Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Распространение спиновых волн в ферромагнитных пленках (обзор) 10
1.1. Спектр нормальных спиновых волн в ферромагнитных пленках 10
1.2. Спектр нормальных спиновых волн в ферромагнитных пленочных волноводах 17
1.3. Состояние экспериментальных исследований по распространению спиновых волн в пленочных волноводах. Объемные и локализованные моды 20
Выводы по главе 1 25
ГЛАВА 2. Теория спектра дипольно-обменных спиновых волн в ферромагнитных пленочных волноводах прямоугольного сечения 26
2.1. Постановка задачи. Интегро-дифференциальное уравнение для переменной намагниченности 26
2.2. Распределение внутреннего статического поля 31
2.3. Точное дисперсионное уравнение 33
Выводы по главе 2 38
ГЛАВА 3. Исследование спектров объемных и локализованных мод в ферромагнитных пленочных волноводах 39
3.1. Структура внутреннего статического поля 39
3.1.1. Зависимость распределения внутреннего поля от направления внешнего намагничивающего поля 39
3.1.2. Магнитные ямы. Исследование эффективной ширины и глубины магнитных ям в зависимости от величины внешнего поля намагничивания и геометрических размеров волновода 45
3.2. Исследование спектра нормальных мод ферромагнитного пленочного волновода 50
3.2.1. Сходимость нормальных спин-волновых мод 51
3.2.2. Спектр нормальных мод 55
3.2.2.1. Случай нормально намагниченного пленочного волновода 55
3.2.2.2. Случай касательного намагничивания волновода вдоль направления распространения спиновой волны 64
3.2.2.3. Случай касательного намагничивания волновода поперек направления распространения спиновой волны 72
3.3. Исследование спектра локализованных мод 82
3.3.1. Локализация спиновых волн 82
3.3.2. Сходимость расчета локализованных состояний 86
3.3.3. Глубина залегания локализованных мод 87
3.3.4. Сопоставление с известными экспериментальными данными 88
Выводы по главе 3 94
Заключение 97
Список литературы 100
- Спектр нормальных спиновых волн в ферромагнитных пленочных волноводах
- Распределение внутреннего статического поля
- Зависимость распределения внутреннего поля от направления внешнего намагничивающего поля
- Случай касательного намагничивания волновода поперек направления распространения спиновой волны
Введение к работе
Актуальность темы. В течение многих лет в сверхвысокочастотных (СВЧ) устройствах спин-волновой электроники использовались преимущественно эпитаксиальные пленки железо-иттриевого граната (ЖИГ) [1-3]. Типичная толщина пленок составляла единицы-десятки микрометров. Из таких пленок изготавливались волноводы спиновых волн, ширина которых обычно равнялась единицам миллиметров [4]. Для расчета спектра спиновых волн (СВ) в пленочных волноводах обычно пользовались теориями, построенными в предположении распространения плоских волн в неограниченной по ширине ферритовой пленке. В большинстве случаев такой подход давал хорошее приближение, поскольку пленочные волноводы были сравнительно широкими. При необходимости учета влияния ширины волновода на спектр спиновых волн пользовались приближенным подходом, заключавшимся в размерном квантовании закона дисперсии для неограниченной в плоскости пленки [5]. В работе [6] был получен закон дисперсии для металлизированного волновода. Однако теория была построена только для частного случая поверхностных спиновых волн и в предположении однородного распределения внутреннего магнитного поля.
В последнее десятилетие развитие спин-волновой электроники, а также спинтроники идет по пути всё большей миниатюризации СВЧ приборов, а также освоения других магнитных материалов для их изготовления, например, таких, как пермаллой [5, 7, 8]. Это приводит к необходимости адекватного теоретического описания миниатюрных ферромагнитных пленочных волноводов, когда их толщины исчисляются десятками и сотнями нанометров, а их ширина равна нескольким микрометрам. К моменту начала диссертационной работы для расчета спектра спиновых волн в ферромагнитных пленочных волноводах обычно использовался приближенный метод размерного квантования закона дисперсии неограниченной ферромагнитной пленки [5, 9]. Несмотря на то, что в ряде случаев этот метод давал хорошее приближенное описание наблюдавшихся явлений, в целом он становился неприменимым для расчета дисперсионных характеристик спиновых волн, распространяющихся в миниатюрных волноводах. Например, с его помощью не удавалось описать эффект распространения локализованных мод в пермаллоевых микроволноводах [10]. Поэтому возникла задача строгого расчета закона дисперсии спиновых волн в ферромагнитных пленочных волноводах прямоугольного сечения.
Целью диссертационной работы является построение теории дипольно-
обменных спиновых волн, распространяющихся в микро- и наноразмерных
пленочных ферромагнитных волноводах прямоугольного сечения,
намагниченных под произвольным углом к поверхности.
В соответствии с поставленной целью основными задачами
диссертационного исследования являются:
1. Построение теории дипольно-обменных спиновых волн в пленочных ферромагнитных волноводах, учитывающей анизотропию формы и произвольный характер закрепления поверхностных спинов.
-
Анализ влияния величины и направления внешнего однородного магнитного поля, а также геометрических размеров волновода, на пространственное распределение внутреннего статического магнитного поля в ферромагнитных пленочных волноводах прямоугольного сечения.
-
Исследование формирования дисперсионных характеристик толщинных и ширинных мод дипольно-обменного спектра ферромагнитного пленочного волновода для различных направлений его намагничивания.
-
Анализ влияния геометрических размеров волновода и магнитных параметров материала волновода на спектр и дисперсионные характеристики бегущих спиновых волн.
-
Изучение дисперсии и свойств локализованных спиновых волн с учетом формирования магнитных ям, возникающих вблизи границ касательно намагниченного волновода, а также сопоставление теоретических и известных экспериментальных результатов.
Объекты исследования
В качестве объектов исследования использовались спиновые волны,
возбуждаемые в ферромагнитных волноводах, имеющих в сечении
прямоугольную форму. Материалами волноводов были пермаллой и железо-иттриевый гранат.
Методологическая и теоретическая основа исследований заключаются в использовании общепринятых методов теоретической физики и физики колебаний и волн. В частности, при теоретическом исследовании распространения спиновых волн использовался метод тензорных функций Грина, основанный на совместном решении уравнений Максвелла и уравнения движения намагниченности с учетом электродинамических и обменных граничных условий. При численных расчетах был использован математический пакет Wolfram Mathematica.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Построена теория дипольно-обменных спиновых волн в пленочных ферромагнитных волноводах, намагниченных под произвольным углом к поверхности. Теория учитывает анизотропию формы и произвольный характер закрепления поверхностных спинов.
-
Проведено теоретическое исследование спектра нормальных объемных и локализованных мод ферромагнитного пленочного волновода прямоугольного сечения. Рассчитаны спектры и распределения амплитуды дипольно-обменных спиновых волн для таких волноводов.
-
Изучены особенности спектра локализованных спиновых волн с учетом магнитных ям, существующих вблизи границ касательно намагниченного волновода. Дано объяснение эффектам, наблюдаемым при распространении локализованных мод в пермаллоевых микроволноводах.
Новые научные результаты, полученные в ходе выполнения работы, позволили сформулировать научные положения, выносимые на защиту:
1. В ферромагнитных пленочных волноводах, имеющих прямоугольное сечение, для толщинных мод низшего типа возникает частота отсечки,
которая сдвинута по частоте вверх для случая нормального намагничивания. Величина сдвига частоты отсечки основной моды возрастает с уменьшением ширины волновода и не изменяется при увеличении внешнего магнитного поля.
-
В ферромагнитных пленочных волноводах, имеющих прямоугольное сечение, для толщинных мод низшего типа возникает частота отсечки, которая сдвинута по частоте вверх для волновода, намагниченного вдоль направления распространения спиновой волны. Величина сдвига частоты отсечки основной моды возрастает с уменьшением ширины волновода и уменьшается при увеличении внешнего магнитного поля.
-
В ферромагнитных пленочных волноводах, имеющих прямоугольное сечение, для толщинных мод низшего типа возникает частота отсечки, которая сдвинута по частоте вниз для волновода, намагниченного по касательной поперек направления распространения спиновой волны. Величина сдвига частоты отсечки основной моды возрастает с уменьшением ширины волновода и уменьшается при увеличении внешнего магнитного поля.
-
Локализованные моды возникают в «магнитных ямах», которые образуются вблизи краев ферромагнитного пленочного волновода, намагниченного по касательной поперек направления распространения спиновой волны. Причиной возникновения магнитных ям является анизотропия формы. С ростом ширины волновода область локализации спиновых волн уменьшается, а спектр локализованных мод разрежается, так как магнитные ямы по краям волновода становятся уже. С ростом внешнего магнитного поля область локализации спиновых волн увеличивается, а спектр локализованных мод обогащается, так как магнитные ямы по краям волновода становятся глубже.
Практическая ценность диссертационной работы состоит в следующем.
-
Предложена теоретическая база для корректного расчета дисперсионных характеристик и распределений амплитуд колебаний намагниченности в ферромагнитных волноводах. Полученные результаты можно использовать при разработке приборов спин-волновой электроники и спинтроники.
-
Создан пакет программ, позволяющий численно рассчитывать дисперсионные характеристики и распределения амплитуд колебаний намагниченности в ферромагнитных пленочных волноводах.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были
представлены и обсуждались на ряде конференций и семинаров различного уровня, в частности, Joint European Magnetic Symposia (Parma, 2012), Donostia international conference on nanoscaled magnetism and application (Donostia, 2013), V Euro – Asian Symposium “Trends in MAGnetism”: Nanomagnetism (Vladivostok, 2013), Всероссийской конференции «Микроэлектроника СВЧ» (Санкт-Петербург, 2013 и 2014), международной молодежной конференции ФизикА.СПб (Санкт-Петербург, 2015).
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 9 печатных работ, в том числе 3 статьи в научных журналах и тезисы к шести докладам на научно-технических конференциях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 108 наименований. Основная часть работы изложена на 89 страницах машинописного текста. Работа содержит 45 рисунков.
Спектр нормальных спиновых волн в ферромагнитных пленочных волноводах
Построение строгой теории нормальных колебаний и волн требует учета как диполь-дипольного, так и обменного взаимодействий. В такой постановке теоретические исследования волновых явлений представляют достаточно сложную задачу, поэтому ее решение обычно получают при ряде физически оправданных предположений. В частности, теория длинноволновых магнитных колебаний и волн [19, 20] развита в пренебрежении обменным взаимодействием. В случае коротких СВ пространственную дисперсию нельзя не принимать во внимание. Однако, когда длина волны значительно меньше размеров ферромагнитного образца, учет граничных условий теряет смысл (что определяет приближение плоских волн). Таким образом, в случае ферромагнитных тел не слишком малых размеров существуют довольно широкие интервалы волновых чисел, в которых либо справедливо безобменное приближение, либо несущественное значение имеют краевые эффекты [21].
В случае пленочных ферромагнетиков, приближения, которые были физически оправданы для объемных образцов, несправедливы. Поэтому строгое теоретическое рассмотрение неоднородных спиновых колебаний и волн в ферромагнитных пленках должны проводиться в общем виде, то есть при одновременном учете как диполь-дипольного, так и обменного взаимодействия.
Задачу по поиску нормальных спиновых колебаний и волн при одновременном учете диполь-дипольного и обменного взаимодействий, а также электродинамических и обменных ГУ, чаще всего решают двумя подходами. Эти подходы отличаются последовательностью совместного интегрирования уравнения движения намагниченности и уравнений магнитостатики.
При первом подходе сначала решается уравнение движения. В результате находят тензор высокочастотной магнитной восприимчивости. Затем его подставляют в уравнения Максвелла и, вводя магнитостатический потенциал, получают дифференциальное уравнение шестого порядка [22-30]. Наложение электродинамических и обменных ГУ приводит к системе однородных алгебраических уравнений. В общем случае произвольного направления намагничивания дисперсионное уравнение записывается в виде равного нулю определителя шестого порядка.
Второй подход к решению задачи о спектре дипольно-обменных СВ получил название метода тензорных функций Грина [31, 32]. В рамках такого подхода сначала решают уравнения Максвелла в магнитостатическом приближении и находят связь между переменным дипольным полем и переменной намагниченностью. Эта связь задается с использованием тензорной функции Грина, выражение для которой находят в ходе решения этих уравнений. Далее выражение для переменного дипольного поля подставляется в уравнение движения намагниченности. В итоге получается интегро-дифференциальное уравнение для переменной намагниченности m.
Решение интегро-дифференциального уравнения осуществляется с помощью разложения по спин-волновым модам (СВМ). Дисперсионное уравнение записывается в виде равного нулю определителя матрицы, составленной из коэффициентов бесконечной системы уравнений, полученной в результате разложения по СВМ. В рамках метода тензорных функций Грина исследованы спектры дипольно-обменных СВ в ферромагнитных пленках, намагниченных под произвольным углом к их плоскости [33, 34].
Оба метода приводят к одинаковым результатам, однако, по мере усложнения теории (учет обменного взаимодействия, произвольного направления внешнего магнитного поля, кристаллографической анизотропии и др.), поиск и анализ спектра, получаемого методом магнитостатического потенциала, усложняется применением численных методов решения и сложностью анализа промежуточных вычислений. Данные сложности возникают за счет того, что данный метод приводит к неявной зависимости частоты СВ от волнового числа в виде трансцендентных уравнений. Однако, благодаря данному методу были выведены приближенные уравнения, в явном виде описывающие закон дисперсии СВ [35, 36]. В свою очередь метод тензорных функций Грина позволяет получить как точные, так и приближенные дисперсионные уравнения, в явном виде описывающие закон дисперсии дипольно-обменных СВ. Эффективность использования метода тензорных функций Грина при исследовании спектра СВ а также процессов линейного и параметрического возбуждения, была продемонстрирована в серии работ [34, 37-39].
Полученные в рамках магнитостатического приближения спектры СВ можно считать достаточно точными в широком диапазоне волновых чисел. Существенное отличие результатов, полученных с использованием магнитостатического приближения и полной системы уравнений Максвелла, наблюдается только в длинноволновой части спектра (то есть при сравнительно малых волновых числах), где фазовые скорости спиновых и электромагнитных волн оказываются сравнимым. При этом диапазон волновых чисел, в котором магнитостатическое приближение оказывается неприменимым, зависит от частотного диапазона СВ и значений диэлектрической проницаемости ферромагнитного слоя и окружающих его диэлектрических слоев. В частности, магнитостатическое приближение дает значительную погрешность в миллиметровом диапазоне длин электромагнитных волн и в случае, когда ферромагнитный слой контактирует с диэлектрическими слоями, обладающими большими значениями диэлектрической проницаемости (например, с сегнетоэлектрическими слоями). Для корректного описания свойств СВ, в этих случаях необходимо применять полную электродинамическую теоретическую модель, основанную на полной системе уравнений Максвелла. Получаемые в результате расчета такой задачи дисперсионные характеристики называют спектром электромагнитно-спиновых волн. Данному вопросу были посвящены работы [40-47] где строились спектры для различных многослойных структур на основе феррита и сегнетоэлектрика. Следует отметить, что все эти работы были рассчитаны в безобменном приближении.
Распределение внутреннего статического поля
Геометрия исследуемой волноведущей структуры приведена на рисунке 2.1. Будем рассматривать регулярный ферритовый волновод прямоугольного сечения с толщиной L, шириной w и намагниченностью насыщения М0. Ферромагнитный волновод однородно намагничен до насыщения постоянным магнитным полем Н0 произвольного, но заданного направления. Ферритовый волновод считается изотропным и неограниченным в направлении оси С,.
Ось совпадает с направлением распространения волны. Для удобства анализа вводятся две координатные системы: 1 л\С, - связана с направлением распространения спиновых волн и xyz - связана с направлением равновесной намагниченности М0 (считаем, что для изотропного однородно намагниченного волновода направление равновесной намагниченности М0 совпадает с направлением внешнего поля Н0). Взаимное расположение систем координат задаётся с помощью углов ф и 0. Переход от системы координат цй,, связанной с направлением распространения волн, к системе координат xyz, связанной с направлением равновесной намагниченности, можно представить в виде двух последовательных ортогональных преобразований поворота вокруг оси 2, на угол ср и вокруг оси у на угол 0 - л / 2:
Уравнение движения намагниченности или уравнение Ландау-Лифшица для переменной намагниченности М(г,ґ) в системе СИ имеет следующий вид [49]: dt gjLl0 (2.2) где - эффективное магнитное поле, g = l,76-10 КI кг - гиромагнитное отношение для спина электрона, JLX0 = м - магнитная проницаемость вакуума. Для малых колебаний магнитного момента около равновесного положения полный магнитный момент М(г,ґ) всегда можно представить в виде суммы частотно-независимой статической части М0(г) и динамической части m(r,t) : M(r,f) = M0(r) + m(r,f), т«М0, (2.3) где М0(г) - равновесное значение магнитного момента в основном состоянии, а m(r,t) - малое отклонение М(г,ґ) от положения равновесия М0, причем m _L М0. Полное эффективное магнитное поле Не# представим в виде суммы внутреннего статического магнитного поля Hint, переменного дипольного поля hd и поля неоднородного обменного взаимодействия hex(r,0 = ocV2m(r,0 : neff (r,0 = Hint (r) + hex (r,0 + hd (r,0. (2.4) Постоянное внутреннее магнитное поле Hint определяется векторной суммой внешнего магнитного поля Н0 и статического дипольного поля Н или, иными словами, поля анизотропии формы образца: Hint (г) = Н0 + Hd(r). (2.5) Теперь воспользуемся формулами (2.3)-(2.5) и подставим их в уравнение движения намагниченности (2.2), затем, воспользовавшись условием малости m , h , и hex; получим уравнение движения для нахождения переменной намагниченности в линейном приближении: dm(r,t) dt g JLLQ m(r,0 x Hint (r) + M0(r) x hex(r,0 + M0(r) x hd(r,t)] (2.6) При решении данной линейной задачи переменное дипольное поле и переменная намагниченность могут быть представлены в виде разложения в ряд Фурье по неоднородным плоским волнам: т(г,0 = Ет(5,лДС) С+ И , где m(4 , nUq), Ь ,лДс) векторные Фурье-амплитуды переменной намагниченности и переменного дипольного поля соответственно, fa продольное волновое число для спиновых волн, бегущих вдоль оси с Дальнейшей задачей будет получение уравнения (2.6) относительно переменной m( ,r, ), причем решения мы будем искать в координатах xyz. Согласно методу тензорных функций Грина, связь амплитуд Фурье разложения (7) переменного дипольного магнитного поля h (,,г, ) с переменной намагниченностью m( ,r,A ) находится из полной системы уравнений Максвелла в интегральной форме: L/2 w/2 Ь ,Л;С)= J J G( ;л,Л,;Уm( ,; , , (2.8) -L/l-w/2 Обобщенная тензорная функция Грина 0( ;л,л ; У для ферритового волновода прямоугольного сечения была получена в работе [92] из решения соответствующей граничной задачи электродинамики в следующем виде: С( , ;л,л ; ) (2.9) Компоненты тензорной функции Грина можно найти в Приложении А (см. формулы (А1)-(А9)).
Подставим в линеаризованное уравнение (2.6) соответствующие выражения для внутреннего статического магнитного поля Hint(r) (2.5), для переменного дипольного поля hJ(r,0 (8) и поля неоднородного обменного взаимодействия ЗО hra(r;) = aV2m(r,/), где a константа неоднородного обменного взаимодействия. Затем производим переход в систему координат xyz, где вектор переменной намагниченности m(r,t) имеет только две компоненты х и у, для этого воспользуемся ортогональными преобразованиями (1). И далее, разлагая в ряд Фурье (7), после несложных преобразований для однородно намагниченного ферритового волновода получим систему интегро-дифференциальных уравнений для Фурье-амплитуд переменной намагниченности:
Зависимость распределения внутреннего поля от направления внешнего намагничивающего поля
Далее будем рассматривать только профили распределений внутреннего нормированного поля в сечении =0.
В случае нормального намагничивания (рисунок 3.2, а) внутреннее поле в волноводе можно приближенно принять равным Hz int =H0- M0, что, в свою очередь, подтверждает возможность применения данного приближения для довольно широких волноводов. В отличие от касательно намагниченного волновода (рисунок 3.1, б), у нормально намагниченного волновода поле вблизи граней волновода завышено относительно поля в объеме образца. Так как вдоль оси образец не ограничен, при намагничивании вдоль этой оси размагничивающее поле равно нулю, а, следовательно, внутреннее поле равно величине внешнего поля Hz int = H0 (рисунок 3.2, б). Существование областей внутри волновода, где поле сильно неоднородно, может являться обоснованием для введения эффективных размеров, которыми пользуются в приближенных теоретических моделях, не учитывающих неоднородность внутреннего поля [78]. Например, глядя на 3.1, б можно считать, что эффективная ширина волновода we меньше его действительной ширины w.
В случае нормального намагничивания (рисунок 3.2, а) внутреннее поле в волноводе можно приближенно принять равным Hz int =H0- M0. Это подтверждает возможность применения данного приближения для довольно широких волноводов. В отличие от касательно намагниченного волновода (рисунок 3.1, б), у нормально намагниченного волновода поле вблизи граней волновода завышено относительно поля в объеме образца. Так как вдоль оси образец не ограничен, при намагничивании вдоль этой оси размагничивающее поле равно нулю, а, следовательно, внутреннее поле равно величине внешнего поля Hz int = H0 (рисунок 3.2, б). а
Наиболее интересным направлением намагничивания является касательно намагниченный волновод при 9 = :г/2,Ф = л/2. Только при данном направлении намагничивания вблизи граней наблюдается неоднородность внутреннего поля, приводящая к возникновению областей с заниженным внутренним полем, в которых возможно распространение локализованных спиновых волн (рисунок 3.3).
Ряд профилей внутреннего нормированного магнитного поля при различных отношениях ширины к толщине: а – w/L=25, б – w/L=50, в – w/L=100 Рассмотрим, как изменяется профиль внутреннего поля волновода в зависимости от отношения ширины волновода к его толщине w/L. Из рисунка 3.3 ясно, что, чем ближе форма сечения волновода к квадратному, тем больше кривизна поля внутри волновода и тем меньше эффективная ширина, внутри которой можно считать внутреннее поле однородным. Кроме того, на рисунке 3.3, а видно, что поле занижено не только вблизи граней волновода, но и во всем его объеме. Этим можно объяснить присутствие в большинстве приближенных теорий эффективного внутреннего статического поля, которое является подгоночным параметром при сравнении теории с экспериментом. В рамках нашего расчета не требуется вводить никаких эффективных параметров, так как внутреннее поле автоматически учитывается как интеграл свертки при разложении по спин-волновым модам (А21).
Главной причиной возникновения локализованных спин-волновых мод является неоднородность внутреннего поля. Как показал эксперимент [10], область локализации сосредоточена вблизи боковых границ волновода. Из рисунка 3.1, а можно увидеть, что вблизи этих границ поле сильно неоднородно и занижено. По аналогии с квантовой ямой было введено понятие «магнитная яма» - это геометрическое пространство внутри ферромагнитного образца конечных размеров, где внутреннее поле занижено относительно всего объема этого образца.
Для дальнейших рассуждений требуется затронуть вопрос намагничивания волновода малыми внешними магнитными полями. Малым полем намагничивания мы будем называть поля Н0 М0 /2. При таких полях z проекция внутреннего поля принимает отрицательные значения, что противоречит исходной постановке задачи. Вследствие этого мы будем считать, что внутреннее поле равно нулю, если оно будет принимать отрицательные значения. Таким образом, внутреннее поле будет задаваться в следующем виде: Нт\ Ч) = \ . .и (3.2) Очевидно, что спектр локализованных спин-волновых мод будет определяться шириной и глубиной магнитных ям. Поэтому вначале исследуем зависимость глубины магнитной ямы Я1ос и ее ширины wloc от величины внешнего поля Я0 и отношения ширины к толщине волновода w/L.
На рисунке 3.4 представлены профили внутреннего поля для волноводов из ЖИГ и пермаллоя, намагниченных в направлении =900, =900. Величина внешнего магнитного поля H0=2700 Э. Оба волновода имеют соотношение сторон w/L=20. Из представленных зависимостей следует, что глубина Hloc и ширина wloc магнитных ям по краям волновода определяются не только отношением геометрических размеров волновода w/L, но и материалом образца, а именно, его намагниченностью насыщения, и не зависят от абсолютных
Случай касательного намагничивания волновода поперек направления распространения спиновой волны
В заключение параграфа рассмотрим влияние закрепления спинов на боковых гранях волновода на спектр ширинных мод. На рисунке 3.17 показан спектр ширинных мод, рассчитанный для случая свободных поверхностных спинов на боковых гранях волновода. Из сравнения графиков на рисунках 3.14 и 3.17 видно, что влияние закрепления спинов на боковых гранях пленочного волновода пренебрежимо мало. Это можно объяснить тем, что обменное взаимодействие вносит заметный вклад только в коротковолновые спин-волновые возмущения со сравнительно большими значениями волновых чисел порядка 106 рад/см. Для ширины волновода w=25 мкм значения поперечного волнового числа к = qn I w для разных ширинных мод лежат в пределах 103-104
рад/см. Следовательно, закреплением поверхностных спинов на боковых гранях волновода можно пренебречь.
3.2.2.2. Случай касательного намагничивания волновода вдоль направления распространения спиновой волны
Исследуем спектр толщинных мод (n5, q=1) продольно намагниченного волновода (=90о, =0о) полем величиной H0=500 Э. Для проведения сравнительного анализа волноводов, намагниченных под различными углами, будем производить исследования при одинаковых геометрических размерах и практически одинаковых внутренних полях. Возьмем прямоугольный волновод на основе пленки ЖИГ с соотношением сторон в сечении w/L=25. На верхней и нижней поверхностях спины будем считать свободными //1=0, а на боковых гранях закрепленными rf2.
Из рисунка 3.18 видно, что при продольном направлении намагничивания ширинные моды волновода имеют отрицательную групповую скорость. В соответствии с общепринятой терминологией будем их называть обратными объемными спиновыми волнами (ООСВ). Как и в спектре нормально намагниченного волновода (рисунок 3.9), при к=0 наблюдается волноводный эффект, который проявляется в виде сдвига основной моды вверх по частоте на А/= 160 МГц.
Спектр толщинных мод волновода (L=10 мкм, w=250 мкм), продольно намагниченного внешним полем H0=500 Э Сдвиг основной моды вверх по частоте обусловлен тем, что в направлении при данном направлении намагничивания будут распространяться поверхностные спиновые волны, дисперсия которых имеет положительную групповую скорость. Для того чтобы оценить сдвиг частоты, можно построить спектр ПСВ для данной толщины L=10 мкм и найти частоту, соответствующую поперечному волновому числу кх = л I w. Полученная частота будет соответствовать точке, из которой начнется дисперсионная кривая основной моды пленочного волновода шириной w=250 мкм. Кроме того, основное отличие от спектра нормально намагниченного волновода (рисунок 3.9) тех же геометрических размеров состоит в том, что основная мода пересекает высшие моды даже в отсутствии влияния обменного взаимодействия.
Рассмотрим изменение спектра при уменьшении размеров поперечного сечения волновода. На рисунке 3.19 изображен спектр, рассчитанный для случая волновода с размерами L=1 мкм и w=25 мкм. Из рисунка видно, что за счет обменного взаимодействия, высшие моды поднимаются вверх по частоте. Количество высших мод, с которыми пересекается основная мода, уменьшается. Все моды имеют меньшую групповую скорость за счет того, что толщина пленки уменьшилась.
Теперь рассмотрим результаты моделирования спектра ООСВ в случае, когда спины закреплены на всех поверхностях волновода, то есть 1, 2. Сравнивая спектры на рисунках 3.18 и рис. 3.20, а видно, что закрепление спинов на верхней и нижней поверхностях волновода приводит к появлению дипольных щелей в точках пересечения нечетных мод. Как и в случае свободных спинов (рисунок 3.19), уменьшение толщины приводит к подъему по частоте высших мод. Также наблюдается дипольное расталкивание между первой и третьей толщинными модами. Результаты расчетов показывают, что дипольная связь между основной и высшими модами возрастает с уменьшением толщины пленки (см. вставку на рисунке 3.20, а и рисунок 3.20, б).
Изучим влияние внешнего магнитного поля на спектр СВ в продольно намагниченном волноводе, для чего увеличим внешнее поле в два раза до H0=1000 Э. Сравнительный анализ двух спектров (рисунки 3.18 и 3.21) показывает, что спектр на рисунке 3.21, как и ожидалось, лежит выше по частоте. При увеличении внешнего магнитного поля уменьшается сдвиг по частоте основной моды, обусловленный волноводным эффектом, до А/" = 100 МГц. При этом, точка пересечения основной моды и высших мод сдвигается в сторону меньших волновых чисел при увеличении внешнего поля. Это можно качественно объяснить следующим образом. Как описывалось ранее для случая ПОСВ, указанный подъем частоты основной моды на /объясняется тем, что результирующий волновой вектор к является суммой продольной составляющей к и поперечных составляющих к = qn/w и кп=пп/L, соответствующих волновым числам ширинных и толщинных мод. Ширинная мода для случая ООСВ имеет волновое число к направленное в плоскости пленки перпендикулярно внутреннему полю. Такая парциальная волна соответствует поверхностной спиновой волне (ПСВ), у которой групповая скорость положительна.