Поверхностные и объемные плазмоны, возбуждаемые в наноразмерных структурах лазерными импульсами и потоками заряженных частиц Павличенко Иван Александрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Спектр собственных коллективных электронных колебаний металлического кластера 16

1.1. Поверхностные и объемные плазмоны сферического кластера 17

1.2. Затухание собственных колебаний металлического кластера

1.2.1. Константы радиационного затухания 21

1.2.2. Константы поверхностного затухания 22

Глава 2. Возбуждение поверхностных и объемных плазмонов в лазерно-кластерном взаимодействии 29

2.1. Дипольные резонансы металлического кластера 29

2.1.1. Исходные приближения и уравнения 29

2.1.2. Частотные зависимости дипольного момента и поля в центре кластера 32

2.2. Резонансные явления и деформация профиля плотности электронов в переходном пограничном слое горячей плазмы ионизированного кластера 38

Глава 3. Возбуждение поверхностных и объемных плазмонов заряженными частицами 49

3.1. Исходные приближения и уравнения 49

3.2. Решение задачи о возбуждении коллективных колебаний сторонним источником 50

3.3. Расчет спектра неупругих потерь электрона, рассеиваемого кластером 52

3.4. Результаты численных расчетов и их обсуждение 53

Глава 4. Поверхностные и объемные плазмоны в оболочечных наноструктурах 59

4.1. Дипольные резонансы однородной сферической оболочки 59

4.2. Дипольные резонансы сферической оболочки с ядром 64

4.3. Дипольные резонансы фуллерена С60 68

Заключение 73

Литература

• Затухание собственных колебаний металлического кластера
• Частотные зависимости дипольного момента и поля в центре кластера
• Решение задачи о возбуждении коллективных колебаний сторонним источником
• Дипольные резонансы сферической оболочки с ядром

Введение к работе

Актуальность темы исследования

Исследование коллективных электронных резонансов наночастиц и связанных с ними явлений стимулируется в настоящее время как общетеоретическими проблемами предсказания и идентификации спектров рассеяния волн и частиц в наноструктурах различных типов (металлические и ионизированные кластеры, металлодиэлектрические оболочечные наноструктуры, фул-лерены, плазменные структуры, формируемые на твердых мишенях и т.д.) [1, 2], так и быстрым расширением круга их научных и практических применений в различных областях физики лазерно-кластерного взаимодействия и нанофотоники. В числе таких применений могут быть названы: эффективная генерация высокоэнергичных многозарядных ионов, рентгеновского и ультрафиолетового излучения за счет достижения высокой концентрации энергии поля и плазмы в малом объеме в условиях резонанса ионизированного кластера [3-5]; биомедицинские нанотехнологии [6], ближнепольная микроскопия [7], создание нанолазеров [8] и метаматериалов, управляющих потоками оптического излучения [9], генерация терагерцового излучения [10] и т.д.

Среди широкого круга явлений, описанных в цитированных выше работах, наиболее хорошо изученным является дипольный резонанс поверхностного плазмона, возбуждаемого в однородном кластере внешним лазерным полем. Общие вопросы теории поверхностного плазмона были в разное время предметом детального исследования (в рамках как линейных, так и нелинейных моделей) целой серии публикаций (см., например, [3,5,11-15]). В то же время ряд важных вопросов, касающихся, в частности, учета пространственной дисперсии, обусловленной тепловым движением электронов, следует признать недостаточно полно изученными даже в рамках линейных задач. В большинстве проведенных исследований пространственная дисперсия вообще полностью игнорировалась, что не давало возможности проанализировать резонансы, обусловленные возбуждением объемных плазмонов (стоячих плазменных волн, отражающихся на границе кластера), выяснить их относительную роль в общей картине резонансных спектров рассеяния и поглощения и даже оценить саму возможность их возбуждения в кластерах различной природы при учете различных механизмов диссипации.

Помимо исследования резонансных свойств однородных наночастиц в последние годы уделяется большое внимание изучению оболочечных наноструктур, в общем случае представляющих собой либо одиночный металлический сферический слой, либо набор из нескольких чередующихся концентрических сферических слоев металла и диэлектрика. Оболочечные наноструктуры за счет выбора материалов, толщин и количества оболочек допускают возможность изменения числа резонансов и соответствующих им резонансных частот, что позволяет конструировать нанообъекты с управляемыми свойства-3

ми для широкого круга приложений. Следует отметить, что в отличие от однородных наночастиц (атомных кластеров), оболочечные наноструктуры при определенном выборе параметров могут обладать резонансами, лежащими в ближней инфракрасной области спектра (800-1200 нм), что, в частности, делает их особенно привлекательными для использования при диагностике биотканей, слабо поглощающих именно в этом диапазоне. Исследование динамической поляризуемости сферических плазменных оболочек в поле электромагнитной волны представляет интерес также и в связи с проблемами распознавания и объяснения наблюдаемых оптических спектров рассеяния и поглощения молекул фуллеренов, проявляющих благодаря большому числу валентных (делокализованных) электронов колебательные свойства плазмо-подобных объектов [16-18]. Несмотря на сравнительно большое число публикаций, посвященных расчетам спектров коллективных колебаний подобных объектов (и, в частности, молекулы С₆₀), их теория еще весьма далека до завершения, поскольку требует одновременного учета физических факторов, существенно усложняющих картину взаимодействия исследуемой наноплаз-мы с оптическим полем. К их числу относятся, в первую очередь, пространственная дисперсия и радиальная неоднородность электронной плотности в оболочке.

Резонансные свойства вырожденной плазмы металлических кластеров во многом сходны с резонансными свойствами горячей (максвелловской) плазмы, образующейся при ионизации атомных кластеров различных веществ лазерными импульсами достаточно высокой интенсивности. Для таких кластеров существует важный дополнительный фактор (не играющий большой роли для металлических наночастиц), способный существенно повлиять на их резонансные свойства. Таким фактором является размытие границы плазмы и эффект резонансного усиления поля в окрестности точки плазменного резонанса (всегда присутствующей внутри переходного пограничного слоя в случае резонанса поверхностного плазмона). В случае, когда толщина переходного слоя превышает дебаевский радиус, этот эффект в условиях линейного взаимодействия приводит, как известно, к появлению дополнительных потерь – так называемого резонансного поглощения [19-21], увеличивающего константу затухания основного резонанса (поверхностного плазмона) и полностью подавляющего резонансы стоячих плазменных волн (объемных плаз-монов).

Существенное влияние на величину этих дополнительных резонансных потерь (как правило, в сторону их уменьшения) может оказать (даже в отсутствие объемных нелинейных эффектов) нелинейная деформация профиля плотности плазмы в окрестности точки плазменного резонанса под действием усредненной пондеромоторной силы. Данному вопросу в свое время уделялось большое внимание как в связи с проблемами лазерного термоядер-

ного (инерционного) синтеза [22,23], так и при изучении динамики ионизованного атомного кластера в сильном оптическом поле [3,24]. В указанных работах этот нелинейный эффект изучался в основном применительно к случаю лазерных импульсов большой длительности (порядка или более 10 пс), когда пондеромоторная деформация осуществляется без нарушения квазинейтральности плазмы (за время действия импульса успевают установиться как электронный, так и ионный профили). В последние годы, однако, в связи с прогрессом в технике генерации мощных ультракоротких импульсов возрос интерес к исследованиям динамики сверхбыстрых плазменных процессов, характеризуемых гораздо меньшими временами. В частности, в импульсах c длительностью порядка 10 фс и менее пондеромоторная деформация фактически может затрагивать лишь электронную компоненту, оставляя неизменным распределение плотности ионов, что делает весьма актуальным ее исследование в условиях сильного нарушения квазинейтральности. При этом модификация профиля средней электронной плотности протекает на фоне заданного невозмущенного профиля ионной плотности и может приводить в принципе к формированию квазиравновесной стационарной структуры, изучение которой является одной из целей представленной диссертации. В настоящее время эффекты быстрой модификации профилей электронной плотности могут представлять интерес в контексте таких приложений, как, например, генерация световых гармоник [25] и преобразование спектра в ла-зерно-кластерном взаимодействии [5,26,27].

Сравнительная роль и степень выраженности резонансов различных типов, формирующих спектры поляризационного отклика и спектры поглощения наночастиц, определяются способом возбуждения колебаний. В частности, главную роль в лазерно-кластерном взаимодействии играют резонансы дипольного типа. По-иному обстоит дело в случае возбуждения плазмонов движущимися заряженными частицами: энергетические спектры неупругих потерь электронов, рассеиваемых кластером, могут содержать резонансы, отвечающие возбуждению поверхностных мультиполей высоких порядков и объемных плазмонов (см., например, [28,29]). Эти спектры, являющиеся предметом активно развиваемой в последние десятилетия области – cпектроско-пии характеристических потерь энергии электронами (англ. electron energy loss spectroscopy, EELS), достаточно подробно изучены к настоящему времени как экспериментально (для кластеров различных типов и размеров и на-нообъектов с несферической геометрией), так и теоретически (на основании квантовых и полуклассических моделей). Тем не менее, ряд важных теоретических вопросов, касающихся особенностей возбуждения и физических механизмов затухания плазмонов, даже в простейшем случае сферического кластера (в особенности в случае, когда электрон пролетает через его внутренние области), требует дальнейшего исследования.

Необходимо отметить, что достаточно полное и строгое исследование спектра возбуждений металлического кластера требует, вообще говоря, использования методов квантовой теории, которые и применялись большинством авторов. Это сильно затрудняет расчеты и, по-видимому, делает их практически невыполнимыми при учете усложняющих факторов, какими являются тепловое движение электронов и неоднородность профиля электронной плотности. В результате в большинстве случаев для объяснения результатов эксперимента приходится сочетать теоретический расчет с феноменологическим описанием, вводя в теорию подгоночные параметры (как правило, константы затухания колебаний различных типов) [30]. В то же время для описания интересующих нас коллективных возбуждений в многоэлектронных системах, по-видимому, более адекватным является использование методов, аналогичных применяемым при изучении колебательно-волновых процессов в физике плазмы, т.е. основанных на использовании гидродинамических уравнений или кинетического уравнения для одночастичной функции распределения электронов. Различные аспекты такого подхода отражены в работах [31-33]. Важным достоинством гидродинамических подходов является также возможность их модификации (при сохранении общей наглядности и простоты интерпретации) применительно к вопросам теории колебаний атомных систем, выходящим за рамки квазиклассического описания. Такого рода модификация (основанная на результатах расчета поляризационного отклика квантовой плазмы при помощи уравнения для матрицы плотности) положена в основу проведенных в диссертации расчетов спектра молекулы фуллерена C₆₀.

Цели диссертиционной работы

Основной целью диссертации является построение плазменных моделей коллективных электронных колебаний, возбуждаемых в наноструктурах различных типов внешним оптическим полем или движущимися заряженными частицами. В соответствии с этой целью в настоящей работе решались следующие задачи:

1. Отыскание спектра комплексных частот собственных колебаний металлического кластера с учетом пространственной дисперсии и основных механизмов потерь.

2. Расчет спектра поляризационного отклика однородных и неоднородных наночастиц (металлических кластеров, металлодиэлектрических оболо-чечных структур и фуллерена C₆₀), взаимодействующих с внешним оптическим полем.

3. Исследование деформации профиля электронной плотности, возникающего в переходном пограничном слое ионизованного кластера или плос-6

кой твердотельной мишени под действием пондеромоторной силы ультракороткого лазерного импульса.

4. Расчет амплитуд мультипольных колебаний, возбуждаемых быстрым электроном в металлическом кластере, и определяемого этим возбуждением спектра потерь энергии электрона.

Научная новизна

Научная новизна и научно-практическая значимость диссертационной работы обусловлены полученными в ней оригинальными результатами и использованными при их получении подходами, а именно:

4. Спектры коллективных электронных возбуждений металлического кластера впервые рассчитаны на основании последовательной плазменной модели, учитывающей пространственную дисперсию и позволяющей описать резонансы как поверхностных, так и объемных плазмонов при наличии трех основных механизмов потерь (диэлектрических, поверхностных и радиационных).

5. Впервые показано, что благодаря явлению фокусировки продольной волны резонансы электрического поля в центре кластера, возбуждаемые внешним оптическим полем на частотах объемных плазмонов (ранее как правило игнорировавшихся), выражены не менее сильно, чем резонансы поверхностного плазмона.

6. Впервые рассчитаны самосогласованные профили электронной плотности, формируемые в переходном пограничном слое плазменного объекта под действием усредненной пондеромоторной силы ультракороткого лазерного импульса на фоне заданного профиля ионной плотности, т.е. в условиях сильного нарушения квазинейтральности. Показано, что характеристики образующейся в этих условиях электронно-полевой структуры (в том числе и параметры скачкообразного перехода через точку плазменного резонанса) существенно зависят от величины дебаевского радиуса.

7. Впервые построена полуклассическая модель неупругого рассеяния быстрого электрона на сферическом кластере, описывающая временную эволюцию каждой мультипольной моды кластера как линейного осциллятора, возбуждаемого заданной внешней силой. Эта модель пригодна (в отличие от большинства ранее использованных полуклассических моделей) при любых значениях прицельного параметра (как больших, так и меньших радиуса кластера) и позволяет учесть все основные механизмы потерь энергии.

5. Впервые исследованы с учетом пространственной дисперсии коллективные резонансы оболочечных металлодиэлектрических наноструктур. Показано, что в силу различия зависимости поверхностных и радиационных потерь от характерных размеров оболочек возможно существование оптимальной (с точки зрения получения сильного резонанса) геометрии наноструктуры.

6. На базе гидродинамического подхода, модифицированного с учетом изменений характера дисперсии продольных волн и бесстолкновительно-го поглощения (затухания Ландау) в квантовой плазме при нарушении условий квазиклассичности, впервые сформулирована система уравнений и граничных условий для переменного поля и поляризации внутри неоднородной электронной оболочки фуллерена. На основании решения этих уравнений рассчитаны частотные зависимости сечения поглощения оболочечной структуры типа фуллерена С₆₀, удовлетворительным образом согласующиеся с результатами эксперимента.

Результаты диссертации могут быть использованы в теоретических и экспериментальных исследованиях, проводящихся в следующих научно-исследовательских учреждениях: ИПФ РАН, ИФМ РАН, ИРЭ РАН, МФТИ, СПбГУ ИТМО, ИВТ РАН, ИКИ РАН, МГУ, НИРФИ.

Достоверность полученных результатов обеспечена корректным использованием выверенных теоретических подходов и моделей, традиционно применяемых в физике лазерно-плазменного взаимодействия, а также согласованием полученных результатов с имеющимися теоретическими результатами других авторов и данными экспериментов.

Личный вклад автора

Диссертант принимал непосредственное участие в постановке задач, построении теоретических моделей, проведении аналитических и численных расчетов, а также обсуждении и интерпретации результатов.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Константы затухания мультипольных резонансов поверхностных и объемных плазмонов металлического кластера, обусловленные радиационным и поверхностным механизмами потерь, могут быть вычислены на основании простых моделей, описывающих излучение соответствующего мультиполя в окружающее пространство и переход колебательной составляющей кинетической энергии свободных электронов кластерной плазмы в постоянную (тепловую) составляющую при их отражении от границы кластера. Благодаря малости поля на границе при резонансах

объемных плазмонов их относительные ширины линий, обусловленные указанными механизмами, значительно меньше относительных ширин линий резонансов поверхностных плазмонов.

2. Благодаря фокусировке и интерференции продольных волн спектр поля в центре металлического кластера содержит в широкой области частот серию сильных резонансов объемных плазмонов, амплитуды которых имеют тот же порядок величины, что и амплитуда резонанса поверхностного плазмона.

3. Модификация профиля электронной плотности в переходном пограничном слое кластера под действием пондеромоторной силы ультракороткого лазерного импульса происходит на фоне заданного профиля ионной плотности и приводит к формированию скачкообразного перехода через точку плазменного резонанса, сопровождаемого сильной пространственной модуляцией плотности в области прозрачности для продольной волны. Параметры образующейся электронно-полевой структуры существенно определяются статическим кулоновским полем, возникающим в результате сильного нарушения квазинейтральности плазмы.

4. Относительный вклад поверхностных и объемных плазмонов различных мультипольных мод в спектры неупругих потерь энергии быстрых электронов, рассеиваемых металлическим кластером, существенно определяется прицельным параметром и отношением характерного времени пролета электрона к периоду плазменных колебаний. При больших временах пролета интегральный (усредненный по прицельному параметру) спектр потерь содержит два примерно равных по высоте пика, образующихся в результате слияния большого числа резонансов высших поверхностных и объемных мультипольных мод (возбуждаемых соответственно при «касательном» и «центральном» пролете электрона).

5. Различие зависимостей поверхностных и радиационных потерь от характерных размеров наноструктуры обеспечивает возможность осуществления металлодиэлектрической оболочечной конфигурации (оболочка с внутренним ядром) с сильным поверхностным резонансом в инфракрасной области, оптимальной с точки зрения ее использования в биомедицинских приложениях.

6. Расчет поляризуемости радиально-неоднородной оболочечной структуры, моделирующей распределение электронной плотности в молекуле фуллерена С₆₀ на основе модифицированной гидродинамической модели с использованием условия излучения для убегающей продольной

волны, позволяет получить резонансную кривую поляризационного отклика фуллерена С₆₀, находящуюся в хорошем согласии с результатами эксперимента.

Апробация работы и публикации

Материалы диссертации докладывались на следующих российских и международных научных конференциях: XVII международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 2013 г.), XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 2011 г.), XIV – XIX научные конференции ННГУ по радиофизике (Нижний Новгород, 2010 – 2015 гг.), III международная молодежная научная школа-конференция «Современные проблемы физики и технологий» (Москва, 2014 г.), XVIII – XIX Нижегородские сессии молодых ученых (Нижний Новгород, 2013, 2014 гг.), 23rd Annual International Laser Physics Workshop (София, Болгария, 2014 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах, из них 4 статьи в международных и российских научных журналах из списка ВАК [A1–A4], 6 работ в трудах международных и российских конференций [A5–A10], 5 тезисов докладов научных конференций [A11–A15].

Проведенные исследования были поддержаны стипендией им. ак. Г.А. Разуваева для аспирантов 2014 г. и грантом РФФИ «Мой первый грант» №14-02-31722-мол_а, а также Министерством образования и науки РФ в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014–2020 годы» (соглашение 14.578.21.0033 от 05.06.2014, уникальный идентификатор RFMEFI57814X0033).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и изложена на 88 страницах, включая 23 рисунка. Список цитированной литературы содержит 141 наименование и занимает 12 страниц.

Затухание собственных колебаний металлического кластера

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались на следующих российских и международных научных конференциях: XVII международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 2012 г.), 38-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 2011 г.), 15-19 научная конференция ННГУ по радиофизике (Нижний Новгород, 2011 – 2015 гг.), 3-я международная молодежная научная школа-конференция «Современные проблемы физики и технологий» (Москва, 2014 г.), 18-19 Нижегородская сессия молодых ученых (Нижний Новгород, 2013,2014 гг.), 23rd Annual International Laser Physics Workshop (София, Болгария, 2014 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах, из них 4 статьи в международных и российских научных журналах из списка ВАК [A1–A4], 6 работ в трудах международных и российских конференций [A5–A10], 5 тезисов докладов научных конференций [A11–A15].

Проведенные исследования были поддержаны стипендией им. ак. Г.А. Разуваева для аспирантов 2014 г. и грантом РФФИ «Мой первый грант» №14-02-31722-мол_а.

Результаты, составившие содержание диссертации, использовались при выполнении работ по гранту Правительства РФ № 14.B25.31.0008 и грантам РФФИ №№ 13-02-00964, 14-02-31722, 14-02-00847. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Владимиру Борисовичу Гильденбургу за помощь, всестороннюю поддержку, а также за ценные наставления в научной работе и при подготовке диссертации. Ниже дается краткое изложение содержания диссертации по главам. Во Введении освещено современное состояние исследований по теме диссертации и обоснована ее актуальность, сформулированы цели работы и основные положения, выносимые на защиту, отмечена научная новизна полученных результатов, кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена расчету спектра собственных колебаний однородного металлического кластера сферической формы при наличии пространственной дисперсии, обусловленной тепловым движением электронов, с учетом основных механизмов потерь. В разделе 1.1 на основании материального уравнения, связывающего в гидродинамическом приближении комплексные амплитуды векторов индукции и напряженности поля и уравнений Максвелла сформулирована краевая задача для потенциала электрического поля, определяющая спектр собственных коллективных электронных колебаний металлического шара. На основании решения сформулированной краевой задачи найдены действительные части комплексных собственных частот мультипольных колебаний, соответствующих плазмонам двух типов: (а) поверхностным плазмонам, плотность заряда в которых близка к нулю во всем объеме кластера за исключением тонкого приповерхностного слоя толщины порядка радиуса Ферми; (б) объемным плазмонам, представляющим собой суперпозиции решения уравнения Лапласа и стоячей сферической плазменной волны, в которой плотность заряда плавно распределена по объему кластера). В разделе 1.2 на основании гидродинамической и кинетических моделей проведены расчеты постоянных затухания мультипольных колебаний любого порядка, определяемых в общем случае (а) мнимой частью комплексной диэлектрической проницаемости вещества кластера, (б) так называемым «граничным рассеянием», т.е. соударениями свободных электронов кластера с его границей, и (в) радиационными потерями, обусловленными электромагнитным излучением соответствующего мультиполя в окружающее пространство. Показано, что в рамках принимаемой нами модели однородного кластера с резкой границей постоянные затухания поверхностных и объемных плазмонов, обусловленные внутренними (диэлектрическими) потерями, одинаковым образом выражаются через эффективную частоту соударений электронов. В 1.2.1 общее выражение для константы радиационного затухания любого мультиполя получено путем учета добавочных волновых поправок в известном решении задачи о колебаниях диэлектрической сферы. Показано, что объемные плазмоны обладают гораздо меньшей радиационной шириной линии, чем поверхностные и при наличии одних лишь радиационных потерь хорошо разрешены. В 1.2.2 константы затухания, обусловленные граничным рассеянием, рассчитаны на основании сопоставления результатов двух моделей. Первая из этих моделей, описывающая переход колебательной составляющей кинетической энергии свободных электронов кластерной плазмы в постоянную (тепловую) составляющую при их отражении от сферической границы кластера, позволяет получить (с точностью до постоянного множителя порядка единицы) зависимость константы «поверхностного» затухания мультипольных колебаний от параметров кластера (радиус, концентрация свободных электронов) и номера мультиполя. Полученное в рамках этой модели выражение для константы поверхностного затухания согласуется с известной размерной зависимостью, установленной ранее для поверхностного плазмона дипольного типа на основании различных теоретических моделей и данных экспериментов [74, 121–124]. В то же время найденная зависимость этой константы от номера мультиполя отличается от аналогичной зависимости, полученной ранее в работе [122], в которой поле поверхностного плазмона внутри кластера (включая и область, непосредственно прилегающую к его границе) определялось без учета пространственной дисперсии. Вторая из рассмотренных моделей допускает точное кинетическое описание, основанное на разложении поля по системе нормальных (плоских) волн однородной безграничной плазмы и позволяет вычислить значение поправочного множителя, входящего в первую модель. Полученное значение согласуется с результатами измерений ширин линий дипольного поверхностного резонанса серебряных кластеров, выполненных в работах [74, 121].

Во второй главе исследуется резонансные явления в линейном поляризационном отклике металлического кластера, взаимодействующего с лазерным импульсом (раздел 2.1), а также нелинейные эффекты, обусловленные резонансным усилением поля и средней пондеромоторной силы внутри переходного пограничного слоя ионизированного кластера в импульсах сверхмалой длительности (раздел 2.2).

Частотные зависимости дипольного момента и поля в центре кластера

Рассмотрим однородный плазменный шар радиуса a находящийся в заданном переменном поле Ео = EQ exp(icut)zo. Далее мы будем пользоваться квазистатическим приближением (т.е. будем считать, что произведение коа С 1, и напряженность поля известным образом описывается скалярным потенциалом). Следует отметить, что и в рамках этого приближения возможен учет радиационных потерь: к внешнему полю необходимо добавить поле радиационного трения Ejrad, пропорциональное третьей производной по времени от дипольного момента шара р Erad = (2/3с3)(б?3р/бЙ3), (2.1) которое, так же как и внешнее поле Ео, может рассматриваться как однородное на масштабах порядка радиуса а.

Введем сферическую систему координат г, #, , начало которой расположено в центре шара, координата r отсчитывается от его центра, а угол $ - от направления внешнего поля, параллельного полярной оси z. В этой системе координат решение краевой задачи для потенциала (1.7)-(1.13), описывающей коллективные колебания металлического шара в гидродинамическом приближении, удовлетворяющие условиям ограниченности поля в начале координат и на бесконечности, имеют следующий вид:

При отсутствии пространственной дисперсии (чему соответствует формальный предельный переход Vp — 0, кр — оо) функция f(kpa) обращается в нуль и выражение (2.8) переходит в электростатическую формулу, обобщенную с учетом радиационной поправки

Другой важной характеристикой поляризационного отклика кластера, определяющей, в частности, возможность возникновения нелинейных эффектов в исследуемом взаимодействии, является максимальное значение амплитуды поля Ет&х. В интересующих нас условиях сильного резонанса максимальное значение поля достигается в центре кластера (при г = 0) и равно, как следует из уравнений (2.5)-(2.7), вместе с выражениями для диэлектрической проницаемости плазмы () (1.2) и продольного волнового числа р() = у/5/3(1 — )/р определяет спектр собственных частот дипольных плазмонов, возбуждаемых однородным внешнем полем (одного поверхностного и целой серии объемных). При малых потерях (в пределе при / — 0, ()3 — 0) данное уравнение переходит в уравнение

определяющее действительные части собственных частот. Следует отметить, что уравнения (2.15) и (2.16) также могут быть получены при предельном переходе в решении более сложной задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на плазменном шаре. Преимущества квазистатического (потенциального) описания заключается в том, что данный подход наиболее явно демонстрирует электростатическую природу исследуемых колебаний и позволяет избежать громоздкой процедуры отыскания непотенциального решения векторной волновой задачи, с последующим разложением функций Бесселя и Ханкеля (которые описывают поле прошедшей волны в плазме и поле в вакууме) по степеням малых параметров может быть получена из (2.16), если учесть, что волновое число р на этой частоте чисто мнимое и по порядку величины равно радиусу Томаса-Ферми: p(10) p ; параметр р(10) /р в этом случае, в силу принятого нами условия р, велик по модулю, и левая часть уравнения (2.16) (p) (р) 1 С 1. Электрическое поле поверхностного плазмона однородно почти во всем объеме плазмы; исключение составляет лишь тонкий пограничный слой толщиной порядка р, где в основном и сосредоточиваются колебательные возмущения плотности заряда. Действительные частоты объемных плазмонов 1n ( = 1,2,3,...) лежат в области и равны

На основании полученных результатов были рассчитаны частотные зависимости дипольного момента р (2.8), и поля в центре кластера Ет&х (2.14). Поверхностные потери в этих расчетах учитывались на основе рассмотренной в Главе 1 модели. Как показали проведенные расчеты, резонансы дипольного момента на частоте поверхностного плазмона в условиях, которые могут представлять практический интерес, выражены гораздо сильнее, чем на частотах объемных плазмонов. Последние, ввиду их весьма малой радиационной ширины (и поэтому малого коэффициента возбуждения внешним полем) сильно подавляются уже при сравнительно низких частотах соударений электронов; соответствующие им резонансные значения дипольного момента сравнимы со значениями, достигающимися на резонансе поверхностного плазмона, лишь при чрезвычайно низких (заведомо нереализуемых) значениях частоты соударений электронов (vfujp 10 5). Это иллюстрируется резонансными кривыми , представленными на рис. 2.1 для кластера с параметрами N = 4 1022 см-3, а = 4 нм. Красным цветом на этом рисунке изображены части резонансной кривой, отвечающие возбуждению объемных плазмонов при значении v/ujp = 10 5. При v/ujp 10 4 эти резонансы практически полностью исчезают, и резонансная кривая (черная линия) содержит только один пик, отвечающий поверхностному плазмону. Ширина данного резонансного пика в рассматриваемом случае малых столкновительных потерь полностью определяется поверхностными потерями.

По-иному обстоит дело для резонансов поля в центре кластера. Вплоть до значений v/up 10 2 -і- 10-1 (представляющихся достаточно реалистическими для фермиевской плазмы металлического кластера при температурах 100 -т- 300 К) резонансные максимумы поля на частотах объемных плазмонов имеют тот же порядок величины, что и максимум, соответствующий резонансу поверхностного плазмона. Это иллюстрируется резонансными кривыми тах( ), представленными на рис. 2.2 и 2.3 для металлических кластеров при значениях параметров Vp = 108 см/c, сор = 1016 с-1 (что соответствует указанному выше значению электронной плотности), а = 4 нм, v/up = 10-1 (рис. 2.2) и v/u)p = 10 2 (рис. 2.3).

Решение задачи о возбуждении коллективных колебаний сторонним источником

В настоящей главе построена полуклассическая модель неупругого рассеяния быстрого электрона на сферическом кластере, пригодная (в отличие от большинства ранее использованных полуклассических моделей) при любых значениях прицельного параметра (как больших, так и меньших радиуса кластера) и учитывающая все три механизма потерь, рассмотренные выше. Модель основывается на использовании квантово-механического соответствия частотных и энергетических спектров потерь электрона, тормозящегося на своей классической (слабо возмущенной) траектории полем всех возбуждаемых им плазмонов. Расположение, относительная высота и ширина резонансных пиков в рассчитываемых спектрах потерь в рамках используемой модели определяются, очевидно, комплексными собственными частотами и коэффициентами возбуждения плазмонов, зависящими (при заданных значениях скорости и прицельного параметра электрона и радиуса кластера) от их пространственной структуры. При этом весьма важным, но по-видимому наименее хорошо известным параметром, определяющим значимость того или иного плазмона в общем спектре потерь, является его константа затухания (ширина резонансной линии).

Задача о возбуждении коллективных электронных колебаний кластера источником с произвольно заданным пространственно-временным распределением плотности стороннего заряда ps(r,t) может быть решена в общем виде тем же методом разложения по собственным модам, что и задача о возбуждении любой распределенной колебательной системы сторонними электрическими токами (см. например, [136]). Переходя в материальном уравнении (1.1) к описанию во временной области (с заменой — icu — d/dt), на основании уравнений, связывающих электрическое смещение и напряженность поля с плотностью стороннего (ps) и наведенного (р) зарядов divD = 47rps, (3.1) divE = 4тт(р + ps), (3.2) приходим к следующей системе уравнений, определяющих (вместе с граничными условиями (1.11)–(1.13)) в рамках квазистатического потенциального опи сания (Е = — VI/J) пространственно-временную эволюцию плотности наведенного заряда (в области г а) и потенциала при произвольной зависимости ps(r,t)

Здесь 7 – оператор потерь, позволяющий учесть в принципе все описанные выше механизмы затухания, ср и cps - электрические потенциалы, создаваемые наведенными и сторонними зарядами р и ps соответственно. 3.2. Решение задачи о возбуждении коллективных колебаний сторонним источником Будем искать решение системы уравнений (3.3)-(3.6) в виде разложения функций p(r, t) и (/?(r, t) по собственным функциям (1.18)-(1.22) краевой задачи (1.7)-(1.13) (или эквивалентной ей задачи (1.14)-(1.17)): (совокупность индексов суммирования /, т, п заменяется для краткости записи здесь и далее одним индексом а (или /3)). Получим необходимое для отыскания такого разложения соотношение ортогональности. Для этого запишем вторую формулу Грина для величин Фа,/з = (Ра,/з + (127r/5)r2ipa;(g в объеме кластера,

Так как заряды ра отсутствуют вне кластера, то в последнем равенстве можно расширить область интегрирования на всё бесконечное пространство. При этом в силу теоремы взаимности для зарядов и потенциалов имеем j pa(ppdV = j pp(padV, благодаря чему равенство (3.10) упрощается до (Ща Щ)в) /оо РаФ/зйУ = 0. При Ща к о сразу имеем ж раф/зс1У = 0. При Ща = Щ в и а т &, то есть для плазмонных мод, отличающихся только угловыми зависимостями (см. формулы (1.18)-(1.22)), указанное условие также выполняется в силу ортогональности сферических гармоник. Таким образом, искомое соотношение имеет следующий вид: при а ф /3

Выполняя стандартную процедуру отыскания временных множителей Ga(t) (подстановка уравнений (3.7)-(3.8) в уравнение (3.3) , умножение обеих сторон полученного уравнения на функцию и интегрирование по всему пространству с использованием условия ортогональности (3.11)), получаем уравнения с достаточной степенью наглядности иллюстрирующие природу временной эволюции каждой моды как линейного осциллятора, возбуждаемого заданной сторонней силой. Последнюю из величин (3.13) будем называть нормой моды. Заметим, что в подынтегральных выражениях, определяющих Na и Фа() функцию фа с достаточной точностью можно заменить на сра. Как следует из уравнения (3.12) и уравнения Пуассона Асра = —47гра, учет различия этих функций может привести лишь к появлению малых поправок (первого или второго порядка малости по параметру ту/а « 1) в полученном решении. В проводимых ниже расчетах мы этими поправками пренебрегаем, полагая далее

В интересующем нас случае сторонний заряд представляет собой электрон, движущийся с постоянной скоростью Vo по прямой, расположенной на расстоянии Ъ от центра кластера и задаваемой в Декартовых координатах х,у, z уравнениями х = 6, , z = Vo, — оо t +оо. В этих координатах ps = ед(х — b)5(y)5(z — Vot), (3.14) Фа = e(pa(b, 0, Vot), (3.15) т.е. временная зависимость «сторонней силы» Фа(), возбуждающей каждую данную моду, полностью определяется видом ее собственной функции (1.18)-(1.21) на траектории электрона (при значениях аргументов сферических функций г = \Jh2 + (Vot)2, cos$ = Vo /r, tp = 0).

Дипольные резонансы сферической оболочки с ядром

В данной главе исследуются спектры линейного поляризационного отклика сферически симметричных оболочечных наноструктур различных типов, взаимодействующих с оптическим полем. В первой и второй частях главы в рамках тех же подходов, которые были использованы в Главе 2, исследованы коллективные резонансы металлодиэлектрических оболочечных наноструктур. В отличие от однородных нанообъектов (металлических атомных кластеров), многослойные наноструктуры за счет выбора материалов, толщин и количества оболочек допускают возможность изменения числа резонансов и соответствующих им резонансных частот, что позволяет конструировать на-нообъекты с управляемыми свойствами для широкого круга приложений, к числу которых относятся: создание метаматериалов с заданными оптическими свойствами [23, 50-57, 76] и биомедицинские технологии [78-81]. В третьей части на основании модифицированных уравнений гидродинамики рассчитан спектр поглощения радиально-неоднородной оболочки с плавным распределением электронной плотности, моделирующим электронную структуру молекулы фуллерена Сeo. По сравнению с обычно применяемыми при исследовании спектров поляризационного отклика фуллеренов квантовомеханически-ми моделями, рассмотренная ниже модель позволяет более простым образом учесть основные факторы, существенным образом усложняющие картину взаимодействия (пространственную дисперсию, обусловленную тепловым движением электронов, и плавную неоднородность пространственного распределения электронной плотности) и допускает более наглядную физическую интерпретацию.

Рассмотрим однородный сферический слой плазмы с диэлектрической проницаемостью є, ограниченный в сферической системе координат г, #, ср поверхностями г = а\ и г = а.2 (fli сц), взаимодействующий с внешним переменным полем Ео = zoEoexp(-iujt) (полярный угол #, так же как и в предыдущих главах отсчитывается от направления внешнего поля). Интересующее нас общее решение уравнений (1.7)-(1.10) дипольного типа ср = R(r) cos $, удовле творяющее условиям ограниченности в начале координат и на бесконечности, имеет вид R(r (i\) = СоГ, (4.1) R{a\ г (12) = С\г + С ііт + Czji(kpr) + С п\{крг), (4.2) R{r (12) = -EQV - (2i/3)k P + P/r . (4.3) Здесь Co, Ci, C2, C3, C4,p - константы (последняя из них имеет смысл дипольного момента оболочки), определяемые из граничных условий (1.11)-(1.13), выполнение которых в данным случае требуется на внутренней (г = а\) и внешней (г = а?) границах оболочки. Ниже приведены выражения, определяющие дипольный момент оболочки р:

При резонансах поверхностных плазмонов колебательные возмущения плотности объемного заряда сосредоточены вблизи границ плазмы, причем при резонансе низкочастотного поверхностного плазмона преобладают меридиональные компоненты поля и тока в плазме, а при резонансе высокочастотного поверхностного плазмона - радиальные. При резонансах объемных плазмонов возмущения плотности объемного заряда отличны от нуля во всем объеме плазмы, преимущественное направление электронного тока при малой толщине оболочки - радиальное.

Для констант поверхностного затухания поверхностных плазмонов 7л 2 расчет, основанный на тех же представлениях, которые были использованы в Главе 1 (преобразование колебательной составляющей кинетической энергии свободных электронов плазмы в постоянную составляющую при соударении с границей), позволяет получить следующие выражения:

Графики функции 1,2(), определяющих зависимость постоянных поверхностного затухания от соотношения внутреннего и внешнего радиусов оболочки представлены на рис. 4.1. Постоянные затухания объемных плазмонов оболочки, обусловленные поверхностными и радиационными потерями, так же как и в случае металлического шара, оказываются пренебрежимо малыми, при этом затухание объемных плазмонов полностью определяется внутренними (диэлектрическими) потерями. На рис. 4.2 представлены спектры ди Рис. 4.1. Графики зависимости функций si,2 от отношения внутреннего и внешнего радиусов оболочки = \/2 . польного момента оболочечной наноструктуры с параметрами а,2 = 20 нм, N = 4-1022 см-3, /p = 0.05 при различных отношениях внутреннего и внешнего радиусов . При = 0 в спектре присутствует только один резонанс на частоте Ми /p = 1/л/3. При малых значениях параметра в спектре появляется еще один резонанс на частоте близкой к /р = \/2/3; этот резонанс фактически соответствует дипольному поверхностному резонансу сферической полости в безграничной плазме. При — 1 резонансные частоты приближаются к значениям = 0, для низкочастотного и = для высокочастотного резонанса, представляющим собой соответственно резонансные частоты бесконечного плоского слоя плазмы, границы которого расположены параллельно внешнему полю (низкочастотный резонанс) или перпендикулярно ему (высокочастотный резонанс). Резонансы дипольного момента оболочки на частотах

Спектры дипольного момента оболочек при различных отношениях внутреннего и внешнего радиусов; параметры оболочки: внешний радиус г = 20 нм, концентрация свободных электронов = 4 1022 см-3, параметр внутренних потерь /р = 0.05 . объемных плазмонов полностью подавлены внутренними потерями. Следует также отметить, что в отличие от плазменного шара, для которого возможно существование сильных резонансов поля в плазме (в силу фокусировки продольных волн в центральной области), в случае оболочечной наноструктуры такие резонансы отсутствуют.

Учет пространственной дисперсии приводит к изменению спектра только в случае сравнительно большого отношения пространственного масштаба поляризуемости вырожденной плазмы к толщине оболочки (р/(2—\) 0.1). Это влияние (см. рис. 4.3) в первую очередь проявляется в области низкочастотного резонанса, поскольку именно для этого резонанса сильно поверхностное затухание. Снижение высоты высокочастотного резонанса обусловлено не только Рис. 4.3. Спектры дипольного момента оболочки с параметрами а\ = 9 нм , аг = Юнм, N = 4 1022 см-3, построенные с учетом пространственной дисперсии (красная кривая) и в ее отсутствии (черная кривая). появлением дополнительного (по отношению к случаю холодной плазмы) механизма потерь, но и снижением коэффициента возбуждения этого резонанса. На коэффициент возбуждения низкочастотного резонанса пространственная дисперсия практически не влияет, т.к. в области си С сор (при значениях \є\ С 1) поля в плазме близки к рассчитанным без учета пространственной дисперсии всюду, кроме малых окрестностей границ.