Содержание к диссертации
Введение
1 Методика вычислительного эксперимента 24
1.1 Параллельные вычисления на графических процессорных устройствах 24
1.1.1 Технология CUDA 24
1.1.2 Реализация метода интегрирования 26
1.1.3 Особенности генерации шума 27
1.2 Моделирование двумерных активных сред 28
1.2.1 Математическая модель пространственно неоднородной активной среды 28
2 Детерминированная и индуцированная шумом динамика модели одиночного нейрона в интерстициальной среде 33
2.1 Авторегуляция активности и индуцированные шумом режимы в модели серо тонинергического нейрона 34
2.1.1 Функциональная модель серотонинергического нейрона 34
2.1.2 Возбудимый элемент: резонаторы и интеграторы 34
2.1.3 Слабый деполяризующий ток ионов натрия 36
2.1.4 Баланс серотонина в межклеточном пространстве 36
2.1.5 Синапс 36
2.1.6 Функциональная модель серотонин-генерирующего нейрона 37
2.1.7 Автономная и неавтономная динамика модели 37
2.1.8 Спонтанная активность 38
2.1.9 Отклик на стимул в виде пачки импульсов 42
2.1.10 Отклик на стимул в виде флуктуации приложенного тока 45
2.1.11 Авторегуляция частоты спонтанной активности 47
2.2 Минималистичная модель взаимодействия нейрона и внеклеточной среды 50
2.2.1 Генерация в результате самоподдерживающейся деполяризации после воздействия стимула 51
2.3 Выводы по главе 55
3 Волновые паттерны активности в моделях нейронных ансамблей с интерстициально-опосредованным взаимодействием
3.1 Пространственно упорядоченный отклик в малом ансамбле встроенных в среду нейронов 60
3.2 Индуцированные шумом волны повторного возбуждения 63
3.3 Модель распространяющейся кортикальной депрессии 67
3.3.1 Описание модели 67
3.3.2 Локальная динамика 71
3.3.3 Пространственные связи в модели 73
3.3.4 Паттерн развития РКД 74
3.3.5 Сложные паттерны распространяющейся деполяризции 76
3.3.6 Обсуждение механизмов 79
3.4 Обсуждение результатов и выводы по главе 84
4 Роль полоясительных обратных связей в динамике феноменологических моделей нейросистем 88
4.1 Цикл сна-бодрствования 89
4.1.1 Описание модели 89
4.1.2 Экспериментальный протокол Цейслера (1990) 92
4.1.3 Реализация протокола в модели 93
4.1.4 Результаты 96
4.1.5 Подстройка параметров 97
4.1.6 Моделирование экспериментального протокола 99
4.1.7 Модельные прогнозы 103
4.1.8 Динамика модели при различных значениях параметров 109
4.2 Функциональная модель аффективных расстройств 112
4.2.1 Математическая модель 113
4.2.2 Результаты: сопоставление с экспериментальными данными 116
4.2.3 Результаты: реакция на кратковременный стимул 120
4.2.4 Результаты: индуцированная шумом эволюция потенциала 123
4.3 Обсуждение результатов и выводы по главе 124
Заключение 130
Список литературы
- Особенности генерации шума
- Баланс серотонина в межклеточном пространстве
- Индуцированные шумом волны повторного возбуждения
- Моделирование экспериментального протокола
Введение к работе
Актуальность темы.
Представления о том, что динамику нелинейных систем нужно анализировать с учетом флуктуации, восходят к первой трети 20 века (Л.С.Понтрягин, А.А.Андронов, АА.Витт). За последние три десятилетия было показано, что шум способен не только вносить непредсказуемость, но и упорядочивать наблюдаемое поведение, либо приводить к образованию новых структур. Это позволило сформулировать утверждение о том, что шум может оказывать конструктивное влияние на динамику нелинейной системы. В частности, работы R.Benzi с соавторами положили начало исследованиям в области стохастического резонанса - явления, при котором шум определенной амплитуды способен усилить периодический сигнал (R.Benzi, F.Moss, M.Dykman, В.САнишенко, А.Б.Нейман). Среди других подобных явлений можно выделить индуцированные шумом колебания (W.Horsthemke, A.Pikovsky, F.Moss) и такой эффект, как когерентный резонанс, при котором имеет место максимум когерентности колебательного ответа системы в зависимости от силы воздействующего шума (A.Pikovsky, А.Б.Нейман, Д.Э.Постнов).
Следует заметить, что большая часть фундаментальных исследований в этой области выполнена на основе простых и максимально обобщенных модельных систем, легкодоступных для теоретического и компьютерного анализа. Однако существуют классы моделей и объектов, исследование динамики которых может быть интересно не только с точки зрения новых знаний в области нелинейной динамики, но и точки зрения потенциального приложения в смежных науках. Один из таких классов модельных систем образуют упрощенные модели нейросистем (E.M.Izhikevich, В.И.Некоркин, В.Б.Казанцев, Д.Э.Постнов).
Математическое моделирование в биологии, в том числе и применительно к нейросистемам, является одним из основных инструментов, позволяющим объяснить наблюдаемые в экспериментах явления, и предсказать то, что еще не доступно в лабораториях. Нейросистемы представлены целым рядом математических моделей, описывающих на функциональном или физиологическом уровне отдельный нейрон, группу нейронов, крупные популяции (области мозга), или же процессы, непосредственно связанные с деятельностью нейронов, но не включающие их в свое описание. Сегодня такие модели используются как в целях развития фундаментальных знаний, так и в прикладных областях, таких, как робототехника, разработка искусственного интеллекта, технологии реиннервации и т.п. Динамика таких, как реальных,
так и модельных систем, во многом определяется наличием и силой положительных и отрицательных обратных связей.
Как известно, отрицательная обратная связь приводит к изменению входного сигнала, противоположному первоначальному изменению. Такая связь используется для управления динамическими системами, позволяя частично или полностью ослабить входящий сигнал или же сделать систему более стабильной и плавно отвечающей на изменение параметров. Отрицательная обратная связь присутствует даже в простейших моделях нейроси-стем, например, в модели ФитцХью-Нагумо (R.A.FitzHugh) в форме уравнения для переменной-ингибитора, которое отвечает за возврат в исходное состояние после генерации импульса.
Положительные обратные связи, напротив, способствуют дальнейшему отклонению сигнала от первоначального значения. Подобные связи ускоряют реакцию системы на изменение параметров и сигнала, а так же приводят к неустойчивости и возникновению автоколебательных свойств. Из-за подобных свойств положительные обратные связи (вне изучения автоколебательной динамики) реже становятся объектом изучения при работе с нейро-системами, однако, они неизбежно появляются в сложных системах и играют особо важную роль при формировании ответа на одиночной стимул или в стохастических системах, динамика которых определяется наличием и интенсивностью шума.
Применительно к моделям нейросистем, сочетание флуктуации и положительных обратных связей может быть найдено во многих ситуациях. В то же время, из анализа доступной литературы можно заключить, что на настоящий момент не выработан систематический взгляд на наблюдаемые в такой ситуации паттерны динамики. В связи с этим, актуальной является задача исследования динамики моделей нейросистем с положительными обратными связями под действием внутренних, либо внешних флуктуации (шумовых сигналов). При этом изучению подлежат динамические и статистические характеристики процесса генерации спайков одиночными модельными нейронами и их группами; формирование и эволюция индуцированных шумом волновых структур в модельных средах; индуцированная и/или поддерживаемая шумом эволюция и/или адаптация функций популяций нейронов.
Разработанность темы
Адекватным объектом для разработки модели одиночного нейрона с положительной обратной связью представляется т.н. серотонинергический нейрон, обеспечивающий генерацию серотонина - одного из основных нейро-модуляторов, управляющих поведением как позвоночных, так и беспозвоночных. Известно, что серотнин влияет на проявление агрессии и доминантное
поведение, на процесс сна (R.Ursin), на взаимоотношения с противоположным полом (E.M.Hull), участвует в формировании ритмических движений (A.Sakurai, R.A.Satterlie). Нарушения в серотонинергической системе вызывают такие болезни человека, как депрессия, различные фобии, эпилепсия, обобщенные тревожные расстройства (F.G.Graeff, P.C.Jobe). Динамика серо-тонинергических нейронов имеет ряд особенностей, отличающих их от "обычных" нейронов (медленная пейсмейкерная активность, чувствительность к произведенному ими же нейромедиатору). Это дает основание выделить их модели в отдельный подкласс, что, однако, не сделано к настоящему времени.
Недавно было показано, что для успешной реконструкции параметров динамики нейронов, которые не могут быть напрямую измерены в эксперименте, необходимо учитывать микроокружснис нейронов в виде динамических переменных, а не в качестве фиксированных параметров (G.Ullah). Так, экспериментальные исследования показывают, что внеклеточная концентрация ионов калия может значительно меняться в ходе интенсивной активности нейронов в головном мозге (E.Sykova, Y.Dahlem) или при ишемии (С-S.Yi,G.X.Yan, A.J.Hansen, J.R.Cressman). Это, в свою очередь, приводит к деполяризации соседних клеток и ведет к дальнейшему росту активности и изменению внеклеточной концентрации калия. Такое самоподдерживающееся увеличение концентрации калия считается важным элементом в механизме развития эпилептических припадков (M.Bazhenov, Е.-H.Park, F.Frohlich), распространяющейся депрессии и мигрени (B.Grafstein, N.Zhou, M.Lauritzen, M.A.Dahlem). Если на физиологическом уровне разработано и опубликовано около десятка моделей этого процесса (многомерных, с десятками управляющих параметров), то публикации в области физического моделирования (минимально необходимые размерность и число параметров модели) крайне редки и основаны на простейшей двухкомпонентной модели типа реакции-диффузии, изначально слишком упрощенной, чтобы совместить локальную возбудимую динамику с механизмом развития самоподдерживающихся фронтов деполяризации.
Следующим шагом после исследования нейронных популяций с большим количеством клеток является исследование динамики и свойств систем, представленных крупными популяциями нейронов. Модели такого масштаба, как правило, не включают одиночных нейронов. Вместо этого используется, так называемый, "подход нейронных популяций", актуальный, в частности, при анализе процессов адаптационных свойств циркадного ритма человека. Посменная работа (например, в ночную смену), стала неотъемлемой частью 24-часового цикла активности современного человека. Наряду с преимуществами для общества в виде круглосуточного обслуживания, подобная рабо-
та приводит к увеличению сонливости посменных работников, что приводит к авариям и производственным травмам. Это особенно актуально в здравоохранении, транспортной и общественной системе безопасности, где смены работы являются широко распространенным, и жизнь зависит от производительности рабочих (T.Akerstedt, D.F.Dinges, S.Folkard, P.Philip, D.B.Boivin). Проблема адаптации к сменной работе интенсивно изучается последние десятилетия. Было показано, что увеличение интенсивности света в течение рабочей смены и темноты в течение перерывов может значительно улучшить адаптацию к сменам и уменьшить сонливость. Кроме того, предполагается, что некоторые графики смен должны быть эффективней в плане адаптации, чем другие (D.B.Boivin, S.M.W.Rajaratnam). Однако при наличии большого количества экспериментальных данных, полученных в разных условиях, возникает острая необходимость в новых количественных методах, позволяющих предсказывать способность к адаптации и степень сонливости для различных рабочих расписаний.
Были разработаны математические модели цикла сна-бодрствования, нацеленные на предсказание адаптации человека к нескольким графикам работы (A.A.Borbely, M.E.Jewett, M.M.Mallis, S.R.Hursh, E.Olofsen). Однако более общее прогнозирование долгосрочной динамики при наличии различных сменных графиков требует учета взаимодействия между динамическими цир-кадным и гомеостатическим механизмами, а также взаимодействия между окружающими факторами и динамикой сна-бодрствования, которые не реализованы к настоящему моменту в достаточной степени.
Еще более обобщенного подхода требует феноменологическое описание процессов, являющихся следствием сложной динамики нейросистем. К таким моделям можно отнести и модели, описывающие динамику психоэмоционального состояния человека в ходе психических расстройств.
Разработка математических моделей, воспроизводящих смену эмоциональных состояний в норме и при патологии, остается экзотической областью приложения нелинейной динамики, несмотря на то, что такие модели могут быть весьма востребованы нейрофизиологами и психиатрами. Особое место здесь занимают, так называемые, аффективные расстройства, при которых процесс смены эмоциональных состояний человека носит ярко выраженный переключательный характер. Среди существующих моделей в этой области можно выделить "модель биологических ритмов" и "модель возбуждения".
Модель биологических ритмов основана на данных 48 часового наблюдения циклов состояний у пациентов с биполярным расстройством и тенденции периодов возбуждения следовать за периодами депрессии с некоторой периодичностью. Высказывались предположения, что такая смена эмоцио-
нальных состояний является следствием некоторой ненормальности внутренних ритмов организма (F.A.Jenner, T.A.Wehr, A.Kukopulus, A.J.Lewy).
Модель возбуждения (kindling model) основана на наблюдении увеличения частоты выраженных эпизодов болезни при развивающемся биполярном расстройстве. При развитой болезни эпизоды становятся спонтанны, в то время как на начальной стадии они индуцированы стрессом (R.M.Post).
Каждая из упомянутых моделей предлагает свою концептуальную основу для понимания эволюции биполярного аффективного расстройства. Однако ни одна из них не объясняет частую и нерегулярную смену эмоционального состояния пациентов, фиксируемую в ежедневных отчетах настроения, полученных от амбулаторных больных. В уникальном экспериментальном исследовании A.Gottchalk, M.S.Bauer, Р.С. Whybrow (1995) с помощью техники реконструкции динамических систем и анализа временных рядов был сделан вывод о наличии признаков хаотической динамики в данных о смене настроения пациентов с развитым биполярным расстройством. Основываясь на этих результатах, в серии последующих работ развивался подход, основанный на предположении о наличии собственной хаотической динамики в процессе смены эмоциональных состояний (M.T.Huber, H.A.Braun). Имеется, однако, целый ряд вопросов касательно адекватности такого подхода и, в частности, о возможности альтернативных подходов к моделированию, основанных на представлениях из области стохастической динамики нелинейных систем.
Целью диссертационной работы являлось исследование основных закономерностей динамики стохастических моделей нейросистем различного уровня в ситуациях, когда потребности модификации и/или расширения модели требуют включения в нее дополнительных положительных обратных связей.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
-
Разработка и исследование модели, описывающей активность одиночного нейрона в условиях положительной обратной связи, возникающей при его чувствительности им же вызванным изменениям ионного и химического состава межклеточного пространства.
-
Расширение системы, разработанной в рамках задачи 1 на малые ансамбли нейронов. Выявление и исследование возникающих при этом новых динамических паттернов.
-
Разработка и анализ динамики математической модели, которая описывала бы основные пространственно-временные паттерны, характерные для явления распространяющейся кортикальной депрессии.
-
Исследование особенностей динамики модели нейросистемы с положительными обратными связями, разработанной на основе обобщенной идеологии "нейронных популяций и усредненных частот спайков" применительно к задаче моделирования циклов сна-бодрствования человека.
-
Разработка, на основе моделирования в рамках задачи 4, практических рекомендаций по организации посменной работы.
-
Разработка и исследование стохастической модели динамики психоэмоциональных состояний человека при аффективном расстройстве на основе подходов стохастической динамики нелинейных систем.
Методология работы
Методологически, данное диссертационное исследование основано на разработке или модифицировании математических моделей соответственно конкретной решаемой задаче, проведении серии вычислительных экспериментов для выявления типичных паттернов пространственно-временной динамики, и анализе результатов, направленных на формулирование обоснованных гипотез о механизмах обнаруженных эффектов. Этапы работы по каждой задаче при этом включали:
анализ литературы и разработку математической модели, методологически одинаковые для всех частей работы;
выбор и программирование вычислительных алгоритмов и методов проведения численных экспериментов;
собственно проведение численного эксперимента и исследование динамики модели.
Подбор алгоритмов и параметров интегрирования выполнялся по двум важным критериям - точность и производительность вычислений. К этому разделу работы так же относится разработка вычислительного метода на основе технологии проведения параллельных вычислений на графических процессорных устройствах и генерация шума при использовании подобного вычислительного подхода. Было разработано специализированное программное обеспечение, использованное для моделирования двумерных сред с пространственной неоднородностью.
Параметры разработанных математических моделей настраивались для воспроизведения экспериментальных результатов, после чего проводился анализ поведения системы для различных значений параметров, выбранных в зависимости от характера задачи.
Научная новизна
Научная новизна ряда результатов данной работы обусловлена разработкой новых моделей нейросистем и их модификаций, а также применением новых подходов к исследованию их динамики. В частности:
Разработана новая функциональная модель серотонинергического нейрона в двух вариантах, воспроизводящих свойства нейрона-резонатора и нейрона-интегратора и учитывающая на качественном уровне эффекты авторсцспции к произведенному ссротонину.
Впервые выполнен систематический анализ вклада внеклеточного пространства в стохастическую динамику моделей нейросистем на различных уровнях, от одиночного нейрона до крупных (порядка 250000 единиц) ансамблей.
Впервые обнаружен и объяснен эффект индуцированных шумом пространственно-упорядоченных паттернов генерации в малом ансамбле модельных нейронов, встроенных в среду.
Предложен и обоснован новый вариант математического описания пространственно-временных паттернов, сопровождающих явление распространяющейся корковой депрессии в форме четырехкомпонентной модельной системы типа реакции-диффузии.
На основе математической модели циклов сна-бодрствования было впервые предложено теоретическое описание зависимости скорости адаптации циркадных ритмов человека к работе в ночную смену в зависимости от времени ее начала.
Предложен новый подход к феноменологическому моделированию динамики психоэмоциональных состояний человека при аффективных расстройствах.
Теоретическая и практическая значимость работы
Теоретическая значимость результатов диссертационной работы заключается в том, что:
Предложена новая парадигма построения моделей нейросистем, соглас
но которой базовым элементом ансамбля является модель нейрона вкупе
с прилежащим фрагментом межклеточного пространства. Как доказывают результаты работы, такой подход позволяет адекватно учесть и описать ряд эффектов, определяющих поведение реальных живых систем.
Разработано теоретико-модельное обоснование для исследования закономерностей формирования и эволюции пространственно-временных паттернов активности при распространяющейся кортикальной депрессии. Предложенный подход дает основу для последующего развития математических моделей данного класса с целью учета таких факторов, как пространственное перераспределение кровотока и нелинейные характеристики нейроваскулярной связи.
Практическая значимость результатов диссертационного исследования определяется разработанным в ходе исследования модели "сон-бодрствование" набором рекомендаций, которые могут найти прямое применение при организации работы в ночную смену в индустрии и круглосуточных службах (пожарные, полиция, медицинские службы и т.п.). Следование данным рекомендациям позволит снизить риск несчастных случаев, обусловленных высоким уровнем "сонливости", а так же уменьшить вред для здоровья сотрудников, вызванный недостаточной адаптированностью циркадных ритмов к режиму работы.
Положения и результаты, выносимые на защиту:
Положение 1.
Моделирование основных динамических режимов, обусловленных взаимодействием нейрона с прилежащим фрагментом межклеточного пространства, может быть реализовано путем введения в двумерную модель возбудимой системы дополнительного уравнения для динамической переменной, играющей роль второго активатора.
Положение 2.
Типичные пространственно-временные паттерны распространяющейся кортикальной депрессии имеют математический образ в виде динамических режимов стохастической четырехкомпонентной модели типа реакции-диффузии, включающей две переменные-активатора и две переменные-ингибитора. Конкретный тип пространственно-временного паттерна может быть активирован комбинацией граничных условий Дирихле и Неймана на границе модельной среды в условиях наличия шума.
Положение 3.
Основные закономерности краткосрочной и долгосрочной динамики психоэмоциональных состояний при биполярном аффективном расстройстве могут быть воспроизведены феноменологической моделью в виде стохастического тристабильного осциллятора, способность потенциальной функции которого к медленной эволюции формирует положительную обратную связь.
Результат 1.
Практические рекомендации по организации работы в ночную смену, основанные на результатах теоретического исследования с использованием модели Филлипса-Робинсона-Хилайра циклов сна и бодрствования человека.
Достоверность полученных результатов подтверждается качественным соответствием между пространственно-временными паттернами динамики моделей, полученными в ходе вычислительного эксперимента и доступными экспериментальными данными по моделируемым системам; использованием вычислительных схем, ранее обоснованных и верифицированных для применения в схожих задачах; критическим анализом всех основных результатов исследования со стороны рецензентов в процессе их опубликования в реферируемых научных журналах.
Апробация результатов и публикации: По теме диссертационного исследования опубликовано 6 статей в реферируемых российских и международных научных журналах, входящих в перечень ВАК. Зарегистрировано шесть результатов интеллектуальной деятельности (программ для ЭВМ). В целом (включая РИД, реферируемые статьи и публикации в сборниках конференций) результаты работы были представленны в 18 публикациях, а также использованы в ходе выполнения трех НИР: грант РФФИ 09-02-01049, НИР № 3.1340.2014/К в рамках проектной части госзадания Минобрнауки РФ, грант "УМНИК" № 9928р/14246, а также были доложены в ходе 16 научных конференций, в том числе: "Нелинейные дни - 2009, 2011" (г. Саратов), "Statlnfo - 2009" (г. Саратов), "Saratov Fall Meeting - SFM 2010,2011,2012,2014" (г. Саратов), Седьмая Саратовская Выставка Изобретений, Инноваций и Инвестиций (г. Саратов), "BMI day 2013" (Copenhagen, Denmark), International workshop "Mathematical Modelling and Statistical Analysis in Neuroscience" (2014, Copenhagen, Denamrk), студенческих конференциях и семинарах СГУ.
Личный вклад. Большая часть вычислительных экспериментов, анализа данных, а так же разработки программного обеспечения, представленные в данной работе, были выполнены непосредственно автором. Разработка математических моделей и постановка задач выполнялась автором вместе с соответствующими соавторами, которые перечислены в основных публи-
кациях по главам. Структура и задача диссертации сформулирована автором совместно с научным руководителем.
По главам диссертационной работы личный вклад автора состоит в следующем:
В главе 1: Разработка и оптимизация вычислительных модулей, использующих технологию параллельных вычислений на графических процессорных устройствах (основной метод вычислительного эксперимента - в последующих главах работы). Адаптация алгоритма и верификация оригинального метода моделирования неоднородностей двумерной среды.
В главе 2: Разработка модели серотнинергического нейрона совместно с соавторами. Разработка программы ЭВМ, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов. Совместная интерпретация результатов. Работа над текстом статьи.
Совместная разработка упрощенной модели системы нейрон+среда. Программирование модели, проведение вычислительных экспериментов, анализ результатов. Совместная интерпретация механизма наблюдаемой динамики.
В главе 3: Проведение вычислительных экспериментов, анализ результатов. Самостоятельная интерпретация результатов, относящихся к формированию волн повторного возбуждения. Участие в разработке математической модели РКД. Оптимизация вычислительного алгоритма (использование текстурной памяти) для стимуляции динамики крупных ансамблей нейронов. Программирование модели. Проведение вычислительного эксперимента, анализ данных и механизмов. Работа над иллюстрациями и текстом статьи.
В главе 4: Совместная адаптация модели циклов сна-бодрствования для анализа динамики циркадных ритмов в условиях работы в ночную смену. Адаптация программного кода модели для кластерных вычислений. Проведение вычислительного эксперимента. Совместная интепретация результатов и написание текста статей. Самостоятельная разработка модели биполярного аффективного расстройства, анализ, интерпретация и подготовка результатов к публикации.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из вводной части, четырех глав, заключения, списка сокращений и списка литературы. Объем работы составляет 147 страниц текста, включает 33 иллюстрации, 1 таблицу. В список литературы включено 186 источников.
Особенности генерации шума
Для вычислительного эксперимента с использованием моделей двумерных сред, включая наличие геометрических неоднородностей в этих средах, использовалось программное обеспечение "AGEOM CUDA" (Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2012610085, от 10.01.2012), разработанное с участием автора данной работы.
AGEOM CUDA - это вычислительный инструмент для моделирования колебательных и волновых процессов в двумерных средах произвольной геометрии на базе технологии CUDA. Ядро программы написано на комбинации языков С, CUDA С, а графический интерфейс на языке tclk и OpenGL. Помимо возможности интегрировать математические модели и выводить результаты в виде изображений в реальном времени, AGEOM включает в себя уникальную (на момент разработки первой версии) технологию кодирования геометрии и типов элементов.
Метод кодирования типов элементов (и соответственно, геометрической формы) заключается в создании индексированного gif изображения в любом графическом редакторе. В левом верхнем углу изображения располагается необходимая цветовая кодировка в виде ряда пикселей соответствующего цвета. Все остальное изображение представляет собой маску, состоящую из элементов, заявленных в кодировке цветов. Полученная маска в дальнейшем считывается программой как один из входных параметров и, в соответствии с заданной математической моделью, различным цветам в маске задаются элементы с различным описанием. Подобный подход позволяет быстро и с "креативностью" создавать сложные шаблоны для исследуемых сред.
Ниже вопросы реализации вычислительного эксперимента обсуждаются применительно к модели активной среды, локальная динамика которой описывается уравнениями ФитцХью-Нагумо [17,24]. В данной модели, отклик точки среды на стимул может активировать соседние точки и, тем самым, инициировать волновой фронт, который двигается от начальной точки. Это согласуется с хорошо известной парадигмой возбудимой среды, и есть обширный и активно растущий объем теоретических и вычислительных работ на эту тему [132,133]. При этом специфика пространственной структуры возбудимой среды может способствовать формированию сложных динамических моделей. Поэтому особого внимания заслуживает вопрос о работе различных вычислительных подходов и алгоритмов на границах различного типа. Предположим, что каждый элемент двумерной возбудимой среды описывается с помощью модели ФитцХью-Нагумо с диффузией по быстрой переменной v (активатор):
Функции а(х,у), b(x,y), (x,y,t), 1(х,у), и А(х,у) введены с целью задания пространственной неоднородности рассматриваемой системы. А именно, а(х,у) управляет локальной динамикой, которая является самоподдерживающейся для а(ж,г/) 1 и возбудимой при \а(х,у)\ 1; /2D {x,y,t) представляет пространственно некоррелированные случайные силы, то есть белый Гауссов шум с интенсивностью D; и, наконец, A(x,y)f(t) отвечает за внешний стимул в виде импульсов /() величины А(х,у), которая имеет ненулевое значение только для пространственных элементов, которые относятся к стимулируемым элементам. Функция Ь(х,у) позволяет управлять локальными свойствами среды. Так, ее приравнивание нулю или единице позволяет "выключить" или "включить" локальную динамику. Нулевое значение Ь(х,у) соответствует чисто диффузионным свойствам элемента среды, как, например, в модели [134,135]. Наконец, 1{х,у) принимает значения 0 или 1 и, таким образом, описывает среду с диффузией или без нее.
Непрерывно-дискретное и дискретное представления модели. Как известно, моделирование пространственно-временной динамики нелинейных систем требует выбора адекватных числовых методов. Существуют различные подходы к описанию пространственно распределенных моделей. Часто используемая дискретная аппроксимация означает, что исходную непрерывную систему, записанную в форме дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), можно заменить сеткой систем обыкновенных дифференциальных уравнений, взаимодействующих локально, посредством диффузии. Такой подход позволяет легко смоделировать пространственную неоднородность рассматриваемой системы. Другой подход основан на численном решении исходной задачи как принципиально непрерывной среды.
Во многих случаях оба подхода обеспечивают одинаковый результат. Однако для решаемых нами задач степень влияния процедуры дискретизации среды зачастую трудно оценить, поэтому ниже проведено сопоставление их результатов по отношению к пространственной неоднородности.
Здесь Ar и h - временной и пространственный шаги дискретизации, соответственно, индексы пит указывают на ячейки решетки (1 п,т Lp + 1), vnm, vnm и vnm (и другие компоненты модели указанные в таком виде) показывают значения v в точке с координатами (п + l)h,(m + l)h в момент времени т (соответствующие значения предполагаются известными), т + Аг (в который необходимо получить решение) и г + Дт/2 (вспомогательный момент времени), fnm - правые части уравнений в момент т + Дт/2. Чтобы определить fnm, предварительно необходимо посчитать vnm и wnm:
Система линейных алгебраических уравнений (1.4)-(1.7) решается известными методами [137,138], чтобы определить vnm и, наконец, wnm рассчитывается в соответствии с формулой. После чего цикл повторяется. Моделирование пространственной неоднородности Согласно уравнениям (1.1)-(1.2) и (2.12)-(2.16), пространственная структура модели может быть представлена в виде матрицы параметров a(i,j),b(i,j),A(i,j), и I(i,j), где г и j принимают целые значения в пределах сетки LxL. Чтобы сделать это, мы определяем пространственную структуру в виде пиксельных файлов изображений с индексированным набором цветов, где каждый цвет кодирует определенный тип динамики. Например, цвет пикселя "О" в точке (i,j) означает, что b(i,j) = О и I(i,j) = 0. Это значит, что в данной точке "нет локальной динамики" и "нет диффузии". Другой цвет может значить рост или уменьшение значения a(i,j), и т.д. Такая методика обеспечивает простой способ создания неоднородности для непрерывных и решетчатых моделей (однако особенно она эффективна для вторых).
Результаты моделирования представлены в виде последовательности кадров для последующих моментов времени, а гладкая цветовая гамма используется для отображения выбранной переменной модели, значение которой зависит от положения в пространстве и времени.
Рисунок 1.1 показывает распространение волн возбудимости, полученное двумя методами: согласно (1.4)-(1.7)(а), и "решеточным" подходом 200x200 (Ь). Черные области имеют фиксированное значение v = —1.0. Можно рассматривать эту область в качестве функциональной модели (например, поврежденной в результате инфаркта области миокарда в применении к сердечной динамике). В области ниже пунктирной линии локальная динамика выключена. Внутри пунктирной окружности а = 0.0, в то время как для других цветных областей а(х,у) = 1.05.
Сравнивая иллюстрации, можно сделать вывод, что оба метода обеспечивают качественно аналогичные результаты на первой и второй паре кадров. Тем не менее, третья пара кадров значительно отличается. Как можно видеть, распространение волн в неоднородных условиях является более медленным для решетчатой модели. Это различие становится менее выраженным для больших пространственных масштабов или для увеличенных коэффициентов диффузии.
Баланс серотонина в межклеточном пространстве
При интерпретации всего описанного выше, с точки зрения нейродинамики, представляет интерес, как меняется частота генерации (то есть, степень активности нейрона) в зависимости от величины параметра IQ, который отображает суммарный эффект различных внешних влияний. На Рис. 2.2 (а) и (Ь) показаны два семейства таких зависимостей в случае, когда возбудимая подсистема модели соответствовала нейрону-резонатору (2.1) и нейрону-интегратору (2.2), соответственно. Кривые 1-5 соответствуют различной скорости роста переменной z, то есть, различному выбору параметра сзд. Хорошо видно, что наиболее значительное изменение частоты приурочено к области 10 « — 1 и тем более выражено, чем меньше «о- Сопоставление кривых для случаев нейрона-резонатора и нейрона-интегратора показывает, что при общем подобии (рост активности при достижении IQ —1), имеется существенная разница, обусловленная различием свойств самих моделей. А именно, для нейрона-резонатора переход между состояниями низкого и высокого уровня активности носит переключательный характер, тем более выраженный, чем меньше OLQ. Максимальная частота, а значит, и максимальный выброс серотонина, практически не зависят от силы стимуляции, если она превышает некоторый порог. Для нейрона-интегратора, напротив, реакция на изменение силы стимула гораздо более выражена при высокой активности, когда наклон кривых существенно больше.
Подытоживая описание особенностей автономной динамики исследуемой модели, можно заключить, что она успешно воспроизводит два основных типа состояния (низкой и высокой активности) серотонин-генерирующего нейрона, при которых выброс серотонина пренебрежимо мал, либо значителен, соответственно. Характер перехода между этими состояниями зависит от того, какой тип возбудимой системы (интегратор или резонатор) использован в модели, что, в свою очередь, должно обосновываться применительно к конкретному объекту моделирования и представляет собой отдельную задачу, выходящую за рамки данной главы.
Как было показано выше, в режиме низкой активности модель серотонин-генерирующего нейрона генерирует импульсы-спайки с большими временными интервалами между ними. На протяжении этих межспайковых интервалов модельная система, как и живой нейрон, демонстрирует возбудимые свойства, откликаясь на внешнюю стимуляцию посредством генерации одного или пачки спайков. При этом наличие слабого деполяризующего тока, активацию которого описывает уравнение для переменной z, существенно влияет на характеристики отклика. На Рис. 2.3 показан пример: на модель в режиме низкой активности (/о = —1.005) в интервале времени t Є [50; 150] действует внешний сигнал в виде пачки импульсов (не показано), которые активируют рост переменной s, описывающей синапс. В ответ на такую стимуляцию модель также генерирует пачку импульсов, но ее структура существенно отличается от вида стимула. А именно, сначала наблюдается отклик в виде двух импульсов, затем - интервал "молчания", и лишь потом генерируется непрерывная последовательность импульсов.
Механизм наблюдаемого эффекта обусловлен несколькими факторами. Во-первых, переменная s, транслирующая внешний стимул, нарастает относительно медленно, что отражает интегрирующие свойства синапса. Во вторых, постоянный прирост переменной z (нижняя панель Рис. 2.3) уменьшает текущий порог срабатывания возбудимой подсистемы. В третьих, генерация единичного импульса вызывает неполный (не до нуля) сброс переменной z.
В итоге для показанной на рисунке ситуации, при появлении стимула на входе и начале роста s, переменная z имеет достаточно большое значение, порог возбуждения низок, и первый импульс генерируется при неполной активации синапса (s = 0.05). В результате этого события z резко падает до z = 0.35, порог возбуждения нарастает, но рост s компенсирует это, что приводит к генерации второго импульса. При этом z падает до 0.12, в то время как рост s замедляется. По этой причине и возникает интервал "молчания". Когда же s возрастает до s 0.1, переменная z уже не играет определяющей роли и генерируется непрерывная пачка импульсов до окончания действия стимула.
Как следует из описания выше, конкретная последовательность событий существенно зависит от того, какое значение имеет z в момент прихода внешнего стимула. Чем оно больше, тем быстрее будет сгенерирован первый импульс отклика, но тем вероятнее последующий интервал "молчания" перед формированием непрерывной пачки импульсов отклика нейрона. Напротив, при приходе стимула сразу после или же в момент спонтанной генерации очередного импульса, когда порог возбуждения максимален, время реакции (от появления стимула до первого ответного импульса) будет максимально, но пачка ответных импульсов будет без разрывов. Таким образом, сам вид отклика модели серотонин-генерирующего нейрона на внешний стимул в виде последовательности импульсов зависит от фазы ее внутреннего ритма. Подобные свойства в более простой форме наблюдаются у нейронов с подпороговыми колебаниями [147].
Анализ поведения модели нейрона в присутствии флуктуации не менее важен, чем изучение детерминированной динамики. Наличие шума в уравнениях имитирует как разнообразные флуктуации окружения, так и нерегулярный характер интегрального воздействия со стороны других нейронов.
С точки зрения теории колебаний модель серотонин-генерирующего нейрона представляет собой автоколебательную систему. Основным результатом действия флуктуации в этом случае является уширение пика в спектре мощности и в распределении межспайковых интервалов [148]. Однако данная модель обладает и свойствами возбудимой системы, поведение которых под действием флуктуации интенсивно изучалось в последние 15 лет прежде всего в контексте эффекта когерентного резонанса [10,149]. Как было показано, генерация импульсов такой системой может быть как случайной (что ожидаемо), так и весьма упорядоченной (при некоторой оптимальной интенсивности шума).
Для изучения поведения модели (2.7)-(2.11) в уравнения был добавлен белый Гауссов шум є{ї) с нулевым средним и амплитудой D, как флуктуирующая часть параметра /о- На Рис. 2.4 приведено распределение межспайковых интервалов (ISI), как в детерминированном режиме (D = 0), так и при действии шума небольшой интенсивности (D = 0.001). Как можно видеть, в первом случае распределение состоит из единственного узкого пика на ISI = 98.12, что соответствует периоду, задаваемому скоростью роста переменной z. Наличие шума существенно меняет вид распределения: основной пик существенно расширяется и значительно смещается влево. Кроме того, в распределении появляется еще один пик на ISI = 3.2. Наблюдаемая реакция на шум не соответствует ожидаемой ни для автоколебательных, ни для возбудимых систем. А именно, в первом случае ожидаемо расширение максимума распределения, мы же, помимо этого, имеем его значительный сдвиг по частоте. Для возбудимых систем характерно формирование "хвоста" распределения в области больших ISI, чего также не наблюдается.
Полученные результаты могут быть интерпретированы следующим образом. Слабый шум способен вызвать генерацию импульса тогда, когда порог возбуждения низок, то есть, при больших значениях z. В результате импульс генерируется (в среднем) раньше (при меньшем значении z), чем это произошло бы в отсутствие шума. После генерации импульса порог возбуждения вновь высокий, и шум практически не оказывает действия на систему. Таким образом, шум уменьшает межспайковые интервалы, что и наблюдается на Рис. 2.4 как сдвиг основного максимума распределения влево.
Индуцированные шумом волны повторного возбуждения
Проанализируем локальную динамику системы, временно игнорируя пространственные связи и приняв медленные переменные z и и за контрольные параметры.
Основные свойства модели проиллюстрированы на Рис. 3.4 (а), где представлены нульклины подсистемы v,w для четырех комбинаций значений z и и. Значения z и и входят в уравнения (3.1,3.2) и, тем самым, контролируют относительное положение v,w нульклин. Когда z и и инактивированы (z = 0 и и = 0), положение нульклин указывает на наличие единственного и устойчивого состояния равновесия.
При z = 1 (но и = 0) нульклины пересекаются в правой части кубической параболы. Это состояние является устойчивым и возбудимым, однако, характер возбудимости необычен: спайки поляризации с негативным v могут появиться как отклонение от высокого уровня деполяризации v [153].
Стоит отметить, что при среднем времени наблюдения (t єи) эффект воздействия и на динамику системы исчезающе слаб. Однако, когда и начинает расти, т.е. обе переменные z и и активированы, тогда динамика системы теряет свои возбудимые свойства. Заметим, что и входит в уравнения(3.1)и (3.2) таким образом, что правая ветвь кубической нульклины уменьшается, в то время как линейная нульклина смещается вверх. С установлением и 1, z начинает уменьшаться, так как единственная точка равновесия теперь расположена в области отрицательных значений v. На этой стадии кубическая нульклина сдвигается вниз, как указано в нижних панелях рисунка 3.4 (а). После чего медленное восстановление и возвращает систему в состояние z = 0,и = 0, отображенное в левой верхней панели рисунка.
По отношению к динамике оригинальной модели ФитцХью-Нагумо, модель (3.1)-(3.6) обладает некоторыми новыми свойствами, обусловленными включением переменных z и и. Так как динамика и предполагается очень медленной, влияние этой переменной можно оценить в квазистационарном приближении, рассматривая и в качестве управляющего параметра. Положим au = 0 и рассмотрим поведение модели (теперь состоящей из 3-х компонент) по отношению к параметрам ez и az, с остальными параметрами, зафиксированными при А(х,у) = 0.5, В = 1.1, є„ = 0.04, тг = 1.0, п = 1.5.
Диаграмма на рисунке 3.4 (Ь) показывает линии смен режимов на плоскости параметров ez,az, что важно для понимания поведения системы. Стоит отметить, что во всей области диаграммы существует состояние покоя EQ. ОНО расположено в (v,w,z) = (—1.06,-0.66,0) и "унаследовано" от исходной модели ФХН.
Из-за положительной обратной связи, обеспечиваемой z, выше линии /5 появляется второе устойчивое положение равновесия Е\, для которого z az, анию- положительны. Серая область между 1\ и /г соответствует существованию еще одного устойчивого предельного цикла. Таким образом, в серой области выше /5 в фазовом пространстве модели присутствует три аттрактора. 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0
Областв параметров, в которой наблюдается устойчиввій пределвнвій цикл, закрашена сервім. В заштрихованной области наблюдается явление "отраженой волнві". Закрашеннвіе области А и В соответствуют ввібору управляющих параметров для резулвтатов, которвіе описанві ниже на Рис. 3.5 и 3.6, соответственно. Возбудимая динамика системы обусловлена наличием петель траектории (псевдо-орбит, следуя [142]), которые проходят около точки равновесия, но возвращаются спустя длительное время. Точка равновесия EQ имеет подобную псевдо-орбиту ниже линии U. Для больших az, траектории стремятся в точку Еі, в связи со значительным ростом z, при условии, что v принимает положительные значения. Аналогично, /з соответствует значениям параметров, при которых Е\ демонстрирует возбудимое поведение. Ниже /з точка Е\ перестает быть возбудимой и траектории быстро СХОДЯТСЯ К EQ.
На основе анализа диаграммы, можно выделить области параметров, соответствующие различному поведению модели. Ниже линий її и /5 модель демонстрирует возбудимую динамику, характерную для системы ФитцХью-Нагумо. В серой области возможно индуцированное стимулом и/или шумом самоподдерживающееся колебательное состояние. В зависимости от значений ez и az, здесь могут быть найдены различные комбинации возбудимых свойств точек Е0 и Ei. Вблизи ez = 2 и az = 1.1 обе точки равновесия могут быть возбудимы, однако, отсутствуют устойчивые предельные циклы. Для значений ег 2 и az 0.92 система находится в бистабильном режиме, возбудимых траекторий нет, т.к. притягивающие бассейны Е0 и Ei разделены седловой точкой Е3, расположенной между ними.
Динамика, задаваемая (3.1)-(3.6), локализована в выбранной точке двумерной среды. Согласно уравнениям, взаимодействие с другими точками среды может осуществляться посредством диффузии z и через зависящую от времени и положения функцию C(x,y,t) в уравнении (3.1), которая отображает наличие синаптических связей межу нейронами. Как обсуждалось выше, мы предполагаем, что C(x,y,t) сильно нерегулярна и в пространстве и во времени, и потому аппроксимируем ее шумом C(x,y,t) = D(x,y,t), где () - белый Гауссов шум с нулевым средним и амплитудой D.
Двумерное представление описанной выше модели было реализовано на сетках размером 100 х 100 или 460 х 66 элементов. В ходе вычислений записывались временные реализации из выбранных точек и генерировалась последовательность изображений в определенной цветовой кодировке, отображающая пространственно временную вариацию значений z.
В работе использовались различные граничные условия Неймана, как имитация анатомической границы между возбудимой и невозбудимой тканью без какой-либо диффузии, а также граничные условия Дирихле, описывающие раздел двух функциональных состояний биоткани, в одном из которых концентрация калия или глютамата зафиксирована на нормальном. В отличии от границы Неймана, через эту границу имеется, в общем случае, ненулевой поток z. 3.3.4 Паттерн развития РКД
На рис. 3.5 представлены результаты компьютерного моделирования развития РКД в виде изображений в цветовой кодировке, полученных в различные моменты времени. На нижней панели показаны соответствующие временные реализации z{t) и v(t), значения которых усреднены по 8 точкам в центральной части шаблона. В ходе вычислений время восстановления ez было выбрано достаточно большим, чтобы реакция переменной z была значительно медленнее в сравнении с возбудимой динамикой нейронов. Такой выбор ez соответствует относительно большой доле объема внеклеточного пространства по отношению к внутриклеточному.
На рисунке 3.5 показана округлая область, заполненная модельной средой. Границы соответствуют граничному условию Неймана. Пространственная реализация модели представляет собой сетку размером 100 х 100, что сопоставимо с толщиной фронта возбуждения от деполяризованной области. Кадр (а) иллюстрирует "нормальный" режим работы нервной ткани, при котором наблюдаемая активность индуцирована шумовым воздействием соответствующей интенсивности D = 0.0045. Этот режим имитирует обработку некоего случайного сигнала [153]. Согласно рисунку, каждый нейронный спайк приводит к образованию небольшого участка повышенного значения переменной z, которая диффундирует в окружающую область. Тем не менее, это не обеспечивает самоподдерживающуюся пространственно когерентную активность. На графиках нижних панелей, для t 300 можно наблюдать спонтанные спайки нейронов, в то время как среднее z остается близким к нулю.
Снимок (Ь) был сделан в момент, когда небольшой участок в левой части среды активирован приложенным интенсивным стимулом. Это событие запускает формирование волны распространяющейся деполяризации, которая медленно двигается, захватывая всю доступную часть модельной среды.
На снимке (с) вся область занята перевозбужденными нейронами. При выбранном значении az = 1.154 высокий уровень активности наблюдается в каждой точке среды (то же видно и из нижней панели). Переменная z имеет высокое, но плавно спадающее значение.
Снимки (d) и (е) показывают этапы возникновения и распространения подавления активности. Заметно, что непосредственно после того, как нормальный уровень z восстанавливается (черный цвет на снимках), индуцированная шумом активность все еще подавлена. Временные реализации v внизу также подтверждают, что нейроны не реагируют на воздействующий шум.
Наконец, на временах больше, чем время восстановления, восстанавливается первоначально наблюдаемая картина пространственно некогерентной, вызванной шумом активности, как показано на снимке (f).
Моделирование экспериментального протокола
Здесь а и b определяют форму Un(x), у- и у+ задают рельеф боковых областей, представляющих аффективные состояния (посредством U- и U+ соответственно), a d устанавливает положение этих областей относительно центральной. На рисунке 4.10 приведены графики Е{х) для различных значений у = у+ = у_. Как можно видеть, при у = 0.5 потенциальная функция имеет две полочки при ж +1иж — 1. Очевидно, при выбросе частицы в эти области, она проведет в них некоторое время, так как скорость релаксации к центральному состоянию мала, но затем вернется в центр. Мы соотносим такую динамику модели с нормальной реакцией эмоционального состояния человека на сильные кратковременные воздействия, приводящие к временному эмоциональному подъему или спаду.
В клинической практике одним из характерных симптомов развития аффективного рас стройства считается переход в самоподдерживающееся состояние (например, депрессивное), в ответ на разовый эмоциональный "толчок". В рамках нашей модели это означает наличие локального минимума потенциальной функции Е{х) в области — 1. Как можно видеть из рисунка 4.10, это условие выполняется при у 0.5.
Другой характерной особенностью аффективных расстройств является их выраженная эволюция с течением времени: на начальном этапе болезни частота и длительность эпизодов аффективных состояний возрастают, а при развитом аффективном расстройстве психика больного практически не возвращается к норме, постоянно переключаясь между аффективными состояниями. На языке модельного описания такому изменению эмоциональной сферы должна быть сопоставлена соответствующая эволюция вида потенциальной функции Е(х), управляемая предысторией изменения самого состояния x{t). С этой целью в модель добавлены уравнения, задающие медленное изменение величин у+ и у_ в зависимости от временной реализации х:
В этих уравнениях рост или спад у+ и у_ управляется величиной О (ж), которая принимает значения, близкие к единице, когда х достигает значений, соответствующих аффективным состояниям х +1 или х — 1. Параметры ( и / задают значения скорости роста и спада у+ и у_. Поскольку при биполярном аффективном расстройстве (в отличие от, например, клинической депрессии) позитивное и негативное аффективные состояния примерно равновероятны, в дальнейшем положим а- = а+ = а и /3_ = j3+ = /3. Соотношение а и /3 устанавливает баланс роста и релаксации у+ и у_ в ответ на изменение х и, таким образом, моделирует степень устойчивости эмоциональной сферы. При росте значения /3 или уменьшении а устойчивость возрастает, а эволюция формы потенциальной функции Е{х) в ответ на воздействующие факторы в виде rq{t) замедляется.
Внутреннее и внешнее воздействие на эмоциональную сферу представлено в нашей модели шумовой добавкой r](t). Детальное обоснование требуемых характеристик r](t) представляет собой отдельную задачу, которая выходит за рамки нашей работы. Мы используем упрощенное представление, основанное на следующих соображениях: 1) Такой процесс должен обладать конечным временем корреляции, так как требуется некоторое время для, например, распознавания внешнего воздействия. 2) Помимо случайной составляющей, имеют место ритмические компоненты. Например, известны сезонные обострения у больных, эмоциональный фон у многих еженедельно выше перед выходными и ниже в понедельник, утренние часы у одних людей - самые продуктивные, а у других - наоборот, и т.д.
В соответствии с вышесказанным, для r](t) была использована модель цветного шума (процесс Орнштейна-Уленбека) [183] с добавленными периодичными функциями: Здесь є определяет время корелляции, a D - задает интенсивность шума. Вклад ритмических составляющих представлен суммой синусоидальных функций с различными периодами Tj и амплитудами А,-, индексы s,w и d обозначают сезонный, недельный и дневной ритмы, соответственно.
Типичный набор значений управляющих параметров модели (4.15)-(4.22) для описанных ниже результатов вычислительного эксперимента следующий: а = 0.1; Ъ = 0.05; d = 1.5; a,i = 0.0005; (ЗІ = 0.00005; Td = 14.4; Tw = 70.8; Ts = 5256.0; є = 0.01; D = 17.
Подбор вида модели (4.15)-(4.22) изначально осуществлялся с оглядкой на известные экспериментальные результаты. Однако само по себе это не гарантирует, что конкретный вид временной реализации, а тем более, ее статистические характеристики будут соответствовать экспериментальным данным. На рисунке 4.11 результаты вычислительного эксперимента сопоставляются с фрагментами экспериментально записанных временных реализаций, вид которых характерен для больных биполярным аффективным расстройством (справа вверху) и группы контроля (справа внизу). В левой колонке приведены временные реализации переменной х модели (4.15)-(4.22), полученные при фиксированных значениях у = 0.99 (вверху) и у = 0.5 (внизу). Как можно видеть, поведение модели действительно воспроизводит характерный вид временной реализации. По этому рисунку можно также оценить соответствие между безразмерным временем модели и реальным временем. Такая оценка дает: At = 1.0 1 час, при этом эквивалентная длительность приведенных на рисунке 4.11 слева временных реализаций составляет примерно год и два месяца.
В работе [119] центральный вывод о наличии признаков детерминированного хаоса в динамике эмоционального состояния больных делается на основании оценки размерности пространства вложения реконструированного хаотического аттрактора [182,184]. Реконструкция производилась методом, основанным на теореме Такенса, путем выборки N точек, разделенных заданным временным интервалом. Далее рассчитывалась корреляционная размерность Dcorr реконструированного участка траектории в фазовом пространстве размерности N. Наконец, строился график зависимости Dcorr от N, по которому делался вывод о наличии или отсутствии детерминированной составляющей, соответствующей конечномерному аттракто-РУ Мы повторили вышеописанную процедуру применительно к временным реализациям нашей модели. Полученные результаты приведены на рисунке 4.12, где также воспроизведен вид кривых из [119] для сопоставления.
Как можно видеть, имеет место не только качественное, но и неплохое количественное совпадение результатов. А именно, нижняя пунктирная кривая, описывающая результаты [119] для больных биполярным аффективным расстройством и кривая 1 демонстрируют насыщение на уровне Dcorr и 4, в то время как пунктирная кривая, соответствующая группе контроля и кривая 2 проходят значительно выше, не достигая насыщения.