Моды кирального и кирально-анизотропного планарных оптических волноводов Кушнарёв Кирилл Викторович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1

1.1 Материальные уравнения 14

1.2 Основные уравнения для описания полей 16

1.3 Граничные условия 18

Основные результаты 19

Глава 2

2.1 Моды асимметричного планарного кирально-изотропного диэлектрического волновода 20

2.2 Вывод дисперсионного уравнения 23

2.3 Дисперсионные свойства мод 28

Основные результаты 33

Глава 3

3.1 Моды асимметричного планарного кирально-анизотропного диэлектрического волновода 35

3.2 Вывод дисперсионного уравнения 40

3.3 Дисперсионные свойства мод 46

Основные результаты 51

Глава 4

4.1 Поляризационные свойства мод и преобразование поляризаций 53

Основные результаты 68

Заключение 70

Список использованной литературы 72

• Основные уравнения для описания полей
• Моды асимметричного планарного кирально-изотропного диэлектрического волновода
• Вывод дисперсионного уравнения
• Поляризационные свойства мод и преобразование поляризаций

Введение к работе

Предмет исследований и обзор близких по тематике работ

Первым, кто ввел термин киральность, был лорд Кельвин, определивший ее как свойство объекта не совпадать со своим зеркальным отображением ни при каких перемещениях и вращениях. Таким образом киральность есть геометрическое свойство трехмерного объекта, который может существовать в двух видах: объект и его зеркальный двойник, например, руки (кира — по-гречески рука), винты и спирали правой и левой закрутки и так далее. Киральность широко распространена в природе: большинство органических веществ — киральны из-за спиралевидной формы молекул; неорганические природные вещества, обладающие свойством оптической активности или киральности, давно известны в оптике. Отмеченные еще Ньютоном и Гюйгенсом особые свойства света, отраженного от «исландских кристаллов», только в 19 веке привлекли особое внимание ученых. После работ Герца, аналогичная активность для волн радиодиапазона в естественных средах почти не изучалась из-за малости проявляемого эффекта. Первые попытки создать искусственную, взаимную, киральную среду датированы 1898 годом, когда Бозе наблюдал вращение плоскости поляризации волн, испущенных электрическим разрядом, в веществе из скрученного джута [1]. Но наиболее показательным явился эксперимент финского ученого Карла Ф. Линдмана, который в 1914 году исследовал вращение поляризации электромагнитных волн, проходящих через среду, составленную из 700 лево и правосторонних медных спиралек, помещенных в вату. Впервые было экспериментально доказано, что среды, преимущественно состоящие из правосторонних или левосторонних киральных элементов обладают разными поляризующими свойствами, и что среда, состоящая из равного числа киральных объектов и их зеркальных двойников — нейтральна [2].

Несмотря на то, что теоретические исследование и работы по созданию искусственных киральных и других сложных сред проводились на протяжении всего 20 века, особый интерес к ним возник только в последние 15 лет, что, прежде всего, можно объяснить технологическими успехами и практической востребованостью эффектов, наблюдаемых в подобных средах. Применение искусственных материалов в технике представляется весьма перспективным и с ними связаны надежды, как на улучшение характеристик традиционных устройств, так и на появление новых технических решений. В киральных средах связь между электрическим и магнитным полями и их индукциями, распространение и поляризация электромагнитных волн существенным образом отличаются от случая некиральных сред. Сложный вид материальных уравнений, не позволяющий рассматривать по отдельности электрическое и магнитное поля, обуславливает сложный вид уравнения для поля и граничных условий. Как правило, подобные материалы обладают неоднородной макроскопической структурой. Так как точные аналитические решения для волн в неоднородных средах удается получить лишь для самых простых моделей неоднородностей, то решение задач электродинамики для сложных сред проводится численно-аналитическими методами, что является основной причиной отсутствия на данный момент законченной аналитической теории для кирально-изотропных, кирально-анизотропных, би-изотропных, би-анизотропных и других сложных сред.

Из ранних теоретических исследований по электродинамике сложных сред нужно отметить работы Ф.И. Федорова и ученых его школы. Основой для них явился так называемый ковариантный метод, позволявший рассматривать электромагнитные поля в анизотропных кристаллах вне зависимости от системы координат. Фактически Федоров ввел и разработал диадный формализм в кристаллооптике, в дальнейшем, применив его к киральным и би-анизотропным средам [3,5]. В школе Федорова и в советской научной литературе вместо киральности употреблялся термин гиротропия, редко встречающийся в последнее время.

Работы [1-14] содержат материалы по электродинамике сложных сред. Причем, в [1] и [2] суммируется и систематизируется широкий спектр теоретических наработок по электродинамике сложных сред, и содержатся примеры их применения в технике СВЧ. Книга [2] является одним из первых и на сегодняшний день наиболее полным учебно-справочным пособием по распространению электромагнитных волн в киральной, би-изотропной среде и направляющих структурах, их поляризационных свойствах, приводятся методики моделирования киральных сред и техники измерений их материальных параметров. В [2] также содержится небольшой раздел по волнам в би-анизотропной среде. Книга [1] полностью посвящена би-анизотропным средам. Обе книги содержат обширный реферативный материал по каждому разделу, причем в [1] особое внимание уделяется работам ученых постсоветского пространства, мало знакомым для западного читателя.

В статьях [16-30] даны обзоры по известным на данный момент сложным средам и материалам, применимым в радиодиапазоне. В частности, в статье [17] описывается способ получения кирально-анизотропной среды путем вакуумного осаждения на медленно вращающуюся подложку целого ряда неорганических материалов: А1₂0₃, Bi₂0₃, Се0₂, LiNb0₃ и других. Получаемая таким образом тонкопленочная наноструктура имеет вид периодически расположенных крученых стержней (columns). Изменяя шаг, скорость и направление вращения удается получать пленки с разными физическими свойствами и разными значениями материальных параметров среды. Также сообщается о целом ряде оптических устройств выполненных с применением данной технологии. Фактически, эта технология дает возможность практической реализации кирально-анизотропного материала, модель которого рассматривается в данной диссертации. В работе [21] приведен ряд кирально-анизотропных полимеров и экспериментальных значений их материальных параметров. Статьи [26,27] рассматривают экспериментальные вопросы исследования и применения еще одного класса сложных сред, так называемых псевдокиральных 2-сред (омега сред). В [30] приводятся сравнительные примеры технологий изготовления киральных и би-анизотропных волноводов.

В работах [31-53] рассматриваются задачи о модах в киральных диэлектрических открытых и закрытых волноводах, исследуются их дисперсионные и поляризационные свойства, приведены технические устройства на основе волноводов. А в [54-65] - аналогичные задачи для би-анизотропных волноводов. Известны два основных подхода к решению задач о модах в волноводах, в частности в планарных оптических волноводах. В одном из них используется так называемая концепция Бриллюэна, то есть лучевые или плосковолновые представления о формировании мод волновода как о волновых структурах, образованных лучами - плоскими волнами, отражающимися от стенок волновода при распространении вдоль него. Дисперсионные уравнения для постоянных распространения мод получены в этом случае при использовании коэффициентов отражения плоских волн от стенок волновода (фазы коэффициентов отражения при полном отражении) и выполнения условия волнового резонанса в поперечном сечении волновода. Во втором подходе формулируется поперечная граничная задача для мод волновода, включая уравнение Максвелла или эквивалентное им волновое уравнение для мод и граничные условия на границах — стенках волновода. Для открытых волноводов (диэлектрических, поверхностных волн) введено еще условие для поля мод в поперечной бесконечности, для направляемых мод — это условие спадания поля мод к нулю.

Указанные способы использованы при исследовании киральных планарных оптических волноводов, например первый — в [43], а второй — в [44]. Однако полученные дисперсионные уравнения в обоих случаях оказались достаточно сложными для анализа. В первом это связанно со сложным формированием полей мод из-за двойного лучеотражения плоских волн от границ волновода, во втором — со сложностью вида уравнений для полей Е и Н в киральной среде. При численном расчете дисперсионных характеристик мод получен лишь эффект раздвоения дисперсионных кривых и упущен эффект наличия второй критической частоты для волн одной из поляризаций, в зависимости от знака кирального параметра среды. В настоящей диссертации этот эффект получен впервые, поскольку применен иной подход к построению мод и к выводу дисперсионных уравнений, который сочетает положительные свойства вышеуказанных способов: простую физическую интерпретацию формирования мод волновода и удобную математическую постановку задачи о модах, их дисперсионных и поляризационных свойствах.

Краткое содержание диссертации

В данной работе изучаются дисперсионные и поляризационные свойства мод асимметричных планарных диэлектрических оптических волноводов, с волноведущими слоями, выполненными и из кирально-изотропного и кирально-анизотропного материалов. Работа состоит из четырех глав.

В первой главе, на основании представления Друде-Борна-Федорова сформулирован вид материальных уравнений исследуемых моделей кирально-изотропной и кирально-анизотропной с одноосной и двуосной анизотропией сред. Выведен векторный вид волновых уравнений для используемых вспомогательных функций поля F* и F" в обеих рассмотренных средах. Приведен вид граничных условий для F* и F~ на границах раздела изотропной среды с кирально-изотропной и кирально-анизотропной средами.

Во второй главе рассмотрена и решена задача о модах в планарном асимметричном волноводе с волноведущим слоем, выполненным из кирально-изотропного материала. Найден вид и решение волнового уравнения для волн в рассматриваемом волноводе. Из волнового уравнения и граничных условий получена система дисперсионных уравнений. Показано, что она может быть решена в два этапа и получены удобное для анализа приближенное глобальное дисперсионное уравнение и локальное дисперсионное уравнение вблизи точек предполагаемого вырождения мод, вместе полностью описывающие дисперсионные кривые мод рассматриваемого волновода. Приведены численные расчеты кривых для различных значений волноводных параметров и анализ дисперсионных свойств мод.

В третьей главе рассмотрена и решена задача о модах в планарном асимметричном волноводе с волноведущим слоем, выполненным из кирально-анизотропного материала, обладающего малой одноосной анизотропией для двух ориентации оси анизотропии. Способом аналогичным, приведенному во второй главе, решена задача о модах в подобном волноводе: найден вид и решение волнового уравнения, получена система дисперсионных уравнений и приближенное глобальное и локальное дисперсионные уравнения, приведены численные расчеты и анализ дисперсионных свойств мод.

В четвертой главе рассмотрены поляризационные свойства мод волноводов с изотропным и анизотропным направляющими слоями на основе способа описания поляризации, предложенного в [66]. Показано, что в кирально-изотропном слое волновые функции F⁺{y,z) и F~{y,z) описывают моды с право и левосторонней круговой поляризацией, а в кирально-анизотропном моды с право и левосторонней эллиптической поляризацией, и что поляризация мод неоднородна в поперечном сечении волновода. Объяснен процесс преобразования поляризации и проведен количественный анализ зависимости интегральных параметров поляризации мод при изменении частоты, то есть вдоль дисперсионных кривых в области точек спектрального квазивырождения.

Краткое перечисление результатов, выносимых на защиту

В качестве основных выносимых на защиту результатов данной работы можно указать следующие: построена аналитическая, с простой физической интерпретацией теория волн-мод в асимметричных планарных диэлектрических оптических волноводах с волноведущими слоями, выполненными из кирально-изотропного и кирально-анизотропного материалов; проведен детальный, в два этапа, анализ дисперсионных свойств мод с получением приближенного глобального дисперсионного уравнения и локального дисперсионного уравнения вблизи точек предполагаемого вырождения мод. В результате показано, что моды разделяются на два класса: с право и левосторонней круговой в кирально-изотропном и эллиптической в кирально-анизотропном слое, а предполагаемые ранее точки вырождения являются точками квазивырождения; впервые получен и описан эффект наличия второй критической частоты для мод одной из поляризаций, какой именно зависит от знака кирального параметра среды; впервые описаны поляризационные свойства мод и процесс преобразования поляризаций мод вблизи точек квазивырождения.

Апробация работы (список конференций, докладов и статей)

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики РУДЫ и следующих конференциях: XXXIV Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук РУДН, Москва, 1998.

International Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modeling supported by IEEE/LEOS, Germany, Hagen, 1998. XXXV Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук РУДН, Москва, 1999.

Международный форум информатизации, МТУ СИ, Москва, 1999. XXXVI Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук РУДН, Москва, 2000.

International Conference BIANISOTROPICS-2000, Portugal, Lisbon, 2000. XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин, Москва, РУДН, 2001. XXVIIURSI General Assembly, Netherlands, Maastricht, 2002. URSI/IEEE XXVII Convention on Radioscience, Finland, Helsinki University, Espoo, 2002.

10. XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин, Москва, РУДН, 2003. и опубликованы в научных журналах и сборниках докладов:

Кушнарев КВ., Кувандыков А.Р., Шевченко В.В. Моды кирального асимметричного планарного волновода. XXXIV Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов, Физические секции. 19-22 мая 1998 г. М.: Изд. РУДН. 1998, С. 30-31.

Демидов СВ., Кушнарев КВ., Шевченко В.В. Дисперсионные свойства мод киральных планарных оптических волноводов. Радиотехника и электроника, 1999, Т. 44, N. 7, С. 885-890.

Кушнарев КВ., Шевченко В.В. Дисперсионные свойства волн в кирально-анизотропном волноводе. Программа и тезисы докладов Международного Форума Информатизации, Москва, МТУ СИ, 1999, С. 153-154. Demidov S. V., Kushnarev К. V., Shevchenko V. V. On Mode Dispersion Properties of Chiral Optical Planar Waveguides. Journal of Radioelectronics, 1999, V. 2, N. 4 (Electron, version: ).

Кушнарев КВ. Моды асимметричного планарного кирально-анизотропного диэлектрического волновода. XXXVI Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук РУДН, Тезисы докладов, Физические секции. 22-26 мая 2000г. М.: Изд. РУДН. 2000, С. 25. Demidov S.V., Kushnarev K.V., Shevchenko V.V. On Mode Spectrum Degeneracy, Quasi-Degeneracy and Mode Polarization Transformations in Optical Chiral Waveguides. Proceedings of International Conference BIANISOTROPICS-2000, Portugal, Lisbon, 2000, P. 257-260.

Кушнарев КВ. Поляризационные свойства мод планарного кирально-анизотропного оптического диэлектрического волновода. XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания. Тезисы докладов, Физические секции. 22-26 мая 2001г. М.: Изд. РУДН. 2001, С. 39-40.

Кушнарев КВ., Шевченко В.В. Свойства мод асимметричного планарного кирально-анизотропного диэлектрического оптического волновода. Радиотехника и электроника, 2002, Т. 47, N. 9, С. 1047-1053. Kushnarev K.V., Shevchenko V.V. Modal Properties of Asymmetric Planar Chiro-Anisotropic Optical Waveguides. Program of XXVII General Assembly of URSI, Netherlands, Maastricht, 2002, P. 43-44. Kushnarev K.V., Shevchenko V.V. Modal Properties of Asymmetric Planar Chiro-Anisotropic Optical Waveguides. Digest of URSI/IEEE XXVII Convention on Radio Science, Finland, Helsinki, 2002, P. 179-182.

Карпинский A.B., Кушнарев КВ., Шевченко В.В. Дисперсионные и поляризационные характеристики асимметричного планарного кирально-анизотропного оптического волновода. XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания. Тезисы докладов, Физические секции. 21-25 апреля 2003 г. М.: Изд. РУДН. 2003, С. 13.

Основные уравнения для описания полей

Записав с учетом (3.1.9), (3.1.10) и (3.1.11-14) граничные условия (1.3.2) и (1.3.3), получим систему уравнений для вывода дисперсионного уравнения. Для верхней границы при у = 0 получим

После исключения коэффициентов А , А , В+, В , С+, С" получим систему дисперсионных уравнений для мод кирально-анизотропного асимметричного планарного волновода в виде [v_(1 + Xl-A + +Iv-(l- Xl-A _ _] = = \[-ё2 p20u+u_tg p+tg p_ , (3.2.4) = (і - S2 )A2su,u_tg(u+ - p+ )tg(u_ - p_) , где v, и+, u_ и w представлены в (3.1.11)-(3.1.14), - относительные скачки коэффициентов преломления на верхней и нижней границах раздела сред в волноводе. Для планарных асимметричных волноводов выполняется условие ng ns n0, следовательно, как видно из (3.2.5), величины А0 и Аг оказываются меньше 0,5. Таким образом, система дисперсионных уравнений состоит из двух трансцендентных уравнений (3.2.3) и (3.2.4), связывающих постоянную распространения у с к, то есть с частотой, и с параметрами волновода. В таком виде система сложна, как для аналитического, так и для численного решения. Воспользовавшись тем, что обычно параметры киральности Sx,S ,S«l и что для реальных оптических асимметричных планарных волноводов также относительный скачек коэффициентов преломления А, «1, в уравнении (3.2.4) можно пренебречь членами, содержащими эти величины по сравнению с единицей. Таким образом, уравнение (3.2.4) распадается на два независимых уравнения При помощи выражений (3.2.6) и (3.2.7) исключим постоянные р+ и р_ в уравнении (3.2.3), а система дисперсионных уравнений приведется к дисперсионному уравнению [v(w+ + wtgu+) - (і - А0 )и+ (ujgu+ - w)] х х [v(w_ + wtgu_ ) - (l - A0 }u_ (u_tgu_ — w)] = (3.2.8) = A20u+u_ (w+ + wtgu+ X«_ + wtgu_ ). Далее введем, как в [35,70], вместо у и к нормализованные постоянную распространения Ъ и частоту V: Важно отметить, что в (3.2.14) малые по сравнению с единицей величины е . е . 8Х 8V и 8 входят деленными на А,, следовательно, их хулу S отношения не обязательно являются тоже малыми величинами, поэтому здесь они сохранены. Дисперсионное уравнение (3.2.8), с учетом (3.2.9)-(3.2.14), может быть преобразовано к виду, удобному для дальнейшего анализа Как было показано в [74], анализ дисперсионного уравнения (3.2.15) удобно провести в два этапа. Так как для оптических планарных волноводов при Аг «1 член в уравнении (3.2.15) с А20 тоже мал и его учет важен только при рассмотрении тонкой структуры дисперсионных характеристик вблизи точек квазивырождения, на первом этапе анализа этим членом можно пренебречь.

Моды асимметричного планарного кирально-изотропного диэлектрического волновода

Известно [1,2,10], что в кирально-изотропной среде могут распространяться только кругополяризованные плоские волны. Как было показано в [10] в кирально-анизотропной среде распространяющиеся моды могут быть только эллиптически поляризованными. Таким образом, в волноведущем кирально-изотропном слое волновые функции F (y,z) и F (y,z) описывают два класса мод с правосторонней и левосторонней круговыми поляризациями. А в случае кирально-анизотропного слоя с малыми киральностью и анизотропией — два класса мод с правосторонней и левосторонней эллиптическими поляризациями.

Как было ранее показано в главах 2 и 3 в киральных волноводах может иметь место явление квазивырождения мод в том смысле, что волновые числа мод точно не совпадают, но оказываются близкими по значению. Согласно рассчитанным графикам локальных дисперсионных кривых, вблизи точек квазивырождения происходит взаимное преобразование мод с правосторонней и левосторонней поляризациями. Поскольку, как было выяснено, поляризация мод киральных диэлектрических волноводов неоднородна, то есть изменяется в поперечном сечении волновода, то для качественного и количественного описания процесса ее преобразования были использованы введенные в [66] усредненные (интегральные) коэффициенты поляризации мод где Ф(у), S(y) - функции распределения коэффициентов поляризации в поперечном сечении волновода, в данном случае внутри волноведущего слоя, так как подложка и верхний слой изотропны. Первый — коэффициент ориентации поляризации: он равен углу наклона большой оси эллипса поляризации к оси ох, а второй - коэффициент эллиптичности поляризации: его модуль равен отношению малой и большой осей эллипса, а знак указывает на направление вращения вектора поля Е в поперечном сечении волновода, то есть правый или левый эллипсы.

Эти функции связаны с компонентами полей соотношениями где значения +— и являются вырожденными в том смысле, что ж соответствуют одному и тому же углу наклона эллипса —. Для рассмотрения конкретного примера процесса преобразования поляризации мод в области точек квазивырождения был взят случай кирально-анизотропного ассиметричного планарного волновода с До=0,25, а = 10, сг = 1 и А = 0,2. При таких значениях волноводных параметров распространяется только одна мода с правосторонней эллиптической поляризацией. Рис. 4.1-4.3 содержат приближенные дисперсионные кривые, точки квазивырождения обозначены на рис. 4.1 как 01, 02, 03 и 04, и локальные дисперсионные кривые в области точек квазивырождения 01 и 02. На рис. 4.4 и рис. 4.5 представлена функция распределения коэффициента эллиптичности S(y) в поперечном сечении волноведущего слоя для мод ЕР в ЕР при V = Vm и для мод ЕР в ЕР приК = Ги. На рис. 4.6-4.7 представлены значения S, рассчитанные вдоль дисперсионных кривых ЕР и ЕР , вблизи точки квазивырождения 02. Полученные результаты показывают, что вблизи точек квазивырождения поля мод в рассматриваемом волноводе в среднем эллиптически f\S і) и, в частности, линейно [S = О) поляризованы. Из рис. 4.6 видно, что проекции на соответствующие плоскости координат, согласно нижней дисперсионной кривой на рис 4.3. правосторонняя эллиптическая поляризация [S 0) моды ЕР изменяется до линейной поляризации (5 = 0) и затем переходит в левостороннюю эллиптическую поляризацию моды ЕР [S О), что соответствует преобразованию моды ЕР в ЕР . На рис. 4.7 представлен обратный процесс преобразования поляризаций при переходе моды ЕР в ЕР . Анализ угла наклона Ф имеет особенность при В = 0. Выражения (4.2.6) для Ф, полученные в [66] для плоских волн, у которых локальное и интегрально усредненное значения Ф совпадают, в случае волноводных мод выполняется, как показал анализ, для интегральных значений Ф(В = 0) = Ф0 со следующим уточнением Таким образом, в первом процессе (рис. 4.6) при S = 0 происходит переход через горизонтальную линейную поляризацию Ф0 = 0 (Ех 0,Еу=0), а во втором (рис. 4.7) при S = 0 - через вертикальную линейную поляризацию Ф0=±— [Ех=0,Е &0). Этот факт также подтверждается расположением дисперсионных кривых на рис. 4.1. Значения Ъ и, следовательно, значение постоянной распространения мод у в первом процессе превышают значения этих величин во втором процессе, то есть моды в первом случае более замедлены, чем во втором. Таким образом, ситуация аналогична той, которая имеет место для более замедленных линейно поляризованных ТЕ-мод, с горизонтальной поляризацией \ЕХ фО,Еу= )) и менее замедленных линейно поляризованных ТМ -мод с вертикальной поляризацией \Ех=0,Еу 0) в некиральных планарных диэлектрических волноводах [81-87]. На рис. 4.8 проиллюстрирован процесс преобразования поляризаций мод в виде траекторий в плоскости OS [66]. На рис. 4.9 схематично показан общий вид дисперсионных кривых, их преобразование и эволюция их поляризаций вдали и вблизи точек квазивырождения для рассматриваемого случая. Как видно из рисунка, те моды, чьи критические частоты попадают в интервал между первой и второй критическими частотами моды ЕР , претерпевают несколько преобразований поляризации, и, следовательно, уже не могут быть однозначно разделены на два класса: с лево и правосторонней эллиптической поляризациями. Поэтому на рисунке они пронумерованы по возрастанию значений своих критических частот. Стрелкой указано направление вращения поляризации, а вид и горизонтальное или вертикальное расположение эллипса — на степень эллиптичности и на ориентацию поляризации. На рис. 4.10 детально рассмотрены эволюции усредненных поляризаций моды ЕРХ и ЕРг с ростом нормализованной частоты V. Рядом с критической частотой Vcl эллипс поляризации моды ЕРУ имеет правостороннее направление вращения, причем степень эллиптичности и ориентация эллипса поляризации в общем случае зависят от анизотропии материала. По мере приближения к точке квазивырождения Vx поляризация сохраняет направление вращения, но степень эллиптичности усиливается и ориентация эллипса поляризации постепенно меняется на горизонтальную, а в самой точке Vl вырождается в горизонтальную линейную поляризацию, что соответствует случаю более замедленных мод.

Вывод дисперсионного уравнения

Анализ угла наклона Ф имеет особенность при В = 0. Выражения (4.2.6) для Ф, полученные в [66] для плоских волн, у которых локальное и интегрально усредненное значения Ф совпадают, в случае волноводных мод выполняется, как показал анализ, для интегральных значений Ф(В = 0) = Ф0 со следующим уточнением

Таким образом, в первом процессе (рис. 4.6) при S = 0 происходит переход через горизонтальную линейную поляризацию Ф0 = 0 (Ех 0,Еу=0), а во втором (рис. 4.7) при S = 0 - через вертикальную линейную поляризацию Ф0=±— [Ех=0,Е &0). Этот факт также подтверждается расположением дисперсионных кривых на рис. 4.1. Значения Ъ и, следовательно, значение постоянной распространения мод у в первом процессе превышают значения этих величин во втором процессе, то есть моды в первом случае более замедлены, чем во втором. Таким образом, ситуация аналогична той, которая имеет место для более замедленных линейно поляризованных ТЕ-мод, с горизонтальной поляризацией \ЕХ фО,Еу= )) и менее замедленных линейно поляризованных ТМ -мод с вертикальной поляризацией \Ех=0,Еу 0) в некиральных планарных диэлектрических волноводах [81-87]. На рис. 4.8 проиллюстрирован процесс преобразования поляризаций мод в виде траекторий в плоскости OS [66]. На рис. 4.9 схематично показан общий вид дисперсионных кривых, их преобразование и эволюция их поляризаций вдали и вблизи точек квазивырождения для рассматриваемого случая. Как видно из рисунка, те моды, чьи критические частоты попадают в интервал между первой и второй критическими частотами моды ЕР , претерпевают несколько преобразований поляризации, и, следовательно, уже не могут быть однозначно разделены на два класса: с лево и правосторонней эллиптической поляризациями. Поэтому на рисунке они пронумерованы по возрастанию значений своих критических частот. Стрелкой указано направление вращения поляризации, а вид и горизонтальное или вертикальное расположение эллипса — на степень эллиптичности и на ориентацию поляризации. На рис. 4.10 детально рассмотрены эволюции усредненных поляризаций моды ЕРХ и ЕРг с ростом нормализованной частоты V. Рядом с критической частотой Vcl эллипс поляризации моды ЕРУ имеет правостороннее направление вращения, причем степень эллиптичности и ориентация эллипса поляризации в общем случае зависят от анизотропии материала. По мере приближения к точке квазивырождения Vx поляризация сохраняет направление вращения, но степень эллиптичности усиливается и ориентация эллипса поляризации постепенно меняется на горизонтальную, а в самой точке Vl вырождается в горизонтальную линейную поляризацию, что соответствует случаю более замедленных мод. После прохождения точки квазивырождения направление вращения меняется на левостороннее, а степень эллиптичности уменьшается. В дальнейшем направление вращения эллипса поляризации сохраняется. Поляризация моды ЕР2 претерпевает уже два изменения, проходя через две точки квазивырождения Vx и V2. Рядом с критической частотой VC2 эллипс поляризации моды ЕР2 имеет левостороннее направление вращения. По мере приближения к точке квазивырождения Vx поляризация сохраняет направление вращения, но степень эллиптичности усиливается и ориентация эллипса поляризации постепенно становится вертикальной, а в самой точке Vx вырождается в вертикальную линейную поляризацию, что соответствует случаю менее замедленных мод. После прохождения точки квазивырождения направление вращения меняется на правостороннее, и степень эллиптичности уменьшается. При приближении к точке квазивырождения V2 происходит аналогичный процесс: поляризация сохраняет направление вращения, но ориентация эллипса поляризации постепенно меняется на горизонтальную и степень эллиптичности усиливается, а в самой точке V2 вырождается в горизонтальную линейную поляризацию. После прохождения V2 направление вращения меняется на левостороннее, и степень эллиптичности уменьшается. В дальнейшем направление вращения эллипса поляризации сохраняются. Важно отметить, что проведенный анализ позволяет описать процесс преобразования поляризации исследуя лишь дисперсионные характеристики, без нахождения самих полей мод. Основные результаты [75-80] поляризацией, а в кирально-анизотропном моды с эллиптической право и левосторонней соответственно. 2. Показано, что поляризация мод неоднородна в поперечном сечении волновода. 3. Путем использования интегральных коэффициентов поляризации описаны дисперсионные свойства поляризации мод: изменение поляризации мод при изменении частоты. 4. Показано, что в области точек спектрального квазивырождения происходит процесс преобразования поляризации и структуры полей мод. 5. Проведены количественные расчеты, представлены графики и анализ интегральных параметров мод и дисперсионных кривых.

Поляризационные свойства мод и преобразование поляризаций

Известно [1,2,10], что в кирально-изотропной среде могут распространяться только кругополяризованные плоские волны. Как было показано в [10] в кирально-анизотропной среде распространяющиеся моды могут быть только эллиптически поляризованными. Таким образом, в волноведущем кирально-изотропном слое волновые функции F (y,z) и F (y,z) описывают два класса мод с правосторонней и левосторонней круговыми поляризациями. А в случае кирально-анизотропного слоя с малыми киральностью и анизотропией — два класса мод с правосторонней и левосторонней эллиптическими поляризациями.

Как было ранее показано в главах 2 и 3 в киральных волноводах может иметь место явление квазивырождения мод в том смысле, что волновые числа мод точно не совпадают, но оказываются близкими по значению. Согласно рассчитанным графикам локальных дисперсионных кривых, вблизи точек квазивырождения происходит взаимное преобразование мод с правосторонней и левосторонней поляризациями. Поскольку, как было выяснено, поляризация мод киральных диэлектрических волноводов неоднородна, то есть изменяется в поперечном сечении волновода, то для качественного и количественного описания процесса ее преобразования были использованы введенные в [66] усредненные (интегральные) коэффициенты поляризации мод где Ф(у), S(y) - функции распределения коэффициентов поляризации в поперечном сечении волновода, в данном случае внутри волноведущего слоя, так как подложка и верхний слой изотропны. Первый — коэффициент ориентации поляризации: он равен углу наклона большой оси эллипса поляризации к оси ох, а второй - коэффициент эллиптичности поляризации: его модуль равен отношению малой и большой осей эллипса, а знак указывает на направление вращения вектора поля Е в поперечном сечении волновода, то есть правый или левый эллипсы.

Эти функции связаны с компонентами полей соотношениями где значения +— и являются вырожденными в том смысле, что ж соответствуют одному и тому же углу наклона эллипса —. Для рассмотрения конкретного примера процесса преобразования поляризации мод в области точек квазивырождения был взят случай кирально-анизотропного ассиметричного планарного волновода с До=0,25, а = 10, сг = 1 и А = 0,2. При таких значениях волноводных параметров распространяется только одна мода с правосторонней эллиптической поляризацией. Рис. 4.1-4.3 содержат приближенные дисперсионные кривые, точки квазивырождения обозначены на рис. 4.1 как 01, 02, 03 и 04, и локальные дисперсионные кривые в области точек квазивырождения 01 и 02. На рис. 4.4 и рис. 4.5 представлена функция распределения коэффициента эллиптичности S(y) в поперечном сечении волноведущего слоя для мод ЕР в ЕР при V = Vm и для мод ЕР в ЕР приК = Ги. На рис. 4.6-4.7 представлены значения S, рассчитанные вдоль дисперсионных кривых ЕР и ЕР , вблизи точки квазивырождения 02. Полученные результаты показывают, что вблизи точек квазивырождения поля мод в рассматриваемом волноводе в среднем эллиптически f\S і) и, в частности, линейно [S = О) поляризованы. Из рис. 4.6 видно, что правосторонняя эллиптическая поляризация [S 0) моды ЕР изменяется до линейной поляризации (5 = 0) и затем переходит в левостороннюю эллиптическую поляризацию моды ЕР [S О), что соответствует преобразованию моды ЕР в ЕР . На рис. 4.7 представлен обратный процесс преобразования поляризаций при переходе моды ЕР в ЕР . Анализ угла наклона Ф имеет особенность при В = 0. Выражения (4.2.6) для Ф, полученные в [66] для плоских волн, у которых локальное и интегрально усредненное значения Ф совпадают, в случае волноводных мод выполняется, как показал анализ, для интегральных значений Ф(В = 0) = Ф0 со следующим уточнением Таким образом, в первом процессе (рис. 4.6) при S = 0 происходит переход через горизонтальную линейную поляризацию Ф0 = 0 (Ех 0,Еу=0), а во втором (рис. 4.7) при S = 0 - через вертикальную.