Содержание к диссертации
Введение
1. Классификация и анализ систем передачи информации на основе динамического хаоса и принципы построения аналоговых генераторов детерминированных хаотических колебаний 12
1.1. Системы передачи на основе динамического хаоса 12
1.2. Электронные генераторы детерминированного хаоса (история вопроса) 20
1.3. Принципы построения электронных аналоговых генераторов хаоса 23
1.4. Управление хаотическими колебаниями 32
1.5. Результаты, полученные в главе 1 38
2. Физическая модель аналогового генератора детерминированного хаоса с туннельным диодом в качестве нелинейного элемента 40
2.1. Постановка задачи 40
2.2. Физическая модель генератора хаотических колебаний с нелинейным элементом и управляемой нелинейностью 40
2.3. Работа генератора в разных режимах 48
2.4. Результаты, полученные в главе 2 67
3. Физическая модель генератора детерминированного хаоса на основе моделирования логистического отображения 68
3.1. Постановка задачи 68
3.2. Принципы построения, схемотехническое решение и результаты испытаний физической модели 69
3.3. Результаты, полученные в главе 3 81
4. Цифро-аналоговый генератор хаоса на основе алгоритма «Сдвиг Бернулли» 82
4.1. Постановка задачи 82
4.2. Алгоритм «Сдвиг Бернулли» и оценка его пригодности для получения детерминированных хаотических колебаний цифровыми методами 85
4.3. Структурная схема физической модели цифро-аналогового генератора хаоса 90
4.4. Схемотехника отдельных блоков цифро-аналогового генератора 97
4.5. Результаты, полученные в главе 4 111
5. Система передачи дискретных сообщений с РОС-ОЖ и предварительной очисткой кодовых комбинаций от ошибок и возможность применения динамическогохаоса в этой системе ... 112
5.1. Постановка задачи 112
5.2. Общие сведения о системе 113
5.3. Определение внешних характеристик системы с РОС-ОЖ при объединении сообщений в блоки 116
5.4. Определение внешних характеристик системы с РОС-ОЖ при наличии предварительной очистки кодовых комбинаций от ошибок 124
5.5. Особенности, связанные с применением динамического хаоса в рассмотренной системе ...129
5.6. Результаты, полученные в главе 5 131
Заключение 132
Литература 136
Приложение
- Электронные генераторы детерминированного хаоса (история вопроса)
- Физическая модель генератора хаотических колебаний с нелинейным элементом и управляемой нелинейностью
- Принципы построения, схемотехническое решение и результаты испытаний физической модели
- Алгоритм «Сдвиг Бернулли» и оценка его пригодности для получения детерминированных хаотических колебаний цифровыми методами
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время в условиях быстрого развития информационных технологий и совершенствования технических средств обработки, передачи и хранения информации, растет не только количество новых задач в этой области, но и количество технических решений уже известных, традиционных задач. Для этого ведется поиск и создание новых технических средств. Актуальной задачей была и продолжает оставаться, в частности, задача обеспечения конфиденциальности при передаче информации. Одно из направлений решения этой задачи связано с использованием шумоподобных сигналов (ШПС). Техника связи с использованием ШПС достаточно хорошо проработана и в настоящее время продолжает успешно развиваться. Существует еще одно перспективное направление в технике связи, которое способно привести к новым результатам при решении задач конфиденциальности передачи информации. Это направление связано с использованием широкополосных хаотических сигналов (ШХС). Количество работ, посвященных применению в системах связи широкополосных хаотических колебаний, постоянно растет. Это направление появилось после того, как в результате развития нелинейной динамики было открыто явление, названное динамическим или детерминированным хаосом. Было обнаружено, что в некоторых динамических системах, при определенных условиях, возникают особого типа нелинейные колебания, спектр которых не отличается от спектра нормального шумового процесса, но при этом существует определенный алгоритм, используя который, можно эти колебания воспроизвести.
Появление первых работ, положивших начало общей теории хаоса, связано, в первую очередь, с именами таких исследователей, как французский математик А. Пуанкаре и русский математик А. М. Ляпунов. Их работы были посвящены исследованию устойчивости решений дифференциальных уравнений, характеризующих динамические системы, т. е. системы, поведение которых зависит от времени, хотя термин динамический хаос ими не применялся. Возможность появления хаоса в динамических системах было обнаружено при дальнейшем исследовании нелинейных колебаний. Большой вклад в исследование нелинейных колебаний был сделан советскими математиками и механиками А. Н. Крыловым, А. А. Андроновым, Н. Н. Боголюбовым, А. Н. ' Колмогоровым и др. Однако термин динамический хаос стал широко использоваться, лишь начиная с 1970-х годов, после работ известных зарубежных исследователей в области хаоса Э. Лоренца, М. Файгенбаума, И. Р. Пригожіша, и др.
В радиоэлектронных системах возможность появления детерминированных хаотических колебаний была открыта в начале XX века. Первым сообщением о наличии нерегулярного шума в ламповом LC - генераторе можно считать сообщение Ван дер Поля, относящееся к 1927 году. Однако возможность использования детерминированных хаотических колебаний в технике связи стала изучаться сравнительно недавно, примерно с 90-х годов XX века. В настоящее время вопросы, связанные с проявлением динамического хаоса в радиоэлектронных системах, в радиофизике, а также проблемы использования хаоса в системах передачи информации нашли свое отражение в работах отечественных исследователей А. С. Дмитриева, В. Я. Кислова, С. О. Старкова, Владимирова С. Н., а также зарубежных специалистов Л. Каданова, Ф. Муна, Д. Швейцера Г. Чена, и др. Ими получены определенные практические результаты по использованию хаоса в радиофизике и в телекоммуникационных системах.
Решение технической задачи создания систем связи на основе детерминированного хаоса является одним из способов обеспечения конфиденциальности передачи сообщений, что уже само по себе является весьма актуальной задачей. Но применение хаотических колебаний в информационных технологиях не ограничивается только системами связи. Существуют данные о том, что процессы обработки информации в живых системах имеют
большое сходство с обработкой хаотических колебаний при выделении из них полезной информации. На этой же основе возможна разработка систем памяти нового типа, приближающаяся по своей структуре и по организации работы к системам памяти, используемой биологическими объектами.
Главная особенность детерминированных хаотических колебаний заключается в их большой информационной емкости, а возможность их применения в системах передачи информации связана, прежде всего с тем, что существует вполне определенный детерминированный алгоритм, на основании которого можно воспроизвести необходимые хаотические колебания любое количество раз, необходимое для их технического использования.
Трудности, возникающие при решении технической задачи, связанной с использованием детерминированного хаоса в информационных технологиях, и, в частности, в системах передачи информации, обусловлены необходимостью получения хаотических колебаний с заданными параметрами и вопросами их управляемости. Поэтому создание физических моделей генераторов хаоса и исследование их свойств можно считать необходимым звеном в решении технической задачи создания систем связи, работающих на основе использования детерминированного хаоса.
Таким образом, разработка физических моделей генераторов детерминированного хаоса и исследование их свойств является актуальной задачей, прежде всего для создания телекоммуникационных систем, а также для всех отраслей науки и техники, где возможно в перспективе применение хаотических колебаний.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка физических моделей генераторов детерминированного хаоса, изготовление их действующих макетов и исследование их свойств. Основное внимание при этом уделяется вопросам управляемости режимами работы генераторов и проверке устойчивости их работы в хаотических режимах.
Задачи исследования.
Разработка схемотехнических решений управляемых аналоговых генераторов детерминированного хаоса и исследование их работы в разных режимах.
Разработка схемотехнических решений цифро-аналогового генератора хаоса.
Разработка принципа построения системы передачи дискретных сообщений на основе генераторов детерминированного хаоса.
Методы исследования. В работе использованы общепринятые методы разработки и расчета аналоговых и цифровых электронных схем с применением математического аппарата вычислительной математики, дифференциальных уравнений, а также принципы физического моделирования. Использовались электрорадиоизмерения с применением необходимой для поставленной задачи стандартной измерительной аппаратуры, а также применялся метод компьютерного моделирования при отсутствии возможности непосредственного проведения электрорадиоизмерений.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие научные результаты.
Разработан, исследован и защищен патентом генератор хаотических колебаний с управляемой хаотизацией. В качестве нелинейного элемента, обеспечивающего хаотический режим, в генераторе использован туннельный диод. Управляемость режимами достигается изменением рабочей точки туннельного диода и изменением величины положительной обратной связи.
Разработан, исследован и защищен патентом генератор хаоса, работающий на принципе электронно-аналогового моделирования алгоритма, известного в теории хаоса под названием «логистическое отображение». В этом генераторе хаотический режим получается в результате нелинейного преобразования сигнала.
Управляемость хаосом достигается за счет изменения коэффициента усиления усилителя, входящего в состав нелинейного преобразователя.
Разработаны принципы построения физической модели цифро-аналогового генератора хаоса, работа которого основана на моделировании хаотического алгоритма, известного в теории хаоса под названием «сдвиг Бернулли». Обоснована структурная схема генератора, разработана схемотехника основных узлов, входящих в состав генератора. Методом компьютерного моделирования получены графики ожидаемых колебаний, графики их корреляционных функций и энергетического спектра.
Разработана и обоснована структурная схема асинхронной системы передачи дискретных сообщений на основе использования детерминированных хаотических колебаний, получена оценка вероятности ошибки в этой системе. На примере расчета внешних параметров системы передачи дискретных сообщений с РОС-ОЖ и предварительной очисткой кодовых комбинаций от ошибок, показано, что методика расчета подобных систем не требует учета каких-либо специфических параметров, связанных с конкретным типом носителя информации, следовательно вполне пригодна и для систем, в которых используются детерминированные хаотические колебания в качестве несущих.
Практическая ценность. Разработаны и реализованы в виде физических
моделей два генератора детерминированных хаотических колебаний аналогового типа,
которые могут быть использованы в экспериментах по передаче информации с
использованием хаоса, в учебном процессе при изучении нелинейных и хаотических
колебаний в детерминированных системах, для получения шумовых сигналов с заданным
спектром, в биологических экспериментах, и т. д. Исследованы свойства этих
генераторов.
Разработана структурная схема цифро-аналогового генератора детерминированных хаотических колебаний, как пример аппаратной реализации цифро-аналоговьг генераторов хаоса. Работа этого генератора основана на схемотехническом моделировании хаотического алгоритма «сдвиг Бернулли». Направление, связанное с разработкой цифро-аналоговых генераторов хаоса, еще только начинает развиваться, поэтому все подобные разработки имеют практическую ценность.
Разработана и обоснована структурная схема асинхронной системы передачі; дискретных сообщений на основе использования генераторов детерминированного хаоса. Произведена оценка вероятности ошибки в этой системе.
Показано на примере расчета конкретной системы передачи дискретных сообщений с РОС-ОЖ, что существующая методика расчета может быть использована и для систем, построенных на основе дичамнческото хаоса.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на
Международной научно-технической конференции «Информатика н проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 1997 г.).
III Международной конференции «Современные информационные технологии - СІП 98» (Новосибирск, 1998 г.).
3. Международной научно-практической конференции СВЯЗЬПРОМЭКСПО - 2009.
(Екатеринбург, 17-19 марта 2009 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, и получено три патента.
Структура н объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения. пяти глав, заключения, списка литературы, четырех приложений и содержит 165 страни'., в том числе 54 рисунка. В списке литературы 82 наименования.
Основные результаты, выносимые на защиту:
Способ управления типом колебаний в физической модели аналогового генератора детерминированных хаотических колебаний, в котором для получения хаоса используется туннельный диод.
Способ получения хаотических колебаний и управления ими в физической модели аналогового генератора детерминированного хаоса, работа которого основана на электронном моделировании нелинейного преобразования, известного в теории хаоса, как логистическое отображение.
Принцип схемотехнического построения и аппаратной реализации физической модели цифро-аналогового генератора хаоса, основанного на моделировании хаотического алгоритма под названием «сдвиг Бернулли».
Принцип построения и структурная схема асинхронной системы передачи дискретных сообщений на основе аналоговых генераторов хаоса.
Электронные генераторы детерминированного хаоса (история вопроса)
Рассмотрим некоторые принципы, используемые при разработке схем электронных генераторов хаоса на современном этапе. Как известно из теории колебаний [31, 32 ], фазовый портрет гармонического колебания представляет собой окружность в фазовой плоскости. Для хаотических колебаний фазовые портреты имеют вид своеобразного «клубка» траекторий, поэтому, учитывая, что фазовые траектории не должны пересекаться, в этом случае фазовое пространство должно быть как минимум трехмерным. Следовательно, если для генератора гармонических колебаний достаточно одной степени свободы, то минимальное число степеней свободы для хаотического генератора 1,5 , так как число координат фазового пространства в два раза больше, чем число степеней свободы колебательной системы. Нелинейный элемент, включенный, например, в цепь колебательного контура в генераторе КПР, повышает степень свободы 1С - генератора с 1 до 1,5. Исходная схема представляет собой, как правило, одну из разновидностей 1_С или РС генератора. Для того, чтобы при определенном режиме могли возникнуть хаотические колебания, во всех известных схемах аналоговых генераторов хаоса обязательно присутствует элемент или устройство, повышающее степень свободы исходного генератора до 1,5.
Предлагается выделить следующие схемотехнические решения, которые дают возможность обеспечить переход к хаотическому режиму работы генератора: 1) введение в схему нелинейного элемента с характеристикой определенного типа, позволяющей получить качественное изменение (бифуркации) типа получаемых колебаний; 2) введение в схему инерционного преобразователя, который также должен давать возможность качественного изменения типа колебаний; 3) использование в схеме нелинейного преобразования, характерного для аналогового моделирования уравнений, допускающих хаотическое решение.
Предлагаемое деление на три типа схемотехнических решений для построения генераторов хаотических колебаний является весьма условным и применимо именно в схемотехнике, поскольку нелинейные элементы в электронных схемах есть всегда, а инерционный преобразователь также является нелинейным, так как в самом простом случае [ 27 ] представляет собой комбинацию квадратичного детектора и КС - фильтра. Прежде всего это деление следует связывать с применяемыми элементами. Под введением нелинейного элемента подразумевается включение в схему генератора туннельного диода или его транзисторного эквивалента или устройства с наперед заданной нелинейной характеристикой (как, например в генераторе Чуа [47]). Инерционной нелинейностью может, например, служить термосопротивление, включенное в цепь колебательного контура [27], квадратичный детектор с КС - фильтром, комбинация нелинейного элемента и линии задержки в цепи положительной обратной связи [27, 28 ]. Некоторые пояснения следует сделать относительно нелинейного преобразования, в результате которого могут возникнуть хаотические колебания. Здесь имеется в виду следующее. Существует ряд уравнений и систем уравнений, которые при определенных параметрах допускают хаотические решения. К наиболее известным из них относятся: уравнения Лоренца, уравнения Чена, уравнения Рёсслера, уравнения Ланды, логистическое отображение, уравнение Дуффинга, отображение Хенона. Если воспользоваться существующими методами аналогового моделирования динамических систем [42], то, в принципе, каждому определенному математическому выражению можно сопоставить соответствующую электронную схему, которая при определенных параметрах способна воспроизвести хаотическое поведение моделируемой динамической системы. Соответствующие математические преобразования являются нелинейными. Поэтому их моделирование при помощи электронных схем также будет предполагать нелинейное преобразование параметров электрического сигнала. Как будет показано далее, достаточно просто поддается электронному аналоговому моделированию хорошо известное в теории хаоса преобразование, которое принято называть логистическим отображением.
Для иллюстрации приведем структурные схемы генераторов по каждому из трех типов схемотехнического решения. На рис. 5 изображена структурная схема генератора хаоса с туннельным диодом в качестве нелинейного элемента [26]. От классического 1_С- генератора гармонических колебаний с индуктивной обратной связью этот генератор отличается лишь наличием туннельного диода О в цепи колебательного контура. По такой схеме построен, например, генератор КПР. Роль туннельного диода заключается в том, что он повышает степень свободы системы до 1,5 [31].
Физическая модель генератора хаотических колебаний с нелинейным элементом и управляемой нелинейностью
Включение нелинейного элемента в схему генератора гармонических колебаний позволяет достаточно просто получить хаотический режим. В качестве нелинейного элемента часто используется туннельный диод или его транзисторный эквивалент, называемый прибором с отрицательным динамическим сопротивлением [27, 28] . Применение транзисторного эквивалента связано с тем , что его нелинейность может быть сделана регулируемой [28, 58], что необходимо для управляемой хаотизации. Однако, при определенных условиях можно получить регулируемый хаос, используя только туннельный диод [17, 23]. Рассматриваемая в этой главе физическая модель генераора хаоса может считаться транзисторным вариантом генератора КПР [25], дополненного регулятором режимов работы. Последняя особенность является полезным дополнением для изучения хаотических явлений и исследования детерминированного хаоса. В основе построения схем этих генераторов лежат одни и те же физические принципы, а следовательно, их работа может быть описана одними и теми же уравнениями. Эти уравнения имеют следующий вид [23, 29, 34]: о - переменное напряжение на туннельном диоде; напряжение на туннельном диоде в точке С вольт-амперной характеристики (рис. 12). В системе, описываемой уравнениями (2.1), как показано в [31], при р «1, все движения в фазовом пространстве можно разделить на быстрые и медленные, что характерно, например, для релаксационных колебаний [38]. При р— 0 фазовое пространство системы уравнений (2.1) вырождается в две перекрывающихся полуплоскости (г = + 1 и т. - - 1), т. е. становится 3-х мерным; при этом появляются три неустойчивых состояния равновесия, что и предопределяет возможность появления хаотических колебаний. Это имеет простое качественное объяснение. При большем коллекторном токе рабочая точка на вольт-амперной характеристике туннельного диода (рис. 12) сдвигается ближе к току пика (точка В на вольт-амперной характеристике), следовательно вероятность перехода работы генератора на нелинейный участок характеристики туннельного диода повышается.
Эквивалентная схема генератора КПР приведена на рисунке 10 [31]. Её отличия от транзисторного генератора хаоса (рис. 11) не принципиальны и заключаются в отсутствии генератора постоянного тока 1к ив другом включении отрицательного сопротивления, характеризующего роль активного элемента. Способ включения отрицательного сопротивления не имеет особого значения, поскольку последовательное и параллельное включение при необходимости могут быть пересчитаны из одного в другое [34]. Наличие в схеме генератора тока не изменяет вида уравнений, описывающих колебательные процессы. Это обусловлено тем, что в дифференциальные уравнения входят производные по времени от тока, поэтому постоянная составляющая на конечный результат не влияет. Следовательно тип колебаний в транзисторном генераторе также определяется параметром р, который, согласно уравнениям (2.1) определяется выражением
Принципы построения, схемотехническое решение и результаты испытаний физической модели
В динамических системах, в том числе и в электронных, которые описываются детерминированными уравнениями, при определенных условиях могут появляться решения, связанные с качественным изменением движения этой системы (бифуркацией). Математический анализ таких систем позволяет сделать вывод о наличии траекторий с «квазислучайным» поведением [ 33, 64 ]. Для электронных систем, решения, которые отражают качественные изменения движения динамической системы и переход к квазислучайному поведению, означают нахождение условий при которых возникают детерминированные хаотические колебания [30]. Возникновение динамического хаоса во многих случаях может быть описано достаточно простыми уравнениями [1 - 5], отражающими, как правило, неустойчивые динамические системы. Некоторые из этих уравнений могут быть взяты в качестве основы для аналогового моделирования при помощи электронных схем, методы которого хорошо отработаны [41,42]. При разработке описываемой физической модели генератора детерминированного хаоса, использовано аналоговое схемотехническое моделирование разностного уравнения первого порядка [5, 33]:
Это уравнение известно как логистическое или квадратичное отображение ( может также называться одномерным отображением ). Рассмотрим схему нелинейного преобразователя( рис. 24 ) : Исходя из принципов аналогового моделирования [42], можно заметить, что сигнал на входе рассматриваемого устройства ( Хп ) и сигнал на выходе ( Хп+1 ) связаны между собой соотношением (3.1). Таким образом, приведенная на рисунке 23 схема может быть положена в основу физической модели нелинейного преобразователя, который при определенных условиях может быть источником хаотических колебаний.
Макет устройства по приведенной структурной схеме был реализован следующим образом. Усилитель ( 1 ) с регулируемым коэффициентом усиления А выполнен на операционном усилителе типа К553УД2 в стандартном включении. Аналоговый перемножитель ( 2 ) выполнен на микросхеме типа КР525ПС2А, включенной по схеме перемножения двух сигналов, и операционном усилителе К553УД2. Применение операционного усилителя обусловлено тем, что микросхема КР525ПС2 при перемножении двух сигналов с напряжениями 111 и 112 дает на выходе сигнал с напряжением I) = 0,1 111 иг , поэтому после неё необходим усилитель с коэффициентом 10. Коэффициент усиления А является параметром, от которого зависит вид колебаний. При теоретическом анализе [ 5 ], показано, что начиная с А = 3 единственное решение уравнения ( 3.6 ) отсутствует. Например, при 3 А 3,4 существует два решения, при 3,4 А 3,54 четыре решения, а при А = 4 количество решений неограниченно, решением является любое значение от0до1.
При моделировании уравнения (3.1 ) при помощи электронной схемы необходимо учесть следующее. Это уравнение служит примером появления хаотических решений при рассмотрении простых математических зависимостей и используется, например, при определении численности популяции какого-либо вида в природных условиях [5]. Следовательно, величины Хп и Хп+1 являются количественной характеристикой и представляют собой натуральные числа. При электронном аналоговом моделировании в качестве Хп и Хп+1 будут рассматриваться колебательные процессы - как линейные, так и нелинейные. Поскольку характер связи между ними задается электронной схемой, следует ожидать, что при определенных значениях параметра Л появятся как бифуркации (качественное изменение характера колебаний), так и хаотические колебания.
Алгоритм «Сдвиг Бернулли» и оценка его пригодности для получения детерминированных хаотических колебаний цифровыми методами
На основе рассмотренного алгоритма может быть реализована физическая модель электронного генератора с хаотическим поведением. При разработке физической модели генератора с использованием стандартных цифровых микросхем необходимо числовые последовательности формировать в двоичном коде. Поскольку необходимое количество разрядов двоичного кода зависит от точности задания начальных условий, то для разработки принципиальной схемы физической модели генератора прежде всего следует выбрать точность задания начальных условий. При задании начальных условий с точностью 0,01 потребуется использовать 8 двоичных разрядов, для точности 0,001 необходимо 10 двоичных разрядов, и т. д.. Учитывая, что структура построения физической модели при этом остается одинаковой, а основной целью является демонстрация принципиальной возможности создания такого генератора, можно задаться точностью 0,01 и ограничиться 8 разрядами двоичного кода. При этом, для удобства дальнейших рассуждений будем считать, что младший разряд восьмизначного двоичного кода соответствует минимальному значению числа в десятичном коде, т.е. 0,01ю— 000000012, и т. д. Это позволит при построении схем электронных блоков оперировать только с целыми числами, не нарушая при этом общие принципы моделируемого алгоритма.
Учитывая, далее, что на входе устройства может быть любое число из множества целых двоичных чисел {00000000, ... , 01100100}, а на выходе может быть любое четное двоичное число из этого же множества, а также то, что согласно (4.1) входное число может быть преобразовано одним из двух возможных способов, можно сделать следующий вывод: необходимыми свойствами для осуществления этого алгоритма обладает устройство, в основе которого лежит конечный автомат, заданный тремя множествами [73]: X, У, Р. Определим эти множества, учитывая вышеизложенные соображения. X - множество двоичных чисел (х,) входного алфавита: двоичных чисел (у() выходного алфавита, являющееся подмножеством множества X, и состоящее из четных чисел входного алфавита: состояний конечного автомата, соответствующее разным действиям над числами входного алфавита:
Состояния конечного автомата определяются его действиями над числами входного алфавита следующим образом: Р1- у=2х, при 2х, 01100100 Р2- у(=2х,-01100100 при 2х, 01100100
Таким образом множество входных чисел оказывается разделенным на два подмножества Х1 и Х2:
Ориентированный граф, характеризующий работу рассмотренного конечного автомата, изображен на рисунке 32. Переходы из состояния Р1 в состояние Р2 происходят в дискретные моменты времени и связаны с тем, к какому из подмножеств входного алфавита (Х1 или Х2) принадлежит число на входе конечного автомата.
Для того, чтобы на базе этого конечного автомата получить действующую физическую модель генератора хаотических (точнее - квазихаотических) колебаний, в нём должна быть обеспечена последовательность обработки чисел входного алфавита в соответствии с используемым алгоритмом. Для этого в его составе необходимо предусмотреть тактовый генератор, формирующий дискретные моменты времени, в которые происходят преобразования входного числа в выходное, согласно состоянию автомата, а также изменения самих состояний автомата, в зависимости от принадлежности сигнала на его входе подмножеству Р1 или Р2. Кроме этого необходимо также предусмотреть обратную связь, позволяющую подать выходной сигнал конечного атомата снова на его вход. Для преобразования последовательности получаемых дискретных выходных сигналов в аналоговые колебания к выходу конечного автомата должен быть присоединен цифро - аналоговый преобразователь (ЦАП), для которого выходные двоичные числа будут являться отсчетами для формирования аналогового выходного сигнала.
Таким образом в состав этого генератора должены входить следующие основные функциональные элементы: а) устройство ввода начальных условий, роль которого заключается в том, что оно позволяет вводить значение Хо, которое может быть задано, например, с пульта; Ь) устройство умножения на 2, которое осуществляет первую операцию сдвига Бернулли, а именно - умножение на 2, числа, поступившего на вход этого устройства; с) решающее устройство, которое осуществляет вторую операцию сдвига Бернулли - отнимает единицу, если число на входе больше единицы, или передает число на выход без изменения, если число на входе меньше единицы;
