Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Проблемы моделирования тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата водоподготовки для парогенераторов АЭС и ТЭС 23
1.1 Методы улучшение качества воды, используемой в парогенераторах и для подпитки пароводяного контура паровых котлов в теплоэнергетике 23
1.2 Электродиализные аппараты водоподготовки 37
1.3 Одномерные математические модели переноса ионов соли в электродиализных аппаратах 44
1.4 Двумерные математические модели переноса ионов соли в канале обессоливании электродиализных аппаратов 64
1.5 Трехмерные математические модели тепломассопереноса в каналах обессоливания электродиализных аппаратов 77
Выводы по главе 1 79
ГЛАВА 2. Математические методы исследования тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата 83
2.1 Метод факторизации 85
2.2 Метод Шлегля для стационарного переноса в диффузионном слое при выполнении условия электронейтральности 91
2.3 Метод декомпозиции стационарной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона 97
Выводы по главе 2 108
ГЛАВА 3. Моделирование тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата для бинарного электролита 111
3.1 Основные уравнения, описывающие тепломассоперенос бинарного электролита в камере обессоливания 113
3.2 Вывод декомпозиционной системы уравнений 115
3.3 Вывод и обоснование модельных задач 122
3.4 Переход к безразмерному виду 126
3.5 Асимптотическое решение модельной задачи с учетом пространственного заряда 130
3.6 Вывод формул для расчета тепла, выделяющегося при джоулевом разогреве раствора 137
Выводы по главе 3 138
ГЛАВА 4. Вывод и обоснование формул для инженерных расчетов. основные закономерности тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата водоподготовки для парогенераторов АЭС и ТЭС 141
4.1 Вывод и обоснование формул для инженерных расчетов для обобщенной концентрации 141
4.2 Вывод и обоснование формул для приближенного решения краевой задачи для функции rj в области электронейтральности 149
4.3 Вывод и обоснование формул для приближенного решения краевой задачи для функции 77 в области пространственного заряда 155
4.4 Вывод и обоснование формул для расчета теплопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата 164
4.5 Основные закономерности тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата 174
4.6. Новые принципиальные схемы организации технологического процесса электродиализа 182
Выводы по главе 4 185
Заключение 187
Список использованных источников 189
- Одномерные математические модели переноса ионов соли в электродиализных аппаратах
- Метод Шлегля для стационарного переноса в диффузионном слое при выполнении условия электронейтральности
- Асимптотическое решение модельной задачи с учетом пространственного заряда
- Вывод и обоснование формул для приближенного решения краевой задачи для функции rj в области электронейтральности
Введение к работе
Актуальность темы.
Одной из важнейших научно-технических проблем является улучшение качества воды, используемой в парогенераторах и для подпитки пароводяного контура паровых котлов в теплоэнергетике, поскольку надежность и эффективность эксплуатации оборудования энергетических предприятий существенно зависит от систем водоподготовки. Ряд нормативных документов, таких как «Правила технической эксплуатации электрических станций и сетей РФ», «Правила устройства и безопасной эксплуатации паровых и водогрейных котлов» устанавливают показатели, которым должна соответствовать применяемая на ТЭС и АЭС вода. Повышенная повреждаемость поверхностей нагрева оборудования наблюдается на тех АЭС и ТЭС, где недостаточно внимания уделяется поддержанию необходимого водно-химического режима, поскольку примеси в рабочей среде парогенератора приводят к образованию накипи и отложений и соответственно, к ухудшению эксплуатационных и технико-экономических характеристик ТЭС и АЭС.
Обработка воды на ТЭС осуществляется обычно на специальных водоподготовительных установках (ВПУ). В настоящее время на ВПУ ТЭС применяются современные противоточные технологии ионообменного обессоливания, мембранные методы обработки и очистки воды, методы термической дистилляции, требующие существенных затрат тепловой и электрической энергии. Они влекут за собой вторичное солевое загрязнение окружающей среды. Введение в комплексы для водоподготовки электромембранных модулей резко снижает количество используемых реагентов и увеличивает экологическую целесообразность технологии, улучшает эксплуатационные и технико-экономические характеристики ТЭС и АЭС. Кроме того, электродиализные аппараты имеют высокую эффективность и низкий расход электроэнергии. Разработкой и анализом схем ВПУ с электродиализными аппаратами водоподготовки занимались Заболоцкий В.И., Никоненко В.В., Письменская Н.Д., Слесаренко В.В., Козлов Е.В., Thompson D., Trembley A. и др.
Совершенствованию систем ВПУ на электростанциях и котельных, разработке новых агрегатов и технологий водоподготовки посвящены исследования ведущих организаций по проектированию и созданию теплотехнического оборудования: ВТИ, ЦКТИ, ФГУ ВНИИАМ, ООО НПП «Энергоперспектива», ВНИИПИЭнергопром, Институт Теплоэлектропроект и др.
Для решения задач по совершенствованию систем ВПУ, улучшению их эксплуатационных и технико-экономических характеристик, разработке новых конструкций или технологических схем, необходимо исследовать закономерности тепломассопереноса в этих системах, включая тепломассоперенос в электродиализных аппаратах водоподготовки. Наиболее полную информацию о закономерностях процесса электродиализного обессоливания позволяет получать математическая модель.
Таким образом, темы диссертационной работы, посвященной построению и исследованию пространственных (двух и трехмерных) математических моделей тепломассопереноса в камерах обессоливания электродиализных аппаратов водоподготовки, построению эффективных алгоритмов асимптотического и численного анализа, а также установлению основных закономерностей процесса тепломассопереноса следует признать актуальной для промышленной теплоэнергетики.
Актуальность темы исследования подтверждается поддержкой, оказанной работе Федеральным Агентством по образованию и науке РФ в рамках темы 1.4.08 («Методы регулярного представления сингулярно возмущенных уравнений и их приложения. Метод модулирующих функций в обратной задаче теории фильтрации» (направление фундаментальных научных исследований «Рациональное природопользование»)) и гранта РФФИ-Юг (№ 09-08-96529 «Модифицирование поверхности ионообменных мембран с использование углеродных нанотрубок с целью совершенствования процессов электродиализного обессоливания и концентрирования»).
Цели исследования. Установление основных закономерностей тепломассопереноса в камере обессоливания электродиализного аппарата, входящего в гибридный электромембранный комплекс водоподготовки для парогенераторов АЭС и котлов ТЭС путем математического моделирования процесса тепломассопереноса с учетом пространственного заряда и джоулевого разогрева раствора.
Научная новизна.
-
Из системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона выведена новая декомпозиционная система электродиффузионных уравнений для бинарного электролита, включающая новое уравнение для плотности электрического тока.
-
Разработаны модели, адекватно описывающие процессы тепломассопереноса в камерах обессоливания электродиализных аппаратов водоподготовки ТЭС и АЭС с учетом пространственного заряда и джоулевого разогрева раствора.
-
Предложены новые методы описания механизма тепломассопереноса в камере обессоливания электродиализного аппарата, которые доведены до формул пригодных для инженерных расчетов.
-
Впервые выявлены основные закономерности тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата для бинарного электролита, а именно структура распределения электрохимических и температурных полей по ширине и длине канала, влияние на тепломассоперенос пространственного заряда и джоулевого разогрева раствора при различных значениях технических и технологических параметров электродиализного аппарата.
-
Предложены новые принципиальные схемы организации технологического процесса электродиализа, основанные на дополнительном подогреве или охлаждении раствора в камерах концентрирования, в зависимости от ориентации камер обессоливания относительно поля тяжести Земли.
Практическая ценность.
-
Алгоритм декомпозиции систем электродиффузионных уравнений, позволяет исследовать тепломассоперенос в канале обессоливания электродиализного аппарата для бинарного электролита при любых токовых режимах, совершенствовать численные и асимптотические методы решения, строить различные упрощенные модели переноса ионов соли. Этот алгоритм пригоден для решения других задач тепломассопереноса в промышленной теплотехнике, экологии и электрохимии. Он может быть использован в задачах нанотехнологий, где описание тепломассопереноса строится на основе уравнений Нерста-Планка, Пуассона и уравнения теплопроводности.
-
Методы асимптотического и численного решения краевых задач, соответствующих математическим моделям тепломассопереноса в камере обессоливания электродиализного аппарата для бинарного электролита и установленные нами основные закономерности этого переноса открывают возможность изучения тепломассопереноса в электродиализных аппаратах очистки воды при жестких токовых режимах. Они могут быть использованы научно-исследовательскими группами, проектными организациями, отделами и инженерными центрами, занимающимися проблемами водоподготовки и водно-химических режимов ТЭС, а также для решения других задач тепломассопереноса в промышленной теплотехнике, например, в математических моделях очистки сточных вод АЭС от ионов тяжелых металлов, радионуклеидов и т.д.
-
Предложенные нами принципиальные схемы организации технологического процесса электродиализа, основанные на дополнительном подогреве или охлаждении раствора в камерах концентрирования могут быть использовании для повышения эффективности электродиализных аппаратов водоподготовки, при разработке новых конструкций этих аппаратов.
Внедрение. Результаты диссертационного исследования использованы в работе инновационного технологического Центра «Кубань-Юг» при проектировании новых систем водоподготовки, учебном процессе ГОУ «КубГТУ» и «КубГУ».
Достоверность результатов. Достоверность исследований подтверждается согласованием их с известными положениями теории тепломассопереноса, электрохимии, сходимостью результатов теоретических и экспериментальных исследований. Проверка адекватности модели проведена на основе сопоставления результатов расчета с имеющимися экспериментальными данными.
Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены лично автором. Диссертанту принадлежат: алгоритм полной декомпозиции системы электродиффузионных уравнений для бинарного электролита при нарушении условия электронейтральности, декомпозиционная система уравнений, включая новое уравнение для плотности тока, математические модели процесса тепломассопереноса в камере обессоливания электродиализного аппарата, приближенные аналитические формулы. Им лично выявлены основные закономерности тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата для бинарного электролита, предложены принципиальные схемы организации технологического процесса электродиализа, основанные на дополнительном подогреве или охлаждении раствора в камерах концентрирования.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Полная декомпозиционная система электродиффузионных уравнений, включая уравнение для плотности электрического тока, устанавливающее соответствие между плотностью тока, напряженностью электрического поля и концентрацией электролита.
-
Адекватные математические модели процесса тепломассопереноса в камерах обессоливания электродиализных аппаратах водоподготовки при интенсивных токовых режимах эксплуатации и алгоритмы численного и асимптотического решения соответствующих краевых задач. Приближенные аналитические формулы для расчета электрохимических и температурных полей по ширине и длине канала обессоливания, включая формулы пригодные для инженерных расчетов.
-
Основные закономерности тепломассопереноса в камере обессоливания электродиализного аппарата в двухмерном случае, а именно структура распределения электрохимических и температурных полей по ширине и длине канала, влияние на тепломассоперенос пространственного заряда и джоулевого разогрева раствора при интенсивных токовых режимах.
-
Новые принципиальные схемы организации технологического процесса электродиализа с использованием мембран МК-40М и МА-40М с модифицированной поверхностью, основанные на дополнительном подогреве или охлаждении раствора в камерах концентрирования, в зависимости от ориентации камер обессоливания относительно поля тяжести Земли.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции «Ion transport in organic and inorganic membranes» (Krasnodar 2010), IV-VI Всероссийских конференциях «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Анапа (2008, 2009, 2010)), Региональной конференции «Вклад фундаментальных научных исследований в развитие современной инновационной экономики Краснодарского края» (2009); научных конференциях по вычислительной математике и механике студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики ГОУ «КубГУ» (Краснодар (2009, 2010)); на научных семинарах кафедры промышленной теплоэнергетики и тепловых электростанций и кафедры физики ГОУ «КубГТУ» (2008, 2009, 2010), кафедры теоретической физики и компьютерных технологий и кафедры электрохимии ГОУ «КубГУ» (2009, 2010).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 15 печатных работ, из них 1 монография, 5 статей, 9 тезисов докладов, в том числе 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов докторских и кандидатских диссертаций.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (218 наим.), двух приложений. Работа изложена на 210 стр., в том числе содержит 29 рисунков, 30 таблиц.
Одномерные математические модели переноса ионов соли в электродиализных аппаратах
Концентрации электролита в камере обессоливания особенно сильно падает у поверхности мембран, возле межфазной границы. С увеличением плотности тока концентрация раствора на межфазной границе уменьшается, а напряженность электрического поля возрастает. Дальнейшее увеличение плотности тока приводит к тому, что концентрация электролита на межфазной границе приближается к нулю, поскольку, ионы соли из ядра потока не успевают компенсировать их убывание. Простейшая математическая модель переноса ионов бинарной соли, учитывающая лишь электромиграцию и диффузию, показывает [56] , что дальнейшее увеличение плотности тока теоретически невозможно. Эту плотность тока называют «предельной плотностью тока» [56], или просто предельным током. Теоретически предельный ток /пр определяется из условия равенства нуля концентрации ионов в указанной выше математической модели переноса бинарного электролита в диффузионном слое Нернста под действием только электромиграции и диффузии. На практике наиболее часто предельный ток определяют по характерному «плато» вольтамперной характеристики, по методу касательных или по методу Коуна и Брауна [56]. Однако при использовании электродиализа для обессоливания электролитов используются плотности тока в десятки раз больше теоретической предельной плотности тока, следовательно, запредельное состояние электродиализа определяется другими явлениями, возникающими при запредельных токах.
Как отмечалось выше при токах близких к предельному, концентрация ионов соли на межфазной границе у поверхности мембраны становится близкой к нулю. При этом возрастают локальное сопротивление и напряженность электрического поля, что приводит к джоулевому разогреву электролита, и, если ширина камеры обессоливания достаточно большая, то и к гравитационной конвекции. Если поверхности мембран имеют неоднородную электропроводность (мембраны гетерогенные), то появляется тангенциальная составляющая массовой силы, приводящая к кулоновской конвекции (электроконвекции) [40]. При большой плотности тока электроконвекция может возникать и вследствие электрохимической неустойчивости [67]. Кроме того, при большой плотности тока возникает и занимает макроскопический объем пространственный заряд, начинается реакция диссоциация-рекомбинации ионов воды, причем диссоциация сопровождается выделением, а рекомбинация поглощением тепла.
Указанные выше явления приводят к, так называемому, сверхпредельному массопереносу. Возникает проблема теоретической и экспериментальной оценки вклада каждого из них в общий тепломассоперенос.
В работах [127-130] теоретически, на основе использование одномерных математических моделей, показано, что само по себе, появление и рост области пространственного заряда незначительно повышает перенос ионов соли. Тем не менее, появление пространственного заряда приводит к ряду новых процессов тепломассопереноса [4-8, 72-73, 77-78, 89-90, 156-157, 176, 180, 193-196]. Теоретические исследования и экспериментальные данные позволяют считать [127], что вклад эффекта экзальтации, вызванного реакцией диссоциация-рекомбинации ионов воды и появлением новых носителей тока, а именно ионов Н+ и ОН в свехпредельный тепломассоперенос сравнительно невелико. В работах [73, 101] была проанализирована роль гравитационной («естественной», «свободной», «термо») конвекции и указаны условия, при которых она имеет существенное влияние на тепломассообмен. Для этого, например, необходимо, чтобы ширина камеры обессоливания была достаточно большей. Для узких каналов роль гравитационной конвекции незначительна. Теоретическое исследование электроконвекции, как и явления электрохимической неустойчивости в настоящее время интенсивно развиваются [193-196], однако из-за имеющихся математических трудностей находится, по - видимому, в начальной стадии. Математические модели тепломассопереноса в камере обессолива-ния электродиализного аппарата можно классифицировать по разным признакам. На наш взгляд, наиболее удобной является следующая иерархическая классификация: 1. На первом этапе модели классифицируются по размерности задачи, а именно, математические модели делятся на одномерные, описывающие, как правило, тепломассоперенос с использование идеи диффузионного слоя Нернста и его различных модификаций, двумерные и трехмерные. С увеличением размерности модели математические трудности существенно усложняются. 2. На втором этапе математические модели дополнительно классифицируются по признаку выполнения условия электронейтральности или его нарушения за счет учета пространственного заряда. Учет пространственного заряда в математических моделях на порядок повышает трудность численного и математического анализа соответствующих задач, поскольку они становятся сингулярно возмущенными из-за появления при естественной нормировке малого параметра при операторе Лапласа в уравнении Пуассона [14, 15, 30, 110]. Однако учет пространственного заряда позволяет исследовать ряд интересных явлений: джоулевый разогрев электролита, электроконвекции первого и второго рода и т.д. 3. На третьем этапе математические модели дополнительно классифицируются по исследуемым физическим явлениям.
Метод Шлегля для стационарного переноса в диффузионном слое при выполнении условия электронейтральности
В результате проведенного в главе 1 аналитического обзора можно сделать следующие выводы: 1. Введение в комплексы для водоподготовки электромембранных блоков сокращает эксплуатационные расходы, вызванные необходимостью регенерации ионообменных смол и утилизации больших объемов вторичных загрязнений, резко снижает количество используемых реагентов и улучшает экологические характеристики гибридного электромембранного комплекса и, соответственно, улучшаются технико-экономические характеристики ТЭС и АЭС. Электродиализные методы позволяют концентрировать и извлекать из сточных вод ценные вещества, например, концентрировать разбавленные радиоактивные стоки АЭС. Несмотря на большое количество работ по электромембранным технологиям в области водоподготовки, имеется лишь небольшое число работ, посвященных математическому моделированию процессов происходящих в электродиализных аппаратах. Таким образом, математическое моделирование и исследование процессов переноса в электродиализных аппаратах очистки воды, определение оптимальных технологических и эксплуатационных параметров электродиализных аппаратов, повышающих эффективность их работы, непосредственно связано с важнейшей научно-технической проблемой водоподго-товки для парогенераторов ТЭС и АЭС и, соответственно, с проблемой улучшения технико-экономических характеристик ТЭС и АЭС. 2. При интенсивных токовых режимах, применяемых на практике в на стоящее время возникают вторичные или сопряженные явления кон центрационной поляризации: пространственный электрический заряд занимает макроскопическую область, вблизи границы мембра на/раствор интенсивно протекает диссоциация воды и продукты диссо циации (Н+ и ОН" — ионы) участвуют в переносе заряда; происходит джоулевый разогрев раствора, в системе возникают микроконвектив ные течения разной природы, интенсифицирующие массоперенос. Для оценки влияния каждого из этих явлений на перенос ионов соли необходимо провести их теоретическое исследование с использование математического моделирования. 3. Математические модели тепломассопереноса в камере обессоливания электродиализного аппарата водоподготовки можно классифицировать по разным признакам. Нами предложена, на наш взгляд, наиболее удобная иерархическая классификация: а) на первом этапе модели классифицируются по размерности задачи, а именно, математические модели делятся на одномерные, описывающие, как правило, тепломассоперенос с использование идеи диффузионного слоя Нернста и его различных модификаций, двумерные и трехмерные. С увеличением размерности модели математические трудности существенно усложняются; б) на втором этапе математические модели дополнительно класси фицируются по признаку выполнения условия электронейтральности или его нарушения за счет учета пространственного заряда. Учет пространст венного заряда в математических моделях на порядок повышает трудность математического анализа соответствующих задач, поскольку они стано вятся сингулярно возмущенными из-за появления при естественной нор мировке малого параметра при операторе Лапласа в уравнении Пуассона. Однако учет пространственного заряда позволяет исследовать ряд инте ресных явлений: джоулевый разогрев электролита, электроконвекции пер вого и второго рода и т.д.; в) на третьем этапе математические модели дополнительно класси фицируются по исследуемым физическим явлениям. Предлагаемая классификация, где в основу положены математические особенности моделей, приведена в табл. 1.1. Этот упор на математические особенности здесь допустим, поскольку производится классификация математических моделей. Однако с физической точки зрения классификация, очевидно, должна начинаться с явления, изучаемого данной математической моделью, и потом уже, дальше уточняться; г) дополнительную классификацию математических моделей мас сопереноса ионов соли с условием электронейтральности в диффузионном слое, мы предлагаем проводить по числу ионов, учитываемых в данной модели и по исследуемому явлению (см. табл. 1.2); д) классификация математических модели массопереноса ионов со ли с учетом пространственного заряда производится нами по числу ионов и по исследуемому явлению и приведена в табл. 1.3; е) классификация двумерных математических моделей тепломассо переноса в камере обессоливания, связанных с естественной конвекцией и конвективной устойчивостью, производится нами, как и везде выше, по числу ионов и по исследуемому явлению и приведена в табл. 1.5. Во всех таблицах указаны решенные задачи и отмечены нерешенные проблемы. 4. В предшествовавших работах по математическому моделированию тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата, в основном использовались одномерные математические модели, основанные на идее диффузионного слоя Нернста. Моделирование переноса ионов соли в диффузионном слое (одномерные модели) означает пренебрежение изменением электрохимических полей по длине камеры обессоливания и использование эмпирической толщины диффузионного слоя. Это не позволяло достаточно полно исследовать процессы тепломассобмена, которые по своей природе являются неодномерными. Использование одномерных моделей связано в первую очередь с математическими трудностями исследования двухмерных и трехмерных моделей. Имеется небольшое число двухмерных и трехмерных моделей в которых изучается перенос ионов соли, однако в этих работах рассмотрены только частные случаи.
Асимптотическое решение модельной задачи с учетом пространственного заряда
При математическом моделировании различных задач мембранной электрохимии, нанотехнологий возникает необходимость решения краевых задач для системы электродиффузионных уравнений.
Структура электродиффузионных уравнений неудобна для численного и асимптотического анализа, для вывода различных моделей. Нужно еще учесть, что, при переходе к безразмерному виду с использованием характерных для электродиализа величин, получается малый безразмерный параметр при старшей производной в уравнении Пуассона, т.е., уравнение Пуассона становится сингулярно возмущенной. А, как известно, краевые задачи для сингулярно возмущенные уравнений относятся к «жестким» задачам и плохо поддаются численному решению. Отсюда следует, что систему электродиффузионных уравнений необходимо преобразовать виду удобному для решения указанных проблем.
Авторы работ [5, 6, 126] предложили метод расщепления (декомпозиции) электродиффузионных уравнений и, сочетая этот метод с методом факторизации, создали достаточно общую теорию переноса бинарного и тернарного электролита [7, 8] в диффузионном слое, т.е. для одномерного случая. Они же получили некоторые результаты по теории переноса произвольного факторизованного электролита в одномерном случае.
В этой главе мы описываем, разработанное нами обобщение метода декомпозиции на двумерный и трехмерный случай. Принципиальным моментом является то, что в двумерном и трехмерном случаях вектор-функция плотности тока является неизвестной, поэтому необходимо вывести новое уравнение из исходной системы электродиффузионных уравнений.
Нами выведено такое уравнение и оно совместно с системой декомпозиционных уравнений, позволяет однозначно определить все искомые функции. Из этой совместной системы уравнений путем анализа членов уравнения можно вывести различные упрощенные модельные задачи, а также асимптотическое представление решений соответствующих краевых задач. В этой главе нами выведены две модельные задачи, - одна при выполнении условия электронейтральности, а другая при нарушении этого условия. Нужно еще особо отметить, что декомпозиционные уравнения, имеют, как правило, вид канонических уравнений в частных производных, что упрощает численное решение, а зачастую и позволяет использовать стандартные пакеты прикладных программ.
В п. 3.1 приведены основные уравнения тепломассопереноса, в камере обессоливания электродиализного аппарата, анализируется условия и границы их применимости. В п. 3.2 приведен алгоритм полной декомпозиции системы электродиффузионных уравнений и получена система декомпозиционных уравнений, включая новое уравнение для обобщенной плотности тока. В п. 3.3 дан вывод и обоснование двумерной и трехмерной моделей тепломассоперноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата, как с учетом выполнения, так и нарушения условия электронейтральности. В п. 3.4 приведен переход к безразмерному виду и дана оценка параметров при характерных для камеры обессоливания значениях данных. В п. 3.5 приведено найденное нами асимптотическое представление решения краевой задачи тепломассопереноса из п.3.4. Выявлена структура электрохимических полей и показано, что канал обессоливания, разбивается на различные области: электронейтральности, пространственного заряда, промежуточного слоя, причем асимптотическое представление решения имеет разный вид в различных областях. В п. 3.6 выведены формулы для расчета тепла выделяемого при пропускании через раствор постоянного тока (джоулевый разогрев раствора), даны относительные оценки тепла выделяемого в областях электронейтральности и пространственного заряда. Тепломассоперенос бинарного электролита в камере обессоливания электродиализного аппарата сопровождается рядом электрохимических процессов, включая конвективный перенос, диффузию, электромиграцию, образование пространственного заряда, джоулевый разогрев электролита, диссоциацию-рекомбинацию ионов воды и т.д. Будем предполагать электролит разбавленным, что позволяет пренебречь взаимодействием между растворенными компонентами. При этих условия поток ионов каждого сорта удовлетворяет системе уравнений Нернста-Планка [96]: 7,- = -z-UiFCFv - A-VQ + CtV, і = 1..п, здесь: С/ и ji — концентрация и поток ионов г -го сорта, V — скорость течения раствора электролита, R — универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная температура (R, Т см. ниже), п - число различных сортов ионов в электролите, справа первый член уравнения описывает электромиграцию, второй диффузию, а третий - конвективный перенос ионов соли вместе с потоком жидкости. Заметим, что поток измеряется в моль/(см -с). Функция р в первом члене представляет собой электростатический потенциал. Величины zt, ut, F, Dt представляют собой зарядовые числа, подвижности ионов, число Фарадея и коэффициенты диффузии соответственно. Второй член описывает поток ионов, вызванный градиентом концентрации ионов соли, т.е. молекулярную диффузию, а третий член, — конвективный перенос вместе с движения раствора.
Вывод и обоснование формул для приближенного решения краевой задачи для функции rj в области электронейтральности
При протекании постоянного электрического тока в цепи, формируется поле обобщенной концентраций, описываемой краевой задачей (4.1)-(4.3). Выше были получены различные упрощенные формулы для инженерных расчетов обобщенной концентрации, наиболее удобной из них является формула:
Обозначим через thn, tam числа переноса катионообменной и анио-нообменной мембран, тогда А = thnicp и В = amicp. Обратим внимание на то, что А 0, а В 0, причем А Щ. Если thn tam, то А \В\ и распределение обобщенной концентрации будет несимметрично возле межфазных границ и т.к. ее распределение определяет область пространственного заряда, эта область также будет несимметричной возле межфазных границ, причем область пространственного заряда возле катионообменной мембраны будет больше. Если числа переноса катионообменной и анионооб-менной мембран достаточно близки, то можно положить В = -А, тогда область пространственного заряда возле межфазных границ будет симметричной. Из формулы (4.66) и рис 4.14 следует, что обобщенная концентрация линейно убывает по у (вниз по потоку), следовательно область пространственного заряда также линейно расширяется при увеличении у. Физически это означает, что с уменьшением концентрации область пространственного заряда расширяется.
Суммарная концентрации катионов и анионов S0 = С} + С2, а значит и их парциальные концентрации, в области пространственного заряда практически равны нулю. Однако, если для оценки парциальных концентраций использовать более точный метод, а именно использовать уравнения Нернста-Планка, то получим, что в области пространственного заряда возле катионообменной мембраны, концентрации анионов экспоненциально малы, в то время как С1(х,у)-0(4є), следовательно возникновение области пространственного возле катионообменной мембраны обусловлено значительным превышением в этой области концентрации катионов над концентрацией анионов. Физически это вполне очевидно и объясняется селективностью катионообменной мембраны по отношению к катионам. Математическая модель дает в данном случае количественную оценку дисбаланса катионов и анионов в области пространственного заряда возле катионообменной мембраны.
Аналогичные рассуждения, с заменой катионов на анионы и наоборот, справедливы и в области пространственного заряда возле анионооб-менной мембраны.
Распределение концентрации в канале обессоливания, полученное нами, с учетом пространственного заряда отличается от распределения концентрации, получаемого в рамках моделей, предполагающих выполнения условия электронейтральности, например конвективно-диффузионной модели, наличием областей пространственного заряда. В то же время распределение концентрации в области электронейтральности качественно совпадает с распределение концентрации, например конвективно-диффузионной. В случае конвективно-диффузионной модели сечение поля концентраций по оси OY (концентрационный профиль) представляет собой кривую близкую к параболе ([52], с. 267), сдвинутой в сторону анио-нообменной мембраны.
В нашей модели в области электронейтральности Е(х,у,є) =0(1), поэтому S(x,y,s)&S0(x,y) = 2Cj(x,y) = 2C2(x,y). Следовательно, и в нашей модели, концентрации в области электронейтральности хорошо аппроксимируются параболической функцией (4.66). Концентрация катионов и анионов в области электронейтральности линейно уменьшается по длине канала вследствие переноса катионов через катионообменную и анионов — через анионообменную мембрану.
Основной вывод, который можно сделать относительно поля плотности тока, — это поле практически ортогонально плоскости мембран, причем как в области электронейтральности, так и в области пространственного заряда. Из формулы (4.32) следует, что в области пространственного заряда поле плотность тока практически постоянное.
В области электронейтральности координаты плотность тока убывает с увеличением у (вниз по потоку), что объясняется соответствующим уменьшением концентрации.
Напряженность электрического поля изменяется в соответствии с изменением поля концентрации согласно формулам (3.69), (3.70).
