Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Оценка задержки взаимодействия при сильной связи 10
1.1 Введение 11
1.2 Метод моделирования фазовой динамики 11
1.3 Тестовые модели 12
1.4 Оценки времени задержки между связанными системами 13
1.4.1 Два однонаправленно связанных фазовых осциллятора 13
1.4.1.1 Влияние силы связи между осцилляторами на оценку времени задержки в связи 14
1.4.1.2 Влияние расстройки частот на оценку времени задержки в связи 16
1.4.1.3 Влияние шума на оценку времени задержки в связи 16
1.4.2 Два однонаправленно связанных осциллятора Ван-дер-Поля 17
1.4.2.1 Зависимость оценки времени задержки в связи от длины ряда 19
1.4.2.2 Влияние измерительного шума на оценку времени задержки в связи
1.4.3. Система с двумя задержками 23
1.4.4. Гармонический сигнал, воздействующий на систему с задержкой 23
1.4.5. Осциллятор Ван-дер-Поля, связанный с системой с задержкой 24
1.5 Заключение 30
Глава 2 Оценка задержки взаимодействия процессов подсистем регуляции в сердечно-сосудистой системе человека 32
2.1 Введение 32
2.2 Материал и методы 33
2.3 Оценки времени задержки, полученные для групп испытуемых 40
2.4. Заключение 46
Глава 3 Метод определения времени задержки, основанный на методе поиска ближайших соседей 47
3.1. Введение 47
3.2. Оценки времени задержки, полученные для системы Маккея-Гласса 50
3.3. Определение задержки в системах более высокого порядка 3.4 Восстановление времен запаздывания в системах с двумя задержками 68
3.5 Восстановление времени задержки в системах с запаздыванием с двумя динамическими переменными 71
3.6. Выводы. 81
Глава 4 Использование метода, основанного на поиске ближайших соседей, для восстановления параметров лазерных систем 83
4.1. Введение 83
4.2. Определение задержки по зашумленным временным рядам. 86
4.3. Определение уровня обратной связи . 89
4.4. Результаты для экспериментальной системы.. 89
4.5. Выводы. 99
Заключение 100
Список сокращений 102
Список литературы 103
- Два однонаправленно связанных фазовых осциллятора
- Оценки времени задержки, полученные для групп испытуемых
- Определение задержки в системах более высокого порядка 3.4 Восстановление времен запаздывания в системах с двумя задержками
- Определение уровня обратной связи
Два однонаправленно связанных фазовых осциллятора
В качестве тестовых моделей выступали: - фазовые осцилляторы; - однонаправленно связанные осцилляторы Ван-дер-Поля. Для широкого круга ситуаций фазовая динамика осцилляторов, имеющих ярко выраженный ритм, адекватно описывается стохастическими дифференциальными уравнениями [32], поэтому в качестве наиболее простой и универсальной модели взаимодействующих систем были выбраны однонаправленно связанные фазовые осцилляторы [33] следующего вида: где/ід — частоты осцилляторов, ід (t) — белые шумы с нулевым средним, к — коэффициент связи между осцилляторами, — задержка в связи между системами. Для качественного описания динамики автоколебательных систем в ряде случаев хорошо подходит модель в виде осциллятора Ван-дер-Поля [34, 35]. Поэтому, в качестве второй базовой модели рассмотрим однонаправленно связанные осцилляторы Ван-дер-Поля: d2x
Кроме оценки количества ошибочных выводов, важен вопрос и о том, при каких условиях достаточно высока вероятность правильных выводов о направлении и задержке связи. Для ответа на эти вопросы рассчитываем зависимости оценок сил связи от пробного времени задержки по временному ряду. Смещение оценки определятся разницей между значением, заданным в уравнениях модели, и значением, полученным по временному ряду. 95% уровень значимости рассчитывался по 100 реализациям суррогатных рядов, полученных из исходных временных рядов фаз осцилляторов путём случайной перестановки участков ряда длительностью 2. При таком способе приготовления суррогатных данных происходит разрушение связи между исследуемыми временными рядами при сохранении их основных свойств. 1.4.1.1 Влияние силы связи между осцилляторами на оценку времени задержки в связи
Используемые для оценки времени задержки в связи временные ряды систем (4) были получены путём численного интегрирования уравнений методом Эйлера с шагом 0.02 при частотах f1,2 0.1. Каждое из начальных условий выбиралось случайно из отрезка [0..2] (использовалось равномерное распределение).
На Рис. 1 представлены зависимости оценок сил связи (3) от пробного времени задержки. Видно, что максимум 12 — оценки воздействия со стороны первого осциллятора на второй, соответствует реальному времени задержки в связи и превышает уровень значимости, рассчитанный по суррогатным данным. Оценки воздействия со стороны второго осциллятора на первый (21) не превышают 95% уровень значимости. Это свидетельствуют об отсутствии значимого взаимодействия со стороны второго осциллятора на первый.
Зависимости оценок сил связи от пробного времени задержки при =0.7, =40, расстройке частот f =0.02, длине ряда 350 характерных периодов и дисперсии шума =0.8. Пунктирной линией показан 95% уровень значимости, рассчитанный по суррогатным рядам.
На Рис. 2(а) представлена зависимость оценки времени задержки в связи от коэффициента связи между системами. Видно, что оценки времени задержки в связи имеют меньший разброс и практически не смещены, когда коэффициент связи принимает значения выше 0.4. На Рис. 2(б) представлена зависимость индекса фазовой синхронизации от коэффициента связи между системами. Из графика видно, что с увеличением коэффициента связи уровень синхронизации между осцилляторами растёт по линейному закону. Однако, высокий уровень синхронизации не мешает получению правильной оценки времени задержки в связи (см. рис. 2(а)).
На рис. 2(в) представлена зависимость оценки времени задержки в связи от расстройки частот. Видно, что большая расстройка частот приводит к ухудшению оценок времени задержки в связи, что отражено на графике значительными отклонениями от значения реального времени задержки в связи между системами. На рис. 2(г) представлена зависимость индекса фазовой синхронизации от расстройки частот. Видно, что с увеличением расстройки значения индекса фазовой синхронизации немного уменьшаются.
На рис. 2(д) и 2(е) представлены зависимости оценок времени задержки в связи от уровня шума при одинаковом коэффициенте связи и разной длине ряда. Из рис. 2(д ) видно, что график оце нки времени задержки имеет пологий вид . Можно сделать вывод, что значение оценки времени задержки в связи слабо зависит от уровня шума в случае достаточно длинного временного ряда при большом уровне связи. Из рис. 2(е), построенного для случая коротких временных рядов, видно, что при слабых уровнях шума оценки времени задержки определяются хуже и имеют тенденцию к смещению и увеличению разброса.
Кроме того, увеличивается риск получения ложного вывода о преимущественном направлении воздействия, поскольку для случая очень слабых шумов при сильной синхронизации можно получить значения оценок сил связи, превышающих 95% уровень значимости, рассчитанный с помощью суррогатных данных. 1.4.2 Два однонаправленно связанных осциллятора Ван-дер-Поля
Рассмотрим зависимости оценки направления воздействия и времени запаздывания в связи от шума в случае сильной связи. При этом ответим на следующие вопросы: - возможно ли получение несмещенных оценок запаздывания при большом уровне шума; - существует ли зависимость смещения оценок задержки в связи от силы связи; - какой вклад вносит динамический и измерительный шум в динамику фазы осциллятора Ван-дер-Поля? Для ответа на эти вопросы рассчитывались зависимости оценок сил связи от пробного времени задерж ки по временному ряду, а также автокорреляционная функция и распределение свернутой фазы.
Оценки времени задержки, полученные для групп испытуемых
Графики усреднённой по ансамблю записей оценки силы воздействия 1,2 со стороны одного функционального элемента системы вегетативной регуляции кровообращения (сердце или МЦР) на другой в зависимости от времени запаздывания в связи, полученные с помощью метода моделирования фазовой динамики, у больных ИБС на разных сроках после развития ИМ. Зоны предполагаемых максимумов, соответствующие положениям времен задержек в связи между системами отмечены прямоугольными областями. Рис. 17. Графики усреднённой по ансамблю записей оценки силы воздействия уїд со стороны одного функционального элемента системы вегетативной регуляции кровообращения (сердце или МЦР) на другой в зависимости от времени запаздывания в связи, полученные с помощью метода моделирования фазовой динамики, у здоровых испытуемых. Зоны предполагаемых максимумов, соответствующие положениям времен задержек в связи между системами отмечены прямоугольными областями
При изучении записей сигналов, зарегистрированных у здоровых испытуемых, выявлено, что в связи «сердцеМЦР» можно выделить характерный максимум, соответствующий времени задержки порядка 1 секунды, что немного меньше, чем показатель, полученный для пациентов, перенёсших ИМ к концу первого года. В связи же «МЦР сердце» отмечается максимум, соответствующий задержке порядка 2-2.5 секунд, что соответствует показателям, полученным для пациентов к концу первого года.
На рис. 18. изображены изменения распределения времени задержки, полученной по ансамблю для каждого периода наблюдения методом расчёта индекса фазовой синхронизации для пробного времени запаздывания: где А - пробное время задержки. Из рисунка видно, что средние значения задержки, равно как и разброс оценок близки для периодов наблюдения 3 недели - 1 год. Средние значения запаздывания принимают величину около 2 с, что согласуется с результатами, полученными по методу моделирования фазовой динамики наблюдения 3 недели – 1 год, и чуть выше, чем полученные по здоровым субъектам.
При этом значения задержки принимают положительные значения, что соответствует преимущественному направлению воздействия «сердце МЦР». Результаты, описанные в данной главе, позволяют расширить представления о функциональных особенностях системы вегетативной регуляции кровообращения, в частности, механизмах 0.1Гц-регуляции. У здоровых людей направление связи «сердце МЦР» преобладает по быстродействию относительно направления «МЦР сердце», что является основой для доминирования центральной 0.1Гц-регуляции сердца над таковой в М Ц Р.
При развитии острого ИМ отмечается значительное разрушение вегетативной регуляции сердечно-сосудистой системы, выраженность которой индивидуальна, что согласуется с данными наших предшествующих работ [56]. При этом в результате развития ИМ нарушается преимущественно связь по направлению «сердце МЦР». Показано, что восстановление функционального статуса данного направления связи происходит постепенно, достигая максимума к конце первого года после острого ИМ. Однако достигнутое время запаздывания (1.5-2.5 сек.) не достигает уровня здоровых лиц ( 1 сек.).
Направление же связи «МЦР сердце» восстанавливается до исходного уровня (сопоставимого с таковым у здоровых лиц, т.е. 1.5-2.5 сек.) в течение первых трех недель после развития острого ИМ.
Выявленная динамика в свойствах взаимодействия 0.1Гц-регуляции сердца и МЦР, вероятно, является основой изученного ранее улучшения качества синхронизации 0.1Гц-колебаний в ВСР и вариабельности кровенаполнения МЦР в течение первого года после перенесенного ИМ [57]. Биофизический механизм нарушения связи в системе «сердце – МЦР» при остром ИМ остается неизвестным. Можно предположить, что основой является нарушение барорефлекторной 0.1 Гц-регуляции сердца, проявляющееся в снижении мощности низкочастотного диапазона спектра ВСР, при этом сохраняется чувствительность вегетативной регуляции сердца к входящим 0.1 Гц-влияниям со стороны периферического сосудистого русла.
Необходимо отметить, что у подавляющего большинства больных, перенесших острый ИМ, (более 75% пациентов) доминирующая роль во взаимодействии «сердце – МЦР» остается за 0.1 Гц-регуляцией сердца. Однако у ряда пациентов разрушение вегетативной регуляции на фоне острого ИМ сопровождается доминированием вегетативной регуляции периферического кровообращения, свидетельствуя о максимальном разрушении 0.1 Гц-регуляции сердца. 2.4. Заключение
Взаимодействие механизмов вегетативной регуляции сердца и МЦР, обусловливающих появление 0.1 Гц-колебаний в ВСР и вариабельности кровенаполнения МЦР, в норме характеризуется доминированием направления связи «сердце МЦР» с временем запаздывания около 1 секунды, тогда как время запаздывания по направлению связи «МЦР сердце» составляет 1.5-2.5 секунды.
В острый период ИМ отмечается значительное разрушение взаимоотношений уровня «сердце – МЦР» с преимущественным нарушением связи по направлению «сердце МЦР». Восстановление связи «МЦР сердце» до исходного уровня отмечается в течение первого месяца после развития острого ИМ, тогда как восстановление связи «сердце – МЦР» происходит постепенно в течение всего первого года, но не достигает уровня, характерного для здоровых лиц. Однако у большинства пациентов, перенесших острый ИМ, доминирующей остается направление связи «сердце МЦР»[58,59].
Определение задержки в системах более высокого порядка 3.4 Восстановление времен запаздывания в системах с двумя задержками
Описанные методы могут быть использованы для определения по временному ряду априорно неизвестного порядка системы с запаздыванием. Идея подхода состоит в том, чтобы сначала восстановить время запаздывания исследуемой системы в предположении, что она описывается уравнением с запаздыванием первого порядка (19), а затем в предположении, что модельным уравнением системы является уравнение второго порядка (28), и построить зависимости (24) и (30) на одном графике. При правильном выборе порядка модельного дифференциального уравнения зависимость D(m) будет лежать ниже зависимости D(m), построенной при ошибочном выборе порядка модельного уравнения.
Например, пусть у нас имеется временной ряд системы с запаздыванием второго порядка (28) с квадратичной нелинейной функцией f(x) = Я-х2, где Я — параметр нелинейности, находящейся под действием 10% динамического шума. Параметры системы т =1000, Я = 1.9, є1 = 7, є2 = 10 соответствуют движению на хаотическом аттракторе. Шаг выборки точек At = 1, длина ряда 7V = 10000. Фрагмент временного ряда приведен на рис. 32, а. Будем считать, что порядок модельного уравнения этой системы нам неизвестен, и восстановим сначала время запаздывания, полагая, что система описывается уравнением с запаздыванием первого порядка (19). На рис. 32, б черным цветом построена зависимость (24) при = 10 и / = 10. Она имеет минимум при /77 = 1001, что немного больше времени запаздывания d = т/ At = 1000.
Восстановим теперь время запаздывания, предположив, что исследуемая система описывается уравнением с запаздыванием второго порядка (28). На рис. 32, б серым цветом построена зависимость (30) при = 10 и / = 10. Она располагается ниже зависимости (24), что указывает на то, что система лучше описывается уравнением второго порядка. Минимум зависимости (30) наблюдается при m = d = 1000 , то есть, при правильном выборе порядка модельного уравнения время запаздывания удается восстановить точно.
Фрагмент временного ряда системы с запаздыванием второго порядка с квадратичной нелинейной функцией (а). Зависимости D(m), рассчитанные с помощью метода адаптированного для систем первого (чёрным) и второго (серым) порядка (б).
Рассмотрим теперь ситуацию, когда исследуемый временной ряд сгенерирован системой с запаздыванием первого порядка (19) с квадратичной нелинейной функцией и параметрами t=1000 , l=1.9 , e=10 , соответствующими движению на хаотическом аттракторе. Как и в рассмотренном выше примере, на систему действует 10% динамический шум, Dt =1, N =10000 . При реконструкции времени задержки в предположении, что модельное уравнение имеет вид (19), график D(m), построенный при k =10 и l =10 , демонстрирует минимум при m = d =1000 . Этот график показан на рис. 33 черным цветом. Зависимость D(m), построенная в предположении, что модельное уравнение имеет вид (28), показана на рис. 33 серым цветом. Она имеет минимум при m = 999 и расположена преимущественно выше черной кривой, что указывает на то, что модельное уравнение системы имеет первый порядок.
Отметим, что при выборе шага интегрирования для рассмотренных далее систем мы руководствовались такими же соображениями, как и ранее для системы Маккея-Гласса. При h =1 и Dt =1 количество точек на характерном временном масштабе колебаний оказывается достаточным для успешной реализации предложенного метода и построения зависимостей D(m). 3.4 Восстановление времен запаздывания в системах с двумя задержками
Предложенный метод может быть распространен и на системы с несколькими временами запаздывания. Рассмотрим систему с запаздыванием с двумя различными временами задержки т\ и гг: i(t) = -x(t) + fx(x(t - TJ) + f2(x(t - т2) (31) Используя описанный выше подход, можно перейти от дифференциального уравнения (31) к дискретному отображению
При ошибочном выборе гп\ и/или /772 (Щ dx ,т2Фd2) дисперсия этих состояний может оказаться большой. В качестве оценки времен запаздывания d\ и di будем использовать положение минимума величины
Продемонстрируем работоспособность метода, применив его к временному ряду обобщенного уравнения Маккея-Гласса, получаемого введением второго времени запаздывания:
Поделив обе части уравнения (34) на Ь, можно привести его к виду (31) с є = 1Ь . При а = 0.2 , Ь = 0.1 , с = 10 , т1=70 , г2=300 система (34) демонстрирует хаотические колебания. По временному ряду длиной 7V = 10000 точек при шаге выборки At = 1 построим зависимость D(m1,m2) , представляющую собой двумерную поверхность, рис. 34, а. При ее построении мы считали ближайшими соседями вектора Xi и X , расстояние L{Xi,Xj) = i{Xi-Xjf +{ І-Щ -Xj-m +{Хг-т2 " XJ m2 f (35) между которыми ЬІХ,ХІ 0.02 . Зависимость D(m1,m2) имеет минимум при m1 = d1 = 70 , m2=d2= 300 , обеспечивая точное восстановление обоих времен запаздывания. Так же как при численном интегрировании системы (25), был выбран h=1 . Такой шаг интегрирования позволяет при Аґ = 1 точно восстановить времена запаздывания, а уменьшение шага приводит к существенному увеличению вычислительных затрат для построения зависимости
Для сравнения на рис. 34, б приведена зависимость D(m), полученная при применении к временному ряду системы (34) метода, предложенного выше для систем (19) с одной задержкой. График этой зависимости (24) имеет глубокие минимумы при да = 68 и т = 298. Таким образом, без учета вида модельного уравнения (31) оценка времен запаздывания оказывается менее точной. Еще один характерный минимум D(m) наблюдается на рис. 34, б вблизи m = d1+d2.
Зависимости D(m1,m2) для временного ряда системы с запаздыванием первого порядка с квадратичной нелинейной функцией, рассчитанные с помощью метода адаптированного для вектора с двумя задержками (а) и с одной задержкой (б). Отметим, что если применить метод восстановления двух задержек к временному ряду системы (19) с одним временем запаздывания, минимум величины D(m1,m2) будет наблюдаться при m1 = m2 = d .
Предложенный метод восстановления времени запаздывания по временным рядам, основанный на применении метода ближайших соседей, может быть развит на системы, описываемые дифференциальными уравнениями с запаздыванием с несколькими динамическими переменными: введенной в [ 77 ]. Выберем следующие значения параметров: r =4 , m= 4 , c = 0.5 , t = 0.35 . Как было показано в [77], при этих параметрах система (38) демонстрирует периодические колебания. Фрагмент временного ряда переменной x(t) приведен на рис. 35. По временным рядам переменных x(i) и y(i) длиной 7V = 10000 точек при шаге выборки Аґ = 0.01 построим зависимость D(m). В отсутствие шума на графике D(m) нет выраженного минимума. Однако при добавлении в правую часть обоих уравнений системы (38) достаточно больших независимых динамических шумов на графике D(m) появляется минимум. На рис. 36 зависимость D(m) построена при = 10, / = 10 и 40% динамических шумах (отношение сигнал/шум около 8 дБ). Она имеет минимум при /и =35 , что совпадает с временем запаздывания d = т/At = 35.
Определение уровня обратной связи
Из полученных результатов видно, что использование метода, адаптированного для систем первого порядка даёт несколько завышенные значения оценки задержки при малой длине волны, а использование метода второго порядка занижает эти значения. На рис. 53 приведен график для случая, когда длина резонатора составляет 50 см., который демонстрирует минимум при 135, что близко к истинному значению (133,3) =2 Lрез/V, где Lрез – расстояние до внешнего резонатора, а V – скорость света в воздухе при температуре 25 С. Рис.54 Зависимость D(m) для лазера Mitsubishi ML925B11F при расстоянии до резонатора 50 см. Длина временного ряда 10000 точек.
Из полученных значений видно, что отношение вкладов задержанной и незадержанной компонент ниже для случаев сильной связи и выше для слабой, как и следовало ожидать. Значения индивидуальных дисперсий g1, g2, усреднённые по 100 точкам временного ряда (g1 100 , g2 100 ), представлены в таблице 6.
Таким образом, метод восстановления времени запаздывания систем с задержкой по их временным рядам, основанный на применении метода ближайших соседей был успешно применён для оценки параметров модельной системы, описываемой уравнениями Ланга-Кобаяши, а также полупроводникового лазера с оптической обратной связью. Показано, что метод позволяет восстановить время запаздывания и уровень обратной связи даже в присутствии шума.
В первой главе были рассмотрены особенности оценки направления взаимодействия при сильной связи между системами, с помощью метода моделирования фазовой динами ки на простых эталонны х модельных примерах связанных автоколебательных систем исследованы свойства оценки времени задержки в связи с помощью метода моделирования фазовой динамики для случая сильной связи. Рассмотрены модельные системы связанных осцилляторов с различными видами функций связи. Показано, что при больших значениях коэффициента связи может быть получена точная оценка времени задержки в связи между системами. Однако при больших значениях расстройки частот, слабом уровне шума и малой длине ряда точность оценки снижается. Уменьшение уровня динамического шума также увеличивает количество ложных выводов о преимущественном направлении взаимодействия между системами. Соответственно, увеличение длины ряда, уровня динамического шума и коэффициента связи способствует более точному определению направления и времени задержки в связи между осцилляторами.
Во второй главе была продемонстрирована работоспособность методик определения времени задержки в связи и определения преимущественного направления воздействия со стороны 0.1 Гц колебаний в вариабельности сердечного ритма и кровенаполнения микроциркуляторного русла. Анализ записей ЭКГ и ФПГ, полученных со здоровых испытуемых, позволил обнаружить двунаправленную связь с преимущественным направлением воздействия со стороны колебаний вариабельности сердечного ритма на вариабельность кровенаполнения дистального сосудистого русла. Полученные результаты в целом согласуются с данными о том, что фаза 0.1 Гц колебаний в микроциркуляции крови зависят от таковой в артериальном давлении с определенным временем задержки (2.0–2.5 с).
В третьей главе диссертации предложен оригинальный метод определения времени запаздывания системы с задержкой, описываемой уравнением вида (19) по хаотической реализации исследуемой системы, показан ряд его преимуществ. Показано, что предложенный метод определения времени запаздывания, основанный на методе ближайших соседей, является достаточно грубым по отношению к шуму, обладая при этом более высоким, по сравнению с другими методами, быстродействием. Модификация метода восстановления модельного уравнения систем с задержкой позволяет осуществлять реконструкцию по коротким временным рядам.
В четвертой главе метод определения времени задержки был успешно применён для определения параметров одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, описываемого уравнениями Ланга-Кобаяши. Метод позволил определить время задержки и коэффициент обратной связи лазера по экспериментальному временному ряду колебаний интенсивности его излучения. Эффективность метода продемонстрирована численно сначала на примере модельной системы, описываемой уравнениями Ланга-Кобаяши, а затем и для экспериментальной системы.
Таким образом, для решения проблемы определения запаздывания в связи между колебательными системами были проведены исследования пределов применимости методов в случае сильной связи, позволяющие рассчитывать на более точное определение задержки в связи. Были разработаны новые методы определения запаздывания и обратной связи по временным рядам сложных автоколебательных биофизических и радиофизических систем. Перспективность использования методов была продемонстрирована в приложениях к реальным системам.