Дискретные и дискретно-континуальные методы могоуровневого расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа Мозгалева Марина Леонидовна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Обзорно-аналитическое исследование численных и численно-аналитических методов многоуровневого расчета строительных конструкций 15

1.1. Постановки краевых задач расчета строительных конструкций 15

1.2. Численные методы расчета строительных конструкций 16

1.3. Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций 20

1.4. Численные методы локального расчета строительных конструкций 29

1.5. Вейвлет-анализ и его приложения в строительной механике. 30

1.6. Основные результаты и выводы по Главе 1 32

Глава 2. Теоретические основы развития дискретных и дискретно-континуальных методов многоуровневого расчета строительных конструкций 34

2.1. Постановка и аппроксимация краевых задач расчета строительных конструкций методом расширенной области 34

2.2. Понятие о дискретно-континуальных методах расчета строительных конструкций 54

2.3. Элементы и основные понятия кратномасштабного вейвлет-анализа 62

2.4. Основные результаты и выводы по Главе 2 74

Глава 3. Исходные корректные операторные и вариационные постановки краевых задач строительной механики для реализации дискретных и дискретно-континуальных методов расчета конструкций 75

Часть 1. Континуальные постановки общего вида в рамках метода расширенной (стандартной) области 75

3.1. Задача для уравнения Пуассона 75

3.2. Задача теории упругости 75

3.3. Задача осесимметричной теории упругости 77

3.4. Задача об изгибе изотропной пластины 78

3.5. Задача об изгибе изотропной пластины с учетом сдвига 81

3.6. Задача об изгибе ортотропной пластины 84

3.7. Задача об изгибе анизотропной пластины 86

3.8. Задача расчета оболочки з

Часть 2. Континуальные постановки с выделением направления постоянства физико-геометрических параметров конструкции 92

3.9. Задача для уравнения Пуассона 92

3.10. Задача двумерной изотропной теории упругости 93

3.11. Задача трехмерной изотропной теории упругости 95

3.12. Учет упруго-податливых и односторонних связей

при решении задачи теории упругости 97

3.13. Задача трехмерной анизотропной теории упругости 99

3.14. Задача осесимметричной теории упругости 103

3.15. Задача об изгибе изотропной пластины 106

3.16. Задача об изгибе изотропной пластины с учетом сдвига 109

3.17. Задача об изгибе ортотропной пластины 111

3.18 Задача об изгибе анизотропной пластины 115

3.19. Задача расчета цилиндрической оболочки 118

Часть 3. Континуальные постановки с выделением направления кусочного постоянства физико-геометрических параметров конструкции 121

3.20. Задача двумерной изотропной теории упругости 121

3.21. Задача трехмерной изотропной теории упругости 125

3.22. Задача трехмерной анизотропной теории упругости 129

3.23. Задача осесимметричной теории упругости 137

3.24. Задача об изгибе изотропной пластины 144

3.25. Задача об изгибе изотропной пластины с учетом сдвига 148

3.26. Задача об изгибе ортотропной пластины 153

3.27 Задача об изгибе анизотропной пластины 161

3.28. Задача расчета цилиндрической оболочки 168

3.29. Основные результаты и выводы по Главе 3 175

Глава 4. Многоуровневый дискретный метод локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа 177

4.1. Понятие о многоуровневом дискретном методе локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа 177

4.2. Суть многоуровневого дискретного метода локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа 178

4.3. Алгоритмы многоуровневой аппроксимации и редукции неизвестных с использованием одномерного дискретного

базиса Хаара 179

4.4. Алгоритмы многоуровневой аппроксимации и редукции неизвестных с использованием двумерного дискретного базиса Хаара 192

4.5. Алгоритмы многоуровневой аппроксимации и редукции неизвестных с использованием трехмерного дискретного

базиса Хаара 212

4.6 Примеры расчетов 226

4.7. Основные результаты и выводы по Главе 4 241

Глава 5. Расчет строительных конструкций с кусочно постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений на основе развития многоуровневого дискретно-континуальный метода конечных элементов 243

5.1. О развитии дискретно-континуального метода конечных элементов 243

5.2. Дискретно-континуальная постановка двумерной изотропной задачи теории упругости 244

5.3. Дискретно-континуальная постановка трехмерной изотропной задачи теории упругости 259

5.4. Дискретно-континуальная постановка задачи об изгибе изотропной пластины 279

5.5. Универсальный корректный метод точного аналитического решения краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами 294

5.6. Сведения о программной реализации и примеры расчетов. 303

5.7. Основные результаты и выводы по Главе 5 309

Глава 6. Вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов для локального расчета строительных конструкций 311

6.1. Редуцированная дискретно-континуальная постановка двумерной изотропной задачи теории упругости 311

6.2. Редуцированная дискретно-континуальная постановка трехмерной изотропной задачи теории упругости 317

6.3. Редуцированная дискретно-континуальная постановка задачи об изгибе изотропной пластины 323

6.4. Сведения о программной реализации и примеры расчетов 330

6.5. Основные результаты и выводы по Главе 5 354

Заключение. Основные результаты и выводы 355

Список литературы

• Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций
• Понятие о дискретно-континуальных методах расчета строительных конструкций
• Задача об изгибе изотропной пластины с учетом сдвига
• Задача трехмерной изотропной теории упругости

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Разработка, исследование, развитие, верификация и апробация методов многоуровневого (в том числе локального) расчета строительных конструкций являются исключительно актуальными задачами. Современный этап развития строительной механики связан с широким использованием численных (дискретных) методов (прежде всего, метода конечных элементов), реализованных в универсальных и специализированных программных комплексах промышленного типа с развитым пользовательским интерфейсом (ANSYS, ABAQUS, NASTRAN, MicroFE, SCAD, Лира, СТАДИО и др.). В последние десятилетия наблюдается развитие численно-аналитических (дискретно-континуальных, полуаналитических) методов, связанное со стремительным ростом производительности парка компьютеров и наработками в области вычислительной математики, среди которых, в частности, следует особо отметить появление вейвлет-анализа (теории всплесков). Дискретно-континуальные методы позволяют получать решения в корректной аналитической форме, дают возможность качественно и количественно оценить влияние локальных и глобальных факторов. Эти методы наиболее эффективны в зонах краевого эффекта, где часть составляющих решения являются быстроизменяющимися функциями, скорость изменения которых не всегда может быть адекватно учтена в рамках численных методов.

Дискретные и дискретно-континуальные методы приводят к построению алгоритмов, позволяющих рассчитывать сложные конструкции в целом, что приводит к вычислительных схемам большой размерности. Вместе с тем, наиболее опасной с позиции прочности является напряженно-деформированное состояние (НДС) в относительно небольшом количестве локальных зон, как правило, известных заранее: места концентраций (углы, щели, трещины, места стыковок элементов конструкций и т.д.), локальных изменений в строительном объекте, например, при его реконструкции (пробивка новых проходов, снос опор и т.д.) или конструкции локальных усилений (различные стойки, связи, подкрепляющие балки, металлические стяжки и т.д.). Локальное численное моделирование может привести к значительному сокращению количества неизвестных, что позволяет проводить расчеты с большой точностью даже на персональных компьютерах. Современным, высокоэффективным, динамично развивающимся инструментарием для проведения соответствующих исследований является вейвлет-анализ. При многоуровневом вейвлет-анализе решение представляется в виде композиции локальных и глобальных компонент, что позволяет оценить влияние различных (с точки зрения локализации) факторов. При этом нередко появляются возможности построения более высококачественных расчетных моделей и внесения обоснованных конструктивных изменений.

Работа выполнялась в рамках фундаментального научного исследования (ФНИ) «Разработка, исследование и верификация корректных многоуровневых численных и численно-аналитических методов локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа» в соответствии с Планом ФНИ Российской академии архитектуры и строительных наук

(РААСН) и Министерства строительства и жилищно-коммунального хозяйства Российской Федерации (Минстроя России) /ФНИ 7.1.8; 2013-2015 гг./.

Степень разработанности темы исследования. Преимущества сочетания качественных свойств замкнутых (аналитических) решений и общности численных методов отмечалась многими исследователями, начиная с середины прошлого столетия, но большинство разработок прошлых десятилетий (метод Л.В. Канторовича, метод В.З. Власова, метод прямых и др.) были практически не реализуемыми в общем случае в силу того, что не учитывалась сложная вычислительная специфика соответствующих проблем и необходимость адаптации для компьютерной реализации. Диссертация ориентирована в том числе и на развитие дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ), предложенного и исследованного в работах П.А. Акимова и А.Б. Золотова при личном участии автора. В отношении вейвлет-анализа следует отметить, что еще ни одно из направлений фундаментальной и прикладной математики не получало столь широкого распространения в технических приложениях за стремительно короткий срок, однако в области строительной механики все еще имеется относительно небольшое количество работ, посвященных использованию соответствующего аппарата.

Цели и задачи исследований. Целью работы является разработка, исследование и верификация корректных дискретных и дискретно-континуальных методов многоуровневого расчета строительных конструкций на основе использования аппарата кратномасштабного вейвлет-анализа.

Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:

1. Формулировка корректных операторных и вариационных постановок краевых задач строительной механики для реализации дискретных и дискретно-континуальных методов многоуровневого расчета строительных конструкций.

2. Разработка многоуровневого дискретного метода локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа.

3. Разработка универсального корректного метода точного аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами.

4. Развитие дискретно-континуального метода конечных элементов в части расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными (регулярными) физико-геометрическими параметрами по одному из направлений.

5. Разработка вейвлет-реализации дискретно-континуального метода конечных элементов для локального расчета строительных конструкций.

6. Программная реализация, верификация и апробация разработанных методов для решения модельных, тестовых и практически важных задач многоуровневого расчета строительных конструкций.

Объект исследования. Строительные конструкции, в том числе с регулярными (постоянными, кусочно-постоянными) физико-геометрическими параметрами (характеристиками) по одному из направлений, их наиболее опасные (с позиции прочности) локальные зоны.

Предмет исследования. Многоуровневое напряженно-деформированное состояния строительных конструкций, в том число локальное, в наиболее опасных (с позиции прочности) зонах.

Методология и методы исследования. В работе использованы современные достижения математики в области функционального анализа (теория обобщенных функций, теория операторов и др.) и численных методов, связанные с применением аппарата вейвлет-анализа, решением проблем собственных значений для несимметричных матриц, имеющих в составе своего спектра жордано-вы клетки неединичного порядка. Разработка, тестирование и апробация авторских программных комплексов проводилась на основе использования языка программирования высокого уровня Fortran (Intel Fortran Compiler). В верификационных целях использовались известные численные методы строительной механики (прежде всего, метод конечных элементов), реализующие программные комплексы ANSYS Mechanical, СТАДИО и «Лира».

Научная новизна работы.

7. Сформулированы корректные операторные и вариационные постановки краевых задач строительной механики для реализации дискретных и дискретно-континуальных методов многоуровневого расчета строительных конструкций.

8. Разработан многоуровневый дискретный метод локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа.

9. Разработан универсальный корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами.

10. Развит дискретно-континуальный метод конечных элементов в части расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными (регулярными) физико-геометрическими параметрами по одному из направлений.

11. Разработана вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов для локального расчета строительных конструкций.

Теоретическая значимость работы. Разработаны, исследованы и верифицированы корректные дискретные и дискретно-континуальные методы многоуровневого расчета строительных конструкций на основе использования аппарата кратномасштабного вейвлет-анализа, позволяющие повысить качество исследования строительных объектов в части определения напряженно-деформированного состояния конструкций, в том числе в наиболее опасных (с позиции прочности) локальных зонах.

Практическая значимость работы.

12. Разработаны методика и алгоритмы, реализующие многоуровневый дискретный метод локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа.

13. Разработаны методика и алгоритмы, реализующие универсальный корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами.

3. Разработаны методика и алгоритмы, реализующие дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными (регулярными) физико-геометрическими параметрами по одному из направлений.

4. Разработаны методика и алгоритмы, реализующие вейвлет-реализацию дискретно-континуального метода конечных элементов для локального расчета строительных конструкций.

5. Созданы авторские программные комплексы, которые могут стать составной частью при построении комплексов промышленного типа.

6. Решены модельные, тестовые и практически важные задачи многоуровневого расчета строительных конструкций.

По договорам с рядом научно-исследовательских и проектных организаций (ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ), ФГБУ «Научно-исследовательский институт строительной физики Российской академии архитектуры и строительных наук» (НИИСФ РААСН), ЗАО «Научно-исследовательский центр «СтаДиО» и др.), в рамках грантов и программ Министерства образования и науки Российской Федерации, РААСН и Минстроя России выполнены расчеты широкого класса строительных конструкций.

Внедрение результатов исследования. Разработанные корректные дискретные и дискретно-континуальные методы многоуровневого расчета строительных конструкций, а также реализующее авторское программно-алгоритмическое обеспечение используются в ЗАО «Научно-исследовательский центр «СтаДиО» и ООО «ГК-Техстрой».

Достоверность и обоснованность научных положений основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчетов с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; сопоставлении между собой результатов расчетов, полученных по разработанным дискретным и дискретно-континуальным методам многоуровневого расчета строительных конструкций; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.

На защиту выносятся:

1. Формулировки корректных операторных и вариационных постановок краевых задач строительной механики для реализации дискретных и дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций.

2. Дискретные и дискретно-континуальные расчетные модели строительных конструкций, основанные на использовании аппарата кратномасштабного вейвлет-анализа и построении конечноэлементных аппроксимаций операторных коэффициентов, представляющих собой нетрадиционные сочетания дифференциальных операторов, включающих в себя краевые условия и обобщенные функции.

3. Корректные алгоритмы редукции дискретных и дискретно-континуальных постановок краевых задач многоуровневого расчета строительных конструкций, позволяющие обеспечить высокую точность определения параметров напряженно-деформированного состояния в наиболее ответственных локальных зонах исследуемых объектов.

4. Многоуровневый дискретный метод локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа.

5. Универсальный корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами.

6. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными (регулярными) физико-геометрическими параметрами по одному из направлений.

7. Вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов для локального расчета строительных конструкций.

8. Решения актуальных модельных, тестовых и практически важных задач многоуровневого расчета строительных конструкций.

Личный вклад автора диссертации. Личный вклад автора диссертации заключается в разработке, исследовании и верификации корректных дискретных и дискретно-континуальных методов многоуровневого расчета строительных конструкций на основе использования аппарата кратномасштабного вейвлет-анализа.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях: XX, XXI, XXII, XXIII, XXIV Польско-Словацко-Российский семинар «Теоретические основы строительства» (Польша, г. Варшава, г. Вроцлав, 2011 г.; Россия, г. Архангельск, 2012 г.; Словакия, г. Жилина, 2013 г.; Польша, г. Вроцлав, г. Шклярска-Поремба, 2014 г.; Россия, г. Самара, 2015 г.); IV Международная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (Россия, г. Москва, 2011 гг.); VI, VIII, IX, XI, XII Всероссийская научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Россия, г. Москва, 2008, 2011, 2012, 2014, 2015 гг.); Научная конференция - II академические чтения «Актуальные вопросы строительной физики - энергосбережение и экологическая безопасность», посвященные памяти академика Осипова Георгия Львовича (Россия, г. Москва, 2010 г.); III, IV, V Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Россия, г. Новочеркасск, 2010 г.; Россия, г. Челябинск, 2012 г.; Россия, г. Иркутск, 2014 г.); Международные академические чтения «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения» (Россия, г. Курск, 2011 г.); I Международная научная конференция «Интеграция, партнерство и инновации в строительной науке и образовании» (Россия, г. Москва, 2011 г.); XXIV, XXV Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» /BEM&FEM/ (Россия, г. Санкт-Петербург, 2011, 2013 гг.); Международная на-

учная конференция «Современные проблемы расчета и проектирования железобетонных конструкций многоэтажных зданий», посвященная 100-летию со дня рождения П.Ф. Дроздова (Россия, г. Москва, 2013 г.); II, III, IV Международная научная конференция «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» /«Золотовские чтения»/ (Россия, г. Москва, 2013, 2014, 2015 гг.); 14th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering /14th ICCCBE/ (Russia, Moscow, 2012); The First conference on Technological Innovations in Nuclear Civil Engineering /TINCE/ (France, Paris, 2013); Заседания Ученого совета Отделения строительных наук РААСН (Россия, г. Москва, 2011-2014 гг.); объединенные научные семинары кафедры информатики и прикладной математики НИУ МГСУ и Научно-образовательного центра компьютерного моделирования уникальных зданий, сооружений и комплексов НИУ МГСУ под руководством чл.-корр. РААСН П.А. Акимова и чл.-корр. РААСН A.M. Белостоцкого (Россия, г. Москва, 2014-2015 гг.); научные семинары научно-исследовательского центра «СтаДиО» под руководством чл.-корр. РААСН, A.M. Белостоцкого (Россия, г. Москва, 2014-2015 гг.).

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 104 работах, из которых 7 монографий, 16 опубликованы в изданиях, индексируемых в международных базах Web of Science и/или Scopus, 38 опубликованы в журналах, входящих в Перечень ВАК РФ ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 713 наименований и десяти приложений. 407 страниц основного текста и 82 страницы приложений включают 194 рисунка и 10 таблиц.

Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций

Метод конечных разностей (МКР) заключается в следующем. Область определения краевой задачи покрывается сеткой. В каждом узле сетки производные соответствующего дифференциального уравнения заменяется разностными аналогами (во внутренних узлах - аналоги дифференциального уравнения, определенного внутри области, в граничных узлах - аналоги краевых условий). Таким образом, переходим к системе уравнений относительно значений неизвестной функции в узлах сеточной области. Далее, полученная система уравнений, как правило, легко может быть решена с использованием стандартных методов.

При переходе от аналитической краевой задачи к ее конечноразностному аналогу необходимо следить за тем, чтобы правая и левая части уравнений имели согласованную разностную аппроксимацию, а также, чтобы матрица разрешающей системы уравнений была хорошо обусловлена.

МКР достаточно прост и эффективен в случае прямоугольной области определения краевой задачи. Когда же граница области имеет сложную конфигурацию, возникают сложности с заданием граничных условий. Некорректная аппроксимация граничных условий приводит к существенным ошибкам в решении задачи. Существуют определенные приемы, позволяющие получить достоверное решение. В частности, путем введения законтурных точек. Стремление получить результат удовлетворительной точности приводит к увеличению числа узлов сеточной области и тем самым к увеличению порядка разрешающей системы.

Отмечая простоту использования МКР в случае прямоугольной области, следует иметь в виду также легкость составления разностной схемы для этого случая. В связи с этим нельзя не упомянуть о методе стандартной области, предложенным А.Б. Золотовым [171]. Благодаря этому методу исходная краевая задача может быть сформулирована единым уравнением, включающим как уравнение внутри области, так и граничные условия, на расширенной прямоугольной области. Среди отечественных ученых-механиков и математиков, внесших существенный вклад в развитие МКР, можно отметить, например, В.Б. Андреева [324], П.М. Варвака [106,107], Р.Ф. Габбасова [131-133] (метод последовательных аппроксимаций), С.К. Годунова [143], А.В. Гулина [325], А.Б. Золотова [171], К. Мортона [315], Е.С. Николаева [326], Ю.П. Попова [327], В.А Постнова [305-307], Р. Рихтмайера [315], B.C. Рябенького [318], А.А. Самарского [322-327], В.Н. Сидорова [331], СП Тимошенко [353-354], Р.П. Федоренко [365] и др.

В МКР разностные схемы применялись для аппроксимации непосредственно дифференциальных уравнений, входящих в математическую формулировку краевой задачи. В случае вариационно-разностного метода (ВРМ) объектом разностной аппроксимации будет подынтегральное выражение соответствующего функционала. Известно, что решение краевой задачи может быть стационарной точкой такого функционала. Покрываем исходную область краевой задачи сеткой. Заменяем дифференциальные выражения разностными. Ищем точку стационарности в пространстве сеточных функций. Условие стационарности приводит к разрешающей системе уравнений относительно узловых значений неизвестной функции.

Такой подход имеет ряд преимуществ перед МКР. Матрица разрешающей системы имеет симметричную структуру. Естественные краевые условия вытекают непосредственно из функционала и не требуют специального их задания. Задаются только главные. Порядок производных исходных дифференциальных выражений меньше, чем в операторной формулировке краевой задачи, что значительно упрощает их дискретную аппроксимацию. Проблема точности решения здесь также как и для МКР приводит к мельчению ячеек сеточной области, что в свою очередь приводит к увеличению порядка разрешающих систем.

В области теоретического обоснования ВРМ можно отметить, в частности, работы Ю.Р. Акопяна, Г.П. Астраханцева [75], Р. Варги [109], Ю.К. Демьяновича [155-156], М.Е. Дмитренко, В.Г. Корнеева, О.А. Ладыженской, С.Г. Михлина, Ж.-П. Обэна, В.Я. Ривкинда, Л.А. Руховца, Г. Стренга [349], Н.Н. Уральцевой, Дж. Фикса, И.Ю. Харрика, I. Babuska, G. Birkhoff, J.H. Bramble, J. Cea, T. Dupont, K.O. Friedrichs, H.B. Keller, J. Nitsche, M.H. Schultz, A.H. Schatz, B. Swarcz, V. Thomee, B. Wendroff, M. Zlamal и др.

Особенностям решений краевых задач, вызванными наличием угловых точек, а также разрывными коэффициентами посвятили свои труды М.Ш. Бирман, Г.М. Вержбинский, Е.А. Волков, Е.М. Дмитренко, В.А. Кондратьев, О.А. Ладыженская, Л.А. Оганесян, В.Я. Ривкинд, Л.А. Руховец, А.А. Самарский, Г.Е. Скворцов, А.Н. Тихонов, Н.Н. Уральцева, Дж. Фикс, I. Babuska, М.В. Rozenzweig. Вариационно-разностные схемы (ВРС) для плоской задачи теории упругости в своих работах рассматривали Л.А. Оганесян, Л.А. Руховец, Б. Алиев, В.Г. Корнеев, K.O. Friedrichs, H.B. Keller и др.

Практическим применением ВРМ в области численного решения краевых задач строительной механики в последние годы занимались В.Г. Баженов, Л.В. Енджиевский [166], Корнеев [229], М.А. Саркисян, Г.И. Эскин и др.

Заметный теоретический и практический вклад использования ВРМ в решении задач строительной механики и математической физики внесли такие ученые как Н.П. Абовский, Г.П. Астраханцев, Н.С. Бахвалов [84], И.А. Бригад-нов, Р.Ф. Габбасов, Ю.К. Демьянович, А.П. Деруга, Л.В. Енджиевский, А.Б. Зо-лотов, В.И. Лебедев, Г.И. Марчук, С.Г. Михлин, Б.Е. Победря, Л.А. Розин, А.А. Самарский, В.В. Смелов, В.А. Смирнов, СИ. Трушин, О.И. Черепанов, В.В. Шайдуров и др.

Суть метода конечных элементов (МКЭ) заключается в следующем. Исходная область разбивается на конечные элементы. Зависимые переменные ап-проксимирутся кусочно-полиномиальными функциями явного вида с неизвестными параметрами для каждого элемента. Такая аппроксимация после подстановки в определяющие уравнения приводит к построению разрешающей системы уравнений относительно неизвестных параметров аппроксимирующих функций.

Понятие о дискретно-континуальных методах расчета строительных конструкций

Такое представление решения предназначено для задачи Копій. Здесь такой вид используется в виде решения по методу начальных параметров. Перечислим основные моменты, которые могут оказать негативное влияние на построение решения. Отметим наличие в (2.2.14) функций вида ехр(Лх). В случае ReA 0 при растущем значении переменной х (существенный фактор протяженности конструкции по основному направлению) невозможно вычисление на ЭВМ &хр(Лх).

Вторым моментом является жесткость системы. Это сказывается на характере решения вблизи границ (краевой эффект) и в зонах приложения нагрузок, поскольку одни составляющие решения изменяются очень быстро, а другие по отношению к ним слишком медленно. Поэтому дискретные методы практически не могут уловить все составляющие решения одновременно.

Третьим моментом является отсутствие универсальных практических методов вычисления жордановых клеток в каноническом виде.

Преодоление вышеперечисленных проблем при построении аналитического решения состоит в следующем алгоритме. ттах- максимальный размер жордановой клетки, причем величина ттлх конечна и небольшая; / = п - пО - число ненулевых собственных значений матрицы А; Тх и Тх- матрицы собственных векторов матриц А и Ат, соответствующие ненулевым собственным значениям; Р0- проектор на подпространство собственных векторов, соответствующих нулевым собственным значениям; %(х) - функция Хэвисайда.

Здесь использовались следующие шаги. Как отмечалось выше, практически невозможно определить матрицы собственных векторов Г и Г"1 в разложении (2.2.13) при наличии в матрице J жордановых клеток неединичного порядка. С другой стороны, учитываем, что таким жордановым клеткам соответствуют нулевые собственные значения. Поэтому в полученной после разложения матрице собственных векторов Т отсекаем столбцы, соответствующие нулевым собственным значениям. Обозначим такую матрицу Тх. Затем решаем аналогичную проблему собственных значений для транспонированной матрицы Ат. Обозначим полученную усеченную матрицу собственных векторов Тх. Затем транспонируем ее и корректируем, т.е. fx = (fxTTxylfxT (2.2.19) Полученная матрица является т.н. «псевдообратной». Матрицы РХ=ТХТХ и Р0=Е-РХ (2.2.20) являются проекторами на подпространство собственных векторов, соответствующих ненулевым собственным значениям и на подпространство собственных и присоединенных векторов, соответствующих нулевым собственным значениям. Тогда матрица А может быть представлена в виде А = (Р1+Р0)А = А1+А0, т.е. А0=Р0А (2.2.21)

Важно отметить, что в выражении для фундаментальной матрицы-функции нет вычисления величин ехр(Лх) в случае Re/l 0. Кроме того, при построении є(х) учитывался факт, что для нулевых собственных значений жордановы клетки неединичного порядка являются нильпотентными. Рассмотрим двухточечную краевую задачу для системы (2.2.12): у\х) = Ау(х) + f{x) ,0 х , В0у(0) + Bty(t) = g , (2.2.22) где В0 и Вр - заданные матрицы граничных условий w-ro порядка; g заданный вектор правых частей граничных условий w-ro порядка; отрезок (0,) без уменьшения общности принят в качестве области определения краевой задачи.

Рассмотрим теперь многоточечную краевую задачу, под которой понимается задача с «внутренними» граничными условиями, представляющая собой, таким образом, совокупность обычных краевых задач, рассматриваемых на областях, имеющих общие границы.

Постановка многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка состоит из п уравнений и пк -\ граничных условий, заданных в граничных точках х\, к = \,...,пк: y -Ay = f, xe\J(xbk,xbk+1y, (2.2.24) в; у(х! +0) + Вщ Н - 0) = + + g", (2.2.25) где В і ,Вк,Вк, к = 2,...,щ-\, В - заданные матрицы граничных условий п го порядка; gf, gk,gk, к = 2,...,пк-\, g k - заданные «-мерные векторы правых частей граничных условий. Вектор-функция решение задачи (2.2.24)-(2.2.25) на произвольном интервале (хк, хък+х), обозначается ук (х) и определяется формулой ЛW = №-4)-Ф-ЛЫ)Й +Ф) Л(4 хє(хьк,х%+1), (2.2.26) где Ск - вектор постоянных коэффициентов w-ro порядка, определяемых из условий (2.2.25); - символ, обозначающий операцию свертки.

Следует подчеркнуть, что прямое (точное) решение многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в отечественной и зарубежной литературе (выполнен анализ более 600 публикаций, в том числе обзорных статей [300]) долгое время отсутствовали. Представляется, что причиной этого являлись перечисленные особенности рассматриваемых задач, характерные именно для задач расчетного обоснования строительных конструкций, зданий и сооружений. Возможно, именно по этой причине соответствующие проблемы не находились в фокусе исследований специалистов-математиков, хотя решением близких (в определенной мере) проблем занимались в МГУ им. М.В. Ломоносова, в том числе в научных школах М.В. Келдыша, А.Г. Костюченко [233], Б.М. Левитана, А.А. Шкаликова [390-394] и др. Тем не менее, в трудах этих ученых исследовались, прежде всего, качественные вопросы (существование решения, единственность решения и т.д.), проблемы численной реализации практически не рассматривались. В начале нынешнего столетия А.Б. Золотовым и П.А. Акимовым [181] при участии автора настоящей диссертации был разработан, исследован, верифицирован и апробирован устойчивый алгоритм аналитического решения (солвер) многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, развитию которого посвящена, в том числе, и настоящая работа. Данный алгоритм позволяет получить аналитическое решение при любом количестве неизвестных в корректной форме и может явится основой для построения программных комплексов промышленного типа.

Задача об изгибе изотропной пластины с учетом сдвига

В дальнейшем изложении будет допущено изменение в некоторых обозначениях и нумерации по сравнению с той, которая использовалась в предшествующем материале, представленном во второй главе. В частности, нумерация уровней для векторов базиса Хаара, порождаемых материнским вейвлетом (см. (2.3.27)), начинается с р = 0 и заканчивается р = М-\. Таким образом, на последнем уровне, т.е. при р = М, остается константный вектор м (Df, порожденный отцовским вейвлетом (см. (2.3.24)). При этом коэффициенты разложения векторов в базисе Хаара будут иметь единое обозначение:

1. Представлены операторные и вариационные континуальные постановки краевых задач расчета строительных конструкций в рамках метода стандартной (расширенной) области.

2. Представлены алгоритмы аппроксимации континуальных постановок краевых задач расчета строительных конструкций в рамках метода стандартной (расширенной) области, приведены дискретные постановки краевых задач расчета конструкций.

3. Рассмотрены математические основы дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций, основанных на корректном построении точных аналитических решений многоточечных краевых задач расчета строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

4. Рассмотрены элементы и основные понятия кратномасштабного вейвлет-анализа. Проведенные исследования позволяют сделать вывод об эффективности применения вейвлет-анализа при локализации решения краевых задач строительной механики.

Часть 1. Континуальные постановки общего вида е рамках метода расширенной (стандартной) области

Увеличение количества неизвестных функций приводит к меньшему порядку производных. При численном решении, сопровождающемся аппроксимацией дифференциальных выражений, это может иметь положительный эффект. Поэтому такой постановкой можно воспользоваться, заменяя модуль сдвига G достаточно большим числом. Т.е. получаем понижение порядка производных методом штрафа.

Обозначим ах, а2 - коэффициенты квадратичной формы срединной поверхности оболочки; кх, к2 - главные кривизны; ах, а2 - коэффициенты первой квадратичной формы. Наряду с перемещениями и{а), v(a), w(a) срединной поверхности, в качестве неизвестных введем рх (а), ср2 (а) - углы поворота нормали в направлениях ах и а2. Что дает возможность пренебречь гипотезой нулевых деформаций сдвига уп =у2Ъ =0. Пусть дх =д/дах; д2 =д/да2. Со 88 гласно с классическим подходом можно записать следующие геометрические уравнения - компоненты деформаций срединной поверхности:

Обратим внимание, что при ухъ =у1Ъ =0 переменные рх и ср2 выражаются из последних двух уравнений через и , v, w и подставляются в четвертое и пятое уравнения (3.8.1), откуда получаем классические соотношения. Соответственно имеем физические зависимости в виде:

Можно отметить, что увеличение количества неизвестных сопровождается понижением порядка производных.. Пример цилиндрической оболочки с соответствующим характерным радиусом R. Пусть координата ах = хх изменяется вдоль дуги, а2 = х2 - вдоль образующей, a z = х3 - в направлении внешней нормали к срединной поверхности оболочки. Тогда

Соответствующая операторная постановка определяется уравнением (3.2.2) или (3.2.5). В изотропной среде оператор рассматриваемой задачи относительно перемещений может быть представлен в виде единого уравнения Уравнения (3.11.10) дополняются граничными условиями, которые задаются в сечениях с координатами хзк, к = \,...,пк. Граничные условия можно представить в виде BkU(xb3k-0) + B;U(xb3k+0) = gk+gU к = 2,...,щ -1; (3.11.12) в?и(4л + 0) + в-Пки{4 к - ) = Si + Кк, (3.11.13) где Вк,Вк, к = 2,...,пк-\, Вх+ и В - матрицы коэффициентов (операторы) граничных условий, 6-го порядка; gk,gk, к = 2,...,пк-\, gx+ и g -векторы правых частей граничных условий, шестимерные. Непосредственно из оператора следует вариационная постановка Рассмотрим случаи, когда имеют место упругоподатливые опоры, непрерывные по основному направлению. Вектор Rk реактивных усилий, возникающих в опоре, имеет вид: Rk=[Rhk - R f =Скйк, (3.12.1) где Ck=diag{clk,...,cNJc}; іїк=[и1к ...uNkf; (3.12.2) Ск - матрица упругих характеристик опоры; йк - вектор перемещений опоры; к - коэффициент отпора к -й опоры по направлению оси Oxt. Ниже представлены постановки задачи с учетом упругоподатливых связей. Традиционная постановка задачи:

Рассмотрим вид односторонних связей, когда сопротивления сжатию прямо пропорциональны перемещениям, а сопротивления растяжению отсутствуют. Такие связи, непрерывные по основному направлению, могут быть приближены системой соответствующих сосредоточенных, мало отстоящих друг от друга связей по основному направлению с координатами xsN, s = 1,...,Ns. Реакции в последних (положительные перемещения соответствуют деформациям «растяжения»):

Задача трехмерной изотропной теории упругости

Как уже отмечалось, что в настоящее время актуальна задача разработки специальных методов и алгоритмов получения локальных решений краевых задач строительной механики, обеспечивающих снижение соответствующих вычислительных затрат и открывающих возможности проведения адекватного высокоточного моделирования поведения строительных конструкций в наиболее ответственных и опасных с позиций прочности зонах. Практическая значимость подобных исследований обосновывается еще и тем, что при решении большого количества задач строительной механики, интерес представляет лишь определение перемещений, деформаций и напряжений в конкретных локальных зонах, там, где возможны большие напряжения или разрушения, причем такие зоны практически всегда заранее известны даже для очень сложных строительных объектов. Таким образом, возникает потребность в эффективном качественном анализе (в частности и, в особенности в многоуровневом анализе (раздельный анализ глобального и локального состояний)) напряженно-деформируемого состояния строительных конструкций (многие дефекты и разрушения носят локальный характер, а общая несущая способность, связанная с состоянием предельного равновесия, определяется глобальным поведением конструкции). Именно многоуровневый анализ напряженно-деформированного состояния конструкции позволяет качественно и количественно оценить степень локальности различных явлений. Исключительно эффективным средством для проведения такого рода исследований является вейвлет-анализ. Под многоуровневым анализом в настоящей диссертации понимается разложение решения по ло 178 кальному вейвлет-базису и рассмотрение компонент решения на каждом из уровней такого базиса, причем степень локальности определяется размером носителя базисной функции на каждом уровне.

Суть многоуровневого дискретного метода локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа

Представляемые многоуровневый дискретный метод локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа включает три основных этапа, рассматриваемых ниже.

Первый этап. Выполняется переход от континуальных операторных и/или вариационных постановок краевых задач строительной механики, сформулированных в рамках метода расширенной (стандартной) области (см. Часть 1 Главы 3 настоящей диссертации) к соответствующим дискретным постановкам краевых задач (в исходном единичном базисе) вида где L - дискретный (вариационно-разностный или конечноэлементный) аналог дифференциального оператора краевой задачи, и - неизвестная сеточная функция (вектор): w = [w1,...,ww]T, / - заданная сеточная функция правой части: f = [fi,...,f„]T, п- размерность сеточной области; (,) - скалярное произведение векторов. Иными словами, постановка (4.2.1) представляет систему уравнений от носительно вектора неизвестных u = \ul,...,un\ , причем решение системы (4.2.1) соответствует стационарной точке функционала энергии (4.2.2).

Второй этап. Выполняем теперь переход от дискретных постановок краевых задач строительной механики в исходном единичном базисе к соответствующим дискретным постановкам в базисе Хаара. Решение рассматриваемой задачи (4.2.1) или (4.2.2) будет искаться в следующем виде: u = Qv, (4.2.3) где Q - матрица перехода к единичному базису от базиса Хаара, столбцами которой являются векторы дискретного базиса Хаара; v - разложение неизвестной дискретной функции в базисе Хаара.

Третий этап. Реализуется процедура корректного уменьшения количества неизвестных (редукция) без существенной потери точности решения поставленной задачи в выделенных локальных зонах на основе использования алгоритмов согласованной редукции, описанных далее в настоящей главе.

Построение одномерного ортонормированного дискретного базиса Хаара на отрезке. Пусть задан отрезок [а, Ь]. Разделим его на (ТУ-І)-частей. При этом N = 2M,M- целое число (максимальный уровень функций Хаара), - шаг деления отрезка, / = 1,2,..., TV - номера точек деления. Обозначим семейство дискретных функций Хаара

Представленная таким образом совокупность {у/?} является базисом в TV-мерном векторном пространстве. (Вектор у/ 1, определенный формулой (4.3.3), дополняет векторы y7f, определенные формулой (4.3.2), до базиса). Причем, такой базис будет ортонормированный т.к. к = 1лд = s (4.3.6) iw wn 0 , в противном случае здесь и в дальнейшем (,) - обозначает скалярное произведение двух векторов. Определения (4.3.2) и (4.3.3) могут быть представлены непосредственно из отцовской и материнской функции вейвлетов Хаара, т.е.

Подставим полученное выражение в левую часть неравенства в (4.3.23) P = Ps-k: 2k(jps-l) + l jp 2kjps, v=/? v, = 0,1,..., Л (4.3.24) Таким образом, вместо условия (4.3.22), получаем условие (4.3.24). Кроме того, здесь указан диапазон изменения номеров j , для которых величины vp исключаются из числа неизвестных и количество неизвестных на каждом уровне р = ps -к (к=\,..., ps) уменьшается на величину