Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние системы технического обслуживания и ремонта воздушных судов гражданской авиации, задачи исследования 10
1.1 Состояние и проблемы технического обслуживания и ремонта (ТОиР) воздушных судов (ВС) гражданской авиации 10
1.2 Математические задачи исследования 26
2. Оптимальные модели технического обслуживания авиационных систем, учитывающие случайные моменты ударов и случайные накопления повреждений 40
2.1 Пуассоновский поток моментов ударов 40
2.2 Адаптивное восстановление при пуассоновском потоке моментов ударов 44
2.3 Полумарковский процесс накопления повреждений 54
2.4 Диффузионная аппроксимация величин повреждений 57
2.5 Определение среднего времени до отказа авиационной
системы при ударных нагрузках в процессе эксплуатации 62
3. Пороговые модели ударов, в которых накопленные повреждения фиксируются при регулярных проверках 68
3.1 Оптимальная модель предупреждения аварийных ситуаций для авиационной системы, подверженной ударным нагрузкам в процессе длительной эксплуатации 68
3.2 Сравнение предложенной и существующей моделей. Неоднократное применение правила предупреждения аварийных ситуаций 72
3.3 Определение оптимального правила выполнения работ при контроле элементов конструкции воздушного судна (на примере панели крыла самолета Ил-62М) 86
4. Эксплуатация отдельных агрегатов авиационных систем по оптимальному ресурсу и статистическое оценивание рассчитываемого ресурса 93
4.1 Определение оптимальных ресурсов деградируемых агрегатов авиационных систем 93
4.2 Статистическая оценка величины оптимального ресурса «стареющих» элементов авиационных систем 96
5. Формирование оптимальных процедур технического обслуживания агрегатов ВС по опыту эксплуатации ИЛ-86 105
5.1 Содержание работ при техническом обслуживании гидронасоса НП-108 105
5.2 Определение закона распределение наработок до отказа гидронасоса НП 108 113
5.3 Разработка рекомендаций по формированию процедуры ТО гидронасоса НП 108 116
5.4 Определение функций распределения наработок до появления трещин в элементах функциональных систем ИЛ-86 128
Заключение 131
Список использованных источников 133
Приложение 137
- Математические задачи исследования
- Адаптивное восстановление при пуассоновском потоке моментов ударов
- Сравнение предложенной и существующей моделей. Неоднократное применение правила предупреждения аварийных ситуаций
- Статистическая оценка величины оптимального ресурса «стареющих» элементов авиационных систем
Введение к работе
Актуальность темы исследования заключается в том, что при определении ресурсов воздушных судов гражданской авиации и их оборудования не учитываются ударные нагрузки, происходящие за очень короткое время. Это и сильные механические воздействия при грубых посадках ВС, и переходные режимы при запусках авиационных двигателей, включениях и выключениях радиоэлектронной аппаратуры, и температурные скачкообразные воздействия во время полетов ВС. Проблема здесь в том, что пока технически трудно, а порой и невозможно измерить повреждения, возникающие при ударных нагрузках. Иногда при известных величинах ударных нагрузок их можно рассчитать. В то же время инженерная мысль настойчиво ищет пути прямых измерений повреждений, возникающих в авиационных системах при фиксированных ударных нагрузках. В процессе эксплуатации ВС ударные воздействия иногда можно фиксировать (например, при грубых посадках ВС). В этих случаях открывается путь исследования повреждений в конструкциях в лабораторных условиях.
Возникают в связи с этим совершенно новые задачи эксплуатации ВС и их оборудования по техническому состоянию. Именно такие задачи и рассматриваются в диссертации.
Первые отечественные работы в этом направлении принадлежат А.М.Андронову, Ю.М.Пономареву, Е.Ю.Барзиловичу, О.Е.Митряевой, А.Г.Шевчуку, Н.Н.Кузнецову. Из публикаций зарубежных авторов прежде всего следует отметить работы Б.Бергмана, Х.Тейлора, Д.Цуккермана.
Целью работы является создание и частичное использование комплекса новых моделей эксплуатации по техническому состоянию авиационных систем, направленных на поддержание и повышение летной годности воздушных судов.
Объектом исследования является процесс технического обслуживания и ремонта воздушных судов гражданской авиации. Методы исследования связаны с применением теории вероятностей: теории управляемых скачкообразных случайных процессов марковского и полумарковского типа, диффузионных случайных процессов, процессов с адаптацией, точечных случайных процессов и монотонных немарковских случайных процессов; математической статистики и вариационного исчисления. Научная новизна работы состоит в - исследовании методологии формализации задач технического обслуживания авиационных систем, подверженных в процессе эксплуатации случайным ударным нагрузкам и деградации; - создании модели, в которой учитывается непрерывное восстановление системы после каждого ударного воздействия; - определении среднего времени функционирования авиационной техники при воздействии ударных нагрузок до отказа; - определении оптимальных ресурсов «стареющих» агрегатов авиационных систем; - обосновании нового подхода к оптимальной эксплуатации авиационных систем по техническому состоянию и сравнении его с традиционным; - в проведении расчетов по определению параметров технического обслуживания в рамках предложенных моделей для конкретных авиационных систем. Практическая значимость исследований заключается в разработке теории эксплуатации авиационных систем по состоянию в услови ях воздействия случайных ударных нагрузок, в создании вычислительных программ, позволяющих при наличии исходных статистических данных о скачкообразных случайных процессах-повреждениях авиационных систем автоматизировать процесс контроля их состояния и выдачи решений на обслуживание по результатам контроля. Точность и достоверность проведенных исследований обусловлены обоснованностью и приемлемостью сделанных допущений, использованием адекватных этим допущениям математических моделей, получением сравнительных результатов и применением для расчетов собранных лично автором исходных данных с последующим статистическим оцениванием конечных результатов. Апробация работы. Содержание диссертации опубликовано в семи научных трудах. Материалы диссертационной работы, докладывались на Четвертой международной научно-технической конференции «Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники» (г. Егорьевск, 2002 год), на международной научно-технической конференции «Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества» (г. Москва, 2003, МГТУ ГА), на семинарах секции «Проблемы воздушного транспорта России» научного Совета РАН по проблемам транспорта (2001 г. и 2002 г.). Содержание и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и трех приложений, содержит 136 страниц текста, 22 рисунка, 24 таблицы. Краткое содержание диссертации состоит в следующем.
В первом разделе анализируется состояние дел в области технического обслуживания воздушных судов гражданской авиации (глава 1.1) и описываются задачи исследования (глава 1.2). Второй раздел полностью посвящен решению задач обслуживания авиационных систем по состоянию с учетом ударных нагрузок, при которых возникающие в системах нарушения измеряются в моменты ударов (они косвенно характеризуют и силы ударов) аддитивно накапливаются по мере увеличения числа ударов. Во всех задачах минимизируются средние удельные затраты при длительной эксплуатации системы и указываются процедуры, позволяющие предупреждать отказ, разрушение системы.
В первой главе раздела рассматривается система, подверженная при эксплуатации механическим ударным нагрузкам, моменты ударов образуют простейший поток с постоянной интенсивностью. Каждый удар приводит к повреждению, которое является реализацией положительной случайной величины с общей функцией распределения.
Во второй главе раздела при тех же условиях, что и в первой главе, рассматривается случай непрерывного снятия накапливаемых в системе повреждений. Полумарковский процесс накопления повреждений исследован в третьей главе. Часто авиационные системы работают в условиях, когда величины отдельных повреждений малы по сравнению с допустимой величиной повреждений, при которой система отказывает. При этом предположении приемлемой аппроксимацией процесса накопления повреждений является аппроксимация с помощью диффузионного случайного процесса (глава четвертая).
Пятая глава раздела посвящена определению среднего времени до отказа систем при простейшем потоке моментов ударов и общей функции распределения выявленных ударами повреждений. Полученные в этой главе результаты могут быть использованы при обосновании ресурсов отдельных агрегатов, узлов и элементов авиационных систем, подверженных в процессе эксплуатации случайным ударным нагрузкам. В третьем разделе рассматриваются модели ударов, в которых накопленные повреждения фиксируются не в моменты ударов, а в дискретные моменты контрольных проверок, при этом в явном виде отыскивается оптимальное упреждающее управление для снятия накопленных повреждений (глава 3.1). Эта модель сравнивается с традиционной оптимальной моделью эксплуатации авиационной системы по техническому состоянию. Здесь же оценивается процедура неоднократного применения (с каждым разом все с меньшим интервалом контроля) оптимального решающего правила управления состоянием системы по результатам контролей (глава 3.2). В приложении № 1 приведена вычислительная программа оптимального управления состоянием авиационной системы для рассматриваемого случая.
Четвертый раздел диссертации, состоящий так же, как и третий, из двух глав, содержит оптимальную модель эксплуатации отдельных агрегатов, узлов, элементов авиационных систем, подверженных внезапным выходам из строя с выраженной тенденцией роста их интенсивно-стей отказов и полностью восстанавливающих свои свойства после устранения отказов (путем замен на новые). Управление состоянием системы в этих случаях осуществляется по наработке агрегатов, узлов элементов. Критериями оптимизации являются коэффициент оперативной готовности или коэффициент готовности (глава 4.1). Во второй главе четвертого раздела дается статистическая оценка величины оптимальной наработки (ресурса) до упреждающей замены. Соответствующая вычислительная программа помещена в приложении № 2.
Пятый раздел полностью посвящен количественным расчетам сроков замен по наработке, выбору оптимальных упреждающих допусков и другим расчетам для отдельных агрегатов, узлов, элементов конкретных объектов воздушных судов гражданской авиации. Комплексная вычислительная программа для проведения названных вычислительная программа для проведения названных расчетов приведена в приложении № 3.
В заключение автор считает своим приятным долгом поблагодарить своего научного руководителя профессора, доктора технических наук Евгения Юрьевича Барзиловича, научного консультанта профессора, доктора технических наук Юрия Михайловича Чинючина, а также доцента, кандидата технических наук Евгению Давыдовну Герасимову за помощь в работе над диссертацией.
Математические задачи исследования
Предлагаемые в диссертации оптимальные задачи эксплуатации авиационных систем по техническому состоянию с учетом случайных ударных нагрузок и алгоритмы их решений укладываются в следующую строгую обобщенную математическую схему получения оптимальных решений, опубликованную с участием автора диссертации в [13, 14].
Часто при функционировании авиационной транспортной системы имеется возможность полного или частичного восстановления ее свойств. Этого достигают путем ремонта или технического обслуживания. Для единообразия ниже будет применяться термин «ремонт».
В процессе функционирования системы, таким образом, может происходить ухудшение ее свойств, что приводит как к снижению показателей эффективности, так и к возрастанию возможности отказа. Предполагается, что после отказа система подлежит ремонту в обязательном порядке. Кроме того, может быть проведен предупредительный ремонт до отказа системы. Обычно на практике существуют ограничения на моменты времени проведения ремонта. Система может быть доступна только в определенное время: средства транспорта — после завершения рейса.
Задача заключается в принятии решения о моменте времени проведения ремонта. Критерием эффективности при этом является средний доход от эксплуатации системы в единицу времен. Последний формируется из доходов, получаемых от исправной работы системы, и расходов, связанных с последствиями отказа и проведением ремонта. Доходы и расходы (как и возможность отказа) зависят от фактического состояния системы. В связи с этим принимаемые решения также должны зависеть от состояния системы. Это соответствует методу ремонта (замены или технического обслуживания) по состоянию (PC).
В случае ремонта по состоянию структура принимаемого решения достаточно сложна. Для каждого возможного состояния системы следует указать, проводить или не проводить предупредительный ремонт. При этом должно учитываться, когда такое решение будет приниматься в следующий раз. Поэтому математические модели, используемые для определения моментов времени ремонта по состоянию, являются весьма сложными.
Рассмотрим систему, возможные состояния которой образуют фазовое пространство Е\. В момент времени t 0 состояние системы обозначим через Z(t), (Z(t) - непрерывный справа случайный процесс со значениями из Е\). Система подвержена отказам. Обозначим подмножество состояний отказов через Лъ A\CzE\. Множество работоспособных состояний системы обозначим EQ = Е\ — Л\. На восстановление (ремонт) системы после отказа затрачивается некоторое случайное время в 0, по истечении которого функционирование системы продолжается. При этом предполагается, что восстановление является полным, т.е. процессы функционирования системы между двумя последовательными моментами устранения отказов являются вероятностными копиями. Иными словами, эти моменты являются точками регенерации рассматриваемого процесса Z(t), а сам процесс - регенерирующим.
Промежуток времени между двумя соседними точками регенерации называется циклом регенерации. Если отсчет времени вести от последней точки регенерации, то обозначим момент возникновения отказа через , 0. Тогда общая длина цикла составляет случайное время + 9. Будем считать, что М(%+ 0) со. Из общей теории регенерирующих процессов известно, что основные стационарные характеристики таких процессов могут быть рассчитаны путем анализа одного цикла регенерации.
Структура протекания процесса на одном цикле регенерации описывается следующим образом. Будем вести отсчет времени от момента регенерации, т.е. полагать для такого момента t = 0. От этого момента до момента отказа имеются моменты времени t0 = 0 ti ti ... , называемые марковскими моментами (ММ). Физический смысл ММ таков: выявление того, наступил ли данный ММ до момента времени t, однозначно определяется траекторией процесса Z(t) до момента t. В связи с этим ММ часто называют «случайными величинами, не зависящими от будущего». Так, ММ не будут моменты времени появления в системе неисправностей, если неисправности обнаруживаются не сразу, а только при проведении проверок, осмотров, технических обслуживании и т.п.
Адаптивное восстановление при пуассоновском потоке моментов ударов
Предположим, что в каждом интервале (tiy ti+x) изменение процесса Z(t) описывается детерминированной непрерывной функцией p(t, z): удовлетворяющей условию при t t где g (t) - строго возрастающая неотрицательная непрерывная функция переменной t, g (і) = 0 при z "0; g l (z) - функция, обратная g (t), z 0. В класс процессов Z (t), описываемых функций p(t, z), входят также процессы, задаваемые дифференциальным уравнением где р (z) - непрерывная функция z 0. Большое практическое значение имеет случай (2.6) wpug (t) =- at, t 0, или (2.7) при p (z) = - a, z 0, когда происходит уменьшение значения Z(t) с постоянной скоростью а 0. Он соответствует наличию в системе адаптации к ухудшению своего состояния, устраняющего повреждения со скоростью а. Более общие случаи (2.6) и (2.7), когда функция р отрицательна, также могут трактоваться как наличие процессов адаптации, заключающихся в «самоустранении» имеющихся повреждений. Такие системы называются самовосстанавливающимися. В [15] приведен общий алгоритм решения данной задачи, приводящий к максимизации несколько видоизмененного функционала (2.5) и поиску соответствующей оптимальной стратегии; далее остановимся на одном частном случае, подробно рассмотренном в [16]. Исследуем теперь более подробно случай экспоненциального распределения величины повреждений в механической системе (МС) или агрегате. При этом будем полагать, что самовосстановление МС (агрегата) происходит с единичной скоростью (а = 1) и будем пользоваться обозначениями, введенными в работе [16]. Предположим, что элементы МС подвергаются воздействию различных факторов, например, ударам, работают независимо и при отказах заменяются на новые. Каждый удар вызывает в МС (агрегате) изменение случайной величины, последующие удары аддитивно накапливаются. Каждое повреждение мгновенно фиксируется. Будем считать, что МС после удара обладает способностью к уменьшению накопленных повреждений (если она не отказала в момент удара). Пусть Yh Y2, Із ...- положительные независимые и одинаково распределенные случайные величины повреждений с общей функцией распределения F(y). Повреждения возникают в моменты времени t\, 12)
Отказ МС (агрегата) может произойти лишь при ударе, а вероятность отказа зависит от накопленных в МС повреждений. Пусть X (t) -накопленное повреждение к моменту t (оно изменяется мгновенно). Считаем, что степень восстановления (самовосстановления) МС зависит от накопленных в ней повреждений. Тогда, если удары отсутствуют, процесс восстановления (самовосстановления) характеризуется функцией a(X(t)), которую определим так: где, по предположению, а (0) = 0; а (х) - положительная и непрерывная функция в интервале (0, оо).В случае, когда удар происходит в момент t и вызывает повреждение у, МС (агрегат) отказывает с вероятностью \-r(X(t-) + у). Функцию г () назовем функцией выживания и будем считать ее невозрастающей функцией накопленных повреждений. По предположению, при отказе МС (агрегат) заменяется на новую, статистически идентичную. МС (агрегат) также может заменяться до отказа в любое время Т где — случайное время до отказа агрегата, и циклы замен могут повторяться бесконечно (длительное использование агрегата). При этом каждая замена обходится в С единиц стоимости, а каждый отказ добавляет К единиц стоимости. Решения о заменах принимаются только в моменты ударов. Критерием оптимизации будем считать среднюю удельную стоимость при длительном использовании агрегата. Введем обозначения: Т - оптимальный момент предупредительной замены агрегата; ЕхМ =Е[»/Х(0)=х];Рх() = Р(»/Х(д) = х). При этом считаем, что Х(0) = 0; Y - случайная величина, А - случайное событие, относящееся к математическому ожиданию индикаторная функция события А. Будем считать, что если отказа не произошло до момента времени t, то X (t) - аддитивные повреждения от ударов в интервале [0, t] для t Очевидно, выражение для средней удельной стоимости при длительном использовании МС имеет вид где Т- момент предупредительной замены МС. Рассмотрим следующее подмножество времен предупредительных замен: т = {Т: Т Q, Т = ґ,-для і 1, где f,- = th t2, h,... -моменты ударов. Пусть F (у) имеет экспоненциальное распределение. Экспоненциальное распределение является распределением «без памяти», поэтому интуитивно ясно, что оптимальный марковский момент предупредительной замены агрегата следует искать в подмножестве т. Пусть у/ = inf у/т. Значению у/ соответствует искомый оптимальный марковский момент замены Т. Необходимо показать, что Т определяется единственным критиче-ским уровнем у. Оптимальная стратегия состоит в том, что агрегат нужно заменить либо после отказа, либо после того, как накопленные повреждения впервые превысят уровень у.
Сравнение предложенной и существующей моделей. Неоднократное применение правила предупреждения аварийных ситуаций
В процессе испытаний и последующей эксплуатации авиационных систем (АС) выявляются не только причины отказов агрегатов и элементов АС, но намечаются (и частично реализуются) мероприятия по устранению этих причин. Однако существует и другой путь повышения эксплуатационной надежности АС. Этот путь связан с организацией предупредительных профилактических замен наиболее ненадежных, а часто и наиболее важных невосстанавливаемых агрегатов, элементов и узлов АС. Список таких агрегатов, элементов и узлов формируется на основе статистических данных и экспертных опросов. Причем в начале эксплуатации АС экспертным опросам принадлежит решающая роль. Эти элементы и узлы, как показывает опыт эксплуатации АС, а также элементов и узлов - аналогов, являются «стареющими», т.е. имеют возрастающую во времени интенсивность отказов. Например, в системах оборудования ВС ГА эти элементы составляют примерно (1-3)% от общего числа. При длительной эксплуатации системы периодическая замена таких элементов, наряду с другими мероприятиями, может решить проблему обоснованного продления ресурса системы в целом. Однако в деле организации предупредительных замен слабых звеньев до недавнего времени существовали большие трудности, связанные практически с отсутствием статистики, позволяющей определять функции интенсивностей отказов таких звеньев. Итак, рассмотрим типовую модель оптимальных предупредительных замен «слабых звеньев» в длительно эксплуатируемой системе.
Одной из первых работ в этой области была работа [40], далее эта модель совершенствовалась и уточнялась в последующих работах [30, 36, 55]. Для вероятности застать «стареющий элемент» в системе исправным в момент t и проработать далее безотказно время л; - р(х, t) можно записать [30]: (4.1) где G(t) — функция распределения (ф.р.) времени предупредительных замен элемента, F(t) -функция распределения времени до отказа элемента, a H(t) — функция восстановления [28]. Элемент заменяется профилактически через случайное время, распределенное в соответствии с ф.р. G(t), либо сразу после отказа. Известно [30], что при t — х (4.2) о где М[Т\ — математическое ожидание времени между двумя соседними моментами замен элемента. Введем еще две величины Ті и Тг. Физический смысл этих констант следующий: Г] — среднее время замены исправного, а Г2 — неисправного элемента, очевидно, что Т\ Т2. Тогда (4.2) примет вид На практике наиболее просто и реализуемо заменять элемент через постоянное время т, тогда Распределение (4.4) является вырожденным. Оказалось [30], что именно на вырожденных распределениях следует искать максимум функционала (4.3). Из (4.3) с учетом (4.4), проведя некоторые преобразования и введя ряд приближений, получаем практически приемлемое уравнение: Можно легко показать, что при Ті Т2 и X (t) 0 уравнение (4.5) имеет единственный корень т0 — величину оптимального ресурса элемента. Однако для определения г0 по-прежнему необходимо знать функцию A(t). В разделе 5 для одного из «стареющих» агрегатов авиационного двигателя ВС будет определена функция A(t), обладающая свойством Л (# 0.
Статистическая оценка величины оптимального ресурса «стареющих» элементов авиационных систем
Пусть St(\) - случайные величины, равные длительностям времен работы 1-го элемента до наступления отказа. Считаем, что после восстановительных (аварийных, путем замен), а также профилактических работ (предупредительных замен до отказа) элемент полностью восстанавливается, т.е. по своим надежностным показателям идентичен новому. Это допущение означает, что случайные величины s/l) являются независимыми и одинаково распределенными с функцией распределения F(s) -P(st(\) s). Пусть в каждый момент начала работы элемента назначается предельная продолжительность работы, по достижении которого проводятся предупредительные замены. Это предельные продолжительности также считаем независимыми случайными величинами Si(2), имеющими функцию распределения G(s)=P(Si(2) s). Продолжительности предупредительных замен считаем независимыми случайными величинами Sj(3) с функцией распределения Q(s) = P(si(2 ) s).
Если отказ в работе элемента наступит ранее запланированного времени проведения предупредительной замены, то немедленно начинается аварийная замена элемента, по завершении которой он полностью становится идентичным новому. Соответственно предполагается, что длительности таких аварийных замен являются случайными величинами Si(4) с функцией распределения R(s) = P(si(4) s).
Рассчитаем коэффициент готовности элемента с учетом введенных выше допущений, рассматривая только стационарный случай. Символом E(z) будем обозначать математическое ожидание случайной величины z-Математическое ожидание (среднее) интервала работы элемента до момента, когда либо наступит отказ, либо будет достигнут момент проведения предупредительных замен, естьіі min(Si(\), s/2). Работу элемента можно представить в виде циклов, каждый из которых начинается с момента включения в работу нового элемента и завершается моментом окончания либо предупредительной замены (случай А), либо аварийной замены (случай Б). С учетом случаев А и Б средняя продолжительность цикла равна
Коэффициент готовности в соответствии с эргодической теоремой равен отношению среднего интервала работы системы к среднему времени цикла, т.е.
В частном случае, когда предупредительные замены проводятся через время Т, т.е. когда G (s) = 1 (s Т) является единичной функцией вида (4.4), из формулы (4.6) находим
Оригинальность дальнейшего решения задачи заключается в том, что ее нужно решить при наличии неполной информации о функциях распределения F(s), G(s), Q(s), R(s), s 0. Эта неполная информация содержится в статистических данных, собранных за время работы m элементов. Во время работы этих элементов регистрируются моменты времен наступления событий (отказов элементов, начала и окончания пре дупредительных замен и окончания аварийных замен). Для элемента с номером у момент t0j соответствует началу работы нового элемента. Всем моментам времени ty, в которые очередной период работы завершается отказом, ставим метку vy = 1. Моментам ty, в которые производится остановка работы и начинаются предупредительные восстановления, сопоставляется метка Vg = 2. Если в момент Ц завершаются предупредительные восстановления, то такому времени сопоставляется метка Vy = 3. Если в момент Ц завершаются аварийные восстановления, то этому моменту сопоставляется метка Vy = 4. Допустим, что в момент tj прекращено поступление информации о работе элемента, a th._1 - последний момент, предшествующий tj, когда произошло одно из перечисленных выше событий. Если момент th._lfj tj имеет метку vh._lj = 1, то к моменту tj еще не завершены аварийные восстановления (замены). В таком случае моменту tj сопоставим метку - 4. Если vA._ly. = 2, то в момент tj не завершены предупредительные замены и моменту tj сопоставляем метку - 3. Если vA._j = 3 или vA._j . = 4, то в момент tj элемент находится в работоспособном состоянии. В этом случае моменту tj сопоставляем метку - 1. Все возможные случаи перечислены. Для однородности обозначения полагаем tj = th. .. После сопоставления моментам событий Ц меток Vy исходные статистические данные представим в виде массива
Для статистических выводов следует проанализировать наблюденные продолжительности Sy = Ц - f;_у, снабдив их метками Vy, соответствующими моментам Ц. Образуем на основе массива данных (4.8) три подмассива:
H = F, Q, R. Обобщенные оценки максимального правдоподобия значе-ний Н( s), соответствующие этим таблицам, задаются формулой где соответственно полагаем H = F, Q, R. Оценки (4.9) для значений H = F, Q, R можно использовать для получения оценки коэффициента готовности. Оценки (4.9), называемые множительными [11], в общем случае могут иметь ненулевые значения lint H(m,s) и соответственно могут давать бесконечные значения для \Й (т, s) ds, Н = F, Q, R.
Во избежание этого будем полагать, что Н(т, s) = 0 для последнего значения s = zn (т, Н). Соответственно в порядковой таблице Dn(m) заменяем число с (т, Н) на 0, а / (т, Н) на сумму / (т,Н) - fn (т Н) +спн (т Н). Далее расчет всех оценок ведем на основе таким образом измененных порядковых таблиц. Нулевые значения Н (т, zn, (т, Н)) будут в том случае, когда наибольшая наблюденная продолжительность предупредительной замены (Н = F) или аварийной (Н = Q, R) завершается либо отказом (Н = F), либо окончанием восстановления (Н = Q, R). Естественно ожидать, что при увеличении числа наблюдений и увеличении их продолжительности (росте tj) все значения Н (т, s) - О для значений s z„H (т, Н). Если время проведения предупредительных замен равно Т, то в соответствии с формулой (4.7), используя оценки (4.9), получаем оценку коэффициента готовности где оценки значений хвостов распределений F, Q, R задаются формулами (4.9) с Н = F, Q, R. Для расчетов можно использовать следующие соотношения
