Содержание к диссертации
Введение
1 Представление функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине, помещенном в анизотропную плазму, в виде ряда по нормальным волнам 19
1.1 Уравнение Гельмгольца с граничными условиями импе-дансного типа 19
1.2 Определение нормальных волн 23
1.3 Функция Грина задачи дифракции на импедансном клине в виде ряда нормальных волн 29
2 Анализ и представление функции Бобровникова, входящей в решение задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине 36
3 Дифракция плоской электромагнитной волны на импедансном клине в анизотропной среде 42
3.1 Суммирование ряда нормальных волн 42
3.2 Предельный переход к изотропной задаче 44
3.3 Преобразование решения к виду, удобному для анализа 44
3.3.1 Деформация контура интегрирования 44
3.3.2 Выделение полюсов тригонометрических множителей 46
3.3.3 Выделение полюсов специальных функций 47
3.3.4 Преобразование решения методом эталонного интеграла 48
3.4 Полное выражение для решения задачи дифракции плоской волны и физический смысл его членов 51
3.5 Равномерная асимптотическая формула для краевой волны в дальней зоне с учетом полюсов вблизи контура интегрирования 55
3.6 Предельный переход к задаче дифракции плоской волны на идеально проводящей полуплоскости в изотропной среде 56
3.7 Анализ решения на основе численного моделирования 59
3.7.1 Границы применимости асимптотического приближения и роль краевой волны 59
3.7.2 Экспоненциальный рост амплитуды поверхностных волн в анизотропных средах 60
3.7.3 Вклад отдельных компонент в полное поле 63
4. Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на импедансном клине в анизотропной среде 79
4.1 Источник на ребре клина 79
4.2 Суммирование ряда нормальных волн 79
4.3 Преобразование решения к виду, удобному для анализа 86
4.3.1 Первый этап преобразования 86
4.3.2 Второй этап преобразования 88
4.3.3 Третий этап преобразования 94
4.4 Физический смысл членов решения задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине 101
4.5 Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на импедансном клине в изотропной плазме 104
5 Схема построения равномерной асимптотики для задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме 106
5.1 Асимптотическое выражение для пространственной части поля 106
5.2 Выделение полюсов, находящихся вблизи контура интегрирования в выражении, описывающем краевую волну 108
5.3 Неполная функция Ханкеля 113
5.3.1 Разложение модифицированной неполной функции Ханкеля при больших Л 114
5.3.2 Представление модифицированной неполной функции Ханкеля при малых Л 116
5.3.3 Численное интегрирование модифицированной неполной функции Ханкеля 120
5.3.4 Алгоритм вычисления модифицированной неполной функции Ханкеля 122
Заключение 124
Приложения
- Функция Грина задачи дифракции на импедансном клине в виде ряда нормальных волн
- Анализ и представление функции Бобровникова, входящей в решение задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине
- Деформация контура интегрирования
- Суммирование ряда нормальных волн
Введение к работе
Тема исследования и общая характеристика работы
Диссертация посвящена исследованию задачи дифракции плоской и
цилиндрической электромагнитных волн на импедансном клине, поме
щенном в анизотропную среду. К подобной задаче часто можно свести
^ многие прикладные проблемы радиофизики, акустики и оптики, напри-
мер распространие радиоволн над поверхностью со скачками диэлектрических свойств, отражение волн от от сложных структур и т.д.. В работе построено аналитическое решение и проведены расчеты полей, а так же оценены границы применимости различных приближений.
Аналитическое решение строится отличным от ранее используе
мых методом , основанном на представлении функции Грина в виде
ряда нормальных волн [1]. Под нормальными волнами подразумева-
^ ются решения однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие
импедансным граничным условиям на гранях клина. При этом использованы нормальные волны двух типов: ограниченные на ребре и удовлетворяющие условию излучения. Из функции Грина в виде ряда нормальных волн получены интегральные решения задач дифракции плоской и цилиндрической волн. Для специальной функции, входящей в выражение для краевой волны и эталонного интеграла для двукратного интеграла Зоммерфельда, разработаны эффективные алгоритмы, удобные для расчетов. Выражения для полей приведены к наглядному виду, показывающему вклад отдельных частей (компонент) поля, и удобному для численного анализа. По ним произведены расчеты как составляющих так и полного поля. Эти результаты также использовались для сравнения импедансной постановки задачи дифракции плоской волны на плоскости со скачком импеданса и строгого решения задачи дифракции плоской волны на двух соприкасающихся прямоугольных диэлектрических клиньях [27].
Диссертация содержит необходимые формулы и методики для расчета всех компонент поля, включая геометрооптическую часть, поверх-
ностные волны и краевую волну, для произвольных угла раствора клина, расположения источника и точки наблюдения. Полученные результаты могут быть обобщены на широкий класс задач, включая систему соприкасающихся клиньев.
Обзор литературы
Для моделирования работы радиолокационного оборудования часто необходимо знать точные значения полей в широком диапазоне частот и свойств поверхности уголкового отражателя, использующегося в качестве модельного элемента для реальных устройств в радиолокации [2, 3]. Поэтому проблема дифракции волн на клиновидных объектах, помещенных в изотропную или анизотропную среду, привлекла к себе внимание исследователей еще в 60-х годах и количество публикаций на эту тему не уменьшается к настоящему времени [4, 5].
И Существует много подходов к математической формулировке про-
блемы. Из них наиболее полно изучены задачи дифракции полей простейшего вида - плоские, цилиндрические и сферические волны - на простых структурах (плоскость, полуплоскость, клинья с определенными растворам) в тех случаях, когда возможно провести разделение переменных в уравнениях Максвелла и свести задачу к скалярному уравнению Гельмгольца.
Одной из первых работ по построению решения, пусть и прибли
женного, дифракции на идеально проводящей полуплоскости или приз
ме была работа Пуанкаре [б], в которой использовалось представление
^ поля в виде рядов цилиндрических функций. В дальнейшем Макдо-
нальд в работах [7, 8] обобщил метод Пуанкаре и получил строгие решения задач дифракции плоских, цилиндрических и сферических волн на клине с граничными условиями Дирихле и Неймана.
Спустя два года после публикации работы Пуанкаре первые строгие результаты для дифракции на полуплоскости были получены Зом-мерфельдом [28], который развил теорию построения решения задач
дифракции в виде интеграла по контуру в комплексной плоскости, из которого легко получить асимптотики для кг ^> 1 [29].
Для клина с идеально проводящими гранями в [9, 10] был использован метод мнимых источников, с помощью которого, в случае если угол раствора клина можно представить в виде рационально дроби т/п, решение можно представить в виде суммы полей истинного источника и 2п — 1 мнимых. При использовании этого метода в решении отсутствуют краевые волны. Благодаря своей простоте, этот метод, с уточненным законом отражения, учитывающем граничные условия, используется и сейчас. Например, в [3, 11] получены выражения для полного поля электромагнитной волны в раскрывах двугранной структуры с взаимно перпендикулярными бесконечно протяженными проводящими гранями, включая трехмерный случай [11]. Также для задачи дифракции на клине, как показали Вайнштейн и Уфимцев [12], можно применять лучевой метод.
В предельном случае, когда клин переходит в полуплоскость, возможно использование преобразования Фурье и теории аналитических функций. Преобразование Фурье применяется к уравнению Гельмголь-ца [13], а граничные условия накладываются на плоские волны, из которых состоит решение. В конечном итоге получаются функциональные уравнения для функций в комплексной плоскости, решаемые по методу Винера-Хопфа-Фока или методом факторизации [14, 15]. Первым исследованием, связанным с применением метода Винера-Хопфа-Фока, была работа [16], в которой исследовалось нормальное падение плоской волны на металлическую полуплоскость. В дальнейшем в работе [17] эти результаты были обобщены на случай произвольного угла падения. В последующие годы этот метод был распространен на случай дифракции электромагнитных волн, излучаемых расположенными параллельно ребру полуплоскости нитями тока и диполями, на идеально проводящей полуплоскости [18], анизотропной импедансной полуплоскости [19, 20], клине с одинаковыми импедансами на гранях, помещенном в анизотропную плазму [21]. Из последних работ следует отметить [22], в которой строится решение задачи дифракции плоской
волны на импедансном клине, при этом выделяются отдельные части полного поля: отраженные волны, поверхностные и краевая волна. Однако методом Винера-Хопфа-Фока можно получить решения только для задач с прямоугольной геометрией (плоскость, полуплоскость, прямоугольный клин).
Другим направлением, отличным от представления решения в виде рядов, являются построение решения уравнения Гельмгольца с помощью интегральных преобразований Конторовича-Лебедева [23, 24]. С их использованием построено решение задачи дифракции цилиндрической волны в интегральном виде на идеально проводящей полуплоскости [23], а также на идеально поглощающем [25], идеально проводящем [26], диэлектрическом [27] клине и клине с граничными условиями высокого порядка [27]. Эти решения, как показано в [23], могут быть преобразованы в ряд по функциям Бесселя и сведены к результатам, полученным вышеуказанными методами. Альтернативным типом интегрального преобразования является преобразование Зоммерфельда-Малюжинца [29, 30]. При этом, как показано в [23], нетрудно перейти от интегралов Зоммерфельда к рядам и интегралам Конторовича-Лебедева [26]. А в [41] доказано, что формулы из обобщенной геометрической теории дифракции переходят в соответствующие решения, полученные методом Зоммерфельда-Малюжинца.
Хотя существует еще множество способов решения задачи дифракции на клиновидной структуре, включая довольно нетрадиционные, например с использованием волновой теории катастроф [78], рассмотрим подробнее метод Малюжинца, как наиболее близкий к теме настоящее диссертации.
В своих работах Малюжинец обобщил метод Зоммерфельда для описания волнового поля в угловых областях с заданными им-педансами на гранях, произведя исследование свойств интеграла Зоммерфельда-Малюжинца [30, 32, 33, 34]. В результате он доказал ряд теорем, предложив систематический подход для нахождения неизвестной подынтегральной функции, основанный на свойстве регулярности этой функции в определенных областях и ее четности. Таким
образом Малюжинец свел проблему дифракции на клиновидных областях к решению специальных функциональных уравнений.
На основе работ Малюжинца исследователями был построен ряд решений задач дифракции на импедансных клиновидных структурах, в частности в работе [35] приведено решение для импедансной полуплоскости, а в [4] исследован случай падения плоской волны на диэлектрический клин с граничными условиями из [36], аналогичные результаты получены в [37]. Для случая падения плоской волны на импедансный клин в [38] на основе метода Малюжинца получены асимптотики, не являющиеся равномерными. В [39] методом Зоммерфельда-Малюжинца строится решение задачи дифракции на анизотропном импедансном клине с прилегающей к нему идеально проводящей плоскостью.
По формулам Малюжинца производились численные расчеты полей. В [40] проанализировано поведение дифракционной части поля в зависимости от комплексных значений импеданса клина и угла падения волны при больших расстояниях от клина, допускающих использование асимптотик, подсчитан поперечник обратного рассеяния в зависимости от значений комплексного импеданса граней при различных углах падения плоской волны. Однако при этом импеданс считался одинаковым для обеих граней, а при вычислении функции Малюжинца, входящей в решение, автор не привел погрешности алгоритмов.
С начала 60-х годов в Сибирском физико-техническом институте проводились исследования двумерной дифракции электромагнитных волн в угловых областях [42, 43, 44, 45]. Их итогом является монография [46], в которой приведены решения задач дифракции плоской и цилиндрической волн на импедансном клине в анизотропной плазме. Однако авторы ограничились нахождением ядра в интегралах Малюжинца-Зоммерфельда [42, 46] и исследовали решения только при отдельных сочетаниях параметров задач, при которых удавалось избавиться от специальной функции, входящей в подынтегральное выражение, которую в дальнейшем будем именовать, по аналогии с функцией Малюжинца [34], функцией Бобровникова. Таким способом было
построено решение для источника на ребре идеально проводящей полуплоскости в анизотропной плазме [43], решение о возбуждении в анизотропной плазме плоскости со скачком импеданса линейным источником, расположенным в области скачка, как частный случае источника на ребре клина [44], решение задачи дифракции плоских волн на клине с одинаковыми импедансами на обеих гранях и углом раствора 2ф = 7г/(1+2га), где п - целое число [45] Кроме того, схема решения функциональных уравнений, использованная Бобровниковым, Фисано-вым и другими, является полуэмпирической.
На основе решения Бобровникова рядом авторов были рассмотрены такие задачи, как дифракция плоской волны на полуплоскости с одинаковыми импедансами на обеих сторонах, помещенной в анизотропную плазму, включая попытку построения равномерной асимптотики [47], на прямоугольном клине с одинаковыми импедансами на обеих гранях, помещенном в анизотропную плазму [48], поле щелевого излучателя на ребре импедансного клина с углом раствора 2ф = 37г/2 в анизотропной плазме [49], дифракция плоской волны на плоскости со ступенькой импеданса в анизотропной плазме, с численным исследованием полученных результатов [50],
В 1997 году вышла статья Авдеева [1] о дифракции на клине в изотропной плазме, в которой был предложен новый метод построения решений функциональных уравнений, дополняющий схему построения решения Зоммерфельда-Малюжинца. Главным достоинством этого метода является то, что его общая схема применима к другим задачам дифракции на клиновидных структурах, что было сделано в настоящей диссертации для задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме.
Таким образом, в настоящее время, наиболее простой и лучше всего изученный способ решения дифракционных задач на клиновидных структурах в случае возможности сведения уравнений Максвелла к скалярному уравнению Гельмгольца, сводится к четырем шагам:
Выбору граничных условий.
Построению решения по методу Зоммерфельда-Малюжинца-Авдеева в виде двукратного интеграла Зоммерфельда-Малюжинца.
Вычислению специальной функции типа функции Малюжинца.
Вычислению однократных и двукратных интегралов Малюжинца-Зоммерфельда с полюсом вблизи седловой точки.
Существует несколько подходов к выбору граничных условий, но наиболее простым из них является использование приближенных им-педансных граничных условий Леонтовича [31]. Введение приближенных импедансных граничных условий Леонтовича вместо точных граничных условий позволяет оперировать только величинами, характеризующими поле во внешней среде [31].
Построение решений дифракционных задач с использованием им-педансной постановки позволяет рассмотривать произвольную геометрию для широкого класса задач, избежав ряда проблем, возникающих при строгом решении задачи дифракции цилиндрической волны в структурах с клиновидными границами раздела сред методом Конторовича-Лебедева [27], а именно, необходимости применять цилиндрические функции с комплексными значениями аргумента и значка и вычисления производных функций Бесселя. При этом исходные уравнения мало меняются и можно использовать один метод решения для многих задач. Эти достоинства способствовали тому, что и в современных работах по дифракции на клиновидной области широко используется импедансная постановка.
Главным недостатком импедансной постановки задачи дифракции на клине является некорректность использования импедансного подхода вблизи ребра клина. Однако, как показано в работе [69], существуют лишь небольшие различия для поля на малых расстояниях от ребра клина {кг < 1), вычисленного в импедансной постановке, по сравнении с соответствующими результатами в точной постановке для полуплоскости с диэлектрическим покрытием [70] за исключением малой области вокруг ребра. В [71] рассматривается излучение щелевой
антенны под покрытием, т.е. дифракция на импеданснои плоскости поля линейного источника, расположенного на плоскости. Решение строится в импеданснои постановке с помощью интегрального уравнения Поклингтона с точным сингулярным ядром, отмечается хорошее совпадение теории с эксперементом.
Построение решения по методу Зоммерфельда-Малюжинца в виде двукратного интеграла Зоммерфельда-Малюжинца для изотропной среды проведено в работах [1, 46], а для анизотропной - в [46, 51]. В этих публикациях приведены решения задачи дифракции плоской [1, 46, 51] и цилиндрической [1, 46] волн в виде интегралов Зоммерфельда-Малюжинца, а также представление для функции Грина в виде ряда нормальных волн [1, 51]. Альтернативный подход с использованием интегралов Конторовича-Лебедева рассмотрен в [26].
В связи с тем, что формальное решение задачи дифракции в виде интеграла Зоммерфельда-Малюжинца известно довольно давно, внимание большого числа исследователей было привлечено к исследованию функций Бобровникова и Малюжинца. До настоящего времени выходят работы, в которых для построения решений задач дифракции на угловых областях, используются различные аппроксимации этих функций. Одной из первых была работа [52], в которой авторы предложили искать значение функции Малюжинца, используя ее интегральное представление [34], в котором подынтегральная функция разлагалась в ряд. Несмотря на громоздкость данного алгоритма, авторы привели таблицы для функции Малюжинца с абсолютной ошибкой, оцениваемой авторами как 1 х Ю-5, для диапазона углов клина 0.01 < ф < 7г. Однако в этой работе не рассмотрены вопросы оценки ошибок и выбора необходимого числа членов для достижения требуемой точности, а оценка погрешности приведена только на основании численной сходимости алгоритма, что не всегда верно. В [53] произведен обзор различных аппроксимаций функции Малюжинца для малых и больших значений аргумента. Среди них авторы выделяют собственную аппроксимацию, верную для диапазона углов раствора клина 7г/2 < ф < 7г, которая основана на усечении области интегри-
рования и применении 5-ти точечной формулы прямоугольников. Она дает для значений аргумента 0 < Im z < 11 точность не хуже 0.5%, что может быть недостаточно для системы соприкасающихся клиньев или анизотропной среды, при наличии которой в решение входит комбинация из шестнадцати функций Малюжинца. Более удачной следует признать аппроксимацию из [54], также основанную на интегральном представлении функции Малюжинца. В этой работе автор произвел замену подынтегральной функции на близкую, чтобы интеграл считался аналитически, и определил погрешность такой аппроксимации. В результате он получил возможность вычисления функции Малюжинца для углов раствора клина 0.14 < ф < -к и значении мнимой части аргумента от 0 до 15 с погрешностью меньшей 5 х 10~3. Другой способ вычисления функции Малюжинца на всей комплексной плоскости рассмотрен в работе [55]. При больших значениях аргумента функции Малюжинца она представляется в виде ряда экспонент, сходимость которого возрастает с ростом аргумента, а вблизи вещественной оси - раскладывается в ряд Тейлора или квадратурную формулу Лагерра, при этом достигается погрешность расчета до Зх 10~9. Позднее данный метод был развит в [56]. Следует особо выделить работу Авдеева [57], в которой представлены наиболее удобные разложения для функции Бобровникова, сходные с представлениями из [55] для функции Малюжинца, в дальнейшем использованными в настоящей диссертации.
Вычисление двукратного интеграла Зоммерфельда-Малюжинца сводится к деформации контура интегрирования в перевальный, выделению вычетов полюсах, пересекаемых при этой деформации, построению асимптотик для дальней зоны и численному интегрированию получившихся одно и двухкратных интегралов в ближней зоне.
Для однократного интеграла Зоммерфельда с полюсом вблизи сед-ловой точки существует несколько работ, как по численному интегрированию, так и по построению асимптотик. Построение асимптотик сводится, в основном, к двум способам. Первый из них был предложен в [58] и развит в [59]. При этом способе построения асимптотики однократного интеграла Зоммерфельда подынтегральная особенность
выводится из под интеграла путем преобразования интеграла в сумму интеграла от регулярной функции и интеграла вероятности. Далее строится асимптотика интеграла от регулярной функции стандартными методами стационарной фазы или перевала. Другой способ базируется на работе Паули [60] и был позднее развит в работе [61]. В этом случае производится преобразование подынтегральной функции, разложение ее в ряд Тейлора вблизи седловои точки и затем выделяются особенности в виде интеграла вероятности. Первым способом были построены асимптотики в работе [62], вторым - в [65]. Для вычисления однократных интегралов Зоммерфельда существует несколько аппроксимаций, позволяющих свести эти интегралы к интегралам по конечному промежутку, ряд таких наиболее удачных аппроксимаций, с оценками погрешности, изложены в обзоре [66].
Способы асимптотического вычисления двукратных интегралов Зоммерфельда известны достаточно давно. Наиболее универсальный предложен Каратыгиным и Розановым в работах [18, 67, 68] и связан с использование теоремы Остроградского-Гаусса для сведения двойных интегралов к однократным, но подобные способы не применимы к двойным интегралам с полюсом подынтегральной функции вблизи седловои точки. Построение неравномерной асимптотики для двукратных интегралов Зоммерфельда с полюсом вблизи седловои точки не представляет большого труда. Обобщение метода стационарной фазы на этот случай можно найти в работе [63], однако наиболее привлекательным для численного моделирования является механизм построения равномерных асимптотик двукратных интегралов Зоммерфельда из работы Авдеева [77], на основе которого в данной диссертации предложена методика асимптотического вычисления двукратного интеграла Зоммерфельда.
Подводя итог, сформулируем выводы, которые следуют из обзора литературы:
Задача дифракции цилиндрической волны на импедансном клине не потеряла своей актуальности.
Полного точного аналитического и численного исследования проблемы не было произведено. В частности не было построено равномерной асимптотики для краевой волны, не были учтены все полюса вблизи контура интегрирования, не было исследовано влияние магнитного поля, не было приведено алгоритма для вычисления функции Бобровникова с любой степенью точности на всей комплексной плоскости, а также не рассмотрен ряд других важных особенностей, существенных для иследования задачи.
Публикация материалов диссертации и ее краткое содержание
Большинство результатов, представленных в диссертации являются новыми и оригинальными. Они опубликованы в статье [51], монографии [80], тезисах и трудах конференций и симпозиумов [79, 81, 82, 83, 84, 85], доложены на конференциях [79, 81, 83, 84, 85].
Содержательная часть работы состоит из шести глав, каждая из которых содержит несколько пунктов и подпунктов, представляющих собой отдельные аспекты общей задачи.
В главе 1 сформулировано математическое описание задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме в виде уравнения Гельмгольца с приближенными импеданс-ными граничными условиями Леонтовича, даны определения нормальных волн, ограниченных на ребре и на бесконечности, и методы их нахождения с помощью интегралов Зоммерфельда-Малюжинца. Получены выражения для нормальных волн, показана их ограниченность на ребре и на бесконечности. Затем показана полнота их системы и доказан ряд свойств системы нормальных волн, из которых вытекает возможность построения функции Грина в виде ряда нормальных волн. Далее, основываясь на свойствах этих волн, найдены необходимые нормирующие константы и получена функция Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме в виде ряда по нормальным волнам.
В главе 2 анализируется специальная функция Бобровникова, входящая в решение, и из множества возможных выделяются алгоритмы, удобные для расчета ее значений. Вблизи вещественной оси предлагается использовать интегральное представление функции Бобровникова, а вдали - разложения в виде рядов Фурье. Также получены выражения для ее производных, необходимые для выделения вычетов в полюсах этой функции.
В главе 3 исследован предельный переход к задаче дифракции плоской волны на импедансном клине. Произведено суммирование ряда для функции Грина. Для сравнения полученного результата с ранее известными произведен предельный переход к изотропной задаче. Затем с целью приведения к виду, удобному для анализа и расчетов, произведено преобразование решения задачи дифракции плоской волны. Выделены отдельные компоненты поля: геометрооптическая часть, поверхностные волны и краевая волна. Построена равномерная асимптотика выражения для краевой волны с учетом полюсов вблизи контура интегрирования. По полученным формулам произведены расчеты полей и показан вклад отдельных компонент в полное поле для различных параметров задачи. Выявлен экспоненциальный рост поверхностных волн с ростом внешнего магнитного поля и показано влияние параметров задачи на амплитуды поверхностных волн, коэффициенты отражения, краевую волну и полное поле. При этом отмечено влияние краевой волны на полное поле, и соответственно необходимость ее учета в теневой и полутеневой областях.
В главе 4 вначале произведено суммирование ряда для функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме при источнике на ребре клина. Выполнен предельный переход к изотропной задаче. Далее произведено суммирование ряда для функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме в случае произвольно расположенного источника. В результате получено интегральное представление функции Грина. После этого решение приведено к удобному для анализа виду. С этой целью деформированы конту-
ры интегрирования в перевальные в три этапа: сначала в двукратном интеграле Зоммерфельда деформировался контур интегрирования внутреннего интеграла, затем внешнего, после чего деформировались контуры интегрирования в однократных интегралах Зоммерфельда. После преобразования выражений, содержащих выделившиеся в процессе деформации вычеты, получившееся решение приобрело вид с простым физическим смыслом каждого члена. Произведено сравнение итоговых результатов с ранее известными частными решениями: дифракции цилиндрической волны с источником на ребре клина, дифракции цилиндрической волны в изотропном случае. При этом отмечены неточности в работах [1] и [27].
Функция Грина задачи дифракции на импедансном клине в виде ряда нормальных волн
Под нормальными волнами подразумева ются решения однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие импедансным граничным условиям на гранях клина. При этом использованы нормальные волны двух типов: ограниченные на ребре и удовлетворяющие условию излучения. Из функции Грина в виде ряда нормальных волн получены интегральные решения задач дифракции плоской и цилиндрической волн. Для специальной функции, входящей в выражение для краевой волны и эталонного интеграла для двукратного интеграла Зоммерфельда, разработаны эффективные алгоритмы, удобные для расчетов. Выражения для полей приведены к наглядному виду, показывающему вклад отдельных частей (компонент) поля, и удобному для численного анализа. По ним произведены расчеты как составляющих так и полного поля. Эти результаты также использовались для сравнения импедансной постановки задачи дифракции плоской волны на плоскости со скачком импеданса и строгого решения задачи дифракции плоской волны на двух соприкасающихся прямоугольных диэлектрических клиньях [27].
Диссертация содержит необходимые формулы и методики для расчета всех компонент поля, включая геометрооптическую часть, поверх ностные волны и краевую волну, для произвольных угла раствора клина, расположения источника и точки наблюдения. Полученные результаты могут быть обобщены на широкий класс задач, включая систему соприкасающихся клиньев.
Для моделирования работы радиолокационного оборудования часто необходимо знать точные значения полей в широком диапазоне частот и свойств поверхности уголкового отражателя, использующегося в качестве модельного элемента для реальных устройств в радиолокации [2, 3]. Поэтому проблема дифракции волн на клиновидных объектах, помещенных в изотропную или анизотропную среду, привлекла к себе внимание исследователей еще в 60-х годах и количество публикаций на эту тему не уменьшается к настоящему времени [4, 5].
И Существует много подходов к математической формулировке про блемы. Из них наиболее полно изучены задачи дифракции полей простейшего вида - плоские, цилиндрические и сферические волны - на простых структурах (плоскость, полуплоскость, клинья с определенными растворам) в тех случаях, когда возможно провести разделение переменных в уравнениях Максвелла и свести задачу к скалярному уравнению Гельмгольца.
Одной из первых работ по построению решения, пусть и прибли женного, дифракции на идеально проводящей полуплоскости или приз ме была работа Пуанкаре [б], в которой использовалось представление поля в виде рядов цилиндрических функций. В дальнейшем Макдо нальд в работах [7, 8] обобщил метод Пуанкаре и получил строгие решения задач дифракции плоских, цилиндрических и сферических волн на клине с граничными условиями Дирихле и Неймана. Спустя два года после публикации работы Пуанкаре первые строгие результаты для дифракции на полуплоскости были получены Зом-мерфельдом [28], который развил теорию построения решения задач дифракции в виде интеграла по контуру в комплексной плоскости, из которого легко получить асимптотики для кг 1 [29].
Для клина с идеально проводящими гранями в [9, 10] был использован метод мнимых источников, с помощью которого, в случае если угол раствора клина можно представить в виде рационально дроби т/п, решение можно представить в виде суммы полей истинного источника и 2п — 1 мнимых. При использовании этого метода в решении отсутствуют краевые волны. Благодаря своей простоте, этот метод, с уточненным законом отражения, учитывающем граничные условия, используется и сейчас. Например, в [3, 11] получены выражения для полного поля электромагнитной волны в раскрывах двугранной структуры с взаимно перпендикулярными бесконечно протяженными проводящими гранями, включая трехмерный случай [11]. Также для задачи дифракции на клине, как показали Вайнштейн и Уфимцев [12], можно применять лучевой метод.
Анализ и представление функции Бобровникова, входящей в решение задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине
В предельном случае, когда клин переходит в полуплоскость, возможно использование преобразования Фурье и теории аналитических функций. Преобразование Фурье применяется к уравнению Гельмголь-ца [13], а граничные условия накладываются на плоские волны, из которых состоит решение. В конечном итоге получаются функциональные уравнения для функций в комплексной плоскости, решаемые по методу Винера-Хопфа-Фока или методом факторизации [14, 15]. Первым исследованием, связанным с применением метода Винера-Хопфа-Фока, была работа [16], в которой исследовалось нормальное падение плоской волны на металлическую полуплоскость. В дальнейшем в работе [17] эти результаты были обобщены на случай произвольного угла падения. В последующие годы этот метод был распространен на случай дифракции электромагнитных волн, излучаемых расположенными параллельно ребру полуплоскости нитями тока и диполями, на идеально проводящей полуплоскости [18], анизотропной импедансной полуплоскости [19, 20], клине с одинаковыми импедансами на гранях, помещенном в анизотропную плазму [21]. Из последних работ следует отметить [22], в которой строится решение задачи дифракции плоской волны на импедансном клине, при этом выделяются отдельные части полного поля: отраженные волны, поверхностные и краевая волна. Однако методом Винера-Хопфа-Фока можно получить решения только для задач с прямоугольной геометрией (плоскость, полуплоскость, прямоугольный клин).
Другим направлением, отличным от представления решения в виде рядов, являются построение решения уравнения Гельмгольца с помощью интегральных преобразований Конторовича-Лебедева [23, 24]. С их использованием построено решение задачи дифракции цилиндрической волны в интегральном виде на идеально проводящей полуплоскости [23], а также на идеально поглощающем [25], идеально проводящем [26], диэлектрическом [27] клине и клине с граничными условиями высокого порядка [27]. Эти решения, как показано в [23], могут быть преобразованы в ряд по функциям Бесселя и сведены к результатам, полученным вышеуказанными методами. Альтернативным типом интегрального преобразования является преобразование Зоммерфельда-Малюжинца [29, 30]. При этом, как показано в [23], нетрудно перейти от интегралов Зоммерфельда к рядам и интегралам Конторовича-Лебедева [26]. А в [41] доказано, что формулы из обобщенной геометрической теории дифракции переходят в соответствующие решения, полученные методом Зоммерфельда-Малюжинца.
Хотя существует еще множество способов решения задачи дифракции на клиновидной структуре, включая довольно нетрадиционные, например с использованием волновой теории катастроф [78], рассмотрим подробнее метод Малюжинца, как наиболее близкий к теме настоящее диссертации.
В своих работах Малюжинец обобщил метод Зоммерфельда для описания волнового поля в угловых областях с заданными им-педансами на гранях, произведя исследование свойств интеграла Зоммерфельда-Малюжинца [30, 32, 33, 34]. В результате он доказал ряд теорем, предложив систематический подход для нахождения неизвестной подынтегральной функции, основанный на свойстве регулярности этой функции в определенных областях и ее четности. Таким образом Малюжинец свел проблему дифракции на клиновидных областях к решению специальных функциональных уравнений.
На основе работ Малюжинца исследователями был построен ряд решений задач дифракции на импедансных клиновидных структурах, в частности в работе [35] приведено решение для импедансной полуплоскости, а в [4] исследован случай падения плоской волны на диэлектрический клин с граничными условиями из [36], аналогичные результаты получены в [37]. Для случая падения плоской волны на импедансный клин в [38] на основе метода Малюжинца получены асимптотики, не являющиеся равномерными. В [39] методом Зоммерфельда-Малюжинца строится решение задачи дифракции на анизотропном импедансном клине с прилегающей к нему идеально проводящей плоскостью.
По формулам Малюжинца производились численные расчеты полей. В [40] проанализировано поведение дифракционной части поля в зависимости от комплексных значений импеданса клина и угла падения волны при больших расстояниях от клина, допускающих использование асимптотик, подсчитан поперечник обратного рассеяния в зависимости от значений комплексного импеданса граней при различных углах падения плоской волны. Однако при этом импеданс считался одинаковым для обеих граней, а при вычислении функции Малюжинца, входящей в решение, автор не привел погрешности алгоритмов.
С начала 60-х годов в Сибирском физико-техническом институте проводились исследования двумерной дифракции электромагнитных волн в угловых областях [42, 43, 44, 45]. Их итогом является монография [46], в которой приведены решения задач дифракции плоской и цилиндрической волн на импедансном клине в анизотропной плазме. Однако авторы ограничились нахождением ядра в интегралах Малюжинца-Зоммерфельда [42, 46] и исследовали решения только при отдельных сочетаниях параметров задач, при которых удавалось избавиться от специальной функции, входящей в подынтегральное выражение, которую в дальнейшем будем именовать, по аналогии с функцией Малюжинца [34], функцией Бобровникова. Таким способом было построено решение для источника на ребре идеально проводящей полуплоскости в анизотропной плазме [43], решение о возбуждении в анизотропной плазме плоскости со скачком импеданса линейным источником, расположенным в области скачка, как частный случае источника на ребре клина [44], решение задачи дифракции плоских волн на клине с одинаковыми импедансами на обеих гранях и углом раствора 2ф = 7г/(1+2га), где п - целое число [45] Кроме того, схема решения функциональных уравнений, использованная Бобровниковым, Фисано-вым и другими, является полуэмпирической.
Деформация контура интегрирования
Выражение (61) неудобно для анализа и вычисления значений поля, поэтому его необходимо преобразовать, выделив отдельные составляющие поля: геометрооптическую часть, поверхностные волны и краевую волну. С этой целью деформируем контур 7+ в два перевальных - 70 и 7?г (рис. 4), для простоты считая, что ф 7г/2. Седловыми точками будут точки а = 0 и а = тт. Путь наибыстрейшего спуска 7о проходящий через седловую точку а = 0, представляется уравнением Re a + gd(Im а) = О, а 7тг проходящий через а = п, Re а — gd(Ima) = 7Г, где gd(jc) = arccos(l/ch assign я. Интеграл по 7тг равен нулю в силу нечетности подынтегральной функции относительно переменной а — тт. При деформации контур 7+ пересекает ряд полюсов подынтегральной функции, которые выделяются в виде вычетов.
Рассмотрим полюсы aj, а и а . Они могут находиться вблизи контура интегрирования 7о лежащего в полосе (—7г/2,7г/2). В дальнейшем мы будем строить асимптотику интеграла (72) методом перевала, а также проводить его численное интегрирование.
Таким образом мы получили формулу (76), в которой выделены особенности из подынтегрального выражения, при этом разрывы интеграла от /(a) компенсируются внеинтегральными членами. В этой формуле (76), в отличие от известных в литературе [84, 27], появились дополнительные члены, связанные полюсами af = aj — 4ф. Пренебрежение влиянием этих полюсов приводит к потере равномерности асимптотики краевой волны при ф — 7г/2 и (с/? — /?0) — ±7г.
Если полюсы, о которых шла речь выше, не приближаются к контуру интегрирования, то есть не попадают в полосу Rea[—7г/2,7г/2], то их можно не выделять из интеграла (76). Отличие формулы (77) от (76) заключается в том, что в (77) не выделяются полюсы, заведомо не попадающие в область интегрирования, а следовательно не приближающиеся к седловой точке, для чего введена функция Хэвисайда. Подобный подход позволяет уменьшить объем вычислений. При этом слагаемые сгруппированы так, что возникающие большие величины отдельных членов компенсируются другими.
Для выяснения физического смысла слагаемого Ug, определяемого выражением (65), рассмотрим отражение падающей волны от верхней грани клина (рис. 5). Видно, что первый член в (65) является падающей волной. Теперь найдем путь волны от точки излучения в точку
приема, отраженной от верхней грани клина, определяемый суммой / + /Q. Из треугольника ORRQ видно, что Wo = у т2 + т% — 2rr0 cos( /? + (ро — 20) « r0-r cos((p+(po-2(j)), г0 » г.
Следовательно второе слагаемое в (65) является волной, отраженной от верхней грани клина. Проделав подобные построения для случая отражения от нижней грани, получим, что третье слагаемое в (65) является волной, отраженной от нижней грани. Таким образом первое слагаемое в (78) представляет собой сумму падающей волны единичной амплитуды и отраженных от граней клина волн с амплитудами, определяемыми коэффициентами отражения BU:n Sjpp ± 2ф) Используя (12) и (9), можно показать, что ) = М + Ф±6)-ета± ±Vr-rY-u, Sin(+ O + 0=F 0)+Sin 0± V Данное выражение можно также получить, переписав уравнения Максвелла в декартовой системе координат и используя уравнение поля совместно с граничными условиями.
Отражение плоской волны от импедансной плоскости. Второе слагаемое в (78) - поверхностные волны, распространяющиеся вдоль граней клина и существующие вблизи грани при ее освещении. Как следует из формулы (69), поверхностная волна у верхней грани возбуждается при (р+ О в угловом секторе ф — ср+ ip ф. В окрестности нижней грани поверхностная волна существует при Р- 0 в угловом секторе —ф (р (р_ — ф. Условие (р± О означает, что Re 7±+gdlm(cr±±0) должно быть меньше нуля. При перемене знака этого выражения происходит скачкообразное исчезновение поверхностной волны. Отметим, что в величину амплитуды поверхностной волны а±((ро) (71) входит импеданс как грани, на которой она возникает, так и противоположной грани. Это происходит из-за переноса энергии между гранями краевой волной. Краевая волна, возникающая на ребре клина, играет большую роль при переходе с одной грани на другую и в неосвещенной области.
Третье слагаемое в формуле (78) - краевая волна, определяемая формулой (77). Оно содержит интегралы Френеля и хорошо сходящийся контурный интеграл без особенностей, следовательно в дальней зоне (кг 1) с помощью метода перевала можно написать равномерную асимптотику. В ближней зоне сложно аналитически рассматривать интеграл, входящий в выражение для краевой волны, однако из-за отсутствия особенностей и хорошей сходимости к нему применимы методы численного интегрирования, например метод Симпсона [89].
Отметим, что как и поверхностная волна, краевая волна имеет скачок, компенсирующий скачок в поверхностной волне.В результате этого в полном поле нет разрыва. Этот эффект показан на рисунке 7. 3.5 Равномерная асимптотическая формула для краевой волны в дальней зоне с учетом полюсов вблизи контура интегрирования
Немаловажную роль для практического применения играет знание границы применимости асимптотических методов, а также погрешности, возникающей при пренебрежении интегралом, описывающем краевую волну. С этой целью были выполнены численные оценки применимости приближенных формул. Для этого сравнивались результаты, полученные по формуле (77), в которой производилось численное интегрирование контурного интеграла, с результатами, полученными при использовании асимптотического способа вычисления контурного интеграла в (77).
Суммирование ряда нормальных волн
В главе 2 приведено выражение для функции Грина задачи дифракции на импедансном клине в виде ряда нормальных волн. Рассмотрим ряд (51) при г го. Поскольку г2 (го, у?о) получается из гг (го,у?о) при замене 9 на —в, то проведем такую замену в интегральном представлении (27) для и (го, ро). Разобьем получившийся интеграл на два и во втором из них произведем замену переменной а на —а.
Таким образом задача суммирования ряда (51) соводится к суммированию геометрических прогрессий. В отличие от задачи дифракции плоской волны на импедансном клине при решении задачи с цилиндрической волной в показатель суммируемых экспонент будут входить комплексные величины как с положительными, так и отрицательными значениями мнимой части, то есть ряд не является, как ранее, бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Проделав аналогичные операции с множителем при S(-K — f3+tp)/S(a + Уо) с учетом первого слагаемого получим выражение, первый член которого есть ни что иное как формула (61) с произведенной заменой переменых а на (3 и затем щ на tp0 + а.
Для приведения формулы (95) с учетом выражения (97) к виду удобному для анализа, построению асимптотических выражений и численному интегрированию произведем, действуя по аналогии с [1], преобразование контуров интегрирования в два этапа. На первом деформируем контур 7-» з на втором - 7+- На третьем этапе произведем замены переменных для придания итоговому выражению симметричного вида.
Полюсы функции S(a) подробно рассмотрены в приложении А. Чтобы получить выражения для полюсов S(tpo + а), достаточно произвести замену а на + а. Связь полюсов и нулей 5(a) определяется выражением (55). —7г/2 Re а 7г/2. При этом в подынтегральном выражении выделяются особенности в полюсах подынтегральной функции. Сначала рассмотрим вычеты в полюсах котангенсов, имеющие тот же вид, что и второе - четвертое слагаемое в (101). Введем область 0,ж, расположенную между 7о и 7тг в которой могут располагаться полюсы котангенсов, и функцию \о, /з а(р) = r)(Re(3 + gd(Im/?))?7(7r - Re/? + gd(Im/?)). (104) В результате деформации контура 7+ после суммирования возникающих вычетов котангенсов со вторым - четвертым слагаемым в (101) происходит изменение сг(/?,7+) — о-(/3) в этих слагаемых. Используя уравнение контуров 7о и jn (ЮЗ) совметно с (104), учитывая, что а находится на то получим (Д!(«)) + ($(«)) = Ф -\Ч - Vol), (105) т((ЗІ(а)) + а(/?04(а)) = ф - 2ф + р + р0), (/i(«)) + (Pii(( )) = ф-2ф-ч - ро).
Теперь учтем вычеты в полюсах S((3 — іт + ср) и 5(7г — (3 + ір), выделяющиеся при преобразовании контура интегрирования в подынтегральном выражении первого слагаемого в (101). Аналогичные вычеты рассмотрены в параграфе 3.3.3 и определяются выражением (69). В данном случае имеем вместо вещественного аргумента (р0 комплексное выражение (р0 + а.
Полученное выражение совпадает по структуре с решением задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в изотропной плазме из [1] и, как будет показано далее, при отсутствии магнитного поля 9 = 0 совпадает с ним. Как доказано в [46], решение задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме подчиняется теореме взаимности, следовательно оно имеет симметрию относительно замены го, о — г, у?; rtip — го, ро\ 9 на —9, а значит формулу (131) можно использовать как для г го, так и для г го при замене 9 на —в.
Рассмотрим окончательное выражение для функции Грина импеданс-ного клина, помещенного в анизотропную плазму (131)-(134). Сперва рассмотрим член Gg(r,ср,го,щ) (132). Как и в [1], первое слагаемое в нем, задаваемое формулой (122), является прямой волной, а (7д(г, (р,го}(ро) (123) - волны, отраженные от граней клина. Таким образом, по аналогии с [99], назовем его пространственной частью поля. Найдем физический смысл параметра , входящего в дЬ Р Оі о) (123). Для этого вернемся к рисунку 5 и рассмотрим отражение от верхней грани. Повернем оси координат на угол —7Г + ф, так что ось х пройдет по грани клина (рис. 23). Обозначим т+ = ф — р = р и т0+ = ф — tpo = (р0. Из треугольников DRQO И BRO имеем ЩА = r0cos(pQ — rcosip и RA = rocos /? 0 + г cos у? .
Значит выражение, описывающее краевую волну Gd(r, tp, го, /?о) в анизотропной среде, при в = 0 совпадет с соответствующим выражением для изотропной среды. Следовательно предельные формулы с точностью до множителя г)(тт — 5±) в Gfg(r, tpt го, (ро) соответствуют приведенным в работе [1]. Также отметим, что этот множитель пропущен и в формуле 4.5.10 в диссертации [27]. Схема построения равномерной асимптотики для задачи дифракции цилиндрической волны на им-педансном клине в анизотропной плазме Построение асимптотики для выражения (131) состоит из двух этапов: построения асимптотик однократных интегралов Зоммерфельда, построения асимптотики для выражения Gd(r, р, т о, щ) (116), являющегося двукратным интегралом Зоммерфельда. Получение асимптотических разложений для однократных интегралов Зоммерфельда подробно исследовано в главе 3. Несколько сложнее ситуация с двукратным интегралом. В [77] была получена асимптотика для двукратного интеграла Зоммерфельда, но, как будет показано далее, она неверна при слиянии полюса в подынтегральном выражении с точкой перевала. Кроме того при приведении асимптотики к симметричному виду использовано неверное соотношение. Поэтому действуя по методу из [77], построим правильную асимптотику для двукратного интеграла Зоммерфельда, справедливую и для случая полюса вблизи седловой точки.
