Статистические характеристики последовательности времён возврата Пуанкаре в хаотических системах в условиях шумовых и гармонических внешних воздействий Боев Ярослав Игоревич

Содержание к диссертации

Введение

1 Локальный подход в теории времён возврата Пуанкаре 14

1.1 Времена возврата Пуанкаре и их статистические характеристики 14

1.2 Статистика последовательности времён возврата в зашумлённых системах при локальном подходе

1.2.1 Теорема Каца в условиях шумового воздействия 22

1.2.2 Закон распределения последовательности времён возврата при условии воздействия шумов

1.3 Плотность вероятности времён возврата при внешнем гармоническом воздействии 33

1.4 Выводы по первой главе 41

2 Мультифрактальный анализ последовательности времён возврата Пуанкаре 42

2.1 Размерность Афраймовича-Песина и её связь с показателями Ляпунова 43

2.2 Статистика последовательности времён возврата в неавтономных системах 55

2.3 Времена возврата Пуанкаре вблизи критической точки рождения аттрактора Фейгенбаума 58

2.4 Выводы по второй главе 67

Приложение времён возврата Пуанкаре к решению задач нелиней ной динамики 68

3.1 Диагностика стохастического резонанса 69

3.2 Диагностика вынужденной синхронизации 77

3.3 Фрактальная размерность аттрактора времена возврата Пуанкаре 93

3.4 Выводы по третьей главе 105

Заключение 107

Литература 110

• Теорема Каца в условиях шумового воздействия
• Плотность вероятности времён возврата при внешнем гармоническом воздействии
• Времена возврата Пуанкаре вблизи критической точки рождения аттрактора Фейгенбаума
• Диагностика вынужденной синхронизации

Введение к работе

Актуальность темы

Одним из направлений исследований в нелинейной динамике является анализ систем, устойчивых по Пуассону. Возвращаемость по Пуанкаре означает, что в системах с заданной мерой практически любая фазовая траектория, исходящая из заданной начальной точки, бесконечное число раз во времени пройдет в сколь угодно малой окрестности исходного состояния. Системы, обладающие свойством возвращаемости, были названы Пуанкаре устойчивыми по Пуассону.

Несмотря на более чем столетнюю историю, проблема изучения статистических характеристик последовательностей времен возврата Пуанкаре в динамических системах остается актуальной и сегодня. И это относится не только к чисто математическим аспектам этой проблемы. Идея возвращаемости сложных систем с течением времени в окрестность некоторого состояния становится одной из фундаментальных концепций современной науки. Эта концепция позволяет с единых позиций рассматривать такие эволюционные процессы как изменение климата, солнечной активности, динамики популяций, изменений на финансовых рынках, распространение эпидемий и многие другие. Многолетними наблюдениями установлено, что многие эволюционные процессы в природе и обществе характеризуются свойством возвращаемости. Исследование статистики подобных возвратов направлено на решение задачи прогнозирования, что безусловно важно.

Для анализа возвратов Пуанкаре применяются два подхода: локальный и глобальный. При локальном подходе исследуются возвраты в -окрестность некоторой точки ₀ аттрактора динамической системы. Глобальный подход основывается на покрытии всего аттрактора ячейками размера ; внутри каждой ячейки берётся ансамбль начальных условий; для каждого начального условия считается время первого возврата Пуанкаре и выбирается его минимальное значение из всего ансамбля; затем проводится усреднение минимальных времён возврата по всем ячейкам покрытия.

К настоящему времени создана математическая теория времён возврата Пуанкаре, описывающая статистику последовательностей времен возвратов как в окрестность заданного состояния (локальная теория), так и в рассматриваемое множество фазовых траекторий системы (глобальная теория). Доказана взаимосвязь среднего времени возврата в окрестность заданного состояния с вероятностью посещения фазовой траекторией этой окрестности (лемма Каца). Установлено, что для систем с перемешиванием (хаотических систем) плотность вероятности случайной последовательности времен возврата в малую окрестность исходного состояния на больших временах подчиняется экспоненциальному за-3

кону. Классический результат Пуанкаре обобщен на случай, когда правые части дифференциальных уравнений динамической системы являются периодическими функциями времени с одинаковым периодом. Другими словами, устойчивость по Пуассону доказана для неавтономных систем с периодическим воздействием.

Сравнительно недавно появились математические работы, в которых исследуется проблема времён возврата Пуанкаре с точки зрения так называемого глобального подхода. При глобальном подходе определяется среднее время возврата по всем элементам полного покрытия рассматриваемого множества фазовых траекторий в целом. Среднее время возврата в этом случае будет зависеть от совокупности начальных точек, заданных в каждом элементе покрытия множества, и будет являться функцией всего множества. Одной из основных характеристик времён возврата Пуанкаре при глобальном подходе является фрактальная размерность множества времен возвратов, названная размерностью Афраймовича-Песина (АП-размерность). В общем случае оценкой АП-размерности сверху является величина топологической энтропии. Для одномерных хаотических отображений доказано, что АП-размерность совпадает с величиной показателя Ляпунова.

Обобщением и развитием идеи Пуанкаре о возвращении является концепция “recurrency plot”. Метод RP базируется на анализе длительности времен, в течение которых фазовые траектории динамической системы остаются в -окрестности друг друга. Исследования показали, что RP являются эффективным методом диагностики режимов функционирования динамических систем по временным рядам.

На протяжении 70 лет после основополагающих работ Пуанкаре исследования проблемы возвратов носили исключительно теоретический характер. Экспериментальных работ до начала семидесятых годов практически не было в силу отсутствия компьютеров. Этот недостаток был восполнен в последние 40 лет. Численные эксперименты подтвердили применимость теоретических результатов к негиперболическим дискретным и потоковым системам. Многократно была подтверждена лемма Каца и экспоненциальный закон распределения времен возврата для хаотических систем. Детально исследован вопрос о влиянии размера окрестности возврата на характер распределения времен возвращения. Подтверждено, что экспоненциальных закон достигается в пределе 0 и справедлив на больших временах. При конечных размерах окрестности распределение может отличаться от экспоненциального, но при этом отражает характерные динамические свойства системы.

Имеются работы, связанные с применением метода возвратов Пуанкаре для анализа экспериментальных данных при решении ряда прикладных задач. При

исследовании времён возврата важно учитывать асимптотику статистических характеристик при уменьшении размера рассматриваемой окрестности. Некоторые теоретические результаты получены в пределе 0. Однако, при проведении численных экспериментов размер рассматриваемой окрестности всегда конечен, причем его существенное уменьшение по сравнению с размерами аттрактора связано с большими вычислительными трудностями. Особенно остро эта проблема ощущается в многомерных потоковых системах. По этой причине в данной работе в основном рассмотрены возвраты возвраты Пуанкаре в -окрестность конечного фиксированного размера. Как будет показано, они могут нести ценную информацию о динамике системы.

Теория возвратов активно применяется к исследованию экономических процессов, плазменной физики, а также при анализе ДНК, электрокардиограмм, электроэнцефалограмм, для исследования “чёрных дыр” и в ряде других областей знаний.

Подводя итог краткому описанию основных численных результатов по возвратам Пуанкаре и приложениям, отметим следующее. Анализ экспериментальных результатов свидетельствует о том, что большинство работ посвящено локальной теории возвратов. Работ по анализу статистики возвратов в рамках глобального подхода очень мало. При численных исследованиях анализа эволюция вероятностной меры рассматриваемых множеств как правило не проводится. А такой анализ необходим, поскольку именно изменения вероятностной меры влияют на результат. В литературе отсутствуют эксперименты по анализу статистики возвратов Пуанкаре в неавтономных системах с шумовым и периодическим воздействиями. Неавтономные системы составляют широкий класс систем, рассматриваемых как в теории, так и в приложениях. В литературе не отражены результаты анализа возвратов Пуанкаре в системах, находящихся под воздействием шумов.

Все вышесказанное подтверждает актуальность исследований в выбранной области и служит основанием для формулировки цели и задач диссертационного исследования.

Целью диссертационной работы является исследование применимости известной теории времён возвращения Пуанкаре к неавтономным системам и расширение на основе этого возможностей использования статистики последовательности времён возврата для анализа динамических систем и диагностики таких эффектов как стохастический резонанс, частотно-фазовая синхронизация автоколебаний и оценка фрактальной размерности аттрактора. Будут исследованы мультифрактальные характеристики последовательности времён возврата в неавтономных системах, путём расчёта размерности Афраймовича-Песина.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Для динамических систем в отсутствие внешних воздействий основные теоретические результаты по статистике времён возврата Пуанкаре подтверждаются числено как при локальном, так и при глобальном подходах. Для систем, находящихся под воздействием аддитивного белого шума, лемма Каца и экспоненциальный закон распределения времён возврата также оказываются справедливы. Причиной этого является экспериментально обоснованная стационарность и эргодичность вероятностной меры для за-шумлённых систем.

2. В условиях внешнего периодического воздействия на систему плотность вероятности времён возврата () оказывается периодически промодулиро-вано функцией с периодом внешней силы. При этом теоретическое выражение для АП-размерности подтверждается экспериментально. Экспоненциальный закон распределения в этом случае строго выполняется лишь для стробоскопического сечения.

3. Для одномерных и двумерных автономных систем в численном эксперименте подтверждено, что АП-размерность совпадает с величиной топологической энтропии, оценкой которой служит сумма положительных ляпу-новских показателей Ляпунова.

4. Статистические характеристики последовательности времён возврата в периодически возмущаемых системах могут быть использованы для диагностики эффектов стохастического резонанса и внешней синхронизации хаотических колебаний.

5. Статистика возвратов Пуанкаре даёт возможность определения фрактальной размерности аттракторов с высокой точностью применительно к гиперболическим (квазигиперболическим) хаотическим аттракторам. В случае негиперболических аттракторов в силу их неоднородности статистика возвратов Пуанкаре даёт возможность лишь оценки фрактальной размерности с конечной точностью.

Научная новизна: результатов диссертационной работы определяется следующим:

6. Впервые обоснована оценка размерности Афраймовича-Песина с помощью энтропии Колмогорова-Синая, вычисленной как сумма положительных ля-пуновских показателей для двумерной динамической системы, в режиме гиперхаоса.

7. Впервые показано, что эффект стохастического резонанса можно диагностировать с помощью статистики последовательности времён возврата Пуанкаре, рассчитанных в окрестности заданного состояния динамической системы.

3. Установлено, что статистические характеристики времён возврата Пуанкаре в рамках локального подхода обеспечивают возможность диагностики частотно-фазовой синхронизации хаотических автоколебаний.

4. Впервые показано, что лемма Каца и экспоненциальный закон распределения времён возврата Пуанкаре выполняется для зашумлённых систем в силу стационарности и эргодичности вероятностной меры. А при наличии внешнего гармонического воздействия плотность вероятности времён возврата является периодически промодулированой функцией с периодом равным периоду внешнего воздействия.

Научная и практическая значимость Научные результаты, представленные в работе вносят определённый вклад в современную теорию колебаний и теорию динамических систем, расширяют возможности применения статистики времён возврата Пуанкаре при исследовании характеристик динамических систем. Показано, что теория времён возврата может быть успешно использована как автономных, так и в неавтономных системах. Применение теории времён возврата Пуанкаре позволяет анализировать и диагностировать такие эффекты как: стохастический резонанс и частотно-фазовая синхронизация хаотических автоколебаний. Полученные результаты могут быть применены при расчётах и оценке фрактальной размерности аттракторов динамических систем.

Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием результатов, полученных при использовании различных методов численного моделирования, включая применение различных схем интегрирования уравнений, а также совпадением части промежуточных результатов проведенных исследований с данными, полученными другими авторами и представленными в научных публикациях.

Апробация работы. Основные результаты научных исследований были представлены на следующих научных семинарах и конференциях:

Конференция International Conference “Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Complexity”, 19-23 May 2014, “Volzhskie Dali”, Saratov, Russia, Y. Boev, V. Anischenko, “Afraimovich-Pesin dimension for the transition to chaos in one-dimensional maps”.

Конференция “Topical Problems of Nonlinear Wave Physics”, 17-23 July, 2014, Y. Boev, T. Vadivasova, and V. Anishchenko, “Poincare recurrences in the phase-frequency synchronization regime in the Rossler oscillator”

а также на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики. Личный вклад. В данной работе основная часть представленных результатов была получены автором в ходе численных экспериментов. В эксперименте использовалось запатентованное программное обеспечение, разработанное лич-7

но автором. Автор принимал активное участие в постановке задач и интерпретации полученных экспериментальных данных.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 печатных изданиях из них: 10 статей в рецензируемых журналах рекомендованных ВАК [-], 1 статья в сборниках трудов конференции [11] и 2 работы в сборниках тезисов конференций [,].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации 121 страниц текста с 44 рисунками. Список литературы содержит 95 наименований.

Теорема Каца в условиях шумового воздействия

При достаточно большом размере окрестности возврата є может сложиться такая ситуация, что несколько последовательных итераций динамической системы окажутся принадлежащими этой окрестности, а само время возврата, как следствие, будет равно 1 для дискретной динамической системы или t для потоковой системы, где t — это шаг интегрирования. В работе [30] подобный тип возвратов называется “тангенциальным движением”. Для того чтобы избежать подобной ситуации вводится понятие времени возврата второго рода, которое можно описать как время между моментом входа фазовой траектории в окрестность выбранной точки XQ и моментом предыдущего выхода траектории из этой окрестности. Таким образом, исключается случай, когда за время возврата можно принять время между двумя последовательными состояниями динамической системы, находящихся внутри заданной окрестности. На рис. 1.2 схематично представлены времена возврата описанных типов.

Помимо того, что уже было перечислено, следует учесть ещё ряд особенностей, связанных с численным расчётом времён возврата. В математической теории, описывающей статистику времён возврата Пунакнаре, предполагается, что размер окрестности возврата должен быть сколь угодно малым є — 0. При проведении численного эксперимента размер окрестности возврата є хоть и выбирается достаточно малым, но тем не менее имеет конечные размеры. В работе [37] описывается статистика времён возврата в окрестность конечного размера. Стоит также уточнить форму окрестности, в которую мы считаем возвраты фазовой траектории. В точной математической формулировке (1.1) форма окрестности выбранной точки хо имеет вид N-мерного шара Вг(хо) радиуса г = є/2. При проведении вычислений в целях ускорения расчётов и удобства окрестность выбирается в форме N-мерного куба с ребром равным є, что не оказывает су б)

Схематичная иллюстрация времён возврата первого типа — а) и второго типа — б). щественного влияния на статистику времён возврата. А при достаточно малых є С 1 статистика становится практически одинаковой для формы окрестности в виде шара и куба.

Предметом исследования настоящей работы являются динамические системы, устойчивые по Пуассону. Они характеризуются хаотической динамикой. Вследствие этого времена возврата Пуанкаре вне зависимости от размера области возвращения представляют собой случайную последовательность чисел. В связи с этим анализ характеристик последовательности времён возврата проводится с использованием статистических методов.

Чаще всего нам придётся иметь дело со средним значением времени возврата (г), определяющимся следующим образом: где ti+\ иti — входа и выхода фазовой траектории в є-окрестность точки XQ, К — количество попаданий траектории в окрестность. Для эргодических динамических систем усреднение можно проводить как по времени (что и было описано выше), так и по ансамблю. При усреднении по ансамблю внутри є-окрестности выбирается конечное множество начальных условий. Фазовая траектория стартует с каждого из начальных условий и итерируется (интегрируется) до тех пор пока она не вернётся в окрестность заданной точки. После этого проводится усреднение по временам возврата для каждого из начальных условий.

Проанализируем статистику времён возврата, для чего рассмотрим распределение р(т). В работе [14] показано, что распределение времён возврата на больших временах подчиняется экспоненциальному закону: где (г) — среднее время возврата, а г — некоторое значение т. Выражение (1.3) справедливо как для дискретных, так и для потоковых динамических систем и не зависит от размерности исследуемой системы. Закон (1.3) описывает распределение времён возврата Пуанкаре в є-окрестность некоторой точки и выполняется в пределе є — 0 для всех т т .

Одну из наиболее важных закономерностей в теории времён возврата Пуанкаре устанавливает лемма Каца [11], связывающая среднее время возврата с вероятностной мерой на аттракторе: (T(XQ,S)) =, (1.4)

Р(Хо,Є) где P(XQ, Є) — вероятность попадания фазовой траектории в є-окрестность точки XQ, 7 — коэффициент равный единице. Отметим, что величина окрестности возвратов є в лемме Каца (1.4) является произвольной. Анализ средних времён возврата Пуанкаре (г) позволяет определить фрактальную размерность аттрактора dp исследуемой динамической системы. Взаимосвязь среднего времени возврата и фрактальной размерности аттрактора имеет следующий вид: (IF (ХО = пт , (1.5) є о -Іпє где XQ —точка в окрестности которой вычисляются времена возврата, є — размер окрестности. Связь фрактальной размерности аттрактора и времени возврата Пуанкаре можно выразить более простым и наглядным образом [35]. Будем анализировать возвраты фазовой траектории в окрестность, заданную в виде TV-мерного куба с ребром є, где N — это размерность фазового пространства системы, в центре которого находится начальное состояние XQ. Модифицируем лемму Каца (1.4) следующим образом, запишем выражение для вероятности в виде:

Плотность вероятности времён возврата при внешнем гармоническом воздействии

Приведённые в главе 1 закономерности (1.3) и (1.4) описывают поведение статистики времён возврата в є-окрестность выбранной точки XQ и относятся к локальному подходу, так как при этом рассматривается не весь аттрактор, а конкретная окрестность выбранной точки. В отличие от этого в глобальном подходе рассматривается весь аттрактор целиком. При глобальном подходе исследуются мультифрактальные свойства последовательности времён возврата Пуанкаре.

Описание мультифрактальных свойств времён возврата, а также вычисление фрактальной размерности последовательности времён возврата Пуанкаре было дано в работах Афраймовича [10,20].

Приведём точное математическое определение размерности Афраймовича-Песина [10]. Пусть у нас есть компактное метрическое пространство X, наделённое метрикой d(x, у). Тогда конкретно определён шар В(х, є) = {у : d(x, у) є} радиуса є с центром в точке х. Если дано подмножество Z с X, можно рассмотреть его конечное покрытие G = {В(ХІ,ЄІ) =: В{\, где uf=lB{ D Z,Si є. Пусть : В — Ш+ — некоторая функция на множестве всех открытых шаров в X, значения которой неотрицательны и стремятся к нулю, когда радиус стремится к нулю. Определим следующую сумму:

Можно показать [24], что существует такое критическое значение ас Є [—оо, оо], для которого выполняется 0, а ас, ас ф +оо, (2.4) оо, а ас, ас ф —оо. Это число ас называется размерностью Каратеодори множества Z. Среди различных свойств размерности Каратеодори мы отметим сейчас свойство, связанное с нахождением среднего значения функции . Как следует непосредственно из определения, при ЄІ є С 1 выполняется

При ЄІ = є минимальное количество шаров радиуса є, требуемых для покрытия множества Z, N « e dc. Величина dc = dims Z — это фрактальная размерность (ёмкостная-размерность в случае её существования) множества Z. Поэтому ((Ві)) « є с ас, (2.8) если ас = =Ьоо и dc = ±оо. Таким образом, обобщённая конструкция Каратеодори позволяет оценивать среднее арифметическое функций на шарах (или открытых множествах), покрывающих подмножества X.

Применим теперь эту конструкцию для изучения времён возвращения Пуанкаре в динамической системе (/ ,Х), Є Z. Для открытого шара В := B(XQ)S) определим время возвращения Пуанкаре как величину

Мы называем это число qo размерностью для времён возвращения Пуанкаре или АП-размерностью. В настоящей работе размерность Афраймовича-Песина обозначается буквой ас.

Для вычисления АП-размерности весь аттрактор необходимо полностью покрыть областями возврата (элементами ЄІ). После чего для каждой из областей покрытия є І вычисляется последовательность времён возврата, из которой выбирается минимальное время возврата тм(єІ). Затем проводится усреднение ми нимальных времён возврата по всем областям покрытия 1 - Vinf) = Т7 / Tinf(ei), (2.13) І=1 где М — количество областей возврата, покрывающих весь аттрактор, Тinf(ЄІ) — минимальное время возврата для і-ой ячейки. В работе [10] установлена взаимосвязь между средним минимальным временем возврата (тinf) и размером ячеек е, покрывающих аттрактор, (rinf) = ф 1(е 1с/ас),е С 1, (2.14) где dc — ёмкостная размерность аттрактора, а ф — функция, вид которой определяется топологической энтропией системы Ііт [10]. Функция ф может иметь один из следующих видов: 1 2

Топологическая энтропия Ііт является оценкой сверху энтропии Колмогорова-Синая, которая в свою очередь определяется положительными показателями Ляпунова А+ [42]. В хаотических динамических системах с экспоненциальным разбеганием траекторий топологическая энтропия положительна Ііт 0 и справедливо соотношение (2.16). Выражение (2.17) для хаотических систем можно использовать только для критических значений параметра, при которых КС-энтропия и топологическая энтропия обращаются в нуль. Рассмотрим логистическое отображение где — управляющий параметр. Покроем полностью аттрактор исследуемого отображения (2.18) областями возврата. В каждой области покрытия вычислим минимальное время возврата м и проведём усреднение минимальных времён возврата по всем областям покрытия (2.13). После этого построим зависимость среднего минимального времени возврата от размера области возврата (ы()). Как видно из рис. 2.1 зависимость (ы()) подчиняется выражению (2.16), так как при выбранном значении управляющего параметра динамическая система имеет топологическую энтропию больше нуля т 0.

По представленной на рис. 2.1 зависимости можно определить размерность Афраймовича-Песина, которая является численной характеристикой последовательности времён возврата Пуанкаре. Для этого необходимо вычислить ёмкостную размерность аттрактора исследуемой системы и, зная наклон зависимости \\ на рис. 2.1, по формуле (2.16) вычислить значение АП-размерности с

У отображения (2.18) при значении управляющего параметра = 4.0 гладкая плотность вероятности (), которая определяется аналитически [53]. В интервале значений управляющего параметра Є [3.57; 4.0], исключая значения параметра, при которых реализуются окна периодичности, распределение () остаётся кусочно-непрерывным. Вследствие этого размерность хаотического аттрактора будет равна единице c = 1. Размерность Афраймовича-Песина в этом случае будет вычисляться следующим образом с = 1/.

Времена возврата Пуанкаре вблизи критической точки рождения аттрактора Фейгенбаума

Проведём анализ статистики времён возврата Пуанкаре при глобальном подходе в неавтономном случае при наличии внешнего шумового и периодического воздействий на систему. Для этого рассмотрим неавтономное одномерное кубическое отображение (1.21).

В ходе численного эксперимента было показано, что зависимость среднего минимального времени возврата (ты) от размера области возврата є подчиняется соотношению (2.16), о чём свидетельствуют результаты, представленные на рис. 2.6. Наличие внешнего воздействия на систему приводит к тому, что размерность Афраймовича-Песина ас увеличивается по сравнению с автономным случаем. Так из вида зависимостей для разных значений амплитуды внешнего воздействия А, представленных на рис. 2.7, на основании формулы (2.19) можно сделать вывод, что в неавтономном случае АП-размерность ас увеличивается, так как модуль наклона аппроксимирующей прямой \к\ уменьшился, а ёмкостная размерность осталось прежней dc = 1. Также отметим тот факт, что линейная зависимость (2.16) в неавтономном случае выполняется только для значений размера областей возврата In —6. Это обстоятельство приводит к необходимости увеличить время вычислений. Величина размерности Афраймовича-Песина меняется нелинейным образом с увеличением амплитуды внешнего воздействия, о чём свидетельствуют результаты, представленные на рис. 2.7.

Теперь рассмотрим взаимосвязь между АП-размерностью ас и положительным ляпуновским показателем А+. Как уже было сказано, размерность Афраймовича-Песина можно оценить с помощью топологической энтропии ас Нт. В общем случае топологическая энтропия Нт может быть вычислена как сумма положительных ляпуновских показателей или с помощью энтропии Колмогорова-Синая 2.1. Это было показано выше на примере системы (2.22), на которую не оказывалось внешнего воздействия. Равенство АП-размерности о А = 0 А А = 0.001

А при а = 2.7, Ъ = 10, си = 7г/30. и положительного ляпуновского показателя (или их суммы) нарушается в неавтономном случае, о чём свидетельствуют результаты, представленные на рис. 2.7. Таким образом, можно сказать, что при наличии внешнего периодического воздействия на динамическую систему нарушается равенство размерности Афраймовича-Песина ас топологической энтропии системы кт, а сама размерность ас нелинейным образом растёт с увеличением амплитуды внешнего воздействия.

Рассмотрим поведение размерности Афраймовича-Песина ас вблизи критической точки рождения аттрактора Фейгенбаума.

Простейшим примером для анализа свойств АП-размерности может служить одномерный хаотический аттрактор в логистическом отображении (2.18). При значениях г г = 3.569946... в системе (2.18) реализуется аттрактор, характеризующийся наличием положительного показателя Ляпунова А 0. Огибающая А(г) описывается законом [52]: А = 0.87(г — г )-45, г = 3.5699, (2.23) где г — критическое значение параметра, отвечающее рождению аттрактора Фейгенбаума. Исследуя статистику времён возвратов Пуанкаре при подходе к критическому значению г = г сверху (г г ), мы должны получить соответствие с выражением (2.16), а в критической точке г = г должно выполнятся соотношение (2.17).

Как с математической, так и с физической точек зрения представляется важным установить закономерность эволюции АП-размерности при указанном переходе от случая Ііт 0 к случаю Нт = 0. Проведённые эксперименты для системы (2.18) в области значений 4 показали, что зависимость (2.16) выполняется. В качестве примера на рис. 2.10 приведены экспериментальные данные для значения = 3.5723, близкого к критическому .

Наклон графика рис. (2.8) составляет в этом случае = -16.6. Установлено, что величина наклона \\ при подходе к критическому значению = сверху резко возрастает. Сказанное иллюстрирует рис. 2.9, где представлена зависимость наклона от величины параметра системы (2.18).

Для нахождения величины АП-размерности с (2.16) помимо наклона \\ необходимо знать значения ёмкостной размерности c (2.16). Структура аттрактора в (2.18) при представляет собой счётное число отрезков на одномерном множестве . Ёмкостная размерность аттрактора c = 1.

В критической точке показатель Ляпунова и топологическая энтропия обращаются в нуль. В соответствии с теорией в этом случае необходимо использовать выражение (2.17). На рис. 2.10 приведены два соответствующих графика, отвечающие значению = .

Как следует из рис. 2.10, a, зависимость (inf(ln)), построенная в соответствии с выражением (2.16), действительно не является прямой в критической точке = . Если, следуя (2.17), построить эту зависимость в двойном логарифмическом масштабе, то мы получаем график (рис. 2.10, б), который хорошо аппроксимируется прямой с наклоном \\ = 0.63. Как следует из (2.10), для АП-размерности в этом случае мы получаем с = c/\\. Размерность аттрактора Фейгенбаума для = , известная из теории [53], а также вычисленая нами равна c 0.54. Таким образом для с получаем величину с 0.86.

Диагностика вынужденной синхронизации

Отметим работу Карлетти [76], где проводилось вычисление локальной размерности с помощью времён возврата и времён ожидания для различных отображений. Полученные значения размерности сопоставлялись только с ёмкостной размерностью. Сопоставим размерность с другими оценками фрактальной размерности. Для этого вычислим поточечную размерность (которая равна ) и проведём усреднение по достаточному количеству точек (500 точек) на аттракторе. После чего сравним полученное значение средней поточечной размерности с ляпуновской , информационной и ёмкостной размерностями. В таблице 3.1 представлены результаты расчёта размерностей для отображения Эно (3.10) и модифицированного отображения Арнольда, которое является гиперболическим (2.21).

Рассмотрим связь геометрии аттрактора с временами возврата Пуанкаре. Исследуем более детально поведение зависимости среднего времени возврата (т(хо,є)) от размера окрестности возврата є на примере отображения Эно (1.16). На рис. 3.18 представлен график зависимости (T(XQ,S)) от є и построены аппроксимирующие прямые характерных повторяющихся наклонов. Зависимость на рисунке 3.18 представляет собой череду наклонов приблизительно равных кг 1 и переходов между ними. Построим области фазового портрета для различных размеров окрестностей возврата, соответствующих единичным наклонам и переходам между ними. Областям размером Є2 = 0.0122590, е = 0.0005262 соответствуют наклоны &2І = 1.00, \к%\ = 0.98 и фрагменты (2), (4), на которых геометрическая структура аттрактора, попавшего в окрестность возврата, близка по форме к прямой линии. Размерность линии равна 1, что как раз соответствует величине наклонов &2І = 1.00 и \к%\ = 0.98. Размеры окрестностей Е\ и Є:І соответствуют переходным участкам, чей наклон отличается от единичного, а на соответствующих фрагментах фазового портрета (1) и (3) структура аттрактора представляет собой две прямые линии. Соответственно, размерность будет отличаться от 1. Таким образом, на примере отображения Эно (1.16) можно сказать, что характер зависимости (T(XQ,S)) от є обусловлен локальной геометрической структурой аттрактора в исследуемой окрестности. Аналогичные результаты получены для отображения Лози.

Влияние геометрической структуры аттрактора удобно наблюдать при наличии шумового воздействия на систему. Рассмотрим отображение Эно при аддитивном воздействии шума: хп+\ = 1 — ахп + уп + V 2ь {п) (3.14) Уп+1 = Ьхп. где (п) — дискретный стандартный белый гауссов шум, а D — интенсивность шумового воздействия. Представленная зависимость среднего времени возврата (г) от размера области возврата є на рис. 3.19 имеет два характерных наклона.

Наклон, соответствующий большим примерно равен 1, в то время как наклон в диапазоне при достаточно малых равен 2. Это можно объяснить тем, что при наличии шумового воздействия аттрактор отображения “расплывается”. Таким образом, при наблюдении времён возврата в большую окрестность мы будем видеть линию, размерность которой равна 1, а для достаточно малых областей возврата изображающие точки будут полностью заполнять фазовое пространство, то есть мы будем видеть полностью заполненную поверхность, размерность которой равна 2, что полностью согласуется с видом зависимости

Показано, что статистические характеристики времён возврата могут быть использованы для диагностики эффектов стохастического резонанса и синхронизации, а также для расчёта фрактальной размерности аттрактора.

Продемонстрировано, что спиральный аттрактор автономной системы Рёс-слера имеет распределение времён возврата, для которого характерна “линейчатая структура” с чётко выраженными эквидистантными максимумами распределения. Расстояние между максимумами определяется средним периодом колебаний, а огибающая распределения (за исключением некоторого начального участка) подчиняется экспоненциальному закону.

Численными экспериментами подтверждена связь среднего времени возврата с фрактальной размерностью аттрактора, проявляющуюся в пределе малых окрестностей возврата. Показано, что при расчёте размерности необходимо исследовать время возврата траектории в некоторую малую область в полном фазовом пространстве, а не в проекции аттрактора.

Для осциллятора Рёсслера показано, что внешнее периодическое воздействие захватывает среднее время возврата в режиме спирального аттрактора, что позволяет диагностировать вынужденную синхронизацию.

Численными экспериментами установлено, что в общем случае фрактальная размерность определяется по наклону усреднённой линейной зависимости среднего времени возврата от размера окрестности и соответствует локальной поточечной размерности аттрактора системы в окрестности области возврата. Точность определения поточечной размерности зависит от структуры аттрактора и является наиболее высокой, если аттрактор гиперболический. Величина информационной размерности в общем случае должна вычисляться как среднее значение поточечной размерности по ат 105 трактору системы. В некоторых случаях может иметь место приближённое равенство поточечной и информационной размерностей, однако в общем случае это не верно.