Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оценка максимального правдоподобия числа сигналов с неизвестными параметрами 18
1.1. Оценка числа детерминированных сигналов 18
1.2. Оценка числа радиосигналов с неизвестными начальными фазами 31
1.3. Оценка числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами 38
1.4. Основные результаты и выводы 46
Глава 2. Модифицированная оценка максимального правдоподобия числа сигналов с неизвестными параметрами 49
2.1. Границы применимости оценки максимального правдоподобия числа сигналов с неизвестными параметрами 49
2.2. Оценка числа сигналов с неизвестными амплитудами на основе модификаций алгоритма максимального правдоподобия 57
2.3. Оценка числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами на основе модификаций алгоритма максимального правдоподобия 71
2.4. Оценка числа сигналов с неизвестными амплитудами и неэнергетическими параметрами на основе модификаций алгоритма максимального правдоподобия 85
2.5. Основные результаты и выводы 98
Глава 3. Квазиправдоподобная оценка числа сигналов с неизвестными параметрами 101
3.1. Квазиправдоподобная оценка числа радиосигналов с неизвестны ми частотами 101
3.2. Квазиправдоподобная оценка числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами 113
3.3. Квазиправдоподобная оценка числа радиосигналов с неизвестными амплитудами, фазами и частотами 130
3.4. Основные результаты и выводы 147
Заключение 149
Список сокращений и аббревиатур 152
Список литературы
- Оценка числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами
- Оценка числа сигналов с неизвестными амплитудами на основе модификаций алгоритма максимального правдоподобия
- Оценка числа сигналов с неизвестными амплитудами и неэнергетическими параметрами на основе модификаций алгоритма максимального правдоподобия
- Квазиправдоподобная оценка числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами
Оценка числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами
Для проверки работоспособности алгоритма (1.5) и установления границ применимости формулы (1.16) было проведено статистическое моделирование алгоритма оценки числа сигналов (1.5). В целях большей наглядности результатов моделирования в дальнейшем полагалось, что все энергии сигналов в совокупности (1.1) равны, при этом для всех сигналов в (1.1): z2 = z2, і Є 1, z/max-Результаты моделирования показаны на рис. 1.3.
На рис. 1.3 построены теоретические зависимости укороченной вероятности ошибки (1.16) от ОСШ при zv = zVQ+i = z и различных значениях р 0 0+\: сплошной линией для случая рщ 0 \ = 0, штриховой линией для Рщ 0 \ = 0.5, пунктирной линией для /v0jZ/0+i = 0.999. Кроме этого, на рис. 1.3 квадратами нанесена зависимость вероятности ошибки определения значения v алгоритмом (1.5) от ОСШ, полученная при помощи статистического моделирования в случае, когда VQ = 2, z/max = 3, рщ 0+\ = 0; кружками нанесена зависимость вероятности ошибки определения значения v алгоритмом (1.5) от ОСШ, полученная при помощи статистического моделирования в случае, когда щ = 2, тах = 3. Pz/o, o+i = 0, 5; треугольниками нанесена зависимость вероятности ошибки определения значения v алгоритмом (1.5) от ОСШ, полученная при помощи статистического моделирования в случае, когда щ = 2, z/max = 3, р„0 0+і = 0.999.
Статистическое моделирование, результаты которого приведены на рис. 1.3, проводилось на ЭВМ, с использованием программного пакета Mathcad. В ходе статистического моделирования число испытаний выбиралось таким, чтобы с доверительной вероятностью [10, 12, 16] pd = 0, 9 границы доверительных Pa интервалов [10, 12, 16] отклонялись от экспериментальных значений вероятностей ошибок не более чем на 10% при любых значениях вероятности ошибки, больших 10 . При этом величина относительного доверительного интервала определялась по формуле [63] где pd - доверительная вероятность ре - экспериментальная оценка вероятности ошибки, рое истинная величина вероятности ошибки, ар - относительный доверительный интервал .
Опишем процесс статистического моделирования, которое в этой и последующих главах будет использоваться для проверки аналитических расчётов. Как было отмечено выше статистическое моделирование проводится с помощью математического пакета Mathcad [30]. Моделирование состоит из следующих этапов.
Первый этап: формирование необходимого числа гауссовских стандартных случайных величин обладающих необходимыми корреляционными свойствами. Число этих случайных величин определяется структурой логарифма ФОП.
Второй этап: формирование из гауссовских случайных величин логарифма ФОП для трёх значений числа сигналов: для истинного значения числа сигналов, для значения числа сигналов на единицу больше истинного и для значения числа сигналов на единицу меньше истинного.
Третий этап: сравнение величины сформированного логарифма ФОП при истинном значении числа сигналов с двумя другими величинами логарифма ФОП, полученными на втором этапе.
Четвертый этап: этапы с первого по третий повторяются N раз и на каждом повторении значение счётчика ошибок увеличивается на единицу, если и только если величина логарифма ФОП при истинном значении числа сигналов меньше, чем одна из двух других величин логарифма ФОП, полученных на втором этапе.
Пятый этап: значение оценки укороченной вероятности вычисляется как отношение значения счётчика числа ошибок после N испытаний к самому числу испытаний N.
По результатам вычислений, часть которых отражена на рис. 1.3 при 0, 999 подтверждена формула для укороченной вероятности ошибки (1.16). Кроме того, при ОСШ больших трёх и любых значениях 0, 999 для расчёта укороченной вероятности ошибки вместо формулы (1.16) можно использовать формулу (1.20). При малых ОСШ неортогональность сигналов незначительно сказывается на качестве функционирования алгоритма (1.5), например, при z = 1.5 увеличение коэффициента корреляции сигналов от 0 до 0,9 приводит к увеличению укороченной вероятности ошибки от 0,4 до 0,45. При больших ОСШ [z 3) неортогональность сигналов не влияет на качество функционирования алгоритма (1.5).
Отметим, что на различие между укороченной и полной вероятностями ошибки влияют также значения максимально возможного числа сигналов тах и истинного числа сигналов щ. Так, если максимально возможное число сигналов равно трём, а истинное число сигналов равно двум, то укороченная вероятность ошибки оценки числа сигналов совпадает с полной вероятностью, но если максимально возможное число сигналов больше трёх, то укороченная вероятность ошибки является лишь приближением к полной вероятности.
На рис. 1.4 построены теоретические зависимости укороченной вероятности ошибки (1.16) от ОСШ при zv = zv +1 = z и двух различных значениях /V0jZ/0+i: сплошной линией для случая Pz,0;Z,0+i = 0, штриховой линией для Pz/0,z/0+i = 0-999. Кроме этого, на рис. 1.4 квадратами нанесена зависимость вероятности ошибки определения значения v алгоритмом (1.5) от ОСШ, полученная При ПОМОЩИ СТаТИСТИЧеСКОГО Моделирования ДЛЯ Случая Щ = И, max = 21.
Pz/0,z/0+i = 0-999 и кружками нанесена зависимость вероятности ошибки определения значения v алгоритмом (1.5) от ОСШ, полученная при помощи статистического моделирования для случая щ = 51, z/max = 101, рщ 0+\ = 0.999
Оценка числа сигналов с неизвестными амплитудами на основе модификаций алгоритма максимального правдоподобия
В предыдущей главе было выяснено, что метод максимального правдоподобия может быть применён для решения задач оценки числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами. В данном параграфе будут рассмотрены общие ограничения метода максимального правдоподобия при его применении к оценке числа принимаемых сигналов. Приведённые ниже ограничения метода максимального правдоподобия возникают вследствие того, что принимаемые сигналы имеют неизвестные энергетические параметры, такие как амплитуда. Отметим, что в литературе уже приводились некоторые частные ограничения метода максимального правдоподобия при решении задачи оценки числа сигналов [93], ниже будет изложен теоретический подход, позволяющий установить влияние свойств неизвестных параметров на ограничения применимости метода максимального правдоподобия к задаче оценки числа сигналов.
Предположим, что наблюдается сумма из v сигналов Sj(,lj), каждый из которых зависит от вектора неизвестных параметров lj блочный вектор, объединяющий все неизвестные параметры; Si(t,\i) Є L2(0,T). Пусть совокупность сигналов (2.1), наблюдается в течение интервала времени [0,Т], на фоне аддитивного гауссовского шума n(t) с корреляционной функцией К (ti,t2)- Следовательно, обработке доступна реализация где VQ И IQI, ...,1ог/0 истинные значения соответствующих параметров.
Далее предположим, что у каждого сигнала в совокупности (2.1) среди неизвестных параметров имеется такой, что при некотором значении из области определения этого параметра сигнал тождественно обращается в ноль.
В [38] приведена формула для логарифма функционала отношения правдоподобия (ФОП), когда помехой является аддитивный гауссовский шум
Для дальнейших рассуждений предположим, что решение каждого уравнения из (2.6), а также решение уравнения (2.5) существует и единственно (условия существования и единственности решений этих уравнений можно найти [37]). В этом случае, из (2.1), (2.5) и (2.6) получаем должно иметь единственное решение (а именно, тривиальное решение вида (2.9)), в противном случае, некоторые уравнения из (2.6), будут иметь более одного решения.
В соответствии с методом максимального правдоподобия, для того, чтобы построить оценку числа сигналов, необходимо максимизировать логарифм ФОП (2.4) по неизвестным параметрам
Из (2.11) и (2.12) следует, что логарифм ФОП не убывает с ростом v при v V0 И, соответственно, не имеет единственного максимума в точке истинного значения параметра v. По итогам изложенных выше рассуждений можно сделать вывод о том. что, если принимаемые сигналы из совокупности (2.1) содержат неизвестные параметры, которые обладают свойством (2.3), то алгоритм максимального правдоподобия оказывается не применим для оценки числа таких сигналов.
Если неизвестный параметр является энергетическим, т. е. от него зависит энергия сигнала, то он не обязательно обладает свойством (2.3). Например, если ограничить область определения энергетического параметра амплитуды так, чтобы в неё не входила точка ноль и её малая окрестность, то энергетический параметр амплитуда перестанет обладать свойством (2.3). Рассмотрим эту ситуацию подробнее.
Предположим, что наблюдается сумма из v сигналов Si(t,di) = difi(t), так что принимается совокупность сигналов где v = l, max, fi(t) Є L2(0,T) -- функция, определяющая форму сигнала: й{ Є {(—оо,— ЄІ] U [ЄІ,ОО]} - параметр, который в дальнейшем будем называть амплитудой сигнала; а = {dj)vi=l — вектор амплитуд сигналов в совокупности (2.13). Наложим на функции из множества {/г()} =1Х условие ортогональности Mt)fJ(t)dt={ (2.14) Предположим, что совокупность сигналов (2.13) принимается на фоне аддитивного гауссовского белого шума n(t) с односторонней спектральной плотностью No. Следовательно, обработке доступна реализация где VQ -- истинное число сигналов в (2.13), а множество {doi ZT содержит истинные значения амплитуд сигналов.
Оценка числа сигналов с неизвестными амплитудами и неэнергетическими параметрами на основе модификаций алгоритма максимального правдоподобия
Отметим, что, как и в предыдущем параграфе, все приведённые выше алгоритмы зависят от некоторых параметров: к, кі, к,2, п: которым необходимо придать конкретные численные значения при использовании алгоритмов на практике. В дальнейшем, при анализе алгоритмов (2.76)-(2.79), будут найдены их укороченные вероятности ошибки (аналитически и с помощью статистического моделирования). Исследование укороченных вероятностей ошибок, как функций к, Кі, к,2: п: позволяет определить оптимальные значения этих параметров в смысле минимума укороченной вероятности ошибки. Однако, ясно. что алгоритм (2.79) будет состоятелен при любых значениях параметра п 1. в то же время алгоритмы (2.76) - (2.78) могут оказаться не состоятельными при определённых значениях к, К\ и К2 соответственно.
Для анализа алгоритмов (2.76) - (2.79) в терминах укороченной вероятности ошибки представим логарифм ФОП (2.70) в виде
С целью исследования свойств случайных величин {Id ZT и { 1Г=Г СФР мулируем и докажем следующее утверждение. iN Пусть U = (U ij ) i=lj=l обратимая матрица, Е = (Е ) =1 вектор столбец. Предположим, что матрица W = (W ij ) i=\j=i и вектор R = {R k ) k=\ получены из матрицы U и вектора Е следующим образом
Аналогично тому, как в утверждении 1 было показано, что случайные величины Bf являются квадратами гауссовских случайных величин В{ , используя формулы (43) можно показать, что случайные величины / и l si также являются квадратами гауссовских случайных величин 1С{ и ls{ соответственно. Укажем свойства гауссовских случайных величин {Ic ZT и { }Г=Г Утверждение 3 [134]. Гауссовские случайные величины из множества {{Ісі] ! U {Л }Г=Г} независимы в совокупности, имеют дисперсию равную единице и, кроме того, математическое ожидание случайных величин из множества
Проведём анализ алгоритмов (2.76) - (2.79) в терминах укороченной вероятности ошибки. Для этого подставим в выражение для модифицированного логарифма ФОП (2.71) явный вид реализации принимаемых данных (2.63). Исходя из формулы (2.80) и утверждения 1, выражение для максимизированного логарифма ФОП (2.70) можно переписать как г=1 [й + й] еслиі z/o, ожидания случайных величин /cj и /sj, a ( d5 «)Г=Г " независимые в совокупности гауссовские случайные величины с параметрами (0,1). Из (2.83) следует. что логарифм ФОП (2.70) является неубывающей функцией числа сигналов. Кроме того, можно показать, что для любого г щ величина d2 = d2ci + d2ai монотонно возрастает с ростом ОСШ zf.
С помощью формулы (2.83) модифицированный логарифм ФОП с линейной штрафной функцией (2.76) можно переписать в виде v r Qi-кі/. (2.84) LD(V;K) г=\ Теперь, используя (2.84), можно вычислить укороченную вероятность ошибки (1.12) для алгоритма с линейной штрафной функцией (2.76) [134] Раа і = 1 - p(Q,0 2к, QVQ+1 2к) = 1 - і +і(2к) + і (2к)і +і(2к), (2.85) где FVo(x) - функция нецентрального хи-квадрат распределения с двумя степенями свободы и параметром нецентральности d2o = d2. + d2, , FVo+\(x) -функция центрального хи- значение вероятности ошибки (2.86) можно использовать для квадрат распределения с двумя степенями свободы. Учитывая свойства функции FVo(x), можно показать, что при неограниченном увеличении d2, укороченная вероятность ошибки запишется как 2W- l-i +i(2K). (2.86) Получаем, что укороченная вероятность ошибки стремится к постоянной величине с ростом d2, Предельное приближенного выбора значения к в (2.76). Действительно, можно рекомендовать выбор к по значению допустимой вероятности ошибки
Ри Как было отмечено выше, укороченная вероятность ошибки является нижней границей полной вероятности ошибки. Поэтому из формул (2.83) и (2.86) следует, что с ростом величины (rv , а значит и величины ОСШ zl , полная вероятность ошибки не стремится к нулю. Это является серьёзным недостатком алгоритма (2.76).
К сожалению, как и в предыдущем параграфе, найти аналитически даже лишь укороченную вероятность ошибки для алгоритма (2.77) в общем случае затруднительно. Рассчитать эту вероятность можно, когда радиосигналы ортогональны, так что алгоритмы (2.77) и (2.78) совпадают. При оценке числа коррелированных радиосигналов вероятность ошибки для алгоритма (2.77) можно получить с помощью статистического моделирования.
Теперь рассмотрим алгоритм с инвариантной случайной штрафной функцией (2.78). Для этого снова воспользуемся формулой (2.83), чтобы представить модифицированный максимизированный логарифм ФОП с инвариантной случайной штрафной функцией (2.78) в виде Пользуясь дальнейшего вычисления paa 2 утверждением 2 (2.56), можно записать окончательную формулу для укороченной вероятности ошибки алгоритма с инвариантной штрафной функцией (2.78) [134] Paa p2 — Wn(x)Fn+A )FQ,m( Ux+ эс здесь И (ж), Fi{x) - плотность вероятности и функция распределения случайной величины Qi: а И/дтах (ж), i gmax (ж) -- ПЛОТНОСТИ вероятности и функции распределения случайной величины Qm&x = max Qj. Здесь и далее в этом параграфе, при і щ: И (ж), F{(x) - функция плотности вероятности и функция распределения нецентрального хи-квадрат распределения с двумя степенями свободы и параметром нецентральности df = dzci+dzai [1]. а при і щ: Wi(x) и F{{x) являются, соответственно, функцией плотности вероятности и функцией распределения центрального хи-квадрат распределения с двумя степенями свободы [1].
Квазиправдоподобная оценка числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами
Получены и исследованы асимптотические выражения для укороченной вероятности ошибки приведённых выше четырёх модификаций алгоритма максимального правдоподобия в случае решения задачи оценки числа сигналов с неизвестными амплитудами и неэнергетическим параметрами. Полученные характеристики позволяют сделать вывод о характере зависимости укороченной вероятности ошибки от свойств неизвестных параметров сигналов для широкого класса модифицированных алгоритмов оценки числа сигналов. Кроме того, эти результаты дают возможность оптимизировать параметры алгоритмов оценки числа сигналов с неизвестными амплитудами и неэнергетическими параметрами в конкретных случаях реализации алгоритмов на практике.
По результатам анализа предложенных модифицированных алгоритмов сформулированы рекомендации по возможности использования этих алгоритмов в тех или иных конкретных задачах.
В предыдущих главах были рассмотрены задачи оценки числа сигналов с полностью неизвестными параметрами, однако, возникающих на практике задачах, параметры сигналов могут быть лишь частично неизвестны. Далее под частично неизвестным параметром сигнала будет подразумевается параметр, истинное значение которого точно неизвестно, но известен некоторый ограниченный интервал, которому принадлежит это значение, т.е., другими словами, частично неизвестный параметр сигнала известен только с точностью до некоторого ограниченного априорного интервала. В качестве примера можно привести ситуацию, когда значение параметра сигнала задано с некоторой известной конечной погрешностью. Для получения максимально правдоподобной оценки числа сигналов с неизвестными параметрами необходимо вначале подставить в логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) оценку максимального правдоподобия этих неизвестных параметров. В случае оценки числа сигналов с частично неизвестными параметрами в [48] предлагается использовать квазиправдопобный алгоритм. При использовании квазиправдоподобного алгоритма в логарифм ФОП вместо значений частично неизвестных параметров подставляются некоторые предполагаемые величины этих параметров из априорных интервалов их возможных значений. Ниже проводится синтез и анализ квазиправдоподобного алгоритма оценки числа радиосигналов с неизвестными частотами, принимаемых на фоне гауссовского белого шума. При этом предполагается, что частоты сигналов частично неизвестны.
Частоты принимаемых сигналов могут оказаться частично неизвестными. например, в случае, когда источник радиосигнала движется относительно наблюдателя с некоторой неточно известной наблюдателю скоростью, при этом, в силу эффекта Допплера, центральная частота радиосигнала также оказывается частично неизвестной [96].
Положим, что на интервале времени [0, Т] наблюдается сумма из v узкополосных радиосигналов Si(t, Ш{) = cafi(t) cos (ujit + Ф (t) — tpi)7 так что принимается совокупность сигналов S{t, V, UJV) = 2 si( Ші) = 2 а №) C0S (Ш$ + Ф М #) С3"1) где v = l,z/max, Сііі і Є R1 амплитуда и частота сигнала, if{ Є [0,27г] - фаза сигнала, Ф (t) Є Li(0,T) - закон фазовой модуляции сигнала, fi(t) Є L2(0,T) - огибающая сигнала и u = =1. Пусть сигнал (3.1) принимается на фоне аддитивного гауссовского белого шума n(t) с односторонней спектральной плотностью No. Следовательно, обработке доступна реализация щ X(t) = n{t) + агЛ(і) COS (u)0it + Ф» (t) - #), (3.2) где VQ -- истинное число сигналов в (3.1), а множество {uJoi ZT содержит истинные значения частот сигналов.
Положим, что частоты сигналов в (3.1) известны лишь частично, т.е., известны конечные априорные интервалы, которым принадлежат возможные значения частот. Во второй главе приведено выражение для логарифма ФОП в случае, когда принимаемый сигнал имеет вид (3.1), см. формулу (2.64). Для синтеза алгоритма оценки числа сигналов заменим неизвестные значения частот {иг}"? в логарифме ФОП (2.64) некоторыми предполагаемыми значениями { x } Jx этих параметров из их заданных априорных интервалов Здесь А І = UJ — ujoi - величина, характеризующая степень отклонения предполагаемого значения частоты от её истинного значения. Используя решающую статистику (3.3), можно записать квазиправдоподобный алгоритм оценки числа сигналов (3.1) v = argsupLw (z/),z/ = l,z/n 3.4) Рассмотрим свойства решающей статистики (3.3). Для этого подставим в 3.3) реализацию наблюдаемых данных (3.2"