Статистический анализ индуцированных шумами различной природы эффектов в нелинейных динамических системах Дубков Александр Александрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Функциональный метод вывода уравнений для вероятностных характеристик нелинейных динамических систем, подверженных воздействию негауссовых шумов 21

1.1. Формулы размыкания функциональных средних для некоторых видов случайных процессов 22

1.2. Вывод общего уравнения Колмогорова для вероятностных характе ристик нелинейной динамической системы, описываемой уравнением Ланже венаснегауссовым белым шумом 29

1.3. Вывод уравнений для вероятностных и временных характеристик нелинейной динамической системы, находящейся под одновременным воздей ствием гауссова белого и марковского дихотомического шумов 33

Глава 2. Исследование физических систем с негауссовыми случайными воздействиями, обладающими специфическими свойствами 39

2.1. Гипотеза статистической обратимости и анализ термодинамической корректности ланжевеновских уравнений 40

2.2. Нелинейное броуновское движение: проблема получения стохастиче ского уравнения Ланжевена для частицы, взаимодействующей с негауссовым термостатом 51

2.3. Структура полиспектров масштабно-инвариантных полей: приложе ниектурбулентности 58

Глава 3. Исследование статистических характеристик нелинейных динамических систем в установившихся режимах 66

3.1. Стационарные вероятностные характеристики гармонического ос

циллятора с предельно быстрыми флуктуациями частоты 66

3.2. Корреляционные характеристики равновесного броуновского дви жениявпотенциальных полях 76

3.3. Спектр броуновской диффузии в бистабильном кусочно-линейном потенциале 95

3.4. Вероятностные распределения передемпфированного броуновского движения в случайно переключающихся потенциалах 104

3.5. Спектр диффузии в системе с одним случайно переключающимся устойчивым состоянием. Проявление эффекта резонансной активации 115

Глава 4. Анализ нелинейных флуктуационных явлений с конструктивной ролью шума 125

4.1. Повышение шумом устойчивости метастабильного состояния в системе со случайно переключающимся потенциальным барьером 125

4.2. Эффект повышения шумом устойчивости метастабильного состоя ния в двумерном потенциале с радиальной симметрией 139

4.3. Возможные подходы к анализу нелинейного режима стохастического резонанса 143

4.4. Ускорение броуновской диффузии в быстро флуктуирующем периодическом потенциале 151

4.5. Особенности диффузии частиц в случайно переключающемся периодическом потенциале 158

Глава 5. Исследование стационарных характеристик нелинейных динамических систем со скачкообразными изменениями состояния 177

5.1. Установившиеся вероятностные распределения для полетов Леви в моностабильных потенциалах 178

5.2. Время корреляции установившихся полетов Леви в потенциальных ямах большой крутизны 185

5.3. Эволюция вероятностных характеристик модели Ферхюльста с аномальными флуктуациями параметра насыщения 191

Заключение 203

Список литературы 206

• Вывод общего уравнения Колмогорова для вероятностных характе ристик нелинейной динамической системы, описываемой уравнением Ланже венаснегауссовым белым шумом
• Нелинейное броуновское движение: проблема получения стохастиче ского уравнения Ланжевена для частицы, взаимодействующей с негауссовым термостатом
• Спектр броуновской диффузии в бистабильном кусочно-линейном потенциале
• Эффект повышения шумом устойчивости метастабильного состоя ния в двумерном потенциале с радиальной симметрией

Введение к работе

Актуальность темы

Проблема статистического анализа нелинейных динамических систем, находящихся в существенно неравновесных состояниях, охватывает различные разделы статистической физики и радиофизики и в настоящее время привлекает большое внимание в связи с ее важностью не только в широком круге физических проблем [1-7], но и в целом ряде задач химии [8-11] и биологии [12-14]. Примерами подобных неравновесных состояний нелинейных динамических систем могут служить: движение солитонов в длинных джозефсоновских контактах, нестабильные и метастабильные состояния, возникающие при фазовых и бифуркационных переходах, броуновские моторы, нуклеация, критические явления и др. Исследуются устойчивость, чувствительность и стабилизация стохастически возмущенных нелинейных динамических систем [15].

За последние годы был обнаружен и досконально изучен ряд нелинейных флуктуационных явлений в подобных системах, где шум весьма неожиданно начинает играть конструктивную роль. Среди них следует упомянуть такие эффекты как стохастический резонанс - усиление шумом отклика нелинейной пороговой системы на входной гармонический сигнал, нашедший огромное количество практических применений в различных областях [16], задержка шумом распада метастабильных состояний [17,18], резонансная активация - минимизация времени преодоления броуновской частицей потенциального барьера при изменении частоты его модуляции [19], рэтчет - создание однонаправленного потока частиц вдоль асимметричной периодической структуры за счет ее модуляции внешним полем, лежащий в основе действия так называемых молекулярных моторов [20].

Проблема статистического анализа нелинейных динамических систем, находящихся в существенно неравновесных состояниях, является математически достаточно сложной в силу неразрывной связи и взаимовлияния флуктуаций, диссипации и нелинейности. Ее решение затруднено также невозможностью применения существующих флуктуационно-диссипационных соотношений и теорем, базирующихся на равновесном распределении Гиббса и микроскопической обратимости уравнений движения во времени. Поэтому при дефиците теоретических методов был предложен общий феноменологический подход к анализу сигналов разной сущности с целью извлечения содержащейся в них информации, лежащий в основе метода фликкер-шумовой спектроскопии [21]. Тем не менее, в ряде случаев рассматриваемую сложную проблему можно свести к задаче о статистических характеристиках движения броуновской частицы (представляющей изображающую точку динамической системы в фазовом пространстве) в заданном потенциальном профиле при наличии тех или иных детерминированных или случайных внешних воздействий, а затем применить мощный аппарат марковской теории.

Не меньшее внимание с начала нынешнего столетия уделяется обнаруженной в целом ряде экспериментов аномальной диффузии, отличающейся от обычного броуновского движения более быстрым, либо более медленным разбега-нием облака броуновских частиц, и наблюдаемая в различных физических и химических системах [22]. Медленная диффузия, называемая субдиффузией,

наблюдается в веществах со сложной геометрией - мутных кристаллах и стеклах, аморфных полупроводниках, в то время как ускоренная диффузия или супердиффузия встречается в хаотической динамике и турбулентности. Особое внимание уделяется одной из форм аномальной диффузии - так называемым полетам Леви [23], характеризуемым наличием в реализации наряду с обычной диффузией экстремально больших скачков. Подобный вид супердиффузии наблюдается во многих физических системах, таких как лазерное охлаждение, диффузия потоков в пористых средах и плазме, молекулярные столкновения, движение отдельного иона в одномерной оптической решетке. Для описания данного явления применим обычный марковский аппарат уравнений Фоккера-Планка с дробной пространственной производной. На данный момент хорошо изучен вопрос о стационарных вероятностных распределениях и конфайнменте аномальной диффузии в форме полетов Леви, но наибольшее внимание уделяется временным характеристикам полетов Леви, таким как среднее время первого достижения границ, среднее время прихода, время пребывания в заданной области, обсуждаются вопросы о новом законе для времени распада метаста-бильного состояния системы в случае полетов Леви, аналогичному известному экспоненциальному закону Крамерса для обычной диффузии. Однако, аналитические результаты в данном направлении получить уже гораздо сложнее и поэтому большинство публикаций содержит лишь результаты численного моделирования.

Целью работы является разработка новых методов статистического анализа неравновесных нелинейных динамических систем и получение на их основе точных результатов для вероятностных, временных и спектральных характеристик протекающих в них флуктуационных процессов, а также выявление особенностей их поведения и роли как нелинейностей самих систем, так и параметров случайных воздействий негауссовой природы.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Дальнейшее развитие функционального аппарата анализа стохастических систем и его применение к отысканию вероятностных и временных характеристик нелинейных динамических систем, возмущаемых негауссовыми шумами.

2. Установление особенностей спектров высшего порядка негауссовых случайных процессов, обладающих свойством временной симметрии, а также масштабно-инвариантных случайных полей на примере развитой изотропной турбулентности.

3. Разработка новых подходов к исследованию нелинейного броуновского движения, связанного с взаимодействием подсистемы с негауссовым тепловым резервуаром.

4. Детальный анализ особенностей нелинейных флуктуационных явлений с конструктивной ролью шума: задержки распада метастабильных состояний, нелинейного режима стохастического резонанса, ускорения броуновской диффузии частиц в периодических структурах.

5. Получение новых точных результатов для установившихся вероятностных и временных характеристик аномальной диффузии в форме полетов Леви в различных потенциальных профилях.

Методы исследования

Для решения поставленных в диссертационной работе задач применялись методы статистической радиофизики, основанные на аппарате теории марковских случайных процессов и функциональном подходе к анализу стохастических систем.

Научная новизна полученных результатов:

5. Выведена новая формула размыкания корреляции функциональных средних, на основе которой впервые непосредственно из уравнения Ланжевена с негауссовым белым шумом получено общее интегро-дифференциальное уравнение Колмогорова для плотности вероятности марковского процесса.

6. На основе термодинамически корректного уравнения Ланжевена для частицы, движущейся в потенциальном поле и взаимодействующей с негауссовым тепловым резервуаром, впервые получено строгое операторное соотношение, связывающее нелинейную диссипацию со статистическими характеристиками негауссова мультипликативного белого шума, моделирующего термостат. В случае гауссова шума это сложное уравнение превращается в хорошо известную формулу Эйнштейна-Сазерленда для параметра линейной диссипации.

7. В рамках гипотезы Колмогорова о масштабной инвариантности на малых масштабах поля скоростей развитой однородной изотропной турбулентности впервые показано, что спектры высшего порядка поля скоростей и давления несжимаемой жидкости зависят от обобщенного волнового числа по степенному закону, а полученная формула для биспектра хорошо согласуется с приведенными в литературе экспериментальными данными для пристеночной турбулентности жидкости.

8. Предложен новый метод отыскания времени корреляции стационарного броуновского движения в произвольных потенциалах и отмечены некоторые особенности поведения корреляционной функции при диффузии частицы в негладких потенциальных профилях.

9. Впервые получены точные уравнения для отыскания установившихся вероятностных характеристик нелинейной динамической системы, возмущаемой одновременно гауссовым белым и марковским дихотомическим шумом, и найдены их решения для бистабильной системы с флуктуирующим потенциальным барьером и для моностабильной системы с переключающимся по направлению внешним постоянным полем.

10. Впервые найдены точные соотношения для спектров установившихся флук-туаций координаты броуновской частицы, движущейся в бистабильном потенциале и в потенциальном профиле со случайно переключающимся

устойчивым состоянием. Последний результат позволил обнаружить немонотонную зависимость спектральной плотности мощности на нулевой частоте от среднего темпа переключений поля, что является манифестацией эффекта резонансной активации.

7. Впервые получены общие уравнения для отыскания среднего времени пребывания броуновских частиц в метастабильном состоянии с флуктуирующим потенциальным барьером, и найдено их точное решение для кусочно-линейного потенциального профиля. Проанализированы условия, при которых возникает эффект задержки шумом распада метастабильного состояния.

8. Предложено модифицированное двухуровневое приближение для исследования нелинейного режима стохастического резонанса, которое сопоставлено с численными результатами и результатами известной схемы замыкания по кумулянтам для коэффициента усиления входного сигнала по мощности.

9. Впервые получена точная квадратурная формула для эффективного коэффициента диффузии броуновских частиц, движущихся в быстро флуктуирующем периодическом потенциальном поле, указавшая на эффект ускорения диффузии по сравнению со случаем свободной диффузии. При модуляции периодического потенциала марковским дихотомическим шумом впервые показано, что ускорение диффузии имеет место лишь в определенной области на плоскости параметров переключающего шума.

10. Впервые получены точные выражения для стационарного вероятностного распределения координаты частицы при аномальной диффузии в форме полетов Леви в симметричном степенном потенциале произвольной степени с одним устойчивым состоянием, указывающие на его бимодальность в отличие от унимодального распределения Больцмана для броуновской диффузии. Для симметричного потенциала четвертой степени с одним устойчивым состоянием впервые найдено точное аналитическое выражение для времени корреляции супердиффузии в форме полетов Леви.

11. Впервые исследована эволюция вероятностного распределения плотности биологической популяции, описываемой уравнением Ферхюльста с флук-туациями объема жизненных ресурсов в форме белого шума с односторонним устойчивым распределением. Обнаружены явления переходной би-модальности и немонотонной релаксации средней плотности популяции к стационарному значению для шума с устойчивым распределением Леви-Смирнова.

Положения, выносимые на защиту

1. Вывод новой формулы размыкания корреляции функциональных средних, на основе которой впервые непосредственно из уравнения Ланжевена с негауссовым белым шумом получено общее интегро-дифференциальное уравнение Колмогорова для плотности вероятности марковского процесса.

2. Вывод строгого операторного соотношения, связывающего нелинейную диссипацию со статистическими характеристиками моделирующего термостат мультипликативного белого шума, на основе термодинамически корректного уравнения Ланжевена для частицы, движущейся в потенциальном поле и взаимодействующей с негауссовым тепловым резервуаром, В случае гауссова шума это сложное уравнение превращается в хорошо известную формулу Эйнштейна-Сазерленда для параметра линейной диссипации.

3. Установление степенного закона в зависимости пространственных спектров высшего порядка поля скоростей и давления несжимаемой жидкости от обобщенного волнового числа на основе гипотезы Колмогорова о масштабной инвариантности поля скоростей развитой однородной изотропной турбулентности. Полученная формула для биспектра хорошо согласуется с приведенными в литературе экспериментальными данными для пристеночной турбулентности жидкости.

4. Получение точных уравнений для отыскания установившихся вероятностных характеристик нелинейной динамической системы, возмущаемой одновременно гауссовым белым и марковским дихотомическим шумом. Найденные решения для бистабильной системы с флуктуирующим потенциальным барьером и для моностабильной системы с переключающимся по направлению внешним постоянным полем.

5. Точные соотношения для спектров установившихся флуктуаций координаты броуновской частицы, движущейся в бистабильном потенциале и в потенциальном профиле со случайно переключающимся устойчивым состоянием. Последний результат позволил обнаружить немонотонную зависимость спектральной плотности мощности на нулевой частоте от среднего темпа переключений поля, что является манифестацией эффекта резонансной активации.

6. Получение общих уравнений для отыскания среднего времени пребывания броуновских частиц в метастабильном состоянии с флуктуирующим потенциальным барьером, и отыскание их точного решения для кусочно-линейного потенциального профиля. Анализ условий, при которых возникает эффект задержки шумом распада метастабильного состояния.

7. Усовершенствованное двухуровневое приближение для исследования нелинейного режима стохастического резонанса, которое сопоставлено с численными результатами и результатами известной схемы замыкания по кумулянтам для расчета коэффициента усиления входного сигнала по мощности.

8. Вывод точной квадратурной формулы для эффективного коэффициента диффузии броуновских частиц, движущихся в быстро флуктуирующем периодическом потенциальном поле, указавшей на эффект ускорения диффузии по сравнению со случаем свободной диффузии. Определение области на плоскости параметров переключающего шума, в которой имеет место эффект ускорения диффузии, при модуляции периодического потенциала марковским дихотомическим шумом.

9. Получение точных выражений для стационарного вероятностного распределения координаты частицы при аномальной диффузии в форме полетов Леви в симметричном степенном потенциале произвольной степени с одним устойчивым состоянием, указавших на его бимодальность в отличие от унимодального распределения Больцмана для броуновской диффузии.

10. Точное аналитическое выражение для времени корреляции супердиффузии в форме полетов ЛевиДля в симметричном потенциале четвертой степени с одним устойчивым состоянием.

11. Исследование эволюции вероятностного распределения плотности биологической популяции, описываемой уравнением Ферхюльста с флуктуа-циями объема жизненных ресурсов в форме белого шума с односторонним устойчивым распределением. Обнаружение явления переходной би-модальности и немонотонной релаксации средней плотности популяции к стационарному значению для шума с устойчивым распределением Леви-Смирнова.

Теоретическая значимость результатов работы заключается в развитии общей теории неравновесных нелинейных динамических систем, а полученные в диссертации точные результаты позволяют глубже понять взаимовлияние флуктуаций, диссипации и нелинейности в таких системах. Полученное общее интегро-дифференциальное уравнение Колмогорова наряду с новыми методами анализа спектрально-корреляционных характеристик систем, находящихся в стационарных состояниях, являются вкладом в теорию марковских случайных процессов. Предложенное термодинамически корректное нелинейное уравнение Ланжевена с мультипликативным шумом для движения частицы, взаимодействующей с негауссовым термостатом, может служить отправной точкой для дальнейших исследований нелинейного броуновского движения.

Практическая значимость результатов работы. Результаты диссертации могут представлять интерес для ряда научно-исследовательских учреждений, таких как Институт прикладной физики РАН (ФИЦ ИПФ РАН, г.Нижний Новгород), Институт физики микроструктур РАН (филиал ФИЦ ИПФ РАН, г.Нижний Новгород), Московский физико-технический институт (МФТИ), Физический институт имени П.Н. Лебедева РАН (ФИАН, г.Москва).

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата. Достоверность большинства результатов работы следует из получаемых точных соотношений в рамках рассматриваемых моделей и их стыковки с ранее известными результатами, а в случае приближенных расчетов подтверждается результатами численного моделирования.

Публикации и апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 29 статьях, рекомендованных ВАК. Результаты диссертации были апробированы в форме приглашенных, секционных и стендовых докладов на следующих международных научных конференциях:

16th (Prague, Czech Republic, 2003), 17th (Salamanca, Spain, 2005), 18th (Tokyo, Japan, 2007), 20th (Pisa, Italy, 2009), and 23rd (Xi’an, China, 2015) International Conferences on Noise and Fluctuations

16th (Zakopane, Poland, 2003), 19th (Krakow, Poland, 2006), 24th (Zakopane, Poland, 2011), and 27th (Zakopane, Poland, 2014) Marian Smoluchowski Symposium on Statistical Physics

International Workshop “Noise in Condensed Matter and Complex Systems” (Citta del Mare, Terrasini, Sicily, 2004)

International Workshop “Stochastic Resonance: New Horizons in Physics and Engineering” (Dresden, Germany, 2004)

ESF-STOCHDYN Conference (Erice, Italy, 2005)

International Seminar and Workshop “Constructive Role of Noise in Complex Systems” (Dresden, Germany, 2006)

International Workshop “Ecological Complex Systems: Stochastic Dynamics and Patterns” (Citta del Mare, Terrasini, Sicily, 2007)

5th (Lyon, France, 2008), 6th (Kolkata, India, 2012), and 7th (Barcelona, Spain, 2015) International Conferences “Unsolved Problems on Noise”

International Workshop “Stochastic Resonance” (Perugia, Italy, 2008)

XXIII Sitges Conference on Statistical Mechanics: Understanding and Managing Randomness in Physics, Chemistry and Biology (Sitges, Barcelona, Spain, 2012)

4th Conference “Statistical Physics: Modern Trends and Applications” (Lviv, Ukraine, 2012)

25th International Conference on Statistical Physics (Seoul, Korea, 2013)

Conference “Large Deviations and Rare Events in Physics and Biology” (Rome, Italy, 2013)

International Conference on Statistical Physics (Rhodes, Greece, 2014)

International Workshop “Anomalous diffusion: wild and bad?” (Bad Wildbad, Germany, 2015).

Личный вклад автора

Основная часть представленных в диссертации результатов получена автором. Так, в работах [5,6,8-10,18] им самостоятельно выполнены все расчеты, в работах [11-14,16,27] сформулирована задача и получены результаты, а соавторы принимали участие лишь в их обсуждении. В работах [4,7,28,29] автору принадлежит постановка задачи и обсуждение результатов, а аналитические расчеты выполнены совместно с соавторами. В работах [1,15,17,19,21,23,25] автор принимал участие в постановке задачи, аналитических расчетах и обсуждении полученных результатов. Наконец, в работах [2,3,20,22,24,26] все результаты получены автором лично.

Структура и объем диссертации

Вывод общего уравнения Колмогорова для вероятностных характе ристик нелинейной динамической системы, описываемой уравнением Ланже венаснегауссовым белым шумом

Функциональный метод вывода уравнений для вероятностных характеристик нелинейных динамических систем, подверженных воздействию негауссовых шумов [44, 49] Для адекватного моделирования стохастической динамики реальных физических, химических и биологических систем необходимо иметь в виду, что случайные воздействия могут иметь самую различную природу. В большинстве случаев удается ограничиться гауссовыми белыми или цветными шумами, но часто эти случайные силы должны рассматриваться как принципиально негауссовские, например, в сенсорных и биологических системах [65]. Более того, отличие реальной статистики флуктуаций от гауссова закона, связанное с нарушением центральной предельной теоремы, приводит к экспериментально наблюдаемому явлению аномальной диффузии [66].

В первой главе демонстрируется изящный математический аппарат, позволяющий получить необходимые для дальнейшего анализа замкнутые уравнения (или системы уравнений) для вероятностных характеристик нелинейной динамической системы непосредственно из стохастических уравнений ее движения (уравнений Ланжевена). При этом не требуется обращаться к марковской теории и вычислять кинетические коэффициенты, задавая все высшие корреляционные функции случайных воздействий. Более того, данный способ остается едва ли не единственным приемом вывода уравнений Колмогорова в той ситуации, когда кинетические коэффициенты не существуют (полеты Леви), или система подвержена воздействию нескольких источников шума различной природы. Основная идея функционального подхода состоит в том, что фазовые переменные той или иной нелинейной динамической системы зависят от всей предыстории воздействий, и, следовательно, являются их функционалами. В то же время, это не обычные динамические функционалы (как, например, функционал действия в механике или функционалы в вариационном исчислении), ибо возмущения имеют случайный характер.

Воспользуемся тем, что экспериментально измеряемые статистические характеристики случайных процессов представляются в форме различных средних значений. Как показывает анализ, для получения из стохастического уравнения движения нелинейной динамической системы точных или приближенных уравнений для этих средних достаточно уметь “размыкать” корреляционное среднее вида ( (h) Rt [ (г)]), где В [] - функционал произвольного негауссова случайного процесса (г), определенного на временном интервале т Є (0, ). Различные формулы “размыкания” указанного среднего были найдены ранее в работах [67, 68]. Для дальнейшего нам понадобится следующее операторное представление, полученное В.И. Кляцкиным (см. [67]), (W я [ + ] (Rt[ + v\). (1.1) и=ш ги (t) Здесь: v (t) произвольная детерминированная функция, 6/6v(t) - оператор вариационного дифференцирования, Фг[и] = \пвг[и], а вг[и] - характеристический функционал случайного процесса (t) St[u] = /expji f f (т)«(т)гіЛ\. (1.2) o Из формулы (1.1) легко получить корреляционную формулу для гауссова случайного процесса (t) c нулевым средним значением и корреляционной функцией K(t,T) = (й(т)). Подставляя характеристический функционал гауссова шума в соотношение (1.1), приходим к ((t)Rt[Q}= [ K(t,T)( Q\dT. (1.3) Формула (1.3) исторически была самой первой формулой “размыкания” функциональных корреляционных средних и получила название формулы Фуруцу-Новикова, хотя она и является частным случаем более общего соотношения для гауссова векторного поля, выведенного независимо K. Furutsu [69] и Е.А. Новиковым [70]. В свете вышеизложенного, формулу (1.1) можно рассматривать как обобщение формулы Фуруцу-Новикова (1.3) на случай произвольного случайного процесса (t).

Для гауссова процесса с корреляционной функцией К (, г) = 2DS (t-r), называемого белым шумом и являющегося общепринятой моделью теплового шума физических систем, формула (1.3) еще более упрощается. После подстановки в (1.3) и учета симметрии корреляционной функции: К (-т) = К (г), приходим к ( (г)Д [])=я/ Ш\ (1.4) 2. В конце 1970-х - начале 1980-х годов появляется большое количество публикаций, в которых в качестве случайного воздействия фигурирует марковский дихотомический шум (см., например, монографию [71] и обзор [214]). Оказалось, что для этого процесса, так же как и для гауссова белого шума, в ряде случаев удается получить точные аналитические результаты. Причем, в отличие от белого шума, дихотомический шум обладает конечным временем корреляции. Под марковским дихотомическим шумом или случайным телеграфным сигналом (см. Рис. 1.1) понимают случайный процесс, который принимает с равной вероятностью два противоположных по знаку значения ±а, меняя их скачком в случайные моменты времени.

Нелинейное броуновское движение: проблема получения стохастиче ского уравнения Ланжевена для частицы, взаимодействующей с негауссовым термостатом

Концепция временной симметрии находит широкое применение в физике [86]-[88], теории динамических систем [89], обработке временных рядов [90, 91], экономике [92, 93] и в настоящее время даже в компьютерных науках [94]. Так, например, обратимый марковский процесс имеет прямое отношение к броуновскому движению в большом классе систем со случайным окружением [95]. Показателем временной симметрии системы в равновесном стационарном состоянии является так называемое уравнение детального баланса. С физической точки зрения, временная обратимость в неравновесных стационарных состояниях, в принципе, возможна, но маловероятна [87]. Как показано в [86], уравнение детального баланса может обеспечить базис для единого описания как систем, находящихся в тепловом равновесии, так и для некоторых более общих стационарных состояний, далеких от теплового равновесия.

В данной работе показано, что предположение о временной симметрии фазовой переменной некоторых нелинейных динамических систем позволяет получать адекватные физические результаты. Приводится определение статистической временной обратимости и его важные следствия. Обсуждается ряд проблем, связанных с построением термодинамически корректных ланжеве-новских уравнений. Основываясь на свойстве временной симметрии, найдено стационарное вероятностное распределение координаты классического осциллятора с флуктуирующей частотой. 2.1. Гипотеза статистической обратимости и анализ термодинамической корректности ланжевеновских уравнений

Согласно определению, стационарный случайный процесс x(t) называют обратимым во времени, если x(t) = x(t0), (2.1) где t0 - произвольный момент времени (поскольку стационарный процесс инвариантен к временному сдвигу), а символ d означает равенство вероятностных распределений соответствующего порядка указанных процессов (или их вероятностных функционалов). Если описывать случайный процесс x{t) на языке бесконечной последовательности его кумулянтных (обобщенных корреляционных [267, 278]) функций кп (0,т2,... ,тп), то из определения (2.1) мгновенно следует, что кп (О, т2,..., тп) = кп (О, -т2,..., -тп), п = 2,3,... (2.2)

О наличии временной симметрии у случайного процесса можно судить по форме поверхности в n-мерном пространстве, соответствующей кумулянт-ной функции кп (0,72, ,тп). В общем случае в силу симметрии кумулянт-ной функции по всем аргументам ее поверхность уровня - изоковарианта tin (0,72,... ,тп) = const. представляет собой поверхность вращения вокруг оси т2 = т3 = ... = тп. Для обратимого же во времени случайного процесса любая его изоковарианта, как следует из (2.2), должна быть симметрична еще и относительно плоскости т2 + т3 +... + тп = 0, проходящей через начало координат и перпендикулярной этой оси симметрии. В частности, у линий равного уровня кумулянтной функции третьего порядка к3 (0,т2,т3) = const. должна наблюдаться зеркальная симметрия относительно прямых т3 = т"2 и тз = — Т2. Подобную симметрию имеет изоковарианта на Рис. 2.1a, а изоко-варианта на Рис. 2.1b соответствует статистически необратимому процессу.

Таким образом, мнимая часть полиспектров ответственна за временную необратимость соответствующего случайного процесса. Это обстоятельство, т.е. наличие мнимой части у полиспектров было предложено в [90] в качестве критерия необратимости при обработке временных рядов. Для гауссова процесса x(t) все к,п (0,Т2,... ,тп) = 0 при п 3, и поэтому в силу четности корреляционной функции К [т] = К2(0,т): К [т] = К [—т] соотношения (2.2) всегда имеют место. Таким образом, гауссов стационарный случайный процесс всегда обратим во времени. Очевидно, что свойством временной симметрии обладает и любой негауссов процесс, полученный нелинейным безынерционным преобразованием y(t) = f(x(t)) гауссова стационарного шума x(t). Как известно, марковский процесс x(t) полностью описывается своей плотностью вероятностей переходов P(x,t\x0,t0), которая в стационарном случае зависит лишь от разности времен т = t — t0.В соответствии с (2.1), подобный случайный процесс обладает свойством временной симметрии при выполнении равенства

Спектр броуновской диффузии в бистабильном кусочно-линейном потенциале

Проблема турбулентности притягивает внимание физиков более семи десятилетий. В то же время, как причины трансформации ламинарного потока жидкости в турбулентный по-прежнему неуловимы, так остаются безуспешными и любые попытки получения спектров турбулентности из уравнения Навье-Стокса. Сначала было много попыток получить сокращенное описание динамики Навье-Стокса, включающее только энергетический спектр или конечное число статистических характеристик (приближение прямого взаимодействия [138, 139], процедуры замыкания [140]). В последнее время стали широко применяться в турбулентности “теоретико-полевые методы”: функциональный и диаграммный (см., например, [141]), метод ренормгруппы [142]. Как правило, в этих статистических методах теории турбулентности в уравнение Навье-Стокса вводятся фиктивные случайные силы и/или случайные начальные условия, а затем выполняется расчет спектра и структурной функции поля скоростей при множестве дополнительных необоснованных предположений. При этом Колмогоровский степенной закон для спектра полностью развитой турбулентности остается одним из основных аналитических результатов. Он был получен из соображений размерности более семидесяти лет назад [143].

В данном параграфе предлагается новая техника исследования глобальной вероятностной структуры случайных полей. Этот статистический метод основан на предположении, что случайные поля обладают свойством масштабной инвариантности, что позволяет выявить структуру их пространственных спектров высшего порядка (полиспектров). В частности, можно показать, что спектры высшего порядка имеют степенную зависимость от комбинированного волнового числа. Как известно, в отличие от обычного спектра, полиспектры негауссовых случайных полей несут информацию о фазах пространственных гармоник. В приложении к турбулентности, гипотеза масштабной инвариантности позволяет определить параметры степенной зависимости спектров высшего порядка поля скоростей и давления из известного закона скейлинга (см., например, [141]). Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными по измерению одномерного пространственного спектра третьего порядка (биспектра) может служить дополнительным аргументом в поддержку гипотезы Колмогорова.

Согласно определению, масштабно-инвариантным скалярным случайным полем называется однородное поле u(f,t), статистически эквивалентное случайному полю \-pu{\f,t), т.е. (см. (2.1)) u(f,t) = \-pu(\f,t), (2.61) где: А - произвольный положительный параметр, р - показатель скейлинга. Векторные поля обладают похожим свойством, если скейлинговое соотношение (2.61) имеет место для каждой из их проекций. Реальные случай ные поля являются, в строгом смысле, негауссовыми, и поэтому характеризуются не только обычным пространственным спектром, но также спектрами высших порядков (полиспектрами), определенными как многомерное Фурье-преобразование (u(r}t)}u(r + pi,t),... ,u(r + pn-i,t)) - высших корреляционных (кумулянтных) функций однородного поля u(r, t) (записанных для удобства в форме кумулянтной скобки [144]), п— 1 3=1 Sn(ki,...,kn-i;t) = 3 / (u(r,t),u(r + pi,t),...,u(r + pn-i,t)) \ ") — оо х ехр -і kjpj dpi--- dpn.i. (2.62) з=\ В отличие от обычного спектра физический смысл спектров высших порядков не столь очевиден, однако, можно дать наглядную интерпретацию простейшим из них: пространственному биспектру (п = 3) и пространственному триспектру (п = 4). Биспектр отражает наличие квадратичной связи по фазе между пространственными гармониками поля, а триспектр обнаруживает присутствие длинноволновой амплитудной модуляции. Статистическая эквивалентность полей в (2.61) подразумевает равенство всех их спектров высших порядков, также как и обычного спектра. Предположение о масштабной инвариантности случайного поля позволяет предсказать структуру этих полиспектров, а затем проверить обоснованность этой гипотезы в эксперименте. Нетрудно получить из скейлингового соотношения (2.61) формулу эквивалентности пространственных гармоник

Эффект повышения шумом устойчивости метастабильного состоя ния в двумерном потенциале с радиальной симметрией

Вероятностные распределения передемпфированного броуновского движения в случайно переключающихся потенциалах

1. Богатое множество индуцированных шумом эффектов может быть объяснено в рамках феноменологической модели нелинейной динамической системы с внешним дельта-коррелированным гауссовым случайным воздействием. В то же время, при описании существенно неравновесных явлений, таких как резонансная активация [237], [238]-[199], однонаправленный перенос частиц в потенциале типа рэтчет (молекулярные моторы) [183], [320]-[230], требуется вводить уже дополнительные случайные источники с конечным временем корреляции. В литературе, как правило, изучаются различные времена переходных процессов, эффективные параметры диффузии таких “многошумовых” систем, хотя несомненно важными статистическими характеристиками являются также установившиеся вероятностные распределения и спектры флуктуаций в стационарном режиме. Точные аналитические результаты для стационарных плотностей вероятности до сих пор были получены только для систем с одним случайным воздействием: гауссовым белым (тепловым) шумом [161], [267], [205]-[209], марковским дихотомическим процессом [158], [210]-[213] (см. также обзор [214] и библиографию в нем), марковским трихотомическим шумом [215] и пуассоновским белым шумом [216]-[218]. Существуют также некоторые способы приближенного отыскания установившихся вероятностных распределений при возбуждении нелинейной системы гауссовым шумом с конечным временем корреляции (см., например, [219]).

В этом параграфе выводятся точные формулы для стационарных плотностей вероятности нелинейных динамических систем с двумя статистически независимыми воздействиями: гауссовым белым шумом и марковским дихотомическим шумом, причем используется описанный в первой главе подход, основанный на корреляционных формулах для стохастических функционалов. Общие результаты применяются к анализу броуновского движения в прямоугольной яме при наличии переключающегося по направлению внешнего постоянного поля и в бистабильной системе с флуктуирующим потенциальным барьером.

2. Рассмотрим нелинейную динамическую систему, описываемую стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка (1.42), в котором функции f(x),g (х) и h(x) не зависят явно от времени t х = f (х) + д {х) {t) + h{x)r] {t). (3.110)

Здесь: (t) - гауссов белый шум с нулевым средним значением и интенсивностью 2D, г] (t) - марковский дихотомический шум, переключающийся со средней частотой v между двумя равновероятными значениями ±1. Воспользуемся полученной в 1.3 замкнутой системой уравнений (1.52)-(1.53) для плотности вероятности P{x,t) фазовой переменной системы (3.110) = [f(x)P + h(x)Q] + D g(x) Р, г -і = -2uQ- [f(x)Q + h(x)P]+D\ g(x)\ Q, (3.111) где вспомогательная функция Q{x,t) = (r}{t)6{x{t)-x)). (3.112) Предположим, что в системе (3.110) существует установившийся режим, что подразумевает наличие отражающих границ х = А и х = В (А В), причем одна или сразу обе из них могут быть расположены на бесконечности. Учитывая равенство нулю потока вероятности в стационарном состоянии, из уравнений (3.111) находим в пределе t - ос Dg(x)4 \9(x)Pst] f (х) Pst-h(x)Q = 0, ах о D \ д(хЦ Q- -[f{x)Q + h {х) Pst] - 2vQ = 0 , (3.113) 105 где: Pst (х) = Hindoo P(x,t), Q (x) = Hindoo Q (x,t).

Как видно из (3.113), для однозначного решения системы уравнений необходимы три условия на функции Pst (х) и Q (х). Двумя из них являются условие нормировки плотности вероятности Pst (х) и условие на функцию Q (ж), вытекающее из ее определения (3.112) и того, что (rj(t)) = О, В В / Pet(x)dx = l, / Q(x)dx = 0. (3.114) A А Третье условие можно получить из второго уравнения системы (3.113). Интегрируя это уравнение в малой є-окрестности отражающей границы х = А, придем к D {д{х) [g{x)QO0 (ж)]7} " [/ (х) Q(x) + h (х) Pst (х)] Е А+є -2v / Q (х) dx = 0. A-є Переходя к пределу ечОи учитывая, что значения Pst (А — є), Q (А — є), Q (А - є) обращаются в нуль, поскольку аргумент А - є лежит вне области движения системы, получаем D д(А) [g{x)Q (х)] А -f(A)Q (А) - h (A) Pst (А) = 0. (3.115) Аналогичный вид имеет условие на правой границе х = В.

Таким образом, система уравнений (3.113) с условиями (3.114) и (3.115) является базисом для определения установившегося вероятностного распределения Pst{x) нелинейной динамической системы (3.110). Решить систему (3.113) в общем виде без уточнения конкретного вида функций f(x), д(х) и h(х) не удается.

3. Проверим стыковку уравнений (3.113)-(3.115) с ранее полученными результатами для стационарной плотности вероятности системы (3.110) с одним шумовым источником дельта-коррелированного или дихотомического типа. При наличии только одного белошумового воздействия (h(x) = 0) из первого уравнения системы (3.113) сразу находим Pst (х) (см, например, [206]) РАх) = Шехр[ъ J Mdx\ (3.116) где постоянная CQ определяется из условия нормировки (3.114). В другом частном случае д(х) = 0 система (3.113) существенно упрощается и переходит в / (х) Pst + h(x)Q = 0, j If W Q] + [h {х) Pst] + 2vQ = 0 . (3.117) Выражая функцию Q(x) из первого уравнения (3.117) и подставляя во второе, имеем F)-f2(x) 2vf{x) Щ st hW d \h2(x)-f2(x) dx Л(ж) h(x) Решение данного уравнения таково (3.118) Формула (3.118) для стационарной плотности вероятности Pst (х) системы (3.110) с одним дихотомическим случайным источником была впервые получена в [211] (см. также [213]).

4. Перейдем к анализу некоторых частных случаев нелинейной динамической системы (3.110). Рассмотрим диффузию броуновской частицы в вязкой среде в потенциале U(x) при наличии случайно переключающейся по направлению внешней силы F{t) = ar){t).