Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи и определяющие уравнения 15
Глава 2. Сильное ударное воздействие при к = 0 20
2.1. Метод решения 21
2.2. Решение уравнений порядка є 22
2.3. Решение уравнений порядка
2 2.3.1. Внутренний резонанс сох =2со2 25
2.3.2. Начальные условия 35
2.3.3. Контактная сила и прогиб оболочки в точке удара 38
2.4. Решение уравнений порядка є3 41
2.4.1. Внутренний резонанс сох=Ъсо2 45
2.4.2. Фазовые портреты 50
2.4.3. Начальные условия 58
2.4.4. Контактная сила и прогиб оболочки в точке удара 60
2.5. Численные исследования 62
Глава 3. Слабое ударное воздействие при к = \ 91
3.1. Внутренний резонанс Q1=2Q2 94
3.1.1. Фазовые портреты 97
3.1.2. Начальные условия 101
3.1.3. Контактная сила 104
3.2. Внутренний резонанс П1 П2 = П 106
3.2.1. Фазовые портреты 109
3.2.2. Начальные условия и контактная сила 112
Заключение 114
Список использованных источников 116
- Решение уравнений порядка
- Контактная сила и прогиб оболочки в точке удара
- Фазовые портреты
- Начальные условия и контактная сила
Решение уравнений порядка
Последнее слагаемое в каждом уравнении (13) описывает влияние ударного взаимодействия пологой оболочки и ударника массой М, приложенного в точке с координатами х0, у0.
Соотношения (14) позволяют подсчитать весь спектр собственных частот пологой оболочки, прямоугольной в плане. При kx=ky=0 получаем спектр собственных частот прямоугольной пластинки. Известно [14, 50], что во время нестационарного воздействия на тонкие тела возбуждаются не все возможные моды колебаний. Более того, возбуждаемые моды, которые взаимосвязаны условиями внутреннего резонанса любого типа, будут доминировать в процессе колебаний, при этом типы возбуждаемых мод зависят от характера внешнего воздействия.
Поэтому, для того чтобы изучить дополнительное нелинейное явление, вызванное ударным взаимодействием согласно уравнению (13), будем в дальнейшем предполагать, что только две собственные моды колебаний возбуждаются в процессе удара, а именно, Qafi и П , при этом каждый тип ударного воздействия должен быть рассмотрен отдельно. Глава 2. Сильное ударное воздействие при к =0
Рассмотрим сначала случай, когда к = 0 , что приводит к сильному воздействию контактной силы по мишени. Тогда система уравнений (13) сводится к следующим двум нелинейным дифференциальным уравнениям [60]:
Для того чтобы решить систему двух нелинейных уравнений (15) и (16), применим метод многих временных масштабов [6], согласно которому обобщенные перемещения представим с помощью следующих разложений: ,. () = гХг1 (Г0,7], 712) + г2Х2 (Г0,71, Г2) + г3Х3 (Г0,71, 712), (17) где ij = otP или 5, Tn = snt - новые независимые переменные, в том числе: Г0 =ґ - быстрое время, характеризующее движения с собственными частотами, Т1= st и 7"2 = 2ґ - медленные времена, характеризующие модуляцию амплитуд и фаз при нелинейных колебаниях. Учитывая, что — = D02 + 2sD0D1 + є2 (D12 + 2D0D2), где D" = д" /дТ" (n = 1,2, г = 0,1), и подставляя соотношения (17) в уравнения (15) и (16), после приравнивания к нулю коэффициентов при членах с одинаковыми степенями є , получим систему рекуррентных уравнений порядка є 2 1 где A 1(T 1,T2) и A2(T1,T2) - неизвестные комплексные функции, A 1(T 1,T2) и A 2(T 1,T 2) их комплексо сопряженные функции, и со2 - неизвестные частоты механической системы «пологая оболочка+ударник» в процессе ударного взаимодействия, а1 и а2 - пока неизвестные коэффициенты, а cc означает комплексно сопряженную часть для предшествующих членов уравнения. Подставляя соотношения (24) и (25) в уравнения (18) и (19) и собирая члены при eh 0 и e 20, получим:
Из соотношения (33) видно, что в течение всего времени контакта частоты колебаний механической системы «оболочка+ударник» а\ и со2 зависят от масс оболочки и ударника, а также от положения точки удара. Если масса ударника М —» 0, то частоты со1 и со2 стремятся к собственным частотам колебаний оболочки О1 и Q2 соответственно. Коэффициенты s1 и s2 зависят от номеров собственных мод а/3 и у8, вовлеченных в процесс ударного взаимодействия, и от координат точки приложения контактной силы х0, у0, в результате чего видно, что их отдельные комбинации могут приравнять коэффициенты s1 и s2 к нулю, и следовательно, коэффициенты Р12=р2 = 0. 2.3. Решение уравнений порядка є2
Предположим, что в случае, когда частоты со1 и со2 связаны внутренним резонансом два-к-одному (36), функции A 1 и A2 зависят только от времени T 1. Тогда уравнения (34) и (35) могут быть записаны в следующем виде [60, 62]: 2 2 pnD;X[ + pl2D;X; + ЩXХ1 = Bх exp(icoxT0) + B2 ехр(iш2T0) + Reg + ее, (37) p2DІXІ + p22DlX22 + QX22 = B3 ехр(аT) + B4 ехр(iш2T0) + Reg + се, (38) где все регулярные слагаемые обозначаются Reg и Bх = -2itfxc\xDxAx -[pхъ + а22pы + а2pХ5)A, B2 = -2iЦ2ю2_1D A - 2[pз + а1а2pы + (ai + а2)pхь\A A? B3 = -2il22co;laxDxAx -(p23 + а2p24 + а2p25)A, B4 = -2i0 2-1а2D A -2[pЗ + а&гpп + (ai + а2)p25]A A-Покажем, что слагаемые при экспоненциальных функциях ехр(+iшiT0) (i = 1,2) дают вековые члены. Для этой цели выберем частное решение в виде: X? = C,ехр(каT) + сс, \p l PV l oJ (39) X\p = C2 е Р(ЩT0) + ее, или Xх2p=C[ехр(iо)2T0) + сс, X22p=C 2ехр(iа)2T0) + ее, "— (40) где C, C2 и C , C2 - произвольные постоянные. Подставляя предполагаемое решение (39) или (40) в уравнения (37) и (38), получим следующие системы уравнений соответственно: Из систем уравнений (41) и (42) очевидно, что определители, составленные из коэффициентов при Q , С2 и С[, Q , равны нулю, поэтому невозможно определить произвольные постоянные С1, С2 и С[, С2 частных решений (39) и (40), что доказывает выше сделанное предположение о вековых членах. Для того чтобы исключить вековые члены, необходимо слагаемые, 0 , приравнять нулю, т.е. положить Bi =0 (/ = 1,2,3,4). Таким образом, мы получаем четыре уравнения для определения двух неизвестных амплитуд Ax{t) и A it). Однако можно показать, что не все из этих четырех уравнений линейно зависят друг от друга.
С этой целью подействуем сначала операторами (p22D2 + Q22) и (-pl2D2) на уравнения (37) и (38) соответственно и затем сложим полученные в результате уравнения. Эта процедура позволит исключить Х\. Затем применим операторы (-PUDQ) и (PUDQ + Q2) к уравнениям (37) и (38) соответственно и затем сложим полученные в результате уравнения. Эта процедура позволит нам исключить X2. Таким образом, получим
Из уравнений (45) и (46) очевидно, что определитель каждой системы уравнений сводится к характеристическому уравнению (32), откуда следует, что каждая пара уравнений линейно зависима, поэтому для дальнейшего рассмотрения достаточно взять только одно уравнение из каждой пары для того, чтобы эти два выбранные уравнения были линейно независимы. Поэтому в качестве примера рассмотрим первые уравнения из каждой пары уравнений (45) и (46) и, учитывая соотношения (29) и (31), получим:
Контактная сила и прогиб оболочки в точке удара
Качественный анализ случая внутреннего резонанса три-к-одному (109) может быть выполнен с помощью функции тока G(%,8) , определяемой соотношением (132). Фазовый портрет, построенный согласно (132), зависит прежде всего от значений коэффициентов Г\ и Г2 . Выполним феноменологический анализ фазовых портретов, построенных при различных значениях параметров системы. Случай, когда Г\ = Г2 = 0
Рассмотрим сначала случай, когда Г\ = Г2 = 0. Тогда выражение (132) принимает вид G{S,) = (1 - &у[кП)со 3 = G0, (135) и линии тока фазовой жидкости на фазовой плоскости %-8 для этого частного случая представлены на рисунке 4. Значения функции G указаны цифрами у кривых, которые соответствуют линиям тока, а направление течения частиц фазовой жидкости показано стрелками на линиях тока. Из рисунка 4 видно, что фазовая жидкость циркулирует внутри зон, ограниченных периметрами прямоугольников, границами которых служат прямые линии = 0, =1, и 5 = ±(ж12)±2жп (и = 0,1,2,...). При этом течение в каждом таком прямоугольнике происходит изолировано. На всех четырех сторонах прямоугольника G = 0 , а внутри них G сохраняет свой знак. Функция G достигает экстремальных значений в точках с координатами Е = — , 8 = ±тт (и = 0,1,2,...). Рисунок 4 - Фазовый портрет для случая внутреннего резонанаса 1:3 при T1 = Г2 = 0 Вдоль прямых 8 = ±(п/2)±2пп (п = 0,1,2,...) решение может быть записано в следующем виде:
Переход частиц фазовой жидкости из точек = 0, S = 7r/2±27m в точки = 0, 3 = -ж 12±2жn осуществляется мгновенно, поскольку из распределения фазовых скоростей вдоль прямой = 0 (см. рисунок 4) величина v стремится к бесконечности при - 0 . Распределение скоростей вдоль вертикаьных линий 5 = ±тn (n = 0,1,2,...) носит апериодический характер, в то время как вблизи прямой Е, = 1 / 4 оно является периодическим.
Как и в предыдущем случае, фазовая жидкость течет внутри бесконечно длинного канала, границами которого служат прямые линии Е, = 0 и Е, =1, соответствующие движениям, модулированным по фазе. Одна часть линий тока незамкнута, что соответствует периодическому изменению амплитуд и апериодическому изменению фаз. Другая часть линий тока замкнута, что отвечает периодическому изменению и амплитуд, и фаз. Линии, соответствующие апериодическому режиму, являются границами зон замкнутых и незамкнутых линий тока. Из фазового портрета, приведенного на рисунке 5, видно, что циркуляционные зоны расположены в шахматном порядке у правого и левого берегов канала (такое расположение напоминает вихревые дорожки Кармана).
Каждая зона у берега =1 окружена линией, для которой значение функции тока G = 0. Эта линия состоит из двух частей, связанных друг с другом в точках пересечения с координатами =1, 8 = л12±лn (n = 0,1,2...). Одна ветвь этой линии относится к режиму Е, =1 , а другая к апериодическому режиму, где Е, изменяется от Е,тin = 0.5 до Е,тax =1. В точке пересечения скорость течения фазовой жидкости равна 0. Вдоль сепаратрисы аналитическое решение можеть быть получено в следующем виде: —7(1-#)(2-#) = -бед, cos = -F—.
Циркуляционные зоны у берега =0 окружены линией, на которой G = \. Однако только те части линии G = l, которые ограничивают эти зоны сверху и приближаются к берегу =0 в точках =0 , 8 = п12±тт, принадлежат к области течения жидкости. Переход частиц жидкости из точек Е, =0 , 8 = (тг/2)±тгп в точки = 0, 8 = (3тт/2)±7тп происходит мгновенно. Линия G = \ подтверждает периодическое изменение амплитуд и апериодическое 02 изменение фаз. Сепаратриса G =1 определяется следующими уравнениями: Js« (\-7g + 7f-2f) о ф.\105\5-)(2? -6.659 + 5.865) cos = 2 где изменяется от Сn = 0 до Сx = 0-170515. Внутри обеих циркуляционных зон есть точки с экстремальными значениями функций тока: максимальное Gmax =1.11 и минимальное Gmin = -0.0475 соответственно. Эти точки являются центрами, соответствующими устойчивым стационарным режимам = 0 =0.0443 , 8 = 8 =±2пn и , = 0 = 0.7057, 5 = S0 = ті ± 2/гn соответственно.
Между линиями, отвечающими значениям G = 0 и G = \ , расположены незамкнутые линии тока, которые соответствуют периодическому изменению амплитуд и апериодическому изменению разности фаз. Случай,когда Гх / 2 = Г2 / 2 = 1 В этом случае функция тока определяется следующим соотношением: G( ,JK1/2(l- )3/2cosJ-f+(l- )2=G(4 oX а рисунок 6 показывает линии тока фазовой жидкости на фазовой плоскости.
Из рисунка 6 видно, что в отличие от предыдущего случая, представленного на рисунке 5, циркуляционные зоны у берега =1 и апериодический режим исчезают. Если f —»1, тогда линии тока становятся более пологими и стремятся к линии f = l, где G = -l. Если —»0, тогда линии тока стремятся к кусочно сплошной линии G = l, определенной на отрезках [-(л- / 2) ± 2яn, {ж 12) ± 2ят]. Переход частиц фазовой жидкости из точек = 0, 8 = {п1Т)±2тn в точки = 0, = (Зл- / 2) ± 2л"n осуществляется мгновенно.
Фазовые портреты
Теперь рассмотрим случай, когда k =1 в уравнениях (13), в результате чего имеем слабое воздействие ударной силы на мишень. Тогда система уравнений (13) для двух возбужденных ударом мод колебаний сводится к следующим двум нелинейным дифференциальным уравнениям в то время как все другие коэффициенты /г (і = 1,2, j = 3,4,...,7) сохраняют те же значения, что и в случае для сильного удара. Чтобы решить систему двух нелинейных уравнений (157) и (158), применим метод многих временных масштабов и будем искать решение в форме разложений (17), ограничиваясь временами Т0 и Т1 . В результате получим систему рекуррентных уравнений различных порядков:
Сравнение уравнений (159)-(162) с соответствующими уравнениями (18)-(21) для случая сильного ударного воздействия показывает, что в случае слабого удара линейные части систем уравнений (159), (160) и (161), (162) не связаны, в отличие от случая сильного удара, для которого линейные части уравнений (18), (19) и (20), (21) связаны.
Из численных данных, представленных в работе [42] для пологих оболочек, квадратных в плане (а/Ь = 1), опирающихся на диафрагмы, постоянной толщины (М =0.001) и пологости (акх=0.4 ), с коэффициентом Пуассона, равном 0.3, очевидно, что явление внутреннего резонанса может быть очень опасным, так как в сферической оболочке и в оболочке в форме гиперболического парабалоида внутренний резонанас один-к-одному присутствует всегда, в то время как внутренний резонанс два-к-одному часто возникает в оболочках с отрицательными Гауссовыми кривизнами и в цилиндрических оболочках.
Похожие наблюдения могут быть получены для оболочек, прямоугольных в плане (а Ъ). 3.1. Внутренний резонанс два-к-кодному Q, = 2Q2 Предположим, что Qj « 2Q2. Тогда после приравнивания к нулю слагаемых, дающих вековые члены в уравнениях (165) и (166), получим следующие разрешающие уравнения: 2iQlD A + pыA2 - pхр2A = 0, (170) 2iП2D A + p25A A - p22П22A2 = 0. (171) Последние члены в уравнениях (170) и (171) описывают влияние ударника и координат точки удара на внутренний резонанс два-к-одному через коэффициенты pі и pи. Умножая уравнения (170) и (171) на A и A соответственно и записывая 2iцA D A + pUA,A; - pпп;A A = -2iцA D A + p4A A2 - pЛA A = затем комплексно сопряженные уравнения, получим: (172) (173) 2iП2A D A + p25A A2 - p22Q2A A = 0, -2iП2A D A + p25A A2 - b2202A A = 0. (174) (175) Складывая каждую пару взаимно сопряженных уравнений друг с другом и вычитая одно из другого, а также учитывая, что A1 и A2 могут быть представлены в полярной форме (55), в результате получим:
Используя уравнения (176) и (178), можно получить первый интеграл системы уравнений (176)-(179), который представляет собой закон сохранения энергии. Из уравнений (176) и (178) следует, что где G0 - постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. С учетом соотношения (186) можно ввести в рассмотрение функцию тока G(S, ) фазовой жидкости на плоскости 8Е, таким образом, что GiS,4) = Jg(l-4)cosS + e i; = G0, (187) которая является еще одним первым интегралом для системы уравнений (176)-(179) и е = Ъ1Ь. Для того чтобы найти зависимость от Тх, необходимо выразить sin через Е, в уравнениях (64) с помощью соотношения (186). В результате получим 4 = -b (l-f-(G0-e)\
Как и в предыдущем случае, фазовая жидкость течет внутри бесконечно длинного канала, границами которого служат прямые линии f = 0 и Е, =1, соответствующие движениям, модулированным по фазе. Одна часть линий тока незамкнута, что соответствует периодическому изменению амплитуд и апериодическому изменению фаз. Другая часть линий тока замкнута, что отвечает периодическому изменению и амплитуд, и фаз. Линии, отвечающие апериодическому режиму, являются границами зон замкнутых и незамкнутых линий тока. Из фазового портрета, приведенного на рисунке 24, видно, что циркуляционные зоны расположены в шахматном порядке у правого и левого берегов канала (такое расположение напоминает вихревые дорожки Кармана).
Каждая зона у берега =1 окружена линией, для которой значение функции тока G = e = -0.5. Эта линия состоит из двух частей, связанных друг с другом в точках пересечения с координатами =1, 8 = п/2±пп (и = 0,1,2...). Одна ветвь этой линии относится к режиму, модулированнуому по фазе, f =1 , а другая к апериодическому режиму, где Е, изменяется от тin = - до тax =1 . В точке пересечения этих ветвей скорость течения фазовой жидкости равна 0. Вдоль сепаратрисы G = -0.5 аналитическое решение можеть быть получено в следующем виде: InI \ 4— =й = — bT, cosS = = . V 4 + 2 Циркуляционные зоны у берега =0 окружены линией, на которой G = 0 Однако только те части линии G = 0, которые ограничивают эти зоны сверху и приближаются к берегу =0 в точках =0, = л- / 2 + л-n , принадлежат к области течения жидкости. Переход частиц жидкости из точек =0 , 8 = (тг12)±7гn в точки = 0, 3 = (Ътт12)±тn, происходит мгновенно. Линия G = 0 подтверждает периодическое изменение амплитуд и апериодическое изменение фаз. Сепаратриса G = 0 определяется следующими уравнениями:
Внутри обеих циркуляционных зон есть точки с экстремальными значениями функций тока: максимальное Gmax = 0.258 и минимальное Gmin = -0.61 соответственно. Эти точки являются центрами, соответствующими 2 устойчивым стационарным режимам = 4 = -, 8 = 80 = ±2тгn и = ,=0.6, 100 д = д0=тт±2тт. Между линиями, отвечающими значениям G = 0 и G = -0.5, расположены незамкнутые линии тока, которые соответствуют периодическому изменению амплитуд и апериодическому изменению разности фаз.
Начальные условия и контактная сила
Рассмотрим случай внутреннего резонанса два-к-одному (167) для четырех значений параметра е : -0.5, 0, 0.5 и 1.45. Для этого случая функция тока G(,8), определяемая соотношением (187), и фазовый портрет, который можно построить в соответствии с (187), зависят прежде всего от значений коэффициента е . Случай е =0 Сначала рассмотрим случай, когда е = 0 , т.е. когда s1 = s2 , где коэффициенты s1 и s2 зависят от координат точки удара х0 и у0, а также и от порядковых номеров двух взаимодействующих мод. Для этого случая функция тока G(g,5) (187) совпадает с функцией тока G(,S) (69) для внутреннего резонанса два-к-одному, когда возбуждается при сильном ударном воздействии, а ее фазовый портрет, изображающий линии тока фазовой жидкости на фазовой плоскости %-8, представлен на рисунке 2. Таким образом, все решение, представленное для того случая, справедливо и для рассматриваемого случая.
Как и в предыдущем случае, фазовая жидкость течет внутри бесконечно длинного канала, границами которого служат прямые линии f = 0 и Е, =1, соответствующие движениям, модулированным по фазе. Одна часть линий тока незамкнута, что соответствует периодическому изменению амплитуд и апериодическому изменению фаз. Другая часть линий тока замкнута, что отвечает периодическому изменению и амплитуд, и фаз. Линии, отвечающие апериодическому режиму, являются границами зон замкнутых и незамкнутых линий тока. Из фазового портрета, приведенного на рисунке 24, видно, что циркуляционные зоны расположены в шахматном порядке у правого и левого берегов канала (такое расположение напоминает вихревые дорожки Кармана).
Каждая зона у берега =1 окружена линией, для которой значение функции тока G = e = -0.5. Эта линия состоит из двух частей, связанных друг с другом в точках пересечения с координатами =1, 8 = п/2±пп (и = 0,1,2...). Одна ветвь этой линии относится к режиму, модулированнуому по фазе, f =1 , а другая к апериодическому режиму, где Е, изменяется от тin = - до тax =1 . В точке пересечения этих ветвей скорость течения фазовой жидкости равна 0. Вдоль сепаратрисы G = -0.5 аналитическое решение можеть быть получено в следующем виде: InI \ 4— =й = — bT, cosS = = . V 4 + 2 Циркуляционные зоны у берега =0 окружены линией, на которой G = 0
Однако только те части линии G = 0, которые ограничивают эти зоны сверху и приближаются к берегу =0 в точках =0, = л- / 2 + л-n , принадлежат к области течения жидкости. Переход частиц жидкости из точек =0 , 8 = (тг12)±7гn в точки = 0, 3 = (Ътт12)±тn, происходит мгновенно. Линия G = 0 подтверждает периодическое изменение амплитуд и апериодическое изменение фаз. Сепаратриса G = 0 определяется следующими уравнениями:
Внутри обеих циркуляционных зон есть точки с экстремальными значениями функций тока: максимальное Gmax = 0.258 и минимальное Gmin = -0.61 соответственно. Эти точки являются центрами, соответствующими 2 устойчивым стационарным режимам = 4 = -, 8 = 80 = ±2тгn и = ,=0.6, 100 д = д0=тт±2тт. Между линиями, отвечающими значениям G = 0 и G = -0.5, расположены незамкнутые линии тока, которые соответствуют периодическому изменению амплитуд и апериодическому изменению разности фаз.
При положительном параметре е = 0.5 портрет движения фазовой жидкости, показанный на рисунке 24, смещается вдоль оси 8 на величину ж, и движение меняет направление на противоположное (см. рисунок 25), при этом максимум и минимум меняются местами. Когда е 1, из рисунка 26 видно, что в отличие от предыдущего случая, представленного на рисунке 25, зоны циркуляции у берега f =1 и апериодический режим исчезают. Если Е, —»1, то линии тока становятся все более пологими и стремятся к прямой % =1, но которой G = e = \A5. При - 0 линии тока стремятся к кусочно непрерывной линии G = 0 , определяемой на отрезках [(л/2)±2лп,(3л/2)±2лп] . Переход частиц жидкости из точек % =0 , д = (я12)±2ттв точки = 0, S = (-n 12)±2тип происходит мгновенно. Линия G = 0 соответствует периодическому изменению амплитуд и апериодическому изменению фаз. Сепаратриса G = 0 определяется следующими уравнениями: } о lg(gz-4.1025%+ 1) (W) Внутри циркуляционных зон есть точки с минимальными значениями функций тока Gmin =-0.145. Эти точки являются центрами, соответствующими устойчивым стационарным режимам, % = %0 = 0.089, S = S0= ±жп.
Зная константы Е0 , G0 и 0=(0), можно найти функцию %(ТХ) из соотношения (188), а зная %{ТХ), сначала определим cos 8 согласно (186), а затем подставляя полученные выражения для ах{Тх), а2(Тх) и cose) в (177) и (179), после дальнейшего интегрирования по Тх находим рх{Тх) и (р2{Тх) . Таким образом, полностью определены величины w(t) и P(t) . Постоянная G0 определяет траекторию точки на фазовой плоскости, в то время как постоянная Е0 определяет скорость движения этой точки вдоль выбранной траектории, т.е. константы полностью описывают колебательные движения области контакта оболочки с ударником во время процесса удара. Так как процесс удара является скоротечным и функции (ТХ), (рх{Тх) и (р2 (Тх) зависят от медленного времени Тх= st , то можно представить перечисленные функции из (188), (177) и (179) в виде