Методы интервального оценивания характеристик связи между осцилляторами по временным реализациям фаз колебаний Сидак Елена Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Выявление связи между колебательными системами с оценкой статистической значимости 16

1.1. Выявление связи по временным рядам фаз с помощью коэффициента фазовой когерентности 18

1.1.1. Коэффициент фазовой когерентности 18

1.1.2. Статистические свойства оценки коэффициента фазовой когерентности 19

1.2. Статистическая значимость выводов о наличии связи на основе оценки коэффициента фазовой когерентности 27

1.2.1. Оценка статистической значимости на основе построения суррогатных данных 27

1.2.2. Аналитическая формула для уровня статистической значимости оценки коэффициента фазовой когерентности 32

1.3. Новый метод выявления связи с аналитической оценкой статистической значимости, основанный на анализе приращений фаз 34

1.4. Исследование применимости двух методов выявления связи в типичных ситуациях на эталонных системах

1.4.1. Фазовые осцилляторы с «синхронизующей» связью 38

1.4.2. Фазовые осцилляторы с «не синхронизующей» связью 44

1.4.3. Проверка степени общности результатов: негауссовы и не белые

фазовые шумы 47

Заключение и выводы к главе 1 51

ГЛАВА 2. Интервальная оценка времени запаздывания связи между осцилляторами со слабо возмущенным предельным циклом 55

2.1. Выявление запаздывающей связи между осцилляторами на основе моделирования фазовой динамики 56

2.1.1. Известный метод выявления направленной связи между осцилляторами на основе моделирования фазовой динамики 56

2.1.2. Выявление запаздывающих связей между осцилляторами 59

2.2. Интервальная оценка времени запаздывания связи для осцилляторов под действием белого шума 62

2.2.1. Известная точечная оценка времени запаздывания 62

2.2.2. Интервальная оценка времени запаздывания 64

2.2.3. Численный эксперимент 68

2.3. Интервальная оценка времени запаздывания для осцилляторов под действием шумов с ненулевыми временами корреляции 71

2.3.1. Особенности случая шумов с ненулевыми временами корреляции и обобщенная оценка времени запаздывания связи 71

2.3.2. Применение обобщенной оценки времени запаздывания связи для эталонных осцилляторов 73

2.3.3. Применение интервальной оценки времени запаздывания связи для осцилляторов Ван дер Поля 77

Заключение и выводы к главе 2 80

ГЛАВА 3. Оценка времени запаздывания связи между осцилляторами при различных свойствах фазовой динамики 82

3.1. Нелинейные системы с хорошо определенной фазой 83

3.2. Огрубленные оценки времени запаздывания 89

3.3. Системы с трудностями при определении фазы

3.3.1. Линейные стохастические осцилляторы 91

3.3.2. Системы Лоренца 94

3.4. Приложение к анализу климатических данных 96

Заключение и выводы к главе 3 102

Заключение 104

Благодарности 107

Список литературы 108

• Аналитическая формула для уровня статистической значимости оценки коэффициента фазовой когерентности
• Интервальная оценка времени запаздывания связи для осцилляторов под действием белого шума
• Огрубленные оценки времени запаздывания
• Приложение к анализу климатических данных

Введение к работе

Актуальность работы. Исследование динамики ансамблей связанных осцилляторов традиционно находится в центре внимания теории колебаний и радиофизики¹. Известно, что режимы коллективной динамики (условия синхронизации, степень сложности наблюдаемой динамики) во многих ситуациях в большей степени определяются характером связей между осцилляторами, чем их индивидуальными свойствами². При этом, наряду с «прямой» задачей исследования динамики ансамблей с заданными связями, на практике важна «обратная» задача определения характера связей по наблюдаемому поведению осцилляторов – временным рядам характеризующих переменных³. Умение успешно решать последнюю задачу важно в фундаментальном плане для исследования сложных колебательных систем при дефиците информации о механизмах их функционирования (например, в климатологии при установлении причин вариаций климата с различными временными масштабами⁴) и востребовано при решении ряда прикладных задач (например, в нейрофизиологии для выявления взаимодействия между различными областями головного мозга при эпилепсии и болезни Паркинсона с целью разработки новых диагностических средств⁵, кардиологии⁶, коммуникационной технике⁷). Привлекают внимание задачи о

¹ Анищенко, В.С. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В.С. Анищенко [и др.]; под
ред. В.С. Анищенко. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -544 с; Пиковский, А.С.
Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление / А.С. Пиковский, М.Г. Розенблюм, Ю. Куртс. -М: Тех
носфера, 2003. -496 с; Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации / В.С. Афраймович
[и др.]; под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. -Горький: ИПФ АН СССР, 1989. -254 с; Лан-
да, П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы /П.С. Ланда. -М: Наука, 1980. -360 с.

² Tass, P.A. Phase resetting in medicine and biology. Stochastic modelling and data analysis / P.A. Tass. -Berlin, Hei
delberg: Springer-Verlag, 1999. -329 p; Mosekilde, E. Chaotic synchronization. Applications to Living Systems /
E. Mosekilde, Yu Maistrenko, D Postnov. -Singapore: World Scientific, 2002.; Osipov, G.V. Synchronization in oscil
latory networks / G.V Osipov, J. Kurths, C. Zhou. -Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007.; Balanov, A. Synchro
nization: From simple to complex / A. Balanov, N. Janson, D. Postnov, O. Sosnovtseva. -Berlin, Heidelberg: Springer-
Verlag, 2008.; Матросов, В.В. Динамический хаос в фазовых системах / В.В Матросов, В. Д. Шалфеев. -Нижний
Новгород: изд. ННГУ, 2009.

³ Bezruchko, B.P. Extracting knowledge from time series: An introduction to nonlinear empirical modeling /
B.P. Bezruchko, D.A. Smirnov. -Berlin, Heidelberg: Springer, 2010; Kralemann, B. Reconstructing phase dynamics of
oscillator networks / B. Kralemann, M. Rosenblum, A. Pikovsky // Chaos. -2011. -V 21. -P. 025104; Levnajic, Z.
Network reconstruction from random phase-resetting / Z. Levnajic, A. Pikovsky // Physical Review Letters. -2011. -V.
107. -P. 034101.

⁴ Мохов, И.И. Диагностика структуры климатической системы / И.И. Мохов. -Спб.: Гидрометеоиздат, 1993.
-271 с.

⁵ Pereda, E. Nonlinear multivariate analysis of neurophysiological signals / E. Pereda, R. Quian Quiroga,
J. Bhattacharya // Progr. Neurobiol. -2005. -V. 77. -P. 1-37.; Безручко, Б.П. Моделирование и диагностика взаи
модействия нелинейных колебательных систем по хаотическим временным рядам (приложения в нейрофизио
логии) / Б.П. Безручко [и др.] // Успехи физических наук. -2008. -Т. 178. -№ 3. -С. 323-329.; Короновский, А.А.
Вейвлеты в нейродинамике и нейрофизиологии / А.А. Короновский [и др.]. -М.: Физматлит, 2013. -271 с;
Smirnov, D.A. The generation of parkinsonian tremor as revealed by directional coupling analysis / D.A. Smirnov [et
al.] // Europhysics Letters. -2008. -V 83. -P. 20003.

⁶ Rosenblum, M.G. Identification of coupling direction: Application to cardiorespiratory interaction / M.G. Rosenblum,
L. Cimponeriu, A. Bezerianos, A. Patzak, R. Mrowka // Physical Review E. -2002. -V.65. -P. 041909.; Karavaev, A.S.
Synchronization of low-frequency oscillations in the human cardiovascular system / A.S. Karavaev [et al.] // -Chaos.
-2009. -V. 19. -P. 033112.; Suprunenko, Y.F. Chronotaxic systems: a new class of self-sustained nonautonomous os
cillators / Y.F. Suprunenko, P.T. Clemson, A. Stefanovska // Physical Review Letters. -2013. -V 111. -P. 024101.

⁷ Hung, Y.-C. Chaotic communication via temporal transfer entropy/ Y.-C. Hung, C.-K. Hu // Physical Review Letters.
-2008. -V 101. -P. 244102.

выявлении связи между осцилляторами, а также о более детальных ее характеристиках, включая различение однонаправленной и двунаправленной связи и оценку «силы воздействия» в каждом направлении, выявление запаздывания связи и оценку времени запаздывания. Последнее важно, в частности, для оценки времени распространения возмущения в сложной среде (климатической системе⁸, эпилептическом мозге и т.п.).

Для решения задачи выявления и количественной характеристики связи между двумя осцилляторами, рассматриваемой в диссертационной работе, существует ряд подходов: традиционные средства математической статистики и спектрального анализа (взаимная корреляционная функция, функция когерентности и др.); более узко ориентированные методы (оценка «направленных» связей на основе понятия причинности по Грейнджеру⁹); их нелинейные обобщения и новые идеи, развитые в рамках теории колебаний и нелинейной динамики (различные меры синхронизации¹⁰, нелинейные варианты причинности по Грейнджеру¹¹, теоретико-информационные характеристики условных распределений вероятностей будущих состояний¹²). В последней группе выделяются методы, основанные на анализе фазовой динамики¹³, который является базовым аппаратом теории колебаний и радиофизики. В последние годы на его основе развиваются и новые подходы, полезные при исследовании синхронизации хаотических систем, оценках направленных связей и т.д. Преимущества этого аппарата связаны с тем, что фаза колебаний – это переменная с высокой чувствительностью к внешним воздействиям на систему¹⁴, а также с тем, что в фазовом приближении удается обойтись моделями малой размерности при сохранении в них существенных свойств исследуемой динамики¹⁵.

В типичной на практике ситуации – относительно коротких (несколько десятков характерных периодов) и зашумленных временных рядов помимо получения численных значений характеристик связи (точечных оценок) важно иметь обоснованные оценки их погрешностей – доверительные интервалы (интервальные оценки), чтобы отличать надежные выводы о характере связи от статистических флуктуаций точечных оценок. С точки зрения математической

⁸ Runge, J. Escaping the curse of dimensionality in estimating multivariate transfer entropy / J. Runge [et al.] // Physical
Review Letters. -2012. -V. 108. -P. 258701.

⁹ Granger, C.W.J. Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods / C.W.J. Grange //
Econometrica. -1969. -V. 37. -P. 424-438.

¹⁰ Kreuz, T. Measuring synchronization in coupled model systems: a comparison of different approaches / T. Kreuz [et
al.] // Physica D. -2007. -V. 225. -P. 29-42.

¹¹ Marinazzo, D. Kernel method for nonlinear granger causality / D. Marinazzo, M. Pellicoro, S. Stramaglia // Physical
Review Letters. -2008. -V. 100. -P. 144103.

¹² Hlavackova-Schindler, K. Causality detection based on information- theoretic approaches in time series analysis /
K. Hlavackova-Schindler // Physics Reports. 2007. -V. 441. -P. 1-46.

¹³ Brea, J. Measuring direction in the coupling of biological oscillators: a case study for electroreceptors of paddlefish /
J. Brea, D.F. Russell, A.B. Neiman // Chaos. -2006. -V. 16. -P. 026111.; Kralemann, B. Uncovering interaction of
coupled oscillators from data / B. Kralemann [et al.] // Physical Review E. -2007. -V. 76. -P. 055201; Smirnov, D.A.
Detection of coupling in ensembles of stochastic oscillators / D.A. Smirnov, B.P. Bezruchko // Physical Review E.
-2009. -V 79. -P. 046204.

¹⁴ Малахов, А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах / А.Н. Малахов. -М.: Наука, 1968.

¹⁵ Kuramoto, Y. Chemical oscillations. waves and turbulence / Y. Kuramoto. -Berlin: Springer-Verlag, 1984.

статистики эти вопросы относятся к разделу «проверка статистических гипотез». В задаче о выявлении связи проверяемой «нулевой гипотезой» является предположение о том, что исследуемые осцилляторы не связаны между собой. По оценкам характеристик связи, полученным по временному ряду, гипотеза может быть опровергнута, т.е. сделан вывод о наличии связи. Если вероятность опровержения верной гипотезы (так называемый «уровень значимости»¹⁶) меньше некоторого наперед заданного малого значения p, то сделанный вывод надежен. Обычно значение p = 0.05 считается достаточно малым на практике. Для проверки применимости метода выявления связи при заданных условиях (свойства систем, длине ряда и т.д.) можно по ансамблю временных рядов от несвязанных осцилляторов оценить вероятность f опровержения верной нулевой гипотезы об отсутствии связи и убедиться, что f не превышает заданного малого p. При ненулевом значении силы связи смысл величины f меняется, т.к. тогда она показывает долю временных реализаций, по которым используемый метод может опровергнуть ложную нулевую гипотезу, т.е. «почувствовать» наличие связи. Поэтому в статистике величину f называют тогда чувствительностью метода. Все аналогично и в задаче об оценке времени запаздывания связи. Практические требования к методам интервального оценивания характеристик связи состоят в том, чтобы они были «быстрыми» (с точки зрения объема вычислений) для возможности анализа больших объемов данных, а также применимыми (обеспечивали вероятность ошибочных выводов не более заявленной p и достаточно большую чувствительность f) для широкого круга систем. Распространенный в настоящее время подход к интервальному оцениванию основан на использовании «суррогатных данных» – сравнении полученных оценок связи с оценками, полученными по ансамблю искусственно сгенерированных временных рядов, сохраняющих некоторые свойства наблюдаемых данных (например, спектральный состав сигналов) и специально обеспечивающих другие (например, нулевую связь). Различие оценок, полученных по наблюдаемым и суррогатным данным, позволяет сделать вывод о том, что исследуемые процессы не принадлежат к такому классу процессов (например, являются связанными). Этот подход не требует аналитических формул для уровня значимости или доверительного интервала (которые чаще всего и отсутствуют для широких классов систем), однако требует большого объема вычислений для каждого временного ряда и, кроме того, связан с достаточно строгими предположениями о свойствах систем, например, при использовании суррогатных данных с сохранением спектра мощности¹⁷ выдвигается предположение о стационарности и гауссовости. Если эти свойства не выполняются для исследуемых систем, то вывод о наличии связи на основе суррогатного теста может быть ошибочным с вероятностью, значительно большей заявленного уровня p. Есть и немногочисленные методы выявления связи по фазам колебаний с ана-

¹⁶ Боровков, А.А. Математическая статистика / А.А. Боровков. -М: Физматлит, 2007. -703 с; Lehmann, Е. Test
ing statistical hypothesis / Е. Lehmann. -Berlin: Springer, 1986.

¹⁷ Schreiber, T. Improved surrogate data for nonlinearity tests / T. Schreiber, A. Schmitz // Phys. Rev. Lett. -1996. -V.
77. -P. 635.

литическим выражением для оценки уровня значимости, однако они также ориентированы на достаточно узкие классы систем, например, фазовые осцилляторы без собственной фазовой нелинейности¹⁸.

Эти проблемы существенно ограничивают возможности надежного интервального оценивания характеристик связи между осцилляторами с различными свойствами динамики по временным реализациям фаз колебаний и требуют усовершенствования имеющихся и развития новых методов решения таких задач. Этим определяется актуальность темы диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов, позволяющих на основе анализа фазовой динамики выявлять связь и оценивать время ее запаздывания с аналитической оценкой статистической значимости выводов для колебательных систем с различными свойствами динамики.

Для достижения цели решались следующие основные задачи.

1. Разработка метода обнаружения связи между осцилляторами с аналитической оценкой статистической значимости, применимого для широкого круга колебательных систем.

2. Разработка метода интервального оценивания времени запаздывания связи на основе моделирования наблюдаемой фазовой динамики для осцилляторов, которые представляет собой слабо возмущенные предельные циклы.

3. Разработка метода интервального оценивания времени запаздывания связи на основе моделирования фазовой динамики, применимого для осцилляторов с различными свойствами динамики, включая хаотические режимы нелинейных низкоразмерных систем и ситуации больших амплитудных флуктуаций.

В диссертационной работе проводилось тестирование методов в численных экспериментах на эталонных осцилляторах и их приложение для анализа связей между реальными сложными системами – крупномасштабными климатическими процессами – по данным инструментальных наблюдений.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Предложенный метод выявления связи между осцилляторами, основанный на расчете коэффициента корреляции приращений фаз, с аналитической оценкой уровня статистической значимости, применим при условии стационарности приращений фаз. По сравнению с известным методом, основанным на оценке коэффициента фазовой когерентности, он оказывается более чувствительным к связям, не повышающим степень синхронности колебаний, и остается применимым при наличии фазовой нелинейности. Из-за отсутствия в предложенном методе оцениваемых параметров осцилляторов на его эффективность и надежность меньше влияет сокращение длины временного ряда и близость режима наблюдаемой динамики к синхронному.

2. Предложенный метод, основанный на моделировании фазовой динамики и асимптотическом формализме максимального правдоподобия, позволяет получать несмещенные точечные оценки времени запаздывания связи между

^1S Allefeld, С. Testing for phase synchronization / С Allefeld, J. Kurths // Int. J. Bif. -Chaos. -2004. -V. 14. -P. 405.; Schelter, B. Testing for phase synchronization / B. Schelter [et al.] // Phys. Lett. A. -2007. -V. 366. -P. 382.

колебательными системами вместе с доверительным интервалом, обеспечивающим вероятность ошибочных выводов о величине запаздывания, меньшую заданной малой величины. Метод применим для систем, фазовая динамика которых описывается уравнениями стохастических фазовых осцилляторов первого порядка, при различных корреляционных свойствах случайных внешних воздействий.

3) Предложенный огрубленный метод интервального оценивания времени запаздывания связи между колебательными системами обеспечивает заданную надежность выводов в ситуациях, когда модель фазовых осцилляторов первого порядка недостаточна из-за значительных амплитудных флуктуаций, вызванных низкоразмерной хаотической динамикой или интенсивными шумами.

Достоверность научных выводов обусловлена теоретическим обоснованием разработанных методов оценки связей с позиций теории колебаний и математической статистики, тестированием методов на эталонных системах в численных экспериментах и установлением эмпирических критериев их применимости, согласованием результатов численных расчетов и аналитических выводов, совпадением ряда результатов с результатами других авторов.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

За счет перехода к рассмотрению приращений фаз вместо разности мгновенных их значений предложен метод выявления связи между колебательными системами по временным рядам с аналитической оценкой уровня значимости, который применим для более широкого круга систем и более коротких рядов по сравнению с прежними методами.

На основе известной точечной оценки времени запаздывания связи между колебательными системами и формализма максимального правдоподобия предложена интервальная оценка (в предположении о том, что динамика систем представляет собой слабо возмущенный внешними шумами и взаимными связями предельный цикл). Это позволяет выявлять запаздывание связи и оценивать время запаздывания с заданной надежностью, что важно при анализе коротких зашумленных сигналов.

Для систем с более сложными свойствами фазовой динамики предложена огрубленная интервальная оценка времени запаздывания связи, гарантирующая заданную малую вероятность ошибочных выводов о величине запаздывания в случаях, когда фазовое приближение при описании динамики оказывается неполным.

Научное и практическое значение результатов работы.

Научное значение полученных результатов состоит в том, что они показывают принципиальные возможности достоверного выявления связей и оценки времени ее запаздывания по временным рядам фаз колебаний для широкого класса колебательных систем и дают конкретные средства для этого на основе аппарата статистической радиофизики и теории проверки статистических гипотез. Применение этих методов для анализа связей между крупномасштабными климатическими процессами Эль-Ниньо – Южное колебание и Северо-7

Атлантическое колебание выявило запаздывание воздействия тихоокеанского процесса на атлантический не менее 8 месяцев. Это дополняет прежние точечные оценки этой величины (составлявшие около двух лет)¹⁹, что представляет интерес для теории климата при описании причинно-следственных связей в климатической системе Земли.

Практическое значение результатов состоит в том, что предложенные методы позволяют получать надежные выводы о связях между колебательными процессами различной физической природы в реалистичных условиях коротких временных рядов (несколько десятков характерных периодов) с минимальным объемом расчетов (за счет полученных аналитических выражений для доверительных интервалов и уровней значимости выводов). Последнее позволяет проводить анализ больших объемов данных за умеренное время, что расширяет круг возможных приложений к решению, в частности, биомедицинских задач, связанных с анализом колебательных процессов.

Личный вклад соискателя. Участие в разработке теоретической основы методов оценки связей, создание компьютерных программ для реализации всех методов, проведение численных экспериментов и сравнительного анализа известных ранее и вновь предложенных методов, анализ реальных данных.

Апробация работы и публикации.

По теме диссертации опубликовано 30 работ, в том числе 10 статей в журналах, рекомендованных ВАК.

Результаты были представлены и обсуждались на всероссийских школах «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2008, 2016); международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» – ХАОС (Саратов, 2007, 2010, 2013); международных конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008), всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, 2009); научных конференциях «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015); школах-семинарах «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине» (Саратов, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015); на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

Проведенные исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований, Фондом содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, программами РАН и Министерства образования и науки РФ, Российским научным фондом.

¹⁹ Mokhov, I.I. El Nino Southern Oscillation drives North Atlantic Oscillation as revealed with nonlinear techniques from climatic indices / I.I. Mokhov, D.A. Smirnov // Geophys. Res. Lett. -2006. -V. 33. -L03708.; Мохов, И.И. Исследование взаимного влияния процессов Эль-Ниньо - Южное колебание и Северо-Атлантического и Арктического колебаний / И.И. Мохов, Д. А. Смирнов // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. -2006. -Т. 42. -№5. -С. 650-667.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации -115 страниц, включая 32 рисунка и список литературы из 70 наименований.

Аналитическая формула для уровня статистической значимости оценки коэффициента фазовой когерентности

Исследование поведения связанных колебательных систем – один из основных разделов радиофизики, теории колебаний и нелинейной динамики. Много работ посвящено изучению синхронизации колебательных систем [2,6-8,43], включая и «обратные задачи» обнаружения и количественной характеристики синхронных режимов по временным рядам [44-46]. Не менее часто возникает на практике и родственная задача – установить с достоверностью наличие связи между осцилляторами, в том числе и сравнительно слабой [37,38]. Умение решать такую задачу часто востребовано на практике в различных приложениях. Например, в нейрофизиологии [47,48] при изучении таких заболеваний, как эпилепсия [47] и болезнь Паркинсона [48], сопровождающихся нарушениями движений. Определенная степень взаимодействия между различными группами нейронов обеспечивает нормальное функционирование мозга [49], но слишком высокий уровень синхронизации сопутствует патологии. Выявление связей между различными группами нейронов по записям их электрической активности может дать дополнительную информацию о локализации очага патологии во время эпилептического припадка или при паркинсоновском треморе. В кардиологии подобная задача возникает, например, при исследовании взаимодействия медленных ритмов регуляции сердечно-сосудистой системы [21]. Оценка степени синхронизованности таких ритмов по временным записям электрокардиограммы и фотоплетизмограммы оказывается полезной при оценке эффективности принимаемых пациентами препаратов, поскольку при правильном лечении степень синхронизации увеличивается. Аналогичные вопросы возникают в науке о климате, где по временным рядам различных климатических индексов важно уметь достоверно выявлять связи между климатическими процессами различных масштабов [41,42,50].

В данной главе рассматриваются подходы к выявлению связи между двумя колебательными системами на основе анализа фазовой динамики, при этом особенное внимание уделяется оценке статистической значимости выводов о наличии связи. В п.1.1 рассмотрен известный метод, основанный на расчете коэффициента фазовой когерентности (КФК), который представляет собой первую Фурье-моду распределения разности фаз [37,38,45] и широко используется в качестве индекса синхронизации. Приводятся результаты анализа вероятностных свойств оценки КФК, полученной по временным рядам различной (в том числе достаточно малой) длительности. В п.1.2 рассмотрено два подхода к оценке статистической значимости вывода о наличии связи на основе оценки КФК. Первый – широко распространенный подход, основанный на приготовлении суррогатных данных, что требует большого объема вычислений. Второй подход основан на использовании аналитических формул для оценки статистической значимости, которые получены в предположении о том, что фазовая динамика исследуемых систем подчиняется уравнениям фазовых осцилляторов первого порядка с нормальным белым шумом и без собственной фазовой нелинейности. При этом предполагается, что параметры этих осцилляторов могут быть точно оценены по данным наблюдений. Обсуждается вопрос о том, что нарушение этих свойств может вести к ложным выводам о наличии связи. В п.1.3. предлагается дополнительный (альтернативный) метод выявления связи между осцилляторами по временным рядам фаз, который позволяет обойти указанные трудности в широком круге ситуаций. Метод основан на переходе от анализа самих фаз к анализу их приращений и расчету коэффициента корреляции приращений фаз (ККПФ). Получена аналитическая формула для уровня значимости вывода о наличии связи при использовании оценки ККПФ. Применимость предложенного подхода в сопоставлении с известным, основанным на оценке КФК, показана в численных экспериментах с фазовыми осцилляторами в п.1.4., где также обсуждаются условия его применимости для более широкого круга систем и иллюстрируются его эффективность в таких ситуациях.

Пусть имеется две колебательные системы, информация о динамике которых представлена парой временных реализаций наблюдаемых динамических переменных {х1 {tl),...,xx(tN)} и {х2{tl),...,x2(tN)}, здесь ti =iAt,

At - интервал выборки, N - длина ряда. Будем считать, что фаза этих систем корректно определена, и по временным рядам динамических переменных получены временные ряды фаз колебаний \ф ),...,ф ы)} и \ф2( ),...,ф2Цы)}. Пусть осцилляторы связанны таким образом, что увеличение коэффициента связи между ними приводит к фазовой синхронизации, т.е. режиму, характеризующемуся постоянством разности фаз фх it) - ф2 it) = const.

Плотность распределения «свернутой» (принимающей значения от 0 до 2 л) мгновенной разности фаз Ф ) = (ф )-ф2 ))то&2тт является дельта-функцией в режиме строгой синхронизации и не столь локализована в других режимах. Для оценки степени синхронности используют подходы, основанные на анализе плотности распределения разности фаз, т.е. на оценке «выраженности» пика в ней. В частности, популярны различные коэффициенты фазовой синхронизации, отражающие стабильность разности фаз колебаний, см. их сравнительный анализ в [51,52]. Наиболее широко распространенным является коэффициент фазовой когерентности, который определяется как амплитуда первой Фурье-моды распределения, т.е. математическое ожидание: \е1фр(Ф)с!Ф (1.1) где р(Ф)- плотность распределения. Эта величина равна единице при строгой синхронности ф1 (t) = ф2 (t) + const. Для несвязанных осцилляторов без фазовой нелинейности плотность распределения р(Ф) равномерна и р = О. Оценка КФК, получаемая по временным рядам фаз, представляет собой соответствующий эмпирический момент: Р=-ЇР(КШ-Ф2(0)І (1.2) N І=\ здесь и далее крышечка сверху означает оценку по временному ряду. Значение р можно рассматривать как характеристику степени синхронности наблюдаемых колебаний.

При достаточно большой длине ряда и эргодичности процессов оценка р очень близка к истинному значению величины р. Однако в практически интересных ситуациях (нестационарные физиологические процессы, короткие ряды геофизических величин и т.д.) длина ряда оказывается довольно малой, т.е. не более нескольких десятков характерных периодов колебаний. При этом можно получить близкое к единице значение р даже для несвязанных осцилляторов.

Интервальная оценка времени запаздывания связи для осцилляторов под действием белого шума

Подставляя полученные оценки коэффициентов aк в формулу (2.6) вместо истинных значений aк можно получить оценки интенсивности воздействий. В работе [40] были получены формулы для их 95%-ных доверительных интервалов вида [у, -\.6&9 у, + 1.8 7- ], где т» рассчитываются по тому /К, /К, /К, же короткому ряду и определяет дисперсию величины ук. Если оценка ук вместе со своим доверительным интервалом превышает ноль, то делается вывод о наличии воздействия -ой системы на к-ую с вероятностью ошибки не более 0.05, поскольку доверительный интервал 95%-ный.

Подход не применим для режимов фазовой синхронизации, потому что тогда фазы двух осцилляторов не могут выступать в роли «независимых» переменных при построении модели. Эта проблема диагностируется, если оценка коэффициента фазовой когерентности близка к единице. Реализация подхода затрудняется при р 0.6 [40].

Вышеописанный формализм наиболее уместен, если в связи между исследуемыми системами отсутствует время запаздывания (или оно меньше шага дискретизации At). Однако метод можно адаптировать и для анализа запаздывающих связей, что и сделано в диссертационной работе.

Пусть наблюдаемая динамика адекватно описывается уравнением (2.1) с некоторым временем запаздывания Д ._ : сІф1{і)ІсІі = со1+С1{ф1{іХф2{і-А\ )) + %1{іХ (2.8) йф2 (t)/dt = co2+G2 (ф2 (0, фу (t - Д; 2)) + 4 (0, Разностная форма уравнения (2.8) имеет вид: A ) = F2( 2(0, -A 2),a2) + 2(0, . где A k - пробное время запаздывания. При некотором фиксированном значении А коэффициенты aк аналогично описанному выше случаю без запаздывания в связи получаются путем минимизации среднего квадрата ошибки 1 N-r/At S2k (A k, a,) = {фк (tt +т)-фк(tt) - Fk {фк (t), ф. (t - A k), a, ))2, по полученным оценкам коэффициентов рассчитываются оценки индексов воздействия ук вместе со своими доверительными интервалами. Поскольку заранее истинное время запаздывания неизвестно параметр А ._ . перебирается в некотором диапазоне и строится зависимость /k(A. k), снабженных поточечным доверительным интервалом (см. рис.2.1). Рис.2.1. Зависимость у2 от пробного запаздывания А1 2для системы (2.10), полученная по временному ряду длиной 100 характерных периодов с й ! =0.95,й 2=1.05, Ж = 0.6, Ч- 2 0 20 40 60 80 100 V%=02 При этом для обеспечения вероятности ошибки при выводе о наличии связи не более заданного уровня значимости (p=0.05) уже не достаточно условия, чтобы хотя бы одно значение ук(А к) вместе со своим доверительным интервалом было больше нуля в выбранном диапазоне А ._ (шириной, например, 5 периодов как на рис.2.1), поскольку вероятность случайной ошибки больше поточечного уровня значимости и растет с увеличением ширины этого диапазона. Чтобы обеспечить вероятность ошибки не более заданного уровня p, в диссертационной работе предложено делать вывод о наличии связи, если (ук -1.6 7- ) 0 для нескольких пробных Л7-_ , покрывающих интервал шириной Р, которая подбиралась эмпирически путем анализа временных рядов от системы связанных фазовых осцилляторов d&(t)ldt = a)1+Z1(t), (2.10) d / 2 (t)ldt = w2+q sin( ф1 (t - A 2) - ф2 ()) + 42 (t), где щ2 - собственные угловые частоты колебаний, q - коэффициент связи, А 2 - время запаздывания воздействия 1-»2, 12- взаимно некоррелированные белые шумы с автоковариационными функциями (Zk(t)%k(t ) = D S(t ).

Численный эксперимент системы (2.10) длины N с интервалом выборки At при заданном наборе параметров для чего решались уравнения (2.10) методом Эйлера-Маруямы с шагом 0.01 при случайных начальных условиях. Временные ряды записывались с интервалом выборки At =0.3, что дает примерно Т=20 точек на характерном периоде при сок =1. Параметры системы ш1 = 1.1, а 2 = 0.9, q = 0.1, Д 2 =12 (40 At). По каждой реализации были получены характеристики ук(А к) (р(Д._ ) оказывается всегда меньше 0.6). Рассчитывался проводился следующим образом. Генерировалось 100 пар реализаций процент ложных (обнаружение влияние второго осциллятора на первый, ferr) и правильных (обнаружение влияние первого осциллятора на второй, f) выводов. Пробное запаздывание меняется в диапазоне 0 до 5Т. Рисунок 2.2 показывает процент правильных (рис.2.2,а) и ложных (рис.2.2,б) выводов при различных значениях уровня шума в ведомом осцилляторе и значениях Р. Рис.2.2. Зависимость процента правильных выводов (а) и ложных выводов о наличии запаздывания в связи (б) от уровня шума JD, второго осциллятора при JD7 = 0.6 и при разных значениях параметра P.

Для обеспечения вероятности ошибок не более 0.05, необходимо взять P, по меньшей мере, равным одному характерному периоду (в данном примере P нужно брать не менее 20 точек данных). С ростом P вероятность ошибочных выводов становится еще меньше, но снижается и вероятность правильных выводов, т.е. снижается чувствительность метода. Поэтому оптимальным представляется величина P, соответствующая временному интервалу не менее одного характерного периода колебаний, что и используется во всех примерах ниже. Для оценки самого времени запаздывания связи ниже на основе известной точечной оценки предлагается интервальная оценка, применимая при анализе коротких временных рядов и при наличии шумов.

Огрубленные оценки времени запаздывания

Фазы, введенные через преобразование Гильберта, в рассматриваемом режиме (с малым параметром //) близки к фазам, введенным через тригонометрическую замену координат [2]. Таким образом, фазовая динамика (2.15) несколько отличается от (2.8) и может быть описана как ситуация модуляции параметров системы (2.8) меняющимися амплитудами и модуляция шумов амплитудами и фазами. Если вариации амплитуд малы, то отличия (2.15) от (2.8) также малы. При осреднении уравнений на интервале

г, сопоставимом с периодом колебаний, роль амплитудных флуктуаций в уравнениях (2.9) еще более снижается. Тогда и при сильно меняющихся амплитудах можно рассчитывать на достаточную адекватность модели (2.9) и точность итоговых оценок. Это проверялось в численном эксперименте.

Уравнения (2.14) интегрировались методом Эйлера-Маруямы с шагом 0.01. Анализировались сигналы х12 с интервалом выборки At = 0.3 (20 точек на периоде), длина ряда составляла TV=2000 точек (примерно 100 характерных периодов). Величина г в (2.9) принималась равной четверти периода, т.е. г = 1.5, что дает несколько лучшую чувствительность метода (более узкий доверительный интервал), хотя результаты остаются схожими и при увеличении г до характерного периода и более. По ансамблю из 100 пар временных рядов полученных для системы (2.14), подсчитывалась частота ferr ложных выводов о величине запаздывания, т.е. подсчитывалось количество таких ситуаций, когда А0 не принадлежит полученному в результате оценивания интервалу AcZt ±2d На рис.2.8. приведены результаты оценок времени запаздывания. АКФ остатков модели (2.9) для ф2(і) (рис.2.8.а) демонстрирует колебания с периодом, равным характерному периоду генератора, что при г меньшем периода, связано с неравномерностью движения фазовой траектории по предельному циклу. Величина ferr при Jl\=0.09 (рис.2.8.б, кружки) не превышает ожидаемый уровень 0.1 при интенсивности шума в ведущей системе Jl\ 0.3. При этом достаточно большие уровни шума не приводят к ошибкам: амплитудные флуктуации в ведомом генераторе присутствуют, но не велики (рис.2.8,в,г), а график (Д ) демонстрирует четкий минимум (правая вставка на рис.2.8.б). При д// 0.3 число ошибок становится большим, что диагностируется по изрезанности графика s\(А 2) (левая вставка на рис.2.8.б) аналогично рис.2.3.в. Рис.2.8 Оценивание времени запаздывания связи для системы (2.14): а) автокорреляционная функция шумов є2 при JD1 = 0.1, J D2 =0.09; б) - частота ложных выводов в зависимости от уровня шума в ведущей системе с оценкой (2.13); на вставках -графики s2(A1 2) для отдельных рядов: левая - для JD1 =0.1, JD2 =0.09, правая - для ТD 1 =0.7,D2 =0.09; в) траектории осцилляторов при D = 0.1,D 2 =0.09; г) траектории осцилляторов при JD7 = 0.7, JD? = 0.09. Таким образом, предложенные в диссертации (асимптотические) оценки времени запаздывания оказываются применимыми и при некотором отличии динамики систем от базовой системы (2.8). Заключение и выводы к главе 2

Задача оценки времени запаздывания связи между колебательными системами встречается в различных областях исследований, и вопрос о его надежном оценивании по относительно коротким временным рядам часто оказывается практически важным.

В главе 2 проведена модификация известного метода оценки направленных связей, основанного на эмпирическом моделировании фазовой динамики исследуемых систем для выявления запаздывающих связей. На основе этого подхода и формализма максимального правдоподобия предложена интервальная оценка времени запаздывания связи, учитывающая влияние интенсивности фазового шума на погрешность оценивания. Эффективность предложенной оценки показана в численном эксперименте на ансамбле временных реализаций от связанных фазовых осцилляторов под действием белого шума.

Для систем под действием шумов с иными корреляционными свойствами формула для оценки времени запаздывания обобщена путем учета времени корреляции остаточных ошибок эмпирической модели. Необходимость такого обобщения для устранения ошибочных выводов и эффективность полученной оценки показаны на эталонных системах связанных фазовых осцилляторов и генераторов Ван дер Поля под действием шумов с различными временами корреляции при различных значениях параметров систем.

Отметим, что оценка времени запаздывания не полностью соответствует обычной постановке задачи по получению оценок максимального правдоподобия, т.к. от значения оцениваемого параметра (времени запаздывания) зависит, какие значения будет принимать переменная х в оцениваемой регрессии, т.к. при разных пробных запаздываниях оцениваются зависимости приращения фазы Афк от фазы ф-, взятой с разными задержками. Таким образом, применимость предложенной формулы заранее не вполне очевидна.

В численном эксперименте показано, что предложенный метод дает верные интервальные оценки времени запаздывания, если минимум на графике зависимости квадрата ошибки модели от пробного времени запаздывания .sf(A_ ) хорошо выражен. Таким образом, наличие единственного четко выраженного минимума в зависимости (Л ) является эмпирическим критерием для диагностики проблематических ситуаций.

Применимость предложенной оценки имеет место в предположении о том, что наблюдаемая фазовая динамика адекватно описывается уравнением фазовых осцилляторов первого порядка со случайными внешними воздействиями. Это теоретически обосновано для слабо возмущенных периодических режимов. Однако при других свойствах динамики это предположение может существенно нарушаться, чему посвящена следующая глава диссертации.

Приложение к анализу климатических данных

При этом на графике sf(A2 ) имеются локальные минимумы, так что согласно наиболее осторожному подходу есть основания применить огрубленную оценку, хотя эти минимумы не столь выраженные, так что возможно, что применимо приближение фазовых осцилляторов с гауссовыми шумами и использованный выше асимптотический метод. Даже при использовании секущей на среднем уровне это дает интервальную оценку запаздывания от 8 до 47 месяцев, т.е. интервал не включает ноль, что вновь подтверждает вывод о наличии запаздывания.

Несколько более «слабый» вариант огрубленного метода (секущая на уровне 1/3, рис.3.10,а штриховая линия) дает заметно более узкий доверительный интервал, т.е. «уточняет» оценку времени запаздывания. Однако выбор секущей при расчете огрубленной оценки требует дополнительных исследований, и данный пример представляется хорошей иллюстрацией целесообразности таких исследований, а также возможностей и места каждого из методов (асимптотического и огрубленного) при практическом использовании.

Оценка по данным за период 1950-2013 гг. дает качественно схожие результаты, поэтому графики не показаны. Количественные значения времени запаздывания при этом сдвигаются в сторону еще несколько больших значений. Однако итоговый доверительный интервал в значительной степени перекрывается с тем, который получен по более короткому ряду, так что общий вывод о наличии ненулевого запаздывания подтверждается и при этом анализе.

В данной главе исследованы возможности интервальной оценки времени запаздывания связи между колебательными системами, свойства которых существенно отличаются от слабо возмущенных предельных циклов. Показано, что предложенная в главе 2 на основе формализма максимального правдоподобия асимптотическая оценка может приводить к ошибочным выводам о величине запаздывания в случае хаотических или сильно возмущенных периодических режимов динамики низкоразмерных нелинейных систем. Эти случаи можно объединить свойством больших амплитудных флуктуаций, при которых проявляются более сложные свойства фазовой динамики и недостаточность фазового приближения для ее описания или даже в некоторые моменты времени не вполне корректно определяются фазы колебаний.

Предложен диагностический критерий для распознавания таких проблематических ситуаций на практике, основанный на анализе графика зависимости ошибки модели от пробного запаздывания. Дополнительно предложена огрубленная интервальная оценка времени запаздывания, которая основана на оценке глобальных свойств упомянутой зависимости графика, а не на ее локальной аппроксимации в окрестности минимума. Эта огрубленная оценка позволяет избежать частых ошибочных выводов за счет некоторого уширения доверительного интервала и, тем самым, некоторого снижения чувствительности метода. Эффективность предложенного диагностического критерия и огрубленной поправки проиллюстрирована на эталонных колебательных системах с различными свойствами динамики (линейных стохастических осцилляторах, системах Ресслера и Лоренца в различных режимах динамики). Предложенные поправки полезны в тех практических ситуациях, когда крайне нежелательны ошибочные выводы о величине запаздывания и важно обеспечить их малую вероятность.

Обе оценки (асимптотическая и огрубленная) применены для анализа связи между климатическими процессами Эль-Ниньо Южное колебание и Северо-Атлантическое колебание. Прежнее [41,42] предположение о наличии запаздывающего влияния ЭНЮК на САК подтверждается в рамках модели фазовых осцилляторов при использовании как асимптотической, так и огрубленной оценки. Последняя свидетельствует о том, что время запаздывания составляет не менее 8 месяцев и не более 4 лет, что представляет интерес для теории климата при поиске механизмов взаимодействия этих сложных крупномасштабных климатических процессов. В целом, полученные в главах 2 и 3 результаты дают новые средства для получения надежных оценок времени запаздывания связей между колебательными системами с различными свойствами на практике.