Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Моделирование теплового состояния оптической системы 20
1.1 Постановка задачи теплопроводности 23
1.1.1 Условия внешнего теплообмена объектива на орбите 25
1.1.2 Граничные условия 26
1.2 Подход с использованием преобразования Лапласа 27
1.3 Граничное интегральное уравнение теплопроводности 30
1.4 Метод граничных элементов 33
1.5 Фундаментальное решение осесимметричной задачи для уравнения Гельмгольца 36
1.5.1 Фундаментальное решение осесимметричной задачи для уравнения Лапласа 38
1.5.2 Асимптотика фундаментального решения осесимметричного уравнения Гельмгольца 40
1.6 Асимптотические решения уравнения Гельмгольца 42
1.6.1 Асимптотика решения уравнения Гельмгольца при больших значениях к 44
1.6.2 Асимптотика решения уравнения Гельмгольца при малых значениях к 48
1.7 Расчет внутренних тепловыделений 50
1.7.1 Преобразование объемных интегралов 55
1.7.2 Построение гармонической аппроксимации распределения внутренних источников 56
1.8 Уравнения теплообмена излучением 58
1.8.1 Теплообмен излучением в линейном приближении . 59
1.8.2 Угловые коэффициенты теплообмена излучением в системе сферических и конических поверхностей . 61
1.8.3 Угловые коэффициенты для граничных элементов . 66
1.9 Задача теплообмена для системы связанных тел 67
1.10 Вычисление функционалов поля температуры 71
1.11 Моделирование теплового состояния термостатирующей оболочки 73
1.11.1 Весовая функция термостатирующей оболочки 73
1.11.2 Уравнение для температуры теплоносителя 76
1.12 Задача термоупругости 78
1.12.1 Фундаментальное решение осесимметричной задачи теории упругости 80
1.12.2 Интегральные соотношения линейной термоупругости 82
1.12.3 Преобразование объемных интегралов 84
1.12.4 Метод граничных элементов 86
1.12.5 Вычисление функционалов от поля напряжений 87
1.13 Численное обращение преобразования Лапласа 88
Глава 2 Термоаберрации оптической системы и качество изображения 92
2.1 Волновые аберрации, вызываемые изменением температуры 95
2.1.1 Влияние температурного изменения показателя преломления 97
2.1.2 Влияние пьезооптического эффекта 98
2.1.3 Аберрации, вызываемые тепловыми деформациями 101
2.2 Формирование изображения при наличии аберраций 102
2.2.1 Изображение точки 103
2.2.2 Изображение в полихроматическом свете 107
2.3 Изображение протяженных объектов 114
2.4 Критерии качества оптического изображения 117
2.4.1 Критерии, основанные на свойствах волновой аберрации 118
2.4.2 Критерии, основанные на функции размытия точки 119
2.4.3 Критерии, основанные на оптической передаточной функции 121
2.4.4 Критерии качества изображения протяженных объектов 123
Глава 3 Динамические характеристики оптической системы 124
3.1 Оптическая система как линейная система управления 125
3.2 Аппроксимация весовых функций 130
3.2.1 Метод Прони 131
3.2.2 Поиск оптимальных коэффициентов затухания 132
3.2.3 Тестирование алгоритма 134
3.3 Весовые функции оптической системы 135
3.3.1 Динамика поля температуры в объективе 135
3.3.2 Тепловые весовые функции HI
3.3.3 Оптические весовые функции 141
3.4 Динамика качества изображения 146
3.5 Сложный тепловой режим 157
3.6 Способы управления тепловым состоянием оптической системы 160
Основные результаты и выводы 162
Список литературы , 162
Приложение
- Фундаментальное решение осесимметричной задачи для уравнения Гельмгольца
- Угловые коэффициенты теплообмена излучением в системе сферических и конических поверхностей
- Критерии, основанные на свойствах волновой аберрации
- Способы управления тепловым состоянием оптической системы
Введение к работе
0.3 N 0.2
0.1 М 0 v| -0.1 -0.2 N -0.3 -0.2 о
Спутниковые телескопические системы высокого разрешения используются в различных отраслях науки. Основными областями их применения являются астрономические и геодезические наблюдения, а также фоторазведка. В настоящее время наблюдается также активный рост численности коммерческих спутников зондирования с разрешением на местности 1м и менее.
Стоимость информации, получаемой при помощи таких оптических систем очень высока. Поэтому естественным является желание насколько возможно увеличить их разрешающую способность. Один из путей достижения этой цели состоит в увеличении габаритов, поскольку оптическая сила объектива пропорциональна диаметру входного зрачка системы. Однако, с увеличением размеров проявляется ряд факторов, которые ограничивают возможности в этом направлении и делают нецелесообразным применение телескопов-рефракторов с диаметром объектива более метра.
Один из таких факторов — температурный — является предметом данного исследования.
Качество изображения (КИ) космической оптической системы (ОС) определяется большим числом факторов различной природы. Часть из них являются внешними, например, рассеивающие свойства атмосферы и атмосферная турбулентность.
Большую группу образуют технологические факторы. Это, прежде всего, погрешности изготовления и сборки объектива, а также погрешности установки оптической системы на космическом аппарате (КА). Сюда же следует отнести и неконтролируемые деформации, которые могли возникнуть в конструкции при выводе спутника на орбиту. В результате действия этих факторов аберрации (оптические искажения) ОС могут существенно отличаться от расчетных. Ясно, что перечисленные технологические сложности усугубляются с увеличением размеров ОС.
Ряд факторов появляется в процессе функционирования К А, например, малые вибрации конструкций, вызываемые работой отдельных агрегатов, приводят к смазыванию изображения.
Конечно же, все эти весьма малые искажения влияют на результирующую аберрацию независимо, поэтому каждое из них может рассматриваться отдельно от остальных. Мы сосредоточимся на изучении еще одного фактора, специфического для крупногабаритных оптических систем, связанного с тепловым режимом оптической системы.
Расчет оптической системы производится для определенной номинальной температуры. Если температура линз, корпуса или элементов крепления объектива отличается от номинальной, то возникающие в результате этого тепловые деформации приводят к расстройке ОС. Температура влияет на оптические характеристики объектива также через изменение показателей преломления. Для большого объектива в космических условиях тяжело не только поддерживать номинальную температуру, но и обеспечить рав- номерность поля температуры. При неравномерном изменении температуры в линзах появляются тепловые напряжения, которые также влияют на показатель преломления (пьезооптический эффект) и добавляют еще одну составляющую к термоаберрации.
Рабочая температура оптической системы на борту КА поддерживается системой обеспечения теплового режима (СОТР). Требования к точности этой системы определяются исходя из допустимых с точки зрения качества изображения температурных отклонений. Обоснованно сформулировать такие требования для конкретной конструктивной схемы можно лишь изучив связь между тепловым режимом ОС и ее оптическими характеристиками. Такое исследование и является главной задачей работы.
Объект исследования
Объектом изучения является оптическая система (телескоп-рефрактор), установленная на борту космического аппарата и предназначенная для фотографирования Земной поверхности. Предполагается, что аппарат находится на круговой околоземной орбите высотой 200 км с периодом обращения около 90 мин.
Принципиальная схема космического аппарата представлена на рис. 1. На схеме отмечены следующие элементы: — спускаемый аппарат; — герметичный отсек; — термостатирующая оболочка; — бленд — крышка бленды; — объектив; — стекло иллюминатора; — фокальная плоскость;
Рис. 1 Принципиальная схема КА
9 — кассета; 10 — спускаемая капсула.
Представление о размерах объектива дает рисунок, вынесенный на первую страницу Введения. Фокусное расстояние объектива составляет около 3.5м (см. рис.3). Из-за больших габаритов нецелесообразно размещать оптическую систему в герметичном отсеке, поэтому объектив находится в вакууме внутри термостатирующей оболочки (ТСО).
Рис. 2 Схема установки оптической системы на КА
Фотоприемное устройство размещено в герметичном отсеке и может представлять собой фотопленку, либо ПЗС матрицу с высоким разрешением.
Опишем подробнее конструкцию выносной части оптической системы.
Объектив (рис. 2) состоит из семи линз 1 (характеристики оптических стекол даны в Приложении 1), заключенных в массивный титановый корпус 2. Объектив находится внутри термостатирующей оболочки 3,4 и крепится к ней через стыковочный узел 5. Температура ТСО регулируется теплоносителем, циркулирующим в змеевике. Часть оболочки находится внутри приборного отсека. Внешняя часть ТСО 3, называемая блендой, покрыта экранно-вакуумной термоизоляцией (ЭВТИ) 6 для исключения влияния внешних тепловых потоков. Бленда закрыта крышкой 7, также теплоизолированной, которая во время съемки открывается, а в остальное время защищает объектив от внешних тепловых потоков. Внутри бленды находятся диафрагмы 8 для защиты от бликов. Иллюминатор 9 отделяет объектив от внутренней атмосферы К А.
Рис. 3 Ход лучей в оптической системе
Тепловой режим объектива изменяется при открытии крышки 7 во время сеансов съемки, а также при изменении температуры теплоносителя в ТСО. Возникающее при этом поле температуры и соответствующие тепловые напряжения и деформации приводят к искривлению волнового фронта W в выходном зрачке ОС (рис.3). Это искривление носит название волновой аберрации и вызывает размывание изображения в фокусе системы.
О чувствительности оптической системы к изменению температуры дает представление следующий простой пример. Предположим, что температура всех линз одинакова и отличается от номинальной на 1. Поскольку нагрев равномерный, внутренних напряжений в линзах не возникает. Расчет выполнен для монохроматического излучения с длиной волны А = 0.5 мкм.
На рис. 4а показан график суммарной волновой аберрации W объектива в функции нормированной радиальной координаты р в плоскости выходного зрачка.
0 0.2 0.4 0.6 0.В р -20 -10 0 10
Рис.4 Оптические искажения при равномерном изменении температуры
На рис. 4Ь показаны распределения в фокальной плоскости нормированной освещенности Е в изображении точки. Сплошная кривая соответствует идеальному безаберрационному изображению, низко лежащая пунктирная кривая — волновой аберрации рис. 4а, а кривая, изображенная точками, отвечает аберрации, возникающей при отклонении температуры от номинальной на 0.2.
Как видно из рисунков, максимальное отклонение волнового фронта составляет около ЗА, в то время как согласно простейшему критерию качества изображения — критерию Рэлея — оптическая система может считаться совершенной, если W = А/4. Следовательно, в данном случае допустимое отклонение температуры от номинальной не превосходит 0.1. Именно таким должен быть порядок точности работы системы терморегулирования.
В отличие от рассмотренного простейшего примера в реальных условиях поле температуры является неравномерным. Если отклонение среднего значения температуры от номинального принципиально возможно скорректировать настройкой положения фокальной плоскости, то неравномерность поля температуры приводит к более сложным неустранимым термоаберрациям.
Цели работы
Система обеспечения теплового режима космического аппарата проектируется таким образом, чтобы с необходимой точностью поддерживать рабочую температуру различной аппаратуры, находящейся на борту. Требования к точности работы СОТР должны быть согласованы со специфическими требованиями, предъявляемыми к тем или иным приборам. Чрезмерное ужесточение этих требований приводит к ненужному усложнению системы терморегулирования.
Основная цель работы состоит в построении адекватной математической модели теплового состояния оптической системы, позволяющей детально исследовать влияние изменения теплового режима на качество изображения. Исходя из результатов такого исследования, можно будет сформулировать обоснованные требования к системе терморегулирования оптической системы.
В частности, необходимо получить ответ на вопрос: возможно ли с требуемой точностью обеспечить номинальную температуру объектива за счет только управления температурой оболочки, или же для этого необходимо применять специальные схемы, например, использовать электронагреватели или инфракрасные излучатели? Этот же вопрос может быть сформулирован иначе: является ли активная система терморегулирования с точки зрения терморасстраиваемости объектива необходимой в принципе, не достаточно ли просто поддерживать температуру оболочки в заданном диапазоне?
Поставленные вопросы показывают, что результат работы в этой части может быть и тривиальным. Тем не менее, обоснованные ответы можно дать, лишь используя достаточно точные модели тепловых и оптических явлений.
Исследуемая проблема находится на стыке интересов оптиков и разработчиков СОТР. В этом, по-видимому, состоит одна из причин, по которой, насколько нам известно, совместное функционирование оптической системы и системы терморегулирования подробно ранее не рассматривалось. Это определяет следующую важную задачу: установить прямую связь показателей качества изображения с параметрами СОТР.
Оптическая система — это лишь одна из подсистем, входящая в общую тепловую схему КА. При моделировании теплового состояния космического аппарата в целом каждая из подобных подсистем должна быть представлена простой, но достаточно точной моделью. Для этой цели невозможно использовать полную тепловую модель оптической системы, которая слишком сложна и тяжеловесна. Поэтому еще одна важная цель работы заключается в создании простой модели, которая позволяла бы получить достаточно полную информацию о поле температуры в любой момент времени при произвольном тепловом режиме.
Методы исследования
Как следует из сказанного выше, рассматриваемая оптическая система в тепловом отношении представляет собой линейную систему, состояние которой полностью определяется заданием закона изменения температуры теплоносителя на входе в оболочку и закона изменения внешних тепловых потоков через входное отверстие бленды. При этом поле температуры в объективе можно достаточно полно охарактеризовать, зная температуры в нескольких выбранных точках. Далее, волновые аберрации являются линейными функционалами поля температуры, поскольку выражаются через интегралы поля температуры и поля напряжений вдоль лучей, а также через деформации линз и корпуса. Значения волновой аберрации тоже достаточно знать лишь в нескольких точках выходного зрачка и пользоваться интерполяцией по этим опорным значениям.
Следовательно, вся необходимая информация о тепловом состоянии ОС и об оптических искажениях содержится в небольшом наборе характерных значений температуры и аберраций. Но поскольку система линейна, а число каналов воздействия на нее конечно, то искомые температуры и аберрации при произвольном тепловом воздействии полностью определяются заданием соответствующих весовых функций, т.е. реакций на единичные импульсные возмущения по каждому из «входов» системы. Такой подход позволяет рассматривать ОС как «черный ящик», заданный матрицей весовых функций.
В рассматриваемом случае тепловое состояние и термоаберрация в каждой характерной точке описывается тремя весовыми функциями. Первая из них соответствует изменению температуры теплоносителя на входе в ТСО. Еще две описывают реакцию на открытие крышки при неизменной температуре теплоносителя.
Таким образом, подробная модель теплового состояния оптической системы используется лишь для получения решений особого вида — весовых функций. Это позволяет применить специальные высокоэффективные методы.
В работе задача моделирования оптической системы решается по следующей схеме: решение задачи теплопроводности в пространстве изображений по Лапласу; вычисление весовых функций в изображениях; численное обратное преобразование Лапласа.
Известно [25,33], что на применении преобразования Лапласа основаны наиболее мощные аналитические методы решения задач теплопроводности. Если, как в нашем случае, аналитическое решение в изображениях получить невозможно, то необходимо использовать алгоритмы численного обращения преобразования Лапласа. Именно численное обратное преобразование является узким местом такого подхода. Однако, для весовых функций методы обращения, как показывает опыт, дают хорошие результаты.
Последнее объясняется тем, что весовые функции в задачах теплопроводности обычно имеют экспоненциальное представление вида «7(t) = 5Zafce-At, Pk>0.
В пространстве изображений система уравнений теплопроводности для элементов ОС переходит в систему модифицированных уравнений Гельм-гольца, зависящих от параметра преобразования р. Эта система должна быть решена для последовательности специально выбранных значений р = Рп- К полученной последовательности решений применяется алгоритм обращения.
Преобразование Лапласа особенно эффективно в сочетании с методами граничных интегральных.уравнений (ГИУ), что связано с особенностями решения задач теплопроводности в изображениях. При больших значениях параметра преобразования р решение резко изменяется вблизи границы области, поэтому требуется очень густая сетка, чтобы обеспечить хорошую точность при использовании методов с дискретизацией области (например, МКЭ). Методы ГИУ не используют разбиения области на элементы и дают точное решение при любых значениях р.
С учетом этих замечаний, для решения уравнений в изображениях был выбран метод граничных элементов.
Тепловые напряжения и деформации в линзах, в соответствии с принятым подходом, вычислялись в пространстве изображений. Задача термоупругости также решалась методом граничных элементов, причем использовалось то же разбиение поверхности линз, что и для решения задачи теплопроводности.
Поскольку объектив находится в вакууме, а кондуктивные тепловые связи между его элементами достаточно слабы, важное значение при формировании поля температуры имеет теплообмен излучением. В линейном приближении теплообмен излучением в замкнутой системе поверхностей описывается интегральными уравнениями. Здесь также оказывается возможным применить уже упоминавшееся разбиение поверхностей линз на элементы.
Такой единый «интегральный» подход к задачам теплопроводности, термоупругости и теплообмена излучением оказался весьма эффективным и позволил получить решение с высокой точностью.
Для численного обращения преобразования Лапласа опыт проведенных вычислений позволяет рекомендовать метод Гавера.
В заключение этого пункта отметим, что все применяемые методы были протестированы на классических задачах и дали хорошее совпадение с аналитическими решениями.
Содержание работы
Тема настоящего исследования находится на стыке нескольких областей науки, главные из которых — это теория теплопроводности и термоупругости, вычислительная оптика и теория автоматического управления. Деление диссертации на главы как раз следует указанной последовательности.
В главе 1 построена математическая модель теплового состояния оптической системы. Показано, что достаточно эффективным подходом является использование преобразование Лапласа в сочетании с методом граничных интегральных уравнений для описания распределения температуры внутри линз. Большое внимание уделено асимптотическим свойствам решения задачи теплопроводности в пространстве изображений. Использование полученных формул позволяет заметно сократить объем вычислений.
Далее описывается способ построения поля внутренних тепловыделений в линзах, а также выводится удобное представление интегрального уравнения, описывающего радиационный теплообмен в линейном приближении.
Важная часть главы 1 связана с моделированием напряженно-деформированного состояния линз. Также как в задаче теплопроводности, здесь используется метод граничных интегральных уравнений. Описан экономичный способ вычисления интегралов от внутренних напряжений.
Фундаментальное решение осесимметричной задачи для уравнения Гельмгольца
Для реализации метода граничных интегральных уравнений большое значение имеет эффективное вычисление фундаментального решения в широком диапазоне изменения параметра р. Всюду далее будем считать, что в точке поверхность тела гладкая, т. е. 7 — = 27Г. В этом разделе мы рассматриваем осесимметричную задачу теплопроводности, и границей тела вращения будем называть его образующую. При этом мы сохраним прежнее обозначение dT для элемента границы. Для тел с осевой симметрией при осесимметричных условиях правая часть уравнения (1.8) может быть проинтегрирована по полярному углу, в результате чего уравнение принимает вид Здесь точка имеет координаты (r0,zo), а точка х — (г, г); Г — контур меридионального сечения тела; S(taO — фундаментальное решение осе-симметричной задачи: Двухпараметрический интеграл Ф(а,/3) относится к эллиптическому типу [71]. Существует особый метод вычисления таких интегралов, основанный на процессе арифметико-геометрического среднего. Метод кратко описан в Приложении 2. Имея в виду получение асимптотических решений уравнения Гельмголь-ца, в следующих параграфах мы исследуем поведение интеграла Ф(а,Д) при а —» О и а —» со. Получим еще одно интегральное представление фундаментального решения, удобное для исследования асимптотики при а —» со. Воспользуемся интегральным представлением [46] а также теоремой сложения для модифицированных бесселевых функций [31]: формула справедлива при / р-Параметры р и ро введем следующим образом: Совершая эти подстановки в (1.13) и интегрируя по ip, после чего от суммы (1.15) остается лишь слагаемое, соответствующее т— О, получим иско мое интегральное представление:
При а —» 0 экспонента в (1.13) стремится к единице, и фундаментальное решение переходит в решение уравнения Лапласа. Это свойство используется далее для построения асимптотического решения уравнения Гельмгольца при малых значениях а (разд. 1.6). Уравнение Лапласа приходится решать также при вычислении стационарного температурного состояния, поэтому коротко опишем свойства фундаментального решения в этом случае. Интегральная формулировка задачи для уравнения Лапласа (при наличии источников — уравнения Пуассона) аналогична (1.8), а фундаментальное решение имеет вид Фундаментальное решение для осесимметричного случая может быть получено интегрированием (1.17) по полярному углу: Как и раньше, мы сохраняем за проинтегрированным фундаментальным решением прежнее обозначение. Здесь и далее для сокращения записи используются обозначения где К(х) и Е.(х) — полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода соответственно (см., например, [21,34]). Приведем заодно формулы для производных функций ЗС(/3), (/?), которые понадобятся в дальнейшем: Для производной фундаментального решения по нормали к границе несложно получить выражение SSo(, х) Здесь а — угол между нормалью к поверхности в точке ж и осью z. Вычисление эллиптических интегралов (1.19) производится по общему алгоритму, описанному в Приложении 2. При j0 —- 0 (ас — ) выражения (1.18) и (1.20) имеют логарифмическую особенность. В этом можно убедиться, рассматривая разложения функций Х(/3) и 8(/3) в окрестности нуля: Получим теперь асимптотические разложения фундаментального решения и нормальной производной в локальных координатах граничного элемента. Рис.11 Локальные координаты на элементе Рассмотрим элемент границы с центром в точке (рис. 11). Будем считать этот элемент прямолинейным. Введем локальную координату t. Параметры а и (5 (см, (1.14)) выражаются через переменную і и координаты центра элемента следующим образом
Угловые коэффициенты теплообмена излучением в системе сферических и конических поверхностей
Уравнение (1.48) дает граничные условия на свободных поверхностях тел, участвующих в радиационном теплообмене, и позволяет замкнуть задачу теплопроводности для системы связанных тел.
Как указывалось выше, линейность составляющих математической модели ОС позволяет свести задачу исследования динамики качества изображения к вычислению весовых функций системы.
Радиационные связи в задаче теплопроводности допускают линеаризацию без ущерба для точности расчетов. Действительно, условием нормального функционирования оптической системы является поддержание температуры ее элементов в достаточно узком диапазоне вблизи номинального значения (допустимые отклонения не превосходят 1—2). Выход температуры за пределы этого диапазона возможен только в нештатных ситуациях, когда говорить о получении качественного изображения уже нет смысла, и, следовательно, не требуется слишком высокая точность расчетов.
Учитывая сказанное, можно линеаризовать граничное условие (1.49) и уравнение (1.51) в окрестности номинального значения температуры Т0: (Т0 + Г)4 + 4Т03Т. При этом условия теплообмена на поверхности можно записать в форме граничных условий 3-го рода
Максимальная относительная погрешность линеаризации для То = 290 К составляет 3.6% в диапазоне ±20, 0.8% в диапазоне ±10 и 0.2% в диапазоне ±5, что говорит о высокой точности линейной модели. С точки зрения решения задачи теплопроводности для системы связанных тел в интегральном уравнении (1.51) удобно перейти от qi к неизвестной Тє — температуре условной среды. Для этого нужно домножить его на є/а = (4аоТц) 1 и вычесть из левой и правой частей постоянную То/4, воспользовавшись уравнением замкнутости для угловых коэффициентов
В результате получим интегральное уравнение описывающее теплообмен излучением в линейном приближении.
При заданном распределении температуры Т(х) уравнение (1.53) представляет собой уравнение Фредгольма II рода с малым ядром. Это следует из уравнения замкнутости (1.52) и условия 0 є 1. Известно, что такое уравнение имеет единственное решение для любой функции Т(аг), и это решение может быть получено методом простой итерации, который сходится при любом начальном приближении [46].
Для численного решения интегрального уравнения (1.53) каждая поверхность, входящая в замкнутую систему, разбивается на достаточно малые элементы, в пределах которых температуру и плотность падающего потока можно считать постоянными. Целесообразно использовать то же самое разбиение, которое используется для решения граничных интегральных уравнений в каждом из связанных тел (рис.20). Рис. 20 Разбиение поверхностей для решения уравнений теплообмена излучением Записывая уравнения (1.53) для центральных точек элементов и заменяя интеграл по границе суммой интегралов по всем N элементам, можно получить следующую систему N линейных уравнений от носительно приближенных значений Те1: или в матричной форме Здесь фЕ х-ЛП — матрица угловых коэффициентов (см. разд. 1.8.3), Е —диагональная матрица степени черноты, I — единичная матрица. Учитывая сказанное выше относительно свойств интегрального уравнения, можно сразу записать решение системы (1.54): Матрица М характеризует геометрические свойства рассматриваемой замкнутой системы и может быть вычислена заранее. При переходе в пространство изображений по Лапласу уравнение (1.53) переходит в аналогичное с заменой Т на U и Те на Ue, при этом матрица М не изменяется. При расчете теплового режима ТСО замкнутую систему образуют ее внутренняя поверхность, торцы и внешняя поверхность объектива. Так как в пределах одного витка температуру ТСО в каждый момент времени можно считать одинаковой, то для внутренней поверхности оболочки в качестве изотермического элемента можно взять цилиндрическое кольцо, ширина которого равна шагу навивки трубопровода. Коэффициенты Ф при таком разбиении ТСО должны вычисляться с учетом экранирования элементами корпуса объектива. При открытой крышке система замыкается введением фиктивной торцевой поверхности с є = 1, эффективная температура которой определяется плотностью радиационных потоков со стороны Земли. Перейдем к вопросу вычисления матриц угловых коэффициентов в системах конических и сферических поверхностей. В данном разделе получены выражения для локальных угловых коэффициентов теплообмена излучением в системе соосных сферических и конических поверхностей. Рассмотрены несколько возможных комбинаций элементарных кольцевых поверхностей: Два «сферических» кольца на разных поверхностях; Два сферических кольца на одной поверхности; Сферическое и коническое кольца; Два конических элементарных кольца. Этим списком исчерпываются варианты, реализующиеся в замкнутой осе-симметричной полости, образованной двумя сферическими поверхностями и одной конической (см. рис. 22-25). Такая конфигурация служит хорошей моделью межлинзовых промежутков. Для каждой из перечисленных комбинаций определены также условия экранирования, полного или частичного. Найденные формулы применяются для расчета теплообмена излучением между элементами оптической системы (разд. 1.8). Рис.21 Обозначения к разделу На рис. 21 собраны основные геометрические обозЕїачения, применяемые в данном разделе. Точки Сі и Сг суть центры сферических поверхностей; si и 2 — расстояния от центров до плоскостей, в которых лежат рассматриваемые элементарные кольца. Элементарный угловой коэффициент с?Фі_2 между площадками dF\ и &Fi определяется как доля тепловой энергии, излучаемой dFi, падающая на dF2 [24], и выражается формулой где s — расстояние между центрами площадок, / и / —- углы между отрезком, соединяющим площадки, и векторами нормалей к dF\ и dF%. Для осесимметричных условий теплообмена элементарным следует считать угловой коэффициент между кольцевыми элементами, получающийся интегрированием (1.56) по угловой координате (см. рис.21): Прежде всего рассмотрим случай, когда элементарные кольца 1 и 2 принадлежат различным сферическим поверхностям (рис.22). Через q будем обозначать кривизну г-и. поверхности (а — l/pi)t причем кривизну будем считать положительной, если поверхность выпукла навстречу противоположной (внутрь полости). Расстояние между плоскостями, проходящими через кольца, равно d — расстояние между вершинами сферических поверхностей. Экранирование в такой конфигурации возможно только при условии, что хотя бы одна из поверхностей выпукла внутрь полости (сі О, С2 0). Ограничение видимости имеет место, если отрезок, соединяющий две крайние точки колец (см. рисунок), пересекает одну из поверхностей, или, что то же самое, если один из углов между этим отрезком и векторами нормалей «1, П2 боЛЬШе 7г/2.
Критерии, основанные на свойствах волновой аберрации
Качество оптического изображения удобно характеризовать одним числом — критерием качества. Существуют различные критерии качества изображения, основанные на свойствах волновой аберрации, функции размытия, оптической передаточной функции и т. д. В этом разделе мы перечислим, следуя, в основном, [37,60,65], наиболее распространенные критерии.
Характеристики качества, вообще говоря, зависят от точки поля изображения. Однако, согласно принятым нами допущениям, эту зависимость мы не учитываем и все критерии качества связываем с изображением осевой точки.
В тех случаях, когда волновая аберрация невелика и имеет плавный характер, для оценки качества изображения можно применять критерии, основанные на свойствах функции W(p), не прибегая к вычислению ФРТ. Простейшим из них является критерий Рэлея, согласно которому оптическая система считается совершенной, если Здесь Wmax — наибольшее по модулю отклонение или деформация волнового фронта, А — длина волны.
При использовании критерия Рэлея отклонение волнового фронта следует отсчитывать от т. н. оптимальной сферы сравнения — сферы ближайшей к волновому фронту в смысле наилучшего приближения. При этом величина смещения центра сферы сравнения относительно идеального фокуса дает приблизительное значение дефокусировки.
Для длиннофокусной оптической системы с небольшой апертурой найти оптимальную сферу сравнения для волнового фронта — это почти то же самое что построить параболу У — С\-\- c f? с наименьшим уклонением от функции W(p). Дефокусировка выражается через коэффициенты параболы формулой А = С\ — 2c2/sin2a (sinа — апертура выходного зрачка).
В качестве примера дадим значения WintLX для волновых аберраций рис.45, соответствующих А = 0.55мкм: W /X = 0.133, И 2тах/А = — 0.214. При этом соответствующие значения дефокусировки составляют Лі = 8.2 мкм и Д2 = — 49.3 мкм.
Как видно из приведенных цифр, правило «четверти волны» для рассмат риваемых аберраций выполняется. Однако, в данном случае критерий Рэлея не дает правильного представления о действительном качестве изображения. На рис. 55 показаны распределения нормированной освещенности Е вдоль оптической оси в окрестности фокуса. Видно, что для аберрации Wi максимальная освещенность вдвое меньше идеальной, что недопустимо.
Более полно качество изображения характеризует средиеквадратическал волновая аберрация.
Здесь интегрирование ведется по всей площади выходного зрачка; 5" — = 7га2; W — среднее арифметическое значение волновой аберрации.
При небольших аберрациях максимальная освещенность в изображении точки может быть выражена через Wa следующим образом:
С величиной Wa связан критерий Марешаля [37], согласно которому оптическую систему можно считать совершенной при выполнении условия которое следует из (2.17), если потребовать Emax 0.8. Вычисления для аберраций из рассматриваемого примера дают W/\ — = 0.086, W-f /А = 0.174. Оба значения превосходят 1/14, следовательно, аберрации не удовлетворяют критерию Марешаля. Распределение освещенности Е\(1 ,г)) в изображении точки, вычисляемое по формуле (2.9), дает наиболее полное представление о качестве монохроматического изображения. С функцией Е\(,г}) напрямую связаны такие наглядные характеристики качества изображения, как дефокусировка Л — смещение максимума освещенности вдоль оптической оси (рис. 55), и абсолютное число Штре-ля 5\\\ — нормированная освещенность в осевой точке фокальной плоскости. Величина дефокусировки определяет положение плоскости наилучшего изображения (ПНИ). Мы будем различать число Штреля Sh в плоскости идеального фокуса и абсолютное число Штреля БЬл в плоскости наилучшей установки (см. рис.55). При наличии системы коррекции положения плоскости приемника число БЬд определяет наилучшее достижимое в данных условиях качество изображения. Согласно формуле (2.17), критерий Марешаля для малых аберраций эквивалентен условию Sh 0.8. Полихроматическое число Штреля Sh определяется через функцию Е(,г)) (2.11), описывающую интегральную по спектру освещенность. Для аберраций простого вида критерии Рэлея и Штреля хорошо согласуются друг с другом. Так, максимально допустимая дефокусировка (погрешность установки плоскости приемника) составляет, согласно правилу четверти волны Релея, Д = А/2 sin2 а [37]. При А = 0.5 мкм и а = 5.5 Д PS±27.6 мкм. Если же использовать критерий, связанный с числом Штреля Sh 0.8, то допустимая дефокусировка составит Д fa ±28.5 мкм. С функцией размытия точки связана такая характеристика оптической системы, как ли нейная разрешающая способность. Она опре деляется как наименьшее расстояние между двумя точками объекта, контраст суммарно го изображения которых не менее некоторого заданного значения KQ (например, порогово го контраста приемника) (см. рис. 56): Рис.56 К определению разре- /? _ /? шающей способности К = — Кп Ниже будет указан еще один способ определения разрешающей способности через частотные характеристики изображения. Еще одним довольно удобным критерий является концентрация энергии в пятне рассеяния. Он определяется как доля суммарной энергии, которая содержится внутри круга некоторого радиуса (например, радиуса первого темного кольца идеальной ФРТ (см. рисунок на стр. 106)). Качество изображения можно оценивать также по распределению освещенности в изображении типовых объектов, таких как линия, граница светящейся плоскости и т. п. Например, функция размытия линии (ФРЛ) выражается через ФРТ следующим образом: Множитель перед интегралом обеспечивает нормировку д(0) = 1 Для идеальной системы. Нормированная ФРЛ в фокальной плоскости безаберрационной системы может быть выражена через функцию Струве Ні(аг) [37, стр.93] В этой формуле z = k sin ах. Опишем далее критерии, связанные с частотными характеристиками изображения. Оптическая передаточная функция (ОПФ) представляет собой двумерное Фурье-преобразование функции размытия точки: где /І, v -— пространственные частоты в плоскости изображения; нормирующий множитель с = к2 sin2 а/4л" обеспечивает выполнение равенства h(Q, 0) — 1. Эта и последующие формулы применимы как для монохроматического, так и для полихроматического изображения, при условии, что используется соответствующая ФРТ, поэтому индекс, указывающий на длину волны, мы опускаем. Оптическая передаточная функция определяет амплитуду и фазу изображения элементарного гармонического объекта с волновым вектором (fi, v). Если рассматривать предмет как суперпозицию гармонических составляющих и считать, что функция размытия Ті не меняется по полю изображения, то частотный спектр изображения связан со спектром предмета соотношением (см. разд. 2.3) Равенство (2.19) выражает собой тот факт, что частота передается линейной изопланотической оптической системой без изменения. Множитель h показывает, во сколько раз изменяется амплитуда в изображении гармонического объекта с пространственными частотами /ІИІ/, При оценке качества изображения удобно использовать модуль оптической передаточной функции частотно-контрастную характеристику (ЧКХ) t{ v) = \h{ v)\
Способы управления тепловым состоянием оптической системы
Вопросы управления тепловым состоянием оптической системы находятся за рамками данной работы. Поэтому в данном разделе мы сделаем лишь несколько кратких замечаний на этот счет.
Первый и наиболее очевидный способ, который можно назвать пассивным управлением — просто поддерживать номинальную температуру оболочки. В этом случае система управления состоит из небольшого числа датчиков температуры, расположенных на оболочке и регулятора температуры теплоносителя на входе в нее.
Как показывают несложные оценки, подтверждаемые проведенными вычислениями, активное управление тепловым состоянием столь инерционной системы, как рассматриваемый объектив, через изменение температуры оболочки практически невозможно. Поэтому желательно уменьшить, насколько возможно, тепловую связь оболочки с корпусом. Это можно сделать с помощью применения в узле крепления изолирующих материалов. Как показывают вычисления, при нулевом значении температурной проводимости узла крепления чувствительность объектива к вариациям температуры ТСО становится очень незначительной, что делает температурное состояние оптической системы более стабильным.
В то же время температура ТСО оказывает на поле температуры, а следовательно и на качество изображения наибольшее влияние. Поэтому, для обеспечения качественного изображения прежде всего необходимо точно поддерживать номинальное значение температуры оболочки. Особые усилия следует приложить для исключения длиннопериодических колебаний температуры, связанных с периодом обращения спутника на орбите.
Если температура ТСО поддерживается постоянной, то главной задачей системы терморегулирования объектива становится компенсация тепловых потоков, действующих при открытой крышке бленды. Существуют различные варианты организации такой управляющей системы. Насколько нам известно, в качестве одного из вариантов предлагалось использование контактных нагревателей, приклеиваемых к поверхности первой линзы. Недостаток такой схемы состоит в том, что локальный нагрев может приводить к возникновению сложного поля температуры и температурных напряжений, которые сами могут стать источником термоаберраций.
На наш взгляд, более интересна схема с использованием тепловых излучателей, расположенных перед передней поверхностью линзы. Конструктивно нагреватели могут быть выполнены, например, в виде спиралей накаливания. Объекты, расположенные непосредственно перед объективом, на изображение не оказывают никакого влияния, если не считать уменьшения площади входного зрачка.
Мощность такого нагревателя несложно оценить. Она должна быть невелика — порядка нескольких десятков ватт. Нагреватель должен работать лишь во время сеансов съемки, когда открыто входное отверстие оболочки. При этом его мощность необходимо корректировать в сторону уменьшения, если входное отверстие освещено отраженным солнечным излучением. Можно также управлять мощностью нагревателя, используя показания датчиков температуры, размещенных на передней поверхности первой линзы.
Помимо способов обеспечения температурного режима объектива и в сочетании с ними, можно применять также способы компенсации термооптических искажений. Если поле температуры близко к равномерному и плавно зависит от радиальной координаты, то оптические искажения приводят прежде всего к смещению положения фокальной плоскости оптической системы (дефокусировка), другие аберрации не столь существенны. Поэтому простейшим (по идее, но не по способу реализации) является управление положением плоскости приемника. Если имеется возможность получать снимки с аппарата в реальном времени, то такая настройка может осуществляться по командам оператора с Земли. Имеется также принципиальная возможность использовать для управления информацию о связи температурного состояния объектива и положения плоскости наилучшего изображения.
В работе построена теплофизическая модель оптической системы, позволяющая определять основные показатели качества изображения и прогнозировать качество фотоснимков земной поверхности для любых тепловых режимов работы линзового телескопа на орбите. Детально исследована зависимость оптических характеристик объектива от теплового режима.
Разработаны методы вычисления внутренних тепловыделений и радиационных тепловых потоков в системе. Для решения задач нестационарной линейной теплопроводности использован метод, сочетающий преобразование Лапласа и граничные интегральные уравнения для задач в пространстве изображений.
Разработаны методы вычисления термоаберраций. Приводятся алгоритмы вычисления дифракционной картины в окрестности фокуса, в том числе и для полихроматического изображения. Это позволяет изучать влияния термоаберраций на цветовые характеристики изображения.
Описаны и реализованы алгоритмы, позволяющие построить изображения {в том числе и цветные) тестовых объектов на поверхности Земли. Такие изображения обладают большой наглядностью. Построенная в заключительной главе модель оптической системы в весовых функциях может быть использована при проектировании системы управления тепловым состоянием объектива. Полученные в работе новые научные результаты перечислены во Введении (стр. 18). Сформулируем основные выводы диссертационного исследования Проведенные численные исследования показывают, что качество изображения оптической системы весьма чувствительно к изменению ее теплового состояния. Допустимые отклонения среднего значения температуры от номинального не превосходят 0.2. Еще более жесткие требования накладываются на радиальные и осевые перепады температуры в линзах. Неравномерность распределения температуры приводит к термоаберрациям, которые не могут быть скомпенсированы подстройкой положения фокальной плоскости. Составляющая термоаберрации, связанная с влиянием внутренних напряжений в линзах на показатель преломления, имеет такой же порядок, как и вызванная тепловым изменением показателя преломления, и, следовательно, ее необходимо принимать во внимание. Тепловые переходные процессы в объективе протекают весьма медленно, что не позволяет говорить об активном управлении тепловым режимом. Более всего система чувствительна к изменениям температуры термостатирующей оболочки. От системы обеспечения теплового режима следует требовать точного поддержания среднего номинального значения температуры ТСО, при этом допускаются кратковременные отклонения температуры от среднего значения. Сравнительно небольшие тепловые потоки, возникающие при открытии крышки объектива, могут быть скомпенсированы при помощи тепловых излучателей, расположенных перед первой линзой. Затраты энергии на работу этой системы невелики. При наличии такой компенсирующей системы и системы стабилизации температуры ТСО единственным фактором, влияющим на температуру линз, остается объемное поглощение видимого излучения. Разработанная модель позволяет точно оценить это влияние. Разработанная в диссертации методика дает принципиальную возможность по измерениям температуры восстановить искаженную ФРТ и использовать се для обработки искаженного изображения. В заключение перечислим главные результаты работы, 1. Разработана высокоточная математическая модель теплового состояния спутниковой оптической системы с телескопом-рефрактором. 2. Исследованы оптические искажения, вызываемые неравномерным полем температуры, в том числе, связанные с пьезооптическим эффектом. 3. Исследовано влияние термоаберраций на цветовую структуру изображения. 4. Определены критерии качества изображения, наиболее полно характеризующие оптическую систему дистанционного зондирования как динамическую систему, формирующую полихроматическое (или монохроматическое) изображение. 5. Показано, что динамика тепловых и оптических характеристик объектива может быть полностью описана небольшим набором весовых функций; указанные функции вычислены.
