической базы.
Невозможно найти сколько-нибудь разумного объяснения тому, что надежность сооружений одного и того же назначения, выполненных из различных материалов и спроектированных по действующим нормам, оказывается различной. Более того, невозможно сказать какой уровень надежности требуют нормы проектирования, должен ли он быть одинаковым для всех сооружений или различаться, и если должен, то в каких пределах и в зависимости от чего.
Существующие методы проектирования не позволяют оценивать надежность конструкций, и тем более проектировать их с заданным уровнем надежности. Основным надежностным требованием этих методов является сравнение расчетных значений нагрузочного эффекта и несущей способности. Но предельное состояние не может определяться лишь сопоставлением этих расчетных значений. Оно может наступить при значениях нагрузок меньших расчетных, если реализовано, соответственно, меньшее значение несущей способности.
В связи с этим при нормировании надежностных требований нельзя ограничиться так называемым полувероятностным подходом, как обычно трактуется метод предельных состояний, то есть применять методы теории вероятностей для рассмотрения каждой исходной случайной величины и не решать задачу надежности конструкций.
Полезным представляется анализ действующих норм расчета с точки зрения надежности проектируемых по ним конструкций. Введем предположение, что при использовании методики предельных состояний уровень надежности конструкций определяется только выбором расчетных значений нагрузок и сопротивлений.
При одних и тех же обеспеченностях расчетных значений прочности и нагрузки уровень надежности может изменяться в больших пределах в зависимости от отношения коэффициентов вариации нагрузки и прочности при этом независимо от значений этих коэффициентов.
Если, например, принять vr =0.08, vq =0.4 ( - = 0.2), то получим 3 - 2.12, т.е. вероятность безотказной работы Рг = 0.983, а вероятность отказа Pf = 1 - Рг = 0.017, а для v, = 0.2, vq = 0.1 (х — 2.0) соответственно У# = 3.02 и Рг = 0.9987, Pf = 0.0013. То есть вероятность отказа для этих двух случаев отличается в 13 раз.
Из этого следует вывод о том, что даже необходимая унификация обеспеченности расчетных значений различных нагрузок и сопротивлений различных материалов, не может обеспечить единый уровень надежности конструкций. При этом, устанавливая обеспеченности расчетных значений, мы не можем предсказать уровень надежности проектируемой конструкции.
Таким образом проектная надежность конструкций зависит не только от установленных уровней расчетных значений исходных величин, но и от соотношения их изменчивостей. Анализ надежности проектируемых конструкций в предположении их идеальной доработки с точки зрения установления расчетных значений (унификация обеспеченности расчетных значений) показывает, что уровень надежности конструкций одинаковой ответственности может отличаться в несколько десятков раз. Вполне возможны случаи, когда конструкции сооружений уникального класса (наиболее ответственных) оказываются менее надежными, чем конструкции сооружений третьего класса, наименее ответственные.
Сложившуюся ситуацию в нормировании правил расчета строительных конструкций можно охарактеризовать следующим образом - проектировщик почти ничего не знает о том, насколько успешно он выполнил свою главную задачу - проектное обеспечение нормального функционирования конструкций.
Решение данной проблемы может быть осуществлено только в результате перехода к принципиально новой методике проектирования, основанной на вероятностном подходе.
В этой методике основное надежностное требование сопоставления расчетных значений следует заменить требованием сопоставления проектной вероятности отказа с нормируемым целесообразным значением этой вероятности.
В 1994 году в ЦНИИСК им. В.В. Кучеренко был разработан проект СНиП "Надежность строительных конструкций и оснований. Основные положения". Этот документ должен был стать головным в группе норм, касающихся расчета строительных конструкций, новой системы нормативных документов в строительстве, основные положения которой были определены в СНиП 10-01-93. Предполагалось, что за этим первым шагом последует разработка документов следующего уровня, регламентирующих требования к конструкциям из различных материалов, удовлетворяемые на стадии их проектирования. При этом потребительские требования, составляющие, согласно СНиП 10-01-93, основное содержание нормативных документов, трактовались как требования к уровню надежности конструкций, реализуемые вероятностными методами. Т.е. с вводом в действие новой системы норм расчета конструкций должен был осуществляться переход к их проектированию с заданным целесообразным уровнем надежности. В 1996 году проект СНиП был рассмотрен на совещании специалистов стран членов СНГ и одобрен в качестве проекта МСН.
Однако из-за отсутствия финансирования разработка новой системы норм была прекращена. В этих условиях представляется целесообразным использовать проект СНиП "Надежность несущих строительных конструкций и оснований. Основные положения" для количественной оценки уровня надежности конструкций, проектируемых по действующим нормам. Для этого он должен быть переработан таким образом, чтобы все его положения были уже сегодня реально реализуемы, и включен в ГОСТ 27751-88 "Надежность строительных конструкций и оснований. Основные положения по расчету" в качестве шестого раздела, содержащего указания по оценке надежности проектируемых конструкций. Эта оценка не является обязательной, но в том случае, если она проводится, указания шестого раздела ГОСТа обязательны к выполнению. В развитие этих указаний существующее справочное приложение должно быть дополнено практическими методами вычисления показателей надежности конструкций.
Несмотря на фактическую факультативность нового раздела и отсутствие требований к уровню надежности, можно ожидать, что он будет применяться в практике и применение это будет постепенно расширяться. Это ожидание основывается на следующих предположениях.
Во-первых, имея такую возможность, потребитель скорее всего захочет знать меру надежности предлагаемого ему сооружения и будет заказывать выполнение соответствующих расчетов.
Во-вторых, численные значения показателей надежности могут быть весьма полезным инструментом для контролирующих федеральных и муниципальных органов управления при принятии ими решения о безопасности сооружения и выдачи разрешения на его строительство.
В-третьих, эти показатели могут использоваться страховыми компаниями при выработке условий страхования. При нормальном развитии рыночных отношений этот фактор может оказаться весьма действенным, о чем говорит пример некоторых стран с рыночной экономикой, где нормы проектирования строительных конструкций необязательны, но правила страхования делают их применение практически неизбежным.
В результате такого применения вероятностных методов расчета параллельно со старым детерминированным подходом проектировщик освоит новые методы, изменится его мышление, появятся необходимые программы для ЭВМ и, что самое главное, выработаются общепринятые взгляды на то, какой уровень надежности достаточен на данном этапе развития экономики. Появится естественная потребность в тех случаях, когда этот уровень оказывается недостаточным или неоправданно высоким, производить перерасчет конструкций, отступая от указаний действующих норм (соответствующее разрешение этого должно содержаться в новом разделе ГОСТа). Т.е. произойдет естественный переход к итерационному способу проектирования конструкций с заданным уровнем надежности, появится возможность управлять надежностью, добиваясь целесообразного расходования средств за счет разумного согласования экономичности с безопасностью и эксплуатационной пригодностью.
Построение распределения абсолютного максимума процесса нагружения
Воздействия на сооружения могут быть вызваны природными факторами, такими как снег, ветер, землетрясения и т.п., а также результатами человеческой деятельности, например, движением транспорта, весом оборудования, весом складируемых материалов и т.п. Внешние воздействия вызывают в сооружении внутренние усилия, напряжения, деформации, перемещения, износ применяемых в конструкциях материалов и другие кратковременные и длительные эффекты.
Нагрузки обладают большим статистическим разбросом. При математическом описании воздействия могут быть представлены в виде случайных величин, случайных функций времени, а также случайными пространственно-временными функциями, изменяющимися не только во времени, но и в пространстве по случайным или детерминированным законам.
Необходимо иметь в виду, что характеристики воздействий, которые используются в расчетах представляют собой параметры принятой модели нагрузки, а не реального процесса нагружения.
Для разработки вероятностной модели нагрузки необходимо произвести содержательный физический анализ:
- причин ее возникновения и изменения в связи с природными и технологическими факторами и явлениями;
- пространственно-временной структуры изменчивости нагрузки в связи с условиями ее проявление и группировкой этих условий по территории, типам и формам сооружений, режимам использования и т.п.;
- способов наблюдений и измерений с оценкой однородности и стабильности условий наблюдений и представительности полученных результатов;
- способов обработки и упорядочения результатов измерений.
На основании такого анализа формируется статистическая модель нагрузки, включающая описание ее генеральной совокупности и области обоснованного использования результатов.
Модель нагрузки содержит ряд параметров и переменных, которые должны быть оценены до использования модели. При вероятностном описании воздействия все переменные считаются случайными. Но изменчивость может носить не только случайный, но и систематический характер, например, период повторяемости. При этом как случайным, так и систематическим характером изменчивости обладают не только сами воздействия, но и методы их измерения.
Здания и сооружения подвергаются действию нескольких нагрузок. Вероятность одновременного возникновения нескольких нагрузок существенно ниже, чем вероятность появления любой из них, если значения приняты такими как при действии одной нагрузки. Поэтому при проектировании по действующим нормам используются коэффициенты сочетаний, учитывающие уменьшение вероятности одновременного появления нескольких нагрузок. Решение проблемы определения и уточнения коэффициента сочетания является важным направлением исследований последних лет и эффективно может решаться только с применением методов теории вероятности и теории надежности. Однако, следует отметить, что при проведении вероятностных расчетов, в отличие от действующих полувероятностных норм, проблемы коэффициента сочетания не существует.
Действующие на сооружения нагрузки в общем случае представляют собой случайные функции времени и пространственных координат. Пространственная изменчивость нагрузок изучена недостаточно, поэтому при расчете конструкций воздействия представляются в виде случайных процессов. Выделяют две основные модели случайных процессов X{t): поток статистически независимых воздействий (стационарный (рис.2.3а) и нестационарный дискретный поток(рис.2.3б)) и случайные колебания (рис.2.3в).
Основной задачей при анализе потока статистически независимых воздействий является отыскание закона распределения его наибольшего значения (абсолютного максимума) в функции времени реализации процесса. При анализе случайных колебаний помимо задачи отыскания распределения абсолютного максимума возникают и другие сложные задачи: определение законов распределения экстремумов, число превышений случайным процессом произвольного уровня, отыскание распределения значений процесса, соответствующего его точкам перегиба и др.
Случайные колебания должны приниматься к рассмотрению при оценке надежности, например, деталей машин, для относительно высоких вероятностей отказа Pf. При вероятностной оценке прочности и усталостной долговечности строительных конструкций нагрузки во многих случаях можно рассматривать в виде статистически независимых воздействий. Таковыми, например, являются годовые максимумы климатических нагрузок (ветровых и снеговых). На вероятность редких прочностных отказов, таких как возникновение пластического шарнира или разрушение конструкции, в основном влияют "пиковые" значения нагрузок и практически не оказывают влияние незначительные отклонения от средних значений. В связи с этим основной задачей анализа воздействия при вероятностной оценке прочности конструкции становится отыскание распределения абсолютного максимума потока статистически независимых воздействий.
Поток статистически независимых воздействий х( (/= 1,2,...) определяется функцией распределения интенсивности единичного воздействия F(x), функцией распределения интервала между воздействиями Ф(/) и временем наблюдения процесса t [31]. Соответствующие плотности распределений обозначим f(x) и p{t). Считается, что наблюдение начинается в момент времени t0 = 0 и первое нагружение происходит в момент времени t1 Ф 0.
Сравнительный анализ методов численного интегрирования при построении плотности распределения функции работоспособности
Вероятность отказа высоконадежных строительных конструкций является малой величиной, поэтому особые требования должны предъявляться к точности вычисления определенных интегралов. С другой стороны повышение точности ведет к увеличению машинного времени. Возникает вопрос о том, какой численный метод интегрирования является наиболее эффективным, т.к. для одной и той же точности вычислений при многократном применении использование более простого метода может требовать меньшее количество машинного времени, чем использование более сложного и точного по своей сути метода.
Выбор метода зависит от особенностей решаемой задачи. Были проведены исследования, в которых рассматривались четыре численных метода вычисления определенных интегралов: метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона и метод на основе квадратурных формул Гаусса с тремя узлами.
На практике требуется вычислять интеграл / по той или иной квадратурной формуле с заданной точностью є. Для этого можно использовать метод двойного пересчета, сущность которого заключается в следующем. По квадратурной формуле производим вычисление интеграла I с шагом h и получаем значение 1(h). Затем шаг разбиения уменьшаем вдвое и получаем новое приближенное значение интеграла lihll). Для определения отклонения значения I(h 12) от точного значения интеграла 7, используем правило Рунге
Более сложным, но и более точным является метод интегрирования по квадратурным формулам Гаусса.
Пусть на каждой части разбиения [хг /; х,] (/=1, 2,...,п) расположено т узлов (ХЦ, ХІ2,..., хіт), в которых подынтегральная функция принимает значения f(xtj) (/ =1, 2,...,т). Предположим, что функция f(x) на каждой части аппроксимируется многочленом St(x) степени р, х efx xj (/=1, 2,...,«). При этом на многочлен St(x) накладываются два ограничения:
1) Значения многочлена и подынтегральной функции равны в узлах интерполяции, т.е. SjiXy) = fix у) (/=1, 2,...,n;j=\, 2,...,т);
2) Определенный интеграл от функции St(x) на отрезке [лгг у; х,] выражается через значения подынтегральной функции f(xtj) в узлах в виде их линейной комбинации, т.е. S,(x)dx = CJ(xn) + C2f(xi2)+...+Cmf(xim). (3.53)
Квадратурные формулы Гаусса для выбранной степени р сплайна будут определены, если из условий 1) и 2) найти т неизвестных коэффициентов Cj и координаты т узлов xtj (j=l, 2,...,m).
Шесть неизвестных будут определены однозначно из системы шести уравнений. В общем случае степень р аппроксимирующего многочлена всегда является нечетным числом и связана с числом узлов т соотношением р=2т-\. В частности, для трех узлов имеем многочлен пятой степени (Р=5).
Анализ предыдущего выражения показывает, что погрешность метода Симпсона в 5 раз ниже погрешности методов прямоугольников и трапеций. В свою очередь погрешность результата, полученного по формуле Гаусса, примерно, в 4 раза ниже чем по формуле Симпсона и в 20 раз ниже чем по формулам прямоугольников и трапеций.
Исследуем скорость работы компьютерных программ, реализующих различные методы численного интегрирования. В качестве тестового примера рассмотрим интегрирование функции у = ех на интервале [0;1] выполненное і раз при разбиении интервала на п частей. В таблице 3.1 приводится время выполнения расчетов на персональном компьютере.
В таблице 3.2 приведены результаты исследования зависимости времени расчета и необходимого числа разбиений п для часто встречающихся при оценке надежности строительных конструкций законов распределения: нормального, экспоненциального и двойного экспоненциального. Интегрирование плотности распределения производилось при заданной точности є на интервале равном 10 стандартам (например, для нормального закона по 5 стандартов от мат. ожидания влево и вправо по оси абсцисс). Количество циклов принято і = 1000, при этом использовался метод двойного пересчета.
Надежность однопролетной двухэтажной стальной рамы
Произведем оценку надежности рамы, рассматривая ее как единую нелинейную систему, на основе формулы Мерчанта. Так как количество возможных механизмов разрушения рамы велико, то непосредственное их рассмотрение становится затруднительным. Особенные сложности в связи с этим возникают при вероятностном расчете. Поэтому для определения параметра предельной нагрузки необходимо применять методы линейного программирования. Воспользуемся симплекс-методом.
При оценке надежности стальной рамы были приняты следующие исходные данные: I — 6м; h = 4м;
момент сопротивления сечений стоек Ws - 1.84 10 4 мг;
момент сопротивления сечений ригелей Wr = 1.43 Ю-4 м3.
Пластический момент сопротивления для двутаврового поперечного сечения принимаем Wm = 1.15 W.
Нагрузки и прочность примем случайными. Вероятностные характеристики случайного предела текучести тт. Математическое ожидание: т = 30525МПа. Стандартное отклонение: s = 25МПа.
При анализе надежности были проведены следующие исследования.
1. Определение зависимости вероятности отказа PJ от степени корреляции случайных пределов текучести расчетных сечений.
Примем внешние нагрузки и пределы текучести распределенными по нормальному закону. Пусть коэффициенты вариации всех внешних на грузок равны v = 0.1. Математические ожидания всех внешних нагрузок соответственно равны: тр = 13кН; тр =18кН; тр =ЗЗкН; тр = 23кН.
В результате расчетов получены следующие вероятности отказа PJ:
- для случайных полностью корреляционно связанных пределов текучести сечений: PJ =0.000182;
- для случая когда пределы текучести всех сечений стоек полностью корреляционно связаны между собой, но независимы по отношению к пределам текучести сечений ригелей, которые в свою очередь полностью корреляционно связаны между собой: Р}п = 2.55-105;
- для случая, когда пределы текучести сечений стоек первого и второго яруса и ригелей являются корреляционно не связанными между собой: PJ =2.33-Ю-6;
- для детерминированного предела текучести, равного мат. ожиданию сгт = 305.25 МПа = const: PJ =4.04-КГ12.
2. Определение зависимости вероятности отказа PJ от изменчивости внешних нагрузок.
Примем пределы текучести сечений стоек первого и второго яруса и ригелей корреляционно не связанными между собой. Закон распределения всех случайных величин - нормальный. В таблице 5.4 и на рис.5.17 показана зависимость вероятности отказа Р" от изменчивости каждой из внешних нагрузок v. Мат. ожидания величины нагрузок примем такими же как в предыдущем примере. При исследовании влияния изменчивости одной из нагрузок изменчивости остальных принимаем равными v = 0.1. В последнем столбце таблицы 5.4 указан наиболее вероятный механизм разрушения рамы (номера сечений, в которых образуются пластические шарниры).
При выполнении расчета изменчивости всех нагрузок были приняты равными v = 0.1, все пределы текучести сечений распределены по закону Вейбулла. Расчет производился методом интегрирования по аппроксимированной области отказа. В таблице 5.6 показана зависимость вероятности отказа PJ от параметра усечения закона Вейбулла х0: усечение на расстоянии 3-х стандартов от мат. ожидания (и = 3), а также для п = 5 и п = 12.2 (т.е. при х0 = 0). Для сравнения в таблице 5.6 также приведены результаты расчетов при нормальном законе распределения предела текучести.
Для принятых исходных данных методом интегрирования по аппроксимированной области отказа получена вероятность отказа конструкции с учетом ее нелинейной работы (вероятность разрушения) Р? = 5.51-Ю5. Наиболее вероятным будет частичный механизм разрушения, при котором образуются пластические шарниры в сечениях 4, 7, 9. Для сравнения определим вероятность отказа при условии, что все случайные величины подчиняются нормальным законам распределения с теми же параметрами. Искомая вероятность будет равна PJ = 2.49-Ю-10.
Получаем значительное завышение уровня надежности. Анализ показывает, что наиболее опасным воздействием является снеговая нагрузка, а для повышения уровня надежности наиболее эффективным будет увеличение сечений стоек и ригеля второго этажа. Действительно, при увеличении моментов сопротивления сечений стоек и ригеля первого этажа на 20% вероятность отказа практически не изменяется PJ = 5.40- Ю-5 (наиболее вероятный механизм разрушения не изменяется).
В то время как увеличение моментов сопротивления стоек второго этажа на 20% снижает вероятность отказа до PJ -1.53 Ю-5 (наиболее вероятный механизм: пластические шарниры 5, 7, 9). Если при этом увеличить момент сопротивления сечения ригеля второго этажа на 20%, то получим Рр = 5.24 1 (Г7 (механизм: 1,2,17,18).
Полученные значения PJ представляют собой вероятность отказа конструкции в течении 1 года. Определим вероятность отказа конструкции за 5, 10, 25, 50 и 100 лет. Для этого введем в расчет вместо годичных распределений максимумов снеговой и ветровой нагрузок распределения их максимальных значений за соответствующее число лет п. В таблице 5.8 и на рис.5.19 отражены результаты построения вероятности отказа за различное количество лет для исходной рамы с усечением распределения пределов текучести ат в начале координат (х0 = 0) и с усечением на расстоянии 3-х стандартов от мат. ожидания (х0 = 230.25). Так же приводится вероятность отказа за заданный промежуток времени для рамы с увеличенными на 20% моментами сопротивления сечений стоек и ригеля второго этажа (параметр усечения для <тт: х0 = 0). На рис.5.20 построена функция надежности в логарифмических координатах.