Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Динамические опорные реакции при свободных колебаниях .11
1.1. Балочные системы 11
1.1.1. Однопролетные балочные системы 11
1.1.2. Двухпролетные балочные системы .16
1.1.3. Трехпролетные балочные системы переменного сечения 18
1.1.4. Высшие формы колебаний балочных систем
1.2. Складчатые системы 24
1.3. Ферменные системы .26
Глава 2. Исследование горизонтальной опорной реакции для системы с классической схемой опорных закреплений при некоторых типичных видах динамических воздействий 28
2.1. Явная схема интегрирования уравнений движения .29
2.2. Алгоритм вычисления контактных сил 32
2.2.1. Вычисление контактных сил при торможении 35
2.3. Учет сил демпфирования с использованием обобщенной модели Прандтля 37
2.4. Динамические опорные реакции в мостовой ферме при движении подвижной нагрузки 40
2.5. Динамические опорные реакции в разрезной ферме при разнонаправленном движении подвижной нагрузки 47
2.6. Тормозная сила как динамическое воздействие на пролетное строение 49
2.6.1. Динамика взаимодействия поезда и пролетного строения при торможении 55
2.7. Динамические опорные реакции в мостовой ферме при воздействии землетрясения 58
2.8. Динамические опорные реакции в балке при ударном воздействии 63
2.8.1. Поперечный удар по балке грузами с различной выпуклостью ударной поверхности 79
3. Учет массивных упругих опор для анализа динамических опорных реакций при свободных и вынужденных колебаниях .82
3.1. Динамические опорные реакции в плитно-балочных системах, совершающих свободные колебания, при совместной работе пролетного строения и опор .82
3.2. Совместная модель пролетного строения, подвижного состава и массивной опоры для анализа динамических опорных реакций 88
Глава 4. Динамическая модель – пролетное строение, подвижной состав, грунтовый массив насыпи 93
Основные результаты и выводы 103
Список литературы
- Двухпролетные балочные системы
- Высшие формы колебаний балочных систем
- Динамические опорные реакции в мостовой ферме при движении подвижной нагрузки
- Совместная модель пролетного строения, подвижного состава и массивной опоры для анализа динамических опорных реакций
Двухпролетные балочные системы
В результате исследования было выявлено, что горизонтальная составляющая опорной реакции при движении по первой форме собственных колебаний составляет примерно половину от вертикальной составляющей, а в некоторых случаях превышает ее. Так, например, для двухпролетной балки горизонтальная составляющая опорной реакции превышает вертикальную составляющую в 1,4 раза, а в случае балки переменного сечения – в 2,6 раза. Приведенные значения показывают, что даже для первой формы колебаний исследуемый парадокс в значениях опорных реакций является весьма существенным, заслуживающим рассмотрения.
Теперь рассмотрим высшие формы собственных колебаний балочных систем. Для расчета была взята балка с длиной пролета 16 м и высотой 1,6 м. Рассматривалось три варианта закрепления балок.
Четвертая форма собственных колебаний. Балка закреплена на уровне нейтральной оси. Частота колебаний 83,3 Гц. Горизонтальная реакция равна нулю Как видно из рисунков 1.8-1.11 при таком способе закрепления горизонтальная реакция равна нулю, а вертикальные реакции получаются одинаковыми, симметрия не нарушается.
Приведенные на рисунках 1.8-1.11 расчеты мы выполнили для того, чтобы еще раз убедиться в правильности объяснения причины появления горизонтальной реакции при колебаниях – она связана с расположением горизонтального закрепления не на нейтральной оси.
В случае закрепления балки на уровне нижних волокон (рисунки 1.12-1.15) появляется горизонтальная опорная реакция, которая в некоторых случаях оказывается больше вертикальной опорной реакции. Наличие горизонтальной опорной реакции меняет вид формы колебаний. Вторая и третья формы колебаний похожи друг на друга, но у этих форм есть принципиальное различие: в случае второй формы колебаний (рисунок 1.13) шарнирно-подвижная опора движется направо, балка поднимается вверх, а в случае третьей форме колебаний (рисунок 1.14) шарнирно-подвижная опора движется направо, балка опускается вниз. Таким образом, привычная вторая форма балки как бы раздвоилась, что так же является следствием расположения горизонтальной связи ниже нейтрального слоя.
В реальных балках в опорном сечении делается усиление балки, чтобы избежать больших местных напряжений в области приложения сосредоточенного воздействия, поэтому далее были рассмотрены балочные системы, закрепленные на уровне нижних волокон, и в месте опорного крепления сделано усиление балки (в месте опорного крепления был выделен слой балки высотой равный высоте балки и длиной 0,2 м с модулем упругости в 100 раз большим, чем модуль упругости балки) (рисунки 1.16-1.19).
Значение коэффициента k равняется 0,523 Рисунок 1.17. Вторая форма собственных колебаний. Балка закреплена на уровне нижних волокон, в месте опорного крепления сделано усиление балки. Частота колебаний 34,8 Гц.
Анализируя полученные данные (рисунки 1.16-1.19) можно убедиться в том, что соблюдается гипотеза плоских сечений и, следовательно, отсутствуют местные деформации элементов, что уменьшает значения коэффициента k. Тем не менее, и при усиленном опорном сечении возникает существенная горизонтальная опорная реакция, которая в некоторых случаях оказывается во много раз больше вертикальной опорной реакции. Таким образом, можно сделать вывод о том, что и при усилении опорных сечений горизонтальная опорная реакция равняется примерно тем же значения, что и в балке неизменного сечения. 1.2. Складчатые системы
Далее в работе были рассмотрены плитно-балочные системы [41] с сечением и размерами типового пролетного строения под железнодорожную нагрузку (расчетная длина пролета была взята 15,8 и 33,5 м, высота балки – 1,9 и 2,49 м соответственно (рис. 1.20, 1.21). Расчет выполнен с использованием программного комплекса NASTRAN-PATRAN.
Для получения численных значений амплитуд горизонтальной опорной реакции при свободных колебаниях использовалась уточненная конечно 25 элементная пространственная расчетная схема, когда конструкция моделируется конечными элементами [13, 27, 29, 93]. При расчете использовались пластинчатые конечные элементы.
После численного решения получен коэффициент k, который представляет собой отношение суммарной горизонтальной опорной реакции в месте шарнирно-неподвижного крепления к суммарной вертикальной опорной реакции. В принятых расчетных схемах плитно-балочных систем опирание моделируется постановкой опорных связей в нескольких опорных узлах (рисунок 1.22). При этом под вертикальной опорной реакцией понималась алгебраическая сумма вертикальных опорных реакций в опорных узлах, аналогично для горизонтальных опорных реакций. Рассматривались колебания по собственным формам, которые для балочных схем являются первыми формами с минимальной собственной частотой. Значения коэффициента k даны в таблице 1.7.
Высшие формы колебаний балочных систем
Результаты, приведенные в главе 1, достаточно определенно показывают, что при свободных колебаниях амплитуды горизонтальной опорной реакции вполне сопоставимы с амплитудами вертикальной опорной реакции. Во многих рассмотренных случаях динамическая горизонтальная опорная реакция существенно превосходит вертикальную.
Следует отметить, что размеры и формы рассмотренных нами систем балочного типа сознательно выбирались по возможности близкими к реальным схемам. Крепление балочных систем самое типичное для практики – имеется шарнирно-неподвижная и шарнирно-подвижная опоры, расположенные на уровне нижних волокон балок. Однако необходимо отметить, что рассмотрение только свободных колебаний не дает ответа на вопрос и важности исследуемого феномена для практических задач.
Действительно, свободные колебания по одной из собственных форм есть, вообще говоря, некоторое абстрактное возможное движение системы и всегда встает вопрос о причинах возникновения этого движения.
Для того чтобы получить оценку практической значимости рассматриваемого явления нужно рассмотреть вынужденные колебания, которые возникают в балочных системах при типичных динамических воздействиях [2, 17, 59]. Этому вопросу и посвящается настоящая глава [49, 50].
Основным инструментом наших исследований является численное компьютерное моделирование. Таким образом, наши возможности определяются во многом наличием доступных программных комплексов. Задача о свободных колебаниях линейных систем в настоящий момент является полностью изученной. Она реализована практически в любом конечно-элементном программном комплексе. Для решения задач, рассмотренных в главе 1, мы используем программный комплекс NASTRAN-PATRAN [13, 27, 29, 93], который имеется на кафедре «Строительная механика» МИИТ. Это мог быть и любой другой конечно-элементный программный комплекс.
Совершенно по-иному дело обстоит с задачами о вынужденных колебаниях. Эти задачи требуют применения численных шаговых методов решения, которые в свою очередь требуют индивидуального подхода к каждой задаче и не могут быть реализованы в рамках стандартных программных комплексов. Для решения этих задач мы пользуемся компьютерной программой, разработанной на кафедре «Строительная механика» МИИТ [38]. Авторами этой программы являются: В.Б. Зылев, А.В. Штейн, Н.А. Григорьев.
Эта программа реализует оригинальный численный метод интегрирования уравнений движения с использованием экстраполяции по Адамсу, использующий явную вычислительную схему.
Преимуществом использования собственной компьютерной программы является возможность внесения в нее необходимых изменений и дополнений. Этой возможностью мы пользуемся в данной работе, при моделировании процесса торможения подвижного состава на мосту. Поскольку используемый нами программный продукт не имеет развитой сервисной части, облегчающей ввод исходных данных, подготовка исходной информации для каждого решаемого примера представляет достаточно трудоемкую задачу.
Используемый нами метод решения динамической задачи не является общеизвестным, поэтому мы считаем необходимым дать краткое описание этого метода. С нашей точки зрения это нужно для понимания содержания работы, естественно мы делаем ссылки на первоисточники.
Используемый в данной работе вычислительный метод позволяет рассматривать различные нелинейные динамические задачи. Он основан на численном интегрировании уравнений движения и подразумевает выполнение расчетов с использованием компьютера. Все решения, получаемые данным методом, строятся на точных геометрических соотношениях (в геометрически нелинейной постановке), задачи рассматриваются с учетом произвольно больших перемещений. Численный метод позволяет: рассматривать изменяемые системы; решать задачи о механизмах и задачи о движении твердого тела или системы таких тел; рассматривать задачи взаимодействия нескольких тел; решать задачи с полным или частичным разрушением конструкции, в том числе с рассмотрением прогрессирующих разрушений.
Конструкция в данном методе рассматривается как система точечных масс, соединенных между собой стержнями, работающими на растяжение-сжатие.
Основной задачей любого шагового метода решения динамической задачи является получение состояния системы в момент времени t+t, если известно ее состояние в момент времени t. Под состоянием системы следует понимать координаты и скорости всех узловых точек.
Следует отметить, что искомые добавки к скоростям и координатам получаются в данном алгоритме в явном виде на каждом шаге решения.
В таблице 2.1 W0 – ускорение в начале временного участка интегрирования, V0 – скорость в начале временного участка, W1 – ускорение за шаг t перед началом участка интегрирования, W2 – ускорение за два шага интегрирования, W3 – ускорение за два шага интегрирования.
Можно считать, что формулы, данные в таблице 2.1 записаны для движения точечной массы вдоль прямой линии. Однако когда рассматривается пространственное движение точки формулы, данные в таблице 2.1 можно применять для определения смещений вдоль каждой координатной оси ортогональной системы координат X, Y, Z. В этом случае под ускорениями и скоростями нужно будет понимать соответствующие составляющие ускорений и скоростей вдоль координатных осей.
Можно получать и более высокие модификации метода Адамса. Подробное описание алгоритма и рассмотрение решений при различных модификациях Адамса приводится в [38, 39]. Во всех решениях, полученных в данной работе, использовалась третья модификация метода.
Возможность рассмотрения контактного взаимодействия между составляющими расчетной схемы, которая имеется в программном комплексе [38] весьма важна для нашей работы. Эту возможность мы будем использовать для моделирования подвижной нагрузки на пролетном строении. Ниже в п. 2.2.1 дается развитие алгоритма вычисления контактных усилий, позволяющее получать тормозную силу заданной интенсивности. Теперь изложим порядок вычисления контактных сил. Данный алгоритм подробно описан в [9], здесь мы приведем краткое описание этого алгоритма.
Динамические опорные реакции в мостовой ферме при движении подвижной нагрузки
Анализируя данные таблиц 2.9-2.11 можно сделать вывод о том, что наиболее опасным моментом начала торможения является торможение при съезде с моста. Объяснение этого заключается в том, что при начале торможения при въезде на мост тормозная сила нарастает постепенно от нуля до своего максимального значения. Если торможение начинается, когда весь подвижной состав находится на пролетном строении, существенную роль играет фактор внезапности приложения нагрузки. Известно, что для системы с одной степенью свободы динамический коэффициент в этом случае равен 2.
На рисунке 2.22 представлен график изменения горизонтальной опорной реакции во времени при скорости движения подвижного состава 27,8 м/с. Рисунок 2.22. График изменения горизонтальной опорной реакции во времени при скорости движения подвижного состава 27,8 м/с: а – kтр.=0, т.е. торможение отсутствует; б – с торможением при въезде на мост, kтр.=0,35. Масса подвижного состава 238 т Анализируя результаты, приведенные в таблицах 2.9-2.11, можно отметить, что при скорости движения поезда до 100 км/ч, динамическая горизонтальная реакция, связанная только с вынужденными колебаниями составляет около 40% от полной реакции, которая возникает от вынужденных колебаний с учетом всех динамических эффектов и тормозной силы. При скорости движения поезда, соответствующей высокоскоростному транспорту (400 км/ч) динамическая горизонтальная реакция, связанная только с вынужденными колебаниями составляет около 80% от полной реакции.
Если сравнить динамическую опорную реакцию только от вынужденных колебаний для вполне реальной скорости 100 км/ч – 347,2 кН (см. таблицу 2.9) со значением горизонтального усилия, которое предписывают учитывать нормы СНиП 2.05.03-84 «Мосты и трубы» [85] от действия тормозной силы – 238 кН, то получим, что изучаемый эффект дает больше, чем наиболее существенное горизонтальное воздействие (тормозная сила). Данная часть работы опубликована в нашей статье [43].
Таким образом, можно говорить о том, что изучаемый нами фактор представляет существенный практический интерес. Влияние рассматриваемого феномена динамической горизонтальной опорной реакции становится еще более значительным для высокоскоростного движения, где динамическая опорная реакция, соответствующая вынужденным колебаниям в несколько раз превосходит реакцию от действия торможения.
Далее были исследованы динамические усилия, возникающие в элементах пролетного строения при торможении подвижного состава [44].
Задача, безусловно, представляет самостоятельный интерес, так как нам не известно публикаций, где бы тормозная сила рассматривалась как динамическое воздействие. С точки зрения тематики нашей работы, здесь мы выполняем расчет с учетом изучаемого в диссертации эффекта появления горизонтальной опорной реакции.
Расчетная схема и способ расчета те же, что и в пункте 2.6. Суммарная масса подвижной нагрузки составила 238 т (рисунок 2.23).
В целях сравнения полученных значений усилий было рассмотрено 3 варианта момента начала торможения: при въезде на мост, посередине моста, при съезде с моста. kтр. принимался равным 0 и 0,35, скорость подвижного состава принималась равной 27,8 м/с (рисунок 2.24). В таблице 2.12 приведены максимальные за время прохождения подвижного состава по пролетному строению значения усилий в элементах фермы при исходной скорости движения подвижного состава 27,8 м/с и коэффициентах трения 0 и 0,35. kтр. = 0 соответствует отсутствию торможения. Таблица 2.12 Значения максимальных за время прохождения подвижного состава по пролетному строению усилий в элементах фермы. Значения усилий даны с учетом собственного веса пролетного строения
На рисунках 2.25-2.27 представлены графики изменения усилий в элементах пролетного строения во времени при скорости движения поезда 27,8 м/с и массе подвижного состава 238 т.
Графики изменения усилия в элементе № 1. Торможение при въезде на мост, время расчета 4 сек. Разница по максимальным значениям усилий в элементе составляет Графики изменения усилия в элементе № 2. График построен с момента начала торможения (торможение включается посередине моста), время расчета 3 сек. Разница по максимальным значениям усилий в элементе составляет 5,4%
Графики изменения усилия в элементе № 3. График построен с момента начала торможения (торможение включается посередине моста), время расчета 3 сек. Разница по максимальным значениям усилий в элементе составляет 10,4% Анализируя полученные данные можно сделать вывод о том, что тормозная сила увеличивает значение усилий в элементах пролетного строения примерно на 10%, причем при получении этих данных учтем эффект появления горизонтальной опорной реакции. 2.7. Динамические опорные реакции в мостовой ферме при воздействии землетрясения
Следующим этапом работы было исследование динамических опорных реакции, возникающих в мостовой ферме, вследствие воздействия на пролетное строение землетрясения [72]. Расчетная схема и способ расчета те же, что и в пункте 2.6.
Отметим, что задача о воздействии землетрясения на пролетное строение при наличии подвижной нагрузки решалась в работе [71]. В упомянутой работе расчетная модель содержала всего 2 динамические степени свободы. Цель выполненных здесь решений заключается в определении, прежде всего величины динамической горизонтальной реакции, притом, что мы сознательно рассматриваем лишь вертикальную подвижку основания [45].
Расчет проводился в 2-х вариантах: сначала динамические опорные реакции определялись при воздействии землетрясения, затем – при воздействии землетрясения и наличии движущейся по пролетному строению подвижной нагрузки. Идеология численного метода интегрирования уравнений движения используемого нами такова, что удобнее использовать именно смещения опорных точек, а не ускорения [1, 38]. Решение задачи на сейсмическое воздействие сводится по существу к заданию смещений опорным узлам на каждом временном шаге (рисунок 2.28).
Совместная модель пролетного строения, подвижного состава и массивной опоры для анализа динамических опорных реакций
Так как реальное пролетное строение взаимодействует с подходными железнодорожными насыпями, то представляет интерес рассмотрение совместной динамической модели – пролетное строение, подвижной состав, грунтовый массив насыпи. Это рассмотрение, прежде всего, относится к возникающей при динамическом воздействии горизонтальной опорной реакции [8]. Рассмотрению совместной динамики экипажа, пролетного строения, верхнего строения пути посвящено большое количество работ, среди которых отметим [16, 60, 61, 94]. Однако работ, в которых рассматривалось бы появление горизонтальной опорной реакции нам не удалось обнаружить. Ранее было показано, что в случае, когда пролетное строение опирается неподвижной опорной частью на податливую массивную опору (см. п. 3.2), то максимальное значение горизонтальной опорной реакции при действии подвижной нагрузки становится меньше. Естественно, аналогичного эффекта следует ожидать и для случая, когда опорная часть связана с грунтовой насыпью. Этот вопрос требует количественного обследования.
Динамические опорные реакции в определенной степени представляют интерес еще с той точки зрения, что они вызывают упругие деформации в самой насыпи. Величины этих деформаций также исследованы в данной главе.
Рассмотрение совместной динамической модели для системы – пролетное строение, подвижной состав, грунтовый массив насыпи в полном объеме представляет очень сложную задачу, поэтому при составлении расчетной модели мы сочли возможным пойти на ряд упрощающих допущений. Остановимся на этих допущениях или лучше сказать упрощениях в расчетной схеме.
Пролетное строение и подвижной состав составляют плоскую часть расчетной схемы, а насыпь – пространственную часть расчетной схемы. Плоская часть расчетной схемы была рассмотрена ранее (см. п. 2.6). Пролетное строение опирается на один узел насыпи. Чтобы распределить соответствующее сосредоточенное усилие узел опирания связан с узлами насыпи 12-ю стержнями (см. рисунок 4.2).
Как допущение также было принято, что тело насыпи наделено свойствами изотропного упругого материала. Нижние точки основания насыпи жестко закреплены, что является еще одним допущением в рассмотренной задаче.
Для моделирования насыпи была использована обобщенная модель А.Р. Ржаницына [52]. Описание данной модели была дано выше (см. п. 3.2). Расчетная схема состоит из 10062 узлов и 70526 стержней. Расчет выполнен с использованием программы [38].
Насыпь представляет собой массив длиной 100 м, высотой 5 м, шириной поверху 6 м, шириной понизу 22 м. Уклон откосов насыпи 1:2.
Для проверки правильности работы модели фрагмент расчетной схемы, моделирующий грунтовую насыпь, был отдельно протестирован.
Были приняты следующие характеристики материала (песчаный грунт): Е = 120 МПа, = 1,4 т/м3, = 0,25.
Для тестирования решалась задача о распространении фронта волны деформаций в массиве. Насыпь рассматривалась как незакрепленное массивное тело. Угловому узлу, находящемуся на поверхности насыпи, была задана начальная скорость по горизонтали равная 100 м/с. При таком воздействии по массиву начинают распространяться волны деформаций. По скорости и характеру их распространения можно судить о правильности работы модели.
Скорость распространения фронта волны деформаций по массиву из численного решения составила 332 м/с (рисунок 4.4).
Разность полученных значений скоростей составляет 3,61%. Таким образом, имеем удовлетворительное совпадение результатов.
Затем насыпь была дополнительно протестирована с использованием вычислительного комплекса NASTRAN-PATRAN [13, 27, 29, 93] и программы [38]. Был вычислен прогиб свободного конца под действием собственного веса насыпи. Для моделирования насыпи в программе NASTRAN-PATRAN были использованы трехмерные конечные элементы. Все узлы правого торца насыпи закреплены жесткими заделками (рисунки 4.5, 4.6).
Прогиб конца консоли по расчету в программе NASTRAN-PATRAN составил 0,762 м. Прогиб конца консоли, полученный с использованием программы [38] составил 0,749 м. Разность полученных результатов составляет 1,74%. Выполненный тест по определению прогиба консоли показывает, что характеристики массива насыпи отображаются правильно в рамках рассмотрения этого массива как упругой изотропной среды.
Стержневые элементы со сферическими шарнирами, имитирующими работу рельсошпальной решетки на изгиб После получения удовлетворительных результатов тестирования, насыпь была дополнена стержнями и упругими шарнирами, которые имитируют работу рельсошпальной решетки. Для расчета были приняты рельсы типа Р-65 и ЖБ шпалы (рисунок 4.7).
Жесткость упругих шарниров определялась с таким расчетом, чтобы условные шпалы давали бы при изгибе в вертикальной плоскости ту же жесткость, что и реальные шпалы, уложенные с шагом 0,42 м. Определение жесткости дало: Сшпалы = 2195,292 кН м, Срельса = 7080 кН м.
Далее был выполнен расчет всей системы на подвижную нагрузку. Было рассмотрено 2 варианта расчета. Вначале горизонтальная связь пролетного строения была соединена с узлом, который жестко закреплялся, что разделяло деформации пролетного строения и насыпи. При другом варианте расчета горизонтальная связь пролетного строения соединялась с узлом насыпи, что соответствовало их совместной работе.
В 2-х случаях исследовались усилия в горизонтальной связи пролетного строения, а также в 3-х стержнях насыпи на глубине 1 м (2 горизонтальных стержня на расстоянии 4 и 10 м от начала насыпи и вертикальный стержень на расстоянии 15 м от начала насыпи (рисунки 4.8-4.12). В таблице 4.1 приведены значения экстремальных усилий и соответствующие им продольные деформации в стержнях для выполненных в данной главе численных решений. Скорость движения подвижного состава принималась равной 27,8 м/с (100 км/ч).