Содержание к диссертации
Введение
1. Сравнительный анализ методов моделирования распространения электромагнитных волн в метаматериалах 16
1.1. Метод Корринги-Кона-Ростокера 16
1.2. Метод плоских волн 18
1.3. Метод матриц передачи 20
1.4. Метод конечных разностей во временной области 23
1.5. Метод интегральных уравнений 25
1.5.1. Функции Грина периодических структур 25
1.5.2. Построение интегральных уравнений 27
1.6. Выводы 31
2. Интегральные уравнения и исследование одномерно-периодическихи двумерно-периодических структур 32
2.1. Замедляющая система типа «диэлектрическая гребенка с металлизацией» 32
2.2. Одномерно-периодические металло-диэлектрические пленочные структуры 38
2.3. Двумерно-периодические металлические проволочные структуры 43
2.3.1. Постановка задачи с учетом тока проводимости 43
2.3.2. Постановка задачи с учетом тока поляризации 46
2.3.3. Гомогенизация 51
2.3.4. Результаты моделирования 53
2.4. Выводы 59
3. Интегральные уравнения и исследование трехмерно-периодических структур 61
3.1. Металлические проволочные стержневые структуры 61
3.2. Металлические проволочные кольцевые структуры 69
3.3. Металлические и диэлектрические кубические структуры . 75
3.4. Выводы 82
4. Разработка программного комплекса для расчета дисперсионных характеристик метаматериалов . 84
4.1. Метод решения дисперсионного уравнения при наличии полюсов 84
4.2. Формальное описание алгоритма расчета дисперсионных характеристик метаматериалов 88
4.3. Модификация алгоритма для параллельных вычислительных систем 89
4.4. Определение оптимальных параметров расчета 92
4.5. Характеристика программного комплекса 96
4.6. Технологии параллельных вычислений 99
4.7. Анализ эффективности программного комплекса 101
4.8. Выводы 104
Заключение 106
Список литературы 110
- Метод конечных разностей во временной области
- Двумерно-периодические металлические проволочные структуры
- Металлические проволочные кольцевые структуры
- Формальное описание алгоритма расчета дисперсионных характеристик метаматериалов
Введение к работе
Актуальность. Изучение электродинамических свойств гиперболических метаматериалов представляет собой актуальное направление в современной радиофизике. Гиперболические метаматериалы (ГМ) – искусственные диэлектрики, у которых компоненты тензора эффективной диэлектрической (или магнитной) проницаемости, определяемые в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, имеют противоположные знаки. Данные материалы обладают анизотропией и могут поглощать или пропускать электромагнитные волны в зависимости от направления их распространения. Ввиду особого вида поверхности изочастот, имеющей форму гиперболоида, в таких средах возможно распространение волн с большими значениями компонент волнового вектора, что приводит к высокой плотности фотонных состояний и большим значениям фактора Парселла. Наличие данных свойств делает перспективным применение ГМ в элементной базе для широкого класса электрофизических устройств от сверхвысокочастотного (СВЧ) до оптического диапазона включительно.
Метаматериалы – это искусственно созданные среды, электрофизические свойства которых выходят за пределы свойств образующих их компонентов. Такие материалы, например, в определенных частотных диапазонах могут обладать отрицательными значениями компонент тензора эффективной диэлектрической или магнитной проницаемости как по отдельности, так и одновременно. При диссипации следует говорить об отрицательности вещественных частей этих компонент. Первые работы по метаматериалам относятся к 40-м годам прошлого века (Л. Левин, Л.И. Мандельштам), где были детально рассмотрены эффект распространения обратной волны и необычный закон преломления при падении волны из свободного пространства в среду, в которой групповая и фазовая скорости направлены в противоположные стороны. В таком случае преломленный луч отклоняется в противоположную сторону от нормали к поверхности, в отличие от случая совпадения направлений обеих скоростей. В 50-х годах было теоретически рассмотрено и доказано, что волны с противоположно направленными фазовой и групповой скоростью могут возникать в средах с одновременно отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями (Д.В. Сиву-хин, В.Е. Пафомов, Р.А. Силин). В 1967 году В.Г. Веселаго выдвинул гипотезу о том, что в таких материалах показатель преломления имеет отрицательный знак, обосновал возможность их существования и описал их электродинамику. Однако широкое распространение исследования метаматериалов приобрели с начала 90-х годов после ряда работ (Э. Яблонович, Д. Джоаннопоулос, Д. Пендри и др.), в которых были описаны результаты изучения практических образцов материалов с отрицательной диэлектрической или магнитной проницаемостью. В 2000 году исследовательская группа Д.Р. Смита получила материал с отрицательной рефракцией в диапазоне 4.2–4.6 ГГц.
Одним из видов метаматериалов являются фотонные кристаллы (ФК) – среды с периодически внедренными в основу объектами различной природы: металлическими, диэлектрическими, полостными и другими. Частный случай ФК – структуры с периодически меняющимся в пространстве показателем преломления. В зависимости от вида структуры различают одномерно-периодические, двумерно-периодические и трехмерно-периодические ФК. Указанная периодичность обуславливает возникновение запрещенных зон для энергий фотонов – области частот, в пределах которой электромагнитные волны подавляются во всех
(полная запрещенная зона) или некоторых (неполная запрещенная зона) направлениях. Наличие потерь, конечность структур, квазипериодичность включений приводят к искажению зонной структуры, и соответствующие материалы следует рассматривать как многополосовые фильтрующие среды. Для одноосных ФК характерна анизотропия и ярко выраженная пространственная дисперсия. При этом в запрещенных зонах наблюдаются отрицательные значения лишь некоторых компонент тензоров диэлектрической или магнитной проницаемостей. Таким образом, в частотных диапазонах, соответствующих запрещенным зонам, такие ФК ведут себя как гиперболические метаматериалы.
К настоящему времени имеется большое число публикаций по исследованию электродинамических свойств метаматериалов (Д. Пендри, К. Сакода, И.В. Лин-делл, К.Р. Симовский, С.А. Третьяков, И.С. Нефедов, С.А. Никитов, Е.А. Виноградов, П. Белов, С.Е. Банков и др.). Тем не менее в известной литературе остались мало изученными металлические тонкопроволочные ФК и металло-диэлектрические плоскослоистые среды. Данные структуры перспективны для создания на их основе гиперболических метаматериалов с электрическими или магнитными свойствами. Также недостаточно исследованы ФК с включениями в виде прямоугольных параллелепипедов.
В диссертации рассматриваются следующие виды ФК: двумерно-периодические с включениями в виде идеальных и неидеальных металлических бесконечно протяженных тонких проволочек, трехмерно-периодические с включениями в виде идеальных металлических тонкопроволочных стержней или колец, одномерные периодические и квазипериодические из слоев металла и диэлектрика, трехмерно-периодические с включениями в виде металлических или диэлектрических прямоугольных параллелепипедов (кубов). Анализируются также некоторые замедляющие структуры, которые можно рассматривать как одномерные метаматериалы.
Технологические трудности при изготовлении метаматериалов делают математическое моделирование главным методом исследования в сравнении со сложным и дорогим экспериментом. В работе используется метод интегральных уравнений (ИУ), основанный на применении периодических функций Грина (ФГ). Такие ФГ, являющиеся функциями периодически расположенных и сфазированных точечных источников, позволяют свести задачу к решению ИУ для включений в одной ячейке периодичности, что делает метод интегральных уравнений весьма универсальным и удобным, например, по сравнению с методом плоских волн. Метод ИУ применим для любых включений: металлических, полупроводниковых, диэлектрических, включая полостные включения в диэлектрической основе. При этом сами включения могут описываться макроскопическими диэлектрическими и магнитными проницаемостями, которые в общем случае могут иметь тензорный характер. Продвижение в область инфракрасных и оптических частот требует учета потерь в металлах при расчете дисперсии сред с металлическими включениями. В этом случае возможно применение итерационных методов решения ИУ, позволяющих исследовать дисперсию на конкретной ветви с комплексными волновыми векторами. В диссертации такие методы используются для анализа двумерно-периодических металлических проволочных ФК.
Строгий анализ метаматериалов, связанный с нахождением действительных и комплексных законов дисперсии, а также определением эффективных мате-
риальных параметров, требует решения краевых задач для уравнений электродинамики в двумерных и трехмерных бесконечно протяженных областях. Следовательно, необходимы привлечение и разработка специальных методов численного моделирования задач математической физики в неограниченных пространственных областях, в частности, методов, основанных на использовании интегральных уравнений и функций Грина и позволяющих свести моделирование дисперсионных характеристик к численному решению дисперсионного уравнения (ДУ). В свою очередь, корни ДУ требуется находить в достаточно широком частотном диапазоне (теоретически – на полубесконечной вещественной оси частот). Для каждого фиксированного значения характерной частоты вычисление значения левой части ДУ аналогично численному решению линейных интегральных уравнений, к которым сводится краевая задача для векторных уравнений Гельмгольца в неограниченной двумерной или трехмерной пространственной области. Таким образом, данный класс математических моделей и методов их численного анализа обладает значительным ресурсом параллелизма на двух уровнях – с одной стороны, поиск корней дисперсионного уравнения в разных частотных диапазонах может выполняться независимо, то есть параллельно, а с другой стороны, может быть распараллелено решение линейных интегральных уравнений. Следовательно, требуется разработка параллельных алгоритмов, которые в полной мере используют ресурсы параллелизма, свойственные математическим моделям метаматериалов и методам их численного анализа. Перспективным является реализация данных параллельных алгоритмов в виде комплексов программ для выполнения расчетов на высокопроизводительных вычислительных системах под управлением технологий параллельных вычислений (Message Passing Interface и Open Calculation Language).
Все отмеченное выше определяет актуальность темы диссертации и рассматриваемых в ней вопросов, которые включают разработку адекватных исследуемым структурам математических моделей электродинамического уровня разной сложности, численных методов, алгоритмов и комплексов программ.
Целью диссертационной работы является выявление закономерностей распространения электромагнитных волн в гиперболических метаматериалах путем численного моделирования с применением распараллеливания алгоритмов, а также разработка программного комплекса для расчета дисперсионных характеристик метаматериалов.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основные задачи:
Построение математических моделей распространения электромагнитных волн в одномерно-периодических структурах: замедляющей системе с диэлектрической металлизированной гребенкой и пленочных металло-диэлектрических фотонных кристаллах; проведение вычислительных экспериментов, анализ электродинамических свойств. Построение математических моделей распространения электромагнитных волн в двумерно-периодических металлических фотонных кристаллах с включениями в виде бесконечно протяженных параллельных проволочек, проведение вычислительных экспериментов, анализ электродинамических свойств. Построение математических моделей распространения электромагнитных волн в трехмерно-периодических фотонных кристаллах с металлически-
ми проволочными включениями в виде непересекающихся параллельных стержней и колец, а также с металло-диэлектрическими кубическими включениями; проведение вычислительных экспериментов, анализ электродинамических свойств. Разработка параллельного алгоритма расчета дисперсионных характеристик метаматериалов и его реализация в виде программного комплекса. Методы исследования. Методами исследования в работе являются математическое моделирование на основе интегральных уравнений электродинамики, проекционные и итерационные методы их решения, а также методы сшивания полей.
Научная новизна работы:
Предложены новые математические модели для стержневых и кольцевых металлических проволочных фотонных кристаллов, отличающиеся тонкопроволочным приближением. Cогласно данным моделям, по проволочкам протекает азимутально-независимый линейный ток, что позволяет решать интегральное уравнение лишь для компонент электрического поля, ориентированных вдоль контуров проволочек.
На основе численного решения дисперсионного уравнения получена зависимость компоненты тензора эффективной диэлектрической проницаемости от частоты и волнового вектора для металлических фотонных кристаллов с включениями в виде стержней конечной и бесконечной длины. Для структур со стержнями бесконечной длины получена численная оценка уровня низкочастотной отсечки, ниже которого данная компонента принимает отрицательные значения. В центре диаграммы Бриллюэна наблюдается неполная запрещенная зона, границы которой смыкаются в области точки M.
На основе численного моделирования показано, что металлические проволочные фотонные кристаллы с конечными стержнями в кубической решетке с периодом обладают полной запрещенной зоной для волн с нормированной продольной компонентой волнового вектора менее при длине стержней = 0.7 и радиусе = 0.05. Для кольцевых проволочных структур наблюдается неполная запрещенная зона и, соответственно, достижение одновременно отрицательных величин диэлектрической и магнитной про-ницаемостей на структурах из стержней и колец является проблематичным.
Получены дисперсионные характеристики для двумерно-периодических наноразмерных диссипативных стержневых фотонных кристаллов с учетом плазменных свойств металла. Показано, что подобные структуры имеют малые потери и слабую дисперсию для волн, распространяющихся вдоль стержней вплоть до инфракрасного диапазона.
Исследована замедляющая система с одномерно-периодической диэлектрической металлизированной гребенкой и показано, что данная структура обладает близким к линейному законом дисперсии и почти постоянным замедлением в широкой полосе частот. При этом величина замедления увеличивается при уменьшении ширины и увеличении глубины гребней.
Исследованы одномерные наноразмерные структуры с металлическими и диэлектрическими пленками как фильтрующие элементы с учетом частотных свойств металлов. Показано, что такие структуры могут служить ос-
новой при создании тепловых электромагнитных экранов, пропускающих видимый свет. Исследованы обладающие потерями металлические фотонные кристаллы из прямоугольных параллелепипедов в кубической решетке и показано, что для достижения фильтрующих свойств в области высоких частот следует использовать сильно разреженные структуры с наноразмерными включениями. Предложен новый метод решения дисперсионного уравнения, основанный на анализе скорости изменения значений целевой функции и позволяющий определять корни различных дисперсионных ветвей. На основе метода интегральных уравнений создан параллельный алгоритм расчета дисперсионных характеристик метаматериалов и разработана его реализация в виде программного комплекса для выполнения расчетов на параллельных вычислительных системах с поддержкой технологий Message Passing Interface и Open Calculation Language. Научная и прикладная значимость. Научной значимостью обладают разработанные математические модели гиперболических метаматериалов и замедляющих структур, а также результаты расчета электродинамических характеристик на основе данных моделей, существенно дополняющие представления о физике распространения электромагнитных волн в искусственно созданных средах. В прикладном аспекте результаты работы представляют существенный интерес для проектирования и расчета устройств на основе метаматериалов, включая управляемые структуры, линзы, резонаторы, фильтры и линии передач. Отдельный практический интерес представляют следующие результаты: Предложена структура тепловых электромагнитных экранов, прозрачных в оптическом диапазоне, на основе одномерно-периодических наноразмер-ных металло-диэлектрических пленочных фотонных кристаллов. Рассчитаны электродинамические характеристики направляющей структуры в диапазоне от СВЧ до оптического на основе двумерно-периодических металлических фотонных кристаллов. Предложена структура замедляющей системы для ламп бегущей волны, обеспечивающая почти постоянное замедление в широком частотном диапазоне, на основе одномерно-периодической диэлектрической металлизированной гребенки. Предложен метод решения дисперсионного уравнения при наличии полюсов, позволяющий определять корни различных дисперсионных ветвей. Разработан программный комплекс для расчета дисперсионных характеристик метаматериалов, поддерживающий высокопроизводительные параллельные вычислительные системы. Достоверность результатов. Достоверность результатов работы основана на использовании строгих электродинамических моделей анализа, в основе которых лежат уравнения Максвелла, сходимости применяемых алгоритмов и удовлетворительных результатах расчета невязки граничных условий. Достоверность части численных результатов подтверждена их совпадением и сравнением с аналогичными как теоретическими, так и экспериментальными результатами других авторов.
Положения и результаты, выносимые на защиту:
-
В двумерно-периодическом металлическом фотонном кристалле из тонких бесконечно протяженных параллельных идеально проводящих стержней существует низкочастотная отсечка, ниже которой такая структура ведет себя как гиперболический материал с одной продольной отрицательной компонентой диагонального тензора эффективной диэлектрической проницаемости.
-
В трехмерно-периодическом металлическом фотонном кристалле из тонких параллельных идеально проводящих стержней конечной длины существует полная запрещенная зона, которая исчезает при стремлении нормированной продольной компоненты волнового вектора к . При переходе с нижней дисперсионной ветви прямой волны на верхнюю частотная дисперсия такого метаматериала соответствует модели Лоренца среды с осцилляторами.
-
Трехмерно-периодические металлические фотонные кристаллы с включениями из тонкопроволочных идеально проводящих колец обладают неполной запрещенной зоной для волновых векторов, параллельных плоскостям колец.
-
Разработанный программный комплекс с модульной структурой, основанный на параллельном алгоритме решения дисперсионного уравнения и поддерживающий технологии высокопроизводительных параллельных вычислений Message Passing Interface и Open Calculation Language, позволяет получать дисперсионные характеристики одномерных, двумерных и трехмерных метаматериалов, обеспечивает масштабируемость по числу выполняющих устройств и обладает возможностями расширения функционала.
Апробация результатов работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на следующих международных школах, конференциях и семинарах: 15-ая, 16-ая и 17-ая международные школы-конференции по оптике, лазерной физике и биофизике «Saratov Fall Meeting», Саратов 2011–2013; семинары IEEE отделения Саратов-Пенза 2011–2013; 15-ая международная зимняя школа-семинар по электронике сверхвысоких частот и радиофизике, Саратов 2012; 22-ая и 23-ая международные конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (КрыМиКо’2012–2013); международная конференция «Компьютерные науки и информационные технологии», Саратов 2012; международная конференция «Излучение и рассеяние электромагнитных волн» (ИРЭМВ-2011).
Публикации. По теме диссертации было опубликовано 14 печатных работ, в том числе 7 статей в рецензируемых российских журналах, рекомендованных ВАК [1–], и 7 статей в сборниках международных и российских конференций. Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ [].
Личный вклад автора. Лично автором разработаны все программы, произведена основная часть расчетов и интерпретирована значительная часть полученных в работе результатов. Постановка задач и разработка алгоритмов проводилась совместно с научными руководителями.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 125 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка, 4 таблицы и список литературы из 122 наименований.
Метод конечных разностей во временной области
Метод конечных разностей во временной области является наиболее используемым численным методом решения задач электродинамики [80–86]. Он предоставляет простой способ дискретизации уравнений Максвелла и не требует каких-либо сложных математических формулировок или наличия строгой периодичности у рассматриваемой структуры. Кроме того, он позволяет вычислить решение во временной области, с помощью которого может быть получено частотное поведение структуры в широком диапазоне частот. Первый алгоритм, реализующий данный метод, был предложен Yee [80] в 1966 году. С тех пор метод получил широкое распространение и было создано множество модификаций.
Алгоритм, предложенный Yee, одновременно работает с электрическим и магнитным полем в пространстве и времени, используя пару вихревых уравнений Максвелла вместо того, чтобы решать волновое уравнение для электрического или магнитного поля в одиночку. Предполагается, что в пространстве не имеется источников электрического тока, но имеются материалы, способные накапливать электрическую или магнитную энергии. Запишем интересующие нас уравнения Максвелла: где т - эквивалентные магнитные потери, и - электрическая проводимость. В линейных изотропных недисперсионных материалах D и В относятся к Е и Н следующим образом:
Подставляя (1.14) и (1.13) в (1.12) и (1.11), получаем уравнения Максвелла в линейных изотропных материалах:
Далее получаем 6 связанных дифференциальных уравнений, которые составляют базис метода конечных разностей во временной области. Данные уравнения дискретизируются по времени и пространственным координатам и решаются с помощью схемы leapfrog [81]. Из достоинств метода можно выделить то, что используется прямой расчет уравнений Максвелла без введения дополнительного математического аппарата, а также обычная кубическая сетка. При этом объем вычислений возрастает линейно в зависимости от количества ее ячеек.
К недостаткам метода можно отнести как то, что объекты, не обладающие прямоугольной формой, дискретизируются «лесенкой», так и то, что пространство необходимо обрезать очень тщательно, иначе высока возможность появления ошибок вычислений.
Метод интегральных уравнений основывается на применении периодических функций Грина, которые представляют собой удобный аппарат решения электродинамических задач. В однородной среде с относительной диэлектрической проницаемостью є такая функция имеет вид [87]: где x, у, z - координаты точки наблюдения поля, х, у, z - координаты точки источника поля, kx, ку, kz - компоненты волнового вектора к, ко - волновое число в вакууме. Свободному пространству соответствует є = 1.
Удобно использовать следующее представление данной формулы в свернутом виде [87]: где г = г — г - расстояние между точками истока и наблюдения. Скалярная ФГ удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца с дельта-особенностью в правой части то есть определяет потенциалы сосредоточенного источника.
Далее предположим, что в однородный диэлектрик (среду) периодически включены магнитоэлектрические тела объема V с некоторыми диэлектрическими ё(ш, г) и магнитными /}(а;, г) проницаемостями, которые мы будем считать зависящими от координат, а также металлические тела, имеющие поверхность S. Проницаемости є и (і будем считать комлексными тензорами, соответствующими некоторой модели включений, например, плазме носителей заряда в полупроводнике, ферритовым частицам и т.п. Полагаем, что в рассматриваемом частотном диапазоне указанные модели справедливы, а величины і и рь правильно описывают макроскопические свойства включений. Для металлических тел будем задавать импедансные граничные условия на поверхности S, хотя данные тела можно моделировать и как диэлектрики с потерями [88].
Для ФК будем использовать ФГ периодической структуры, имеющей вид трехмерной суммы по пространственным гармоникам [88-90]: где а, Ь и с - периоды вдоль осей х, у и z; кхт = кх + ZL, куп = ку + f1, kzk = kz + 2]f.
Представляет интерес и ФГ двумерно-периодической структуры. Данная стуктура получается из (1.17) путем увеличения периода по оси z до беско нечности [91]. В таком случае соответствующую сумму необходимо заменить на интеграл по всем плоским волнам , распространяющимся в положительном и отрицательном направлении оси . Тогда ФГ имеет вид:
С использованием введенных ФГ для ФК можно получить интегральные уравнения (ИУ). Используем соотношение для вектора-потенциала, выраженное через ФГ [87]:
В (1.21) введено падающее (возбуждающее) поле Еш(г), поэтому оно соответствует задаче о возбуждении диэлектрической структуры. Физический смысл уравнения состоит в принципе суперпозиции, согласно которому полное поле имеет непрерывные касательные компоненты и есть сумма возбуждающего и рассеянного телом полей. Обычно исследуются собственные волны ФК, поэтому возбуждающее поле равно нулю.
После подстановки (1.20) в (1.21) получаем искомое ИУ
Уравнение (1.22) связывает поле в выделенной ячейке с полем в других ячейках структуры, поэтому его достаточно рассматривать не во всем пространстве, а только в выделенной элементарной ячейке. Более того, его решение можно искать только в той части этой ячейки, которая занята включением.
Полная плотность тока равна сумме плотностей тока проводимости и тока смещения. В зависимости от вида и свойств включений можно пренебречь одним из слагаемых. Так, для металлов на частотах СВЧ диапазона и ниже основной вклад вносит ток проводимости, поскольку электрическое поле не проникает внутрь включений. При этом поле можно выразить в следующем виде:
Двумерно-периодические металлические проволочные структуры
Рассмотрим двумерно-периодический МФК, расположенный на рис. 2.7 и состоящий из металлических бесконечно протяженных проволочек радиуса . Проволочки ориентированы по оси и периодически расположены по осям , с периодами соответственно и в среде (матрице) с диэлектрической проницаемостью .
Учитывается приближение идеально проводящего металла. Проволочки считаем тонкими, г min(a,6), и будем моделировать ток линейным током проводимости, текущим по оси стержня. Тогда его плотность запишется следующим образом:
Для построения ИУ будем использовать скалярную ФГ двумерно-периодических сфазированных источников (периодическую ФГ) (1.18). Нулевой ячейке, соответствующей началу координат, принадлежит только одна проволочка, расположенная в центре. Плотность тока создает только одну компоненту электрического вектор-потенциала тем самым избавляясь от интеграла по z . Теперь, подставляя полученное значение в (2.8), вычисляем интеграл по у: 1 [ V ехР( І( AJx,y,z) = — d-yexrt-j-yz)dh-kz) V ї0 ї0 0 ї9
В итоге мы получили выражение для электрического вектор-потенциала, не содержащее интегралов по и . Далее выражаем компоненту электри ческого поля:
В случае идельной проводимости металла поверхностный импеданс равен нулю, и компонента должна обратиться в нуль на поверхности проволочки. Для получения ДУ необходимо проинтегрировать (2.9) с базисной функцией разложения тока:
Ввиду наличия лишь одной базисной функции, после интегрирования получаем одно уравнение и, следовательно, одноэлементную матрицу А, равенство нулю определителя которой и представляет собой ДУ. Удобно рассмотреть проволочку в плоскости z = 0. В (2.9) точка (ж, у) принадлежит окружности: х2 + у2 = г2. Целесообразно усреднить поле по всем точкам окружности, записав х = rcos( ), у = rsin( ) и проинтегрировав по углу. При этом возникают функции Бесселя:
Количество учитываемых плоских волн (пространственных гармоник). Использование функций Бесселя позволяет существенно увеличить скорость сходимости рядов в (2.11) в зависимости от М (рис. 2.8а). Так же стоит заметить, что ряды сходятся тем быстрее, чем больше радиус проволочки (рис. 2.8б). Например, для / = 0.05 достаточно взять = 40, в то время как для / = 0.005 уже требуется = 120.
Зависимость значения матричного элемента от количества учитываемых плоских волн в ФГ: а) при усреднении по окружности во всех точках (сплошная кривая) и в 4-х точках (штрихованная кривая) для при усреднении по всем точкам окружности для / = 0.05 (сплошная кривая), б) / = 0.005 (штрихованная кривая)
Решая ДУ, находим зависимость вида 0 = (x, у, z), на основе которой строится зонная диаграмма Бриллюэна и далее определяется наличие и ширина запрещенных зоны. Заметим, что тривиальное решение получается при о = z, что соответствует распространению волн вдоль стержней с той же скоростью, что и в диэлектрической среде. Из этого следует, что такие МФК могут быть направляющими структурами для частотных диапазонов, где свойства металла близки к идеальным.
Далее рассмотрим такую же структуру с учетом прохождения поля внутрь включений, что соответствует диэлектрическим проволочкам, либо металлическим проволочкам на частотах, близких к плазменным. ДП таких включений является функцией частоты (), источниками поля являются токи поляризации с плотностью а объемное ИУ формулируется для электрического поля внутри включений [96]. Плоская волна создает ток поляризации и им же поддерживается, чему соответствует однородное ИУ. Как и в случае токов проводимости, вдоль оси задана постоянная распространения волны и используется ФГ (1.18). В результате все величины типа (2.12) приобретают множитель exp(-), который дальше, как и зависимость от заданной частоты , будем опускать. В нашем случае продольная компонента тока поляризации гораздо меньше поперечной, причем ее влияние тем больше, чем меньше радиус стержней. Это означает, что в ФК может распространяться волна, у которой имеется компонента электрического поля , а ИУ можно приближенно сформулировать только относительно этой компоненты, то есть получить одномерное ИУ в двумерном пространстве. Запишем выражение для :
Далее введем цилиндрическую систему координат в центре стержня и рассмотрим плоскость z = 0. Полагаем є = 1 и предполагаем, что Е зависит только от р. Данное предположение означает, что поле на поверхности стержня одинаковое, а внутри изменяется только вдоль радиуса. Поскольку волна при распространении затухает, такое предположение возможно при малом за тухании волны в поперечном направлении на расстояниях порядка г и в том случае, когда для длины волны выполняются условия Л а » г, что соответствует радиусу порядка нанометров и разреженности ФК, обеспечивающей малые потери. Для получения ДУ нужно умножить (2.13) на Ez и проинтегрировать по поперечному сечению. При этом в знаменателе (2.13) возникают функции Бесселя (2.10). Перенося интегралы в левую часть, получаем функционал
Экстремум по Ez (р) имеет нулевое значение и приводит к ДУ, которое получается при подстановке некого оптимального распределения электрического поля и приравнивании F(k0, k, Ez) к нулю. Более точный подход требует разложения Ez по базисным функциям, что приводит к необходимости поиска комплексных корней определителя. Умножим левую и правую части (2.13) на р, тогда функционал примет вид
Металлические проволочные кольцевые структуры
Рассмотрим трехмерный МФК, состоящий из металлических проволочных колец прямоугольной формы с длиной стороны L и радиусом проволочек г. Кольца ориентированы в плоскости ху и периодически расположены по осям х, у, z с периодами а, Ь, с соответственно в среде с диэлектрической проницаемостью є. Проволочки считаем тонкими, г « L, L тіп(аДс). Ячейка такого МФК изображена на рис. 3.6.
Поместим центр рамки в начало координат и введем плотность электрического тока. Базисные функции следует выбирать таким образом, чтобы ток непрерывно тек по каждой из сторон рамки вдоль осей проволочек. Поскольку рамка замкнута, нужно учитывать и постоянную компоненту тока. Будем использовать функцию cos(ksq), где ks = 2(s — l)7r/(4L), q - точка на оси рамки, s - номер гармоники тока в разложении. Плотность тока имеет вид [110, 111]: где qo - орт оси рамки, N - количество учитываемых гармоник тока, h -координата оси, вдоль которой проходит сторона рамки. Здесь плотность тока записана в прямоугольной системе координат с центром в центре рамки, а q
Рассмотрим результаты расчета дисперсии кольцевых МФК (рис. 3.7). Для расчета была взята структура МФК с = = , = 1. Были рассмотрены случаи с разными длинами стороны / = 0.4 и / = 0.2 и радиусом / = 0.05, а также случаи с разными радиусами / = 0.05 и / = 0.01 при постоянной длине стороны / = 0.4. Как будет показано в четвертой главе, оптимальным с точки зрения точности получаемых результатов и затрачиваемой на это скорости вычислений для данных длин проволочки является случай = 2, = 10.
По результатам видно, что рассматриваемые кольцевые МФК обладают лишь неполными запрещенными зонами, которые расширяются с увеличением длины стороны прямоугольного кольца либо радиуса проволочки. При этом следует заметить, что в рамках данной модели не следует брать значения длины стороны рамки больше половины ячейки, так как при этом потребуется учитывать влияние магнитных полей, возбуждаемых кольцами соседних ячеек, что является темой отдельного исследования.
Рассмотрим трехмерный ФК, состоящий из диэлектрических включений, внедренных в узлы решетки с периодами 1, 2, 3 соответственно по осям ( = 1,2,3) декартовой системы координат в среде с ДП . Будем рассматривать включения с ДП в виде параллелепипеда с размерами (рис. 3.8).
Постановку задачи произведем в общей форме, считая электрические размеры включений большими [93]. Поместим центр параллелепипеда нулевой ячейки в начало координат. Включения излучают как вторичные источники с током поляризации
Будем использовать скалярную ФГ периодически расположенных сфазиро-ванных источников (1.17). Свободные волны ФК создают на включениях сдвинутые по фазам токи поляризации, которые, в свою очередь, и поддерживают
Ячейка трехмерно-периодического ФК с включениями в виде параллелепипедов волну. Выражение для электрического поля получается путем интегрирования плотности тока (3.14) с ФГ:
Формальное описание алгоритма расчета дисперсионных характеристик метаматериалов
Из формального описания алгоритма можно заметить, что имеет смысл разбить заданную область поиска 0 между различными процессами для организации параллельного поиска отрезков, содержащих корень. Это и было сделано в рамках данной работы.
Рассмотрим изображенную на рис. 4.5 схему разбиения области поиска 0 и решения ДУ несколькими процессами. Изначально у нас имеются левая и правая границы области поиска (FROM и TO), шаг поиска (STEP), количество процессов (S), функция вычисления определителя (F) и волновой вектор (k). Область поиска разбивается на S частей, каждая из которых отдается на обработку отдельному вычислительному процессу. Данный процесс вычисляет значения определителя для каждого значения 0 из своей области с шагом STEP. Полученная последовательность значений анализируется, и в ней находятся искомые корни (K1_1, K1_2 и т.д.). Далее результаты всех процессов объединяются и формируется итоговый список корней.
С учетом данного подхода была модифицирована блок-схема последовательного алгоритма поиска корней ДУ 4.4. Результат представлен на рис. 4.6. Приведем описание новой схемы для каждого из вычислительных процессов.
Входные параметры: набор значений волнового вектора k (массив K длиной L), диапазон (значения FROM и TO) и шаг поиска (STEP) 0, номер процесса (PROC), количество процессов (S).
Выходные параметры: значения 0 (массив K0).
Ход алгоритма.
1) Выбор очередного значения волнового вектора k := K[i].
2) Разбиение отрезка [FROM, TO] между процессами на участки размера T, в результате процессу PROC отводится отрезок [FROM + T PROC, FROM + T (PROC + 1)].
3) Разбиение отрезка [FROM, TO] точками с шагом STEP на отрезки.
4) Построение матрицы и вычисление ее определителя в каждой из точек.
5) Поиск нулевого значения между значениями определителя [A, B] на каждом из отрезков [q, q + STEP] с учетом разности R данных значений на предыдущем отрезке [q - STEP, q] – C(A, B, D) = 0 (рис. 4.3).
6) Сохранение найденного решения в массиве P (P += q + STEP). 7) Перенос значений из массива P в массив K0, общий для всех процессов, – K0[i] += P[i], и переход к следующему значению волнового вектора i += 1.
При расчете метаматериалов на основе вышеизложенных моделей возникает необходимость выбора оптимального количества гармоник плотности тока и учитываемых плоских волн в ФГ. Для замедляющей системы типа «диэлектрическая гребенка с металлизацией» и металло-диэлектрических структур плотность тока задается с помощью конечного числа функций, поэтому в этом случае необходимо лишь определить количество учитываемых плоских волн в ФГ. Опытным путем для ЗС было получено значение предела ряда = 20, что соответствует 820 плоским волнам, а для металло-диэлектрических структур это значение равно = 10 (9261 плоская волна).
В случае же МФК на основе тонких идеально проводящих проволочек необходимо определить оба параметра. Рассмотрим структуру МФК рис. 3.1. Для простоты вычислений возьмем одну гармонику ( = 1) и 9261 плоскую волну в функции Грина ( = 10). Результирующая зонная диаграмма расположена на рис. 4.7 (кривая 2).
Заметим, что первую зону непропускания (bandgap) образует первая ветка в точке M (3,1075) и вторая ветка в точке X (3,14125). Рассмотрим, как влияет изменение параметров и на точность получаемых результатов. Соответствующие результаты даны в табл. 4.1, где приведены значения, полученные для точки M. Ячейки таблицы со знаком «-» означают невозможность правильного расчета при данных параметрах.