Конечномерные и распределенные системы кольцевой структуры, генерирующие грубый хаос Круглов Вячеслав Павлович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Кольцевые неавтономные генераторы гиперболического хаоса на основе базовых элементов радиоэлектроники 14

1.1 Генератор хаоса на основе кольцевой схемы с нелинейным элементом, управляемым периодической последовательностью радиоимпульсов с прямоугольной огибающей: модельные уравнения 15

1.1.1 Численное исследование хаотической динамики .19

1.1.2 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова .26

1.1.3 Анализ системы методом медленно меняющихся комплексных амплитуд .29

1.2 Генератор хаоса на основе кольцевой схемы с нелинейным элементом, управляемым периодической последовательностью радиоимпульсов с гладкой огибающей: модельные уравнения .35

1.2.1 Численное исследование хаотической динамики .36

1.2.2 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова .42

1.2.3 Визуализация распределения инвариантной меры .46

1.2.4 Анализ системы методом медленно меняющихся комплексных амплитуд .49

1.3 Генератор хаоса на основе кольцевой схемы с нелинейным элементом и периодически перестраиваемым полосовым фильтром: модельные уравнения 53

1.3.1 Численное исследование хаотической динамики кольцевой схемы с периодически перестраиваемым полосовым фильтром .57

1.3.2 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова для кольцевой схемы с периодически перестраиваемым полосовым фильтром 64

1.3.3 Визуализация распределения инвариантной меры .67

1.4 Выводы к главе 69

Глава 2 Автономная система с аттрактором Смейла-Вильямса на основе кольцевой структуры из осцилляторов ван дер Поля с резонансным механизмом передачи возбуждения 71

2.1 Модельные уравнения и принцип функционирования модели 72

2.2 Численное исследование хаотической динамики 75

2.3 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова 79

2.4 Выводы к главе 80

Глава 3 Пространственно распределенные системы с аттрактором Смейла-Вильямса .81

3.1 Автономная система на основе модифицированного уравнения Свифта-Хохенберга .81

3.1.1 Численное исследование хаотической динамики .83

3.1.2 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова 87

3.1.3 Конечномерные модели автономной системы, описывающие взаимодействие наиболее важных мод .87

3.2 Неавтономная система на основе модели Брюсселятор с

периодической модуляцией коэффициентов диффузии .94

3.2.1 Численное исследование хаотической динамики .96

3.2.2Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова для неавтономной системы .99

3.2.3 Конечномерная модель неавтономной системы .100

3.3 Выводы к главе 104

Глава 4 Компьютерная проверка гиперболической природы аттракторов: анализ статистики распределения углов пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий .106

4.1 Методика анализа распределений углов между многообразиями аттрактора .106

4.2 Результаты численной проверки гиперболичности аттракторов систем, предложенных в работе .109

4.3 Результаты численной проверки гиперболичности аттракторов некоторых механических систем с хаотической динамикой 118

4.4 Выводы к главе 4 .129

Заключение .130

Список литературы

• Генератор хаоса на основе кольцевой схемы с нелинейным элементом, управляемым периодической последовательностью радиоимпульсов с гладкой огибающей: модельные уравнения
• Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова для кольцевой схемы с периодически перестраиваемым полосовым фильтром
• Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова
• Результаты численной проверки гиперболичности аттракторов систем, предложенных в работе

Введение к работе

Актуальность темы исследования

В последние два десятилетия значительное внимание привлекает идея применения хаотических сигналов, в частности, в системах коммуникации, поскольку, как можно полагать, хаос обладает рядом преимуществ и особенностей в сравнении с другими типами сигналов. Как отмечено в монографии ¹, принципиальным для практического использования генераторов хаоса является вопрос относительно воспроизводимости устройств от образца к образцу и чувствительности хаотических режимов к изменению внешних и внутренних параметров. Следуя терминологии теории колебаний, привлекаемые для практического использования системы должны обладать свойством грубости.² В современной теории динамических систем его формализуют как структурную устойчивость. Среди систем с хаотической динамикой свойство грубости в строгом математическом смысле присуще только гиперболическому хаосу, что определяет необходимость проработки проблемы реализации хаотической динамики именно этого типа для систем радиофизики и электроники.

Степень разработанности темы исследования. Предложенные в математических работах примеры гиперболического хаоса (отображения Аносова, аттрактор Плыкина, соленоид Смейла–Вильямса) ³ представляли собой абстрактные геометрические конструкции, и в течение многих лет вопрос о физической реализации и перспективах практического применения систем с гиперболическим хаосом оставался открытым. К настоящему времени, в результате цикла исследований, проведенных в основном саратовской группой под руководством С.П. Кузнецова, указаны и изучены примеры физически реализуемых систем с гиперболическими аттракторами. ⁴

Один из продуктивных подходов к построению генераторов хаоса состоит в использовании схем в виде кольцевых цепочек, составленных из нелинейных активных и пассивных элементов и фильтров первого и второго порядка. Такие схемы в разных вариантах были предложены, исследованы теоретически и численно, а также созданы в виде реальных электронных устройств в ИРЭ РАН группой А.С. Дмитриева и его сотрудников.¹ Генерация в них обусловлена наличием обратной связи в силу замыкания кольца, а не автоколебательной природой индивидуальных элементов. Заслуживает внимания вопрос о построении на аналогичной основе генераторов грубого гиперболического хаоса.

Помимо конечномерных систем, с точки зрения реализации гиперболического хаоса могут представлять интерес также распределенные системы кольцевой структуры с периодическими граничными условиями, описываемые уравнениями с частными производными. Первые примеры такого рода

¹ Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И. Генерация хаоса. М.: Техносфера, 2012. 424с.

² Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916с.

³ Синай Я. Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979, 192-212;
Shilnikov L. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1997, 7, 1353-2001.

⁴ Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: от математики к физике
//УФН, 2011, 181, №2, 121-149.

указаны в работах ⁵ (модифицированное уравнение Свифта-Хохенберга и параметрически возбуждаемая нелинейная струна). В рамках диссертационного исследования предпринят дальнейший поиск такого рода систем на основе нелинейных уравнений, известных в теории волн ⁶, имея в виду возможность их целенаправленной модификации для обеспечения гиперболического хаоса посредством введения дополнительных обратных связей или периодической модуляции параметров.

Цели и задачи работы

Целью диссертационной работы является разработка и изучение физически реализуемых систем кольцевой структуры, как конечномерных, так и распределенных, с грубой (структурно устойчивой) хаотической динамикой, отвечающей аттракторам типа соленоида Смейла–Вильямса, и проведение их исследования посредством компьютерного моделирования с обоснованием гиперболической природы хаоса.

Перед диссертационным исследованием были поставлены следующие основные конкретные задачи.

1. Построение и исследование кольцевой схемы генератора хаоса с нелинейным элементом, управляемым периодической последовательностью радиоимпульсов с прямоугольной огибающей или модулированного сигнала с синусоидальной огибающей.

2. Построение и исследование кольцевой схемы генератора хаоса с нелинейным элементом и периодически перестраиваемым полосовым фильтром.

3. Построение и исследование модельной автономной системы с аттрактором Смейла-Вильямса на основе кольцевой структуры из автоколебательных элементов с резонансным механизмом передачи возбуждения по кольцу.

4. Построение и исследование модельных распределенных систем, в которых хаотическая динамика обусловлена трансформацией пространственной фазы попеременно рождающихся паттернов в соответствии с растягивающим отображением окружности.

5. Разработка и применение методик компьютерной проверки гиперболической природы аттракторов на основе анализа статистики распределения углов пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий.

Научная новизна

⁵ Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Hyperbolic Chaos of Turing Patterns. Phys. Rev. Lett., 108, 2012,
194101; Isaeva O.B., Kuznetsov A.S., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated para-
metrically by a modulated pump source. Phys. Rev. E, 87, 2013, 040901.

⁶ Cross M. C., Hohenberg P. C. Pattern formation outside of equilibrium //Reviews of Modern Physics, 65, 1993, No
3, 851-1112.

Предложены новые схемы кольцевых неавтономных систем, генерирующих хаос, обусловленный присутствием аттрактора в виде соленоида Смейла– Вильямса в фазовом пространстве отображения Пуанкаре. Впервые предложен пример автономной распределенной системы, описываемой уравнениями с частными производными, где реализуется гиперболический аттрактор типа Смейла–Вильямса. Впервые показана возможность реализации гиперболического хаоса в модельной распределенной системе типа реакция – диффузия при периодической модуляции коэффициентов диффузии. Впервые проведена проверка гиперболичности аттракторов на основе анализа статистики углов пересечения в отношении конечномерных моделей распределенных систем, построенных методом Галеркина.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы определяется тем, что указаны новые примеры систем с гиперболическим хаосом, допускающих физическую реализацию, что существенно расширяет круг объектов, к которым применима строгая математическая теория. Практическая значимость работы определяется тем, что она открывает возможность создания генераторов хаоса в радиофизике и электронике, характеризуемых свойством грубости, то есть малой чувствительностью к изменению параметров, помехам, погрешностям изготовления, что является принципиальным преимуществом с точки зрения возможных приложений хаоса.

Методология и методы исследования

Для построения систем с гиперболическими хаотическими аттракторами, обладающими свойством грубости, использованы подходы радиофизики и теории колебаний, такие как модуляция параметров, введение дополнительных обратных связей, генерация гармоник при нелинейном преобразовании сигна-ла.⁷ Для описания систем используются модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Для распределенных систем также выводятся и исследуются модели, полученные аппроксимацией на базе конечного числа пространственных мод (метод Галеркина ⁸). Для численного решения уравнений используются разработанные в литературе методы, для которых обоснованы сходимость и устойчивость.⁹ Привлекаются методы компьютерного исследования хаотической динамики, в том числе построение фазовых портретов аттракторов и расчеты показателей Ляпуно-ва.¹⁰ На уровне конечномерных моделей используются специально разработанные методики проверки формальных критериев гиперболического хаоса, в том числе условия отсутствия касаний устойчивых и неустойчивых подпро-

⁷ Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М: Наукa, Главная редакция физико-
математической литературы, 1984. 432с.

⁸ Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М.: Мир, 1988. 352с.

⁹ Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512с.

¹⁰ Шустер Г. Детерминированный Хаос: Введение. М.: Мир, 1988. 240с.
Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006. 356с.

странств векторов возмущения на принадлежащих аттрактору фазовых траек-ториях.¹¹

Положения, выносимые на защиту

1. Грубый хаос, обусловленный гиперболическим аттрактором в виде соленоида Смейла – Вильямса в отображении Пуанкаре, осуществим в кольцевой схеме, составленной из двух диссипативных осцилляторов с отличающимися вдвое частотами, и нелинейного элемента, управляемого периодической последовательностью радиоимпульсов с прямоугольной огибающей или модулированным сигналом с гладкой синусоидальной огибающей.

2. Генерация грубого хаоса, отвечающего аттрактору Смейла–Вильямса, может быть реализована в устройстве в виде кольцевой схемы, содержащей активный квадратичный нелинейный элемент и два полосовых фильтра, один из которых периодически перестраивается, так что наибольшая и наименьшая частоты на периоде перестройки различаются вдвое.

3. Грубый гиперболический хаос, обусловленный аттрактором Смейла– Вильямса, реализуется в автономной системе на основе кольцевой структуры, содержащей квадратичный нелинейный элемент и достаточно большое число автоколебательных подсистем, частоты которых плавно меняются от одного элемента к другому, так что при полном обходе кольца достигается двукратное изменение.

4. Гиперболический хаос, обусловленный трансформацией пространственной фазы попеременно рождающихся паттернов в соответствии с растягивающим отображением окружности, реализуется в предложенной автономной распределенной системе на основе модифицированного уравнения Свифта-Хохенберга, и в неавтономной системе типа реакция-диффузия с периодической модуляцией коэффициентов диффузии.

5. На защиту выносятся результаты проверки гиперболической природы аттракторов, опирающейся на анализ статистики распределения углов пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий, в применении к конкретным примерам систем кольцевой структуры, в том числе для распределенных систем на основе конечномерных моделей, построенных методом Галеркина.

Достоверность результатов работы определяется применением апробированных в радиофизике подходов к конструированию кольцевых схем, содержащих нелинейные элементы, а также распределенных систем на основе модификации эталонных моделей, выработанных в теории нелинейных волн, использованием схем численного решения уравнений, обеспечивающих аппрок-

¹¹ Lai Y.-C., Grebogi C., Yorke J.A., Kan I. How often are chaotic saddles nonhyperbolic? // Nonlinearity, 1993, 6, 779-798. Anishchenko V.S., Kopeikin A.S., Kurths J., Vadivasova T.E., Strelkova G.I. Studying hyperbolicity in chaotic systems // Physics Letters A, 2000, 270, 301-307.

симацию и устойчивость при тестированном надлежащим образом выборе шагов интегрирования.

Личный вклад соискателя. Все включенные в диссертацию результаты получены лично автором, производившим выбор методик решения задач, программирование, численные расчеты, графическую обработку и анализ данных. Постановка задач и интерпретация результатов выполнялись совместно с научным руководителем и другими соавторами совместных опубликованных работ.

Публикации и апробация

Основные результаты диссертации были представлены докладами на X и XI международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010, 2013 гг.), XVI и XVII научных школах «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2012, 2016 гг.), Международной конференции "Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors" (Нижний Новгород, 2013), Международной конференции "Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems" (Саратов, 2014), Международной конференции "Hamiltonian Dynamics, Nonautonomous Systems, and Patterns in PDE's" (Нижний Новгород, 2014), Международной школе-конференции "Dynamics, Bifurcations and Chaos 2015" (Нижний Новгород, 2015), 12-й молодежной конференции им. Ивана Анисим-кина "Современные проблемы радиотехники и электроники" (Москва, 2015), Международной конференции "Geometry, Dynamics, Integrable Systems" (Ижевск, 2016), XVI Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010 г.), на V, VI, VIII, IX и X Всероссийских конференциях молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2010, 2011, 2013-2015 гг.), на научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (2009–2014 гг.), на Студенческой научной конференции Саратовского государственного университета (2012 г.) а также на научных семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ.

Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения Работ, поддержанных грантом РФФИ 16-32-00449 (руководитель Круглов В.П.), а также грантами РФФИ 11-02-91334, 12-02-00342, 14-02-31162, 16-02-00135, грантом Президента РФ поддержки научных школ НШ-1726.2014.2, грантом Президента РФ для молодых ученых МК-905.2010.2, грантом DAAD (Forschungsstipendien fr Doktoranden und Nachwuchswissenschaftler), грантом Российского научного фонда № 15-12-20035.

По результатам диссертации опубликовано 25 работ, из них статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК – 7 [1-7], статей в сборниках и тезисов докладов – 19 [8-26].

Структура и объем работы. Работа содержит 140 страниц, из них 87 страниц основного текста, 45 страниц иллюстраций и список литературы из 51 наименования на 8 страницах.

Генератор хаоса на основе кольцевой схемы с нелинейным элементом, управляемым периодической последовательностью радиоимпульсов с гладкой огибающей: модельные уравнения

Система уравнений (1.2) решалась численно методом Рунге-Кутты четвертого порядка с шагом 0.001. На рис. 1.2 представлены временные зависимости динамических переменных х и у в установившемся режиме на протяжении трех периодов внешнего воздействия при значениях параметров 0 = 6л", = 3,Г = 13, 2 = 24, = 0.4. Представлен также график функции s(t), описывающей внешний сигнал. На рис. 1.3 изображено наложение реализаций динамических переменных х и у.

Хаос в системе проявляется в случайной вариации фаз и максимумов амплитуд колебаний осцилляторов на последовательных периодах воздействия внешним сигналом.

Были получены спектры сигналов от первого и второго осцилляторов. Для этого были записаны в файл временные реализации динамических переменных х и у (каждая десятая точка) длительностью 6553600 точек. Значения х и у были получены при решении уравнений (1.2) методом Рунге-Кутты с шагом 0.001. Данные были прорежены в 10 раз, чтобы точнее отобразить составляющие спектра с частотами, близкими к собственным частотам осцилляторов. Реализации были разделены на 100 фрагментов длительностью 65536 точек. К каждому фрагменту реализаций была применена процедура преобразования Фурье с использованием оконной функции w(n) = sin2{2n/{N -1)), где N - число точек во фрагменте. Оконное преобразование [22] использовалось, чтобы сгладить сигналы и исключить появление в спектре гармоник, связанных с отличными от нуля значениями на концах фрагментов. На рис. 1.4 представлены спектры плотности мощности сигналов от первого (красный цвет) и второго (синий цвет) осцилляторов, полученные усреднением по всем фрагментам. Наложение временных реализаций динамических переменных x и y в установившемся режиме. Полученные спектры иллюстрируют передачу возбуждения между осцилляторами. Максимум плотности мощности первого осциллятора приходится на частоту 0, второго - на 20, эти частоты отмечены на графиках вертикальными пунктирными линиями. Спектры колебаний сплошные, это подтверждает хаотическое поведение исследуемой системы.

На рис. 1.5 показан аттрактор системы в расширенном фазовом пространстве в трехмерной проекции (x,u,t), выполненный в технике кодирования плотности распределения тонами серого цвета. Для этого на каждом шаге вычисления фазовой траектории на экран выводилась точка, которой присваивался оттенок серого цвета, зависящий от оттенка пикселя в предыдущий момент. При попадании новой точки в данный пиксель число, кодирующее яркость, увеличивается на единицу.

На рис. 1.6 изображен аттрактор отображения возврата Пуанкаре за период внешнего воздействия в проекции на плоскость (х,ц) и его увеличенный фрагмент. Полученный портрет визуально похож на аттрактор Смейла-Вильямса; это позволяет предполагать, что аттрактор системы однородно гиперболический. На рисунке отчетливо видна фрактальная структура аттрактора.

На рис. 1.7 представлена итерационная диаграмма отображения Пуанкаре для фазы колебаний второго осциллятора при значениях параметров 0 = 6, = 3, 71 = 13, а = 24, = 0.4 . Фаза отнесена к интервалу от 0 до 2 и определяется выражением v/ = arg(j + iv). Как видно из диаграммы, динамика фазы приближенно описывается растягивающим отображением окружности: за полный проход точкой интервала от 0 до 2 ее образ 1 проходит этот интервал дважды. Рис. 1.4. Спектры плотности мощности сигналов от первого (синий) и второго (красный) осцилляторов (со0 = 6ж, т = 3, T = 13, a = 24, у = 0.4). Значения по оси ординат отложены в логарифмическом масштабе в децибелах. Рис. 1.5. Аттрактор исходной системы (1.2) в расширенном фазовом пространстве, представленный в трехмерной проекции (x,u,t) при значениях параметров ю0 = бл, т = 3, Т = 13, а = 24, у = 0.4. Рис. 1.6. Аттрактор системы в сечении Пуанкаре на плоскости динамических переменных (х,и) и его увеличенный фрагмент при значениях ю0 = бл, т = 3, Г = 13, а = 24, у = 0.4 . Рис. 1.7. Итерационная диаграмма для фазы колебаний второго осциллятора 1.1.2 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова

Расчет спектра показателей Ляпунова позволяет количественно подтвердить присутствие хаоса в системе. Для аттрактора в сечении Пуанкаре были вычислены показатели Ляпунова по известному в литературе алгоритму [23,24]. В соответствии с этим методом, выполняется совместное численное решение уравнений (1.2) и четырех наборов уравнений в вариациях за период внешнего воздействия. Набор уравнений в вариациях можно получить линеаризацией системы (1.2) в окрестности точек ее фазовой траектории:

Здесь переменные 8x,8y,8w,8v означают компоненты вектора возмущения. Каждый раз после пересечения траектории с секущей плоскостью t = пТ, производится ортогонализация по Граму-Шмидту и нормализация векторов возмущений. Показатели Ляпунова определяются как отношения накапливающихся сумм логарифмов от норм векторов возмущений (после ортогонализации, но перед нормализацией) на каждом последующем возврате Пуанкаре, к числу полных периодов. При значениях параметров юп = 6л, т = 3, 71 = 13, а = 24, у = 0.4 получен полный спектр показателей О і Ляпунова Л =0.676, Л =-0.87, Л =-4.80, Л =-5.49. Старший показатель Ляпунова положительный, что является количественным подтверждением присутствия хаоса. При этом он близок к величине ln2, равной показателю Ляпунова отображения Бернулли, которое приближенно описывает динамику фазы колебаний в системе. Остальные показатели отрицательные. Нулевой показатель отсутствует, что характерно для отображений и неавтономных потоковых систем с периодическими коэффициентами. Таким образом, элемент объема в фазовом пространстве отображения Пуанкаре за одну итерацию испытывает растяжение по одному направлению и сжатие по остальным трем. Это соответствует построению гиперболического аттрактора типа Смейла-Вильямса (если учесть, что растяжение происходит по угловой переменной), но в четырехмерном фазовом пространстве.

На рис. 1.8 показаны зависимости показателей Ляпунова для аттрактора отображения Пуанкаре от коэффициента усиления a при фиксированных значениях остальных параметров. На всем рассматриваемом интервале значений параметра a старший показатель положительный, а остальные отрицательные. Старший показатель гладко зависит от параметра, резкие провалы в отрицательную область, характерные для негиперболических аттракторов, отсутствуют. При этом величина старшего показателя в широком диапазоне изменения параметра остается близкой к ln2.

Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова для кольцевой схемы с периодически перестраиваемым полосовым фильтром

В статье [33] были предложены модели автономных систем с аттрактором типа Смейла-Вильямса, динамика в которых основана на близости траекторий к гетероклиническому циклу. Такие системы можно рассматривать как кольцевые цепочки из автогенераторов, в которых попеременно возбуждаются автогенераторы. Недостаток этих систем заключается в нерезонансной передаче сигнала между попеременно возбуждающимися осцилляторами. При практической реализации нужно учесть, что математически они описаны с помощью уравнений для медленно меняющихся амплитуд, одним из условий применимости которых является высокая частота заполнения. С другой стороны, нерезонансный механизм передачи возбуждения способен обеспечить удвоение фазы только при относительно низких собственных частотах. Противоречие между этими условиями вызывает сомнения в возможности реализации системы. Чтобы преодолеть этот недостаток, можно рассмотреть большое число осцилляторов, связанных в цепочку в таком порядке, что собственные частоты соседних звеньев, передающих друг другу возмущение, близки. При этом собственные частоты постепенно уменьшаются от начала к концу цепи, так что частоты первого и последнего осцилляторов отличаются в два раза. Связь между последним и первым элементами цепи такова, что при передаче возбуждения между ними частота и фаза колебаний удваиваются. В данной главе этот подход рассмотрен применительно к цепочке осцилляторов ван дер Поля. 2.1 Модельные уравнения и принцип функционирования модели

Рассмотрим кольцевую цепочку из 7V+1 несимметрично связанных автогенераторов (осцилляторов) ван дер Поля. Каждому автогенератору поставлен в соответствие номер от 0 до N. Частоты осцилляторов постепенно уменьшаются с увеличением их номера так, что частота осциллятора N вдвое меньше частоты нулевого, но частоты двух соседних осцилляторов остаются близки. Звено цепи N связано со звеном 0 цепью обратной связи, содержащей элемент с квадратичной нелинейностью. Цепочка описывается системой уравнений: Они подобраны таким образом, чтобы каждый осциллятор в цепочке подавлял колебания всех остальных, кроме следующего. Связь, осуществляющая передачу сигнала от одного осциллятора другому, обеспечивается дополнительными слагаемыми. В уравнениях 1,…,7V в это слагаемое входит линейно сигнал от предыдущего осциллятора, в уравнении с нулевым индексом это слагаемое пропорционально квадрату сигнала осциллятора N. Система демонстрирует циклическую передачу локализованного возбуждения по цепочке в направлении, соответствующем увеличению индекса. Рис.2.1. Блок-схема цепочки Предположим, что в начальный момент времени колебания на всех осцилляторах малы по сравнению с колебаниями на осцилляторе с индексом “0”. Колебания Х0 на нулевом осцилляторе нарастают (2.1), их амплитуда достигает единицы и насыщается. Сигнал Х0 подавляет колебания Х2 на втором осцилляторе, поскольку входит в уравнение с множителем 2, но не ограничивает рост амплитуды колебаний на первом осцилляторе, так как Х0 присутствует в первом уравнении с множителем . Амплитуда колебаний на первом осцилляторе растет, насыщается и подавляет колебания на нулевом осцилляторе, но позволяет нарастать колебаниям на втором осцилляторе, и так далее. Элементы цепочки возбуждаются по очереди х —» х, —» х —» х —»... 1 2 3

Возбуждение каждого следующего осциллятора происходит в присутствии воздействия предыдущего осциллятора. Если N достаточно большое, то собственные частоты соседних осцилляторов близки и возбуждение происходит практически резонансно. На конце цепочки, с TV-го на нулевой осциллятор, возбуждение передается резонансно с помощью второй гармоники, поскольку в уравнении нулевого осциллятора связь пропорциональна х2г. Это обеспечивает удвоение сдвига фазы. Действительно, если X. cos(21C00? + (p), то, x2 cos2(21( J+ (п) = 12cos(co0? + 2(p) +..., многоточиями обозначены нерезонансные слагаемые. Следовательно, нулевой осциллятор приобретает сдвиг фазы 2ф + const на следующей стадии активности. При последовательных прохождениях возбуждения по цепи, сдвиги фазы будут изменяться в соответствии с растягивающим отображением окружности, или отображением Бернулли Ф 1 =2ф + const. (2.2) 2.2 Численное исследование хаотической динамики На рис. 2.2 (а) изображены временные зависимости обобщенных координат осцилляторов в кольцевой структуре, состоящей из 15 осцилляторов (N=14), полученные в результате численного решения уравнений (2.1).

В соответствии с принципом работы системы возмущение должно подвергаться удвоению фазы с каждым проходом по кольцу. Это свойство необходимо для появления аттрактора Смейла-Вильямса, поэтому важно продемонстрировать его в численном исследовании.

Построение подходящего сечения Пуанкаре - нетривиальная задача, поскольку используемые обычно секущие поверхности не могут продемонстрировать требуемое преобразование фазы. В действительности система Ван дер Поля не обладает идеальной симметрией, присущей укороченным амплитудным уравнениям [33], поэтому сложно указать время сечения относительно огибающей колебаний с ошибкой меньшей, чем период, связанный с собственной частотой и получить точное значение фазы. Для преодоления этой проблемы введем дополнительную переменную Z, удовлетворяющую дифференциальному уравнению

В правой части уравнения разница квадратов амплитуд колебательных элементов с номерами 0 и 1, у - положительная постоянная величина. Поведение переменной z проиллюстрировано рис. 1 (б) при у=0.1. Величина z растет во время активности осциллятора 0, затем она убывает и становится отрицательной во время активности осциллятора 1. После прекращения активности первого осциллятора величина z становится близкой к нулю до следующей активации осциллятора 0. Мы записываем состояние системы и фазу ф = arg(x0+/x0/co0) в моменты переходов z от положительных к отрицательным значениям. На рис. 2.3 показана диаграмма фаз фи+1 от фи . Наблюдается топологическое соответствие отображению Бернулли: одному полному обороту прообраза соответствуют два полных оборота образа. Учитывая сильное сжатие в остальных направлениях в фазовом пространстве (исключая нейтральное направление вдоль фазовой траектории), можно предположить, что возникает гиперболический аттрактор, соответствующий надстройке [3,4,5,8,9] над соленоидом Смейла-Вильямса. Рис. 2.4 демонстрирует портреты аттрактора в проекции на фазовую плоскость осциллятора 0. На панели (а) аттрактор потоковой системы в проекции из фазового пространства размерности 2(N+1). На панели (б) аттрактор отображения Пуанкаре. Это на самом деле изображение соленоида; присущая ему тонкая трансверсальная структура, подобная канторову множеству, не видна из-за сильного сжатия в фазовом пространстве.

Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова

Так как функционирование системы основано на передаче фазы между гармониками пространственных спектров переменных и и v, интересующее нас преобразование фазы можно наблюдать только для каждой компоненты спектра по отдельности, но не для всего паттерна. Значения компонент спектра можно вычислять на каждом шаге разностной схемы с помощью преобразования Фурье.

На рис. 3.2 (а)-(е) представлены временные зависимости абсолютных значений гармоник U1 и Д и К, К2, V4 и К6 пространственных спектров переменных и и v на интервале времени, охватывающем десять стадий возбуждения среды. Абсолютные значения гармоники U1 в моменты перед сбросом на порядок больше значений гармоники Д. Гармоники К К F и 0 , 2 , 4 К6 примерно одинаковы по абсолютной величине. Гармоники переменной и с четными волновыми числами и гармоники v с нечетными волновыми числами пренебрежимо малы. От системы (3.2)-(3.3) был осуществлен численно переход к отображению Пуанкаре. Секущая поверхность была задана условием S = \U I -1 = 0. Значения переменных фиксировались в моменты времени, когда амплитуда первой гармоники, уменьшаясь, становилась меньше и равна 1.

На рис. 3.3 (a) изображена диаграмма для пространственной фазы первой гармоники переменной и. Как видно из диаграммы, динамика фазы описывается растягивающим отображением окружности. В самом деле, за полный проход точкой ф интервала от 0 до 2 ее образ ф 1 проходит этот интервал дважды в обратном направлении. На рис. 3.3 (б) изображена проекция аттрактора в сечении Пуанкаре на плоскость действительной и мнимой частей первой пространственной гармоники переменной и. Предположительно, аттрактор в сечении Пуанкаре представляет собой соленоид Смейла-Вильямса в бесконечномерном фазовом пространстве. Рис. 3.2 (а)-(е). Временные зависимости абсолютных значений гармоник U1 и(73 иК, К и V4 переменных и и v, полученные численным решением системы (2)-(3) при значениях параметров схемы \х = 0.03, s = 0.03, L = 2л;, At = 0.001 Лх = L/64 « 0.098.

Проекция аттрактора в сечении Пуанкаре на плоскость действительной и мнимой частей первой пространственной гармоники переменной u. 3.1.2. Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова Для аттрактора потоковой системы были вычислены показатели Ляпунова при значениях параметров // = 0.03, е = 0.03, L = 2n. А = 0.001, Ах = Ы 64«0.098. Первые пять показателей составили А, = {0.0132, 0, -0.839, -0.884, -0.922,...}. Старший показатель Ляпунова аттрактора отображения Пуанкаре Л1 = Хл = 0.665, близок к ln2, показателю Ляпунова растягивающего отображения окружности. Остальные показатели для отображения отрицательные. Таким образом, элемент объема в фазовом пространстве отображения Пуанкаре испытывает растяжение по одному направлению и сжатие по остальным за одну итерацию. Это соответствует построению гиперболического аттрактора типа Смейла-Вильямса (если учесть, что растяжение происходит по угловой переменной), но в бесконечномерном фазовом пространстве. Оценка фрактальной размерности аттрактора потоковой системы по формуле Каплана-Йорке составила = 2.016 . Размерность близка к целому числу из-за сильного поперечного сжатия аттрактора.

Поскольку функционирование распределенной системы основано на взаимодействии пространственных гармоник, приближенно динамику можно описать конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, в качестве переменных которой выступают несколько наиболее значимых Фурье-компонент переменных и и v. Представим решение уравнений (3.2)-(3.3) в виде усеченных рядов Фурье: — ix

Здесь С1 - комплексная амплитуда первой гармоники переменной и, С2 комплексная амплитуда второй гармоники переменной v, w - вещественная амплитуда нулевой гармоники переменной v. Подставляя соотношения (4) в уравнения (2), умножая первое из получившихся выражений на е 1Х, а второе на е 2гх или 1, и усредняя их в каждом случае по пространственному периоду 2, мы получим систему уравнений С, = (\i-51w2 + 3С I2 ---1 С2 2)С, -52C2C w + 1гС 1 \г 11 ЗІ1 1 2 2 С = (2 С 2 -1)С + (w + 1)С2 (3.5) 2 1 21 w = -w + 2Re(CC 2) + 2 С, 2 (w +1) 1 1 Полученная система уравнений напоминает другие известные модели с аттракторами типа Смейла-Вильямса [33,36,37].

Система уравнений (3.5) была решена численно с помощью метода Рунге-Кутты четвертого порядка при значениях параметров /л = 0.03, 8 = 0.03. На рис. 3.4 приведены временные зависимости абсолютных значений и фаз переменных С, и С2, а также временная зависимость переменной w. Можно видеть, что характер временных зависимостей для абсолютных значений такой же, как и для гармоник распределенной системы. На реализациях фаз наблюдаются хаотические скачки.

От системы (3.5) был осуществлен численно переход к отображению Пуанкаре. Секущая поверхность была задана условием S = С -1 = 0. Значения переменных фиксировались в моменты времени, когда абсолютная величина переменной С1, уменьшаясь, становилась меньше и равна 1.

Результаты численной проверки гиперболичности аттракторов систем, предложенных в работе

Метод проверки гиперболичности, основанный на анализе распределений углов между многообразиями для множеств с одним устойчивым и одним неустойчивым направлениями в каждой точке, был предложен в работе [19] и применялся к аттракторам, не относящимся к однородно гиперболическим [20]. Позже этот подход этот подход был развит для множеств с многомерными устойчивыми многообразиями и применен к аттрактору типа Смейла-Вильямса в отображении Пуанкаре системы связанных неавтономных осцилляторов Ван дер Поля [41]. Недавно был предложен метод вычисления углов между многообразиями с использованием техники вычисления ковариантных ляпуновских векторов, подходящий для аттракторов систем произвольной размерности [42].

Предположим, что необходимо проверить гиперболичность аттрактора некоторого отображения М: х =М(х ), имеющего размерность фазового пространства к. Если аттрактор гиперболический, то в окрестности любой его точки пространство векторов малых возмущений можно представить, как прямую сумму двух инвариантных подпространств, являющихся касательными к устойчивому и неустойчивому многообразиям [43,44].

Будем предполагать, что неустойчивое подпространство одномерное (во всех рассмотренных ниже примерах это так), тогда устойчивое подпространство имеет размерность к-1.

Неустойчивые векторы в точках произвольной траектории можно получить, выполняя многократные итерации отображения М совместно с линеаризованным отображением DM: бх = DM (х ) бх . С другой стороны, для той же траектории в обратном времени мы можем провести многократные итерации к-1 линеаризованных отображений DM, которые на каждой итерации подвергаются процедуре ортогонализации и нормировки. Таким образом, для каждой точки траектории на аттракторе находим касательный вектор к неустойчивому многообразию и ортонормированный базис гиперповерхности, касательной к устойчивому многообразию. Это позволяет определить угол между устойчивым и неустойчивым подпространствами. Отсутствие углов, близких к нулю, свидетельствует о гиперболической природе аттрактора. С другой стороны, обнаружение близких к нулю углов говорит о нарушении гиперболичности.

Хотя описанный тест не может претендовать на строгое обоснование гиперболичности аттрактора, он позволяет на практике выявлять гиперболические и негиперболические аттракторы. В описанной выше форме, однако, использование этого метода вызывает трудности для систем высокой размерности, поскольку требует решение большого числа уравнений в вариациях. Благодаря недавно открытым алгоритмам вычисления ковариантных ляпуновских векторов [45,46,47] появилась возможность модифицировать этот метод [42]. Как и в исходной версии, для определения вектора, принадлежащего неустойчивому подпространству, в прямом времени осуществляются итерации линеаризованного отображения DM. Для итераций в обратном времени вдоль той же траектории вводится сопряженное линеаризованное отображение DMA. Для него матрица Якоби, отвечающая линеаризованному отображению DM, транспонируется и берется с обратным знаком. В результате, в каждой точке траектории получается вектор, ортогональный гиперповерхности, касательной к устойчивому многообразию.

Опишем алгоритм подробнее, имея в виду его применение к аттракторам в сечении Пуанкаре систем обыкновенных дифференциальных уравнений. На первом этапе решаем численно систему уравнений х = F(x, t) совместно с уравнениями в вариациях бх = F (x, ґ)-5х, нормируя вектор возмущения на каждом шаге, пока не установится режим, соответствующий хаотическому аттрактору, а вектор возмущения будет принадлежать неустойчивому подпространству. На втором этапе, продолжая вычисления, на каждой итерации отображения Пуанкаре записываем в файл значения динамических переменных х = (х, х2, ..., х, } и компонент вектора возмущения бх = {Sx, Ъх2, ..., Ъх, }. Этот участок траектории должен быть достаточно длинным. На третьем этапе продолжаем решать уравнения и записывать в файл значения динамических переменных на каждой итерации отображения Пуанкаре. На четвертом этапе движемся вдоль записанной в файл опорной траектории в обратном времени и численно решаем сопряженные уравнения в вариациях ou = -[г (х, t)\ би, где [t (х, t)\ - транспонированная матрица Якоби F (x, t), элементы которой взяты с обратным знаком. Когда, двигаясь в обратном времени, доходим до участка траектории, где записывался вектор возмущения в прямом времени, начинаем записывать вектор возмущения сопряженной системы на каждой итерации отображения Пуанкаре. В результате для точек на длинном отрезке траектории получаем набор векторов (бх }, касательных к неустойчивому многообразию, и набор векторов (би }, ортогональных к устойчивому многообразию. В каждой точке можно найти угол В є 0,7г/2І между векторами бх и би по теореме косинусов. Соответственно, угол между устойчивым и неустойчивым подпространствами будет равен а = 7г/2 - В .

Если система дифференциальных уравнений автономная, необходимо исключить одномерное нейтральное подпространство. Для этого можно из векторов возмущений вычесть вектор, компоненты которого - функции в правых частях уравнений, нормировав его на единицу.

Предложенные системы в главе 1 и конечномерные модели распределенных систем из главы 3 предположительно обладают аттрактором типа Смейла-Вильямса в TV-мерном фазовом пространстве отображения Пуанкаре. Тогда устойчивыми многообразиями точек аттрактора являются (N-1)-мерные гиперповерхности равной фазы, а неустойчивое многообразие каждой точки совпадает с волокном аттрактора так, что неустойчивое многообразие целиком совпадает с самим аттрактором. Для аттракторов этих систем построены распределения углов между многообразиями.