Методика учета пространственного характера сейсмического воздействия при расчете зданий и сооружений Ушаков Олег Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Современное состояние проблемы расчета зданий и сооружений на сейсмическое воздействие 10

1.1 Статическая теория сейсмостойкости Омори 10

1.2 Теория сейсмостойкости Мононобе 12

1.3 Теория сейсмостойкости Завриева 14

1.4 Спектральный метод определения сейсмических нагрузок. Теория Био 16

1.5 Определение сейсмической нагрузки для системы с п степенями свободы. Теория Корчинского 20

1.6 Определение сейсмической нагрузки в соответствии с СП 14.133330.2011 «СНиП П-7-81 Строительство в сейсмических районах» 23

1.7 Суммирование модальных откликов системы при сейсмическом воздействии 24

1.8 Метод SRSS(Square Root of the Sum of the Squares) 24

1.9 Метод DSC (RosenblueuY s Double Sum Combination)

1.10 Метод CQC (Complete Quadratic Combination) 26

1.11 Метод Гупты 27

1.12 Определение суммарного отклика в соответствии с СП 14.133330.2011 «СНиП П-7-81 Строительство в сейсмических районах» 28

1.13 Учет многокомпонентности сейсмического воздействия 29

1.14 Метод Ньюмарка. Правило 100-40-40 29

1.15 Метод Розенблюта и Контрераса. Правило 100-30-30 30

1.16 Метод CQC3 (Complete Quadratic Combination with three components) з

1.17 Метод GCQC3(Generalized Complete Quadratic Combination with three components) 33

1.18 Учет пространственного характера сейсмического воздействия для мостов 34

Выводы по главе. Цели и задачи исследования 37

ГЛАВА 2. Методы решения уравнения движения 41

2.1 Интеграл Дюамеля 41

2.2 Преобразование из временной области в частотную область 42

2.3 Численные методы

2.3.1 Метод Ньюмарка 43

2.3.2 Метод центральных разностей

2.4 Метод модальной суперпозиции 49

2.5 Отклик линейно-упругой системы с одной степенью свободы на сейсмическое воздействие 52

2.6 Отклик линейно-упругой системы с множеством степеней свободы на сейсмическое воздействие 57

Выводы по главе 60

ГЛАВА 3. Расчет систем РДМ-1, РДМ-2, РДМ-3 на сейсмическое воздействие во временной области с учетом пространственного характера сейсмического воздействия 63

3.1 Расчет отклика РДМ-1 на сейсмическое воздействие во временной области 63

3.2 Расчет откликов РДМ-2 и РДМ-3 на сейсмическое воздействие во временной области 79

Выводы по главе 85

ГЛАВА 4. Разработка методики вычисления максимального отклика конструкции с учетом пространственного характера сейсмического воздействия 87

4.1 Вычисление огибающих спектров 87

4.2 Расчет максимальных откликов РДМ-1 с использованием огибающих спектров отклика 91 4.3 Оценка погрешности при вычислении откликов РДМ-1 с использованием огибающих спектров 94

4.4 Расчет максимальных откликов РДМ-2 и РДМ-3 с использованием огибающих спектров отклика

4.5 Оценка погрешности при вычислении откликов РДМ-2 и РДМ-3 с использованием огибающих спектров 103

4.6 Сравнение разработанной методики с существующими методами суммирования 106

4.7 Расчет откликов пространственных расчетно-динамических моделей на сейсмическое воздействие с использованием огибающих спектров 108

Выводы по главе 115

Заключение 117

Список литературы

• Теория сейсмостойкости Завриева
• Преобразование из временной области в частотную область
• Расчет откликов РДМ-2 и РДМ-3 на сейсмическое воздействие во временной области
• Оценка погрешности при вычислении откликов РДМ-1 с использованием огибающих спектров

Введение к работе

Актуальность темы. Проблема расчета зданий и сооружений, расположенных в районах с сейсмической активностью, является неотъемлемой частью процесса проектирования, которую, начиная с начала XX в., решают ученые многих стран. В процессе развития теории сейсмостойкости было разработано множество зарекомендовавших себя методов определения и суммирования модальных инерционных сейсмических нагрузок для случая, когда сейсмическая нагрузка задана одной компонентой сейсмического воздействия.

Однако, в процессе совершенствования методов расчета на сейсмические воздействия и с ростом количества уникальных и особо опасных зданий и сооружений, в том числе атомных станций, практика показала необходимость учета пространственного характера сейсмического воздействия. В настоящий момент в отечественных нормах по сейсмостойкому строительству отсутствуют рекомендации по учету пространственного характера сейсмического воздействия, предписывая рассчитывать конструкцию раздельно на каждую из компонент сейсмического воздействия, игнорируя при этом корреляцию между откликами конструкции. Учитывая данный факт, инженер при расчетах должен использовать методы, рекомендованные нормативными документами других стран. Основные методы суммирования по компонентам сейсмического воздействия для расчета суммарного отклика конструкции с учетом пространственного характера сейсмического воздействия, «Корень квадратный из суммы квадратов» (SRSS) и «100-40-40», используемые на сегодняшний день при проектировании атомных станций, были разработаны Н.М. Ньюмарком еще в 1975 г. Основным недостатком данных методов является то, что при задании одинакового исходного сейсмического воздействия, суммарный отклик конструкции, посчитанный при использовании данных методов, будет отличаться.

Таким образом, немалую актуальность приобретает разработка методики расчета суммарного отклика конструкции с учетом пространственного характера сейсмического воздействия в рамках линейно-спектральной теории, поскольку на сегодняшний день линейно-спектральная теория является основной теорией при расчете зданий и сооружений на сейсмические воздействия.

Степень разработанности. Теоретическими исследованиями в области оценки инерционных сейсмических на сооружения нагрузок занимались Ф.Омори, Н. Мононобе, К.С. Завриев, К. Сюэхиро, X. Нейман, М. Био, Дж. Хауз-нер, Г. МаКГКан, Р. Мартел, Дж. Элфорд, И. Л. Корчинский, А. Г. Назаров, С. В. Поляков, А. Николаенко, Е. С. Сорокина.

Разработкой методов суммирования модальных инерционных сейсмических нагрузок занимались Л.Е. Гудман, Э. Розенблют, Н.М. Ньюмарк, Д. Элордай, Е.Л. Вилсон, А. Дер Кюрегян, А.К. Гупта.

Разработкой методов суммирования по компонентам сейсмического воздействия занимались Н.М. Ньюмарк, Э. Розенблют, X. Контрерас, В. Смеби, А. Дер Кюрегян, Дж. Эрнандез, О. Лопез.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является разработка в рамках линейно - спектральной теории новой методики суммирования по компонентам сейсмического воздействия откликов конструкции, полученных с использованием огибающих спектров отклика, с учетом пространственного характера сейсмического воздействия, заданного трехкомпонентной акселерограммой.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Выполнение сравнительного анализа численных методов решения уравнения движения при задании сейсмического воздействия акселерограммами землетрясений.

2. Выполнение расчетов во временной области линейно-упругой системы с множеством степеней свободы на сейсмическое воздействие, заданное в виде трехкомпонентной акселерограммы.

3. Выполнение сравнительного анализа полученных результатов с результатами, полученными при использовании существующих методов суммирования откликов.

4. Разработка алгоритма вычисления максимального и минимального огибающих спектров отклика ускорений сейсмического воздействия.

5. Разработка в рамках линейно - спектральной теории новой методики суммирования откликов конструкции для учета пространственного характера сейсмического воздействия, заданного трехкомпонентной акселерограммой.

6. Выполнение сравнительного анализа результатов расчета, полученных при использовании разработанной методики суммирования откликов, с результатами расчетов, полученных при решении во временной области и при использовании существующих методов суммирования.

Научная новизна работы:

7. Введено понятие максимального и минимального огибающего спектра отклика ускорений землетрясения и разработан алгоритм вычисления минимального и максимального огибающего спектра отклика ускорений с учетом пространственного характера сейсмического воздействия.

8. Разработана методика расчета максимального и минимального отклика системы с учетом пространственного характера сейсмического воздействия с использованием вычисленных огибающих спектров отклика ускорений.

З. Разработана методика расчета суммарного отклика конструкции с учетом пространственного характера сейсмического воздействия применительно к симметричным и несимметричным зданиям и сооружениям с простыми конструктивно-планировочными решениями.

Теоретическая и практическая значимость работы:

9. В диссертации разработана методика расчета максимального, минимального и суммарного отклика системы с учетом пространственного характера сейсмического воздействия.

10. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы:

ООО «ПСК «Доминанта» при проектировании небоскреба «Башня «Исеть», расположенного в проектируемом деловом квартале «Екатеринбург-СИТИ» г. Екатеринбурга;

000 «УК «Уралэнергострой» при выполнении поверочных расчетов конструкций подвесок воздуховодов 4 Блока Белоярской АЭС.

3. В диссертации разработан алгоритм вычисления максимального и минимального огибающих спектров отклика ускорений землетрясения, позволяющий учесть пространственный характер сейсмического воздействия. Разработанный алгоритм может быть внедрен в различные расчетные комплексы для автоматизации процесса вычисления огибающих спектров ускорений. На текущий момент разработанный алгоритм принят к внедрению в ПК Лира 10.4 000 «ЛИРА Софт»

4. Отдельные части диссертационной работы внедрены в учебный процесс ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» для студентов направления подготовки «Строительство уникальных зданий и сооружений».

Методология диссертационного исследования основана на трудах отечественных и зарубежных ученых в области теории сейсмостойкости, динамики зданий и сооружений. В диссертации использованы апробированные методы динамической теории сейсмостойкости для оценки инерционных сейсмических нагрузок, численные методы для решения уравнения движения при задании сейсмического воздействия акселерограммами землетрясений.

На защиту выносятся:

1. Алгоритм вычисления минимального и максимального огибающих спектров отклика землетрясения, заданного трехкомпонентной акселерограммой.

2. Сравнительный анализ результатов расчета при определении максимального и минимального отклика систем с множеством степеней свободы по линейно-спектральной теории с использованием огибающих спектров отклика ускорений с результатами, полученными при решении во временной области.

3. Результаты расчета максимального и минимального отклика систем с множеством степеней свободы с использованием огибающих спектров отклика ускорений.

4. Методика расчета суммарного отклика конструкции с учетом пространственного характера сейсмического воздействия.

5. Сравнительный анализ результатов расчета, полученных при использовании разработанной методики суммирования откликов, с результатами расчетов, полученных при решении во временной области и с использованием существующих методов суммирования откликов.

Достоверность результатов достигается:

1. Использованием при постановке задач гипотез, принятых в механике деформируемого твердого тела, строительной механике и теории надежности строительных конструкций.

2. Применение при расчетах современных апробированных численных методов.

Личный вклад автора заключается в следующем: самостоятельно был выполнен обзор существующих методик учета пространственного характера сейсмического воздействия при расчете зданий и сооружений отечественными и зарубежными специалистами; разработана методика вычисления огибающих спектров отклика при задании сейсмического воздействия трехкомпонентными акселерограммами; написан макрос для вычисления огибающих спектров отклика на встроенном языке программирования программного комплекса ANSYS - ANSYS Parametric Design Language(APDL); по результатам сравнения результатов, полученных при использовании огибающих спектров отклика, с результатами, полученными при решении во временной области, автором предложена методика учета пространственного характера сейсмического воздействия для симметричных и несимметричных в плане конструкций, у которых центр масс совпадает с центром жесткостей.

Апробация работы. Основные положения диссертации представлены на следующих конференциях:

Всероссийская конференция по проблемам науки и технологий, Миасс, 2011г.

Региональная конференция УрОАСВ «Строительство и образование», Уральский федеральный университет, Екатеринбург, 2011 г.

14ш International conference on computing in civil and building engineering (14thICCCBE), Moscow, 2012 r.

Региональная конференция УрОАСВ «Строительство и образование», Уральский федеральный университет, Екатеринбург, 2013 г.

Публикации. Основное содержание работы отражено в 6 опубликованных статьях, в их числе 3 статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 181 странице машинописного текста. Она состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и 5 приложений. В работе содержится 128 иллюстраций, 52 таблиц. Библиографический список включает 81 наименование.

Теория сейсмостойкости Завриева

В настоящее время основным документом для проектирования зданий и сооружений, возводимых на площадках с сейсмичностью 7,8,9 баллов, является СП 14.13330.2011 «СНиП П-7-81 . Строительство в сейсмических районах»[20,22]. В соответствии со [22], расчетная сейсмическая нагрузка S/fc по направлению обобщенной координаты с номером j, приложенная к точке к расчетно-динамической модели (РДМ) и соответствующая /-й форме собственных колебаний зданий и сооружений, определяется по формуле SL = KoKisiik- (1.25) где К0- коэффициент, учитывающий назначение сооружения и его ответственность; Кг- коэффициент, учитывающий допускаемые повреждения зданий и со 24 оружений; SQik- значение сейсмической нагрузки для /-й формы собственных колебаний здания или сооружения, определяемое в предположении упругого деформирования конструкции по формуле

Поскольку вклад в суммарный отклик большинства систем при землетрясении вносили не только основные [34], но высшие формы колебаний, помимо расчета сейсмических нагрузок, соответствующих /-й форме собственных колебаний, следует выполнять процедуру сложения модальных откликов системы. Поскольку в рамках спектральной теории по заданному спектру возможно определить только максимальные значения сейсмических нагрузок, соответствующих /-й форме собственных колебаний, а не распределение этих максимумов во времени, разработанные методы суммирования могут определить наиболее вероятный суммарный отклик. В разные годы над разработкой методов суммирования модальных откликов трудились Н.М. Ньюмарк [64,65,66,67,68], Э. Розен-блют[43,64,38], Д. Элордай[38], А.К. Гупта[49], Е.Л. Вилсон[80], А. Дер Кюре-гян[37] и др.

В 1953 г. Л.Е. Гудман, Э. Розенблют и Н.М. Ньюмарк предложили метод [44] для определения суммарного отклика системы с многими степенями свободы при расчете на сейсмическое воздействие. Согласно методу SRSS [44], суммарный отклик конструкции, при расчете на сейсмическое воздействие, вычисляется в соответствии с выражением где Rr модальный отклик конструкции, соответствующий /-й форме собственных колебаний. На сегодняшний день метод SRSS является одним из самых распространенных методов для нахождения суммарных модальных откликов конструкции и представлен во многих нормативных документах различных стран [20, 22, 17, 39, 43,42,28]. При вычислении суммарного отклика по формуле (1.27), считается, что максимальные модальные отклики конструкции при землетрясении Rt, Rt+1, Rn являются статически независимыми друг от друга. 1.9 Метод DSC ( Rosenbluetlfs Double Sum Combination)

В 1969 г Э. Розенблют и Д. Элордай [64] впервые предложили значительный математический подход для оценки корреляции модальных откликов при спектральном анализе. Метод основан на применении теории случайных вибраций, используя белый шум конечной длины для представления сейсмического воздействия они предположили, что для конструкций, у которых две и более частоты собственных колебаний приблизительно равны друг другу, метод суммирования SRSS [44] дает неправильные результаты. Согласно методу Э. Розенблюта и Д. Элордая [64], суммарный отклик конструкции вычисляется в соответствии с выражением

В 1981 г Е.Л. Вилсон и А. Дер Кюрегян[80] для вычисления максимального отклика конструкции при сейсмическом воздействии предложили использовать метод CQC(Complete Quadratic Combination). Данный метод так же основан на применении теории случайных вибраций, но для представления сейсмического воздействия Е.Л. Вилсон и А. Дер Кюрегян использовали белый шум бесконечной продолжительности. Аналогично методу [64], Е.Л. Вилсон и А. Дер Кюрегян утверждали, что для конструкций, у которых частоты собственных колебаний расположены близко к друг другу, метод суммирования SRSS [44] дает неверные результаты. В соответствии с правилом CQC[80], суммарный отклик вычисляется в соответствии с выражением

Стоить отметить, что метод CQC[80] похож на метод, предложенный Э. Ро-зенблютом и Д. Элордаем[64]. Отличие данных методов состоит в том, что при вычислении суммарного отклика конструкции, при вычислении корреляционного множителя stj, в методе CQC[80] не используется продолжительность сейсмического воздействия, что является ощутимым преимуществом данного метода. 1.11 Метод Гупты В 1983 г А.К. Гупта[49,47,50] предложил метод, основанный на разделении динамического отклика конструкции на две составляющие: жесткий Rr и периодический Rp . При этом, суммарный отклик конструкции находился при помощи методу SRSS[44] в соответствии с выражением (1.39) где Samax, Svmax- спектральные ускорение и скорость соответственно; fzpa-частота нулевого периода(частота, после которой рассматриваемая конструкция ведет себя в соответствии с теорией Ф. Омори[61], т.е. как абсолютно жесткое тело); -корреляционный множитель, вычисляемый в соответствии с методом CQC[80].

В настоящее время в СП 14.13330.2011 «Строительство в сейсмических районах» [22] для нахождения суммарного модального отклика конструкции, аналогично методу SRSS[44], используются следующее выражение где Rt- отклик конструкции соответствующий /-й форме собственных колебаний. Для конструкций, у которых периоды колебаний /-й и (i + 1)-й формы собственных колебаний отличаются менее чем на 10%, максимальный модальный отклик конструкции вычисляется с помощью метода 10% [79], который является вариацией метода DSC[64]. Суммарный отклик конструкции вычисляется в соответствии с выражением

Стоить отметить, что, в отличии от метода DSC[64], где при вычислении корреляционного множителя используется выражение (1.32), в выражении (1.42), для простоты вычислений, корреляционный множитель принимает всего два значения, в зависимости от собственных частот колебаний сооружения.

В процессе совершенствования методов расчета на сейсмические воздействие, и с ростом количества уникальных зданий и сооружений, в том числе атомных станций, появилась необходимость учета многокомпонентности сейсмического воздействия. Таким образом, в процессе проектирования конструкций, расположенных в районах с сейсмической активностью, помимо расчета и суммирования инерционных сейсмических нагрузок на конструкцию при помощи методов, описанных ранее, необходимо выполнять процедуру суммирования модальных откликов, полученных в результате расчетов на каждую из компонент сейсмического воздействия. Процесс суммирования модальных откликов конструкции на соответствующие компоненты сейсмического воздействия и использование этих результатов в комбинациях с другими загружениями является основополагающей частью проектирования сейсмостойких зданий и сооружений.

Проблемой расчета суммарного отклика конструкции со многими степенями свободы при воздействии на него многокомпонентного сейсмического воздействия занимались такие ученые как: Э. Розенблют, Д. Эллордай[74], Н.М. Нью-марк, X. Контрерас, А. Дер Кюрегян, Е.Л. Вилсон, А.К. Гупта[46,48] и др.

Преобразование из временной области в частотную область

Стоить отметить, что классический метод решения целесообразен, когда возмущающая сила Pof(t) определена аналитически с помощью известной функции, что позволяет аналитически вычислить интеграл, входящий в состав выражения (2.5). При задании возмущающей силы Pof(t) численными значениями на промежутках времени т, интеграл в выражении (2.4) может быть вычислен только численными методами.

Суть данного способа решения сводится к тому, что посредством того или иного интегрального преобразования переходят от дифференциальных уравнений к вспомогательных алгебраическим, находят их решения, а затем из них с помощью обратного преобразования получают решения исходных уравнений. Методы преобразования Лапласа и Фурье являются мощными инструментами динамического анализа, которые представляют решение уравнения (2.1) в частотной области.

Процесс обратного преобразования определяется выражением У(0 = j Н {i p)pQ{i p)ei(ptd p. (2.7) где H(i(p)- сложная функция частотного отклика, описывающая отклик системы при гармоническом возмущении. Метод преобразования Фурье пригоден для динамического анализа, когда внешняя возмущающая сила Pof(t) описана численно. Для данного случая, интегралы в выражениях (2.6) и (2.7) вычисляются при помощи алгоритма быстрого преобразования Фурье, разработанного в начале 1960-х.

Выражения (2.6) и (2.7) отражают частотную область данного динамического метода. Выражение (2.6) позволяет получить амплитуды pQ(i(p) всех гармонических компонент, которые образуют внешнюю возмущающую силу Pof(t). Выражение (2.7) позволяет получить отклик системы на каждую из компонент внешней возмущающей силы Pof(t) и затем, используя метод суперпозиции для гармонических откликов системы, получить отклик y(t).

В случае если внешняя возмущающая сила Pof(t) изменяется во времени произвольно, не подчиняясь какому либо закону, аналитическое решение интеграла Дюамеля, входящего в состав выражения (2.5), найти не возможно. В таком случае, для решения уравнения (2.1) используется численные пошаговые методы для интегрирования уравнения (2.5), такие как метод Ньюмарка [62], метод центральных разностей [29], метод Хауболта[53],#-метод Вилсона[29], метод Хилбе-ра-Хьюза-Тэйлора[51], известный как ННТ-а метод[51], метод Рунге-Кутты и др.

В 1959 г Ньюмарк [62] разработал семейство пошаговых методов для описания состояния системы в момент времени tn+1 = tn + At. Поскольку для описания состояния системы в момент времени tn+1 необходимо вычислить состояния системы в текущий и последующий моменты времени tn и tn+1 соответственно, метод Ньюмарка является неявным (implicit method). Состояние системы в момент времени tn+1 = tn + At, с учетом его состояния на момент времени tn, может быть описано в соответствии с выражением где интегралы в выражении (2.10) и (2.11) представляют собой остаточные члены серии Тейлора первого и нулевого порядка соответственно, т-переменная интегрирования.

Вычисляя остаточные члены выражений (2.10) и (2.11) необходимо найти приближенные значения ип+1 и йп+1. Для этого необходимо, с помощью выражения (2.9), найти значение й(т) на нижней и верхней границе интервала [tn; tn+1] в соответствии с выражением:

Учитывая факт, что At в общем случае принимает очень маленькие значения, членами выражения (2.19), содержащими At более чем во второй степени, и членами выражения (2.18), содержащими At более чем в первой степени, можно пренебречь. Таким образом, выражения для скорости и перемещений в конце шага интегрирования запишутся следующим образом, соответственно: йп+1 =йп + (1- y)Atun + /Atun+1; (2.20) un+1 =ип+ Atun + (- - /?J At2un + /?At2un+1, (2.21) где константы у и /?- параметры квадратурной формулы; параметр у — весовой множитель влияния ускорения в моменты времени tn и tn+1 на приращение скорости; параметр /?- весовой множитель влияния ускорения в моменты времени tn и tn+1 на приращение перемещений.

Очевидно, что у принимает значение в интервале [0,1], /? принимает значение в интервале [0,1/2]. Данные параметры определяют изменение ускорения во время шага At, характеристики рассеивания энергии (точность) и стабильность метода.

В зависимости от значений, которые принимают параметры у и /?, существуют различные схемы, представленные в таблице 2.1.

Метод центральных разностей основан на аппроксимировании скорости и ускорения частными конечной разности известных значений перемещений на постоянных промежутках времени. Поскольку для описания системы в момент времени tn+1 необходимо вычислить состояние системы в предыдущий момент времени tn, метод центральных разностей является явным (explicit method).

Выражение (2.33) представляет собой систему п связанных уравнений. В общем случае, связанные уравнения могут быть решены только численными ме-тодами[51,62,70,31,29,53,55,35,81]. В случае, если система является линейной, решение системы связанных уравнений может быть значительно упрощено учитывая свойство ортогональности главных форм колебаний. Данное упрощение заключается в использовании так называемых «нормальных координат» вместо геометрических координат. Данное преобразование разбивает систему п связанных уравнений, чтобы получить п независимых уравнений, которые описывают систему с п степенями свободы. Точный динамический оклик системы в исходных геометрических координатах может быть получен из суперпозиции откликов каждой нормальной координаты.

Любой набор п ортогональных векторов может служить базисом для представления любого вектора n-ого порядка. Таким образом, вектор перемещений у может быть получен методом суперпозиции из форм колебаний, каждая из которых отмасштабирована путем умножения на специальный коэффициент (рис. 2.3).

Расчет откликов РДМ-2 и РДМ-3 на сейсмическое воздействие во временной области

Метод модальной суперпозиции основан на факте о том, что, для определенных типов демпфирования [70], которые являются подходящими моделями для систем, п связанных уравнений движения системы с п степенями свободы могут быть преобразованы в набор п несвязанных уравнений, используя преобразование в пространство модальных или нормальных координат. В данном пространстве, каждая форма соотносится со своей формой колебаний ф , чистотой колебаний (pi и демпфированием f;. После преобразования системы в модальные координаты, суммарный отклик конструкции, получаемый путем суммирования п откликов системы с одной степенью свободы, может быть получен во временной или частотной области.

Рассмотрим отклик линейно-упругой системы (рис. 2.4) с одной степенью свободы, состояние которой описывается дифференциальным уравнением второго порядка (2.1), на сейсмическое воздействие. Решение уравнения (2.1) произведем во временной и частотной областях.

Акселерограмма сейсмического воздействия Расчеты будем производить при помощи методов, описанных ранее: - спектральный метод (частотная область); - решение с помощью метода центральных разностей[70]; - решение с помощью метода ННТ-а[51]; - решение с помощью метода модальной суперпозиции[70]. Под откликом системы будем принимать значение изгибающего момента в заделке. Жесткостные и частотные характеристики рассматриваемой системы представлены в таблице 2.2.

При расчете в частотной области спектральным методом, значение изгибающего момента в заделке вычислим по следующей формуле М = Sk l, (2.46) где Sk -инерционная сейсмическая нагрузка, приложенная к массе т; I - длина стойки. Инерционная сейсмическая нагрузка вычисляется по следующей формуле: Sk = та, (2.47) где а- ускорение, принимаемое по графику спектра отклика одномассового осциллятора для собственной частоты системы / = 1.797 Гц. Таким образом, изгибающий момент в заделке равен М = Sk l = таї = 1000 8.82 6 = 5.4 т м. Для расчета рассматриваемой системы методом центральных разностей воспользуемся программным комплексом ПК Лира 10.2. Шаг интегрирования At примем равным шагу оцифровки акселлелограммы. Таким образом, диапазон частот, учитываемых при расчете, будет равен: 0 / 7 или / Ю(Гц). (2.48) Учитывая выражение (2.48), шаг интегрирования At = 0.005 с является оптимальным шагом интегрирования как для описания кривой исходного сейсмического воздействия, так и для представления отклика конструкции.

Результаты расчета системы, изменение изгибающего момента М во времени , представлены на рисунке 2.7.

Результаты расчета системы методом центральных разностей Выполним аналогичные расчеты методом ННТ-а и методом модальной суперпозиции. Расчет будем выполнять в программном комплексе ANSYS 14.5. Шаг интегрирования At примем как и в предыдущем расчете, равным 0.005 с. Результаты расчета методом ННТ-а и методом модальной суперпозиции представлены на рисунке 2.8 и рисунке 2.9 соответственно. 18 Время,с

Рассмотрим отклик линейно-упругой (рис. 2.11) системы с множеством степеней свободы, состояние которой описывается дифференциальным уравнением (2.33), на сейсмическое воздействие, аналогичное предыдущему расчету. Аналогично расчетам линейно-упругой системы с одной степенью свободы, расчеты будем выполнять во временной и частотной областях.

Поскольку частоты собственных колебаний системы отличаются друг от друга более чем на 10%, при расчете системы спектральным методом, при суммировании модальных откликов системы будет использоваться метод SSRS[44]. Для того, чтобы при расчете численными методами, использующими прямое интегрирование уравнения движения (2.33), учесть все формы колебаний, шаг интегрирования должен быть менее

Результаты расчета линейно-упругой системы с множеством степеней свободы представлены на рисунке 2.12. Максимальные по модулю значения изгибающих моментов, полученных в результате расчета линейно-упругой системы на сейсмическое воздействие, представлены в таблице 2.5.

Сводный график результатов расчета системы с множеством степеней свободы При расчете по линейно спектральной теории, значения модальных откликов соответственно составило: St = 8.3557 т м, S2 = 1.7261 т м, S3 = 0.2103 т м. Для нахождения максимально возможного суммарного отклика предположим, что максимумы модальных откликов достигаются одновременно. Вычислим максимально возможный суммарный отклик в соответствии с выражением $тах = I Si I + \$21 + \$31- (2.50)

Наличие «паразитных» форм собственных колебаний при расчете методом центральных разностей по сравнению с методом модальной суперпозиции - при расчете системы с множеством степеней свободы, метод центральных разностей, реализованный в ПК Лира 10.2, значение суммарного отклика превышает значение максимально возможного суммарного отклика Smax, чего быть не может; - для нахождения отклика линейно-упругой системы с множеством степеней свободы, метод модальной суперпозиции является наиболее приемлемым, так как он основан на результатах предшествующего ему модального анализа. Таким образом, на стадии выполнения модального анализа можно отсечь «паразитные» формы колебаний, путем уменьшения учитываемых при расчете форм колебаний системы; - метод ННТ-а[51], который является модификацией метода Ньюмарка [62], так же может быть использован для нахождения отклика системы с множеством степеней свободы, поскольку при решении данным методом вводится дополнительное «численное» демпфирование, которое отсекает «паразитные» формы ко-лебаний[76,75,78]. Однако по сравнению с методом модальной суперпозиции он требует больших вычислительных ресурсов, поскольку для детального описания отклика конструкции необходим довольно маленький шаг интегрирования At. Так же, поскольку этот метод является неявным[70], в процессе решения уравнения (2.33) необходимо выполнять дополнительные итерации, что в свою очередь увеличивает время счета; - в отличии от спектрального метода, результатом которого является максимальный по модулю отклик системы, при решении уравнения (2.33) во временной области численными методами [51,62,70] мы получаем распределение отклика системы во времени, что дает нам возможность для оценки корреляции между компонентами сейсмического воздействия.

Учитывая вышесказанное, при расчете линейно-упругих систем на сейсмическое воздействие, заданное в виде трёхкомпонентных акселерограмм, будет использоваться метод модальной суперпозиции и спектральный метод, реализованные в программном комплексе ANSYS 14.5» [26]. При решении методом модальной суперпозиции будет использован метод вынужденного смещения(« enforced motion method»)[26].

Оценка погрешности при вычислении откликов РДМ-1 с использованием огибающих спектров

Анализируя данные, представленные на рисунке 3. 27 и рисунке 3. 28, можно сделать следующие выводы: напряжения (Jioo-30-зо, полученные при расчете методом «100-30-30», используемом в EN 1998-1 [39], превосходят напряжения ойте domain, полученные при расчете во временной области, лишь при некоторых углах в; напряжения crsrss, полученные при расчете методом «SRSS», превосходят напряжения оцте domain, полученные при расчете во временной области, при любом угле воздействия в, при этом зачастую переоценивая значения напряжений. Выводы по главе Анализируя данные, полученные в результате расчета симметричных и не симметричных линейно-упругих систем с множеством степеней свободы во временной области, можно сделать следующие выводы:

Установлено, что метод расчета зданий с простыми конструктивно планировочными решениями, предложенная в СП 14.13330.2011 [22], когда ком 86 поненты сейсмического воздействия учитываются раздельно друг от друга, не обеспечивает требуемого уровня сейсмостойкости рассматриваемой конструкции, поскольку дает сильно заниженные результаты расчета по сравнению с результатами, полученными при решении во временной области;

Установлено, что для симметричных зданий с простыми конструктивно-планировочными решениями суммарный отклик принимает постоянное значение независимо от угла в, что опровергает предпосылки, заложенные в методы суммирования CQC3[77] и GCQC3[52];

Установлено, что напряжения owo-зо-зо, полученные при расчете методом «100-30-30», используемом в EN 1998-1[39], превосходят напряжения Otimedomain, полученные при расчете во временной области, лишь при некоторых углах воздействия в;

Установлено, что напряжения asrss, полученные при расчете методом «SRSS», превосходят напряжения о„те domain, полученные при расчете во временной области, при любом угле воздействия в, переоценивая их;

Установлено, что наиболее надежным методом, обеспечивающим сейсмостойкость конструкции при любом угле воздействия, является метод, используемый в НП 031-01 [17]. Данное обстоятельство можно объяснить тем, что данный нормативный документ используется при проектировании сейсмостойких атомных станций, повреждения и разрушения которых во время землетрясения могут вызвать экологическую катастрофу глобального масштаба [5,3,4,2]; На сегодняшний день, для нахождения наиболее неблагоприятного направления сейсмического воздействия можно воспользоваться одним из следующих методов: - определение критического угла всъ при котором отклик конструкции принимает максимальное значение, существующими методами [73, 77, 25, 59, 52, 58, 57, 14,15]; - выполнить расчеты во временной или частотной областях при различных углах воздействия в при задании сейсмического воздействия акселерограммами землетрясений.

В первом из предложенных методов необходимо вычислять критический угол вст при помощи громоздких выражений (1.58). Однако, анализируя данные, полученные в результате расчетов во временной области, как уже было сказано ранее, при любом угле воздействия в, максимальный суммарный отклик конструкции Mtotal принимает постоянные значения (табл. 3.2), что противоречит предпосылкам, заложенным в методах [73,77,25,59,52,58,57].

Во втором случае, для достижения необходимого уровня надежности, чтобы не пропустить угол воздействия в, при котором достигается максимальный отклик Mtotah необходимо рассмотреть достаточно большое количество углов воздействия в, что существенно увеличивает количество выполняемых расчетов.

Для нахождения максимального отклика конструкции рассмотрим следующий метод, для чего введем понятие огибающего спектра отклика S lope.

Под огибающим спектром S lope будем принимать спектр отклика, полу ченный выборкой максимальных значений ординат спектров отклика Sgn при различных частотах fn, соответствующих различным углам воздействия в.

Для нахождения минимального отклика конструкции введем понятие огибающего спектра отклика Selope. Под огибающим спектром Selope будем принимать спектр отклика, полученный выборкой минимальных значений орди-нат спектров отклика Sgn при различных частотах fn, соответствующих различным углам воздействия 9.

При использовании огибающих спектров S xlope и S%jjelope в качестве исходной сейсмологической информации для расчета можно автоматически учесть тот факт, что сейсмическое воздействие может иметь произвольное направление в пространстве. Таким образом, для нахождения максимального отклика конструкции нам не нужно выполнять множество расчетов во временной области, изменяя направление сейсмического воздействия относительно конструкции, либо вычислять угол воздействия в, при котором отклик конструкции принимает свое максимальное значение.

Используя огибающие спектры S lope и Seiope в качестве исходной сейсмологической информации для расчета в рамках спектральной теории требуется выполнить всего один расчет, чтобы вычислить максимальные и минимальные значения откликов конструкции соответственно.

Рассмотрим случай, когда сейсмическое воздействие представлено двумя ортогональными горизонтальными компонентами Sx и Sy одновременно (рис.3.25,в). Из рисунка 3.24 видно, что наибольшие напряжения о-зависят от соотношения откликов Мх и My. Если отклик Мх или Му принимает значение равное М 1оре, то напряжения а принимают минимальное значение. В то же время, анализируя данные представленные в таблице 2.4., можно заметить, что напряжения а достигают своего максимального значения при угле 9, принимающем значения 55 и 145, когда Мх « My. Учитывая данное обстоятельство, и то, что суммарный отклик конструкции не зависит от угла в, для нахождения откликов Мх и Му, соответствующих наибольшим напряжениям а, решим следующую систему уравнений: