Введение к работе
Актуальность темы. Расчет на устойчивость, как известно, является одним из важнейших элементов расчета при проектировании тонкостенных оболочечных конструкций в различных областях техники: судостроении, ракетостроении, строительстве, машиностроении и т.д.
Первые фундаментальные результаты в направлении решения задач устойчивости оболочечных конструкций были получены в начале девятнадцатого века. Появление и развитие новых направлений в науке и технике предопределили интерес к этой теме, и число публикаций, связанных с проблемами устойчивости, в настоящее время растет с каждым годом. Их анализ показывает, что актуальными являются исследования, связатше с определением области устойчивости параметров, с прояснением качественной картины механизма потери устойчивости. Причем здесь удачно сочетаются и дополняют друг друга теоретические разработки, основанные на аналитических методах, методах функционального анализа, топологических методах, и исследования, основанные из привлечении численных методов. Эта взаимосвязь прослеживается и в данной диссертации.
Известный метод В.В. Петрова - метод последовательного возмущения параметров - дает эффективную численную реализацию схемы Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Этот метод нашел широкое применение при численном расчете напряженно-деформированного состояния, прочности, устойчивости и долговечности конструкций, эксплуатирующихся в условиях не только воздействия нагрузок, но и поздействия агрессивных сред.
В данной работе рассматриваются теоретические приложения метода последовательного возмущения параметров, а именно, развивая идеи этого метода, автор предлагает новую методику линеаризации в задачах расчета динамической устойчивости оболочечных конструкций. Эта методика, которую в дальнейшем будем называть "линейной аппроксимацией по отдельным параметрам", позволила теоретическим путем получить новые результаты для достаточно широкого класса нелинейных моделей пластин и оболочек в задаче определения области устойчивости параметров и в задаче определения скорости сходимости проекционных методов, в частности, широко применяемого при численном решении задач устойчивости пластин и оболочек метода Бубнова-Галеркина. Теоретические исследования дополняются в работе численным экспериментом.
'Цель работы:
разработка и математическое обоснование методики линеаризации уравнений, которая позволяет теоретическим путем для достаточно широкого класса уравнений нелинейной механики тонкостенных оболочсчпых конструкций решать перечисленные ниже задачи, возникающие при расчете динамической устойчивости;
нахождение области изменения параметров уравнений, описывающих состояние пластин и оболочек, при которых соответствующая нелинейная модель имеет устойчивое решение;
определение порядка скорости сходимости проекционных методов, в частности, метода Бубнова-ґалеркиїіа, применяющихся при численном решении задачи устойчивости пластин и оболочечных конструкций;
проведение численного эксперимента, позволяющего оценить точность приближения решения проекционными методами уравнений, описывающих состояние пластин и оболочек, что с учетом всех возможных ситуаций невозможно сделать теоретическим путем.
Научная новизна:
разработана новая методика линеаризации уравнений, позволяющая осуществить единый подход в исследовании задачи устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций и решении вопросов скорости сходимости проекционных методов. Новизна этого подхода по сравнению с известными методами линеаризации состоите том, что в результате его применения решение перечисленных выше задач сводится к случаю определенного класса линейных операторных уравнений, который: а) является единым для рассматриваемых задач; б) не зависит от выбора модели. Более того, этот класс линейных операторных уравнений таков, что в нем поставленные задачи решаются также на основании единого подхода, базирующегося на операторных методах;
доказана сходимость в пространстве Соболева известного численного метода В.В. Петрова - метода последовательного возмущения параметров. Этот результат, важный сам ио себе, является основополагающим при математическом обосновании предлагаемой методики линеаризации;
найдены явные оценки области изменения параметров уравнений, описывающих состояние пластин и оболочек, при которых соответствующая нелинейная модель имеет устойчивое решение. Применение разработанной в диссертации методики линеаризации позволило получить здесь новые результаты;
- доказано утверждение о порядке гладкости решения нелинейных
уравнений рассматриваемой модели в зависимости от порядка гладкости
начальных условий и нормальной нагрузки. А именно, применяя предло
женную методику линеаризации, показано, что решения таких уравнений в
области единственности имеют непрерывные частные производные к-го
порядка, если этом свойством обладают начальные условия и нормальная
нагрузка.
Этот результат является новым в теории нелинейных уравнений в частных производных и представляет самостоятельный интерес. Здесь он является предварительным при доказательстве утверждения о скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина;
- получена оценка порядка скорости сходимости метода Бубнова-
Галеркина к устойчивому решению нелинейной модельной задачи в зави
симости от порядка гладкости начальных условий и нормальной нагрузки.
А именно, показано, что порядок скорости сходимости метода Бубнова-
Галеркина в области однозначности совпадает с порядком гладкости на
чальных условий и нормальной нагрузки.
Это новый результат в теории нелинейных уравнений в частных производных. Существенным моментом при получении этого результата явилось применение разработанной в диссертации методики линеаризации, а также привлечение методов ограниченных полугрупп операторов;
- в результате численного эксперимента выяснено влияние парамет
ров, характеризующих внешние воздействия, на точность сходимости ме
тода Бубнова-Галеркина.
Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью математических формулировок и решений задач исследования, сопоставлением ряда результатов с аналогичными результатами экспериментальных исследований и с результатами, полученными ранее другими авторами.
Практическая значимость работы. Во-первых, обеспечивается надежность результатов, связанных с применением ряда численных методов при расчете устойчивости оболочечных конструкций. Во-вторых, предложенная в диссертации методика линеаризации может применяться при качественном исследовании решений нелинейных уравнений строительной механики и математической физики. Далее, результаты диссертации могут быть использованы для исследований, связанных с выявлением картины потери устойчивости строительных конструкций и с вопросами сходимо-
сій'численных методов. Результаты диссертации могут использоваться в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов строительных специальностей.
Апробация її внедрение работы. Результата диссертационной работы докладывались на IV Международной конференции но механике неоднородных структур (Терноноль, 1995), на зимней школе но современным методам теории функций и смежным вопросам прикладной математики и механики (Воронеж, 1995), на XVII Международной конференции но теории оболочек и пластин (Казань, 1996), на IV Международной конференции по нелинейной механике (Ивано-Франковск, 1996), на VI межвузовской конференции но математическому моделированию и краевым задачам (Самара, 1996), на XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997), на 9— й Саратовской зимней школе по современным проблемам теории функций и их приложений (Саратов, 1998), на зимней школе по современным методам теории функций и смежным вопросам прикладной математики и механики (Воронеж, 1999).
Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете в рамках научного направления «Современные проблемы нелинейной механики пространственных конструкций, взаимодействующих с реальными полями и средами» (проблема 01.1В.05, номер государственной регистрации 01970004712). Результаты диссертации нашли применение при разработке библиотеки прикладных программ для расчета устойчивости и НДС гибких оболочек. Они нашли применение в учебном процессе на кафедре высшей математики СГТУ при чтении спецкурсов для студентов строительных специальностей.
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [1]—[13J.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, списка литературы из 87 наименований и содержит 16 рисунков. Общий объем работы 220страниц.