Численный анализ электромагнитного поля при распространении УКВ в случайно-неоднородной тропосфере над морской поверхностью Захаров Федор Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Методы расчёта статистических характеристик случайных электромагнитных полей 12

1.1 Аналитические методы расчёта характеристик электромагнитных полей 13

1.1.1 Метод малых возмущений 13

1.1.2 Метод геометрической оптики 15

1.1.3 Другие методы, основанные на лучевом приближении 16

1.1.4 Метод плавных возмущений 17

1.1.5 Метод параболического уравнения 18

1.1.6 Область применимости метода плавных возмущений и метода параболического уравнения 19

1.1.7 Параболическое уравнение в марковском приближении 20

1.2 Численные методы расчёта характеристик электромагнитных полей 22

1.2.1 Инженерные методы 23

1.2.2 Метод Кирхгофа 24

1.2.3 Диаграммная техника Фейнмана и уравнение Дайсона 25

1.2.4 Уравнение Бете–Солпитера 26

1.2.5 Численный метод решения параболического уравнения 27

1.3 Выводы 38

2 Описание среды распространения при численном решении параболического уравнения 40

2.1 Учёт неоднородностей тропосферы при расчёте характеристик электромагнитного поля 40

2.1.1 Электрические свойства тропосферы 40

2.1.2 Высотные профили индекса преломления 41

2.1.3 Модель высотного профиля индекса преломления для юго-восточной части Охотского моря 43

2.1.4 Статистическое описание мелкомасштабных неоднородностей индекса преломления 46

2.2 Учёт подстилающей поверхности при расчёте характеристик электромагнитного поля 48

2.2.1 Электрические свойства подстилающей поверхности 48

2.2.2 Учёт рельефа подстилающей поверхности при численном решении параболического уравнения 51

2.3 Корреляционная функция эквивалентного коэффициента преломления над морской поверхностью 56

2.4 Выводы 62

3 Статистические характеристики поля в случайно-неоднородной среде 63

3.1 Численный метод расчёта среднего электромагнитного поля в случайно неоднородной среде 63

3.1.1 Учёт пространственной корреляции неоднородностей среды при численном решении параболического уравнения для среднего поля 63

3.1.2 Средний уровень поля в статистически однородной среде 68

3.1.3 Средний уровень поля в квазиоднородной среде 75

3.1.4 Средний уровень поля над взволнованной морской поверхностью 78

3.2 Численный метод расчёта параметров корреляционной функции случайного

электромагнитного поля 80

3.2.1 Дисперсия флуктуаций случайного электромагнитного поля 80

3.2.2 Преобразование корреляционной функции в свободном пространстве 81

3.2.3 Влияние неоднородной среды на корреляционную функцию случайного поля

3.3 Алгоритм расчёта статистических характеристик случайного электромагнитного поля при численном решении параболического уравнения 87

3.4 Выводы 95

4 Исследование точности прогнозирования статистических характеристик случайного электромагнитного поля 96

4.1 Моделирование дискретного случайного поля индекса преломления среды 96

4.2 Моделирование ветрового волнения морской поверхности 101

4.3 Сравнение результатов расчёта статистических характеристик случайного поля численным методом и имитационного моделирования в случайно-неоднородной среде 104

4.4 Расчёт множителя ослабления среднего электромагнитного поля над взволнованной морской поверхностью 116

4.5 Коэффициент отражения от взволнованной морской поверхности 122

4.6 Выводы 125

Заключение 126

Список сокращений 128

Список использованных источников 129

Приложение а. Статистический метод прогнозирования характеристик канала распространения радиоволн над взволнованной морской поверхностью 143

Приложение б. Оптимизация формы поглощающего слоя при

Численном решении параболического уравнения 150

Приложение в. Акт внедрения

• Другие методы, основанные на лучевом приближении
• Высотные профили индекса преломления
• Учёт пространственной корреляции неоднородностей среды при численном решении параболического уравнения для среднего поля
• Сравнение результатов расчёта статистических характеристик случайного поля численным методом и имитационного моделирования в случайно-неоднородной среде

Введение к работе

Актуальность. В настоящее время исследованию распространения радиоволн (РРВ) в случайно-неоднородных средах уделяется значительное внимание. Повышенный интерес к проблемам такого рода возникает приблизительно с начала пятидесятых годов предыдущего века. Причина этого в появлении большого количества прикладных задач в радиофизике, оптике, акустике, физике плазмы и в других разделах физики, приводящих к необходимости изучения случайных полей и их статистических характеристик. Это послужило причиной разработки и совершенствования статистических методов описания волновых полей, распространяющихся в случайно-неоднородных средах или отражённых от случайно-неровной подстилающей поверхности.

Вопросами расчёта статистических характеристик случайных электромагнитных полей (ЭМП) в разное время занимались В.И. Татарский, С.М. Рытов, Л.А. Чернов, Ю.А. Кравцов, Г.С. Шарыгин, Ю.П. Акулиничев, И.М. Фукс, В.И. Кляцкин, А.А. Шур, Н.Н. Зернов, А. Исимару, R.C. Bourret, D. Rouseff, T.J. Moulsley и др.

В настоящее время разработано большое количество аналитических методов расчёта характеристик ЭМП [1, 2], например, лучевые методы, метод малых возмущений, метод плавных возмущений, метод параболического уравнения (ПУ) и др. Данные методы используются при различных ограничениях на параметры среды и условия рассеяния радиоволн на неоднородностях трассы РРВ. В частности, такие методы успешно используются при условии статистической однородности среды РРВ, но далеко не всегда позволяют учесть изменение её характеристик в пространстве.

Использование численных методов позволяет учесть изменение параметров среды вдоль трассы РРВ. Метод ПУ является универсальным методом решения задачи распространения радиоволн для случаев, когда радиус кривизны подстилающей поверхности и размеры неоднородностей тропосферы много больше длины волны.

Основным методом численного решения ПУ является сеточный метод [3], который предполагает, что область расчёта покрывается прямоугольной сеткой с ячейками размером xyz, а значения напряжённости поля вычисляются в каждом узле этой сетки. Процедура численного решения ПУ заключается в следующем. На первом этапе задаются значения отсчётов начального поля в узлах сетки при x = 0 и затем, шаг за шагом, удаляясь от источника, находятся значения поля u_{n,l, m} = u(nx, ly, mz) во всех узлах сетки. Неоднородности среды задаются в виде значений индекса преломления N(x, y, z) в каждом узле сетки и учитываются при помощи метода расщепления [3], т.е. на каждом шаге расчёта среда предполагается однородной, а неоднородности среды сконцентрированы в конце каждой ячейки в виде тонкого фазового экрана. Расчёт поля в однородной среде осуществляется двумя методами: в пространственной области при помощи схемы Кранка–Николсон или в частотной области при использовании прямого и обратного преобразований Фурье.

В.И. Татарским, А. Исимару, В.И. Кляцкиным были получены уравнения

параболического типа для среднего поля и функции когерентности, поэтому их прямое численное решение возможно. Однако в этом случае возникает две проблемы. Первая связана с тем, что существует принципиальное различие между сеточными методами расчёта детерминированного поля и статистических характеристик случайного поля. Это различие заключается в том, что для расчёта детерминированного поля достаточно знать значение напряжённости ЭМП и диэлектрическую проницаемость среды РРВ только на одном предыдущем шаге (марковское приближение), а при расчёте статистических характеристик случайного поля необходимо учитывать влияние неоднородностей среды на нескольких предыдущих шагах. Классическая схема сеточного метода, описанная выше, разработана именно для расчёта детерминированного поля и не применима для расчёта статистических характеристик случайного поля.

Вторая проблема заключается в том, что трудоемкость численного расчёта даже простейших статистических характеристик случайного поля (математическое ожидание и функция когерентности) на несколько порядков больше, чем та, что требуется для расчета детерминированного поля. Например, для расчёта корреляционной функции необходимо проводить двойное суммирование по узлам сетки для каждой точки пространства, так как она зависит от двух координат, что существенно увеличивает время расчёта. Поэтому численные методы пока не получили широкого распространения.

Обзор публикаций, посвященных численным методам, показал, что на данный момент отсутствуют работы, в которых решается такая задача. Исключением является работа [4], в которой статистические характеристики случайного поля вычисляются при помощи метода Монте-Карло. И если первую проблему в этом случае удаётся обойти, то проблема большого объёма вычислений остаётся.

Следовательно, возникает необходимость разработать численный метод совместного расчёта характеристик регулярной и случайной составляющих ЭМП, распространяющегося в случайно-неоднородной среде и над неровной подстилающей поверхностью, учитывающий описанные выше факторы.

Таким образом, фактически, речь идет о развитии нового направления в области численного расчёта параметров случайного ЭМП, то есть, о разработке экономного метода совместного расчёта напряженности детерминированной и статистических характеристик случайной составляющих радиоволнового поля, распространяющегося в среде, пространственные электрические характеристики которой также содержат регулярную и случайную составляющие.

Совершенно очевидно, что как по количеству тех факторов, которые необходимо учесть, так и по необходимым вычислительным затратам задачи такого рода существенно сложнее традиционной задачи расчета детерминированного поля в неслучайной среде. Поэтому ограничимся решением двух частных задач:

1. разработка и проверка методики расчёта среднего ЭМП сеточным методом с учётом дифракционных эффектов и рассеяния на неровной морской поверхности при весьма слабых ограничениях на величину интервала корреляции неоднородностей среды РРВ вдоль трассы;

2. обоснование экономного метода расчёта пространственных статистиче-

ских характеристик рассеянной составляющей ЭМП в марковском приближении.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование численного сеточного метода расчёта уровня когерентной составляющей случайного ЭМП, распространяющегося в случайно-неоднородной тропосфере и над взволнованной морской поверхностью, и параметров (дисперсия, пространственный интервал корреляции, преимущественное направление распространения) флуктуационной составляющей случайного ЭМП.

Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие задачи:

3. обзор и анализ существующих аналитических и численных методов расчёта характеристик случайных ЭМП;

4. обзор способов учёта параметров неоднородной среды распространения и учёт влияния подстилающей поверхности при расчёте статистических характеристик случайных ЭМП;

5. разработка метода учёта пространственной корреляции неоднородно-стей атмосферы при численном решении ПУ для среднего поля;

6. разработка метода учёта ветрового морского волнения при расчёте среднего ЭМП над морской поверхностью при малых углах скольжения падающих волн;

7. разработка численного метода расчёта параметров (дисперсия, направление распространения, пространственный интервал корреляции) флуктуаци-онной составляющей случайного ЭМП в марковском приближении;

8. проверка предложенных методов путём цифрового моделирования методом статистических испытаний для различных моделей среды распространения.

Методы исследования. Базой для исследований служили труды отечественных и зарубежных ученых в области расчёта статистических характеристик случайных электромагнитных полей, распространения радиоволн в случайно-неоднородных средах и статистической радиофизики. Для решения поставленных задач использовались методы математического анализа, статистической радиофизики и имитационного моделирования.

Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке алгоритмов расчёта статистических характеристик радиоволн в случайно-неоднородной тропосфере и над взволнованной морской поверхностью, основанных на численном решении волнового ПУ. В частности:

9. получено аналитическое выражение ослабления среднего поля и предложен алгоритм численного расчёта когерентной составляющей ЭМП, распространяющегося в случайно-неоднородной среде, с учётом корреляции неодно-родностей среды вдоль всей трассы РРВ;

10. предложен способ учёта ветрового морского волнения и получены аналитические выражения для расчёта среднего электромагнитного поля над морской поверхностью;

11. получены аналитические выражения, описывающие изменение дисперсии, среднего угла прихода и пространственного интервала корреляции радиоволн при их распространении в среде с регулярными и случайными неоднород-ностями при гауссовской аппроксимации пространственной корреляционной

функции флуктуаций случайного ЭМП;

4. проведена оценка модуля и фазы коэффициента отражения радиоволн от взволнованной морской поверхности при малых углах скольжения для различных значений скорости ветра;

5. в качестве вспомогательной задачи по результатам аэрологического зондирования атмосферы за период с 1973 по 2014 года для юго-восточной части Охотского моря построена среднемесячная модель высотного профиля индекса преломления.

Теоретическая значимость заключается в разработке метода численного расчёта статистических характеристик случайного электромагнитного поля при достаточно слабых ограничениях на свойства среды распространения. Одно из ограничений – это отсутствие тонких слоистых неоднородностей в тропосфере. Получены соотношения, позволяющие учесть влияние морского волнения и влияние пространственной корреляции неоднородностей среды вдоль трассы распространения на уровень среднего электромагнитного поля.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что указаны пути повышения точности оценки характеристик случайных электромагнитных полей при известных статистических характеристиках среды распространения. На основе полученных соотношений предложена методика и разработаны программы, пригодные как для долговременного прогнозирования (применяемого, например, при расчете ожидаемых зон покрытия базовых станций сотовой связи в сельской местности), так и для оперативного прогноза параметров электромагнитного поля на реальных трассах (необходимого, например, для текущего выбора тактики использования средств радиолокации, радиомониторинга или радиопротиводействия). Предложенный метод расчёта статистических характеристик случайного электромагнитного поля может служить основой при разработке программно-аппаратного комплекса расчёта параметров детерминированной и случайной составляющих радиоволнового поля, распространяющегося в среде, пространственные электрические характеристики которой также содержат регулярную и случайную составляющие.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Использование точного решения ПУ в форме интеграла по траекториям позволяет разработать сеточный метод вычисления среднего поля, распространяющегося в случайно-неоднородной среде, при значительно более слабых ограничениях на свойства среды, чем это требуется для использования марковского приближения. Если в среде отсутствуют протяженные и тонкие случайные слоистые неоднородности, вытянутые вдоль трассы, то для учета корреляции значений коэффициента преломления на последовательных шагах по дальности возможно использование первого приближения метода геометрической оптики, и трудоемкость вычисления среднего поля становится сопоставимой с трудоемкостью решения детерминированного ПУ.

2. Гауссовская аппроксимация поперечной к трассе пространственной корреляционной функции случайного электромагнитного поля, распространяющегося в случайно-неоднородной среде, позволяет разработать численно-аналитический сеточный метод расчета ее параметров при вычислительных за-

тратах, на 2…4 порядка меньших, чем требуется для прямого использования марковского приближения при тех же условиях. Обоснованность применения метода при РРВ в любых случайных средах и точность расчета возрастают при увеличении экстинкции и кратности рассеяния волн.

3. СКО искусственного поля коэффициента преломления, возникающего при трансформации задачи РРВ над взволнованной морской поверхностью методом конформного отображения, убывает с ростом высоты по степенному закону, а ширина его спектра плотности мощности на фиксированной высоте с увеличением скорости ветра убывает по экспоненциальному закону.

Достоверность. Полученные в диссертационной работе соотношения, описывающие статистические характеристики радиоволн, основаны на строгих математических выкладках. Достоверность предложенного метода расчёта статистических характеристик радиоволн подтверждена результатами комплексного математического моделирования и сопоставлением с результатами, полученными другими методами.

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертационного исследования обсуждались на совместных семинарах кафедры радиотехнических систем и НИИ радиотехнических систем Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники; на научных и научно-технических конференциях: Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (в 2009 – 2012 годах), г. Томск; 50-й юбилейной Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2012 г.); Всероссийской научной конференции молодых ученых (Новосибирск, 2012 г.); 51-й и 52-й Международных научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2013, 2014 гг.); 17-м Международном форуме «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке» (Харьков, 2013 г.); 24-й и 25-й Международных Крымских конференциях «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» «КрыМиКо» (Севастополь, 2014, 2015 гг.); International Siberian Conference on Control and Communications, SIBCON (Омск, 2015 г.), II Всероссийская научно-техническая конференция «Системы связи и радионавигации» (Красноярск, 2015).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы, из них 5 статей в журналах из Перечня ВАК, 7 – в сборниках докладов международных конференций, 8 – в сборниках докладов всероссийских конференций, 3 – в научно-технических отчетах. В том числе 3 публикации содержатся в изданиях, индексированных в базе данных Scopus, 1 – в базе данных Web of Science.

Личный вклад автора. Постановка решённых в диссертации задач была сделана научным руководителем аспиранта д.т.н. проф. Акулиничевым Ю.П., который указал основные направления исследования и принимал участие в обсуждении результатов. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки, имитационное моделирование выполнены лично автором.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, списка сокращений, списка литературы и трёх

приложений. Общий объем работы составляет 155 страниц, 67 рисунков, 15 таблиц. Список литературы включает 187 источников.

Другие методы, основанные на лучевом приближении

Рассмотрим некоторые другие методы, основанные на лучевом приближении. К ним относятся: - метод физической оптики (метод волновой оптики, приближение Кирхгофа); - метод краевых волн; - метод дифракционных лучей (геометрическая теория дифракции Келлера).

Метод физической оптики [40, 46, 47] основывается на представлении поля точечного источника в виде волновой функции. Данный метод используется для расчёта поля, отражённого от тел с радиусом кривизны много большим длины радиоволны и с резкими изломами поверхности (например, плоская пластина и выпуклый цилиндр конечной длины [48, 49]). Метод физической оптики применим, в основном, к идеально проводящим телам и к телам с достаточ 17 но высокой проводимостью в предположении, что длина волны мала по сравнению с характерными размерами рассеивающего тела. Несмотря на то, что классический метод физической оптики не учитывает многократное рассеяние, в последнее время стали появляются различные модификации этого метода, позволяющие учесть обратное рассеяние и двукратное отражение волн [50, 51], а также рассчитывать ЭМП на телах сложной формы [52, 53].

Метод краевых волн [42, 54] аналогичен методу физической оптики с учётом всех ограничений, но применяется для тел с изломами, рёбрами и т.п. Метод предполагает, что поверхностные токи состоят из двух частей - равномерной, определяемой по правилам физической оптики, и неравномерной, возникающей вследствие влияния изломов поверхности. Неравномерная часть тока имеет характер краевой волны, распространяющейся в направлении от ребра излома и затухающей по мере удаления от него [46]. Таким образом, метод краевых волн позволяет рассчитать поле, отражённое от тел с резкими изломами, с учётом дифракционных явлений вблизи этих изломов [55].

Геометрическая теория дифракции [40, 42] применяется для решения задач дифракции волн на больших телах сложной формы. Основное отличие метода от двух выше перечисленных заключается в том, что кроме падающих, отраженных и преломленных лучей, существуют дифрагированные лучи. Такие лучи порождаются лучами, падающими на гладкие поверхности касательно и лучами, падающими под любым углом на ребра и вершины тела. Геометрическая теория дифракции позволяет рассчитать поле, отражённое от тел сложной конфигурации [56, 57]. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами строгого решения и результатами экспериментальных исследований [58].

Данные методы, в основном, применяются для расчёта поля, отражённого от объектов различной формы и малоприменимы при рассеянии волн на атмосферных неоднородностях.

Метод плавных возмущений (МПВ) [1, 4, 5, 7, 35] приспособлен для расчёта значений фазы и уровня волны. Впервые метод был предложен СМ. Рытовым в 1937 г. для решения задачи о дифракции света на ультразвуковой волне. А.М. Обухов в 1953 г. применил метод для случая распространения волн в случайно-неоднородных средах. МПВ основан на замене комплексной амплитуды поля комплексной фазой y = S + i%, где S - собственно фаза, - логарифм амплитуды (уровень). Используя подстановку и = ехр(-/Ч/) в волновое уравнение (1.1), получаем основное уравнение МПВ [1, 35]: 2ik + Al\]j + (Vl\]j)+k 2 = 0. (1.10) дх Разложение комплексной фазы в ряд \\j = щ + \\J2 +..., где у/„ порядка а"е =U2)" , приводит к системе линейных уравнений последовательных приближений «2wdl/2 A (w ) 2 (1.11) & 1 2 1 1 правые части которых быстро усложняются с возрастанием п. Обычно вычисляют только первое приближение \/1, а \/2 служит для оценки погрешности. В работе [59] было вычислено второе приближение МПВ и определены условия, при которых возможно использование первого приближения.

В работе [60] произведено сравнение первого приближения МПВ и приближения Борна и показано преимущество МПВ при расчёте поля в дальней зоне. Первое приближение МПВ для уровня непригодно в области сильных флуктуаций амплитуды, когда (r12) 1. Несмотря

на это ограничение, первое приближение во многих случаях оказывается достаточным [35], и на его основе было сделано много работ. В частности, первое приближение МПВ используется для расчёта флуктуаций ЭМВ, отражённых от неподвижного объекта в турбулентной атмосфере [61], описания процесса распространения миллиметровых волн в турбулентной тропосфере [62] и д.р. Второе приближение МПВ используется для учёта дифракционных эффектов в турбулентной ионосфере [63].

Метод параболического уравнения (МПУ) [1, 4, 5, 28, 35, 64] впервые применил М.А. Леонтович в 1944 году для решения задачи о распространении радиоволн над земной поверхностью. Для объёмных статистических задач о распространении радиоволн он был использован лишь в 1964 г. Л.А. Черновым [4] и Л.С. Долиным [65].

Переход от волнового уравнения (1.1) к параболическому (1.13) в теории дифракции эквивалентен замене точного решения приближением Френеля [4]. Переход к ПУ связан с пренебрежением рассеянием назад. Отражением от неоднородностей можно пренебречь, если поток отражённой энергии мал по сравнению с потоком падающей энергии. Для этого должно выполняться неравенство

Несмотря на то, что уравнения (1.10) и (1.13) имеют первый порядок по координате вдоль трассы РРВ (координата х), в общем случае их нельзя решить точно, так как в уравнении (1.13) случайная диэлектрическая проницаемость среды РРВ является коэффициентом перед комплексной амплитудой поля U, а уравнение (1.10) является нелинейным относительно комплексной фазы . Поэтому их приходится решать различными приближёнными методами [1, 35, 66, 67].

В случае сильных флуктуаций амплитуды поля наиболее разработанным методом расчёта среднего поля и корреляционной функции флуктуирующей компоненты поля является метод, основанный на использовании ПУ в марковском приближении [1, 5, 35].

Оно используется для приближённого решения дифференциальных уравнений при предположении о малости отношения интервала корреляции воздействий т0 к интервалу корреляции отклика T1. Такое приближение непосредственно применимо только к причинным задачам, в которых значения динамических переменных в некоторой точке пространства функционально не зависят от последующих по трассе значений случайных параметров [1, 68]. В физических задачах марковское приближение является главным членом разложения по малому параметру т0 / т1 и, в отличие от методов теории возмущений, допускает описание сильных флуктуации, возникающих в физической системе под влиянием случайных воздействий при условии, что возможно пренебрежение волнами, рассеянными назад [1]. Приближение ПУ удовлетворяет последнему условию, кроме того оно имеет физически выделенную координату х вдоль направления РРВ. Это позволяет перейти к аппроксимации РРВ в случайно-неоднородной среде марковским процессом в приближении ПУ.

Высотные профили индекса преломления

Приведем пример расчета зон радиовидимости над синусоидальной хорошо проводящей поверхностью. Длина волны - 30 см (1 ГГц), ширина гауссовской ДН антенны источника 9 = 6, высота источника - 30 м, дальность - 3 км, высота расчетной области - 614 м, шаг по дальности - 4,8 м, а по высоте - 0,3 м. Поверхность задавалась уравнением /(д-) = 10 sin (2тг 3 JC /3000) + 10. Результат расчета множителя ослабления приведен на рисунке 2.5 в виде двумерного графика в координатах «дальность-высота».

Зависимость множителя ослабления от дальности и высоты при ступенчатой аппроксимации подстилающей поверхности

На рисунке 2.5 отчетливо видны эффекты отражения поля от земной поверхности, дифракции и интерференции прямых, отраженных и дифракционных лучей.

Кусочно-линейная аппроксимация земной поверхности основана на идеи вращающегося ПУ («rotating parabolic equation») [145, 146]. Идея метода заключается во введении новой системы координат, ось Oх которой направлена вдоль преимущественного направления отраженной волны (см. рисунок 2.6), и решается новое ПУ, считая, что отраженное поле – это вторичный источник. Метод «вращающегося» ПУ для каждого шага по дальности предполагает следующее: - пересчитать поле к новой системе координат по формуле Umn =Umn exp(i2imAzym IX), где ym - угол наклона подстилающей поверхности в т узле расчётной сетки; - вычислить поле на следующем шаге одним из численных методов решения ПУ при этом ко эффициент передачи на одном шаге будет равен Kt = exp I -/ тс Ах cos1 ут (0,5пН ) I; - пересчитать поле обратно в старую систему координат по формуле Um+ln = Um+ln exp(-i2mAzym IX).

Локальное преобразование системы координат позволяет с помощью некоторого отображения перейти к расчёту поля над ровной подстилающей поверхностью на некотором отдельном участке трассы [147, 148]. При этом вид ПУ и выражения для граничных условий изменяются. Если в декартовой системе координат (х, z) ПУ имеет вид

Пример координатных линий для метода ПУ с криволинейной сеткой [80] Конформное преобразование системы координат [149] используется для перехода от расчёта поля над неровной земной поверхностью в однородной тропосфере к расчёту поля над ровной поверхностью в неоднородной тропосфере, то есть неровности поверхности пересчиты-ваются в неоднородности коэффициента преломления тропосферы (эквивалентный коэффициент преломления). Для этого на плоскости xOy (рисунок 2.8) необходимо построить криволинейную систему координат, которая является конформным отображением декартовой системы координат. Примером такого преобразования является расчёт поля над сферической полупроводящей земной поверхностью в неоднородной тропосфере по методу параболического уравнения, предложенному Фоком и Леонтовичем в 40-е гг. XX столетия. Здесь сферическая Земля посредством конформного отображения «выпрямляется», то есть преобразуется в плоскую поверхность, но в параболическом уравнении показатель преломления модифицируется: появляется дополнительное слагаемое, экспоненциально (на начальном участке – линейно) зависящее от высоты над поверхностью. Другими словами, данный метод заключается во введении эквивалентного радиуса Земли.

Метод конформного отображения подробно описан в работе [149] и диссертации [93], поэтому опишем только основную идею данного метода.

Определив формально координаты (x,z) точки на плоскости как значение комплексной переменной \L = x + iz, описание криволинейной системы координат задаётся в виде суммы периодических функций комплексной переменной количество слагаемых Ми их весовые коэффициенты ат = Ат ехр(/ фт) подбираются так, чтобы кривая V(JC,0) с необходимой точностью совпадала с функцией /( ) .

Каждое из слагаемых в отображении (2.25) описывает периодическое по х семейство локально ортогональных координатных линий (рисунок 2.8), то есть каждая из функций и и v является периодической, но превращается в гармоническое колебание лишь при z —» оо. Любые две координатные сетки, порождённые функциями /я(ц) и /и(ц), могут быть преобразованы одна в другую применением стандартной операции преобразования масштабов. Поэтому они обладают одинаковыми свойствами.

В [93] показано, что в качестве коэффициентов Ап и фи можно приближённо взять амплитуды и фазы гармоник, полученных при разложении функции f(x) в ряд Фурье. Якобиан преобразования (2.25) при учёте малоуглового приближения имеет вид Недостатком метода конформного отображения является увеличение времени расчёта поля, которое зависит от количества учитываемых гармоник М в разложении профиля подстилающей поверхности в ряд Фурье. От количества гармоник также зависит точность расчёта. Другим недостатком метода является невозможность использовать его в трёхмерной задаче. Тем не менее, в [149] показано, что данный метод обладает неплохими точностными характеристиками и позволяет рассчитать уровень поля над неровной подстилающей поверхностью с требуемой точностью. 2.3 Корреляционная функция эквивалентного коэффициента преломления над морской поверхностью

Основные результаты данного раздела изложены автором в работе [150]. При расчёте статистических характеристик случайного ЭМП, распространяющегося над морской поверхностью, необходимо корректно учитывать влияние волнения моря на процесс РРВ. На наш взгляд, наиболее удобным способом учёта морского волнения является метод конформного преобразования системы координат, влекущий внесение искусственных неоднородностей коэффициента преломления в тропосферу. В главе 1 показано, что для расчёта статистических характеристик случайного ЭМП необходимо знать статистические характеристики среды РРВ, в том числе и этого эквивалентного коэффициента преломления. В данном разделе рассматривается корреляционные и спектральные свойства эквивалентного коэффициента преломления.

Нерегулярность и хаотичность морской поверхности дают основание рассматривать такое волнение как случайный вероятностный процесс и использовать для его описания спектральный метод. В основе спектрального метода лежит представление о волновом процессе как суперпозиции достаточно большого числа волн малой амплитуды [151] СО (jcsf) = дг. cos(;.jc + o;.f + ;.), (2.31) где ш. = Jktg - частота г-й гармоники с амплитудой аг; к{ = Ink]1 - волновое число или пространственная частота; , - длина волны г-й гармоники; g = 9,8 м/с - ускорение силы тяжести; ,- - начальная фаза г-й гармоники, распределённая равномерно на интервале [0,2л]. Следует отметить, что в связи с особенностью получения экспериментальных данных модель (2.31) хорошо описывает характер морской поверхности лишь в направлении, соответствующем направлению движения морской волны, поэтому и направление трассы РРВ должно быть таким же. Это существенное ограничение, но, к сожалению, более полной модели пока не существует.

Многочисленные и достоверные экспериментальные данные, полученные с помощью волнографов различного типа в разнообразных погодных условиях, подтверждают, что при большой глубине моря (Н (10 — 20)/г, где h - средняя высота волн) распределение высоты волн подчиняется закону Рэлея [151]. Здесь под высотой волны понимают удвоенную амплитуду волны. А так как фаза волны распределена равномерно, то волновая ордината будет распределена по нормальному закону с нулевым средним значением.

Учёт пространственной корреляции неоднородностей среды при численном решении параболического уравнения для среднего поля

Для использования формул (2.104) – (2.106) в численном методе расчёта характеристик случайного поля необходимо интегралы заменить на конечные суммы по узлам сетки. При этом можно ограничиться суммированием только нескольких соседних отсчётов, так как ПУ предполагает малоугловое приближение. Таким образом, объём вычислений существенно сокращается.

Использование приведённых выше формул в численных методах расчёта характеристик поля ограничивается рядом условий, учёт которых на данный момент представляет некоторую сложность. К ним относится введение верхнего граничного условия на границе области расчёта, учёт корреляции неоднородностей вдоль трассы РРВ, а также учёт влияния подстилающей поверхности на значение статистических характеристик случайного поля. Перечисленные вопросы требуют отдельного исследования и в данной диссертационной работе рассматриваться не будут.

Кроме того, гауссовская аппроксимация пространственной корреляционной функции будет справедлива только на достаточно длинных трассах, когда наблюдается многократное рассеяние радиоволн. Тем не менее, полученные в данном разделе соотношения указывают на принципиальную возможность существенного сокращения вычислительных затрат при численном решении уравнений для статистических характеристик случайного ЭМП.

В разделах 3.1 и 3.2 предложен метод расчёта статистических характеристик случайного ЭМП, распространяющегося в случайно-неоднородной тропосфере над морской поверхностью, основанный на численном решении ПУ сеточным методом. В данном разделе рассмотрим алгоритм предложенного метода, который состоит из следующих этапов (см. рисунок 3.13): 1) ввод исходных данных; 2) расчёт вспомогательных величин; 3) градуировочный расчёт в однородной тропосфере над ровной подстилающей поверхностью; 4) параллельный расчёт множителя ослабления среднего поля, дисперсии, интервала пространственной корреляции поперёк трассы РРВ и преимущественного направления распространения ЭМП.

Алгоритм расчёта статистических характеристик случайного ЭМП Рассмотрим подробнее каждый этап алгоритма.

Исходными параметрами расчёта являются характеристики ИРИ - частота радиоволны, поляризация, мощность излучения, высота антенны, форма и ширина диаграммы направленности антенны; параметры среды распространения - СКО и пространственный интервал корреляции неоднородностей тропосферы, скорость ветра; длина трассы РРВ.

Расчёт вспомогательных величин К вспомогательным величинам относятся размеры расчётной сетки, распределение напряжённости ЭМП на нулевой дальности от ИРИ, граничные условия (искусственный поглощающий слой и коэффициент отражения от подстилающей поверхности).

Определение пространственных параметров расчетной области. К пространственным параметрам относятся высота и длина области расчёта, а также размеры ячеек расчётной сетки. Высота области расчёта Hтах связана с длиной трассы РРВ Dmax соотношением: Hmax=2D_g ), (2.107) где тах - максимальный угол в спектре плоских волн. Так как стандартное волновое ПУ учитывает волны, направление распространения которых отличается от направления оси Ox не более чем на 15, то максимальное значение Ртах не должно превышать 15. В данной диссертационной работе использовалось значение Ртах, равное 8,6.

Для экономии вычислительных ресурсов высоту области расчёта можно уменьшить при условии введения на верхней границе области расчёта искусственного поглощающего слоя [27, 28]. При этом количество узлов сетки по высоте птах =Ятах / Az должно быть не меньше 512 и кратно целой степени числа 2 [28]. Кратность целой степени числа 2 необходима для возможности использовать алгоритм быстрого ПФ для сокращения времени расчёта. Поглощающий слой уменьшает отражения от искусственной верхней границы области расчёта, имитируя распространение в безграничной среде.

Искусственный поглощающий слой (ПС) вводится для устранения ложных отражений радиоволн от границы области расчёта. Такой слой является одним из вариантов введения локального граничного условия при решении параболического уравнения [28]. ПС представляет собой амплитудный множитель, равный единице в рабочей области и плавно уменьшающийся до величины Ас 0 на верхней границе. Действие этого слоя аналогично действию поглощающего покрытия стен безэховой камеры, поэтому такой метод применим для решения ПУ любым из рассмотренных в разделе 1.2 методов, а при использовании метода, основанного на БПФ, он пока является единственным.

В работах [118, 119] автором были рассмотрены степенные слои, в которых шаговый коэффициент пропускания уменьшается по высоте по линейному (S = 1), параболическому (S = 2) или кубическому (S = 3) законам: В приложении Б рассмотрен вопрос оптимизации параметров степенных поглощающих слоёв и сделаны некоторые выводы относительно их амплитуды и результирующей ошибки расчёта, возникающей за счёт уменьшения ширины области расчёта. В данной диссертационной работе при численном решении ПУ использовался кубический ПС, занимающий 25% области расчёта ( Nc = 0,25иш„ ) и Ас = 1.

Сравнение результатов расчёта статистических характеристик случайного поля численным методом и имитационного моделирования в случайно-неоднородной среде

Из представленных данных видно, что на частотах меньше 1600 МГц ошибка почти для всех рассмотренных случаев не превышает 10%, что примерно соответствует СКО оценки напряженности поля по 100 испытаниям. На частотах выше 1600 МГц ошибка превышает 10% только при сильных флуктуациях индекса преломления и на дистанции более 5 км. Ошибка расчёта растёт с увеличением СКО флуктуаций индекса преломления, а также с увеличением интервала пространственной корреляции.

Анализ полученных данных показал, что при использовании предлагаемого метода для расчёта среднего электромагнитного поля в случайно-неоднородной среде с заданными статистическими характеристиками на трассах длиной до 10 км ошибка расчёта в большинстве случаев не превышает нескольких процентов. При увеличении длины трассы дисперсия ошибки линейно растет. Необходимо отметить, что точность определения статистических характеристик среды в реальных условиях будет меньше, чем приведённая точность расчёта, из-за погрешностей оценки исходных данных, то есть, текущего состояния среды.

Оценка дисперсии случайного поля

В разделе 3.2.1 описан метод оценки дисперсии случайного ЭМП в первом приближении МГО, основанный на законе сохранения интенсивности поля вдоль трассы РРВ. При расчёте среднего поля методом статистических испытаний параллельно проводились вычисления дисперсии флуктуаций случайного поля. Данный метод позволяет только оценить среднюю дисперсию случайного поля вдоль трассы, поэтому составлять таблицы с расчётом точности нет смысла. Ограничимся только сравнительными графиками, на которых приведены значения СКО, рассчитанными по предложенному методу и с помощью метода статистических испытаний. Результаты сравнения представлены на рисунках 4.16 и 4.17.

Анализ сравнения показал, что для моделей Букера–Гордона и Колмогорова–Обухова результаты расчёта СКО двумя методами в большинстве представленных случаев совпадают достаточно хорошо. Расхождение увеличивается с увеличением длины трассы и СКО флуктуа-ций индекса преломления. Для гауссовской модели в большинстве рассмотренных случаев наблюдаются значительные расхождения значений СКО, рассчитанных методом статистических испытаний и предложенным методом. Предложенный метод занижает значение СКО примерно в 2–3 раза.

Оценка быстродействия различных методов расчёта среднего поля Для оценки быстродействия были осуществлены тестовые расчёты среднего поля для точечного источника, располагающегося на высоте 15 м над уровнем моря, на трассе длиной 10 км. Среднее поле вычислялось тремя способами: 1) методом статистических испытаний (вычислялось 100 реализаций случайного поля); 2) численным методом решения ПУ в марковском приближении (формула В.И. Татарского (1.20)); 3) численным методом решения ПУ по разработанному алгоритму.

Время расчёта каждым способом для частот радиоволны 300 МГц и 3000 МГц, а также параметры расчёта представлены в таблице 4.10. Для сравнения в таблице показано время расчёта детерминированного поля численным методом решения ПУ в однородной среде. Все расчёты проводились в программе MATLAB на персональном ЭВМ с процессором Intel(R) Core(TM) i5 CPU 2,3 ГГц и оперативной памятью 4 ГБ.

Из представленных данных видно, что предложенный численный метод расчёта среднего поля требует примерно на 1–3% времени больше, чем расчёт детерминированного поля в однородной среде. В то время как для метода статистических испытаний требуется гораздо больше времени, которое можно сократить, используя параллельные вычисления. Однако, даже в этом случае, затраченное время примерно в 60 раз больше, чем при расчёте детерминированного поля. На частоте 300 МГц параллельные вычислений оказались несколько медленнее, чем последовательные. Это объясняется тем, что ЭВМ необходимо войти в режим параллельных вычислений, на что требуется порядка 10 секунд. Таким образом, «чистое» время расчёта 100 реализаций случайного поля в параллельном режиме составляет 14 с.

В данном разделе рассмотрим примеры расчёта множителя ослабления среднего поля над морской поверхностью по методу, описанному в разделе 3.1.4, и сравним с результатами расчёта множителя ослабления методом статистических испытаний. В последнем методе морское волнение учитывалось при помощи метода конформного отображения, описанного в разделе 2.2. Результаты расчётов для различных рассматриваемых случаев при длине трассы 5 км представлены на рисунках 4.18 – 4.20.

Из представленных данных видно, что результаты расчёта достаточно хорошо совпадают только при малом волнении моря (низкая скорость ветра). При увеличении частоты радиоволны расхождение увеличивается. Данное расхождение можно объяснить диффузным рассеянием радиоволн на морской поверхности, в то время как предложенный численный метод расчёта среднего поля этого не учитывает. Для иллюстрации этого рассмотрим угловые спектры рассеяния плоской волны на взволнованной морской поверхности, распространяющейся под некоторым углом к этой поверхности.

Рассеяние плоской волны на взволнованной морской поверхности

На рисунках 4.21 – 4.24 представлены примеры углового спектра рассеяния плоской волны на взволнованной морской поверхности. Для сравнения приведены результаты при отражении плоской волны от гладкой морской поверхности. В расчётах использовался метод конформного отображения криволинейной системы координат, согласованной с неровной морской поверхностью в декартовую систему координат над гладкой морской поверхностью и неоднородной тропосферой.