Введение к работе
Актуальность проблемы.- Случайные колебательные процессы широко распространены-в природе и технике. Поэтому все повышающиеся экономические, технологические и эксплуатационные требования к сооружениям и машинам в последние года стимулируют во многах задачах строительной механики переход от традиционных детерминис-тешх. подходов к вероятностным, позволяющим более адекватно представить случайный характер нагрузок, граничных и начальных
, условий,'других.свойств упругих колеблющихся систем. В качестве примеров таких 'возмущений можно указать сейсмические, снеговые,
''ветровые нагрузки; кинематические перемещения опор элементов в виде пластин, мембран, балок, струн, .вызванные неупорядоченными общими движениями и вибрацией сооружения или машины в целом; нагрузки от действующего технологического оборудования на строительные сооружения; 'флуктуации давления в. турбулентном пограничном слое; акустическое излучение реактивной струи двигателей; кинематические возмущения, действующие на наземные, транспортные средства при езде по неровной дороге и т. д.
. ^шейные случайные колебания как дискретных так и распределенных систем при действии динамических возмущений изучены оравшие лью хорошо. Нелинейные.случайные колебания, in стохастическая устойчивость,.возможные эффекты, порождаемые многозначностью решений, кинематически возбуждаемые лшшшше случайные колебания распределенных систем исследованы менее подробно, хотя теоретический и-практический интерес к ним велик. Прежде всего такой про-
'бел связан с возникающими при решении этих задач затруднениями теоретического и экспериментального характера.
В силу изложенного, дальнейшая разработка стохастических'' моделей таких задач, методов и алгоритмов их"решений, анализ поведения широко распространенных nJла во всех технических системах -упругих элементов в виде оболочек, пластин, мембран, балок и гибких струн имеет вазное народнохозяйственное значение.
Цель работы. Разработка новых математических моделей акту-
альных прикладных задач о случайных колебаниях часто.применяемых упругих элементов механических систем, подбор математического аппарата и разработка, алгоритмов для определения наиболее важных'-, вероятностных характеристик колебаний, выявление наиболее обкщх колебательных свойств рассматриваемых' динамических систем. Сравнительный анализ детерминистических и случайных колеОаїш.І.. -
Общая методика исследования. Применяются идеи и методы статистической динамики упругих систем, в том числе корреляционной теории стационарных случайных полей, теории марковских процессов! различные уравнения колебаний математической физики. Для в'сак рассмотренных задач приводятся численные, 'примеры, вшш&'зшз на современных ЭВМ, даются'краткие пояснения к.рекомендащш по влгс-ритмам вычислений, проводится-анализ полученных рэзультетоз» сопоставление с. результатами детершшстическга задач...-;..,
Яра исследовании стохастической устолчязозти -наликс-йншс колебательных ПрОЦеССОВ ИСПОЛЬЗУвТСЯ МОДИфЭДИрОВанШЯ МЗЇОД MOMSH-:
тных функций с последующим сведением задачи при помощи уршішш «оккера - Планка'- Колмогорова в проблема Рауса - Гурвгда. .:
Все используемые исходные уравнения колебаний л српутству- . вдие граничные условия предварительно срйшдятсд к безразмерному ' виду, позволяющему, кроме упрощения выкладок, на серворчальнаг этапе определить наиболее существенные обобщошне параметри, іеле-чащие, как пр'авило, несколько исходных размерных пзрамэзрпв.-
Научная новизна. Постановки задач в райках корршцеойшй теории стационарных случайных процессов о.-шшнэавдх шцуяцзшшг и параметрических колебаниях и их сочетаниях содиоврзшщшм Ез- / следованием стохастической устойчивости получаемых щюдазгначшк решений является новыми. Оонаруаенн сяяевстичзшэ шшогй явлений, хорошо известных в шланейкшдэдаршистшескнх системах: многозначные решения, соответстврщпэ колебаниям разлачной шда-нсивности; устойчишэ и неустойчивые-, резггш колебаний? скачяо-образше перескоки от одних устойчивых движений к друга Е Т... . Щйглотт повна ютекатшвскае- посїсйкж r„w> 7'."< ::?*
них установившихся колебвний двумерных и одномерных распределенных систем на основе различных уравнений в частных производных гиперболического типа с неоднородными граничными условиями в виде, случайных процессов или их-произведений на детерминистические функции, определяющие фору кинематических возмущений. Получены результаты в виде спектральных плотностей перемещений и внутренних і сил. в сечениях, выявлены факторы, наиболее, существенным образом влияющие на интенсивность колебаний, установлены формы распределения среднеквадратических отклонений (дисперсий) вдоль пространственных координат при различных типах возмущений, численных значениях параметров..'
:-; Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая ценность полученных: результатов.состоит в создании математических моделей и алгоритмов решения новых актуальных задач по случайным колебаниям- широко,применяющихся элементов механических упругих систем. Полученные результаты легко могут быть распространены на другие родственные,задачи. .. '
Практическая значимость работы заключается в возможности использования' полученных, результатов в расчетах на случайные вы-нуадеиные колебания и устойчивость движения нелинейных систем типа пологих стержней,.оболочек и пластин. Результата по параметрически).» колебаниям могут быть использованы'при расчете колебаний, источником которых является осевая сила, случайная во времени. Под таким воздействием находятся отдельные участки транспортного средстве или лаземного сооружения,.когда случайные колебания всего тела создают осевые -силы, изменяющиеся во времени случайным образом; элементы корпуса летательного аппарата из-за беспорядочных пульсаций силы тяги, передаваемой от двигателей.
Результаты, полученные по кинематически возбуждаемым колебаниям распределенных систем, :...>гут найти двоякое применение. В первом случае, когда вибрация нежелательна, для ее уменьшения, во втором случае - когда она используется в технологических целях (вибротранспорт, грохочение материалов, уплотнение и т. д.)
для установления оптимальных рекймов колебаний,. ; У.2^-у':::-.'^г-' Апробация работы.'. Результаты' работы, докладывались на;:' pec-:, публиканской (КБР) научно - техническое ко'н^|юнции ^Нальчик, .1976); XI Всесоюзной конференции по теории:оболочек ^пластинок-(Харьков, ' 1977); Вое'со&зной конференции по проблемам 'оптиишции: и надежности в строительной:механике (Вильнюсу І979);ЛУІ- Между-;: народной конференции по .теории, оболочек и: дластйноС ;(Н.Новгород,. 1993); научно-технических конференциях' ШСЙ(москва,; 1974), КБГУ ;: (Нальчик, 1974,: 1976, 1989); /научно.?; теоретической шкоде';-:еэг:: минаре "Нелинейные краевые задачи математической физики и .их пря-локения''(Институт'математики АН Украины и КБГУ; Нальчик:, 1993); научной конференции -'семинаре НИИ.прикладной математики.и"евто-: метизации (Нальчик, 1993); постоянно действующих .семинарах: ИВІУ (рук. проф. СветлицкиЙ В.А., 1978), ВВОД mi ^ковского:(рукУ - : проф. Вольмир А.С., 1974), КБГУ (рук.-проф; Йсануков'МЛ%, 1974-- 1994), Кабардино -Балкарского аграрного института (рук..-проф. Бугов А.У., 1993,; 1994),:;НИИ пршЬіадай матемашш и автоматв-зации (рук. - проф; Нахушев A.M., 1991 :-.1993), Ростойского государственного уютерситатаїрук. -акад. Российской АН Вороши ИХ, 1994), мТСУ (рук. -проф. ВарданянГ.б.і проф. Леонтьев К.К;, проф. Хесин Г.Л., 1994).,// :уУуУ]Л)лУУУ::УУУЇу'-:.У':^ Результаты работы внедрены на 2 предариятиях и; вюючаяи б отчет по госбидкэтной научной теме "Случайныеколебания и стохастическая устойчивость упругих механических систем", выполненной го госбвдкетннм планам НИР Кабардшс-Балкарскогс госушвбрсйїйїа
в 1993-94 г.г. : :.''< "''->^^.Л--':"'Л-/;'. '-'ч'л^ дл>. -У:- :':";:;"ч Публикации. По материалам диссертаций опубликованы 17 пэ-чатиых работ в научных журналах,, трудах конференций и /сборника! научных трудов.;" ,:''';д;;:У.;>;'";.'Й.^у.;<''",;--Х.;/ 'У~у'';у -v/ Структура и объем работы. СЗщай объём диссертации составлж" 447 страниц в т.ч. 316 страниц основного текста н состоит из.ввг дегая, шести глав, заключения, списка литературы, прилокений, а .держит 190 рисунков. ->_'' --/''':'.*/:'' ,/ >'/iV"";'V ;;
, *;.'; СОДЕРМШЕ РАБОТЫ. "
' ,;Во' введеіши'.', .обоснована' актуальность проблемы,' сформулиро-
. дана цель работы, 'кратко.изложены основное содержание и резуль
таты 'диссертации. ;..-.' ,;7-',,'V"';-' X" - ';
. - В' первой главе : представлен "краткий обзор исследований по ; теме диссертащш,' дан анализ современного состояния вопроса, поставленії цель и задачі! диссертации.. . .. ' ' " , :\: Отмечено,: 'что,,зароікдешіе и развитие-,теории случайных.коле-!С2шй,': стохастической устойчивости,- движения и'родственных "проблем' Г.ЮХЄШ1КИ конструкшй. связаны с' работами Н.С.Стрелецкого, А.Р. , РжашідааїЛІ.Й.вЬррвіїчаі' В.В.Болотина, Р.З.Хасьминского'. М.Ф.Ди-':кёнтоерга./:.:В.М.Гончарйнко, ;: С.Г.Кренделла, Н.А.Николаенко, S.T. 'Arlaratnmii',. K.Hennig, ?.Weidenhammer, F.Kozln.
;'.'-; Указано', что' 'первыми по случайным колебаниям'были работа А. !"cVErliigen';"'.iJ;С.SanaielsyJВ.В.Вологіша, Н.А.Николаенко, М.Ф.Барш-т-8йна,\ М.Ф.'ДимэнтОврга, 'Ю.А.Фвдоррва., . " .. ,.; \. Случапные'.колебания гибких элементов в виде струн изучались в 'райотаі.О.Г.Кренделла дА.П.Кульвец, Т.С.Неверовой, В.А.Свет-дкцкого,-.В.Г.Колойец, .M.llovak,' P.Gunadhar, K.Richard, G.V.Anand. , Исследования для балок проведеш'.В.В.Боло'тшшм, "Н.А.Николаенко, B.A.CEeOTUKim.VG.Ahraadi, M.A.Satter, Оу Davis, P.Selde. Отмечено, что случайные колебания мембраны.,рассмотрены лишь в единич-. іішсработах.;"''.'':''' .у";'';'''.;' '.'-' . ";.v.
/'.'.Пуошжащаі.ію случайным"колебаниям 'оболочек и пластин, нача-.-гао в свое время работами . И.И.Воровича, В.Н.Гончаренко', М.Ф.Ди-ментберга, к настоящему времени имеют большую библиографии. Это направление исследований получило развитие в трудах В.В.Бол&пша, Л.С.Вольмирз, И.Г.КильдаОекова, Ю.А.Федорова, Б.П.Макарова, П.А. Бондарева,В.Г.Коломиец, В.Е.У'оматова, Ю.Волоховского, I.Ellsha-koff, K.Hennig, P.Zlgler. , .
Давно сформировавшее- направление механики конструкций о динамической устойчивости и параметрических колебаниях получило да-
- ~8,-' .-'у. . '.:":'-.- льнейшее распространение на стохастические системы благодаря ре--:
ботам F.Weldenhamner, S.T.Arlaratnam, F.Kozin, CSchmldt» Р.З.Ха-сьминского, Г.Дж.Кушнера, В.М.Кузьмы, В.В.Болотина, В.Г.Москвина, D.A.Окопного, Н.М.Комар, А.И.Смирнова,. В.К.Чернова, й.Ф.Димент-берга. Введены и опробованы различные критерии стохастической устойчивости, для многих конкретных случаев построены границы областей неустойчивости и обнаружены специфические эффекты.
На основе проведенного обзора литературы и анализа современного состояния отмечены недостаточно изученные и в то же время актуальные проблемы в разработке теории случайных колебаний. В нелинейных системах- это, в первую очередь, вопросы многозначности получаемых решений, их возможного разделения на устойчивые и неустойчивые в стохастическом смысле, влияния этих фактов на динамическое поведение конструкций. Для распределенных линейных систем недостаточно исследованы колебания, кинематически возбуж*. давмые на их границах, не определены внутренние силы, возникающие при этом в сечениях. Слабо изучены и проанализированы связи случайных колебаний со свободными и гармоническими колебаниями, зависимости интенсивности и форм случайных колебаний от соотношений между спектрами собственных частот и спектральными плотно-, стями возмущений.
Во второй главе рассматриваются нелинейные случайные колебания распределенных упругих систем {пологие стержни и оболочки,. пластины и т. д.); исходное уравнение движения которых -имеет вид
at2 ах
где А, В -линейные оператор - инерционный и дассипативный,. С --упругий оператор, состоящий из линейной {,)/и нелинейной {Qz) частей, u(x,t) -вектор перемещений (и функция напряжений), Jte,t)--вектор внешних вынуждающих возмущений, х -вектор, пространственных координат. В качестве иллюстрации представлены уравнения колебаний геометрически нелинейных пологих цилиндрических оболочек Использование хорошо известных вариационных и других лриб-
даенных методов (Ритца-Тююшенко, Бубнова-Галеркина и т.д.) дает при одночленном приближении нелинейные дифференциальные уравнения !в; безразмерной форме:;;' ///v-^.J^V.BH^r^HHiqc'' калвоаний'г-; -.
':'ЛТ''^';';'.:. .^\''^У'>,-2єу^+у--'ayf .'Ьу3."-^,'': . (1) ;v.'для параметрических/колебаний
'':;-;^^'+;;2ЕУ +: (1 -ср)У: - ау2 »- by3 «О, (2)
- при взаимодействииі вынужденных,и параметрических колебаний
',' у + 2єу + (і-ср)у - ay2 + by3 « q. (З) /Здесь у(т))- обобщенная безразмерная координата, г -безразмерное
время, а,' о - параметры,: qeu- обобщенная поперечная сила, р(г)-' /-Обобщенная 'осевая "сила./Уравнение (Ї) кроме колебаний констру-, кций,'"указенныг выше,. описывает с высокой степенью точности коле^
башія двухзвенных шарнирно - стержневых систем типа ферм Мизеса,
' ВСТр^ЧВПЦИХ'ся В 'КОНСТРУКЦИЯХ СеТЧаТЫХ ПОЛОГИХ КУПОЛОВ ДЛЯ ПереК-рЫТИЯ ЗД8НИЙЙ в деталях приборостроения и являющихся по сущест-,.ву:системамис одной."степенью свобода. .'
";. При вынужденных колебаниях входной процесс q\i) представляется /как .стационарный случайный, процесс с известным математичес-', ким .ожиданием ш и спектральной плотностью S Ш). В рамках кор-рэляционнбй теорші; случайных процессов ставится задача'об определении математического отдания т. дисперсии о и спектральной плотности S (ы) при установившася режимах колебаний.
.Используются метода статистической линеаризации и спектральных представлений. В первом случае нелинейная функция
Ф(У)> - ay2 + by3.
заменяется линеаризованной .'",'.
ф(У) » ф(У) « '^Ш + 1^7 ,
где ^, kg - неизвестные статистические коэффициенты передачи по регулярной и случайной составляющим, у (і) - центрированная составляющая выходного процесса., Коэффициенты kt и kg получены с
. -10-
помощью Двух критериев:
1 )критерий равенства математического ожидания и "дисперсии -для случайного процесса на вшсоде реального" нелинейного и эквива-' лентного линеаризованного элементов;
2)критерий минимума среднего кввдрата разности между слу-чайными функциями на выходах нелішейного элемента и эквивалентного ему линеаризованного элемента. "."..'.'"
При получении статистических коэффициентов используется гипотеза квазигаусовости, в соответствии с которой появлящиэся старшие моментные функции выше второго порядка заменяются млад-' пши с помощью соотношений гауссовского процесса.
Первое уравнение относительно неизвестных'т- и of имеет" віад
f, (Щу. о2) = пу- ал2 + Ьшу -(а - 3bmy) о^ - mq"' 0. (і)
Далее из (1) получено уравнение для центрированных составляющих возмущения q(x) и отклика у(t)
у + 2sy + ky = q ,'" (б)
где k = 1- 2am + 3b(m2 + о2). Спектральные.плотности S (со) и S (со) случайных процессов связвны соотношением
Sy(w) - 1Н(1«)12 S^w) , (6)
где Н(іш) - передаточная функция системы (5). Штегрироваиие левой и правой частей (6) дает дисперсию
» oJ-7'Wto)^Sq Іг%. 0у)=0. . <8) Его непосредственная структура определяется функцией спектральной плотности обобщенной СИЛЫ. ; Во втором случае, когда используется метод спектральных представлений вводятся интеграла Фурье q(x) = m + / Q(co) eimdu, y(t) = ra + J Y(u) е1(ЛС1ы, где Q(u), Y(u) - случайные спектры, обладающие свойством стохас-тотеской ортогональности . Здесь 'звездочкой'обозначен переход к комплексно - сопряженной величине, С (со) -дельта-функция Дирака. ",. Процедура метода спектральных представлений в соединении с гипотезой квазигаусовости дает результаты,' точно совпадающие с результатами метода статистической линеаризации по критерию минимума среднего'квадрата разности нелинейной функции и линеаризованного эквивалента. . Уравнения (4) и (8) образуют относительно го и о2 нелинейную алгебраическую"систему, содержащую неизвестные в высоких степенях и их .смешанные произведения. Прямое решение задачи путем 'исключения дисперсии о* с помощью (4) приводит к алгебраическим уравнениям высота степеней относительно га , и их корни в явном виде не выписываются. Более предпочтительным является "полуобрат-шй* "метод установления зависимостей параметров упругой системы и возмущающего'.случайного процесса. Например', можно задаваться значениями математического ожидания m и отыскивать а* и какой-либо из параметров. .Это,приводит к существенно более легкой ситуацій!, когда ."приходится решать уравнения лииь второй, третьей степеней .бтНОСИТеЛЬНО ДИСПерСИИ of. ,. ; Результаты вычислений обнаруживают, что решение задачи является неоднозначным в некоторой области пространства параметров системы. По .'аналогии с детертгаистаческим. случаем возникает практически важная задача о'возможном разделении колебаний на устойчивые и неустойчивые, но уже в некотором стохастическом смысле. Для её решения используется уравнение возмущенного движения X + 2ЄХ + (d + еу t ЗЬу2)! - (g - ЗЬу)!2. + Ьх3» 0 , (9) где возмущение хіт) считается случвйим п^цессом, d, ig;'e - Ш-V. р8хвния,.полученные в ходе преобразований я^ содер^щив. my rfr Это уравнение является нелинейным стохастическим аналогом уравнений Матье -Хилла.в котором случайный процесс у (t) играет роль " функции возбуждения или внешнего параметрического воздействия. ." Далее задача сводится к исследованию устойчивости тривиального решения x(t) в о. Используя шдифицироранный метод момент-. них функций В.В.Волотина, стохастическаяустойчивость отоздёс'тв-;" ляется с устойчивостью по Ляпунову, совокупности математических опаданий и моментншс функций второго порядка для компонентов некоторого векторного, марковского процесса. Чтобн поведение системы могло считаться марковским процессом, оно должно, описываться дифференциальными уравнениями первого порядка,, а'воздействие долано быть дельта-коррелйровшшш. Уравнение : (9) и случайный процесс у(т) со спектральной плотностью (6) не удовлетворяют ami г' требованиям, но путем введения достаточно обширной совокупности ": "координат" (повышения размерности фазового пространства) проце ее возмущенного движения .приводится к марковского телу, если'обоб-щенная сила является белим шумом или имеет спектральную шгатності в виде дробно-рациональной функции, в частности, если , Sq(w) = D / Lq(ito) Ь*(1ы), '/"-''...."' ';"''".'": где D - константа, L (to)- полином порядка г. Такая сила представляется как результат пррхбзщвния белого шума (т) с интенсивностью s = 2icD через формирующий фильтр, описываемый дифферан циальным уравнением г- го порядка '/''.'"-' fiq» C(T).V V , ч (10) V Здесь (d/di) - оператор, получащийся путем формальной замени -13 -xt = x, x2 = dx/di» x3 = у, хд = dy/dt, ,x5+J = dtydTV (3 = 0,1,..., r-1), Система дифференциальных уравнений (9), (5), (10) переписывается в канонической форме - Х = 'І(Х) +2(1), (11) где f = (tv Г2,..., Гп> -вектор - функция векторного аргумента, z(i) -стационарный векторний Оелнй шум. Полученный таким образом случайный процесс х(т) будет марковским. Далее рассматривается линеаризованная система дифференциальных уравнений " га = А га, (12) где А - квадратная матрица с постоянными элементам!, ra(t) - вектор размерности 1 = 2п + 1, образуемый совокупностью моментннх , функций первого и второго порядков '' -.:; . га±<а) = 1 = 1,2; ^ = і, 1+1,..., п. Остальные моментные функщш (при 1 > 2) относятся только к процессам y(T:),q(i), в силу их стационарности являются постоянными 'Величинами и поэтому в определений устойчивости не участвуют. Используются соотношения * . '";. СО. . 00 О» СО А= S—1- т W-^n» Ar i-""*/т V^i-^n (13) -4D . —СО-. —со -са и диффузионное уравнение Фоккера - Планка - Колмогорова (ФПК) где w(x,t) - плотность вероятности векторного процесса х(т),' S --матрица інтенсивностей векторного белого-шума a(t), v = {S/Зх^ ...,д/дхп} - символический векпр Гамильтона. Подстановка (14) в правые части (13), замена появляющихся при интегрировании моментннх функций третьего и четвертого порядков моментами первого и второго порядков с помощью гипотезы ква- зигауссовости, оторасывание нелинейных членов приводят к конкрет- ' НОЙ СИСТеМе (12). '; '...., Согласно теореме Ляпунова нулевое решение системы (12) является устойчивым, если все корни векового уравнения det (А - Щ=О . (15) имеют отрицательные вещественные части." Поэтому далее проверяются соответствующие условия относительно многочлена: р(А) = к1* а,*1-1 + ... + а1, (16) каковым является левая часть (15). Коэффщиенты а в проведенных . вычислениях найдены методом Фаддеева. Такім образом, задача сводится к проблеме Рауса - Гурвица, при решении которой применен вариант критериев Льенара - Шипара вг > 0, а1_2>0,..., Д2 > О, Ад > 0,... (1?) Здесь L±- определители ГурЕица 1,- го порядка. Услоеия (17) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы веществен-. нын многочлен (16) .имел .все корни с.отрицательными веществевш-т частями. Вследствие большого порядка матрицы А условия (17) в развернутой форме выписать не удается, но,они легко программи-руится для проверок на ЭВМ. Рассмотрены наиболее часто используемые в практических приложениях типы спектральных плотностей 1. Гармонический процесс со спектральной плотностью, Sq(co) - oJo(u-m) , '(18) где о^ - дисперсия силы, П - частота возмущения. При ' ш_ = о= = є = 0 и использовании истинной плотности распределения гармонического процесса уравнения (4), (8) точно совпадают с урагаекияші для параметров свободных гармонических колебаний.. Йспользовашю ' гипотезы квазигауссовости приводит к некоторой разнице. Йкчисле-ния показывают,'что она становится заметной лишь при больших сродни значениях и амплитудах отклонений. , Аналогичные результаты получены и ' для вшіуздешшх гармони- .-15-- ческшс колебаний. Вычисления, проведенные с использованием и без использования-гипотезы квазигауссовости показывают, что введение пшотезы квазигауссовости эквивалентно некоторому увеличению «емкости конструкции. .''' 2. Белый шум со спектральной плотностью s (и) = з / г% , (19) где s - интенсивность белого шума. В расширенном четырехмерном фазовом пространстве вектор х тлеет компоненты л. п, х1? х, х2= х, х3= у, х4 = у. Соотзатветствугащее уравнение ФІШ принимает вид ff = 4BV - х2 g + [(d + ех3+ 3b z\ )х,+ 2єх2- (g - 3bx3)xf + + ЬХ1 ] gj2 - Zi gj3 + (KX3 + 2EX4) ^ + --. Совокупность моментішх функцій первого и второго порядков образует вектор с девятью компонентами т(т) = { пц, nig, mn, и12, т13> гам> т22, т23, т24>. Далее получена матрица А, приведеш результаты вычислений и анализ го.ним. Дается пример, показывающий, что учет моментных функций лишь первого порядка при определешпг стохастической устойчивости.может привести к неверным результатам для некоторых областей пространства параметров. 3. Усеченный белый шум со спектральной плотностыр о2 / 2д, со є і = [ ш - д, и + д з, S (о» = q (20) [О, . U< I. ' где шо-средняя(характерная) частота, Д-параметр ппфокополосности. 4. Экспоненциально - корр:лированный случайный процесс со S (и) = О2 oL / %{с?+ Ы2). (21) Здесь а - параметр широкополосности. Уравнение-фильтра имеет вид q + dq = Є(і),; . ..- ,.. (22) где Е(т) - белый шум с интенсивностью 3 = 202 а. Расширенное фазовое пространство определяется координатами Уравнение ФПК і, = -2 и совокупность моментных функций На рис. 1, 2 показаны результаты, полученные для системи с параметрами' є = 0,01; а = 0,47; Ь> 0,05; о * 0,2}../<< = 0,1. Они соответствуют оболочке, имеющей три положения статического равновесия: два - устойчивых, одно - неустойчивое. Для сравнения, на рис. 1 нанесена кривея статических прогибов у - q( тонкая ли-» ния). Участки, отмеченные пунктиром, отвечают неустойчивым состояниям равновесия или движения. При росте математического ожидания силы m сначала наблюдаются колебания преимущественно, около y,m, o.« о,г 0.0 -од o,o 0,4 0.8 «,г «,e 2.0 2,h Риє. 2 первого устойчивого равновесного положения{участок 1-2) с малыми, значениями математического ожидания {рис. і} и стандарта смещений о (рис. 2). В точке 2 этот режим скачкообразно сменяется колебаниями с охватом обоих устойчивых положений равновесия (точка 3) или колебаниями в прощелкнутом состоянии(точка'12). В первом случае повышение m ведёт к срыву колебаний 4-5, означающему переход к колебаниям преимущественно около прощелкнутого состояния. При stom стандарт смещений (рис. 2) сильно падает из-за возросшей жесткости системы. Уменьшение m на участке .4-9 приводит к обратной смене колебаний с охватом обоих устойчивых равновесных положений на колебания около первого устойчивого положения (перескок 9-Ю). Аналогичная картина наблюдается при падений нагрузки на участке 6-7. Здесь колебания около прощелкнутого состояния сменяются скачком 7-8 на колебания около первого устойчивого положения или скачком 7-11 на колебания с большим размахом. Перехода от одних устойчивых стационарных режимов к другим, отмеченные на рис. 1,2' стрелками, наиболее вероятны при достаточно медленных изменениях математического ожидашія' силы, Инка варианты (из других точек) вследствие случайной природы нагрузки не исключаются, но они, очевидно, будут менее вероятными. 5. Случайный процесс со скрытой периодичностью и спектральной плотностью S (и) = - 3 , е2= d2* f, -... (23) яЦш2- 62)2+ 4(2] v где р - характерная частота. Уравнение фильтра имеет вид it q + 2dq + 62q.= S(t), где і(x) - белый шум с интенсивностью а * 4 о* а 8г. Случайный векторный процесс х(г) с шестью компонентами х,» х, Xg= х, х3= у, х4= у, х5* q,. хб= q будет марковским. Соответствующее уравнение, ФПК дает матрицу А тринадцатого порядка. -.19- Проанализирована зависимость математического ожидания и сре-днеквадратического отклонения прогиоов от параметра широкополос-ности d и несущей частоты (3 входного процесса. Линии среднеква-дратических отклонений располагаются вдоль скелетных кривых свободных колебаний и являются стохастическими аналогами амплитудно-- частотных' характеристик гармонических колебании. Здесь также имеются неоднозначные решения, неустойчивые движения, возможны скачкообразные .переходы от одних устойчивых колебаний к другим. ,;.. . Изучение параметрических колебаний проводится с помощью уравнения (2). Обосновывается, что продольная сила р(т) часто является, случайной или содержи случайную составляющую. Например, вследствие, случайных колебаний наземного сооружения осевые силы, приложенные к его отдельным участкам, изменяются во времени случайным образом, корпус летательного аппарата находится под действием беспорядочных пульсаций силы тяги, передаваемой от,двигателей. При известных вероятностных характеристиках входного процесса рассмотрение задачи состоит из нескольких этапов: 1) построение областей неустойчивости положения равновесия (или тривиального решения уравнения (2)) в пространстве параметров уравнения и случайной функции; 2).определение вероятностных характеристик стационарных случайных колебаний в областях параметрического резонанса; 3) изучение стохастической устойчивости или неустойчивости колебательных режимов, соответствующих найденным характеристішам. Содержание первого этапа по своей сути совпадает с проверкой стохастической устойчивости вынужденных колебаний, но место уравнения возмущенного движения (9) теперь занимает исходное, уравнение движения (2), к которому присоединяется уравнение фильтра типэ (10). ' . . Для второго этапа ставите* задача об определении математического ожидания, спектральной плотности и дисперсии стационарных режимов колебаний. Используется метод спектральных представлешій в сочетании с гипотезой квазигауссовости. И в'этом случве некото- - 20- , . рым областям пространства параметов отвечают многозначные решения. Поэтому возникает задача о стохастической устойчивости,-для решения которой используется уравнение возмущенного движения ". .' *і.+ 2єі + (1 - ср - 2ау + ЗЬу2)! - (а - ЗЬу)!2 + Ьх3= 0,,;', Конкретные выкладки проведены для двух типов входных процессов: 1. Экспоненциально - коррелированный случайный процесс ср X, =У, *г -У, *з "Р- Вектор моментных функций принимает вид JD = { Ю,, fflg.ID^, Ш12, ГО13, Я^', ID^}.. . Матрица коэффициентов А системы уравнений дает искомую границу. . При проверке. стохастической устойчивости, неоднозначных .режимов колебаний марковский процесс является пятимерным xt«x, х2* х, х3« у, хд» у, Xg-р с соответствующей совокупностью моментных функций. ; 2. Случайный процесс со скрытой периодичностью и спектраль Далее с помощью уравнения (3) решена задача о взаимодействед вынужденных и параметрических случайных колебаний. Ори этом при» нято, что обобщенные силы q(t) н р(т) являются стационарными вза» имно некоррелированными стационарными гауссовскими процессами. Рассмотрены случаи экспоненциально-коррелированных и со скрытой периодичностью процессов. Получены разрешающие системы алгебраических нелинейных уравнений относительно математического ожида- .-"21 -' нйя и дисперсіш выходного процесса, разработаны алгоритмы их решений, прредены численные примеры, показана многозначность режимов колебаний и исследована их стохастическая устойчивость. ''у; В третьей главе исследуются установившиеся поперечные колебания струн (проводов, тросов, канатов, ремней, нитей и т.д.). Источником колебаний являются перемещения концов струны, вызываемые землетрясениями] вибрацией опор, неизбежными геометрическими погрешностями изготовления самих струн, вращающихся опорных устройств, эксцентриситетом их посадки и другими причинами. Такие задачи характерны для проводов линий передач, тросовых оттяжек антенно -:мачтовых.сооружений, передач с гибкой связью в механизмах; для гибких транспортерных лент, используемых в строительстве, . горнорудной и пищевой промышленности, сельском хозяйстве и т. д. После перехода к безразмерным переменным и коэффициентам поперечные колебания струны описываются в переменных Эйлера дифференциальным, уравнением в частных производных гиперболического типа и« V2 бл + 2 ^и(1 -.і*г>.Нв"0» (24)- х Є (0, 1), t > -да. Здесь х, t -пространственная и временная координаты, и(х,1;)-фуя-кция отклонений струны, є -коэффициент демпфирования, ц - скорость движения струны в продольном направлении. Однородные граничные условия дают спектр собственных частот %к s (1 " nVk2*2^2.'-," k - 1, 2, ... которому в координатной системе шец отвечает семейство поверх-: ностей R^. Рассмотрен характерный случай кинематического возбуждения колебаний, когда правый конец струны гармонически колеблется с частотой Q, а левый остается неподвижным, при граничных условиях / . U(0,t) - 0, . . U(1,t) « f(t) - в1"*. (25) Искомое решение представлено через передаточную функцию H(x,lfl) -22-.; и найдено ' .'.'-" H(x,ifl) = shdx cosechdec(3HV J (27) причем с(Ш, Ц), d(in, n, є) - некоторые комплексные числа. ... Действительная функция амплитуд определяется формулой. '_,' .''. а(х) = 1 Н(х, 1Ш J. .,: ,; ; \\Щ В предельном случае, когда, частота возмущений П = 0, она дает " результат, соответствующий статическим отклонениям,'; ;, Амплитуды и формы вынужденных колебанийструны"существенным обрезом зависят от расположения изобракащей точки P{D, s, |і) от-:носительно поверхностей I^Y При Р ^ имеется случай резонанср с к полуволнами в форме' распределения амплитуде Если изображающая, .точка находится между-поверхностями й^.и R^, форма распределения амплитуд содержит дробное количество полуволн из отрезка (к, к+1). При даижении изображающей точки Р по поверхности . 1^ b.ctq-рону увеличения ' є амплитуды колебаний'уменьшаются. Далее доказывается, что перемещение изображающей точки по поверхности \ щ постоянном трении не .влияет' на ашшяуду и форму колебаний. . :_ '-'[ : Построены кривые амплитудно-частотных характеристик'для оч~ дельных точек, имеющие острые пики на собственных частотах. ;..'. Когда оба конца струны совершащ гармонические .колебания, граничные условия содержат векторный, возмущающий процесс ЦХ) с компонентами ' fk(t) -\e ls /\, k = 1, 2, где A^- амплитуда, ^- частоты возмущений, с^- углы сдвига фаз. При.равенстве частот возущений го результатам вычислений"вмпли-туд проведен анализ взаимодействия двух источников колебаний при, характерных значениях сдвига фаз. Те же задачи рассмотрены в стохастической постановке, т.е. при случайных колебаниях концов струны. Например, в граничных условиях (25) f(t) принят в виде стационарного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и заданной спектральной плот- .' .' ''23 -' гостью Sf(w). Тогда u(x,t) будет центрированным пространственно-.-временным случайным полем, стационарным по времеші и неоднородным го пространственной координате. В рамках корреляционной теории ставится задача об определении момента функций второго порядка и спектральных плотностей для поперечных смещений струны. В стохастическом аналоге задачи '(24), (25) использованы'метод спектральных представлений и соответствующие 'интегралы Фурье со со u(x,t) = J U(x,o))elUtdu, f(t) = J P(03)eiUtdw, (29) -co -co спектры которых-- стохастически ортогональны по частоте ш <и(х,ш) U*(x' ,ш' )> > Ки(х,х'; и» 3(0) - о'), <Р(ы) ?*«/)> a S (щ) б(ш- ш'). Здесь Ки(х,х'; ы) - характеристика случайного поля u(x,t), обладающая свойствам! корреляционной функции го пространственной координате и спектральной.плотности по частоте. Получено Ки(х, х'; и) » Н(х,1ы) H*(x',iu) sf(w). . Последнее переходит в известгоо' соотношение Кц(х, х; u) *'Su(x,u) » | П(хДш) |2 sf (и). Тогда дисперсия вычисляется по формула со Du(x) /! Щх,1и) l2-Sj(w).(to. (30) -со - . Получить результаты'штегріфб'ванйя в аналитическом виде, как 'правило, не удается. Выход, из- такого 'затруднения, состоит в использовании численных методов и ЭВМ-.:'Но при этом вычисление несобственного интеграла в (30) представляет определенные сложности из-за наличия у подынтегральной функции многочисленных острых всплесков на собственных частотах, необходимости замены пределов конечными значениям и. выбора подходящего шага для численного метода. Попытка'достичь высокоточных ..результатов путем как мокно большего расашрэная области . интегрирования п измельчения лага приводит к неоправданным затратам машинного времени. Не представ- : .ляется'возможным установить анадатическими методами, границы и шаг интегрирования в зависимости от тр^оУеша ^точности конечных ре-' зультетов. Поэтому становится необходимым проведение: вычислительных экспериментов по их подбору путём сравнения получаемых результатов при постепенном расширении области интегрирования'и/дроб-,: лении шага интегрирования.; Гфи проведении расчетов нижние предел Г интегрирования іпршшмался?рашшну^Чс учетом последущего уд--; воения результатов вследствие четности прдынтегральнрй функций)!; верхний предел интегрирования;.определялся из шчисжтельных экс- . периментов как значение собственной частоты йцк, при котором численная норма подынтегральной функции равнялась нулю с'точностью'' J 1В(13,1Ы)|2 St()J * 0,000, ;f. : :(3m. В приводимых примерах достаточными.оказались значения к'«25. При подборе шага, штегрирйвания его постепенное .уменьшение проводи-: лось до тех пор, пока разница результатов на двух'последних этв-пвх' не оказывалась Менше, 0,1. *..; --.-:-.-^^%^^^ Подробно.рассмотрены задачи, где Ґ(і) фв^стйвм^тся'-таибо'-;, лее часто встречаицимися в іфиложениях^стаиионарными случайными ; процессами: дельта-іюррелированннйслучайный процесс (белый шум), -усеченный ,0елый шумі вкспоненциально' - коррелированный 'случайный процесс, случайный процесс со скрытой периодичностью.. В сШшин-, . стве из этих случаев удается осуществить предельнУі переход к статическим задачам и/или гармоническим колебаниям. Тогда решение, детерминистической задачи получается как частный случай стохастической, что частично подтверждает достоверность результатов.:.:_..; На конкретных примерах обнаруживается'существование множества аналогий между гармоническими и стохастическими' колебаниями, особенно при достаточной узкололосностивходных^возмущений. Ткзказа-/ но, что интенсивность и форма колебаний (форма распределения сред-неквадрвтического отклонения вдоль струны) существенным.образом зависят от того, насколько "удачно" спектральные плотности возму- ....... ^.25--.-,,- . , щений перекрывают "поверхности соОственша частот Н. (К = 1, 2,...). .-... Далее рассмотрена стохастическая краевая задача о колебаниях,' возбуждает на обоих концах струны. Тогда в граничных условиях ft (t)j 'f2(t> являются компонентами стационарного и стационарно связанного случайного векторного процесса f(t). Его математическое ожидание нулевое, матрица спектральных плотностей S,(u) врмитовая и-имеет-заданные элементы skl(u) ,(k, 1 = 1, 2). Полу- . чеш спектральная плотность и дисперсия поля перемещений u(x,t) Du(X) - J Sjx, ш)бш = J J l\l*> i«> Hj(x, ІШ) skl(o))(to. (32) -» - - » k 1 ', Рассмотрены два типа векторных входных случайных процессов: '.-.." 1. Экспоненциально' - коррелированный случайный процесс . Зкі(ш) s VW %{сІі + ^ї' ,;. k, і « і. 2. (33) 2. Случайный процесс со скрытой периодичностью '-:'"л ^i34 + .pki';-ли1.-2- Проведены конкретные вычисления для дисперсии и проанализированы варианты колебаний концов:.'автономных, некоррелированных (D12= = D21= 0>, идеально положительно коррелированных (Dn= D22» D12= = D21=i), идеально отрицательно коррелированных (D12= Dgl= -1). Изучено влияние параметров широкоголосюсти и характерной частоты на величину и форму распределения дисперсии вдоль пространственной координаты* ';..-.' В четвертой главе рэсматриватся установившиеся колебания балки постоянного сечения, которые после введения безразмерной функции и параметров в рамках технической- теории описываются однородным дифференциальным уравнением в частных производных гиперболического типа ип+ 2 eut+ іГ^= 0, х і (0; 1), t > -«. (35) Концы такой балки могут совершать линейные и угловые кине- ,! ;--'.-!26--.-' . ;;.':. .-. V наплескав перемещения из-за сейсмических воздействий, общей вн- брации всего сооружения;'или машины,"транспортного средства, зле-' ментом" которых она, является, или-под' действием непосредственно прижженных СИЛ.. '"' :'"' -' '-'j. '"'. -:'-..":':,''-;-:-:у\--';. ';'"' 'V''-. , Рассмотрены следующие *; балки пб типам опирання"концов: шар-нирно опертая Оалка,,' балка с жестко ''..заделанными концами, консоль-' .' нал балка, консольная балка с.массби на свободном конце.' ,'.'': . Задача состоит в том, чтобы при; гармонических, колебаниях рп-' ределить функцию u(x,.t), а затем безразмерные изгибающие' моменты .' m(x,t) и.поперечные силы g(x,t) :: .; ' .. ' '. ; .;.'' mu.t) «'u^i.t), '_! q(t,t} = U^U.t).;: ; (36) В стохастической постановке отыскание функцій заменяется опреде-' ланием вероятностных характеристик в виде спектральных плотностей и дисперсий этих" же функций. ... ;.'' ;-' . ""-.;""." ' ; , По Оольшшству .детершішістіїческік'задач решения известны или-их получение; не встречает серьезных затруднений. Поэтому для них .. .' приведены краткие сведения или'получены результататы, в такій, формах итерминах,.которые, требуются'для.'изучения.случайных'колебаний. В частности, очень удобными для приложений к случайным колебаниям оказываются передаточные> функции, найденные при гармонических возмущениях,на границах перечисленных типов балок. ''"-, На примере шарнирноопертой, балки," правый конец которой ко- ' леолется,, а левый - неподвижен,; решения строятся следующим образом. Выписываются граничные условия для уравнения (35) .- (37) u(0, t) - О, u(i, t) - f(t) » elQt, 11^.(0, t) = 0,, 11^(1, t).= 0, t > Используется метод разделения переменных, т. е. решение задачи (35), (37) принимается в виде (26), что дает краевую задачу относительно передаточной функции аллштического,типа..Ее решение имэет вид Здесь A, - корень характеристического уравнения, Jlfl)2 + 2Є(ІП)+Л4 = 0. Формула' (28) опрэделяет амплитуду, (3S) и (38) дают передаточные функции и амплитуды для внутренних1сил и /y -ю\- ^2f sbAx . зШх V и /_' .,m_ X3f chAx costa' 1 nq\ yx.lfl)- 5. j_ щ- - gjjjjf- j, Hq(x,ifl)= г l вНЭС— ШГ J (39) . am(x) = | Hm(x, 10) j, aq(x) = J Hq(x, 10) 1- (40) Аналогичные результаты получены для других' типов балок при различных возмущениях (граничных условиях) и их сочетаниях. Те же задачи рассмотрены в стохастической постановке, т. е. при f(t), являющимся стационаршм случайным процэссом. Определены спектральные плотности и дисперсии прогибов и внутренних сил. Например, для изгибающих моментов они имеют вид SB(i,w).s |Ha(x,iu)|2' Sf(u), Dn(x) = J |ІГт<Х,ІУ)|2 Sf(0))du). (41) -co При интегрировании правых частей (41-) и аналогачішх (формул учтено, что подынтегральная функция' имеет две характерные чередуда-ёся зоны: острого гака на узком отрезке около собственных частот и сравнительно' спокойного участка. Шаги интегрирования подбирались с помощью вычислительных экспериментов для кавдой зоны соответствующие. Подробно изучены случаи, когда возмущения являются стационарными случайными процессами в виде усеченного белого шума, экспоненциально - коррелированного и со скрытой периодичностью. Между решениями детерминистических и стохастических задач обнаруживается . множество аналогий. По мэре уменьшения шрокополосиости входных возмущений стохастические параметры колебаний приближаются к детерминистическим, в пределе совпадая с ними. Значения дисперсий прогибов и вігутрзяшіх сил и форм их распре деления вдоль оси балки существенным образом зависят от харак- ...-.., ,,-^.--:-..::/-^-23,--:;:cc:/::., -, , . - .:, тера сошщения передаточной функцій и. спектральной щотности на; частотной оси. Если характерная частота .случайного входного про-: цесса совпадает с собственной частотой «е., то случайные; колеса- ! иия являются резонансными, и они гфоисходят в основном го собственной форме фк(х).'; Ватом случае увёдаение й^Ъкшодосноо^ входного процесса ведет к отстройке отрввошсв, и сшшешшан- : - тенсивности колебаний, й, HabOoppt, рост'і^щоїрфш^тг.-;';. резонансных колебаниях' приближает их'к резоааасу вследствие чего дисперсии перемещенийи внутренних, сил увеличиваются^;-'.' V:: : . При преобладании'шшбчаСтотнцх ссставлянщх в спектре воз- '',' . мущений внутренние сшш'шзначйтельны.: При'уве'лічешй;доли -'высекч ' кочастотных составляющих дисперсии вну денних сил существенно во- '' : врастают. ;:'" --:'"-;-;-" ---:;-' :.-7:.- ';:',;;: ';'. ':'h;.::vn :;:::;:;; " .'-. Вщюлненше пример и ана'мзрезулиатов;.обиарумшают.тес1!ую.'' связь мевд' функциями средне.квадратичёских:.оіШонешШ-прогибов'' о (х), изгибающих моментов; о (х) и^^гопёретаых сшіо ;U). Зонам "'; ; повышенной кривизны графиков ои(х)і отвечай .максшальные'.значения . оя(х) и сравнительно малые значещія оЧх); ^и-росте.изгибаюсцк-;; моментов поперечные силы,уменьшаются и т. д.,.Тащ1 образом,' изве-' .. стшэ соотношения,;. вытекаищй^из дадарешдаальшх зависшб:стей мевд прогибами и внутренними силами, имеют соответствущие стохастические аналоги." *: ;-.',-, 'Г'~':Г\.г;'::лV: Л;'--- --::-::;"" В пятой главе изучаются кинематическивозбуждаемые, уставо- <х, у) е Qb {(х, у): хл (0; Т), у і (0; Л) '}, Л» I,/ I2. : f Здесь lt, '1г - размеры в плане. Спектры собственных частот и форм . имеют вид ' ' ' ''-,.,:../.";::". -':'' ,;-',-'-',:-f- »«я ^L~e8)V2' Чи^.У) = sinv і зИі'о. (43) Vsmtt Ц=ГИС/Л, ^в^ + ц2 щ, n=1v2,... -..v". -В-датвршнистйта'асой.:зад8чв.к ypsmeism (42) присоединяются .^і;\:;/иі(х,ул)--'ф(х,у\.в^.;\ ;; и,у)Ч rv't >:- »,:.\ .лиг, . : где ф(х,'у) - заданная детергшис'гжёская: 'вещественная функция : формы колебаний -контураі; шгбранз.. Функция Отклонений мембраны .прішімавтся';.как;.пройзввдвнйВ''' неизвестной' .перэдаточиой функции Н(х,у,іП) на гармоническую ' ; і и(х,уЛ>"- В(х,у,іП)е1ЇН. ,; ;. - (45) После представления передаточной функции в виде суша .^::'..:.-,'-',Л"'"//^^вЦгУгіп^фсхгУ).* ьхх.у.ір).. . ' (4S) задача сводился к уравнения Гёльмгольца элтаппгаеского тштэ относительно' h(xtyfiQ), с одпородпыии гранпчнші условиями. 'Решение ищется татодсм Бубнова: - Галеритас тгоэдыз разложения в ряд по координатныйфункциям свободных колебаний : . ;; '';. ''-' ««' ''_ П(т,$,Щ.»B^(xfy,lfl).- J-'^I, am Ф^а.у). (47) с годлэншщкмп определению коэффициентами ат(іП). - Для. конкретных вычислений- форма колебаний контуре принята Плоской т; е."' ' ;-''." .ф(х,у) » ex +:dy + е, ' с параметрами, с, d, е.. Процедура метода дает форлулу ;-"''.- Sbtс дп{-1)га+ dA3m(-1 )п- 1 :.-ш'-. ЛШ2 (Ь2 + Ь) ' m = 1, 2,..., М; п я 1, 2,..., N. . где Ь(Ш) = (ifl)2+ 2є(1П), 0п= 5(ш) - некоторая функция целочисленного аргумента, равная единице при нечетных т, и нули - при четных га. При Q = ш имеют место резонансные колебания с преобладающим влиянием собственной формы Ф^^У). При одновременно четных значениях .и и п коэффициенты а^* 0. Амплитуда колебаний определяются по формуле типа (28). Конкретные вычисления по ней требуют априорного.назначения еєлйчин М и К при усечении сес- .. ._-. ..,:-: -;.'?'.зр.;?:"".-'*;''. , .:. „,.,.--...-v-, конечного двойного тригонометрического-ряда. .Насколько при атом,'-приближенное .решение, окажется близким к; точному,;не удается ус- -тановить. Между тем известно,, .что невязкэ становится.;сколь-угод-^ но малой при достаточно больших "М и 1J. Однако .ЕЫОор,слишком боль-* . ших значений приведет к неоправданно .завышенным объемам вычисле- ' ний, так как' амплітуду колебаний приходится определять 'для 'боль,"' шого количества точек .мембраны. . Выбор ке, слищом малых'значений, И, N связан с опасностью потери необходюлой,точности. Практичесщі 'реальный выход из такого -затруднения состоит'в 'проведешг,числен* них. экспериментов, путем .достеленного повышения, их величин И..;СбйО? ставлений'/'результатов"на каждом шаге. При достижении некоторой наперед задаваемой малой разщщц (например, 0,1...0,2 Ж)'-можно .такой численный эксперимент остановить'и последние значения," М. и N , принят как расчетные. Начальные; значения',-,Н, Н, которые затем. уточняются, путем повышения, должны, удовлетворять' условию.;Oi^j > Q, В подтверждение выполнен и іфоанализіпюван.ряд примеров./Отслежен' процесс смены.форм .колебаний, при'росте .частоты возмущения О, 'по* строена амплитудно-частотная, характеристика для отдельной точки,. именцая пики на, собственных,- частотах^;'.,., ,; -;,./; . При изучении кинематически/возбуждаемых случайных колебаний метод спектральних представлений привел к зависимости между снек-тралышми плотностями и (формуле "для дисперсий Su(x,y,a)) « |H(x,y,fcj)|? S^aif 'v'.,'': (48) DuU,y) J |H(X,y,lu)|2 Sf(u) du. 449) -" -a . ' '.-'.:. .'- Возможность сведения интеграла в правой части (49) к одному из табличных типов или необходимость обращения к численным.методац зависит от вада спектральной плотности Sf (ш). Есть два случая,, когда решение удается получить в аналитическом ваде. Первый случай - тривиальный. Если возмущения гармонические, Sf(u) « 6(0 - ш), и (49) дает дисперсию . Du(i,y) - |Н(і,у,Ш)|г, /:' которая совпадает с квадратом амплитуды детерминистических колебаний. Во втором случае спектральные плотности возмущений являются дробно - ращюнадышмй функциями. Использован га частный тип ; .;Sf"(ti))"-;DVbi(to)bJ(lw),..:.' где D- константа, L^iu) -некоторый полином. Поскольку при больших значениях М и N объема вичислений являются существенными, предложвш алгоритми, учитывающие специфи- . ческие свойства данных интегралов и приводящие к сокращению объемов 'вычислений почти в два разе. .'-.В качестве возмущений использованы экспоненциально - коррэ-. йрованннй процесс и процесс со скрытой периодичностью. Показано йлияниэ формы источника колебаний, параметров несущей частоты и шрокополосности на величину' дасперсіш колебаний и Форму её распределения вдоль пространственнух координат. Оказывается, что в форма вынужденных колебаний . преимущественную роль играют собственные форш, попадающие в зону сосредоточения наибольшей мощности спектральной плотности возмущений. Изучена связь между ампли-. тудао-чвстотными кривыми и интенсивностью случайных колебаний. В шестой главе рассмотрены кинематически возбуждаемые установившиеся колебания гааршрно-оперда ігрямоугольннх в плане пластин, подлшящихся пшотезам Кирхгофа-Лява. Соответствущеэ двумерное волновое уравнение после ввода безразмерных координат, параметров^ функции прогибов имеет вид .. Utt+2EUt+ 4 ДЫ = 0, (60) й.У)Чв{(х,у}: хс(0;1), у«(0;Л)>, Л « 1/ 12, А » дг/ бх2 + дг/ Зу2. .- - В сечениях пластины действуют безразмерные внутренние силы, находящиеся в известных соотношениях с.прогибами: изгибающие моменты т,» иа+ |ш , п^а и 4 ци^; (51) крутящие моменты ' п12= и ; (52) поперечные силы qt« (Ди)х, q2» (Ди) . (53) Здесь ц. - коэффициент Пуассона. Стввятся задачи ос определении для перемещении и внутренних сил: при гармонических колебаниях - соответствующих функций и амплитуд, при случайных колебаниях - спектральных плотностей в дисперсии. Спектры собственных частот и форм имеют вид Ч»"^-8**?' Wx'»> -flln V т V» v«" "* k. га^л, \.„" v? + V?i ffl, n і, 2,... їв n out ш ' n В детерминистических задачах принято, что контур пластины совершает гармонические колеоания, чему соответствуют граничные условия * u(x,y,t)»t|)(x,y)f(t), (х,у)Г, (Б4) ия(0,у) » 11^(1.>) » u^tf.O) » UyyU.A) » 0. Здесь ф(х,у) - заданная функция формы двикения, f(t)« е1 *. Решение задачи (50), (54) принимается в виде (45), что дает сначала краевую задачу с неоднородными граничными условиями. Затем она приводится к задаче с однородными граничными условиями, которая решается методом Буонова-Галеркина с представлением искомое функции в виде ряда по собственным формам. Конкретные выкладки проведены для варианта движения контура <|ЧХ,у) ох ay + exy + g, с параметрами с, й, в, g. Получены коэффициенты ряда 4t І 2ІС0 (-1 )в+ <1ЛС (-1 )n- 2g6 в ) - ели) ) Я 'в її і .Л ' і.".; ' і- ' ' ..''.. ^У ** ' "'л'' ''' L'~ ''," і-" ш : -: ш*1(\^'ч Ь), У /;^; :'.?" О :'. ш« і.,,2,.'..,'ці):їі*:\'; 2,...V,;N;J:'V;: :-VY'- -vV^. Ніі.у.Ш) -,ф(Х,У) 4| І ^\Ф^иіУ)У.::;.':--,:'/-"; Ул55)-;;.,. Амплитуде колебаний вновь вычисляются; по'формуле,' аналогичной (28). Передаточные функции для внутренних сил.и амплитуда определяются с помощью (51)-(53), (55). Например, для изгибающего :,;..;.' ,-гзз-.-. .'. Hm (x.y.lfl) =Н + JUL, =ф + jubV + Т 7 аю pf ), am (г,у) = |Нга (x,y,ffl)f. Эти формулы использована для построения амплитудно-частотных характеристик, анализа зависимости амплитуд и форм перемещений и внутренних сил от частот и форм возмущений. ".'''' При случайных колебаниях контура пластины в граничных условиях (54) функция f(t) является стационарным центрированным случайным процессом с известными вероятностными характеристиками. Получены функции/спектральной плотности и дисперсии для прогибов и внутренних сил, по которым проведены конкретные вычисления при входішх процессах в виде, усеченного белого шума, вкспоненциально--коррелированного процесса и со скрытой периодичностью. В случве усеченного белого шума вычисление дисперсии проводилось с исполь- , зовшшем численных методов интегрирования. Аналіз показывает, что решения детерминистических задач являются частными случаями решений стохастических, задач, йзучепо "влияние параметров широкополосности и характерной частоты на ве- ' личину и форму распределения среднеквадратических отклонений прогибов и внутренних сил. Зависимость вероятностных свойств колебаний от характера совмещения спектра собственных частот и спект- . ральной плотности возмущений такая ш, как в предыдущих случаях.
(to)3 в полиноме L (to) на производную'd-'/di3 'и = І,.".1.,г).
Три случайных процесса x(i), y(i),q(t), описываемые уравнениям
(9), (5) и (10), рассматриваются совместно. Вводятся расширенно*
фазовое пространство размерности п = г +4 и в нем штор х(т)
с компонентами ;
\ ''.'": |f = dl7H0,5S7-f)w), ; (14)
спектральной плотностью
^2= X, Х_= У,
Л = у»
. о
спектральной плотностью типа (21). При определении границ облас
тей устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров мар
ковский процесс х(т) имеет компоненты
ной плотностью типа (23). Решение проведено аналогично предыду
щему случаю. Полученные границы области неустойчивости совладеют
с найденными в работе В.В.Болотина и В.Г.Москвша, если положить
в уравнении (2) коэффициент нелинейности а нулевым. Изучены зави
симости параметров колебаний ш и э_ от характерной частоты вхо*
дного случайного процесса р(т). Обнаружены многозначные решения,
часть из которых квалифицируется как стохастически неустойчивые.
u(x, t) - Н(х, Ш) el0t, (26J
вившиеся, колебашш прямоугольных мембран, описываёше после вве
дения безразмерных коордащат,'^ ' .'?''.
u(x,t) ;щффереіщиальшм уравнением' Г.: .,^
-";; -'-.' и..+ 2ш+-'ц-"1Г=0,''.': ^%ґ^Ще{&)ху ::':;
го шп тиа . m "n /
'граничные;условия ;'.'. ^,Л"7'^-'ч. ' ";Г ' ;'
и передаточная функция ..-;'.. '':'/„ ''':'\ >:;:",-.
,, m. .'*' хх 77 хх ГТ7У к и nrmxx rTmnyy