Введение к работе
Актуальность темы. Многие явления в природе и технике связаны со стохастическими автоколебаниями - генерацией хаоса динамическими системами. Среди природних феноменов наиболее ваяный пример - турбулентность, среди приложений - разнообразные радиотехнические устройства. Сейчас уже сформировалось и своеобразное направление компьютерной физики, специально интересующееся исследованием стохастических автоколебаний..Накоплен обширный опыт компьютерного анализа моделей реальных систем, в которых обнару-яивается сложное поведение. Появились и математические работы, посвященные строгому исследовании динамических систем с хаосом.
Актуальность предлагаемой работы определяется тем, что она представляет собой первую попытку построения качественной теории стохастических автоколебаний (в том числе, и для систем с большим и даже бесконечным числом степеней свободы). Суть этой качественной теории заключается в выработке адекватных математических образов- ключевых явлений динамического хаоса и создании на этой основе базовых моделей, удобных для компьютерного и лабораторного экспериментов. Качественная теория стохастических автоколебаний призвана не только описать, объяснить и предсказать возможные "хаотические феномены", но и помочь в выработке правильной стратегии при анализе конкретных физических систем со сложной динамикой, которые сейчас являются предметом пристального внимания специалистов- из самых различных областей физики и не только физики.
Цели и аадачи исслятіпвяяия. Попытка' построения качественной теории стохастических автоколебаний (в некотором смысле продол-мсщея классическую качественную теории регулярных движений, в ос-
нове которой лекат понятия фазового пространства и динамической системы) непосредственно связана с реализацией программы Мандельштама-Андронова по развитии теории нелинейных колебаний. Эта программа, как известно, базируется на трех пунктах: I). "эмбриологическом" или эволюционном исследовании колебательных (сейчас естественно говорить - и волновых) систем, т.е. исследовании эволюции динамики нелинейных систем от простого к сложному при изменении управлявших (бифуркационных) параметров системы; 2). на выделении и изучении, в первую очередь, общих ситуаций, т.е. исследовании систем (и явлений) грубых, структурно устойчивых; и, наконец, 3). исследовании динамики системы (модели) в целом. Кроме того, основополагающей остается цементирующая всю теорию колебаний мысль об универсальности колебательных явлений в системах различной физической природы. Такой подход позволяет на сравнительно небольшом числе базовых моделей понять основные аффекты и качественные закономерности рождения, функционирования и смерти стохастических автоколебаний и, тем самым, в какой-то степени выявить механизмы установления "динамического равновесия" менду вносимой в систему энергией и ее диссипацией в процессе эволюции.
Именно эти идеи оказались наиболее конструктивными при построении излагаемой ниже качественной теории стохастических автоколебаний.
Общие идеи развития теории нелинейных колебаний при их детальном рассмотрении с физической точки зрения оказываются родственными ключевым идеям многих нелинейных физических теорий, в частности, теории критических явлений. Например, естественная гипотеза об универсальности фазовых переходов, позволяющая единообразно описывать критические явления в самых различных физических средах, монет быть, по-видимому, обоснована выделением и
рассмотрением наиболее типичных бифуркация в соответствующей динамической модели при изменении параметра вблизи критической точки.
Взаимопроникновение идея нелинейной динамики в теоретическую физику и наоборот оказалось особенно глубоким и продуктивным в связи с исследованием таких явлении как турбулентность и самоорганизация. Обратим здесь внимание на то обстоятельство, что если прежде эти явления часто противопоставлялись друг другу, то сейчас ясно, что и самоорганизация и турбулентность есть результаты развития разного рода неустойчивостей в неравновесных диссипатив-ных средах. И в большинстве ситуация наблюдается не полностью развитая турбулентность и не абсолютная самоорганизация, а в той или иной степени хаотизированное или организованное движение, которое можно описать такими, например, характеристиками как размерность и энтропия. Образами этих частично упорядоченных или частично хаотиэированиых движении в соответствующих фазовых пространствах служат странные аттракторы. Поэтому и турбулентность и самоорганизация есть предмет (во всяком случае объект интереса) качественной теории стохастических автоколебаний.
Исторические замечания. Конечно, в кратком докладе невозможно более или менее полно отразить предысторию современного состояния области физики, связанной со стохастическими автоколебаниями, или, хотя бы, ее части, относящейся к нелинейной динамике. Ограничимся историей "идеи" и основными вехами их появления и развития.
Великие основатели качественной теории дифференциальных уравнения А.Пуанкаре и А.М.Ляпунов создали базовые понятия, разработали методы, получили первоначальные фундаментальные результаты и сформулировали направления по которым эта теория развивается до сегодняшнего дня. Хаотическая динамика обязана А.Пуанкаре,
в частности, открытием гомоклинических структур в фазовом пространстве (наличие которых он воспринимал как геометрическое свидетельство неинтегрируемости задач небесной механики), а А.М.Ляпунову - понятием характеристических показателей, без которых она сейчас немыслима.
В 20-е - 30-е годы оформилось понятие динамической системы (Дж.Биркгоф, А.А.Марков, Т.Черри и др.), была создана и глубоко продвинута топологическая динамика - часть общей теории динамических систем, использующая лишь непрерывность группы отображен ний фазового пространства. В рамках этой теории были расклассифицированы виды траекторий динамической системы (неблуждающие, рекуррентные, центральные и др.).
А.А.Андронов приспособил качественную теорию дифференциальных уравнении для нужд теории нелинейных колебаний. На огромном числе физических примеров (в частности, из радиотехники).было убедительно показано, что предельные циклы Пуанкаре являются адекватными образами периодических автоколебании, а бифуркации предельных циклов описывают и объясняют многие 'нелинейные эффекты, связанные с возникновением сложных автоколебаний (биений, квазипериодической модуляции и пр.). Это вдохновляло его, уже в рамках топологической динамики, на поиски адекватных математических образов непериодических и не квазипериодических автоколебаний. (В их существовании сомнений у А.А.Андронова не было, несмотря на отсутствие или, скорее, невольное игнорирование экспериментальных данных - эксперименты Ван-дер-Поля, например, по исследованию движений в автогенераторе, возмущаемом внешней периодической силой, достаточно полно объяснены схгасем недавно.) В качестве претендентов на образы сложных колебаний были проэкзаменованы, в частности, рекуррентные траектории. Несмотря на "неудачу"
в достижении конкретной цели, эта деятельность оказалась исключительно плодотворной для понимания общего геометрического устройства траектории динамической системы.
Современные представления о математических образах автоколебаний, в том числе - стохастических, возникли в результате слияния двух направлений нелинейной динамики. С одной стороны - развития качественной теории гладких динамических систем: работа МД.Картрай и дж.К.Литлвуда о существовании счетного множества седловых предельных циклов в периодически возмущённом уравнении Ван-дер-Поля с малым параметром при старшей производной, индуцированный ею пример подковы Смейла, и'создание В.М.Алексеевым, Д.В.Аносовым, В.И.Арнольдом, Я.Г.Синаем, С.Смейлом, Л.П.Шильниковим и др. теории систем со сложно устроенными, в частности гиперболическими предельными множествами, а также - теории нелокальных бифуркаций (Л.П.Шильников и др.) и теории универсальности (М.Фейгенбаум и др.). С другой же - численного Си аналитического} исследования моделей реальных физических систем: стандартное отображение Чирикова, модель Лоренца, аттрактор Эно| отображение Заславского, система Рабиновича-Фабриканта и т.д., и осмысления полученных результатов на основе теории гладких динамических систем. Появившееся понимание, в достижении которого сыграли большую роль, в первую очередь, работа Д.рюэля и Ф.Такенса, а также последующие обзоры Р.М.Мэя, М.И.Рабиновича, Дж.П.Эккмана, позволило ввести в обиход математический образ стохастических автоколебаний ("странный аттрактор") и вложить в него конкретное математическое содержание (си. ниже) и ясный физический смысл.
Стимулированные успехами теории и компьютерного моделирования, экспериментаторы почти без запаздывания включились в бурно
- 10 -.
развевающуюся область нелинейной физики; в результате не замедлили появиться в их руках убедительные доказательства того, что многие хаотические сигналы в лаборатории и природе есть реализации стохастических автоколебаний. Ключевые эксперименты с различными гидродинамическими течениями (Дж.Голлаб, С.Бенсон; Д.ВДюби-мов, Г.Ф.Путин, В.И.Чернотынский; АДибшабер, Дж.Маурер и др.), автогенераторами хаоса (С.В.Кияшко, А.С.Пиковский, М.И.Рабинович; Дж.Голлаб, Т.Враннер, Б.Данли^работы Саратовской школы радиофизики и др.) и т.д. окончательно утвердили в сознании исследователей убеждение в адекватности понятий нелинейной динамики феноменам возникновения, изменения и исчезновения стохастических автоколебаний. Причем, как это обычно бывает, эксперимент поставил множество проблем перед теорией, среди которых, возможно, наиболее яркая - связь степени развития хаоса (числа независимых возбуждений или степеней свободы) со степенью неравновесности системы - над критичностью. Сейчас - это уже отдельное направление теории, связанное с размерностными характеристиками стохастических автоколебаний.
Хотя все уже привыкли к мысли о том, что всякое развитие идет по спирали, каждая новая констатация этого факта вызывает потребность нового обсуждения. Действительно, после осознания роли предельных циклов как образов периодических автоколебаний, они (по выражению А.А.Андронова) "начали попадаться на каждом шагу". Именно это происходит сейчас со странными аттракторами. Их обнаружение в самых разнообразных ситуациях (средах, системах и пр.) стало уже столь обыденным, что работы, где нет новых физических или математических идей, а присутствуют лишь сведения о наличии странного аттрактора (что еще пять лет назад считалось некоторым результатом) уже практически не публикуются. Этот феномен имеет
- II -
совершенно естественное объяснение с позиций качественной теории стохастических автоколебания. Хотя странный аттрактор представляет собой множество траекторий, которое при изменении параметров может менять свою топологическую структуру (внутренние бифуркации аттрактора - см. ниже) и деформироваться, тем не менее, сам факт его существования является "грубым" свойством, характеризующим систему. Именно поэтому странный аттрактор, существующий в конечной области параметров, не "патология", а ситуация общего положения, и именно поэтому он распространен ничуть не менее широко, чем "обычные" аттрапторы - положения равновесия, предельные циклы и торы.
В заключение можно добавить, что сейчас наступило время более углубленного и естественно, более трудного исследования стохастических автоколебаний, в том числе и с позиций качественной теории.
Научная новизна. Новизна проведенных исследований заключается в следующем:
-
Сформулированы основные идеи и направления развития качественной теории стохастических автоколебаний, ыстгочающей в себя: определение основных объектов теории; выделение основных феноменов; создание универсальных моделей и разработку методов качественного анализа этих моделей; получение строгих результатов (в том числе и с поиодью ЭЬМ).
-
іГолучоїш конкретные результаты при исследовании автоколебательных систем со стохастичеешми режимами, представляющих интерес для различных областей ризики (и радиофизики): цепочек автогенераторов, параметрически возбуждаемых осцилляторов, систем базовой синхронизации и т.д.
Положения, выносимые на защиту.
I. Выработаны строгие понятия теории: размерность наблюдаемой, кризисы и внутренние бифуркации аттракторов, стохастическая синхронизация и пр. *'
2* Обнаружены 'И исследованы сценарии рождения стохастических автоколебание, в том числе: через кризисы положений равновесия и предельных циклов - в частности, касательной бифуркации, приводящей к перемежаемости; через разрушение двухчастотных квазипериодических автоколебаниіі - механизмы потери гладкости, разрушения тора и возникновения странного аттрактора; на базе непритягивающего стохастического множества; механизм возникновения стохастических автоколебаний в близких к гамильтоновым системах с 1,5 степенями свободы. Исследованы сценарии разрушена стохастических автоколебаний.
3. Разработаны методы исследования систем со стохастическими ав
токолебаниями , в том числе: а). методы расчета и оценки хаус-
, дор$овой и ляпуновской размерностей стохастических множеств; б), методы установления услови.Ч существования стохастических автоколебании в цепочках; в), методы доказательства существования многомерных и бесконечномерных торов.
4. Определены возможность существования и условия устойчивости ре
гулярных и хаотических автоколебаний в цепочечных сносовых мо
делях.
) Следует отметить, что интуитивные, не определённые точно
представления существовали и ранее. Заслуга соискателя именно в строгом определении приводимых понятий.
- ІЗ -
Аппробаиия работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Международных конференциях по нелинейным колебаниям в Киеве (1969, 1981), Международной рабочей группе по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1964), на 3-й Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Самарканд, 1973), на школах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1983, 1986), на Всесоюзной школе по математическому моделированию (Пермь, І9Є6), на 3-й Уральской конференции по функционально-дифференциальным уравнениям (Пермь, 1988), на 7-й и 8-й Всесоюзных школах по нелинейным волнам (1985, 1987), а также на семинарах в ЯГУ, РШ АН СССР, ШІФ АН СССР, ГГУ.
Личный вклад соискателя. В цикле работ, составляющих диссертацию, автору принадлежит решающая роль в выборе направления исследования, создании методов и обобщении полученных результатов. В работах, выполненных в соавторстве, вклад автора заключается в непосредственном участии в постановке задач, выборе (или создании) методов исследования и обсуждении результатов.