Введение к работе
Актуальность работы. Одним из фундаментальных результатов последних десятилетий, оказавших принципиальное влияние на формирование новых взглядов на закономерности эволюционных процессов в естествознании, явилось открытие эффекта детерминированного хаоса.
Математическим образом хаотических автоколебаний является странный (хаотический) аттрактор - предельное множество фазовых траекторий в фазовом пространстве динамической системы (или в пространстве состояний системы). Термин "странный аттрактор" был введен в науку Рюэлем и Такенсом в 1971 году в работе " О природе турбулентности", в которой было дано строгое доказательство возможности существования незатухающих непериодических автоколебаний в детерминированной динамической системе с конечным числом степеней свободы. Эта работа внесла окончательную ясность в проблему существования нового класса решений для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дискретных отображений и сразу была воспринята широким кругом исследователей, в особенности физиками.
Фундаментальные исследования структуры и свойств детерминированного хаоса проводятся в двух основных направлениях. Первое связано с получением строгих математических результатов на основе качественной теории динамических систем и эрго-дической теории. Это наиболее важное направление, так как невозможно себе представить конструктивное развитие нелинейной динамики без опоры на строгие результаты по целому ряду вопросов фундаментального характера. Второе направление включает численное моделирование и эксперименты по исследованию режимов хаотических колебаний в динамических системах, моделирующих реальные процессы в естествознании. Важность второго направления также высока, поскольку эксперименты служат критерием оценки общности строгих результатов и дают реальные материалы для постановки новых теоретических проблем.
Необходимо отметить ряд теоретических результатов, благодаря которым сегодня достигнут достаточно высокий уровень понимания феномена детерминированного хаоса. Прежде всего это результаты Горьковской школы по теории нелинейных колебаний (Л.П. Шильников, Ю.И. Неймарк, В.Н. Белых, B.C. Афраймович,
В.В. Быков и др.), Московской школы математиков (В.И. Арнольд, Д.В. Аносов, Я.Г. Синай, Л.А. Бунимович, Я.Б. Песин, А.Н. Колмогоров, Ю.И. Кифер, Р.Л. Стратонович и др.), группы математиков Ленинградского университета (Г. А. Леонов, Д.В. По-номаренко, В.Б. Смирнова и др.), группы украинских математиков (А.Н. Шарковский, Ю.Л. Майстренко и др.), а также предста-вителей ряда зарубежных школ (D. Ruelle, F. Takens, S.E. New-house, L. Arnold, H. Haken, I. Prigogin и др.)
В области экспериментальных исследований детерминированного хаоса наибольший вклад внесли радиофизики. Отметим результаты Горьковской школы (М.И. Рабинович, А.С. Пиковский, В.Д. Шалфеев, Н.И. Веричев, В.И. Некоркин и др.), Московской школы (В.Я. Кислов, А.С. Дмитриев, П.С. Ланда, Ю.А. Кузнецов, Минакова И.И., Ю.Л. Климонтович, Ю.А. Кравцов, Г.Г. Мали-нецкий, Д.М. Сонечкин и др.), Саратовской школы (B.C. Ани-щенко, Д.И. Трубецков, СП. Кузнецов, А.П. Кузнецов, Б.П. Без-ручко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова, А.Б. Нейман и др.), а также зарубежных исследователей (С. Grebogi, Е. Ott, J.A. Yorke, J. Kurths, M. Rosenblum, M. Zaks и др.).
В результате экспериментальных исследований пришло понимание, что хаотические автоколебания и их образы - хаотические аттракторы, могут иметь отличающуюся структуру и характеристики. Эти отличия иногда носят несущественный характер, а могут быть принципиальны. Настал момент, когда требуется провести четкую классификацию типов аттракторов, определить различия в их характеристиках с целью введения более детальных разграничений типов хаотических автоколебаний при описании и трактовке экспериментальных результатов. Подход к решению этой задачи также включает два направления исследований: теоретический и экспериментальный. В рамках настоящей работы внимание в основном будет уделено экспериментальным исследованиям, которые будут базироваться на строгих математических результатах.
Исследования последних лет показали, что отождествлять термин "странный аттрактор" с образом экспериментально наблюдаемого режима хаотических автоколебаний ошибочно. В настоящей диссертации детальному исследованию подвергаются два типа хаотических аттракторов: квазигиперболические аттракторы и квазиаттракторы. Грубые гиперболические (странные) аттракторы в экспериментальных исследованиях не встречаются.
Странные нехаотические аттракторы представляют собой достаточно специфический тип аттракторов, реализуемые, как правило, при квазипериодическом воздействии. Хаотические нестранные аттракторы в теоретическом плане недостаточно исследованы и на практике встречаются довольно редко. Наиболее типичными в экспериментах являются квазигиперболические аттракторы и особенно - квазиаттракторы. Большинство экспериментальных результатов касается именно указанных типов хаотических автоколебаний, однако, за редким исключением, различия в их характеристиках и структуре обсуждению и объяснению не подвергаются.
Экспериментаторы уже давно используют некоторые из типичных свойств, присущих хаотическим системам с квазиаттрактором. Свойства квазиаттракторов привели, в частности, к открытию так называемого "детерминированного стохастического резонанса" в хаотических системах в отсутствие внешнего шума. Другой пример - проблема управления хаосом. Именно сосуществование счетного множества неустойчивых и притягивающих режимов колебаний в системах с квазиаттракторами расширило возможности постановки широкого спектра задач по стабилизации различных режимов с использованием специальных методов.
Цель диссертационной работы заключается в детальном экспериментальном исследовании структуры, динамических и статистических характеристик хаотических автоколебаний, образом которых являются квазигиперболические аттракторы и квазиаттракторы, направленном на выявление типичных отличительных характеристик и свойств, которые могут быть рекомендованы для использования их в качестве критериев диагностики.
Для достижения поставленной цели в диссертации необходимо решить несколько основных задач:
-
Выбрать наиболее простые и в то же время типичные модели динамических систем, реализующие режимы квазигиперболического аттрактора и квазиаттрактора.
-
Ввести перечень наиболее информативных характеристик указанных типов аттракторов и разработать при необходимости специальные алгоритмы и программы их численного расчета.
-
Провести детальные численные эксперименты по исследованию структуры и свойств указанных типов хаотических аттракторов и выявить наиболее типичные особенности характеристик, позволяющие достоверно их различать.
4. Сформулировать совокупность требований к динамиче
ским и статистическим характеристикам хаотических аттракто
ров, позволяющих достоверно классифицировать квазигипербо
лические аттракторы и квазиаттракторы в численном экспери
менте^
Методы исследований. Основным методом исследований в диссертации является метод численного моделирования хаотических систем с использованием как общепринятых в нелинейной динамике алгоритмов и программ, так и специально для достижения целей диссертации созданных. Для получения достоверных результатов исследования первоначально проводились на классических хаотических системах, для которых задача о структуре и свойствах соответствующих типов аттрактора решена теоретически. В результате детального анализа характеристик тестовых динамических систем формулировались их типичные свойства и особенности характеристик, которые в дальнейшем применялись к исследованию динамических систем, тип аттрактора в которых теоретически не обоснован.
Достоверность научных результатов. Использование вышеуказанного метода при получении научных результатов дает достоверные результаты в том смысле, в котором можно говорить о достоверности данных численного эксперимента. С этой точки зрения использование стандартных общепринятых алгоритмов и программ, проверенных многими исследователями, а также специальных программ (расчет бассейнов притяжения и угла между многообразиями), тестирование которых также было осуществлено на теоретически исследованных моделях, гарантирует достоверность результатов работы. Все полученные результаты воспроизводимы, согласуются с теоретическими данными и не противоречат результатам, полученным другими авторами.
Научная новизна результатов работы. В результате проведенных исследований впервые систематизирован материал но полной классификации типов нерегулярных аттракторов динамических систем как математических образов непериодических колебаний.
1. Проведено детальное исследование структуры и свойств квазигиперболических аттракторов как наиболее близких к "истинно странным" грубым гиперболическим аттракторам. Сформулирована совокупность экспериментальных критериев их диагностики.
2. Проведено детальное исследование структуры и свойств
квазиаттракторов, наиболее часто наблюдаемых в эксперимен
тах. Установлено, что в силу негрубости квазиаттракторы ха
рактеризуются чрезвычайной чувствительностью к изменениям
начального состояния, управляющих параметров и внешним шу
мовым возмущениям. Сформулирована совокупность эксперимен
тальных критериев диагностики квазиаттрактороз.
3. Разработаны эффективные алгоритмы и соответствующие
программы расчета бассейнов притяжения аттракторов трехмер
ных дифференциальных динамических систем и расчета углов
между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями хаотиче
ской траектории аттракторов в двумерных обратимых отображе
ниях.
Научно-практическое значение результатов работы. Совокупность полученных результатов предоставляет специалистам в области экспериментальных исследований хаоса достоверные критерии для диагностики типов аттракторов в дискретных и дифференциальных системах, а также дополняет стандартный набор программ для проведения численных экспериментов при решении задач, связанных с исследованиями хаотических режимов колебаний в динамических системах.
Апробация результатов исследований и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (Krakow, Poland, 1994), на школе-семинаре "Xaoc-94" (Саратов, Россия, 1994), на международной конференции "Third Technical Conference on Nonlinear Dynamics and Full Spectrum Processes" (Mystik, USA, 1995), на международной конференции "Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine" (Саратов, Россия, 1996), на международной конференции "Applied Chaotic Systems" (Lodz, Poland, 1996), на международной конференции " Applied Nonlinear Dynamics near the Millennium" (San Diego, USA, 1997), на международной конференции "Control of Oscillations and Chaos" (С.-Петербург, Россия, 1997), на научном семинаре Института нелинейной динамики Потсдамского университета (Potsdam, Germany, рук. - Проф. Ю. Курте), а также на научном семинаре лаборатории нелинейной динамики и кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. Результаты работы использовались при выполнении грантов Госкомитета по высшему образованию (93-8.2-10 и 95-0-8.3-66), грантов RNO 000
и R.NO 300 Международного научного фонда, совместного иссле
довательскою гранта DFG и РФФИ (436 RUS 113/334) и госбюд
жетной НИР "Автоколебания". По теме диссертации опублико
вано и принято к публикации 12 работ (8 статей и 4 тезисов до
кладов) .
Личный вклад Г.И. Стрелковой в вышеприведенные работы состоит в в осуществлении большинства численных экспериментов и обсуждении полученных результатов.
Положение, выносимое на защиту. Совокупность теоретических и экспериментальных результатов, накопленных в процессе исследований хаоса и полученных автором настоящей работы, позволяет сформулировать основное положение, выносимое на защиту:
Принципиальные качественные и количественные различия основных характеристик квазигиперболических аттракторов и квазиаттракторов, таких как структура бассейнов притяжения, зависимости спектра показателей Ляпунова от начальных данных и параметра и реакция системы на воздействие внешнего шума, позволяют достоверно диагностировать тип хаотического аттрактора динамической системы в численном эксперименте.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация содержит 140 страниц текста, включая 50 иллюстраций и список литературы из 191 наименования.