Регулярные и хаотические колебания в дробных и дискретных осцилляторах Карлов Артем Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

1.1.1. Уравнение движения активного осциллятора с дробной цепью возбуждения для дробного показателя

1.2. Динамика активного осциллятора с дробной цепью возбуждения для дробного показателя 0 а 2 25

1.2.1. Уравнение движения автогенератора с дробным возбуждением при 0 а 2 25

1.2.2. Условия возбуждения и установившиеся автоколебания 26

1.2.3. Процесс установления автоколебаний 1.3. Модель активного осциллятора с дробной цепью обратной связи 31

1.4. Модель активного осциллятора с нелинейной дробной диссипацией 36

1.5 Модель активного осциллятора с линейной дробной диссипацией 45

1.6. Заключение первой главы 47

Глава 2. Численные модели дробных и дискретных осцилляторов 49

2.1. Дифференциально-разностная модель активного осциллятора с дробным

2.3.2. Моделирование автоколебаний в осцилляторе Ван дер Поля 65

2.3.3. Трансформация вычислительного алгоритма в ДВ-систему 70

2.3.4. Моделирование автоколебаний в дробном осцилляторе Ван дер Поля. 75

2.3.5. Дискретное отображение дробного осциллятора Ван дер Поля 80

2.6. Заключение второй главы 104

Глава 3. Дробные и дискретные осцилляторы с внешним воздействием 105

3.2. Параметрический резонанс в нелинейном ДВ-осцилляторе 113

3.2.1. Проектирование параметрических ДВ-осцилляторов 114

3.2.2. Основной параметрический резонанс в ДВ-осцилляторе Матье

3.2.3. Основной параметрический резонанс в ДВ-осцилляторе с нелинейной

3.3.2. Анализ колебаний в активном дробном осцилляторе с внешним

3.3.3. Частотные характеристики синхронизированного осциллятора

3.3.4. Устойчивость стационарных режимов синхронизированных колебани130

3.3.5. Синхронизация генератора с дробной линейной диссипативной цепью131

3.4. Активный дробный осциллятор под действием широкополосного шума 134

3.4.1. Математическая модель дробного автогенератора с шумовым

3.4.4. Амплитудно-частотные флуктуации автоколебаний 139

3.7. Заключение третьей главы 157

Заключение

• Уравнение движения автогенератора с дробным возбуждением при 0 а 2
• Моделирование автоколебаний в осцилляторе Ван дер Поля
• Дискретное отображение дробного осциллятора Ван дер Поля
• Частотные характеристики синхронизированного осциллятора

Введение к работе

Актуальность темы исследования

Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам теории и практических применений «неклассических» осцилляторов томсоновского типа. Неклассичность состоит в наличии дробных (фрактальных) связей или в функционировании в дискретном времени. Объединяющее свойство томсоновости (высокая добротность – слабая нелинейность) позволяет проводить математический анализ и моделирование этих осцилляторов в рамках единого подхода, основанного на использовании осциллирующего отклика резонатора на импульсное воздействие.

Теория дробного дифференцирования и интегрирования имеет достаточно длинную историю. Считается, что одними из первых интерес к ней проявили Г. Лейбниц и Л. Эйлер. К настоящему времени имеется широкий круг монографий и работ учебной направленности, посвященных теории и практическим приложениям дробного интегро-дифференциального исчисления. В первую очередь это монография Г.С. Самко, А.А. Килбаса и О.И. Маричева, а также книги отечественных авторов А.М. Нахушева, А.В. Псху, А.А. Потапова, О.А. Репина, В.Е. Тарасова, В.В. Учайкина.

Среди зарубежных изданий широко известны монографии авторов I. Podlubny; A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo; K.S. Miller, B. Ross; B.J. West, M. Bologna, P. Grigolini, а также сборники статей под редакцией A. Carpinteri, F. Mainardi; J. Sabatier, O.P. Agrawal и J.A.T. Machado; D Baleanu , J.A.T. Machado и A.C.J Luo.

Монография Г.М. Заславского, в которой рассматривается применение дробного дифференциального исчисления в хаотической динамике, и монография В.Е. Тарасова, первоначально опубликованные на английском языке, переведены на русский язык.

В последние годы интерес к естественнонаучным приложениям теории явно возрос. Во многом это определяется необходимостью исследования сред и систем с такими свойствами, как долговременная память и нелокальность пространственного взаимодействия, фрактальность и дробная топологическая размерность. За рубежом издаются специализированные журналы «Fractional Calculus & Applied Analysis» и «Analysis of Fractional Dynamic Systems», публикующие результаты исследований по теории и применениям дробного исчисления. Статьи по этой тематике часто публикуются также в журнале «Chaos, Solitons & Fractals». Заметим, что в англоязычной литературе для обозначения дробной производной (дробного интеграла) используется термин «fractional derivative» («fractional integral»). Его калька – «фрактальная производная» («фрактальный интеграл») – часто используется и в публикациях на русском языке.

В отечественной литературе результаты исследований по вопросам дробного исчисления и его приложений представлены скромнее. Тем не менее, такие публикации регулярно появляются в журналах «Дифференциальные урав-

нения», «Известия высших учебных заведений. Математика», «Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук», «Вестник Самарского государственного технического университета. Физико-математические науки», «Успехи физических наук», «Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики» и других.

Существует мнение, что в настоящее время в естественных науках формируется новое направление – дробная динамика или в англоязычном варианте фрактальная динамика (fractional dynamics). Он охватывает исследования систем с интегро-дифференциальными уравнениями движения дробного порядка.

Учитывая роль осцилляторов в классической динамике, представляется, что фрактальный осциллятор следует рассматривать как универсальную модель дробной динамики. В научной периодике можно найти публикации, посвященные различным вопросам динамики фрактальных осцилляторов.

Вместе с тем, нелинейные колебательные системы с дифференциальными уравнениями дробного порядка пока исследованы в значительно меньшей степени. В отечественной научной периодике по теории нелинейных дробных осцилляторов, помимо публикаций автора диссертационной работы и его соавторов, имеется лишь одна публикация, в которой подтверждены полученные нами результаты.

Одновременно с развитием теоретических представлений о процессах в радиоэлектронных системах с дробными цепями и связями разрабатываются концепции практической схемотехники фрактальных элементов и фрактальных радиоустройств. Предложено использовать отрезки RC-линий для реализации в заданном диапазоне частот фрактального импеданса – импеданса с частотной зависимостью. Сообщения по результатам практических разработок фрактальных радиоэлементов регулярно включаются в программы научно-технических конференций «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций», «Нигма-туллинские чтения», «Радиолокация и радиосвязь», «Физика и технические приложения волновых процессов» и других. В частности, широко обсуждается реализация фрактальных компонентов на основе распределенных резистивно-ёмкостных элементов и слоистых резистивно-ёмкостных сред. Появились сообщения о реализации электрических схем активных фильтров и генераторов гармонических колебаний, содержащих элементы с фрактальными импеданса-ми.

Учитывая сказанное, задача о моделировании и анализе автогенераторов с дробными цепями обратных связей представляется актуальной как в теоретическом, так и в практическом плане.

Поскольку автоколебательные системы принципиально являются нелинейными динамическими системами, их уравнения движения не имеют точных аналитических решений. Вполне оправдано применение приближенных асимптотических методов теории нелинейных колебаний к томсоновским системам дробного порядка. Дополнение приближенных аналитических решений конечно-разностными численными методами также не требует решения каких-либо принципиальных проблем.

Тем не менее, используя конечно-разностные модели нелинейных осцилляторов (не обязательно дробных), следует иметь в виду, что у осцилляций в дискретном времени могут наблюдаться новые физические свойства, не присущие исходной динамической системе с непрерывным временем (НВ-системе).

Кроме того, некоторые конечно-разностные алгоритмы удается трансформировать в объекты нелинейной динамики с дискретным временем. Известно, что в теории нелинейных колебаний переход к дискретному времени методом точечных отображений (дискретных отображений) широко применяется для качественного анализа динамики колебательных систем. При этом отмечается, что дискретные отображения в качестве колебательных систем с дискретным временем представляют и самостоятельный интерес. Например, их можно использовать как основу алгоритмов нелинейной цифровой обработки сигналов.

Дискретные отображения интересны также способностью генерировать динамический хаос. В качестве классических примеров здесь можно привести отображения Эно и Холмса.

Среди практических приложений динамического хаоса в настоящее время рассматриваются системы связи с хаотическими сигналами в качестве несущих колебаний, системы передачи информации с использованием фазовой автоподстройки хаотически модулированных автогенераторов, а также хаотическая маскировка цифровых информационных сигналов. В последнем случае предпочтение отдается динамическому хаосу, генерируемому ДВ-осцилляторами.

Цель диссертационной работы состоит в проведении комплекса исследований осцилляторов томсоновского типа с дробными связями на основе разработанных приближенных аналитических и численных моделей, в том числе моделей нелинейной динамики в дискретном времени.

Поставленная цель достигается путем решения следующих задач:

Разработка физико-математических моделей томсоновских автогенераторов с дробными цепями возбуждения и обратных связей, а также нелинейных резонаторов с дробными реактивностями.

Обобщение приближенных методов теории нелинейных колебаний – метода эквивалентной линеаризации и метода медленно меняющихся амплитуд – на уравнения движения томсоновских систем с нелинейностями, содержащими дробные производные.

Разработка численных моделей дробных нелинейных осцилляторов.

Трансформация разностных моделей томсоновских осцилляторов в объекты нелинейной динамики в дискретном времени.

Анализ характеристик нелинейных колебаний и автоколебаний в непрерывном и дискретном времени на основе разработанных моделей и методов.

Выработка рекомендаций по практическому использованию полученных результатов для анализа сигналов и моделирования систем различной физической природы.

Методы исследования

Исследования проведены на основе классических методов радиофизики: теория радиосигналов и радиосистем, теория колебаний, теория случайных

процессов, с привлечением теории дробного интегро-дифференциального исчисления. Широко использованы также методы численного анализа и методы цифровой обработки сигналов. Вычисления проведены с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна работы состоит в том, что:

введены в рассмотрение новые физико-математические модели дробных томсоновских осцилляторов и новые объекты нелинейной динамики систем с дискретным временем;

приближенные аналитические методы теории нелинейных колебаний распространены на динамические системы с уравнениями движения дробного порядка и системы с дискретным временем;

впервые исследованы динамические характеристики автогенераторов томсоновского типа с дробными связями;

обнаружены новые хаотические аттракторы автоколебательных систем, осциллирующих в дискретном времени;

предложен новый алгоритм генерации «цветного» хаоса.

Практическая значимость работы

Разработанные в диссертации аналоговые и численные модели дробных нелинейных осцилляторов, модели нелинейной динамики осцилляторов в дискретном времени, а также методы их анализа применимы при решении задач моделирования сигналов и систем различной физической природы, при создании алгоритмов обработки дискретных и цифровых сигналов. Результаты диссертации также могут найти применение в учебном процессе вузов.

Факт использования при выполнении работы математически строгих и физически аргументированных методов исследования определяет обоснованность результатов диссертации. Подтверждением их достоверности является:

количественное соответствие результатов применения различных моделей к анализу характеристик идентичных систем, согласованность приближенных аналитических результатов и результатов численного моделирования;

допустимость предельных переходов в пространствах параметров, при которых полученные результаты переходят в известные ранее;

соответствие обнаруженных динамических эффектов и выявленных характеристик систем общим физическим закономерностям.

На защиту выносятся

1. Физико-математические модели томсоновских осцилляторов с дробными связями и новые объекты нелинейной динамики систем с дискретным временем.

2. Приближенный аналитический метод анализа динамики дробных нелинейных осцилляторов, основанный на сочетании методов эквивалентной линеаризации и медленно меняющихся амплитуд.

3. Результаты анализа и численного моделирования динамики автоколебаний в автогенераторах с дробными связями.

4. Новые объекты нелинейной динамики в дискретном времени как ре
зультат трансформации алгоритмов численного анализа аналоговых осциллято
ров.

5. Алгоритм генерации «цветных» хаотических процессов, основанный на
дробных преобразованиях «белого» хаоса.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на

VIII – X, XII Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Санкт-Петербург, 15– 18 сентября 2009 г.; г. Челябинск, 13–17 сентября 2010 г.; г. Самара, 11–17 сентября 2011 г.; г. Нижний Новгород, 22–26 сентября 2014 г.);

VIII Всероссийской научно-технической конференции с международным участием, посвященной 75-летию Ю.П. Самарина «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 15 – 17 сентября 2011 г.) и IX - X Всероссийских научно-технических конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 21 – 23 мая 2013 г.; г. Самара, 25 – 27 мая 2016 г.);

XIII Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (г. Москва, 24 – 29 мая 2012 г.);

III Международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 27 августа – 1 сентября 2012 г.);

IX Всероссийской научно-технической конференции «Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике» (г. Чебоксары, 6 июня 2014 г.);

XXII – XXIII Российских научно-технических конференциях профессорско–преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГУТИ с приглашением ведущих ученых и специалистов родственных вузов и организаций (г. Самара, 2 – 6 февраля 2015 г.; г. Самара, 1 – 5 февраля 2016 г.);

XI Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нели
нейных дискретных электротехнических и электронных систем» (г. Чебоксары,
2015 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликованы 33 работы, из них 15 статей в журналах из Перечня ВАК; 4 статьи в сборниках научных трудов; 14 публикаций в материалах научно-технических конференций.

Личный вклад автора

Диссертант принимал непосредственное участие в постановке задач, обсуждении моделей, проведении расчетов, а также в обсуждении и интерпретации результатов.

Структура и объем работы

Уравнение движения автогенератора с дробным возбуждением при 0 а 2

С учетом введенных обозначений ДВ-осциллятор Ван дер Поля задается разностным уравнением движения in — 2а соз(2лО0 Щп_х + ос2ип_2 = д1 — i n_x Д3г/и_1 — 4ии_2 + ип_3) (2.3.12) с начальными условиями и0,щ,и2. Уравнение содержит три независимых параметра: Q0, у и Q, впрочем, вместо добротности прототипа Q независимым можно считать параметр диссипации а. При различных комбинациях их значений реализуются как регулярные, так и хаотические режимы автоколебаний. Для примера на рис. 2.13 приведены усредненные амплитудные спектры автоколебаний осциллятора (2.3.12) с параметрами Q0 = 0.32, Q = 20. Пунктирная линия соответствует значению у = 0.\, сплошная - ;к = 0.147. Спектральные оценки проведены методом Бартлетта с 512-точечным дискретным преобразованием Фурье по отрезку реализации ип длины N = 65536. Широкий спектр автоколебаний является одним из эвристических признаков [9] генерации динамического хаоса при у = 0.147.

В целом спектр хаотических автоколебаний состоит из уширенной линии основной частоты и хаотического пьедестала, включающего уширенные спектральные линии подмененных гармоник. Анализ методами теории аналитического сигнала динамики огибающей и фазы хаотических автоколебаний позволил выявить механизмы уширения линий и формирования пьедестала. Далее приведены некоторые результаты анализа. Отметим, что они полностью соответствуют классической теории формы спектральной линии автоколебаний [10]. Амплитудные спектры ДВ-осциллятора

Для реализации ДВ-автоколебаний выбрано представление вида in = Ап cos( ) = Ап cos(27inan + рп), п.. где огибающая Ап и фаза рп - хаотические процессы, а частота Qa вычисляется путем усреднения полной фазы у/п по всей длине реализации. В хаотическом спектре, показанном на рис. 2.13, средняя частота Qa = 0.366.

Типичный график хаотической огибающей представлен на рис. 2.14. То, что такой хаотический процесс не приводит к уширению спектральной линии автоколебаний, а лишь к появлению амплитудного пьедестала, подтверждается спектром автоколебаний Vn = Ап cos(27zQa/7), показанным нарис. 2.15 линией V. Процесс рп представляет собой хаотическую диффузию фазы автоколебаний. Реализации процесса для различных наборов начальных значений щ,щ,и2 отображены на рис. 2.16 линиями 1-4. Низкочастотная составляющая хаотической диффузии приводит к уширению спектральной линии, а высокочастотная - к образованию фазового пьедестала, как это показано на рис. 2.15 пунктирной линией U. Она соответствует спектру автоколебаний U = A cos(27iQ п + ф ) п \ а Ти/ с усредненной амплитудой (для рассматриваемой реализации 4 = 1.75) и диффундирующей фазой.

Таким образом, основной механизм хаотизации автоколебаний ДВ-осциллятора (2.3.12) - это хаотическая диффузия фазы, приводящая к уширению спектральной линии на основной частоте и ее гармониках.

Диффузия фазы хаотических автоколебаний 2.3.4. Моделирование автоколебаний в дробном осцилляторе Ван дер Поля

Описанный выше осцилляторный метод применим для моделирования автоколебаний в дробном осцилляторе Ван дер Поля (ВдП). В качестве дифференциальной модели осциллятора примем уравнение D2x(t) + D0QlDltx(t) + ю2х(ґ) = ю2 ay(l - х1 (t))D {x(t)), (2.3.13) где ю0 и Q - собственная частота и добротность резонансного контура, у -безразмерный параметр глубины положительной обратной связи. Как и ранее, в записи уравнения (2.3.13) использованы обозначения D] и D] для классических первой и второй производных и Dat для левосторонней производной Лиувилля порядка 0 ос 1. Отметим, что при ос = 1 уравнение (2.3.13) переходит в классическое уравнение движения осциллятора ВдП, в котором выделена диссипативная составляющая (второе слагаемое в левой части).

Предполагая в дальнейшем переход к дискретному времени на равномерной сетке с интервалом дискретизации А, уравнение (2.3.13) запишем для безразмерной временной переменной т = ґА"1 DX2X(T) + 2TCQ0 2 1DX1X(T) + 4712Q;X(T) = (2пО.0Уа у\\-х2(т))у(т) , (2.3.14) где у(т) = D"(х(т)), Q0 =ю0/cod = А/Г0 - собственная частота контура, нормированная на частоту дискретизации cod = 2п IА. В работах [11, А28] для уравнения вида D2X(T) + 2TZQ.0Q 1Z)X1X(T) + 47I2Q2IX(T) = (27iQ0)2F(X(T),у(т) ) (2.3.15) была предложена конечно-разностная аппроксимация 2Scos(27iQ0 )х , +82х , =27iQ0Ssin(27iQ0 VMX ,,V ), (2.3.16) X V / и1 п — 1 и V / V и 1, У п 1 / где хп =х(тл) и уп =у(хп) - приближенные значения осцилляции на временной сетке ти = 0,1,2,.... При этом какой-либо конкретный вид связи между х и у не предполагался. Добротность резонатора Q в исходном дифференциальном уравнении (2.3.15) определяет параметр диссипации 0 8 1 в разностном уравнении (2.3.16): 8 = ехр Уравнение (2.3.14) приводится к форме (2.3.15) с помощью функции F(X(T),у(т)) = — — (1-х2(т))Хт), У(т) = D:(Х(Т)). Тогда, в соответствии с (2.3.16) разностная аппроксимация уравнения движения дробного осциллятора ВдП принимает вид хп — 25cos(27iQ0)xB j +52хя 2 =(27iQ0)1 ay5sin(27iQ0)(l — х2п_1)уп_1, (2.3.17) где уп1 = Да (х(т)) п j. Конечно-разностная аппроксимация этой производной дает многошаговый алгоритм моделирования автоколебаний в дробном осцилляторе ВдП. Не прибегая к стандартной аппроксимации, воспользуемся точной для гармонических колебаний и приближенной для квазигармонических связью между х(т) и у(т).

Моделирование автоколебаний в осцилляторе Ван дер Поля

При линеаризации уравнения (3.4.2) следует пренебречь высшими гармониками тока активного элемента, т.е. учесть лишь первое слагаемое в разложении S(u(t))u(t) в ряд Тейлора: S\u(t))u(t) = Sl (a)acos y/(t), где средняя крутизна ВАХ активного элемента по первой гармонике тока Sl (а) -функция амплитуды со значением 5 1(0) = 1. С учетом того, что при 0 р=т-а \ (см. таблицы интегралов Лиувилля в [5]), линеаризация первого слагаемого в правой части уравнения движения (3.4.2) дает следующие выражения для вносимой добротности и поправки на частоту

Дальнейшее упрощение уравнения (3.4.4) проведем методом медленно меняющихся амплитуд (ММА), в рамках которого введем в рассмотрение комплексную амплитуду A(t) = a(t) ехр(у (ґ)) с медленными функциями времени a(t), (pit) и осцилляции u{t) представим в виде и (0 = — Щ) expO#V) + — A (t) ехр(- jco0t). Проведя преобразования в соответствии с методикой ММА, получим укороченное уравнение для комплексной амплитуды A(t) (3.4.5)

Здесь E0(t)- случайный процесс с равномерным спектром в полосе частот [-со0, со0 ]. В дальнейшем для операции выделения такого сигнала будем использовать символическое обозначение E0(t) = [En(t)exp(-jco0t)\0.

Исследование флуктуации амплитуды и частоты проведем в режиме установившихся автоколебаний с амплитудой а0 и фазой (р0 = Асо(а0 )t. Для этого положим

В таком случае представление комплексной амплитуды А{і) в укороченном уравнении (3.4.5) в форме позволяет после линеаризации по малым относительным амплитудным флуктуациям p(t) привести это уравнение к виду соп — p(t)Qxp(j6(t)) + pp(t)Qxp(j6(t)) + j\y(t) — qp(t))Qxp\je) = —j —— E,{t), (3.4.6) dt 2a0 где v(t) = d6{t) I dt - флуктуации частоты автоколебаний и введены обозначения для прочности предельного цикла/? и динамической неизохронности q: P(ao) = - — gaoS i(ao)

Кроме того, в рассмотрение введена случайная функция (0 = 2Ео (0 езф(- jAax) = 2[Еп (0 Qxp(-jcoj)l где cDa=cu0 - Ай)(а0) - частота установившихся автоколебаний. 137 Комплексное флуктуационное уравнение (3.4.6) нелинейно по флуктуациям фазы 0(t), что не позволяет провести спектрально-корреляционный анализ флуктуации в аналитической форме. При этом его непосредственная линеаризация на основе разложения ехр(/#(7))« \ + j9(t) формально некорректна, т.к. несправедливо предположение о малости фазовых флуктуации автономного автогенератора. В монографии А.Н. Малахова [12] для линеаризации флуктуационных уравнений по фазовым флуктуациям используется метод статистической эквивалентности. В.Н. Кулешов в работе [13] предлагает использовать интегральную форму флуктуационного уравнения вида (3.4.6). В рассматриваемом случае такой подход приводит к следующим результатам.

Дифференциальному уравнению (3.4.6) соответствует интегральное уравнение p(t) + j\h(t - T)(V(T) - qp{z))dT = -j —— f h(t - т) (т) exp(y:в(т))сІт, (3.4.7) О 2 20 о где h(t) = exp(- pt)%(t) - импульсная характеристика амплитудных флуктуации (%(t) - функция Хевисайда). С учетом затухания функции h(t) практически до нуля за время Т « Ъ1 р можно утверждать, что основной вклад в интеграл свертки в правой части уравнения (3.4.7) дает интегрирование по отрезку [t,t — T]. Если теперь предположить малость набега фазы автогенератора на этом интервале, т.е. считать малой дисперсию {{9{t) - 6{t -Т))2) «1, то уравнение (3.4.7) можно заменить приближенным уравнением, линейным как по амплитудным, так и по фазовым флуктуациям: p(t) + j \h\t - т\у(т) - qp(z))dT = —j—— \ h\t — т) (т)сіт . (3.4.8) о 2a0 0 Из комплексного уравнения (3.4.8) выделим два действительных При этом случайный процесс t,{i) представлен в виде суперпозиции синфазной Lit) и квадратурной ±(t) составляющих: (t) = ,(t) + j ±(t).

Интеграл свертки (3.4.9) и уравнение (3.4.10) позволяют определить спектры мощности относительных флуктуации амплитуды и флуктуации частоты автоколебаний АДО Здесь верхние индексы отмечают четную и нечетную части совместных спектров. Полученные выражения справедливы для источника шума En(t) с произвольного вида спектром мощности при условии, что спектр локализован в частотном интервале (-2соа,2соа). Такая локализация согласуется с приближением метода ММА, в рамках которого гармоники автоколебаний с частотами 2соа,Зсоа и т.д. не принимаются во внимание. При этом спектр случайного процесса g(t) ограничен частотным интервалом (-соа,соа), а случайную функцию Еп it) можно представить в виде En (0 = - [#, (О + j± (t)]Qxp(ja)j) + - [#ц (0 - y#± (0]exp(- jeoj).

Дальнейшее рассмотрение проведем в предположении о том, что En(t) -полосовой белый шум: (Е1п)а =D в частотном интервале (-2соа,2соа). В таком случае составляющие (t) и ± (t) случайного процесса (t) имеют следующие спектральные характеристики: а выражения (3.4.11)-(3.4.13) принимают вид, типичный для естественных флуктуации амплитуды и частоты автогенератора томсоновского типа [12]: P ).= D 2а0 р +бо (3.4.14) яА + чА р2 +CD2 J (3.4.15) \Р2 +а 2 j (3.4.16) Спектр мощности амплитудных флуктуации (3.4.14) имеет лоренцеву форму. Ширина спектра, вычисленная по формуле равновеликого прямоугольника, и мощность (дисперсия) флуктуации равны Ар =яр и

Дискретное отображение дробного осциллятора Ван дер Поля

Комплексное флуктуационное уравнение (3.4.6) нелинейно по флуктуациям фазы 0(t), что не позволяет провести спектрально-корреляционный анализ флуктуации в аналитической форме. При этом его непосредственная линеаризация на основе разложения ехр(/#(7))« \ + j9(t) формально некорректна, т.к. несправедливо предположение о малости фазовых флуктуации автономного автогенератора. В монографии А.Н. Малахова [12] для линеаризации флуктуационных уравнений по фазовым флуктуациям используется метод статистической эквивалентности. В.Н. Кулешов в работе [13] предлагает использовать интегральную форму флуктуационного уравнения вида (3.4.6). В рассматриваемом случае такой подход приводит к следующим результатам.

Дифференциальному уравнению (3.4.6) соответствует интегральное уравнение p(t) + j\h(t - T)(V(T) - qp{z))dT = -j —— f h(t - т) (т) exp(y:в(т))сІт, (3.4.7) О 2 20 о где h(t) = exp(- pt)%(t) - импульсная характеристика амплитудных флуктуации (%(t) - функция Хевисайда). С учетом затухания функции h(t) практически до нуля за время Т « Ъ1 р можно утверждать, что основной вклад в интеграл свертки в правой части уравнения (3.4.7) дает интегрирование по отрезку [t,t — T]. Если теперь предположить малость набега фазы автогенератора на этом интервале, т.е. считать малой дисперсию {{9{t) - 6{t -Т))2) «1, то уравнение (3.4.7) можно заменить приближенным уравнением, линейным как по амплитудным, так и по фазовым флуктуациям:

Из комплексного уравнения (3.4.8) выделим два действительных 2а, p(t) = —— \h{t - т) ± (r)dr о о (3.4.9) 138 т = Ш=чт- т dt 2ап (3.4.10) При этом случайный процесс t,{i) представлен в виде суперпозиции синфазной Lit) и квадратурной ±(t) составляющих: (t) = ,(t) + j ±(t).

Интеграл свертки (3.4.9) и уравнение (3.4.10) позволяют определить спектры мощности относительных флуктуации амплитуды и флуктуации частоты автоколебаний АДО

Здесь верхние индексы отмечают четную и нечетную части совместных спектров. Полученные выражения справедливы для источника шума En(t) с произвольного вида спектром мощности при условии, что спектр локализован в частотном интервале (-2соа,2соа). Такая локализация согласуется с приближением метода ММА, в рамках которого гармоники автоколебаний с частотами 2соа,Зсоа и т.д. не принимаются во внимание. При этом спектр случайного процесса g(t) ограничен частотным интервалом (-соа,соа), а случайную функцию Еп it) можно представить в виде 139 En (0 = - [#, (О + j± (t)]Qxp(ja)j) + - [#ц (0 - y#± (0]exp(- jeoj).

Дальнейшее рассмотрение проведем в предположении о том, что En(t) -полосовой белый шум: (Е1п)а =D в частотном интервале (-2соа,2соа). В таком случае составляющие (t) и ± (t) случайного процесса (t) имеют следующие спектральные характеристики: -2\ / г2 а выражения (3.4.11)-(3.4.13) принимают вид, типичный для естественных флуктуации амплитуды и частоты автогенератора томсоновского типа [12]: P ).= D 2а0 р +бо (3.4.14) яА + чА р2 +CD2 J (3.4.15) \Р2 +а 2 j (3.4.16)

Спектр мощности амплитудных флуктуации (3.4.14) имеет лоренцеву форму. Ширина спектра, вычисленная по формуле равновеликого прямоугольника, и мощность (дисперсия) флуктуации равны Ар =яр и Если учесть, что, как было установлено выше, при равных амплитудах автоколебаний прочности предельных циклов дробного р и классического р0 осцилляторов связаны соотношением р = р0 sin («л- /2), то (P2) = (PO)COSQC

Таким образом, дробность цепи возбуждения увеличивает мощность амплитудных флуктуации автогенератора.

Аналогичный вывод можно сделать и о частотных флуктуациях. Основным здесь является вопрос о ширине спектральной линии. Для широкополосных флуктуации частоты она определяется формулой [12] АО. = 7г2(у2)0 и с учетом (3.4.15) равна DCOSQC:

Видно, что при прочих равных условиях минимальной шириной спектральной линии обладает классический автогенератор. Ведение дробных элементов в кольцо обратной связи приводит к уширению спектральной линии автоколебаний. Кроме того, из-за корреляции (3.4.16) флуктуации амплитуды и частоты линия приобретает асимметрию относительно частоты генерации.

Случайные процессы в дробных .КС-цепях Модели случайных процессов со спектральной плотностью мощности (СПМ) вида где А = const, а показатель степени у О, широко используются для описания шумов в физических, технических, экономических и других системах. Наибольшую известность, по-видимому, имеет фликкер-шум с показателем у = 1 [12, 14-17]. В последнее время в ряде публикаций шумы со спектрами вида (3.5.1) стали называть «цветными»: розовым (у = \), красным или коричневым (у = 2), чёрным (у 2).

В коллективных работах автора [А7, А9, А10] генерацию фликкер-шума в дискретном времени предлагается проводить, используя разностные аппроксимации стохастических систем дробных порядков. 141 Для моделирования процесса в непрерывном времени составим уравнение движения дробной і?С-цепи: D;y(t)+±y(t) = ±x(t) (3.5.2) где тг - постоянная времени цепи, коэффициент к для удобства выбран так, чтобы значение (х2)0 спектра мощности входного сигнала x(t) было равно единице. При этом дробная производная Капуто D" в зависимости от вида спектра мощности (3.5.1) моделируемого процесса имеет порядок а = уІ2. В дальнейшем будем считать, что 0 а 2. В случае, когда а = 1, a x(t) - белый шум, y(t) можно назвать дробным процессом Орнштейна-Уленбека [А9], по аналогии с классическим процессом (см., например, [18]). Считается также, что уравнения вида (3.5.2) описывают процессы дробной релаксации [19].

Частотные характеристики синхронизированного осциллятора

Разностные уравнения (3.5.4) описывают преобразование дискретного сигнала линейной рекурсивной системой переменного порядка. Можно повысить вычислительную эффективность алгоритма преобразования, ограничив порядок системы максимальной величиной iVmax. Тогда верхний предел суммирования в уравнениях (3.5.4) следует считать равным М = mm{n,Nmax}. Ограничение порядка системы соответствует обнулению ряда коэффициентов ат, начиная с номера iVmax. Это вполне законная операция, поскольку при т»\ коэффициенты имеют асимптотику а(\-а) Л+а т а„ = т.е. являются членами быстро убывающего ряда.

Частотную характеристику рекурсивной системы фиксированного порядка можно записать аналитически

Здесь Q - частота анализа, выраженная в единицах частоты дискретизации: Q = colcod = сок 12л. Сопоставление \H(JQ)\ с \Ha{jco)\ из (3.5.3) позволяет, в частности, делать выводы о точности воспроизведения ДВ-системой (3.5.4) закона преобразования сигнала в НВ-прототипе. Ниже приведены графики, служащие примерами сопоставления АЧХ.

На рис. 3.16 и рис. 3.17 частотные зависимости \H(jfl)\ рассчитаны для а = 0.5 и двух значений параметра цепи Qr = \lcodrr = Д/2лтг: для рис. 3.16 Qr =0.001, а для рис. 3.17 Qr=0.01. На двух других рисунках графики рассчитаны для Qr =0.001 и значений « = 0.75 (рис. 3.18) и « = 1.25 (рис. 3.19). На всех рисунках порядки ДВ-системы (3.5.4) принимают по два значения: М = 200 и М = 400. Пунктирными линиями проведены графики На (уQ) для соответствующих значений а и С1Г.

Как следует из рисунков, подбором значений МиПг в широком диапазоне частот можно обеспечить закон изменения K(Q.) \/Qa. При этом распространение обратной степенной зависимости в область все более низких частот требует увеличения порядка ДВ-системы, формирующей такую зависимость.

Для примера представим результаты преобразования ДВ белого шума в случайный процесс, имеющий фликкерную СПМ в широком диапазоне частот. Периодограммная оценка спектра мощности первичного источника %[п] приведена на рис. 3.20. Оценка выполнена по методу Уэлча [7] с 128-точечным преобразованием Фурье, окном Хэмминга и 50% перекрытием. Длина реализации процесса ;[п] равна 216, мощность 2 = 1.

Отрезок реализации и оценка СПМ случайного процесса на выходе ДВ-системы (3.5.4) с параметрами а = 0.5, Qr =0.0001, М = 400 приведены на рис. 3.21 и рис. 3.22. Спектральная оценка проведена по методу Уэлча с 1024-точечным преобразование Фурье, пунктирной линией рядом с графиком оценки СПМ нанесена зависимость -1/Q. Видно, что спектр мощности случайного процесса у[п] в диапазоне частот 0.001 Q 0.3 практически совпадает со спектром мощности фликкер-шума.

На представленной реализации случайного процесса (рис. 3.21) отчетливо прослеживается эффект мерцаний (flicker - мерцание, мерцать).

Аналогичным образом рис. 3.23 и рис. 3.24 представляют результаты преобразования ДВ белого шума системой (3.5.4) порядка « = 0.99. В этом случае на временных интервалах п 1000 отрезки реализаций выходного сигнала у[п\ моделируют винеровский случайный процесс.

В работе [20] предложен алгоритм генерации хаотических сигналов с равномерной СПМ - «белого» хаоса. Алгоритм основан на квантовании значений сигнала хаотических автоколебаний в ДВ-осцилляторе Ван дер Поля [8]. Еще одним источником квантуемого сигнала может служить генератор с инерционной нелинейностью, описанный в п. 2.4. Такой способ генерации белого хаоса предложен в коллективной работе автора [АЗО].

Операция квантований значений х[п] сигнала генератора с инерционной нелинейностью описывается функцией Q(x) = q floor Затем вычисляется разностный сигнал обладающий заданными характеристиками: равномерным спектром мощности и равномерным вероятностным распределением в интервале значений -0.5 0.5.

Графики, приведенные на рис. 3.25, иллюстрируют процесс преобразования (3.6.1) реализаций (рис. 3.25, а), плотностей вероятности (рис. 3.25, б) и фазовых плоскостей (рис. 3.25, в) сигналов. Левые графики относятся к сигналу х[п], правые - к сигналу [п]. Хаотический сигнал х[п] генерируется системой (2.4.12) со значениями параметров 0 =1.38, а2 =-0Л2, у = \.Ъ6 и т = 0.47. Параметр квантования q = 5-10 . Трансформация СПМ отображена на рис. 3.26.

Если использовать белый хаос в качестве входного сигнала дробной RC-цепи, описанной в п. 3.5, то на выходе цепи можно получить хаотический сигнал с «цветным» спектром мощности. При этом «цвет» хаоса будет зависеть от величины а - показателя порядка цепи.

Отрезок реализации и оценка СПМ хаотического процесса на выходе ДВ-системы (3.5.4) с параметрами а = 0.5, Qr =0.0001, М = 400 приведены на рис. 3.27 и рис. 3.28. Спектральная оценка проведена по методу Уэлча с 1024-точечным преобразование Фурье по реализации у[п] длиной 217, пунктирной линией рядом с графиком оценки СПМ нанесена зависимость -1/Q. Видно, что спектр мощности процесса у[п\ в диапазоне частот 0.001 Q 0.3 имеет вид функции 1/Q. На реализации хаотического процесса у[п], как и ранее (см. рис. 3.21), прослеживается эффект мерцаний.

Отметим, что в линейной ДВ-системе (3.5.4) происходит нормализация хаоса: в то время, как входной сигнал [п] системы имеет равномерное распределение (см. рис. 3.25, б), выходной сигнал у[п] распределен по нормальному закону. Этот вывод подтверждает рис. 3.29, на котором квадратами показана гистограммная оценка плотности вероятности W(y), а пунктирная линия - это гауссова функция с нулевым средним и дисперсией D[y] = 1.09 х 10" , вычисленной по анализируемой реализации процесса.