Введение к работе
Актуальность работы. Проблема оптимизации конструкций является одной из актуальных задач механики твердых деформируемых тел. Изучались и продолжают изучаться классы задач, отличающиеся целевыми функциями (жесткость, вес, стоимость ), свойствами сред (упругая, упруго-пластическая), пространственной конфигурацией (шарнирные фермы, рамы, пластины, оболочки, трехмерные тела).
Данная работа связана с одной из первых и, возможно, самой простой проблемой оптимизации - задачей Леви о шарнирной ферме минимального обьеліа.
Необходимо указать, что вычислительным аспектам проблемы нахождения упругих конструкций минимального веса уделяется внимание в работах многих авторов (см. главу 1 ). Но на ряду с вычислительными аспектами, которым в литературе по дашгой задаче и ее модификациям уделяется преимущественное внимание, имеются качественные проблемы. Их исследование представляется целесообразным начать с простейших постановок. Поэтому в данной работе за основную постановку взята задача Леви.
Основной особенностью оптимальной фермы Леви оказывается то, что в нее входят не все стержни и узлы, которые допустимы в исходном множестве стержней и узлов. Иначе говоря, материал кон-цетрируется в части исходного пространства. Такими же свойствами обладают оптимальные решения и в других задачах оптимизации конструкций. .
В связи с этим являются практически актуальными следующие проблемы:
выявить ситуации, когда заранее может быть изъята часть узлов без увеличения общего веса несущей конструкции;
определить, является ли это свойство робастным, т.е. сохраняется ли оптимальная конструктивная схема при малых изменениях внешней нагрузки;
найти способ построения единственной фермы минимального веса, в которой удовлетворяются условия прочности при любых нагрузках из заданного класса;
выявить пути учета дополнительных условий, не входящих в формулировку классической задачи Леви, по имеющих важное практическое значение;
Цель работы:
- провести исследование зависимости степени избыточности решения
задачи Леви от параметров задачи;
рассмотреть условия сохранения конфигурации и степени избыточности фермы, являющейся решением задачи Леви при изменении внешней нагрузки;
рассмотреть задачу о ферме, оптимальной для класса нагрузок;
провести численные исследования зависимости избыточности решения задачи о ферме, оптимальной на множестве альтернативных пагрузок;
рассмотреть некоторые задачи, отличающиеся по постановке от задачи Леви: с учетом собственного веса стержней, с учетом ограничений на перемещения шарниров и условий устойчивости стержней при работе на сжатие.
Научная новизна работы состоит в следующем:
введены понятия избыточности и вырожденности, характеризующие исходную и оптимальную конструкции;
по результатам аналитического и численного исследования решения задачи Леви сделан вывод, что степень вырожденности оптимальной фермы существенно зависит от взаимного положения опор и точки приложения внешней нагрузки, а также от направления действия внешней нагрузки. Проведено сравнение с результатами решения задачи о ферме оптимальной для нескольких альтернативных нагрузок;
введено понятие робастности неприводимой конструктивной схемы оптимальной фермы. Дано описание класса нагрузок, на котором свойство робастности заведомо сохраняется, и механическая интерпретация ограничений, задающих этот класс;
доказаны следующие общие утверждения: 1) задача о ферме оптимальной на многогранном множестве нагрузок эквивалентна проблеме оптимизации на конечном множестве нагрузок, отвечающим угловым точкам многогранника; 2) то же справедливо для задачи с учетом условий устойчивости (для произвольного вида зависимости критической силы Эйлера от площади поперечного сечения стержня);
предложены: алгоритм для численного решения задачи о ферме оптимальной на многогранном множестве нагрузок; алгоритмы приближенного решения задач о ферме минимального веса, с учетом ограничений по устойчивости стержней или по перемещению узлов, основанные на сведении возникающих задач к последовательности
задач линейного программирования;
Практическими результатами работы является созданное программное обеспечение для решения задач оптимизации ферм, которое поступило в фонд программ АООТ "СЕВЗАПЭНЕРГОСЕТЬПРОЕКТ" , а также используется в учебном процессе в СПбГТУ и ПГУПС. Построении варианты оптимальных конструкций при типовых нагруже-ниях. Ряд основных результатов вошел в учебное пособие "Вычислительные методы в инженерных расчетах" (ЛИИЖТД994). Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на научных семинарах Санкт-Петербургского государственного технического университета.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 4 печатных работах.
Структура и объем диссертации. Работа содержит введение, пять глав, заключение, список литературы, включающий 70 наименований, приложение. Текст диссертации изложен на 136 страницах машинописного текста и содержит 19 рисунков и 6 таблиц.