Введение к работе
Актуальность темы. После предсказания и экспериментального обнаружения эффекта Джозефсона, устройства на основе этого эффекта, благодаря своим рекордным характеристикам, а также компактности и крайне малому энергопотреблению, нашли широкое применение в различных областях физики и техники [1]. В настоящее время сверхпроводящие квантовые интерферометры (СКВИДы) [2] являются наиболее чувствительными датчиками магнитного потока и используются как для измерения биополей человека, так и для неразрушающего контроля различных конструкций. Устройства быстрой одноквантовой (БОК) логики [3] являются основой сверхбыстродействующих цифро-аналоговых и аналого-цифровых преобразователей и цифровых СКВИДов. Также устройства БОК логики рассматриваются в качестве наиболее перспективного кандидата для создания петафлоп1 компьютера [4] благодаря высоким рабочим частотам элементов БОК логики, близким к 1 ТГц. Более того, и СКВИДы и БОК устройства могут быть использованы и для реализации кубитов - элементов квантовых компьютеров, и для описания макроскопического квантового поведения, например при создании считывающей электроники для квантовых вычислений [5]. Джо-зефсоновские генераторы используются в качестве гетеродинов сверхпроводящих интегральных приемников для радиоастрономических и экологических измерений [6].
Как известно [1], из-за высокой чувствительности джозефсоновских переходов к электромагнитному полю, на их свойства значительное влияние оказывают флуктуации. Из-за этого большую часть наблюдаемых явлений нельзя объяснить без учета стохастических, иногда очень сложных процессов в переходах. Флуктуации приводят к ограничению чувствительности СКВИДов, к сбоям в работе логических устройств и уширению спектральной линии генераторов. Поэтому разработка теоретического описания, помогающего более полному пониманию природы флуктуационных явлений в устройствах джозефсоновской электроники, и позволяющего минимизировать влияние флуктуации, является важной как с фундаментальной, так и с прикладной точек зрения.
петафлоп (petaflop) - 10 операций с плавающей точкой в секунду, в настоящее время благодаря прогрессу в полупроводниковых технологиях уже создано несколько суперкомпьютеров, имеющих производительность около 1 петафлоп.
В большинстве практически интересных случаев, случайные процессы, происходящие в джозефсоновских контактах, могут быть описаны в рамках модели марковского процесса, или же нескольких марковских процессов. При этом наибольший интерес с прикладной точки зрения представляют контакты с большим затуханием (малой емкостью), тж. такие устройства имеют малое время отклика. Тем не менее, даже модель одномерного марковского процесса является достаточно сложной для анализа. Непрерывный марковский процесс описывается динамическим уравнением с шумовым источником (уравнением Ланжевена):
dx(t) dU{x,t) ,
-^г = —м^+т> (1)
которое в своей физической интерпретации соответствует броуновскому движению в пределе большой вязкости. Случайный процесс () является белым гауссовым шумом, (()) = 0, (()( + т)) = D5(t), D = 2kT/h - интенсивность шума, U(x) - потенциальный профиль, к - постоянная Больцмана, Т - температура и h - вязкость.
Плотность вероятности переходов непрерывного марковского процесса удовлетворяет уравнению в частных производных, называемому уравнением Фоккера-Планка (УФП), которое удобно представить в безразмерной форме:
dW(x,t) c)G(x,t) 1 Ґ д
dt дх В \ дх
du{x) dx
W(x,t)
і d*W(x,t) + dx2 *' ( '
где G(x,t) - поток вероятности, B=2/D и u(x)=2U(x)/hD=U(x)/kT -безразмерный потенциальный профиль. Нестационарное решение УФП известно аналитически только для нескольких частных случаев потенциальных профилей. Вот почему наиболее простым и распространенным путем анализа переходных диффузионных процессов является приближенное получение временных характеристик.
Не ограничиваясь рассмотрением стохастической динамики джозефсоновских устройств, следует отметить, что исследование временных масштабов переходных процессов в различных мультистабиль-ных системах, находящихся под действием шумов, также является крайне важной задачей в физике (например, в полупроводниковой электронике [7], [8], при исследовании поведения магнитного момента ферромагнитных частиц [9], в системах фазовой синхронизации [10],
при описании распространения электромагнитных волн в случайно-неоднородных средах [11]), химии и биологии.
Первой иностранной работой, посвященной проблеме нахождения времен индуцированных шумом переходов в нелинейных системах, была работа Крамерса [12]. Крамере использовал УФП для получения приближенных выражений времен перехода. Работа [12] стимулировала исследования, направленные на вычисление скоростей переходов в различных системах, находящихся под шумовым воздействием.
Щх)
Рис. 1. Потенциальный профиль, описывающий метастабильное состояние.
Рассмотрим потенциальный профиль U(x) (Рис. 1), описывающий метастабильное состояние. В начальный момент времени броуновская частица находится в потенциальном минимуме между точками Х\ и %2- Из-за флуктуационного воздействия, броуновская частица через некоторое время перескочит через потенциальный барьер, имеющий высоту AU. Необходимо найти среднее время распада метастабильно-го состояния. Основной идеей метода Крамерса является предположение, что поток вероятности через потенциальный барьер мал, и, таким образом, постоянен. Это условие применимо лишь если потенциальный барьер достаточно высок по сравнению с интенсивностью шума. При этом Крамерсом было получено следующее выражение для
2irh
времени перехода через барьер: г =
eAU/kT, где
V \JEmin)\U \%тах)\
AU = U(xmax) — U(xmin), a U" - крутизна потенциального профиля в
точке экстремума.
Для получения точных временных характеристик необходимо знать точное нестационарное решение УФП (2), что является основной трудностью исследования переходных диффузионных процессов. Отметим, что общеупотребимо несколько различных временных характеристик, определенных разным образом ([7] и [8]), например время распада ме-тастабильного состояния или время релаксации к стационарному состоянию. Часто используется метод собственных функций [8], когда требуемый временной масштаб (время релаксации) предполагается равным обратному минимальному ненулевому собственному числу. Однако, с помощью этого метода удалось найти искомые временные характеристики, справедливые при любой высоте потенциального барьера, лишь для некоторых простейших моделей потенциальных профилей [7],[8]. Для произвольных потенциальных профилей собственные функции УФП неизвестны. Но даже для тех модельных случаев нелинейных систем, где представляется возможным найти собственные функции, вычисление соответствующих собственных чисел для произвольной интенсивности шума является практически безнадежным делом: аналитически эту задачу удается решить лишь в пределе малого шума. Например, кусочно-параболический потенциальный профиль рассматривался в работах авторов Larson, Kostin и Blomberg. Однако, использованный метод разложения по собственным функциям не позволил найти решение для произвольной высоты потенциального барьера; полученные приближенные решения и поправки относятся к высоким потенциальным барьерам. Кроме того, этот метод не применим для случая больших интенсивностей шума, поскольку тогда высшие собственные числа также должны быть приняты во внимание.
Для одномерной диффузионной динамики, описываемой УФП (2), могут быть вычислены точно, т.е. для произвольной интенсивности шума, моменты времени первого достижения (ВПД) границы [13]. Но при использовании подхода ВПД, должны быть дополнительно введены поглощающие границы. Однако, большинство прикладных задач описываются гладкими потенциальными профилями и не имеют поглощающих границ, поэтому моменты ВПД могут дать неадекватные значения временных масштабов в таких случаях.
Цели работы:
разработать подходы для получения моментов времени перехода в нелинейных динамических системах с шумами, описываемых одномерным уравнением Фоккера-Планка, а также характерных временных масштабов эволюции различных средних;
провести анализ влияния тепловых флуктуации на временные и спектральные характеристики джозефсоновских контактов и устройств на их основе, таких, как СВЧ СКВИДы и устройства быстрой однокван-товой логики, а также СВЧ генераторы;
разработать асимптотические подходы, а также провести численный анализ с целью выработки рекомендаций по минимизации влияния шумов и флуктуации на указанные устройства в случае, когда анализ реальных устройств в рамках уравнения Фоккера-Планка не представляется возможным.
Научная новизна работы состоит в следующем:
I. Предложено определение моментов времени перехода в нелинейных динамических системах с шумами, являющееся обобщением моментов времени первого достижения на случай произвольных граничных условий. Получены квадратурные формулы для этих моментов. Получены квадратурные формулы для характерных временных масштабов эволюции различных средних (математическое ожидание, дисперсия, функция корреляции и др.).
II. Обнаружен эффект подавления шума в нелинейных системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума. Показано, что если периодическое воздействие превышает статическое пороговое значение, то при оптимальном выборе параметров системы шум может быть эффективно подавлен, что проявляется как в слабой зависимости среднего времени перехода между состояниями системы от интенсивности шума и наличии минимума среднеквадратического отклонения, так и в резонансном поведении отношения сигнал/шум как функции частоты воздействующего сигнала.
III. Явление подавления шума в нелинейных системах при внешнем периодическом воздействии и широкополосном шуме, изучено для моделей точечного джозефсоновского контакта и гистерезисного
СВЧ СКВИДа. Показано, что и среднее время переключения и среднеквадратическое отклонение имеют минимумы как функции частоты сигнала. Кроме того, отношение сигнал-шум имеет максимум при определенной частоте накачки СКВИДа, равной примерно 1/3 характерной частоты СКВИДа.
IV. Аналитически и численно исследовано среднее время индуцированных шумом переключений длинного джозефсоновского контакта. Предложен эффективный способ оценки степени равномерности распределения тока смещения.
V. Исследованы корреляционные и спектральные характеристики черенковского генератора, основанного на когерентном излучении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте, связанном с замедляющей волноведущей системой. Показано, что выходная мощность имеет максимум, а ширина линии имеет минимум как функции управляющего тока.
VI. Исследованы спектрально-корреляционные свойства генератора бегущих волн (ГБВ), основанного на однонаправленном движении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте. Найдены аналитические выражения для ширины и формы спектральной линии. Сравнение с экспериментальными данными и результатами численного моделирования показывает хорошее совпадение с теоретической формулой для ширины линии ГБВ. Обнаружено, что в зависимости от длины несмещенного края ГБВ, мощность излучения может быть максимизирована, а ширина линии минимизирована в широкой области токов смещения.
Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть использованы при проектировании устройств джозефсоновской электроники как в научно-исследовательских учреждениях, например в ИРЭ РАН и НИИЯФ МГУ (г. Москва), так и в организациях, занимающихся разработкой и созданием джозефсоновских систем.
Положения, выносимые на защиту.
I. Метод получения точных значений моментов времени перехода и характерных временных масштабов эволюции статистических характеристик броуновской диффузии в произвольных потенциальных профилях.
II. Обнаружение эффекта подавления шума в нелинейных динамических системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума и использование данного эффекта для минимизации влияния шумов в СВЧ гистерезисных СКВИДах и устройствах быстрой одноквантовой логики.
-
Предложен эффективный способ оценки степени равномерности распределения тока смещения длинных джозефсоновских контактов.
-
Развита количественная теория оценки влияния тепловых флуктуации на спектральные характеристики джозефсоновских генераторов бегущих волн.
Публикации и апробация результатов работы. Результаты диссертации отражены в 70 публикациях. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 33 статьях в научных журналах, рекомендованных ВАК, включая обзор в журнале Advances in Chemical Physics, 6 статьях в научно-технических сборниках, а также в 31 тезисах докладов конференций.
Результаты диссертационной работы докладывались: на конференции "Noise in Physical Systems and 1/f Fluctuations" (Сант-Луис, США, 1993), на международной школе-семинаре "Dynamic 2006), "Constructive role of noise in complex systems" (Дрезден, Германия, 2006), а также на семинарах Института Физики Микроструктур РАН и кафедры бионики и статистической радиофизики ННГУ. Личный вклад соискателя. В статьях [14,19,21] соискатель выполнял теоретические исследования, в статьях [2,5,22,25,26,28,31,33] вклад соискателя эквивалентен вкладу соавторов. В остальных работах все основные результаты получены соискателем лично. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем работы - 259 страниц, включая 221 страницу основного текста, 91 рисунок и список литературы из 197 ссылок. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫПохожие диссертации на Минимизация влияния шумов в устройствах джозефсоновской электроники
