Брэгговская дифракция света на ультразвуке в средах с сильной оптической и акустической анизотропией Дьяконов Евгений Алексеевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Описание акустооптического взаимодействия двумерным уравнением связанных мод 15

1.1. Проблема описания дифракции света на ультразвуке в анизотропных средах 15

1.2. Упрощенный вывод двумерного уравнения связанных мод 19

1.3. Вывод двумерного уравнения связанных мод с учетом поляризации света 26

1.4. Постановка задачи для уравнения связанных мод 34

1.5. Уравнение связанных мод в неоднородном акустическом поле 39

1.6. Особенности двумерного описания дифракции по сравнению с одномерным 40

Основные результаты главы 1 45

Глава 2. Решение двумерного уравнения связанных мод в случае дифракции Брэгга 46

2.1. Постановка задачи дифракции Брэгга 46

2.2. Решение задачи в виде функций Бесселя 49

2.3. Решение задачи в приближении малой эффективности дифракции 54

2.4. Дифракция Брэгга в неоднородном ультразвуковом поле 58

2.5. Метод последовательных приближений и численное решение 60

2.6. Пространственное ограничение области взаимодействия и его влияние на процесс дифракции 65

Основные результаты главы 2 75

Глава 3. Коэффициенты акустооптического качества в сильно анизотропной среде 76

3.1. Зондирование акустического поля в кристалле парателлурита 76

3.2. Вычисление коэффициентов акустооптического качества из двумерной теории взаимодействия 81

3.3. Зондирование акустического поля в парателлурите. Экспериментальное исследование 90

Основные результаты главы

Глава 4. Особенности взаимодействия при больших углах дифракции. Полуколлинеарный режим взаимодействия 98

4.1. Взаимодействие при больших углах дифракции и переход к полуколлинеарному режиму 98

4.2. Двумерное уравнение связанных мод и его решение при полуколлинеарной дифракции 101

4.3. Особенности обмена энергией между дифракционными порядками при полуколлинеарном взаимодействии 107

4.4. Влияние затухания ультразвуковой волны на свойства полуколлинеарного режима дифракции 113

4.5. Полуколлинеарное взаимодействие при падении света вдоль ультразвукового столба 117

4.6. Выбор условий для наблюдения полуколлинеарной дифракции 121

4.7. Эксперимент по наблюдению полуколлинеарной дифракции в парателлурите 126

Основные результаты главы 4 133

Глава 5. Низкочастотное и высокочастотное коллинеарное взаимодействие. Амплитудная невзаимность 135

5.1. Переход от двумерного уравнения связанных мод к одномерному 135

5.2. Влияние затухания ультразвуковой волны на свойства низкочастотного и высокочастотного коллинеарного взаимодействия 141

5.3. Амплитудная невзаимность и условия ее наблюдения 148

Основные результаты главы 5 157

Заключение 158

Литература

• Уравнение связанных мод в неоднородном акустическом поле
• Дифракция Брэгга в неоднородном ультразвуковом поле
• Вычисление коэффициентов акустооптического качества из двумерной теории взаимодействия
• Особенности обмена энергией между дифракционными порядками при полуколлинеарном взаимодействии

Введение к работе

Актуальность темы исследования

Акустооптическое взаимодействие, то есть дифракция света на индуцированной ультразвуком дифракционной решетке в прозрачной для света среде, известно в физике в течение нескольких десятилетий. Значительный вклад в изучение этого явления был внесен как отечественными, так и зарубежными учеными. В настоящее время акустооптическое взаимодействие находит широкие применения в устройствах управления лазерным излучением и оптической обработки информации [1-4]. В первые десятилетия после своего открытия в 1920-х гг. дифракция света на ультразвуке наблюдалась лишь в изотропных средах - жидкостях и аморфных материалах, и ее исследование носило, в основном, академический характер. Предпосылки для возникновения акустооптики как самостоятельного научно-технического направления появились после того, как в 1960-е гг. был изобретен лазер. Особые свойства лазерного излучения, такие как высокая когерентность, малая расходимость и значительная плотность мощности волнового пучка, потребовали поиска эффективных способов управления лазерным излучением. Оказалось, что использование дифракции света на ультразвуке позволяет создавать быстродействующие и надежные устройства для модуляции, сканирования, а также пространственной и временной фильтрации световых пучков. Именно с 1960-х гг. начались весьма активные исследования дифракции света на ультразвуке, направленные как на разработку методов теоретического описания этого явления, так и на поиск новых материалов, представляющих интерес для использования в качестве среды взаимодействия. Важным шагом в развитии акустооптики в тот период стало исследование и применение дифракции света на ультразвуке в кристаллах, характеризующихся анизотропией оптических и упругих свойств. Уже к 1980-м гг. подавляющая часть акустооптических устройств была основана именно на кристаллических материалах. Оптическая анизотропия среды взаимодействия позволила реализовать значительное число режимов дифракции, которые не

могут наблюдаться в изотропных средах. При этом упругая анизотропия среды взаимодействия в течение значительного времени практически не принималась во внимание ввиду того, что в используемых в тот период материалах она выражена весьма слабо.

В последние десятилетия все более широкое применение в акустооптике стали находить кристаллы, обладающие сильной анизотропией не только оптических, но и упругих свойств. Интерес к подобным средам объясняется тем, что они, как правило, характеризуются высокими значениями коэффициентов акустооптического качества, то есть позволяют реализовать эффективную дифракцию света при сравнительно низкой мощности ультразвуковой волны. Речь идет, в первую очередь, о кристаллах парателлурита (TeO₂), моногалогенидов ртути (Hg₂Cl₂, Hg₂Br₂, Hg₂I₂), теллура (Te) и некоторых других. Упругая анизотропия среды взаимодействия проявляется в том, что поток энергии ультразвуковой волны оказывается направленным под некоторым углом по направлению к фазовой скорости. Величина этого угла, называемого углом сноса энергии, может достигать, например, в кристалле парателлурита, величины 74^о, в соединениях ртути 70^о, а в кристалле теллура - величины 56^о. Для сравнения следует отметить, что в кристаллах кварца и ниобата лития, широко применяемых в акустооптических устройствах с 1970-х гг. и вплоть до настоящего времени, максимальное значение угла сноса не превышает 30^о. При исследовании акустооптического взаимодействия в сильно анизотропных материалах оказалось, что процесс дифракции света на ультразвуковых волнах с большими углами сноса подчиняется ряду закономерностей, не характерных для волн с малым сносом энергии или полным его отсутствием [5-8]. Очевидно, что выявление и исследование этих закономерностей представляет интерес не только для разработки новых акустооптических приборов, но и как самостоятельная научная задача. Таким образом, исследование дифракции света на ультразвуке в средах, обладающих сильной анизотропией как оптических, так и упругих свойств, является важной проблемой современной акустооптики.

Степень разработанности проблемы

Необходимость специального исследования дифракции света на ультразвуке в средах с сильно анизотропными свойствами возникла достаточно давно. Процесс дифракции света на ультразвуке в средах с оптической анизотропией был весьма подробно изучен в ряде исследований, проведенных еще в 1970-е - 80-е гг. Однако влияние упругой анизотропии, то есть сноса энергии ультразвуковой волны, на процесс акустооптического взаимодействия до настоящего времени не подвергалось исчерпывающему исследованию. Как было отмечено выше, подобное положение объясняется тем, что ранее в акустооптических устройствах чаще всего применялись ультразвуковые волны со сравнительно небольшими углами сноса энергии. Тем не менее, проводились экспериментальные исследования дифракции света на наклонных ультразвуковых столбах, которые позволили выявить влияние сноса энергии ультразвуковой волны на характеристики акустооптического взаимодействия [9-10].

В настоящее время известно сравнительно немного работ, непосредственно посвященных теоретическому исследованию дифракции света на ультразвуковых волнах со сносом энергии [5-8]. Как правило, их авторы идут по пути модификации уже известного теоретического аппарата, описывающего акустооптическое взаимодействие. При этом в математические соотношения, описывающие процесс дифракции света на ультразвуке, вносятся аддитивные или мультипликативные поправки, зависящие от угла сноса энергии ультразвука. Подобный подход позволяет в ряде случаев расширить область применения известной теории акустооптического взаимодействия, однако не позволяет описать такие эффекты и режимы дифракции, которые принципиально не могут наблюдаться в изотропных средах. Ограничения существующих методов описания дифракции света на ультразвуке при их применении к средам с сильной упругой анизотропией были впервые отмечены в работах [5-6].

Следует отметить, что в акустооптике существует также ряд эффектов, остающихся малоизученными в силу трудности их экспериментальной реализации и применения. Например, именно по этой причине свойства

низкочастотного режима коллинеарного акустооптического взаимодействия исследованы в настоящее время значительно лучше, чем высокочастотного. Кроме того, известно, что экспериментальная реализация высокочастотного режима сопряжена со значительными сложностями [11], хотя современный уровень техники физического эксперимента, в принципе, позволяет возбуждать ультразвуковые волны с необходимыми для этого частотами [12]. Одним из важных свойств коллинеарного акустооптического взаимодействия является его амплитудная невзаимность [13-14]. Исследования этого эффекта в низкочастотном режиме коллинеарного взаимодействия показали, что для его проявления необходимы специальные условия, возникающие лишь в спектральных акустооптических фильтрах с высоким разрешением. При этом вопрос о влиянии акустооптической невзаимности на процесс высокочастотного коллинеарного взаимодействия до настоящего времени не рассматривался.

Цели и задачи исследования

Целью диссертационной работы явилось исследование процесса дифракции света на ультразвуке в средах, обладающих сильной анизотропией оптических и упругих свойств. Основное внимание уделено выявлению и рассмотрению тех акустооптических эффектов, которые являются пренебрежимо малыми или вовсе отсутствуют при дифракции света на ультразвуке в изотропных и слабо анизотропных средах.

Для достижения указанной цели оказалось необходимым сформулировать и решить следующие задачи:

1) Построение теоретической модели дифракции ограниченных световых
пучков на ультразвуке при произвольных направлениях распространения
взаимодействующих волн.

2) Исследование свойств брэгговского режима дифракции света на
ультразвуке при больших углах падения и дифракции света в случае, когда
область взаимодействия ограничена в пространстве по двум координатам.

Определение условий, при которых такое ограничение существенно влияет на характеристики взаимодействия.

1. Изучение нового (полуколлинеарного) режима акустооптического взаимодействия, объединяющего в себе признаки известных поперечного и коллинеарного режимов дифракции. Рассмотрение динамики перехода от полуколлинеарного режима к каждому из указанных режимов.

2. Сравнительное рассмотрение низкочастотного и высокочастотного режимов коллинеарного акустооптического взаимодействия. Исследование влияния амплитудной невзаимности на характеристики акустооптического взаимодействия в этих режимах.

3. Экспериментальная проверка полученных теоретических выводов и результатов.

Научная новизна полученных результатов

Научная новизна результатов диссертационной работы определяется тем, что в ней впервые:

1) Построена математическая модель процесса дифракции ограниченных световых пучков на ультразвуке в изотропных, а также оптически и акустически анизотропных средах. В отличие от существующих моделей акустооптического взаимодействия, разработанная модель позволяет описывать процесс дифракции световых пучков произвольного сечения на ультразвуке при произвольных направлениях распространения взаимодействующих волн и при произвольной геометрической форме области взаимодействия. Кроме того, модель учитывает возможность существования и пространственной неоднородности ультразвукового поля. Основой модели является двумерное уравнение связанных мод, описывающее изменение амплитуды электромагнитной волны каждого из дифракционных порядков в процессе взаимодействия в зависимости от двух пространственных координат.

2. Исследован процесс обмена энергией между световыми пучками дифракционных порядков в режиме дифракции Брэгга при различных соотношениях углов падения и дифракции света, а также коэффициента акустооптической связи. Рассмотрен как случай синхронного взаимодействия, так и взаимодействия при наличии расстройки. Предсказан эффект пространственного перераспределения энергии электромагнитного поля, приводящий к изменению формы поперечного сечения взаимодействующих пучков в процессе дифракции. Показано, что в случае произвольных значений углов дифракции света на ультразвуке необходимо учитывать пространственное ограничение области взаимодействия по двум координатам за счет конечной апертуры светового и ультразвукового пучков. Предложен количественный критерий того, какой из двух указанных факторов оказывает определяющее влияние на процесс акустооптического взаимодействия.

3. Рассмотрен режим дифракции света на ультразвуке в упруго анизотропной среде, при котором световой пучок одного из дифракционных порядков направлен строго вдоль ультразвукового столба. Данный режим объединяет в себе признаки известных поперечного и коллинеарного режимов дифракции, и для его обозначения предложено использовать термин "полуколлинеарный". Проведено теоретическое исследование свойств полуколлинеарного режима акустооптического взаимодействия при помощи разработанной модели процесса дифракции света на ультразвуке. Показано, что характеристики полуколлинеарного режима взаимодействия, в отличие от известных в настоящее время режимов, принципиально определяются пространственным ограничением области взаимодействия по двум координатам. Осуществлено экспериментальное наблюдение полуколлинеарного акустооптического взаимодействия.

4) Проведено сравнительное рассмотрение низкочастотного и
высокочастотного режимов коллинеарного акустооптического взаимодействия
при помощи двумерного уравнения связанных мод. Получены численные
решения уравнения связанных мод, описывающего низкочастотный и

высокочастотный режимы коллинеарного акустооптического взаимодействия. Исследовано влияние затухания ультразвука и коэффициента акустооптической связи на форму аппаратной функции, ширину частотной полосы взаимодействия и эффективность дифракции. Исследовано влияние амплитудной невзаимности на характеристики акустооптического взаимодействия в низкочастотном и высокочастотном режимах в различных акустооптических материалах. Показано, что в большинстве случаев амплитудная невзаимность проявляется в высокочастотном режиме существенно сильнее, чем в низкочастотном.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы состоит в разработке и реализации нового метода математического моделирования дифракции света на ультразвуке, основанного на двумерном уравнении связанных мод. При помощи построенной модели оказалось возможным предсказать и исследовать ряд акустооптических эффектов, которые не могли быть корректно описаны в рамках существующих теорий акустооптического взаимодействия.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования ее результатов в разработке новых акустооптических устройств, основанных на сильно анизотропных средах взаимодействия.

Структура диссертационной работы

Работа состоит из введения, 5 глав основного текста, заключения и списка литературы. Она содержит 171 страницу текста, включая 26 рисунков и 4 таблицы. В списке литературы, прилагаемом к диссертации, приведены ссылки на 199 публикаций, представляющих интерес в связи с исследуемой проблемой.

Положения, выносимые на защиту

1. Теория брэгговской дифракции коллимированных световых пучков произвольного сечения на ультразвуке в изотропных, а также оптически и акустически анизотропных средах, справедливая при произвольных углах падения и дифракции света. Описание дифракции на однородных и неоднородных ультразвуковых полях, ограниченных в пространстве по двум координатам, при синхронном и несинхронном взаимодействии.

2. Эффект перераспределения энергии взаимодействующих световых пучков в пространстве, приводящего к изменению апертуры и формы их сечения при больших углах падения и дифракции света. Возможность локального превышения интенсивности света над интенсивностью света в падающем световом пучке при достаточно сильной акустооптической связи.

3) Полуколлинеарный режим дифракции света на объемной ультразвуковой
волне в упруго анизотропной среде, объединяющий в себе свойства поперечного
и коллинеарного режимов дифракции. Зависимость эффективности
полуколлинеарной дифракции и частотной полосы взаимодействия от апертуры
светового пучка, а также от ширины и длины ультразвукового столба.

Апробация результатов исследования

Результаты диссертационного исследования были опубликованы в 8 статьях в отечественных и зарубежных реферируемых научных журналах, а также представлены в 23 докладах на всероссийских и международных конференциях, по результатам которых было опубликовано 14 статей в сборниках трудов этих конференций и 13 аннотаций докладов. Кроме того, результаты исследования неоднократно обсуждались на заседаниях кафедры физики колебаний физического факультета МГУ и научного семинара по акустооптике, проводимого на кафедре.

Уравнение связанных мод в неоднородном акустическом поле

Весьма продуктивным подходом к проблеме дифракции света на ультразвуке оказалось решение этой задачи при помощи метода медленно меняющихся амплитуд, широко известным в теории колебаний и нелинейной оптике. В соответствии с этим методом, электромагнитное поле в среде взаимодействия рассматривается как набор волн, близких к плоским волнам, но амплитуда и фаза которых может слабо изменяться на пространственных масштабах, сравнимых с длиной световой волны [86, 87]. Уравнения электромагнитного поля в этом случае приближенно сводятся к так называемым укороченным уравнениям. Данные уравнения, описывающие изменение амплитуд взаимодействующих волн, являются дифференциальными уравнениями более низкого порядка, чем исходные волновые уравнения. В физике волновых явлений, в том числе в акустооптике, укороченные уравнения принято называть уравнениями связанных мод. Наиболее часто применяемые в настоящее время методы теоретического описания дифракции света на ультразвуке [1-6, 15-19, 25-28, 30, 31, 35-50, 88-141] так или иначе основаны именно на методе медленно меняющихся амплитуд.

Рассмотрение акустооптического взаимодействия как квантово-механического процесса оказалось существенно менее популярным среди исследователей методом, чем решение электродинамической задачи. Известно лишь весьма небольшое число работ, в которых дифракция света на ультразвуке рассматривается с последовательно квантовых позиций [24, 142-148]. Отдельно следует упомянуть метод векторных диаграмм [20-22, 33], который занимает промежуточное положение между классическим и квантовым подходами и дает весьма наглядную геометрическую интерпретацию процесса акустооптического взаимодействия. При этом, в рамках метода векторных диаграмм невозможно осуществить точный количественный расчет амплитуд взаимодействующих волн, не прибегая к использованию уравнений связанных мод.

Рассматривая историю теоретических исследований дифракции света на ультразвуке, можно отметить несколько всплесков интереса к данной проблеме, каждый из которых связан с одним из важных этапов в развитии акустооптики. В 1930-е гг., после открытия самого явления дифракции света на ультразвуке, оно изучалось в основном как чисто академическая задача. Настоящий расцвет акустооптики как отдельной научно-технической дисциплины пришёлся на 1960-е годы, когда был изобретён оптический квантовый генератор, известный также как лазер. В связи с этим возникла проблема управления интенсивностью и направлением распространения светового луча с помощью быстродействующих оптико-электронных

- 17 приборов. Тогда же выяснились особенности акустооптического взаимодействия, зачастую делающие его незаменимым для решения задач управления оптическим излучением. Возросшее практическое значение акустооптики вызвало потребность и в более подробном теоретическом исследовании физических процессов, лежащих в основе явления дифракции света на ультразвуке. Вначале в качестве среды акустооптического взаимодействия использовались жидкие, аморфные и изотропные среды. С 1940-х гг. все более широкое применение в акустооптике стали находить кристаллические материалы, а с 1970-х гг. проводились активные исследования дифракции света на ультразвуке в двулучепреломляющих материалах. На рубеже 1980-х-90-х гг. наметился определенный спад числа публикаций, посвященных теоретическому исследованию дифракции света на ультразвуке, а акустооптика стала рассматриваться, в основном, как прикладная дисциплина.

В настоящее время особую актуальность приобрело исследование дифракции света на ультразвуке в средах, обладающих сильной анизотропией не только оптических, но и упругих свойств. Основной особенностью подобных материалов является значительный угол сноса энергии ультразвуковой волны, то есть угол между направлениями фазовой и групповой скоростей ультразвука. Благодаря этому эффекту оказывается, например, возможным наблюдать дифракцию света на большие углы, достигающие 90о и более. Существующая теория акустооптического взаимодействия, основанная на рассмотрении плоских световых волн, не позволяет адекватно описать подобные режимы дифракции. Возникает необходимость строго учитывать ограничение области взаимодействия в пространстве по двум координатам, обусловленное конечными размерами светового и ультразвукового пучков [40-42, 94-101]. Таким образом, для корректного описания дифракции света на произвольные углы необходимо перейти от рассмотрения плоских волн к рассмотрению волновых пучков.

В известных в настоящее время работах, посвященных дифракции света на ультразвуке в средах с упругой анизотропией [35-50], эта анизотропия учитывается лишь путем введения поправок к соотношениям, полученным для изотропных сред. Такой подход позволяет в ряде случаев расширить область применимости существующей теории, однако он не решает проблемы адекватного описания тех режимов дифракции, где акустическая анизотропия становится определяющим фактором.

Существующая теория дифракции света на ультразвуке, основанная на методе медленно меняющихся амплитуд, предполагает рассмотрение дифракции плоских световых волн на бесконечном ультразвуковом столбе. Амплитуда каждой из взаимодействующих волн считается функцией, зависящей лишь от одной координаты, направленной поперек этого столба. Укороченное уравнение, называемое далее одномерным уравнением связанных мод, является обыкновенным дифференциальным уравнением.

При необходимости исследовать дифракцию ограниченного светового пучка на ультразвуковой волне, существующая теория предполагает представление такого пучка как суперпозиции плоских волн с последующим решением одномерного уравнения связанных мод для каждой из этих волн [1, 6, 91-93, 125-128, 131]. Однако подобный подход содержит внутреннее противоречие: если амплитуда "плоской" волны изменяется в пространстве, то такая волна уже не может рассматриваться как плоская. Поэтому разложение пучка по подобным волнам не вполне правомерно, так как они не образуют базис. Строго говоря, существующая теория может применяться лишь при угле дифракции, равном нулю, когда направление распространения волны совпадает с направлением, в котором решается уравнение связанных мод. При сравнительно малых углах дифракции, с которыми чаще всего приходилось иметь дело в акустооптике до недавнего времени, это обстоятельство не приводит к значительным ошибкам в решении. Однако, чем больше угол дифракции, тем менее допустимым является использование одномерной теории. Именно поэтому одномерное уравнение связанных мод используется в двух вариантах - для описания поперечной дифракции (угол падения и все углы дифракции близки к нулю) и коллинеарного взаимодействия (когда углы близки к 90о) [1]. Такой подход достаточен для акустически изотропных сред, в которых все другие режимы или принципиально невозможны, или трудно реализуемы. Однако в средах с сильной упругой анизотропией возможен, например, режим взаимодействия, когда исходный световой пучок падает на ультразвуковой столб сбоку, а пучок +1-го порядка дифракции оказывается направлен точно вдоль этого столба [40-43, 98-101]. Данный режим фактически является поперечным для нулевого порядка дифракции и коллинеарным для первого. Поэтому он может быть назван "полуколлинеарным". При этом задача описания полуколлинеарного взаимодействия становится существенно двумерной [94-101]. Неудивительно, что при описании полуколлинеарного и близких к нему режимов дифракции одномерная теория дает физически неадекватные результаты [40, 41, 95-97].

Дифракция Брэгга в неоднородном ультразвуковом поле

Необходимо отметить, что прямоугольный световой пучок не удовлетворяет условию применимости метода медленно меняющихся амплитуд (1.13) вблизи своих границ, так как градиент комплексной амплитуды обращается в бесконечность на границах пучка. Тем не менее, рассмотрение прямоугольного светового пучка является оправданным, поскольку позволяет весьма наглядно продемонстрировать некоторые общие закономерности, характерные для двумерного представления акустооптического взаимодействия. Решение дифракционной задачи для гауссова пучка света позволяет более точно моделировать электромагнитное поле, однако при этом приводит к более сложным вычислениям и отличается меньшей наглядностью.

Принципиальное отличие двумерного представления от одномерного заключается в том, что область взаимодействия ограничена в пространстве по двум координатам из-за конечных размеров светового и ультразвукового пучков. Как видно из рис. 2.1, это обстоятельство приводит к тому, что апертура световых пучков дифракционных порядков существенно отличается от апертуры падающего пучка. В п. 2.6 будет показано, что изменение апертуры световых пучков в процессе взаимодействия приводит к возникновению ряда эффектов, которые принципиально не могут быть описаны в рамках одномерной теории дифракции света на ультразвуке.

Двумерное моделирование дифракции света на ультразвуке в режиме Брэгга сводится к решению системы уравнений (2.1) с граничными условиями (2.2), что позволяет определить пространственную структуру взаимодействующих световых пучков, а также эффективность дифракции. Решение двумерной дифракционной задачи можно осуществлять различными способами. Из литературы известно, например, что систему двух уравнений первого порядка (2.1) можно свести к одному уравнению второго порядка гиперболического типа и решать его методом функций Римана [6, 104, 105, 111, 132-135]. Кроме того, систему дифференциальных уравнений (2.1) можно свести к двумерному интегральному уравнению с последующим нахождением его резольвенты [113]. Общий недостаток известных методов решения двумерной дифракционной задачи заключается в том, что каждый из них может применяться лишь в каком-либо частном случае, при этом не допуская обобщения на более сложные конфигурации и режимы дифракции. Данное обстоятельство отмечалось в работе [6] как неотъемлемый недостаток двумерного представления акустооптического взаимодействия, препятствующий его широкому использованию для решения дифракционных задач.

В настоящем исследовании разработан комплекс методов решения двумерной дифракционной задачи, включающий в себя как аналитические, так и численные методы решения. В основе предложенного метода лежит сведение двух дифференциальных уравнений к системе двух интегральных уравнений и ее решение известным методом последовательных приближений [120]. Нахождение последовательных приближений в общем случае может проводиться путем численного интегрирования на ЭВМ. При этом, в некоторых случаях оказывается возможным осуществить предельный переход, получая тем самым точное решение системы уравнений. Как будет показано в п. 2.5, использование метода последовательных приближений представляется вполне естественным для решения акустооптической задачи, поскольку каждое следующее приближение соответствует учету очередного акта рассеяния фотонов на фононах.

Двумерная задача дифракции света на ультразвуке в общем случае допускает лишь приближенное численное решение. При этом, аналитическое выражение для точного решения может быть получено лишь в ряде частных случаев. Тем не менее, на них целесообразно остановиться подробнее, так как аналитическое решение в отличие от численного допускает относительно наглядную качественную интерпретацию и анализ результатов.

Предлагаемый метод нахождения точного решения системы уравнений (2.1) основан на том, что данная система является линейной. Это означает, что линейная комбинация решений данной системы также является ее решением. Рассмотрим функции 0 1 (х, z) , являющиеся решением системы уравнений (2.1) с таким граничным условиями вида (2.2), где профиль падающего пучка света задается дельта-функцией Дирака, то есть

Необходимо особо подчеркнуть, что подобный вид граничных условий соответствует не точечному источнику света, а одной лучевой трубке светового пучка 0-го дифракционного порядка. Это объясняется тем, что двумерное уравнение связанных мод получено в приближении геометрической оптики и поэтому описывает распространение электромагнитной волны лишь вдоль единственного направления, определяемого лучевым вектором. Как известно, любая функция a (z) может быть представлена в виде линейной комбинации дельта-функций

Таким образом, задача нахождения решения уравнения связанных мод для падающего пучка света произвольной формы оказалась сведена к решению того же уравнения с граничным условием в виде дельта-функции.

Для нахождения решения системы (2.1) с граничными условиями (2.6) можно применить метод последовательных приближений, описанный в п. 2.5. При произвольном значении коэффициента связи q задача может быть решена аналитически лишь при условии в\ 90о, и искомые функции имеют вид

Вычисление коэффициентов акустооптического качества из двумерной теории взаимодействия

Целью экспериментального исследования явилась проверка вычисленных характеристик акустических волн, распространяющихся в кристалле: фазовой скорости, угла сноса энергии, а также энергетических коэффициентов отражения. Все перечисленные измерения проводились акустооптическим методом. Частота ультразвуковых волн в эксперименте составила величину /= 169 МГц, а длина волны света была равна X = 0,633 мкм. Согласно опубликованным данным о затухании ультразвуковых волн в кристалле парателлурита [169, 171, 172], ослабление каждой из исследуемых волн на расстоянии, определяемом размерами образца, не превысило для волн 1, 2, 2а и 2Ь величины 0,6 дБ. Для волны 1а это ослабление было равно 1,5 дБ. Подобные величины затухания оказались малыми в условиях описываемого эксперимента и не могли повлиять на точность проводимых измерений.

Фазовая скорость каждой из волн измерялась по положению светового пятна от падающего на экран дифрагированного пучка света: величина отклонения определяется модулем фазовой скорости, а направление отклонения совпадает с направлением волнового вектора ультразвуковой волны [156, 160-164]. При проведении измерений методом зондирования ультразвукового поля световым пучком вся площадь грани кристалла, расположенной параллельно плоскости (001), была разбита на квадраты. Зондирующий световой пучок, распространяющийся вблизи оси [001], направлялся поочередно в каждый из них, а по наличию или отсутствию на экране дифракционных пятен от той или иной ультразвуковой волны можно было судить о присутствии этой волны в данной области кристалла. Таким образом было получено изображение акустических пучков, распространяющихся в кристалле, подобное рис. 3.1б. Результаты измерений соответствовали теоретическим данным, приведенным в табл.3.1.

Следует отметить, что реальное ультразвуковое поле, существовавшее в кристалле, было значительно более сложным, чем показано на рис. 3.1б. Волны 1а, 2а и 2Ь, падая на соответствующие грани образца, приводили к появлению новых отраженных волн, которые, в свою очередь, также отражались от граней. Для того чтобы выделить исследуемые волновые пучки среди прочих волн, испытавших многократные отражения от граней кристалла, на пьезоэлемент подавались возбуждающие сигналы в форме радиоимпульсов со значительной скважностью. Дифрагированное световое излучение регистрировалось при помощи фотоэлектронного умножителя, выходной сигнал которого наблюдался на осциллографе с калиброванной скоростью развертки. Зная групповую скорость каждой из исследуемых волн и геометрические размеры образца, можно определить длительность задержки между началом возбуждающего радиоимпульса и появлением светового излучения, дифрагированного на соответствующей волне. Сопоставление величины временной задержки и пространственного положения дифрагированного светового пучка позволяло уверенно определить его принадлежность к той или иной акустической волне в кристалле. Отметим, что длительность возбуждающего радиоимпульса выбиралась достаточно большой, чтобы превышать время прохождения фронта ультразвуковой волны через апертуру зондирующего светового пучка. Это позволяло измерять установившуюся величину эффективности дифракции, не рассматривая динамику переходного процесса.

Мощность, переносимая каждым из ультразвуковых пучков, определялась путем измерения эффективности дифракции света на данном пучке. Конфигурация образца была такова, что из всех исследуемых волн лишь волны 1а и 2Ь могли зондироваться лазерным лучом, распространяющимся как вдоль оси Z, так и в плоскости XY. Ниже будет показано, что такое измерение является наиболее информативным, поскольку позволяет по отдельности определить мощность акустического пучка и соотношение сторон его сечения для каждой из указанных волн. Все остальные ультразвуковые пучки могли зондироваться лишь при распространении света вблизи оси Z, поэтому их мощность определялась путем сравнения с измеренными мощностями пучков 1а и 2Ь.

Известно, что кристалл парателлурита обладает свойством гиротропии, которая проявляется особенно заметно при распространении света вблизи оптической оси [171, 173]. Специальное исследование влияния гиротропии на процесс акустооптического взаимодействия в рамках настоящей работы не проводилось. Интерпретация экспериментальных результатов проводилась в допущении того, что при падении линейно поляризованного света на кристалл, поляризация света остается линейной и внутри кристалла, изменяя лишь свое направление в зависимости от пути светового луча в кристалле. Точный учет угла поворота плоскости поляризации в кристалле затруднен тем, что при изменении направления распространения света вблизи оптической оси (подстройка под брэгговский синхронизм) угол поворота плоскости поляризации значительно изменяется [173]. Поэтому расчетов угла поворота плоскости поляризации не производилось вовсе, а направление линейной поляризации входного света каждый раз подбиралось таким, чтобы эффективность акустооптического взаимодействия была максимальной. Так как общий размер всех ультразвуковых пучков в направлении оси [001], определяемый размером пьезопреобразователя и равный 1= \ мм, был достаточно малым, то поворотом плоскости поляризации в пределах области взаимодействия можно было пренебречь. Следует отметить, что известная из литературы величина поворота плоскости поляризации в кристалле парателлурита на длине волны света X = 0,633 мкм равна 84 граді мм [171] и быстро убывает при удалении от оптической оси. Это позволяло полагать, что поворот плоскости поляризации происходит в толще кристалла вне ультразвукового столба, а дифракцию на ультразвуке испытывает линейно поляризованный свет, направление которого отличается от поляризации входного излучения на эмпирически определяемый угол. В таком случае можно считать, что интенсивность дифрагированного света складывается из интенсивностей, определяемых анизотропной дифракцией и изотропной дифракцией линейной моды с такой поляризацией (в плоскости взаимодействия или перпендикулярно этой плоскости), которая характеризуется наибольшим значением акустооптического качества. Если акустооптическая связь является слабой, то можно считать, что величина эффективности дифракции прямо пропорциональна коэффициенту акустооптического качества. Кроме того, если угол Брэгга достаточно мал, то можно пренебречь зависимостью эффективности дифракции от угла падения света на ультразвуковой пучок, обусловленной угловой селективностью акустооптического взаимодействия. В этих условиях можно полагать, что коэффициенты акустооптического качества для изотропной и анизотропной дифракции суммируются. Поэтому каждой из акустических волн соответствует некий "эффективный" коэффициент акустооптического качества, равный где j - условный номер волнового пучка в кристалле, указанный на рис. 3.1, а значения М\ и Mj вычислены по формулам (3.13). Значение эффективного акустооптического качества для каждой из исследуемых волн приведено в соответствующем столбце табл. 3.2. Для нахождения соотношения, связывающего эффективность дифракции на каждой из волн в исследуемом образце, с соответствующим коэффициентом акустооптического качества, следует использовать формулу (3.1). При этом необходимо учесть, что размер всех ультразвуковых пучков в направлении оси Z был одинаков. Обозначив его через 1, а поперечный размер 7-ого пучка через d. (см. рис. 3.1б), можно определить площадь фронта данного пучка, равную S. = Id. I cos у/, . В результате получается следующее выражение, определяющее эффективность дифракции при распространении света вдоль оси Z:

Особенности обмена энергией между дифракционными порядками при полуколлинеарном взаимодействии

Для измерений была создана установка, схема которой приведена на рис. 4.10а. Основными требованиями, предъявленными при ее разработке, были возможность регистрации слабых оптических сигналов в инфракрасном диапазоне спектра, а также высокая степень автоматизации измерений. Основной частью измерительной установки явился прибор для измерения амплитудно-частотных характеристик Х1-42. Генераторный блок данного прибора служил задающим генератором высокочастотного радиосигнала, подаваемого на пьезоэлемент акустооптической ячейки. Особенностью разработанной установки было использование двойной модуляции высокочастотного сигнала, осуществляемой внутри задающего генератора. Высокочастотный радиосигнал одновременно подвергался как линейной частотной модуляции на частоте 0,1 Гц, так и амплитудной манипуляции сигналом "меандр" на частоте 700 Гц. Источником опорного сигнала "меандр" служил генератор Г3-36, обеспечивавший синхронную работу передающего и приемного трактов установки. В связи с тем, что выходной мощности задающего высокочастотного генератора оказалось недостаточно для возбуждения в ячейке ультразвуковой волны оптимальной мощности, в состав установки был включен предоконечный усилитель У3-33, а также оконечный усилитель мощности ЕЯ2.030.065-01 от генератора Г4-143. Для контроля мощности возбуждающего высокочастотного сигнала был использован электронный вольтметр В7-15.

Световое излучение с длиной волны 3,39 мкм от гелий-неонового лазера ЛГ-113 подвергалось дифракции в акустооптической ячейке. Излучение, отклоненное в +1-й порядок дифракции, регистрировалось при помощи фотоприемника ФСГ-22-3А1 на основе Ge:Au, охлаждаемого жидким азотом. Катодный повторитель на интегральной микросхеме служил для согласования высокого сопротивления фоторезистора со сравнительно низким выходным сопротивлением системы обработки сигнала. В силу того, что возбуждающий электрический сигнал подвергался амплитудной манипуляции сигналом "меандр", отклоненное световое излучение также оказывалось модулированным по амплитуде по закону меандра. Поэтому электрический сигнал, снимаемый с фотоприемника, содержал полезную составляющую на частоте 700 Гц, амплитуда которой была пропорциональна эффективности дифракции. Задачей, которая была решена при помощи системы обработки сигнала, состояла в измерении амплитуды указанного полезного сигнала в условиях значительных помех. Полный сигнал, снимаемый с фотоприемника, подавался на вход селективного измерительного усилителя У2-6, узкополосную фильтрацию сигнала на частоте 700 Гц и его калиброванное усиление до величины, требуемой для дальнейшей обработки. Окончательное выделение полезного сигнала из помех осуществлялось в измерительном преобразователе В9-2, специально предназначенном для работы в комплексе с усилителем У2-6. Прибор В9-2 сравнивал подаваемый на его вход сигнал с опорным сигналом "меандр" и выделял из входного сигнала лишь ту его квадратурную составляющую, которая совпадала с опорным сигналом по фазе. Выходным сигналом прибора было постоянное напряжение, получаемое в результате синхронной демодуляции, величина которого была пропорциональна амплитуде полезного сигнала и эффективности акустооптической дифракции. Величина выходного напряжения измерялась при помощи стрелочного индикатора, встроенного в прибор В9-2, а также выводилось на экран осциллографического индикатора прибора Х1-42. В связи с тем, что период линейной частотной модуляции возбуждающего радиосигнала в приборе Х1-42 был выбран значительно большим, чем постоянная времени синхронного демодулятора В9-2, на экране осциллографического индикатора можно было непосредственно наблюдать форму зависимости эффективности дифракции от частоты ультразвука. Для более точной регистрации сигнала в отдельных точках этой зависимости была предусмотрена возможность остановки качания высокой частоты с отсчетом величины сигнала в данной точке по стрелочному прибору. Единственной помехой, которая принципиально не могла быть устранена методами узкополосной фильтрации и синхронной демодуляции, являлась наводка, синфазная с опорным сигналом "меандр". Данная помеха выражалась в аддитивной систематической погрешности, вносимой в выходной сигнал. Для ее устранения перед каждым проведением измерений осуществлялась установка обоих индикаторов (осциллографического и стрелочного) на "ноль" при механически закрытом окне фотоприемника и включенном высокочастотном сигнале.

Таким образом, примененная в установке система обработки сигнала осуществляла селекцию полезного сигнала от помех по всем трем параметрам - частоте, фазе и амплитуде, что и явилось основой высокой чувствительности измерительной системы. Соотношение сигнал-шум в процессе обработки повышалось на 50 дБ по сравнению с таким соотношением в исходном сигнале, снимаемом с выхода фотоприемника. При этом, наименьшее напряжение полезного сигнала на частоте 700 Гц на выходе фотоприемника, которое еще было возможно зарегистрировать, не превышало 1 мкВ, что соответствовало эффективности дифракции 210-6. Для сравнения следует отметить, что в акустооптике достаточно редко встречаются точные измерения эффективности дифракции менее 10-4 даже в видимой области спектра, для которой существуют намного более чувствительные фотоприемники (ФЭУ), чем для инфракрасного диапазона.

В результате эксперимента была определена ширина частотной полосы полуколлинеарной дифракции 0,60 + 0,04 МГц при использовании широкого гауссова пучка света (b = 2 мм) и 1,4 + 0,1 МГц при использовании узкого прямоугольного пучка света (b = 0,9 мм). Данные результаты находятся в согласии с теоретическими данными, полученными по формулам (4.17) и (4.13), соответственно. Тем самым, был подтвержден сделанный в п. 4.2 вывод о том, что ширина частотной полосы взаимодействия в полуколлинеарном режиме дифракции существенно определяется апертурой светового пучка [95, 97-101]. Эффективность дифракции при синхронизме составляла величину 3,610-4 в пересчете на 1 Вт электрической мощности, подводимой к пьезопреобразователю, то есть 0,3 Вт акустической мощности пучка. Теоретическое значение эффективности дифракции при данной мощности и параметрах l = 0,2 мм и b = 2 мм, рассчитанное по формуле (4.16), составляет величину 1,410-3. Различие в 4 раза по сравнению с величиной, измеренной в эксперименте, может быть обусловлено значительным затуханием ультразвуковой волны на длине взаимодействия. Как показано в п. 4.4, затухание ультразвука весьма слабо влияет на частотный диапазон взаимодействия, однако при этом приводит к значительному падению эффективности дифракции. Именно этим можно объяснить, что измеренная ширина частотной полосы полуколлинеарной дифракции оказалась соответствующей теоретическим данным, а измеренная эффективность дифракции оказалась в несколько раз ниже теоретически предсказанной. К сожалению, в литературе отсутствуют точные данные по затуханию ультразвуковых волн с большими углами сноса в парателлурите, поэтому провести количественный анализ полученных результатов не представляется возможным.