Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор работ, посвященных решению контактных задач подвижного состава железных дорог и моделированию накопления контактно-усталостных повреждений 13
1.1. Подповерхностные контактно-усталостные повреждения колеса 13
1.2. Критерии усталостной прочности 15
1.3. Аналитические решения нормальной контактной задачи 21
1.4. Решение нормальной контактной задачи численными методами 23
1.5. Быстрые алгоритмы решения контактных задач 26
1.6. Методы уменьшения затрат машинного времени на решение контактных задач 28
1.7. Выводы к главе 1 29
1.8. Постановка цели и задач исследования 30
1.9. Допущения 31
ГЛАВА 2. Выбор и обоснование метода уменьшения степени свободы расчётной схемы колеса 32
2.1. Выбор типа конечного элемента 32
2.2. Использование расчётных схем с редуцированными узлами 39
І 2.3. Использование суперэлементов 43
2.4. Выделение фрагмента, опирающегося на упругое основание 47
2.5. Тестирование зависимостей для задачи с упругими связями 52
2.6. Выводы к главе 2 55
ГЛАВА 3. Математическое моделирование контактных напряжений в колесе с использованием конечноэлементных фрагментов на упругом основании 56
3.1. Приближённое определение жёсткости упругого основания 56
3.2. Численное определение жёсткости упругого основания для конечноэлементных фрагментов различной толщины 60
3.3. Решение контактной задачи методом поузловых итераций 66
3.4. Математическая обработка результатов решения 71
3.5. Тестирование 73
3.6. Выводы к главе 3 75
ГЛАВА 4. Моделирование накопления контактно-усталостных повреждений колёс 76
4.1. Определение характеристик усталостной прочности бандажной стали 76
4.2. Быстрый алгоритм решения нормальной контактной задачи 84
4.3. Зависимость коэффициента внедрения от формы пятна контакта 89
4.4. Программная реализация алгоритма решения нормальной контактной задачи для колеса и рельса 92
4.5. Алгоритм FASTSIM решения тангенциальной контактной задачи качения 96
4.6. Определение напряжений в области контакта колеса и рельса с использованием конечноэлементного фрагмента на упругом основании 100
4.7. Выводы к главе 4 106
ГЛАВА 5. Разработка и обоснование рационального профиля поверхности катания колеса на основе критерия контактно-усталостной прочности 108
5.1. Программа CONTFAT 108
5.2. Моделирование движения полувагона 110
5.3. Профили поверхностей катания колёс 115
5.4. Тестирование колёс с различными профилями 118
5.5. Выводы к главе 5 124
Основные результаты и выводы 125
Список литературы 128
Приложение 138
- Решение нормальной контактной задачи численными методами
- Тестирование зависимостей для задачи с упругими связями
- Численное определение жёсткости упругого основания для конечноэлементных фрагментов различной толщины
- Программная реализация алгоритма решения нормальной контактной задачи для колеса и рельса
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Причиной выхода из строя некоторых деталей подвижного состава железных дорог является контактная усталость. Этой проблеме посвящены многочисленные исследования во всём мире. Они касаются механизмов зарождения дефекта, испытаний и расчётов контактно-усталостной долговечности, оценки влияния на неё различных факторов.
Взаимодействие колеса и рельса характеризуется рядом особенностей. В их контакте возникают высокие давления, превышающие 1000 МПа, приводящие к пластическим деформациям материалов в областях, прилегающих к контакту. Качение колеса по рельсу, особенно при движении в кривых, сопровождается значительным продольным и поперечным скольжением, спином, которые оказывают большое повреждающее действие. Кроме того, при торможении возможны случаи юза - полного скольжения колеса по рельсу. Это приводит к термомеханическим повреждениям поверхности катания и достаточно быстрому выкрашиванию поверхностных повреждённых слоев под действием контактных напряжений. В зарубежной литературе для обозначения такого повреждения используют термин spalling, подчёркивая, что выкрашивание происходит в поверхностном слое в отличие от подповерхностной контактной усталости, к которой относится термин shelling. В российском железнодорожном техническом лексиконе применяется термин «выщербины», объединяющий оба вида повреждений.
Статистические данные об обточке колёсных пар вагонов, эксплуатирующихся на Российских железных дорогах (РЖД), поступивших в плановый и текущий отцепочные ремонты, свидетельствуют о заметном перераспределении причин обточек за 10 лет. Доля обточек по выщербинам увеличилась в 1,8 раза, по ползунам - в 1,7 раза, а по тонкому гребню уменьшилась в 1,8 раза. И если причины уменьшения числа обточек по тонкому гребню объясняются внедрением лубрикации на РЖД, то существенное увеличение образования выщербин на колёсах грузовых вагонов требует детального исследования.
В 2001 г. из 1 479 402 обточенных колёсных пар 519 270, т.е. 35,1%, обточены по выщербинам всех видов, а из-за наличия ползунов и наваров - 26,2%. Таким образом, дефекты поверхности катания, образовавшиеся в результате контактной усталости, составляют 61,3%.
Увеличение образования выщербин на колёсах грузовых вагонов за эти годы происходило и на железных дорогах Северной Америки. Так за 10 лет с 1990 по 1999 г. количество колёс, изымаемых по выщербинам, на этих дорогах увеличилось в 2 раза, а по тонкому гребню - уменьшилось в 1,7 раза.
Помимо экономической стороны вопроса существует проблема безопасности движения на железных дорогах. Образование подповерхностных контактно-усталостных повреждений в случае многократно обточенного обода при действии ударных нагрузок может привести к разрушению колеса. Определение условий возникновения таких дефектов и поиск новых конструктивных решений, позволяющих снизить вероятность их появления, являются актуальными.
Целью работы является разработка рационального профиля поверхности катания колеса вагона, позволяющего снизить скорость накопления контактно-усталостных повреждений в колесе.
Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:
-
Выбор и обоснование методов уменьшения степеней свободы конечноэле-ментных расчётных схем, используемых при решении контактных задач для колеса и рельса.
-
Разработка алгоритма решения контактных задач с использованием конеч-ноэлементных фрагментов колеса и рельса на упругом основании.
-
Разработка программы моделирования накопления контактно-усталостных повреждений в колесе вагона, использующей в качестве входных данных результаты моделирования динамики движения железнодорожного экипажа в программном комплексе «Универсальный механизм».
-
Определение скорости накопления контактно-усталостных повреждений в колёсах с различными профилями поверхностей катания.
Научные положения диссертации, выносимые на защиту, и их научная новизна:
-
разработан алгоритм расчёта контактных напряжений в колёсах подвижного состава железных дорог с использованием конечноэлементных фрагментов на упругом основании, позволяющий снизить степень свободы расчётной схемы, уменьшить затраты времени на решение задачи, обеспечивающий достаточную для инженерных расчётов точность результатов.
-
Получены зависимости для определения рекомендуемой жёсткости упругих связей, моделирующих упругое основание.
-
Исследовано влияние размеров конечноэлементных фрагментов на точность моделирования напряжённого состояния в области контакта колеса и рельса.
-
Разработан алгоритм моделирования накопления контактно-усталостных повреждений в колесе вагона с использованием кривой контактной усталости колёсной стали, полученной с помощью обработки результатов испытаний на контактно-усталостную прочность.
Практическая значимость результатов работы: .. Разработана программа моделирования напряжённого состояния в контакте колеса и рельса с использованием конечноэлементных фрагментов на упругом основании.
-
Разработана программа CONTFAT, моделирующая накопление контактно-усталостных повреждений в колесе вагона с применением конечно-элементных фрагментов на упругом основании, использующая в качестве чходных данных результаты моделирования динамики движения железнодорожного экипажа в программном комплексе «Универсальный механизм».
-
Предложен рациональный профиль поверхности катания колеса вагона, позволяющий снизить скорость накопления контактно-усталостных повреждений в колесе.
-
С помощью программы CONTFAT выполнены сравнительные расчёты по определению скорости накопления контактно-усталостных повреждений в колёсах со стандартным и рациональным профилями катания.
Реализация результатов работы. Результаты использованы при выполнении работ по грантам РФФИ 06-08-01105-а, 09-08-01236-а, и в учебном процессе в Брянском государственном техническом университете при выполнении курсовых работ по теории упругости и вычислительной технике.
Методология и методы исследования. При разработке алгоритмов моделирования контактных напряжений и накопления контактно-усталостных повреждений в колесе вагона, программ для их реализации использованы методы теории упругости, конечных элементов, суперэлементов, численного анализа и математической обработки результатов опытов, программирования на языке C++ в среде операционной системы Windows.
Обоснованность и достоверность полученных научных выводов и рекомендаций подтверждается корректным использованием апробированных методов теории упругости, конечных элементов, суперэлементов, достаточно хорошей сходимостью результатов, полученных аналитическими и численными методами, результатов, полученных другими авторами.
Апробация работы. Основные научные и практические результаты работы докладывались и обсуждались на научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития вагоностроения» г. Брянск, октябрь 2008 г.; на научно-техническом семинаре «Компьютерное моделирование в железнодорожном транспорте: вопросы динамики, прочности и износа» г. Брянск, февраль 2009 г.; на международной научно-практической конференции «Наука и производство - 2009» г. Брянск, март 2009 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ в виде статей и тезисов докладов, в том числе 4 публикации в журналах, входящих в перечень рекомендованных изданий ВАК РФ.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём работы- 142 страницы машинописного текста, 61 рисунок, 25 таблиц и список литературы из 108 наименований.
Решение нормальной контактной задачи численными методами
Наиболее широкое применение для моделирования напряжённо-деформированного состояния в области контакта упругих тел получили методы, предполагающие использование конечноэлементных расчётных схем [61]. Методы различаются алгоритмами решения контактной задачи. В работе [19] приведено описание алгоритма решения нормальной контактной задачи для двух упругих тел произвольных форм методом сил. Рассматриваются упругие тела А и В, на которые наложены связи (рис. 1.5). Они вводятся в контакт путем смещения заделки тела В. Вектор перемещений тела В с заделкой имеет компоненты A = {u v в}Т. На участке границ тел намечаются пары точек і и / (/ = 1,... ,п), которые могут войти в контакт при смещениях тела В. Предполагается, что точки одной пары расположены в непосредственной близо Рис. 1.5. Схема моделирования сти одна от ДРУГ0Й и М0ГУТ бьтть найДены условий в контакте их общая нормаль и касательная. При методом сил сжатии тел в этих точках возникают нормальные контактные силы Pt. Решив конечноэлементную задачу для каждого из тел при наложенных на него связях, можно найти перемещение узла / по нормали к поверхности контакта. С учётом жёстких смещений заделки тела В перемещения точек равны где Су— коэффициенты податливости, а— матрица кинематического преобразования. Если до сжатия тел между точками, вошедшими в контакт, имелся начальный зазор S, то будет иметь место соотношение
При заданном векторе перемещений тела В устанавливается, какие узлы j внедрились в тело А. Они образуют потенциальную область контакта. Контактные усилия в них определяются из полученной системы уравнений (а). Метод предполагает использование итерационной процедуры. При получении отрицательных значений сил, их полагают равными нулю и вновь решают систему уравнений. Итерации ведутся до получения только положительных сил.
Метод сил использован в работе [62] для определения контактных напряжений в вагонном колесе и рельсе. В разработанном алгоритме коэффициенты канонических уравнений определяются с использованием двух приёмов. Диагональные элементы матрицы податливости для узлов, удалённых от выкружки рельса, и для всех узлов, расположенных в окрестности выкружки, определялись путём приложения в этих узлах единичных сил, действующих по нормалям к поверхности контакта, к трёхмерной конечноэлементнои схеме рельса и находились путём решения задачи методом конечных элементов (МКЭ). Вне-диагональные элементы для узлов, удалённых от выкружки рельса, определялись с использованием решения Буссинеска. Аналогично вычислялись коэффициенты матрицы податливости колеса.
В работе [20] использован алгоритм, реализующий последовательное введение в контакт пар узлов. Решение представляется в матричной форме: где Ка, Кь — матрицы жёсткости контактирующих тел А и В; Ua, Ub — векторы перемещений их узлов; fa, ft, - контактные силы; Fa, Fb - внешние силы.
Алгоритм предполагает последовательное введение в контакт пар узлов с помощью итерационной процедуры. Пусть некоторые узлы тела А находятся в контакте с поверхностью тела В. Для введения узла Рк в контакт внешняя нагрузка снижается делением на некоторое число. Задача решается, и находятся контактные силы и перемещения узлов, которые уже находились в контакте. Значение узловой контактной силы определяется в зависимости от внедрения между узлом и гранью противолежащего элемента. Определяется положение вводимого в контакт узла Рк относительно линии Р„ Pj (рис. 1.6). В предположении линейной зависимости между внешней нагрузкой и перемещением узла находится наилучшее приближение нагрузки, когда зазор между узлом Рк и линией Р„ Pj становится меньше заданной погрешности. На этом завершается процедура введения узла Рк в контакт. Процесс повторяется для более высоких нагрузок с введением в контакт новых точек. Алгоритм позволяет решать задачи с учётом трения, однако требует больших затрат машинного времени. В работе [23] для решения контактных задач с учётом нелинейностей (больших перемещений, трения, нелинейных свойств материалов) использованы зазорные конечные элементы. Зазор между контактирующими телами А и В заполняется средой С (рис. 1.7), которая наделяется особыми нелинейными свойствами. Тела А и В вместе с областью С образуют континуальную среду, которая представляется конечноэлементной расчёт-Область С ной схемой. Наличие контакта в месте расположения зазорного элемента устанавливается по значению линейной деформации є:. Ось z направлена вдоль нормали к началь Рис. 1.7. Расчётная схема с HOg ТОчке контакта. Если е:= -1, это обозна зазорными конечными элементами чает, что толщина сдеформированного за зорного элемента равна нулю и тела в его области находятся в контакте. Если є: -1, то узел зазорного элемента внедрился в противолежащее тело, а если є= -1, то он не находится в контакте. Решение ведётся итерационным методом. На следующей итерации для элементов с внедрившимися узлами задаётся более высокое значение модуля упругости, а для не находящихся в контакте задают Е= 10 4..Л0 вЕв, G = Е/2, где Ев - модуль упругости материала тел. Зазорные элементы представляют собой узкие длинные четырёхугольники в плоской задаче и тонкие мембраны в трёхмерной задаче. Плохая форма этих элементов - недостаток метода.
В работе [63] предложен довольно универсальный алгоритм решения широкого круга контактных задач с нелинейностями, базирующийся на использовании метода поузловых итераций. Его описание приведено в разделе 3.3.
Тестирование зависимостей для задачи с упругими связями
Для рассмотренной половины бруса решена также задача определения перемещения узлов при наложенных на торец упругих связях, жёсткость которых приведена выше. На среднее сечение бруса наложены жёсткие связи, основанию, на которое опираются упругие связи, задано смещение и0=2-10 5м (рис. 2.11а). Получено смещение узлов, расположенных на торце бруса, равное 10"5 м, напряжение в точках бруса 100 МПа, нормальная сила в поперечном сечении 40 кН. Перемещения узлов бруса представлены на рис. 2.116 в цветовом изображении.
Таким образом, использование упругого основания позволяет решать задачу для расчётной схемы, к узлам которой непосредственно приложены внешние нагрузки. В случае если нагрузка задается перемещением основания, на которое опираются упругие связи, необходимое значение сил, действующих на брус, может быть найдено подбором задаваемого смещения.
Алгоритм выделения фрагмента, опирающегося на упругое основание, может быть использован при решении контактных задач. Он имеет ряд преимуществ по сравнению с ранее рассмотренными методами. В расчётах можно использовать фрагмент с малым числом узлов и элементов. Нет необходимости выполнять сложные преобразования конечноэлементной сетки. Практически не меняются зависимости метода поузловых итераций — изменения сводятся только к введению простых дополнительных слагаемых в левые и правые части уравнений. В других методах исключение узлов схемы сопровождается усложнением основных уравнений. В методах редуцирования узлов и суперэлементов в качестве исходных используются большие конечноэлементные схемы. В алгоритме выделения фрагментов, опирающихся на упругое основание, используется сетка только самого фрагмента, который может иметь ограниченные размеры, как будет рассмотрено в главе
.1. Обоснована целесообразность использования для построения конечно-элементных моделей при решении контактных задач для колеса и рельса вось-миузловых конечных элементов первого порядка семейства Сирендипа.
2. Проведен анализ эффективности применения методов редуцирования и конденсации узлов для уменьшения размерности конечноэлементных моделей. Со снижением порядка разрешающих уравнений МКЭ они становятся настолько громоздкими, что могут привести к увеличению затрат машинного времени на решение задач. Для колеса и рельса возникает необходимость применения метода редуцирования узлов по нескольким направлениям одновременно, что связано со значительными затруднениями.
3. Предложен метод уменьшения размерности конечноэлементных моделей колеса и рельса для решения контактных задач, в основу которого положено использование конечноэлементных фрагментов на упругом основании. Эффективность его применения обоснована тем, что он позволяет в расчётных схемах использовать малое число слоев конечных элементов, вплоть до одного, и получать при этом удовлетворительное решение.
Численное определение жёсткости упругого основания для конечноэлементных фрагментов различной толщины
В разделе 3.1 выполнена весьма приближённая оценка жёсткости упругого основания с целью установления порядка этой величины. Очевидно, она должна зависеть от размеров и формы контактного пятна, а также толщины выделяемого фрагмента. Уточнённые значения жёсткости основания в зависимости от перечисленных факторов определены численным методом.
Рассмотрены два варианта контакта: круговой с эксцентриситетом е = 0и вытянутый контакт с е = 0,95. При решении задач задавалось смещение одного контактирующего тела относительно другого. В результате решения находились значения сил в узлах, попадающих в область контактного пятна. Значение нормальной силы Р в контакте получалось суммированием узловых сил. Полученное численным методом решение сопоставлялось с точным решением Герца по двум параметрам: максимальному контактному давлению и размерам полуосей контакта а и Ь. Оценка точности решения по максимальному давлению выполнялась с высокой степенью надёжности, а по размерам контакта весьма приближённо в связи с тем, что она сильно зависела от размеров конечных элементов фрагмента.
Круговой контакт реализован путём сжатия двух цилиндрических тел с радиусами наружных поверхностей R\ =R2 = 367 мм со взаимно перпендикулярными скрещивающимися осями (рис. 3.3). При характеристиках упругости материала цилиндров Е = 2-Юи Па и ц. = 0,25 размеры контакта связаны с нормальной силой в контакте зависимостью а = Ь = \,37-\0 4УРм.
Для определения максимального давления в контакте использовалась известная зависимость 2тш При расчётах, касающихся вытянутого контакта, моделировались условия контакта колеса вагона с радиусом поверхности катания R\ = 475 мм и рельса на участке, описанном радиусом R2 = 80 мм (рис. 3.3). Для определения размеров полуосей эллипса контакта использованы зависимости a = 0,99-\0 4mVP, Ь = 0,99-\0 4п Р, где m = 1,926, п - 0,604 - коэффициенты, зависящие от радиусов кривизны тел. Максимальные давления определяются зависимостью
Необходимая жёсткость упругих оснований определялась для фрагментов толщиной 10, 5 и 1 мм, конечноэлементные сетки которых образованы восьми-узловыми конечными элементами с размером ребра 1 мм. В решениях использовалась система отсчёта с осью z, направленной внутрь тела. Большая полуось эллипса контакта располагалась вдоль оси х, а малая вдоль оси у. Размер фрагмента по оси х составлял 20 мм, по оси у 20 мм для кругового контакта и 10 мм для вытянутого.
Путём варьирования жёсткости упругого основания и смещения одного тела относительно другого по оси z найдены условия, при которых нормальная сила составила Р = 100 кН, а численное решение дало значения а ир0 близкие к найденным из точного решения для кругового контакта. В табл. 3.1 приведены значения жёсткости упругого основания, обеспечивающие высокую точность соответствия результатов численного и точного решений.
Следует отметить, что жёсткость получена применительно к конечноэле-ментной сетке с шагом 1 мм. При использовании сеток с другим шагом её необходимо пересчитывать с использованием соотношения с = с0± /4, (3.2) где с0 = 10 Н/м ; Ft - площадь грани /-го конечного элемента, прилегающего к узлу, п - число прилегающих элементов.
Выполнены исследования зависимости рекомендуемой жёсткости от значения нормальной силы в контакте. Варьирование нормальной силы достига 63 лось за счёт задания различных значений смещения по оси z одного фрагмента относительно другого. Решения проведены при жесткостях, рекомендуемых в табл. 3.1 для фрагментов толщиной 10 и 5 мм. Их результаты представлены в табл. 3.2 и 3.3.
Анализ полученных результатов показывает, что при толщине фрагментов 10 и 5 мм можно найти значение жёсткости упругого основания, обеспечивающее высокую точность решения контактной задачи по определению размеров контакта и максимального давления.
При толщине фрагмента 1 мм выявилось существенное влияние величины нормальной силы на рекомендуемую жёсткость упругого основания. Получены значения жёсткости для широкого диапазона изменения нормальной силы. Они приведены в табл. 3.4.Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы: если пятно контакта имеет форму круга, фрагменты толщиной 10 и 5 мм обеспечивают решение контактной задачи с высокой точностью при назначении жёсткости упругого основания в соответствии с табл. 3.1 независимо от значения нормальной силы. При использовании фрагментов толщиной 1 мм также может быть обеспечена достаточно высокая точность решения контактной задачи при выборе жёсткости упругого основания, зависящей от значения нормальной силы, в соответствии с табл. 3.4.
Аналогичные исследования проведены для случая вытянутого контакта с эксцентриситетом е = 0,95. В табл. 3.5 сопоставляются результаты точного и численного решения для фрагмента толщиной 10 мм при варьировании нагрузки от 30 до 100 кН. В этом случае жёсткость основания с = 0,9 107 Н/м обеспечивает достаточно высокую точность решения в этом диапазоне изменения нагрузки.
Как следует из табл. 3.6, достаточная точность достигается и при использовании фрагмента толщиной 5 мм со значением жёсткости упругого основания с = 1,0-107 Н/м.
Программная реализация алгоритма решения нормальной контактной задачи для колеса и рельса
Для решения нормальной задачи используются профили поверхностей колеса и рельса, заданные координатами точек, расположенных с шагом 0,1 мм по линиям контуров. Определение формы и размеров пятна контакта и распределения давлений по его поверхности ведётся следующим образом. Из выходных данных программы моделирования движения экипажа на шаге по времени берутся: значение нормальной силы N, номера точек начального контакта, расположенных на профилях колеса и рельса, и угол поворота ср колеса относительно рельса вокруг продольной оси пути. Профиль рельса сдвигается в поперечном направлении до совмещения точек начального контакта колеса и рельса и поворачивается на угол ср. Выбирается местная система координат с началом в точке начального контакта профилей: ось zM направляется вдоль общей нормали к профилям колеса и рельса, проведенной из точки начального контакта, а осьул, по касательной к профилям (рис. 4.13).
Координаты точек профиля колеса заданы в системе координат Оху с расположением начала О на круге катания. Ось х параллельна оси колёсной пары, а ось z параллельна оси рельса. Обозначим точку начального контакта на профиле колеса Nw (рис. 4.13а), а её координаты xw, yw. Пусть нормаль, проведенная через точку Nw к профилю колеса, составляет угол а с осью у. Тогда координаты точек профиля в местной системе (рис. 4.136) равны УІ = -{х - хи )cosa + (y- yw) sin а; ZZ = Си У J x s а + (х- xjs ma . Координаты точек профиля рельса заданы в системе координат с началом в точке, расположенной на оси симметрии, а ось у проходит вдоль оси симметрии неизношенного рельса. Обозначим точку начального контакта на профиле рельса Nr, а её координаты хп уг. С учётом того, что профиль смещается поступательно до совмещения точек начального контакта и поворачивается на угол Р=(р+а, где угол ср определяется подуклонкой рельса и поворотом оси колёсной пары относительно продольной оси пути. Тогда координаты точек профиля рельса в местной системе равны Ум =-{x-xr)cos/3 + (y-yr)sm/3\ 4 = ІУ yr)cosfi + (х xr)s mj3. После перехода в местную систему координат решается задача подбора внедрения S профиля колеса в профиль рельса, при котором получается нужное
Переход к местной системе координат значение нормальной силы N. Если контактные давления распределены по полуэллипсоиду, нормальная сила определяется с использованием зависимости (4.5). В работе принято параболическое распределение давлений. При таком распределении зависимость (4.5) При решении задачи методом конечных элементов установлено, что зависимость между силой и внедрением близка к линейной в диапазоне сил 50...150кН. Результаты этих исследований приведены в табл. 4.5. Благодаря этому для подбора внедрения 3 достаточно трёх итераций. Вычисляются значения нормальной силы при внедрениях 0,05 и 0,1 мм, определяются коэффициенты линейной зависимости между силой и внедрением S = kN + b. С использованием этой зависимости по известному значению силы N определяется необходимое внедрение 8.
Для определения формы и размеров пятна контакта задаётся внедрение 50 - Кв5. Коэффициент внедрения Кв принимается равным 0,53.
Координаты точек, лежащих на набегающем крае контакта, определяются с использованием зависимости (4.4), куда в качестве R подставляется главный радиус кривизны поверхности колеса, лежащий в главной плоскости, проходящей через нормаль в начальной точке контакта (рис. 4.13а)
R = (RK-yw)/cosa, где Як - радиус круга катания колеса.
Если давления распределены по закону полуэллипсоида, то давление в точке начального контакта вычисляется с использованием зависимости (4.6). При параболическом распределении она преобразуется к виду
В случае герцевского контакта результаты решения нормальной задачи легко прогнозируемы. Если к телам приложена не только нормальная сила, но и касательные силы, а также момент верчения, задача определения распределения касательных напряжений по поверхности контакта даже в статической постановке является сложной. Она ещё более усложняется для контакта качения колеса по рельсу в условиях реализации продольного, поперечного крипа и спина.
В программе Калкера CONTACT [17] для решения контактной задачи качения применяется вариационный метод с использованием двумерных сеток, покрывающих поверхности контакта. В работе [63] контактная задача качения решается методом конечных элементов. В разработанной для этого программе ITFEMCP реализован метод поузловых итераций. Алгоритмы позволяют получить решение с достаточной точностью, однако требуют больших затрат машинного времени, что делает проблематичным использование их при моделировании процессов изнашивания и накопления усталостных повреждений. Тем более при моделировании динамики движения железнодорожных экипажей.
