Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Исторический обзор и современное состояние теорий расчета неоднородных стержней и стержневых систем 20
1.1. Расчетные модели однородных и неоднородных стержней 23
1.2. Статика и динамика стержневых систем 33
1.3. Нелинейное деформирование стержневых систем 36
1.4. Стержневые системы в условиях ползучести 40
1.5. О технологии создания дискретно-неоднородных систем 45
Глава 2 Расчетные модели и основные соотношения для композитного стержня и стержневой системы 47
2.1. Расчетные схемы композитных стержней 47
2.2. Расчетные модели нелинейного деформирования
композитного стержня при кратковременных воздействиях 50
2.3. Основные соотношения для нелинейно-деформируемой плоской композитной стержневой системы при кратковременных воздействиях 60
2.4. Расчетные модели деформирования композитного стержня при длительных воздействиях в условиях ползучести 70
2.4.1. Построение расчетной модели композитного стержня на основе закона неустановившейся ползучести с начальным скачком деформации 72
2.4.2. Построение расчетной модели композитного стержня на основе теории упрочнения 78
2.4.3. Построение расчетной модели композитного стержня на основе наследственной теории Больцмана-Вольтерра 81
2.5. Критерии, используемые в постановках обратных задач расчета композитных стержней. Определения и формулировки 83
2.5.1. Задачи статики нелинейного деформирования композитных стержней. Общий случай 83
2.5.2. Расчетные критерии для решения задач статики композитных стержней с заданными свойствами деформирования 89 з
2.5.3. Расчетные критерии для решения динамических задач деформирования композитных стержней 90
2.5.4. Расчетные критерии для решения реологических задач деформирования композитных стержней 92
Основные выводы по главе 2 99
Глава 3 Методы решения статических задач нелинейного деформирования систем с композитными стержнями 101
3.1. Прямая задача нелинейного статического деформирования композитной системы 101
3.1.1. Метод решения задачи нелинейного деформирования композитного стержня 101
3.1.2. Алгоритм прямого расчета нелинейно деформируемой системы при стационарных воздействиях 106
3.1.3. Анализ численных результатов расчета напряженно-деформированного состояния стержней при учете физической нелинейности 107
3.2. Метод решения задач рационального проектирования нелинейно деформируемого композитного стержня на основенепрерывно-дискретных многоточечных критериев 114
3.2.1. Постановки задач 114
3.2.2. Формы записи разрешающих соотношений 120
3.3. Способ расчета несущей способности рамной системы,
составленной из жесткопластических композитных стержней 123
3.3.1. Предельные состояния сечений жесткопластических поперечно-слоистых стержней 123
3.3.2. Определение несущей способности рамной системы матричным методом предельного равновесия 125
3.4. Метод исследования процесса нелинейного деформирования и устойчивости композитных стержневых систем 131
3.4.1. Постановка и общая схема решения задачи 131
3.4.2. Определение параметров состояния системы при заданной нагруженности 137
3.4.3. Численные результаты исследования деформирования и устойчивости поперечно-слоистой рамы 140
Основные выводы по главе 3 150
Глава 4 Особенности напряженных состояний рационально профилированных поперечно слоистых стержневых систем 152
4.1. Основные соотношения для линейно деформируемого композитного стержня и плоской системы 152
4.2. Необходимые условия существования решений обратных задач, сформулированных на основе многоточечных критериев
4.2.1. Варьирование ширины слоев 166
4.2.2. Варьирование высоты слоев 169
4.3. Необходимые условия существования решений обратных задач для стержней с заданными свойствами деформирования 173
4.3.1. Варьирование ширины слоев 173
4.3.2. Варьирование высоты слоев
4.4. Исследование материалоемкости слоистых стержней 179
4.5. Решение задач рационального проектирования композитных линейно деформируемых стержней при термо-силовом воздействии 183
4.5.1. Поперечно-слоистые стержни с переменной шириной слоев 184
4.5.2. Поперечно-слоистые стержни с переменной высотой внутренних слоев 193
4.5.3. Поперечно-слоистые стержни с переменной высотой наружных слоев 1 4.6. Деформирование композитных рационально профилированных стержней при запроектных воздействиях 202
4.7. Решение обратных задач рационального проектирования композитных стержневых систем 2 4.7.1. Рациональное проектирование систем при одновариантном нагружении. Анализ численных результатов 217
4.7.2. Рациональное проектирование систем при многовариантном нагружении. Численные результаты 228
4.8. Оптимальное проектирование линейно деформируемых систем с композитными стержнями 233
4.8.1. Постановка и метод решения задачи условной оптимизации 233
4.8.2. Численные результаты оптимизации геометрических параметров слоистых стержней рамной системы 236
4.9. О решении проблемы поиска глобального минимума в многоэкстремальных задачах оптимального проектирования 240
Основные выводы по главе 4 250
Глава 5 Методы решения задач динамики композитных стержней и стержневых систем 252
5.1. Свободные продольно-поперечные линейные колебания вязкоупругого стержня 252
5.1.1. Решение на основе метода Фурье с экспоненциальной функцией времени. Матрицант 254
5.1.2. Решение методом Бубнова-Галеркина 258
5.2. Вынужденные линейные колебания композитных стержней при различных типах динамической нагрузки 262
5.2.1. Построение частного решения на основе разложений правой части уравнений движения 262
5.2.2. Построение частного решения на основе метода
Бубнова-Галеркина 266
5.3. Динамика произвольных плоских систем с композитными
стержнями 269
5.3.1. Построение численного решения прямой нелинейной задачи 269
5.3.2. Построение решения прямой линейной задачи 274
5.3.3. Динамика композитных систем с конечным числом степеней свободы масс 277
5.4. Обратные задачи динамики композитных стержней и стержневых систем 279
5.4.1. Задачи о несущей способности композитных систем при многопараметрическом динамическом воздействии 279
5.4.2. Задачи рационального проектирования динамически нагруженных композитных систем 286
Основные выводы по главе 5 298
Глава 6 Методы решения прямых и обратных реологических задач расчета композитных стержней и стержневых систем 299
6.1. Методы решения прямых задач расчета длительно нагруженных композитных стержневых систем 299
6.1.1. Напряженно-деформированное состояние и оценка срока допустимой эксплуатации металлической композитной стержневой системы на основе модели со скачком деформации ползучести. Численные результаты 299
6.1.2. Релаксация напряжений в композитной системе 305
6.1.3. Напряженно-деформированное состояние и оценки срока допустимой эксплуатации систем из вязкоупругих материалов 306
6.2. Задачи рационального проектирования длительно нагруженных композитных стержней и систем 309
6.2.1. Металлические композитные стержневые системы. Численные результаты 309
6.2.2. Композитные системы из линейно вязкоупругих материалов. Численные результаты 320
Основные выводы по главе 6 327
Заключение 328
Список литературы
- Нелинейное деформирование стержневых систем
- Основные соотношения для нелинейно-деформируемой плоской композитной стержневой системы при кратковременных воздействиях
- Анализ численных результатов расчета напряженно-деформированного состояния стержней при учете физической нелинейности
- Необходимые условия существования решений обратных задач, сформулированных на основе многоточечных критериев
Введение к работе
Актуальность проблемы. Стержневые системы являются одним из самых распространенных видов инженерных конструкций, широко используемых в качестве несущих каркасов объектов в различных областях техники, в том числе - в промышленном и гражданском строительстве. В большинстве своем они состоят из однородных элементов призматической формы, оптимизационный ресурс которых в настоящее время приближается к исчерпанию. Дальнейшее совершенствование стержневых систем требует внедрения в практику проектирования новых подходов и принципов. Наиболее существенными из них являются: а) применение неоднородных эффективных структур и б) усложнение геометрических форм, полученных в результате рационального и оптимального проектирования.
По отдельности указанные принципы имеют место в некоторых типах конструктивных решений. Так, идея усложнения форм однородных конструкций нашла свое воплощение в алгоритмах поиска оптимальной локальной геометрии с применением критерия равнонапряженности. В различных отраслях техники находят применение дисперсно- и дискретно-неоднородные системы: слоистые пластины и оболочки, комбинированные дерево-пластмассовые, дерево-металлические конструкции, композитные конструктивные элементы на полимерной, углеродной, металлической и органической основах. Вместе с тем следует отметить, что в стержневых системах неоднородные структуры используются пока крайне незначительно. В сооружениях с разделенными функциями конструкций в настоящее время назрела необходимость применения неоднородных структур не только в ограждающих, но и в несущих элементах, выполненных из набора различных конструкционных материалов.
Принципы рационального проектирования неоднородных профилированных конструкций должны строиться на непрерывно-дискретном соответствии, согласно специальным расчетным критериям, двух групп функций. В первую входят структурные параметры и функции, описывающие пространственное распределение и физические свойства неоднородной среды конструкции, а во вторую - параметры и функции ее напряженно-деформированного состояния. Полученные таким образом системы со структурой, адаптированной к напряженно-деформированному состоянию, обладают повышенной прочностью, жесткостью, долговечностью в сочетании с уменьшенной материалоемкостью в таких количественных показателях, которые уже не удается получить в классе традиционных однородных систем.
Таким образом, рассмотрение в диссертации методов расчета и всестороннего анализа новых конструкций в виде композитных систем с профилированными стержнями является актуальным и перспективным направлением исследования.
Степень разработанности темы. Главной причиной, сдерживающей внедрение неоднородных профилированных стержневых систем в практику
проектирования, является явно не достаточная степень разработанности данного направления, заключающаяся в отсутствии необходимых исследований, постановок, методов и расчетных алгоритмов решения наиболее важных практических задач: прямых и оптимизационных, в условиях статического и динамического нагружения, при учете нелинейных и реологических факторов деформирования.
Цель диссертационной работы заключается в разработке теоретических основ, практических методов и алгоритмов прямого расчета, рационального и оптимального проектирования произвольных плоских стержневых систем, составленных из композитных профилированных стержней при разнообразных внешних воздействиях, условиях работы и используемых материалах.
Основные задачи, поставленные в работе.
Разработка обобщенной расчетной модели композитной плоской стержневой системы, характеризующейся целесообразной вычислительной трудоемкостью и адекватно с заданной точностью отражающей процессы деформирования, пригодной для широкого спектра заданных воздействий, используемых материалов и внешних условий.
Выполнение постановок обратных задач рационального и оптимального проектирования на базе сформулированных непрерывно-дискретных многоточечных расчетных критериев в условиях статического и динамического деформирования при кратковременных и длительных воздействиях. Исследование условий реализации многоточечных критериев.
Разработка эффективных методов решения прямых и обратных задач статики и динамики композитных стержневых систем при мгновенном и длительном воздействии в условиях неустановившейся ползучести.
Постановка и разработка метода решения задачи нелинейной устойчивости процесса деформирования композитных стержневых систем.
На базе созданного расчетного аппарата выполнение численных исследований рациональных проектов композитных стержневых систем, анализ эффективности данных систем и предложенных методов их расчета.
Научная новизна и теоретическая значимость работы
Предложен новый подход, расширяющий существующие концепции и принципы проектирования стержневых систем, основанный на использовании неоднородных структур в сочетании с геометрическим профилированием элементов. Введен ряд новых понятий: а) непрерывно-дискретных расчетных критериев составных композитных стержней (КС), используемых в задачах статики, динамики, нелинейного деформирования и ползучести; б) КС с заданными свойствами деформирования; в) КС со смещенными центрами сечений; г) относительной нагруженности многофазного сечения, композитного стержня и системы; д) жесткостных характеристик высших порядков; е) фиктивного скачка ползучести материала и системы.
Для реализации данного подхода разработана серия непрерывно-дискретных многоточечных расчетных критериев (НДРК), позволивших
выполнить постановки обратных задач рационального проектирования композитных стержневых систем при термосиловом статическом, динамическом, многовариантном и длительном воздействии. Получены условия существования четырех типов равнокритериальных решений в задачах рационального проектирования. Разработана обобщенная расчетная модель композитной нелинейно деформируемой стержневой системы, адекватно отражающая разнообразные процессы деформирования, пригодная для широкого спектра внешних воздействий и используемых конструкционных материалов.
Раскрыты особенности проявления теории рационального проектирования КС, заключающиеся а) в наличии разрывности области существования решений, в вырождении проектируемых слоев и необходимости использования дополнительных геометрических ограничений; б) возможности использования модели стержня со смещенными центрами сечений для решения вариационных задач поиска рационального контура более простыми средствами.
Разработан метод решения задач рационального проектирования композитных систем, выполненных из произвольного набора материалов при статических, динамических, мгновенных воздействиях, позволяющийт выявлять рациональную физическую структуру и геометрические формы КС.
Предложен двухэтапный гибридный метод полной оптимизации функциональных геометрических параметров КС системы, позволяющий максимально увеличить кратность НДРК в каждом стержне и, тем самым, повысить эффективность системы в целом. На первом этапе метод содержит процедуру рационального проектирования при удовлетворении НДРК, а на втором - процедуру условной оптимизации геометрических параметров по критерию минимума функционала стоимости материалов системы.
Предложен вариант решения проблемы поиска глобального минимума в многоэкстремальных задачах оптимального проектирования. С этой целью разработан метод нахождения начальных проектов, тяготеющих к локальным экстремумам, основанный на решении вспомогательной задачи оптимизации при учете сокращенного комплекса ограничений - локальных ограничений (по прочности). Описан автоматизированный матричный алгоритм выявления полной серии начальных проектов при числе варьируемых параметров, равном числу используемых ограничений этапа рационального проектирования.
На основе двухкомпонентной реологической модели неустановившейся ползучести термочувствительных материалов, содержащей фиктивный скачок деформации, выполнены постановки и разработаны методы решения прямых и обратных задач длительной прочности и жесткости композитных систем. В их числе задачи рационального проектирования и выявления ресурса заданной композитной системы.
На основе принципа варьирования нагруженности системы разработан метод исследования устойчивости процесса нелинейного деформирования и
возникающих в этом процессе предельных состояний произвольной композитной стержневой системы.
Практическая значимость работы
Разработанные методы и расчетные алгоритмы, а также составленные на их основе программные комплексы, позволяют выполнять разнообразные практические расчеты произвольных плоских композитных систем на всевозможные воздействия. Тем самым закладывается расчетно-теоретическое обоснование для использования таких систем в качестве нового эффективного конструктивного решения для несущих каркасов инженерных объектов.
Определены пределы практического использования разработанной теории для композитных систем, содержащих стержневые элементы, изготовленные из различных материалов: металлов, древесины, конструкционных пластмасс. Одноименные физические характеристики используемых материалов не должны отличаться более чем в 50-55 раз, а отношения поперечных размеров стержней к их длинам - не превышать 0,2. Перспективность разработанной теории рационального проектирования заключается: а) в возможности получения значительной экономии расхода и стоимости материалов конструкции до 35-40%, б) в проектировании стержневых систем повышенной прочности, жесткости и долговечности, в) в создании эффективных способов усиления конструктивных элементов путем применения высокопрочных наружных слоев.
Представлены рекомендации и предложения: а) по использованию принципов рационального проектирования неоднородных элементов несущих конструкций; б) по совершенствованию методов расчета слоистых конструкций с применением древесины, заключающиеся в использовании уточненной нелинейной модели деформирования; в) по динамическому расчету сооружений башенного типа на ветровые нагрузки; г) по внедрению эффективной методики расчета стержневых систем на длительную прочность.
Практическая значимость выполненных разработок подтверждается:
поддержкой грантов Минобрнауки РФ: проект 96-21-1-7-69 «Исследование рациональной структуры армирования железобетонных панелей, плит и оболочек с целью снижения материалоемкости, повышения надежности и экономичности зданий и сооружений», руководитель Ю.В. Немировский; проект Т00-12.1-1088 «Теория мозаичного проектирования строительных конструкций», руководитель Ю.В. Немировский; проект Т02-12.1-1370 «Разработка теории гибридного проектирования стержневых строительных конструкций», руководитель Ю.В. Немировский; проект 2.1.2/4822 «Разработка теории расчета и оптимизации конструкций и систем из однородных и композитных материалов при гармонических, взрывных и сейсмических нагрузках», руководитель Г.И. Гребенюк;
грантов РФФИ: проект 05-01-0061 «Теория деформирования и повреждаемости плоских однородных и композитных преград», руководитель
б
Ю.В. Немировский; проект 07-08-00152-а «Оптимизация конструкций в условиях предельных состояний и длительной эксплуатации», руководитель И.Т. Вохмянин; проект 08-01-00046-а «Ползучесть и длительная прочность композитных конструкций», руководитель Ю.В. Немировский; проект 11-08-00186а «Реология, предельные состояния и динамика оболочек», руководитель И.Т. Вохмянин; проект 11-01-00121 «Динамика пластинчатых тонкостенных композитных преград», руководитель Ю.В. Немировский; проект 14-01-00102 «Гибридное и оптимальное проектирование конструкций», руководитель Ю.В. Немировский; проект 14-01-90400 «Исследование проблем управления тепловыми и термонапряженными полями в композитных конструкциях», руководитель Ю.В. Немировский.
Методология и методы диссертационного исследования В диссертационном теоретическом исследовании применены методы и методологические принципы: системного подхода, позволяющего раскрыть многообразие проявлений изучаемого объекта; моделирования - как способа исследования объекта, его основных свойств, законов движения и взаимодействия с внешней средой; эмпирического подхода, связанного с постановкой проверок разработанной теории. Работа характеризуется научно обоснованной постановкой проблемы исследования, которая может быть реализована практически с получением новых научных результатов, законченностью и цельностью исследования. На защиту выносится
-
Новый принцип рационального проектирования стержневых систем, основанный на совместном использовании неоднородных структур и геометрического профилирования стержневых элементов.
-
Непрерывно-дискретные многоточечные критерии расчетных предельных состояний композитных стержней при статическом и динамическом, мгновенном и длительном воздействиях и полученные на их основе необходимые условия существования решений задач рационального проектирования.
-
Двухэтапный метод решения обратных задач рационального проектирования композитных стержневых систем, основанный на процедурах с разделенными группами искомых функций, позволяющий при широком спектре внешних воздействий находить проекты систем, обладающие улучшенными показателями качества, пониженным расходом материалов, адаптированные к запроектным воздействиям.
-
Способы построения физических соотношений материала, композитного стержня и системы, основанные на аппроксимации основной компоненты тензора напряжений разложениями по базисным функциям деформации.
-
Гибридный метод условной оптимизации композитной системы с варьированием геометрии и структуры стержней, содержащий а) процедуру рационального проектирования при удовлетворении расчетных критериев и
б) процедуру оптимизации геометрических параметров по условию мини
мума функционала стоимости материалов системы.
-
Метод исследования устойчивости процесса нелинейного деформирования композитной стержневой системы, основанный на варьировании параметра нагруженности, позволяющий выявлять различные предельные состояния системы, в том числе - состояние при максимуме нагрузки.
-
Методы решения прямых и обратных задач неустановившейся ползучести композитных стержневых систем с использованием различных реологических моделей, в том числе - модели ползучести с начальным скачком деформации для термочувствительного материала.
-
Новые понятия теории расчета КС: а) непрерывно-дискретный расчетный критерий, б) стержень с заданными свойствами деформирования,
в) стержень со смещенными центрами сечений, г) относительная нагружен-
ность многофазного сечения, КС и системы, д) жесткостные характеристи
ки высших порядков, е) состояние фиктивного скачка ползучести системы.
Достоверность результатов подтверждается их соответствием решениям других авторов и экспериментам по испытанию неоднородных стержней, обоснованностью применения гипотез и математических методов, соблюдением предельных переходов и получением на основе разработанных подходов известных частных случаев, в числе которых: решения для однородных систем со стержнями постоянного и переменного сечения, решения для двух- и трехслойных стержней.
Внедрение результатов исследования подтверждено справками, выданными: ОАО Новосибирский проектно-конструкторский и научно-исследовательский институт по экологическим проблемам «ЭкоНИИпроект» (г. Новосибирск), ООО «Томский инженерный центр» (г. Томск), 000 ПЭК «РЕКОН» (г. Новосибирск), регистрацией программы ЭВМ для рационального проектирования композитных стержневых систем на основе непрерывно-дискретного критерия.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Всероссийском семинаре (с 2010 г. -конференции) «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 1996 - 2015 гг.); на 2-ом Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механика - 99» (Минск, 1999); на Международной научно-технической конференции «Проблемы научно-технического прогресса в строительстве в преддверии нового тысячелетия» (Пенза, 1999); на 16, 17, 18, 19, 23 и 24-й Межреспубликанских конференциях «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Новосибирск, 1999, 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005, Барнаул, 2013; Омск, 2015); на II Международной научно-практической конференции «Сооружения, конструкции, технологии и строительные материалы XXI века» (Белгород, 1999); на III Международном конгрессе «Ресурсо- и энергосбережение в реконструкции и новом строительстве» (Новосибирск, 2000); на Международной конференции «Оценка и обоснование продления ресурса
элементов конструкций» (Киев, 2000); на школе-семинаре, посвященной 70-летию проф. Д.Д. Ивлева «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2000); на XXX и XXXI Уральских семинарах «Неоднородные конструкции» (Екатеринбург, 2000, 2002); на Международной научно - технической конференции «Итоги строительной науки» (Владимир, 2001); на Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (Томск, 2004); на III Международной научно-технической конференции «Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте» (Самара, 2005); на 8-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2006); на Всероссийских конференциях «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2006, 2011); на V Международной научно-технической конференции «Современные проблемы машиностроения» (Томск, 2010); на Всероссийской научно-практической конференции «Строительная наука и практика» (Чита, 2010); на XV и XVI научно-методических конференциях ВИТУ «Дефекты зданий и сооружений. Усиление строительных конструкций» (Санкт-Петербург, 2011, 2012); на XVII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова, (Москва, 2011); на 65 и 66 Всероссийских научно-технических конференциях СибА-ДИ «Ориентированные фундаментальные и прикладные исследования - основа модернизации и инновационного развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплексов России» (Омск, 2011, 2012); на XI Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, МГСУ, 2014).
Диссертационная работа в целом докладывалась и обсуждалась на научных межкафедральных семинарах: Томского государственного архитектурно-строительного университета (руководитель - академик РААСН Л.С. Ляхович, Томск, 2014, 2015 гг.); Сибирского государственного университета путей сообщения (руководитель - д.т.н., проф. М.Х. Ахметзянов, Новосибирск, 2006 г.); Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ) (руководитель - д.т.н., проф. С.А. Матвеев, Омск, 2011 г.); Новосибирского государственного технического университета (руководитель - д.т.н., проф. В.Е. Левин, Новосибирск, 2011 г.); Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин) (руководитель - д.т.н., проф. В.М. Митасов, Новосибирск, 2012 г.); семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (руководитель - академик РАН Б.Д. Аннин, Новосибирск, 2012 г.); семинаре кафедры строительной механики Московского государственного строительного университета (руководитель - д.т.н., проф. В.Л. Мондрус, Москва, 2015 г.).
Публикации. Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 68 научных работах, в их числе: одна монография, 40 статей в научных изданиях, входящих в перечень ВАК для докторских диссертаций.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 421 с. состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 487 наименований и приложений.
Автор выражает благодарность научному консультанту Юрию Владимировичу Немировскому, доктору физико-математических наук, профессору, главному научному сотруднику ИТПМ им. С.А. Христиановича СО РАН за ценные советы по диссертационной работе.
Нелинейное деформирование стержневых систем
Расчету неоднородных конструкций посвящена обширная литература, связанная с именами таких ученых, как Н.А. Алфутов, С.А. Амбарцумян [9], А.Н.Андреев [10], В.И.Андреев [13], В.В. Болотин [44], Ю.И. Бутенко [51, 52], В.В. Васильев [57, 58], А.Л. Гольденвейзер [88], Э.И. Григолюк [101-104], А.Н. Гузь [106, 107], Ф.А.Коган, Р. Кристенсен, В.А. Крысько, С.Г. Лехницкий [166], А.К. Малмейстер, Ю.В. Немировский [95, 245, 252, 260, 266], И.О. Образцов, В.Н. Паймушин, Б.Л. Пелех, В.Г. Пискунов [313 - 322], А.В.Плеханов [314], Б.Е. Победря [316], А.П.Прусаков [324, 325], Е. Рейсснер, А.Р. Ржаницын, В.П. Тамуж, Г.А. Тетере [380, 381], А.А. Трещев [381], П.П.Чулков, S.C.Baxter [414], Т. S. Chow [420], R.M.Jones [442], CO. Horgan [439], Di Sciuva Marco [426], F.J. Plantema [457], J.N. Reddy [462, 468], R. Rikards [470] и многих других. В зависимости от принятых гипотез, подходов и принципов ими составлены варианты основных соотношений, даны постановки задач прочности, устойчивости, динамики композитных систем.
В силу большого многообразия подходов и методов, положенных в основу той или иной теории расчета слоистых конструкций, многообразны и способы их классификации. Известно, например, деление на непрерывно-структурные и дискретно-структурные теории; асимптотические теории; итерационные аналитические теории; теории, основанные на введении кинематических гипотез либо формальных аналитических аппроксимаций полей напряжений, деформаций или перемещений. В ряде монографий и обзоров [4, 10, 44, 52, 58, 103, 104, 106, 313, 314, 379] приведены описания различных способов выполнения классификаций.
Наиболее распространенной, очевидно, является классическая теория (прямой нормали), базирующаяся для стержней на гипотезах Бернулли-Эйлера [123, 357]. В результате их применения в стержне4 реализуется одноосное напряженное состояние при отсутствии поперечных сдвигов (у =0), деформаций обжатия (є =0) с линейным распределением продольных перемещений и(у) по всему слоистому пакету. Основное противоречие классической теории заключается в невозможности получения всех компонент напряжения, полностью удовлетворяющих определяющим соотношениям и условиям равновесия. В связи с этим компоненты поперечного нормального и касательного напряжений находятся из условий равновесия [58, 349, 369, 376]. Соотношения упругости тогда могут быть выполнены лишь для некоторого искусственного трансверсально-изотропного материала с бесконечными модулями упругости поперечной деформации и поперечного сдвига. В общем случае при произвольных характеристиках материалов в слоях, а также в окрестности сосредо 4 Далее принято, что ось х имеет продольное направление в стержне, а оси у, ZB нормальном сечении поперечно-слоистого стержня ( 2.1) расположены соответственно перпендикулярно и параллельно линиям раздела слоев. Ось у, лежащая в плоскости изгиба, является осью симметрии слоистого пакета. Перемещения по направлениям координатных осей х, у, z обозначим через и, v, w соответственно. точенных нагрузок либо устройств, стесняющих деформации, классическая теория может давать существенные погрешности в напряжениях и деформаци-ях5.
В теориях прямой линии также предполагается линейность распределения перемещений и(у), но при отклонении прямой нормали (плоского сечения) на некоторый угол - осредненный угол сдвига у х(у) = const. Впервые это было предложено СП. Тимошенко в 1921 г. и получило широкое применение в теориях расчета однородных и неоднородных конструкций.
Так, А.В. Плехановым [314] для продольных перемещений введены дополнительные слагаемые, зависящие от некоторой функции, осредненно определяющие сдвиги в сечении. Аналогичный подход для композитных колец применен А.А. Крикановым [158].
Основываясь на теории прямой линии В.В. Васильевым [58] получены основные соотношения статики, динамики и устойчивости слоистых стержней. На основе разложений перемещений в ряды Тэйлора по поперечной координате (по методу начальных функций) получены решения для погранслоя и даны оценки способов осреднения при вычислении сдвиговой жесткости. Показано, что для конструкционных материалов теория Тимошенко дает хорошие результаты при получении основного решения, а уточнение, вносимое погранс-лоем, вдали от защемления балки является, как правило, незначительным.
Преимуществом классической теории и теорий типа СП. Тимошенко является простота и независимость структуры и порядка разрешающих уравнений от числа слоев (это возможно и в других, но более сложных теориях), что для неоднородных систем является достаточно весомым фактором. При незначительных отличиях в упругих характеристиках материалов слоев дан 5 Алфутов Н.А. О некоторых парадоксах теории тонких упругих пластин // Изв. РАН. МТТ. - 1992. -№ 3; Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. РАН. МТТ. - 1992. - № 3.; Васильев В.В. К дискуссии по классической теории пластин // Изв. РАН. МТТ. - 1995. -№4; Васильев В.В. Классическая теория пластин - история и современный анализ // Изв. РАН. МТТ.-1998.-№ 3.; Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластин // Изв. РАН. МТТ. 1990. - № 2. ные теории позволили удовлетворительно описывать интегральные параметры конструкции: прогибы, частоты колебаний, усилия.
В теориях ломаной линии [101, 104] осреднение деформаций сдвига выполняется в пределах высоты каждого отдельного слоя и обусловливает дискретную переменность сдвигов по высоте сечения, что является определенным уточнением модели многослойного стержня по сравнению с теорией прямой линии, однако, достигается ценой усложнения структуры разрешающих соотношений. Вывод разрешающих систем уравнений опирается на вариационные принципы Лагранжа или Рейсснера.
В работе В.А. Фирсова, И.Ш. Гюнала и И.С. Селина [389] на основе дискретно-структурного подхода построена теория расчета многослойного плоского криволинейного стержня из ортотропных материалов с эквидистантными поверхностями раздела слоев. Выполнен учет деформаций сдвига и поперечного обжатия. Необходимый комплекс статических соотношений получен на основе вариационного принципа Лагранжа. Численно показано применение метода для выполнения прямых статических и динамических расчетов криволинейных стержней. Однако, в силу малого числа свободных геометрических параметров, данная расчетная модель стержня имеет ограниченное применение в задачах оптимизации, что также относится и к модели стержня, предложенной в [58].
Наиболее достоверно с возможностью применения расширенного спектра физических характеристик слоистого пакета, характер деформированного состояния отражают теории, так или иначе учитывающие искривление нормали [5, 10, 106, 107, 170, 304, 305, 314 и др.]. В этих теориях вводятся гипотезы, описывающие нелинейное поле перемещений, напряжений или деформаций. Одним из приемов упрощения функций перемещений 5(х,у) является аппроксимация В.З. Власова - Л.В. Канторовича в виде ряда 5(х,7) = 50.(х)Ф.(7), (1.1.1) 7=0 где &j(y) - некоторые заданные (базисные) функции, 50 .(я) - компоненты искомой функции, определенные на отсчетной поверхности (слоя или пакета). Для различных компонент перемещений де [и, v, w] число членов разложения (1.1.1) может приниматься разным. Из (1.1.1) при Ф](у) = yJ что равносильно разложению функции 5(я,у) в ряд по координате у, получим кинематическую модель Генки-Миндлина. Подобный подход для получения нелинейных кинематических соотношений применялся В.В. Васильевым [58], В.З. Власовым и Н.Н. Леонтьевым [64], В.В. Новожиловым [279]. Главным недостатком методов разложения по поперечной координате является повышение порядка разрешающих систем дифференциальных уравнений при увеличении количества членов разложений.
А.П. Прусаковым [324] посредством разложения перемещений и напряжений по функциям ДУ), Piy2), Р(У), зависящих от степеней поперечной координаты построена теория расчета однородной балки, учитывающая деформации сдвига и депланацию сечений без учета поперечного обжатия. Как частный случай из нее получается классическая теория изгиба и теория балок типа Тимошенко. В.А. Моргуновым [236] подобный подход применен к стержневым системам и изгибаемым пластинам.
В работах С.А. Лурье и Н.П. Шумовой [170], J.N. Reddy [462] продольные и поперечные перемещения в балках представлены в форме (1.1.1) с произвольными базисными функциями. С использованием вариационного подхода построена теория изгиба конечного порядка, а из условий согласованности полученной системы уравнений найдены ограничения на базисные функции. В частном случае использования функций до первого порядка включительно получается теория шестого порядка типа Тимошенко.
Основные соотношения для нелинейно-деформируемой плоской композитной стержневой системы при кратковременных воздействиях
Алгоритм, представленный на рис. 3.4.2, 3.4.3, позволяет: а) исследовать процесс нелинейного деформирования композитной стержне 140 вой системы при однопараметрическом нагружении; б) находить предел устойчивости системы с заданной точностью; в) выявлять предельные состояния системы с использованием локальных критериев; г) учитывать реальные свойства конструкции путем применения различных моделей физической и геометрической нелинейности, учета начальных несовершенств.
Исследование процесса деформирования системы на основе метода варьирования нагружености (МВН) по сравнению с методом варьирования характерного перемещения (МВП) имеет ряд преимуществ. Среди них отметим: а) простоту и формализованность выбора наиболее нагруженного сечения, в отличие от МВП, где при выборе характерного перемещения необходим качественный анализ; б) применение классической формы основных разрешающих уравнений. Это дает возможность выполнять исследование процесса деформирования на основе любых программных комплексов, пригодных для решения соответствующей прямой задачи.
На рис. 3.4.4 показана неоднородная рама, загруженная однопарамет-рической системой нагрузок. Стержни имеют двутавровое сечение с линейно-переменной в продольном направлении высотой стенки. Наружные слои -полки двутавров - выполнены из стали марки С345, а внутренние - стенки -из стали С245 (прил. 2). Требуется исследовать равновесные состояния рамы и возникающие при этом предельные состояния [200].
Принимая для материалов законы идеально упругопластического де формирования, положим в модели (2.2.34) Ек = 205 ГПа, фА0 = фй = фА2 =0; пределы текучести: os = 345 МПа - для материала полок и os = 245 МПа для стенки. На рис. 3.4.4, б, в приведены расчетные схемы рамы и поперечных сечений элементов с указанием значений постоянных параметров. Для удобства описания геометрии однородные стенки двутавров по высоте разделены на две части: h x), / = 100 мм. Переменность сечения создается линейным изменением высоты нижней части стенки (х), мм: /- є [100,300], 4 3 є [700,100], /f4 є [100,700], /"5 є [300,100] . Начало отсчета локальной продольной координаты x J элемента і - j помещено в узле с меньшим номером. Продольная дискретизация функций в стержнях выполнялась на равномерной сетке 11 расчетных сечений.
Для записи выражения нагруженности системы в каждом расчетном сечении определены параметры предельной линии (3.3.4). В трехслойных сечениях она состоит из шести параболических участков (рис. 3.4.4, г). В табл. 3.4.1 приведены параметры ап найденные при некоторых характерных значениях h2 . Нумерация секторов предельной линии Mu(N) выполнена против часовой стрелки, начиная от крайней правой точки N = Nmax.
Принятие модели идеально упруго-пластического материала дает замкнутый интервал нагруженности у є [0,1]. При различных фиксированных ее значениях вычисление параметра нагрузок Р и функций НДС для элементов рамы выполнялось по итерационной схеме (рис. 3.4.3). В табл. 3.4.2 данные итерации отражены для у = 0,96 . Здесь Ах, Ау - характерные горизонтальное и вертикальное перемещения (рис. 3.4.4, б). Деформация, кривизна и силовые факторы приведены для сечения правой стойки x = 0,l/z, расположенного в наиболее нагруженной области рамы. Критерием окончания итерационного процесса являлось достижение 0,1 % точности при вычислении Ах, А Р.
Процесс деформирования рамы при монотонном возрастании нагруженности 7 характеризуется наличием двух стадий деформирования и предельного состояния, соответствующего максимуму нагрузки рц = ДО, 972) = 13,23 кН (табл. 3.4.3). Коэффициент запаса по несущей способности составил
Влияние отношения вертикальных и горизонтальной нагрузки отраже но графиками равновесных состояний рамы, показанных сплошной линией на рис. 3.4.5. Увеличение горизонтальной нагрузки Fx приводит к снижению несущей способности при качественном сохранении характера изменения параметров напряженно-деформированного состояния. При Fx = 0 процесс деформирования идеализированной схемы носит бифуркационный характер. До критического значения ycr = 0,96 распределение деформаций, усилий и моментов в раме симметрично (Ах = 0). Затем при резком нарастании бокового смещения симметрия нарушается, и с развитием пластических деформаций происходит падение нагрузки. Используемый метод варьирования нагруженности системы позволяет показать графики состояний с привлечением характерного перемещения. Они изображены на рис. 3.4.6 сплошными линиями при различных значениях нагрузки F/P=0;l;2;4;8. В отличие от линий Ду), кривые ДА J не ограничены справа и на нисходящей ветви имеем lim А (Р) = оо.
Графики Р(АХ) равновесных состояний рамы. НЛ - нелинейное деформирования, ГЛ - расчет по недеформированной схеме
Следует заметить, что в силу существенного качественного изменения деформаций в критическом состоянии идеализированной системы при F = 145 исследование необходимо выполнять с учетом возможного появления зон разгрузки и вторичных пластических деформаций материалов, что в данном подходе не учитывалось. Однако, как это отмечалось во многих исследованиях [39, 43, 45, 50, 81, 127, 295 и др.], для устранения этого явления достаточно ввести в расчетную модель малые детерминированные несовершенства. Так, например, несовершенством силового характера может являться наличие несимметричной нагрузки, обеспечивающей естественный небифуркационный характер деформирования. К таким же результатам приводит введение несовершенств геометрического характера.
Существенное количественное и качественное влияние на напряженно-деформированное состояние оказывают факторы учета нелинейности физических и статических соотношений. Об этом свидетельствует непропорциональность изменения деформации є0, кривизны к и силовых факторов N, М (табл. 3.4.3). При малых значениях ує [0;0,5] поведение рамы близко к линейному, а по мере приближения к пределу устойчивости, и в особенности в запредельной стадии, наблюдается существенное перераспределение полей усилий и деформаций.
Если расчет рамы выполнить по недеформированной схеме без учета прогибов v(x) и углов поворота 9(х) при формировании статической AS, геометрической Aw и физической В матриц, то кривые равновесных состояний будут иметь вид штриховых линий, показанных на рис. 3.4.5, 3.4.6 и отмеченных «ГЛ». Принципиальное отличие их от кривых, полученных в нелинейной постановке, заключается в отсутствии стадии неустойчивых равновесных состояний. Наибольшая нагрузка достигается при бесконечно больших деформациях, отвечающих пластическому механизму стержневой системы. В осях Р-у это реализуется при у = 1, а при использовании Р— Ах - в случае А х — оо. Значения погрешности определения нагрузки Ри, вызванные неучетом ГН в процентах составили 5,5; 8,2; 9,9; 12,0; 13,7 для fx= 0; 1; 2; 4; 8 соответственно.
Анализ численных результатов расчета напряженно-деформированного состояния стержней при учете физической нелинейности
Деформирование при действии запроектных нагрузок качественно отражают графики на рис. 4.6.3. Трансформация границы ys(x) зон пластических деформаций при нагрузках q qr иллюстрируется графиками рис. 4.6.8. Их форма на расчетных участках практически прямолинейна, что подтверждает возможность использования в рационально профилированных балках выражения (4.6.4), устанавливающего простую связь координаты ys с нагрузкой.
Границы ys зон пластических деформаций в однородной балке с профилированной шириной под заданную нагрузку qr
В / -профилированной балке предельная нагрузка qu ниже на 21%, чем в призматической балке. Аналогично // -профилируемым балкам может быть запроектирована и Д -балка. Её очертание показано на рис. 4.6.7 линией 2. В силу рациональности распределения заданной массы материала данный проект имеет расчетную нагрузку qr2 = 2,2qrQ , предельную gu2 = 1,75 7и0 и прогиб vm2=QJ6vmQ . Упругопластическое деформирование такой балки качественно аналогично линии 2 на рис. 4.6.3, а трансформация границы пластическиъх деформаций - схеме рис. 4.6.8.
Также как и для балок с профилированной высотой, в соответствии с рис. 4.6.6 могут быть выявлены рекомендуемые проекты балок с профилируемой шириной сечений, одновременно обладающие и меньшей массой, и большей расчетной нагрузкой по отношению к исходной призматической балке. Множество таких проектов заключено между Bq- и / -проектами.
Специфичным для балок с рационально профилируемой шириной сечений при h(x) = const является расчет по методу предельного равновесия.
При расположении шести пластических шарниров на границах профилируемых и призматических участков (рис. 4.6.1, б), все восемь кинематически возможных пластических механизмов разрушения дают одинаковые предельные нагрузки для Bq- и / -проектов qul =140,3 кН/м и qu2 =309,1 кН/м соответственно. Примечательно, что данные нагрузки не изменяются и при изменении координат пластических шарниров в пределах участков одного знака кривизны оси, что позволяет для упрощения вычислений выбирать более простой и удобный пластический механизм, например, локального разрушения второго пролета [212].
Однородные балки прямоугольного сечения с кусочно-линейными законами изменения геометрических параметров (рис. 4.6.1, а, в). Исследуем балки с высотой и шириной, изменяющихся по кусочно линейным зависимостям, что, очевидно, повышает технологичность изготовления рациональных балок.
Аппроксимация высоты. На рис. 4.6.2 линия 3 отражает кусочно-линейную аппроксимацию высоты // -профилированной балки. Во всех ее сечениях условие прочности выполняется со знаком неравенства. График деформирования данной балки (линия 3 на рис. 4.6.3) располагается между графиками для призматической и рационально профилированной по НДРК балками. По отношению к //g-проекту (табл. 4.6.1) данный проект характеризуется: qr3 = qrl, qu3=l,2qul, G3=U9Gl5 vni3=0,66vml.
Трансформация границ пластических зон, при действии нагрузок превышающих расчетную, показана на рис. 4.6.9. По сравнению с рационально профилированной балкой (рис. 4.6.4) формы границ имеют более сложный характер. Для их описания обратимся к выражению (4.6.1). С учетом формулы для рационального профиля у2г (4.6.2), аналогично (4.6.3), получим формулу границы пластической зоны для балки с произвольной высотой в виде ys{q,x) = y2(x\k — fy{x) fM{4,x) (4-6.5) Здесь fy{x) = {y2rly2)2 ; функция fM введена в выражении (4.6.3), а / отражает отношение рационального расчетного профиля к реальному, в данном случае - кусочно-линейному. При у2 = у2г из (4.6.5) вытекает выражение (4.6.3) для рационально профилированной балки. Аналогично (4.6.4) при средних уровнях развития пластичности в выражении (4.6.5) можно упрощенно принять fM 1, что дает (при условии ys у2 ), позволяющую выявлять расположение зон пластических деформаций на участках балки простыми средствами без решения задачи упруго-пластического деформирования. По мере роста нагрузки погрешность формулы (4.6.6), обусловленная пренебрежением учета перераспределения усилий ( fM 1) нарастает. Однако качественная форма пластической границы и ее количественная оценка при средних уровнях развития пластичности являются удовлетворительными.
Необходимые условия существования решений обратных задач, сформулированных на основе многоточечных критериев
Допустимая область состояний системы может быть получена в результате пересечения допустимых областей, построенных для каждого стержня системы.
Для задач динамики в общем случае поверхность (5.4.7) криволинейна и имеет касательную плоскость (5.4.9). Ребру предельной поверхности соответствует разрыв в значениях отрезков (5.4.10), что обусловливается дискретностью изменения координаты у либо предельной деформации adm (переход точки в другую фазу или изменение знака деформации). Наряду с ограничениями на деформации (2.5.16), введем ограничения на обобщенные перемещения в точках с фиксированным либо устанавливаемым в ходе расчета положением [204], при учете (5.4.4) принимающие вид где 5adm, Aadm, Aadm - заданные предельные значения контролируемых величин, среди которых: 82(х2, )е - обобщенные перемещения в стержнях; Ас(0 - компонента с номером с в векторе узловых перемещений W(f); Лу(ґ) - интегральная оценка обобщенного перемещения.
Формулировки предельных по жесткости состояний. Определение 5.2. В соответствии с условием (5.4.11) в предельном состоянии динамически нагруженной композитной системы параметры нагрузок Е = [р1,...,р п ] таковы, что в критический момент времени и(Р)є [0,7] в некотором сечении х {Р) h(P)-ro стержня, ограничение (5.4.11) обращается в строгое равенство
При действии нагрузок R для всех иных точек пространства композитной системы хф х, в момент времени U и для всех точек в иные моменты времени ґФ U условие (5.4.11) выполняется со знаком неравенства.
Определение 5.3. В соответствии с условиями (5.4.12), (5.4.13) в предельном состоянии динамически нагруженной композитной системы пара метры нагрузок Е = [р1,...,рп ] таковы, что в критический момент времени и(Р)є[0, Т\ для заданной і-й компоненты вектора перемещений или і-го стержня системы ограничения (5.4.12) или (5.4.13) обращаются в строгие равенства
Фиксация направления (5.4.22) приводит к исключению параметров нагрузок из числа варьируемых в (5.4.24), в отличие от общего требования (5.4.8).
При определении координат опасных точек х?, yfl (i = \,...,nL) в стержнях используется априорная информация о характере деформирования системы. При назначении координаты yfl в композитном стержне линия эквивалентных деформаций Ч ЄДЛІ,/,/ ) должна являться внутренней касательной полигона допустимых деформаций материалов ±e(/adm(/) (- =1,---, s) После предварительного назначения координат х , у при заданном направлении (5.4.22), критическое время и устанавливается с использованием (5.4.24), выявленных форм функций эквивалентных деформаций и кривизн (5.4.4) осей стержней системы по вариантам воздействий.
При любых значениях t Ф U из интервала U є [О, Т\ система должна находиться в допредельном состоянии, т.е. давать строгое неравенство в (5.4.5).
Для установления предельной точки в пространстве Р по условию жесткости (5.4.11) выполняется поиск максимального перемещения, как функции двух переменных ій[,а для условий (5.4.12), (5.4.13) - функции одной переменной t. При этом значения предельного параметра нагрузок в заданном направлении (5.4.22) по условиям (5.4.14) - (5.4.17) находится
Отметим особенности формы предельных поверхностей (5.4.14), (5.4.17). Во-первых, это криволинейность при непрерывном изменении координаты х и времени и. Во-вторых, наличие ребер при изменении знака контролируемой величины. В-третьих, возможность получения асимптотически бесконечных значений предельных нагрузок в случае, если заданному направлению X (5.4.22) соответствует нулевое значение контролируемой величины обобщенной деформации.
В [192] рассмотрен пример исследования предельных состояний неоднородного стержня методом заданных направлений. Показаны особенности предельных поверхностей при двухпараметрическом динамическом нагру-жении.
5.4.2. Задачи рационального проектирования динамически нагруженных композитных систем
Пусть плоская система, составленная из п композитных поперечно-слоистых стержней переменного сечения, испытывает воздействие произвольных динамических нагрузок в интервале времени te [О, Т]. Среди всех геометрических функций (3.2.1), характеризующих поперечные размеры слоев две функции в каждом стержне являются искомыми ГА ( ./) 0) ( [M],iq А є [1,5]), (5.4.25) а остальные - известными.
Требуется при удовлетворении в интервале времени te [О, Т] основных матричных соотношений (2.3.19), (2.3.21), (2.3.29), (2.3.30) и динамического расчетного критерия (2.5.16), основываясь на опр. 2.4, определить в каждом стержне набор варьируемых функций (5.4.25), удовлетворяющих ограничениям (3.2.2) rAxj) r№ ( [ ]; 7 = и.,л; к = кък2) (5.4.26)
Алгоритм решения динамической задачи рационального проектирования. На рис. 5.4.1 приведена схема алгоритма, на каждом шаге которого выделены процедуры: прямого матричного решения начально-краевой задачи и определения варьируемых функций по динамическому расчетному критерию с учетом ограничений (5.4.26). В первой из них фиксируются геометрические ВФ (5.4.25) стержней системы, а во второй - функции НДС.
В блоке прямого динамического расчета анализ системы выполняется в одной из двух постановок: а) в линейной, рассмотренной в 4.3.2, с построением аналитических зависимостей параметров состояния от времени либо б) в нелинейной ( 4.3.1), основанной на шаговой процедуре Ньюмарка.