Содержание к диссертации
Введение
1 Состояние вопроса. Постановка задачи 8
1.1 Основные принципы формообразования арочных и комбинированных арочных систем 8
1.2 Состояние вопроса в области теории расчета 11
1.3 Рабочие гипотезы теории ползучести бетона 16
1.4 Известные исследования линейной и нелинейной ползучести бетона 18
1.5 Лабораторные испытания ползучести бетона 27
1.6 Цели и задачи исследования 30
2 Напряжённо–деформированное состояние железобетонных арок с учётом вязкоупругости бетона 31
2.1 Расчёт статически определимых арок: основные уравнения для определения НДС внецентренно сжатого железобетонного элемента 31
2.2 Расчёт арок методом конечных элементов. Вывод разрешающих уравнений 41
2.3 Определение перемещений в круговых арках с учётом ползучести на основе уравнений Кирхгофа–Клебша 52
2.4 Исследование НДС железобетонных арок на основе модели бетона как вязкоупругого материала при различных законах ползучести 57
2.5 Выводы по главе 67
3 Расчёт железобетонных арок на основе вязкоупругопластической модели наследственного старения бетона 69
3.1 Вывод уравнений для внецентренно сжатого железобетонного элемента 69
3.2 Разрешающие уравнения метода конечных элементов 75
3.3 Аналитические выражения для зависимости модуля упругости бетона от времени, функции напряжений и меры ползучести 78
3.4 Решение модельных задач 83
3.5 Выводы по главе 100
4 Устойчивость железобетонных арок при ползучести 101
4.1 Вывод основных уравнений с учетом геометрической нелинейности 101
4.2 Методика решения задач 103
4.3 Решение модельных задач 105
4.4 Выводы по главе 111
Заключение 112
Список литературы 114
- Рабочие гипотезы теории ползучести бетона
- Расчёт арок методом конечных элементов. Вывод разрешающих уравнений
- Разрешающие уравнения метода конечных элементов
- Решение модельных задач
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Арочные конструкции находят широкое применение в строительстве, начиная от оконных перемычек, до конструкций промышленных зданий, покрытий спортивных сооружений, мостов. Ползучесть железобетонных конструкций, являющаяся следствием ползучести бетона, проявляется даже при обычных эксплуатационных воздействиях и носит нелинейных характер. Деформации ползучести бетона в значительной степени влияют на напряжённо–деформированное состояние строительных конструкций и соответственно, на их прочность. При этом влияние может быть как отрицательным, так и положительным. Поэтому весьма актуальным остается вопрос расчета бетонных и железобетонных конструкций с учетом реологии.
Степень разработанности темы. Разработкой теорий ползучести бетона, как линейных, так и нелинейных занимались следующие ученые: Н.Х. Арутюнян , А.Г. Тамразян, С.Г. Есаян, Г.Н. Маслов, В.Д. Харлаб, К.З. Галустов, Ю.А. Гурьева и др. Впервые вопрос о перераспределении напряжений в сжато-изогнутом бетонном элементе исследовал Н.Х. Арутюнян. Он установил, что для бетонного стержня напряжения с течением времени не меняются. Для железобетонного стержня все обстоит совершенно иначе. В существующих публикациях таких ученых, как Пересыпкин Е.Н., Чубаров В.Е., Маилян Д.Р., Александровский С.В. и др., теоретические и экспериментальные исследования относятся в основном к сжатым железобетонным колоннам. В этих публикациях отражается перераспределение напряжений между арматурой и бетоном, в результате чего напряжения в арматуре могут превышать расчетные сопротивления, кроме того возможно трещинообразование при разгрузке.
Для железобетонных арок данный вопрос остается практически не освященным в литературе. Аналогичные явления возможны и в арочных конструкциях, а при действии несимметричной нагрузки кроме сжимающих напряжений возникают значительные растягивающие, поэтому вопрос трещинообразования для них более актуален.
Объект исследования: статически определимые и неопределимые железобетонные арки прямоугольного сечения.
Цель диссертационной работы является разработка методов расчета железобетонных арок с учетом нелинейности двух видов: геометрической и
физической, обусловленной нелинейной связью между напряжениями и мгновенными деформациями, а также проявляющейся во времени ползучестью бетона.
Задачи исследования:
Получение разрешающих уравнений для определения НДС железобетонных элементов, испытывающих совместное действие изгибающего момента и продольной силы
Вывод разрешающих уравнений метода конечных элементов с учетом ползучести бетона
Разработка методики расчета арок с учетом вязкоупругости и вязкоупругопластичности бетона
Развитие методики на случай больших прогибов с учетом геометрической нелинейности.
Теоретическое исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости железобетонных арок при различных законах связи между напряжениями и деформациями
Научная новизна работы:
Разработана универсальная методика для численного расчета железобетонных арок с учетом ползучести бетона, подходящая для любых уравнений связи между напряжениями и деформациями ползучести.
Проведено теоретическое исследование напряжённо-деформированного состояния арочных конструкций с использованием модели вязкоупругого тела на основе следующих теорий ползучести: линейная теория Арутюняна-Маслова, теория старения, теория течения, кинетическая теория, нелинейная теория Ю.А. Гурьевой.
Получены разрешающие уравнения и разработана методика расчёта арок с учётом вязкоупругопластичности бетона. Данная методика применима при любых зависимостях между напряжениями и мгновенными деформациями, а также позволяет учитывать образование трещин.
Получены разрешающие уравнения и разработан итерационный алгоритм для определения напряжённо-деформированного состояния и анализа устойчивости железобетонных арок с учетом одновременно геометрической и физической нелинейности
Теоретическая и практическая значимость работы: незначительное перераспределение внутренних усилий в статически неопределимых арках, установленное в результате теоретического исследования их работы, позволяет считать, что внутренние усилия в них остаются постоянными и вести расчет указанных конструкций на ползучесть, как статически определимых, определив внутренние усилия из расчета в упругой стадии. Разработанные методики позволяют оценивать длительную прочность арочных конструкций с учетом реальной диаграммы «напряжения-деформации», нелинейной ползучести, а также геометрической нелинейности. Результаты работы внедрены в практику проектирования в ООО «Севкавнипиагропром», ООО «Олеум», а также в образовательный процесс в Ростовском государственном строительном университете.
Методология и методы исследования. Исследование базируется на современных методах теории упругости, пластичности и ползучести. Используется численное моделирование работы конструкции при помощи метода конечных элементов в математическом пакете Matlab. Некоторые задачи для сопоставления результатов были решены методом конечных разностей.
Положения, выносимые на защиту:
-
Основные уравнения и методика расчета статически определимых и неопределимых арок с учетом вязкоупругости бетона;
-
Результаты теоретического исследования НДС арок при различных законах ползучести;
-
Разрешающие уравнения и методика определения НДС железобетонных арок с учетом вязкоупругопластичности;
-
Разрешающие уравнения и результаты расчета на устойчивость при ползучести железобетонных арок.
Достоверность результатов обеспечивается: проверкой выполнения всех интегральных и дифференциальных соотношений, граничных условий, сравнением результатов с известными решениями других авторов.
Апробация работы. Результаты исследования доложены на двух международных научно–практических конференциях «Строительство» (Ростов– на–Дону, 2013, 2014 гг.), международной научно-практической конференции, посвященной 95-летию ФГБОУ ВПО «ГГНТУ им. акад. М. Д. Миллионщикова в г. Грозный; научном семинаре кафедры «Сопротивление материалов»
Ростовского государственного строительного университета (Ростов–на–Дону, 2014 г.).
Публикации. Основные положения диссертационной работы
опубликованы в шести печатных работах, из них рецензируемых ВАК РФ — 4 шт.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и 2 приложения; основной текст изложен на 118 страницах машинописного текста, приложения — на 3 страницах, включает 60 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 46 наименований.
Рабочие гипотезы теории ползучести бетона
Наиболее благоприятное распределение изгибающих моментов, большая жёсткость конструкции в целом и, как следствие, меньшая гибкость конструкции при расчёте на устойчивость — всё это выделяет бесшарнирные арки как более экономичные с меньшим расходом материал. Однако для этого требуется использовать более массивные опоры для восприятия наибольших температурных усилий, а также в случае неравномерных осадок опор.
В результате самыми распространёнными являются двухшарнирные арки, основное достоинство которых — простота изготовления и монтажа, рациональное использование поперечных сечений конструкции. Возможность свободного поворота в опорных шарнирах минимизирует возможные дополнительные усилия в конструкции при температурных воздействиях и неравномерных осадках.
К основным конструктивным параметрам конструкции арок относится величина, равная отношению стрелы подъёма к пролёту арки. Обычно данный параметр меняется в пределах от 1/2 до 1/18, но наиболее рациональное соотношение — от 1/4 до 1/6.
Очертание арок задаётся из функциональных или архитектурных требований и может быть круговым, параболическим, в виде цепной линии, эллиптической кривой и т. д. Так, рациональной формой арки можно считать такую, которая при заданных величинах пролёта, стрелы подъёма, величин нагрузок и способа их приложения, обеспечивает требуемую прочность конструкции при минимизации её объёма [1, 2].
В случае воздействия только равномерной распределённой по хорде арки нагрузки, эпюра изгибающих моментов принимает характер квадратной параболы, соответственно и рациональное очертание арки в этом случае — квадратная парабола.
В практике значительно проще изготавливать и монтировать конструкции, когда очертание арки представляет собой не параболу, а дугу окружности. Подобное очертание используется в пологих арках (f/L 1/10), при этом разница усилий в конструкции минимальна по сравнению с параболической формой. Также удаётся добиться значительной унификации узлов и элементов конструкции.
В случае с большим соотношением стрелы подъёма к пролёту (f/L = 1/10 1/5) очертание арки рационально выполнять в виде дуг сопряжённых окружностей различных радиусов. Если передача нагрузки происходит в узлы, то для упрощения конструкции принимают очертание арки в виде ломаной, вписанной в кривую давления, при этом размер прямолинейных участков арки должен соответствовать шагу прогонов или длине отправочных марок.
При соотношении f/L 1/5 очертание арок выполняют по осреднённой кривой, т. к. в этом случае существенное влияние приобретает ветровое воздействие на конструкцию, которое при изменении направления ветра даёт значительно отличающиеся линии давления.
При наличии в конструкциях арочного покрытия в середине пролёта значительных сосредоточенных нагрузок (складские помещения с подвешенным центральным транспортером) арки выполняют стрельчатого очертания. Возникающие горизонтальные усилия в опорах арочных конструкций могут передаваться на фундамент (далее — на грунт), в случае установки конструкций на уровне земли, или восприниматься затяжкой. При наличии затяжки в конструкции арок на опоры передаются только вертикальные нагрузки, что позволяет опоры сделать более простыми в изготовлении и легкими по весу. Основными параметрами, определяющими влияние затяжки на работу конструкции путём перераспределения всех усилий, являются её жёсткость, возможно предварительного натяжения и т. д.
Исторически арочные конструкции применяются и на значительных высотах, опираясь на стены сооружений, каркасы трибун и т. п. В этом случае необходимо распор с арок передавать на затяжки или иные жёсткие конструкции. Один из способов опирания арочных конструкций — на шарнирные опоры, одна из которых является подвижной. В таком случае также использование затяжек является обязательным, а на сами опоры передаются только вертикальные нагрузки. Применяться данное решение может в сооружениях с ослабленными конструкциями, например, при реконструкции.
Вопросу исследований и расчетов арочных систем, в т. ч. комбинированных, посвящено достаточно много работ [3, 4, 5, 6, 1]. Подробно разработаны приближенные методы их расчета на прочность на разнообразные виды нагрузок, температурные воздействия, смещения опор, с учетом переменного сечения арки, как в упругой стадии, так и с учетом пластических деформаций. Приближенные расчеты статически неопределимых арок выполняются методом сил или используя готовые формулы и таблицы. Более точные решения, учитывающие конструктивные особенности арочных систем и сложные комбинации загружений, получают применяя компьютерные вычислительные комплексы. Арка работает на совместное действие осевого сжатия (N), изгибающего момента (М) и поперечной силы (Q). Для арок характерны наклонные опорные реакции при вертикальной нагрузке. Горизонтальная составляющая опорной реакции называется распором (Н). Распор арки обратно пропорционален её высоте (стреле подъема). При одной продольно-подвижной опоре распор воспринимается затяжкой. В первом приближении, когда не учитывается изменение формы оси арки от нагрузки, ее рациональная ось совпадает с эпюрой моментов балки того же пролета. При нагрузке, равномерно распределенной вдоль горизонтальной проекции арки, рациональная ось представляет собой параболу второй степени.
Основной системой для расчета статически неопределимых арок является криволинейный статически определимый брус. У применяемых в строительстве арок радиус кривизны во много раз превосходит размеры сечения 10. Поэтому в приближенных расчетах коэффициенты и свободные члены (, ) канонических уравнений метода сил вычисляются по интегралу Максвелла-Мора для стержня малой кривизны [7, 8]. Аналитическое интегрирование может быть выполнено лишь для некоторых простых очертаний арок, законов изменения их сечений и вариантов загружения. В общем случае производится приближенное численное интегрирование.
Расчёт арок методом конечных элементов. Вывод разрешающих уравнений
В некотором возрасте бетона t = т0 на образец прикладывается центрально сжимающая сила F, постоянная на протяжении всего испытания. При этом от действия F в поперечных сечениях образцов возникают нормальные напряжения а0 = ег(т0), значения которых в дальнейшем не меняются а(т0) = const. Тогда упругая деформация в момент времени t = т0 определяется где Е(т0) — модуль упругости бетона в момент времени t = т0. Однако, с самого момента изготовления образцов (t = 0) бетон взрослеет, в результате чего меняется его модуль упругости, который зависит не только от состава бетона, но и от его возраста.
Таким образом, для условия t2 tt справедлива запись E{t2) Я( ). Тогда y(t2) у( і). Если рассматривать большее число временных интервалов t± t2 t3 t4 , то справедливо выражение
Необходимо отметить, что часто изменение упругих свойств бетона во времени исследователями не учитывается. Поэтому для определения деформаций ползучести корректнее использовать не выражение
Усадочные деформации определяются на образцах-близнецах. Результаты экспериментов для сжатия и растяжения для меры ползучести C(t,r) достаточно хорошо аппроксимируются функцией at _ ах0 C(t,r) = С— + В(е-Уто - е-? ), (130) где С, А, а, у — опытные параметры. Приведённое выражение соответствует реологической вызкоупругой модели наследственного старения бетона. Как показано в работе [28], вязкостные свойства бетона в значительной мере зависят от технологии изготовления и условий созревания бетона. На основании вышесказанного, были сформулированы цели и задачи исследования. 1.6 Цели и задачи исследования
Цель диссертационной работы — разработка методов расчета железобетонных арок с учетом двух видов нелинейности: геометрической и физической, обусловленной нелинейной связью между напряжениями и мгновенными деформациями, а также проявляющейся во времени ползучестью бетона.
Расчёт статически определимых арок: основные уравнения для определения НДС внецентренно сжатого железобетонного элемента Так как арки, как правило, являются брусьями малой кривизны, то их расчёт можно вести по формулам для внецентренно сжатых железобетонных стержней. Рассмотрим железобетонный элемент, испытывающий действие изгибающего момента и продольной силы. Расчётная схема, а также поперечное сечение показаны на рис. 2.1. Положительными будем считать растягивающие напряжения. где EAred = ES(AS + A s) + EbAb — приведенная жёсткость поперечного сечения при осевом растяжении(сжатии). Уравнения (2.4), (2.5), (2.8), (2.9) могут использоваться для расчёта с учётом ползучести статически определимых арок. На первом этапе выполняется статический расчёт — определяются внутренние силовые факторы М и N. В статически определимых системах при постоянных внешних нагрузках они не зависят от времени. Поперечное сечение по высоте разбивается на т частей Ау, а интервал времени — на п шагов At. Для заданных сечений в каждой точке вычисляются напряжения в бетоне без учёта ползучести.
Если закон ползучести задан в дифференциальной форме, то по вычисленным напряжениям можно определить скорости роста деформаций де ползучести —- , а также деформации ползучести в момент времени t + At при помощи линейной аппроксимации [29, 30, 31, 32]: E b(t + At) = (t) + At. (2.10) Если деформация ползучести задаётся в явном виде как функция от времени и напряжения (ЕЬ = /(crb,t)), то её можно определить следующим образом: Был выполнен расчёт трёхшарнирной круговой арки, загруженной равномерно распределённой нагрузкой q. Расчётная схема представлена на рис. 2.2.
На рис. 2.4 представлен график изменения напряжений в арматуре в зависимости от х и t. Верхней сетчатой поверхности соответствуют напряжения a s в арматуре у верхней грани. Нижней закрашенной — напряжения as в арматуре у нижней грани. Рис. 2.5 — изменение напряжений в бетоне в зависимости от х и t. Верхней поверхности соответствуют напряжения при у = /г/2, нижней — при у = —/г/2. Из рис. 2.4 видно, что вследствие ползучести бетона напряжения в арматуре по абсолютной величине возрастают. В бетоне напряжения, наоборот, убывают, о чём свидетельствует рис. 2.5. Наиболее существенное перераспределение происходит в точках, где изгибающие моменты максимальны (х « 2.1 м и х «13.9 м). Рис. 2.6 — распределение напряжений в бетоне в сечении х = 2.1 м в начале процесса ползучести (штриховая линия) и в конце процесса ползучести (сплошная линия). Рис. 2.7 — изменение напряжений as в арматуре нижней грани при х = 2.1 м. Вследствие ползучести бетона сжимающие напряжения в арматуре нижней грани в сечении с максимальным изгибающим моментом возросли с 91.7 МПа до 173.1 МПа, т. е. в 1.9 раз. В бетоне за счёт ползучести изменение напряжений не такое существенное: у более сжатой грани при х = 2.1 м напряжения снизились c 16.2 МПа до 13.6 МПа, т. е. всего на 20%. Распределение напряжений в бетоне по высоте сечения, как в начале, так и в конце процесса ползучести линейное.
При расчёте криволинейных стержней методом конечных элементов они обычно представляются совокупностью прямолинейных элементов. Предполагается, что поведение непрерывного криволинейного бруса достаточно точно характеризуется поведением ломаного стержня, составленного из малых прямолинейных элементов. Из физических соображений следует, что с уменьшением размеров элементов решение должно сходиться и, как показывает опыт, сходимость наблюдается [33].
При этом особого внимания требует способ задания узловых нагрузок: распределённую нагрузку более правильно представлять в виде статически эквивалентных сосредоточенных узловых сил [34].
Разрешающие уравнения метода конечных элементов
В двухкомпонентном варианте теории а в формуле (2.61) следует заменить на аг. Формула (2.61) справедлива только при 0. При 0 принимается — = 0. Так как в момент разрушения скорость роста необратимых деформаций стремится к бесконечности, то произведение коэффициентов кг и к2 обычно считают равным 1. Достоинством теории является то, что в однокомпонентном варианте она содержит всего 3 параметра, подлежащих экспериментальному определению, один из которых — это прочность R, а остальные (С и у) можно определить из испытаний на линейную ползучесть.
Был выполнен расчёт параболической арки, закреплённой в соответствии с рис. 2.10 при следующих исходных данных: L = 16 м, / = 3.2 м, Ъ = 20 см, h = 40 см, Еь = 3 104 МПа, у = 0.03 сут-1, (рт = ЕьСт = 3,[1 = 0.015, ys=y s = 15 см, Es = 2 105 МПа, q = 65 кН/м. На рис. 2.21 представлены графики роста прогиба в середине пролета арки, соответствующие пяти перечисленным выше теориям. Кривой 1 соответствует результат по линейной теории Арутюняна-Маслова; кривой 2 — по теории старения; 3 — теории течения; 4 — кинетической теории; 5 — теории Ю. А. Гурьевой. Отметим, что теории с первой по четвертую дают весьма близкие результаты, при 0 t 25 сут прогибы практически не отличаются. В теориях 1 и 2 при t - оо прогиб стремится к одному и тому же значению. Разница по прогибам в конце процесса ползучести между нелинейной теорией Ю. А. Гурьевой и линейной теорией составляет 25.7%.
Графики роста прогиба Рис. 2.22 - Распределение напряжений в бетоне по высоте сечения в середине пролета при t - оо
По теориям с первой по четвёртую результаты также достаточно близки, распределение напряжений по высоте сечения линейное. Напряжения по теориям 1 и 2 в конце процесса ползучести совпадают. На кривой 5, соответствующей теории Ю. А. Гурьевой, наблюдается слегка выраженная нелинейность.
Рис. 2.23 и рис. 2.24 соответственно изменение во времени напряжений as и G S в арматуре у нижней и верхней грани в середине пролета. Знаку «+» также соответствует сжатие. Наиболее существенно напряжения в арматуре возрастают по нелинейной теории: у верхней грани в начале процесса ползучести о =57.3 МПа, а при t - оо о =220 МПа, т. е. в 3.8 раз больше, чем в упругой стадии. Рис. 2.23 — Изменение напряжений в арматуре у нижней грани в сечении
Изменение напряжений в бетоне в сечении =- по нелинейной теории Рис. 2.25 и рис. 2.26 — соответственно изменение во времени напряжений в бетоне при х = 0 и х = L/2 по теории Ю. А. Гурьевой. Как на рис. 2.25, так и на рис. 2.26 у более сжатой грани напряжения по абсолютному значению монотонно убывают, а у менее сжатой грани имеется небольшой участок возрастающих напряжений и далее также напряжения снижаются. Более существенное изменение напряжений в бетоне в процессе ползучести происходит в точках с бльшими напряжениями в упругой стадии.
На рис. 2.27 и рис. 2.28 показано соответственно изменение напряжений a s и as в арматуре у верхней и нижней грани в зависимости от х и t. Рис. 2.29 и рис. 2.30 — то же для напряжений в бетоне.
Изменение напряжений в арматуре у верхней грани по нелинейной теории в зависимости от х иt. Рис. 2.28 — Изменение напряжений в арматуре у нижней грани по нелинейной теории в зависимости от и
Изменение компонент деформации бетона в сечении х = Оу нижней грани Рис. 2.32 — Изменение компонент деформации бетона в сечении х = Оу верхней грани Из рис. 2.31 и рис. 2.32 видно, что для нижней грани вклад нелинейной и линейной составляющей в общую деформацию примерно одинаков, а для верхней — линейная составляющая преобладает на нелинейной. На рис. 2.31 упругая деформация монотонно убывает, а на рис. 2.32 имеется небольшой участок, на котором г$ возрастает. Вклад упругой деформации в полную деформацию в конце процесса ползучести для нижней грани составляет 15.4%, а для верхней — 19.6%.
Изгибающие моменты и продольные силы в сечениях статически неопределимой арки с течением времени практически не меняются.
Получены разрешающие уравнения для определения напряженно-деформированного состояния железобетонного элемента, испытывающего действие изгибающего момента и продольной силы, с учётом ползучести бетона на основе вязкоупругой модели. Данные уравнения позволяют при известной величине внутренних усилий определять НДС в произвольных сечениях статически определимых арок. Внутренние усилия в арках при этом вычисляются аналитически, а для определения напряжений применяется пошаговый расчет.
Также выполнено развитие метода конечных элементов на случай вязкоупругости бетона для стержневого железобетонного элемента. Выполнено сравнение результатов, получаемых при помощи численно– аналитического расчёта и МКЭ.
На основе теории Кирхгофа–Клебша получены уравнения для определения перемещений в криволинейных стержнях с учётом ползучести. Выполнен расчёт методом конечных разностей с последующим сравнением результатов с МКЭ. Установлено значительное расхождение (порядка 30%), вызванное тем, что в теории Кирхгофа–Клебша вводится допущение о недеформируемости стержня в осевом направлении.
Проведено теоретическое исследование НДС железобетонных арок на основе следующих теорий ползучести: линейная теория наследственности, теория старения, течения, кинетическая теория, а также нелинейная теория Ю. А. Гурьевой. Показано, что результаты, полученные по нелинейной теории существенно отличаются от результатов по другим теориям. Установлено, что даже линейная ползучесть оказывает сильное влияние на НДС железобетонных арок. Напряжения в арматуре при линейной ползучести возрастают почти в 2 раза, а с учётом нелинейной составляющей — почти в 4 раза.
Установлено, что при линейной и нелинейной вязкоупругости в статически неопределимых системах перераспределения усилий не происходит, что позволяет вести их расчёт, как статически определимых, определив только внутренние усилия в упругой стадии.
Решение модельных задач
Применяя принцип Лагранжа к полной потенциальной энергии, получим систему линейных алгебраических уравнений (2.38).
Блок-схема для расчёта методом конечных элементов аналогична представленной на рис. 3.1. Отличие в том, что отсутствует пункт «определение М и N», а пункт «определение 0 и х» заменяется на формирование и решение системы линейных алгебраических уравнений МКЭ. Аналитические выражения для зависимости модуля упругости бетона от времени, функции напряжений и меры ползучести
При расчете НДС бетонных и железобетонных конструкций необходимо иметь аналитический вид функции изменения модуля упругости бетона во времени Eb(t). Одной из первых была зависимость, предложенная Н. Х. Арутюняном [17, 41, 42]: Eb(t) = Ет[1 - ae btl (3.32) где Ет — предельное значение модуля упругости бетона (при t - 00); а а и Ъ — константы, получаемые из лабораторных испытаний данного бетона. Формула (3.32) имеет очевидный недостаток, заключающийся в том, что для получения функции () необходимо иметь предельное значение , т. е. ждать, когда бетон достаточно постареет. Данного недостатка лишена формула в [43]: где (0) — модуль упругости бетона в момент времени = 0, когда к бетонному элементу прикладывается нагрузка; и — постоянные, получаемые из лабораторных испытаний.
Как показывают многочисленные исследования, зависимость между напряжениями и деформациями в бетоне при кратковременном нагружении имеет, строго говоря, нелинейный характер при любых значениях напряжений. Аналитических зависимостей, описывающих связь между и в настоящее время существует более ста.
На рис. 3.2 представлены диаграммы а — є для кратковременного нагружения, построенные при R = 30.4 МПа, Е0 = 2.9 104 МПа. Красной линии соответствует зависимость, описываемая формулой Карпенко, черной — формула Сарджина и синей — формула (3.41). Из рис. 3.2 видно, что восходящие ветви по формулам Сарджина и Карпенко практически совпадают, отличие только в нисходящих ветвях. Для зависимости (3.41) нисходящая ветвь отсутствует.
Мера ползучести C(t,r) является основой теории ползучести бетона. Наиболее обобщенный вид C(t,r) определяется формулой (3.3). В таком виде можно представить меру ползучести реологических моделей с разными комбинациями элементов вязкости и упругости, а также эмпирические формулы, предложенные различными авторами. Так, для реологической модели Кельвина:
Рассматривается статически определимая круговая арка, закрепленная в соответствии с рис. 2.2. Функция напряжений определяется выражением (3.41), мера ползучести — выражением (3.44), зависимость начального модуля упругости бетона от времени — формулой (3.33) при к = 1.282, с = 0.019.
В табл. 3.1 представлено сравнение напряжений в бетоне и арматуре у нижней грани в наиболее опасном сечении (х = 2.08 м), полученных в результате численно-аналитического расчёта и при помощи МКЭ. Расчёт производился с шагом At = 1 сут, количество конечных элементов принималось равным 64, количество интервалов по высоте сечения — 50.
На рис. 3.3 представлен график роста прогиба среднего сечения арки. Сплошной линией показано решение с учётом нелинейной ползучести, штриховой — на основе линейной вязкоупругой модели наследственного старения бетона (при f(o) = а). Прогиб по нелинейной теории при t - оо отличается от прогиба по линейной теории на 9.9%. То, что прогиб по нелинейной теории больше, чем по линейной, объясняется тем, что секущий модуль Ё(а) с ростом напряжений убывает, следовательно, оказываются меньше приведенные жёсткости EAred и EIred. распределение напряжений в бетоне в сечении х = 2.08 м при t = т0 (штриховая линия) и при t - оо (сплошная линия). Из рис. 3.4 видно, что как в начале, так и в конце процесса ползучести напряжений по высоте сечения изменяются нелинейно. По абсолютной величине напряжения оъ как у нижней сжатой грани, так и у верхней растянутой убывают. Снижение вследствие ползучести растягивающих напряжений в бетоне положительно сказывается на ширине раскрытия трещин. изменение во времени напряжений as в арматуре у нижней грани в сечении х = 2.08 м. Знаку «+» соответствует сжатие. Штриховой линией показан результат по линейной теории, сплошной — по нелинейной. Разница между напряжениями в конце процесса ползучести составляет 22% изменение во времени упругой деформации zf} = , деформации ползучести є, полной неупругой деформации sjj1 + є и полной деформации єь в сечении х = 2.08 м у нижней грани. Упругая деформация с течением времени убывает, а пластическая є остается примерно постоянной, о чём свидетельствует параллельность красной и синей линии.
В рассмотренной задаче сжимающие напряжения в бетоне не выходят за пределы общепринятой границы между линейной и нелинейной ползучестью (о- 0.5Д). Однако и при таком уровне напряжений имеется существенное расхождение в результатах, получаемых по линейной и нелинейной теории. Наиболее значительно это отражается на напряжениях в арматуре — разница составила 22%.