Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ известных конструктивно технологических решений и методов расчета опорных узлов в трехслойных сотовых конструкциях 13
1.1. Конструктивно-технологические решения опорных узлов для трехслойных сотовых конструкций 14
1.2. Методы расчета опорных узлов для трехслойных сотовых конструкций 21
Глава 2. Разработка конструктивно-технологических решений опорных узлов 31
2.1. Классификация опорных узлов 31
2.1.1 Классификация по функциональному назначению 32
2.1.2 Классификация по конструктивному исполнению 35
2.1.3 Классификация по технологическим признакам 43
2.2. Алгоритм проектирования опорных узлов 44
2.2.1. Выбор конструктивно-силовой схемы опорного узла 45
2.2.2. Анализ прочности опорного узла 46
2.3.Опорный узел бесфланцевого типа
2.3.1 Влияние конструктивных особенностей опорного узла бесфланцевого типа на его несущую способность 52
2.3.2 Особенности технологии изготовления опорного узла бесфланцевого типа 53
Глава 3. Проектирование опорных узлов с учетом особеностей сотовой структуры 55
3.1. Критерий несущей способности опорного узла 58
3.2. Учет особенностей структуры сотового заполнителя при проектировании опорных узлов з
3.2.1. Определение усредненного значения допускаемых напряжений 61
3.2.2. Расчет количества стенок сотового заполнителя, воспринимающих сосредоточенную нагрузку 64
3.2.3. Определение расчетных значений сосредоточенной нагрузки
3.3. Рекомендации по выбору диаметра усилений с учетом особенности структуры сотового заполнителя 67
Глава 4. Расчетно-экспериментальная методика определения несущей способности опорных узлов 80
4.1. Расчетная модель опорного узла 81
4.1.1. Уравнения изгиба 82
4.1.2. Решение для пластины с заливкой в центре 87
4.1.3. Программа расчета несущей способности опорного узла
4.1.4. Ограничения модели расчета несущей способности опорного узла 97
4.1.5. Анализ прочности опорных узлов с применением MSC/Nastran 99
4.1.6. Сравнительный анализ расчетных зависимостей 102
4.1.7. Особенности расчета опорных узлов трехслойных конструкций с ортотропными обшивками 105
4.2. Примеры расчетов опорных узлов 105
4.2.1. Определение несущей способности опорных узлов в трехслойных панелях с обшивками квазиизотропной структуры 106
4.2.2. Определение несущей способности опорных узлов в трехслойных панелях с обшивками ортотропной структуры 107
4.2.3. Определение зависимости несущей способности опорных узлов от толщины обшивок 109
4.3. Определение массовой эффективности опорного узла 114 Стр.
Глава 5. Экспериментальные исследования несущей способности опорных узлов 117
5.1. Экспериментальные исследования зависимости упругих свойств сотового заполнителя от высоты 117
5.1.1. Статистическая обработка результатов испытаний 118
5.1.2 Установление формы связи и составление прогноза для
зависимости модуля упругости сотового заполнителя на сдвиг от высоты 125
5.2. Определение размера опорной базы для исследования прочности опорных узлов 130
5. 3. Примеры исследования несущей способности опорных узлов 133
5.3.1. Исследования прочности бесфланцевого опорного узла 133
5.3.2. Определение несущей способности опорного узла
платформы главного зеркала объектива оптического модуля «Обзор-М» 134
Основные результаты и выводы 137
Список использованной литературы
- Методы расчета опорных узлов для трехслойных сотовых конструкций
- Классификация по технологическим признакам
- Определение усредненного значения допускаемых напряжений
- Ограничения модели расчета несущей способности опорного узла
Введение к работе
Актуальность темы Применение высококачественных полимерных композиционных материалов (ПКМ) в производстве агрегатов космической техники начиналось с ряда узлов космических аппаратов (КА) труб волноводов, трубчатых ферм, теплоизоляционных стоек и распорок, штанг оптических приборов, каркасов солнечных батарей, корпусов датчиков, солнечных бленд
Сегодня в изделиях космического назначения композиты составляют достойную конкуренцию металлам Самое широкое применение в агрегатах КА находят трехслойные конструкции Они используются при создании корпусных элементов разгонных блоков, панелей солнечных батарей, антенн космических радиотелескопов В последние годы в особый класс конструкций выделились размеростабильные платформы, предназначенные для точной ориентации ретрансляционного оборудования и использующиеся в качестве размеростабильной опоры высокочувствительных приемо-передающих устройств Рост объемов передаваемой информации как внутри страны, так и в мире, требует постоянного развития средств космической спутниковой связи и повышения ее качества
В данной работе рассматриваются трехслойные панели космического назначения, оснащенные специальными узлами для передачи сосредоточенных нагрузок Традиционные виды соединений для конструкций, состоящих из тонких несущих слоев и сотового заполнителя, структура которого представляет собой набор еще более тонких стенок, неприемлемы Трехслойные панели не способны воспринимать сосредоточенные нагрузки без дополнительных усилений Локальные усиления зон трехслойных сотовых конструкций, предназначенные для передачи сосредоточенных нагрузок, определены в работе как опорные узлы
В зависимости от особенностей каждой панели опорные узлы могут иметь значительные отличия как по конструктивному, так и по технологическому исполнению Данная работа посвящена решению проблем выбора конструктивной схемы, разработке методик расчета прочности, определению рациональных размеров и технологическим аспектам изготовления опорных узлов в трехслойных панелях космического назначения
По мере того, как полимерные композиционные материалы получают все большее распространение в космической отрасли, вопросы унификации, разработки типовых решений и методик их проектирования становятся все более актуальными
Целью диссертационной работы является разработка методики проектирования опорных узлов для трехслойных конструкций с сотовыми заполнителями и обшивками из ПКМ
Объекты и методы исследования Объектами исследования являются трехслойные сотовые платформы, содержащие элементы подкрепления сото-
вой структуры в зоне передачи сосредоточенной нагрузки, действующей перпендикулярно плоскости панели Для решения задачи применяются методы теории круглых пластин при осесимметричном изгибе, конечно-элементного анализа с использованием MSC/Nastran, теории вероятностей и математической статистики с применением программного комплекса (ПК) STATISTICA
Научная новизна Разработана новая расчетно-экспериментальная методика проектных расчетов опорных узлов, позволяющая определять основные параметры типовых опорных узлов с учетом конструктивных особенностей сотовой структуры и жесткостных характеристик несущих слоев
Разработана классификация опорных узлов для трехслойных сотовых изделий с несущими слоями из ПКМ, позволяющая на начальном этапе проектирования учесть конструктивные особенности изделия, технологические возможности изготовления и облегчить выбор базовых вариантов при разработке новых КТР
Разработано новое конструктивно-технологическое решение опорного узла трехслойной панели
По результатам проведенных в ходе экспериментальных исследований более 650 испытаний впервые построена зависимость характеристик сдвиговой жесткости сотовой структуры от высоты заполнителя
С помощью теоретико-вероятностной модели определен предпочтительный размерный ряд диаметров узлов, несущая способность которых не зависит от размещения центра усиления относительно геометрии сотовой структуры
Практическая ценность Предложенные в диссертационной работе методы проектирования предназначены для разработки опорных узлов в трехслойных конструкциях с углепластиковыми несущими слоями и сотовым заполнителем из алюминиевой фольги
Разработанная расчетно-экспериментальная методика определения несущей способности опорных узлов позволяет учесть влияние основных характеристик трехслойной конструкции на прочность узла, что подтверждается результатами экспериментальных исследований
Предложенное конструктивно-технологическое решение опорного узла позволило упростить технологическую оснастку, снизить трудоемкость и сократить сроки изготовления платформы главного зеркала для объектива оптического модуля «Обзор-М» (НПО им С А Лавочкина)
Представленная классификация опорных узлов охватывает широкий спектр конструктивно-технологических решений, используя которые можно существенно сократить сроки начального этапа проектирования трехслойных платформ из ПКМ для КА
Достоверность результатов обеспечивается применением в математических моделях классических уравнений механики, сопоставлением результатов аналитических моделей с результатами, полученными методами конечных элементов, и экспериментальными данными
На защиту выносятся
1 Расчетно-экспериментальная методика определения несущей спо
собности опорных узлов с учетом особенностей сотовой структуры и харак
теристик несущих слоев трехслойных изделий из ПКМ
-
Классификация опорных узлов
-
Конструктивно-технологические решения опорных узлов для трехслойных сотовых платформ КА
-
Экспериментальная зависимость характеристик сдвиговой жесткости сотовой структуры от высоты заполнителя
-
Размерный ряд предпочтительных диаметров усиления, при которых несущая способность опорного узла не зависит от размещения центра узла относительно геометрии сотовой структуры
Апробация работы Основные результаты исследований, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на XIV и XV научно-технических конференциях «Конструкции и технология получения изделий из неметаллических материалов» (Обнинск, октябрь 1995, сентябрь 1998), 1 международной научной конференции «Ракетно-космическая техника фундаментальные проблемы механики и теплообмена» (Москва, ноябрь 1998), 23 международной научно-практической конференции «Композиционные материалы в промышленности» (Ялта, июнь 2003), 3 и 4 международных конференциях SAMPE - РИА «Теория и практика технологий производства изделий из КМ и новых металлических сплавов» (Москва, август 2003, апрель 2005), семинаре Научного Совета РАН по механике конструкций из композиционных материалов (Москва, март 2007)
Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах Разработанные конструктивно-технологические решения защищены 1 патентом РФ на изобретение
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы из 81 наименования Общий объем диссертации составляет 146 страниц, включает 92 рисунка и 21 таблицу
Методы расчета опорных узлов для трехслойных сотовых конструкций
Регулярная часть трехслойной конструкции состоит из несущих слоев 1, 3 (верхняя и нижняя обшивки) и сотового заполнителя 2 (рис. 1.1 а). Несущие слои могут быть как одинаковыми (симметричные конструкции), так и разными по толщине и схемам армирования (несимметричные конструкции) [51]. В данной работе рассматриваются наиболее часто применяемые в изделиях космического назначения симметричные конструкции с тонкими несущими слоями, обеспечивающие необходимую жесткость за счет строительной высоты панели.
Использование вспенивающихся полимерных заполнителей (ВПЗ) (рис. 1.1 б) является наиболее распространенным методом усиления панели в случае применения болтовых соединений. На этапе сборки-склейки панели в местах сверления отверстий перед укладкой верхнего слоя клея и установкой верхней обшивки производится заполнение ячеек сотовой структуры специальными пастами 4, благодаря которым повышается прочность и жесткость трехслойной конструкции на сжатие. Поперечный срез опорного узла из-за особенностей геометрии ячеек имеет не круглую форму, хотя процесс внедрения паст производится через шаблоны, выполненные в виде отверстия. При проектировании таких усилений основным определяющим фактором является радиус усиления, который рассчитывается из условия прочности заполнителя панели [51]. Однако заливочные композиции имеют, как правило, значительно больший, чем алюминий, коэффициент линейного термического расширения (от 40 до 60 х 10"6 1/С), что на больших строительных высотах панели может приводить к нежелательным деформациям в зоне опорного узла при высоких температурных амплитудах эксплуатации панели.
В некоторых случаях в качестве усиливающего элемента используют вкладыш, выполненный из другого сотового заполнителя 5, например, повышенной жесткости (рис. 1.1 в), или из легкого композиционного материала. При использовании винтового крепежа применяются металлические вкладыши 6 (рис. 1.1 г), в которых после сборки трехслойной панели сверлят отверстия и нарезают резьбу. Втулки с готовым отверстием под крепеж 7 (рис. 1.1 д) устанавливают вместе с сотовым заполнителем при склейке только в том случае, когда существует возможность фиксации взаимного расположения втулки и обшивки в процессе формования. При отсутствии такой фиксации трудно добиться необходимой точности расположения усиливающего элемента.
Основным преимуществом использования заливочных композиций является отсутствие работ по выполнению пазов в сотовом заполнителе под вкладыши. Однако заливочные композиции требуют значительного времени для порционного приготовления (не менее 0,5 часа) и длительного отверждения (не менее 24 часов). Помимо этого в процессе отверждения паст происходит их усадка по высоте, требующая повторного дозаполнения ячеек, что также увеличивает производственный цикл сборки-склейки трехслойной конструкции. Выполнять же параллельно операции сборки трехслойной панели и усиления сотового заполнителя полимерными композициями удается крайне редко. При использовании вкладышей такая возможность существует, так как подготовку сотового заполнителя производят до сборки, после чего он устанавливается в изделие с готовыми вырезами под вкладыши.
В процессе склейки панели втулки, как правило, устанавливают на обшивки с готовыми отверстиями под соединительный элемент. В этом случае необходимо надежно зафиксировать между собой втулки и обшивки, чтобы избежать их смещение при склейке трехслойной конструкции. Если позволяет толщина обшивки, устанавливают технологические фиксаторы. При толщинах несущих слоев менее 1,5 мм фиксацию производят в сборочной оснастке за счет использования вспомогательных элементов. При этом особо следует учитывать разницу теплофизических свойств материала обшивок и оснастки в случае, когда элементов (рис. 1.1 д) в трехслойной конструкции несколько, и они расположены на значительном расстоянии друг от друга. Фиксация в оснастке, имеющей большое отличие значений КЛТР от значений КЛТР обшивки, зачастую приводит к некачественному соединению или к проблемам при распрессовке изделия и снятия его с оснастки после склейки.
Другой способ упрочнения трехслойной конструкции заключается в локальном усилении обшивок [15, 51]. Основные конструктивные варианты усилений обшивки представлены на рисунке 1.2.
Основной принцип локального усиления силовых слоев конструкции заключается в местном увеличении жесткости обшивок в зоне приложения нагрузки. При включении в работу всей конструкции трехслойной панели повышают жесткость обеих обшивок (рис. 1.2 в, г, д). В случае привязки элемента, через который на панель будет передаваться сосредоточенная сила, к одной из обшивок (рис. 1.2 а, б) определяющим параметром будет являться прочность на отрыв клеевого соединения обшивки и сотового заполнителя [30]. Повышение жесткости за счет увеличения толщины обшивки выкладкой дополнительного числа слоев 3 (рис. 1.2 в), применения металлических 1 (рис. 1.2 а) или композиционных 4 (рис. 1.2 г) пластин позволяет увеличить количество стенок сотовой структуры, участвующих в восприятии нагрузки. Применение втулки с широким фланцем 2 (рис. 1.2 б) преследует тот же эффект. В данном случае фланец распределяет передаваемую сосредоточенную нагрузку по всей его площади. При передаче на панель сосредоточенных моментных нагрузок для снижения опорных реакций на несущие слои (обшивки) трехслойной конструкции в зоне опорного узла можно увеличить строительную высоту трехслойной конструкции за счет использования более жесткого заполнителя 6 и слоев композиционного материала 5 (рис. 1.2 д).
Классификация по технологическим признакам
Для успешной разработки конструктивно-технологических решений (КТР) опорных узлов необходимо четко представлять взаимодействие основных элементов трехслойной панели при передаче нагрузок в зонах крепления отдельных агрегатов и панели к каркасу. Существует множество технических решений усиления локальных зон в трехслойных конструкциях, которые позволяют передать сосредоточенные нагрузки на панель. Зачастую выбор конкретного решения является непростой задачей. Необходимо учитывать не только прочностные требования, но и конструктивные особенности зоны стыков: отклонения от плоскостности опорных площадок узлов; массовые характеристики; технологические особенности изготовления панели и т.п. В связи с этим представляется полезным систематизировать и классифицировать опорные узлы как по видам преимущественно передаваемых нагрузок, определяющих функциональное назначение узлов, так и по конструктивно-технологическим особенностям.
Варианты классификации опорных узлов для металлических трехслойных конструкций приведены в работах [15, 30], где представлено разграничение конструктивно-технологических решений, исходя из того, на каких панелях (клееных, паяных, сварных) может быть реализован тот или иной узел, и, какие виды нагружения он может воспринимать. В работе [30] опорные узлы выделены в класс заделок для точечных креплений узлов к поверхности панели и разделены на четыре группы: заделки точечных креплений, присоединяемые к обшивкам изготовленных панелей-полуфабрикатов без дополнительных усилений; - заделки элементов для точечного крепления, присоединяемые к изготовленной панели-полуфабрикату без непосредственного соединения элемента крепления с заполнителем; - заделки силовых элементов для точечного крепления, вставленные в панель при ее изготовлении и гарантированно соединенные с заполнителем; - заделки силовых элементов для точечного крепления, при которых сечение панели в месте стыка передает максимальные значения нагрузки всех видов.
Другой вариант классификации предложен в работах западных ученых [78, 80, 81], где учитывается степень заполнения сотовой структуры (рис. 1.8).
Отличия трехслойных конструкций с полимерными несущими слоями (обшивками) от металлических аналогов накладывают на конструкции опорных узлов свои ограничения. Некоторые из КТР, присущие металлическим трехслойным конструкциям, нельзя реализовать на панелях с обшивками из ПКМ, другие слишком трудоемки. Поэтому классификация опорных узлов трехслойных изделий с полимерными несущими слоями является актуальной задачей. В зависимости от конструктивного исполнения, технологии изготовления и функционального назначения опорные узлы предлагается разделить на несколько групп.
Одной из основных характеристик опорного узла является вид и величина сосредоточенной нагрузки, которую он способен передавать на трехслойную панель. Основные виды нагружения представлены в главе 1 (рис. 1.5). Поскольку в данной работе рассматриваются опорные узлы, предназначенные для передачи сосредоточенной нагрузки, действующей по нормали к поверхности панели, особое внимание при проектировании следует уделять усилению сотового заполнителя. В ходе экспериментальных исследований данное предположение было подтверждено многочисленными результатами испытаний, определившими сотовую структуру, как наиболее нагруженный элемент опорного узла.
Помимо силовых узлов, где требуется локальное усиление сотовой структуры на всю строительную высоту панели, в трехслойных конструкциях космического назначения существуют отдельные зоны, предназначенные для установки легких приборов. Нагрузки на такие зоны на порядок ниже, чем в местах установки основного оборудования и крепления платформы к каркасу. Соответственно, для их передачи используются КТР, не требующие включения в работу всех элементов трехслойной конструкции.
Очевидно, что для различных трехслойных конструкций величины нагрузок, которые могут быть переданы на панель при помощи опорного узла, будут разными. Это зависит от прочностных характеристик заполнителя и несущих слоев, зоны подкрепления сотовой структуры, усиливающих накладок и т.п. Чтобы подобрать относительный показатель, характеризующий уровень нагруженности опорного узла, необходимо выделить наиболее значимый параметр трехслойной конструкции.
Основным преимуществом трехслойных конструкций считается их высокая жесткость, образованная за счет разнесения с помощью легких заполнителей прочных и жестких несущих слоев. Чем больше высота изделия, тем выше его изгибная жесткость, устойчивость при продольном сжатии, прочность, а, следовательно, панель с большей строительной высотой может воспринимать более высокие нагрузки. Именно строительная высота (H=hi+h3+h2 рис. 1.4) была принята в качестве относительного параметра нагруженное опорного узла.
Определение усредненного значения допускаемых напряжений
Для большинства существующих конструкций опорных узлов, содержащих подкрепленную полимерными композициями сотовую структуру, вкладыши из более прочного и жесткого заполнителя или из других материалов, а также втулки из металлических и композиционных материалов, применение параметра «радиус усиления» Ry (под которым обычно понимают радиус шаблона для забивки пастой, радиус боковой поверхности втулки или радиус фланца втулки) не позволяет достоверно описывать напряженно-деформированное состояние зоны усиления. Например, в случае забивки пастой с использованием круглого шаблона область заполнения ячеек сильно отличаются от круга (рис. 3.4). При различных значениях Ry теоретическая зона (задаваемая обычно в чертежно-конструкторской документации) может оказаться значительно меньше реальной, образованной за счет включения в зону усиления ячеек, перекрывающихся отверстием шаблона (рис. 3.5). Рис. 3.4 Поперечный разрез опорного узла Рис. 3.5 Сечение опорного узла
Условно конструктивную схему такого опорного узла можно разбить на три характерные зоны (рис. 3.5): первая - теоретическая зона усиления сотового заполнителя; вторая - зона пограничных ячеек, или реальная зона усиления и третья - зона неподкрепленных стенок сотового заполнителя, примыкающая к реальной зоне усиления.
Исходя из низкой поперечной изгибной жесткости обшивок, на первом этапе проектирования считаем, что сосредоточенная нагрузка воспринимается только стенками сотового заполнителя. Очевидно, что наиболее нагруженными в этом случае являются грани сотовой структуры, примыкающие к заполненным ячейкам (зона 3 рис. 3.5). В силу геометрических соотношений толщины к остальным габаритным размерам, каждая грань заполнителя рассматривается, как тонкостенная пластина.
Наиболее опасным видом нагружения для опорного узла, выполненного заливкой пасты, считается сдвиг стенок сотовой структуры, расположенных в зоне 3 [51]. В качестве граничных условий для грани ячейки принято шарнирное опирание по длинным сторонам, жесткая заделка - по коротким.
Объемный единичный элемент сотовой структуры, примыкающий к зоне заливки, ограничен с двух сторон обшивками (рис. 3.6). Нагрузка передается на элемент через боковую поверхность цилиндра (усиливающий элемент), который, в свою очередь, испытывает нагружение по нормали к основанию. Поскольку высота сотового заполнителя значительно (более чем в 300 раз) превышает толщину фольги, из которой он сделан (0,03 мм), каждую стенку сотового заполнителя следует рассматривать в виде пластинки и исследовать по двум критическим видам исчерпания несущей способности: разрушение при сдвиге (от стенки сотового заполнителя - потеря устойчивости при сдвиге.
При этом необходимо учитывать, что структура сотового заполнителя в рамках одной ячейки состоит из четырех одинарных и двух двойных стенок (граней одинарной и двойной толщины), критические напряжения которых отличаются. Для модели (рис. 3.6) нужно рассчитать среднее допускаемое напряжение сдвига стенки. Задача определения несущей способности узла при заданной нагрузке (на первом этапе проектирования) сводится к расчету радиуса усиления, обеспечивающего необходимое количество стенок сотовой структуры (зона 3 рис. 3.5), которые через сдвиговые напряжения передают сосредоточенную силу на панель, и усредненного допускаемого напряжения.
Ограничения модели расчета несущей способности опорного узла
Расчет трехслойных конструкций с учетом сдвига в заполнителе и мембранного деформирования обшивок - один из наиболее распространенных способов учета сдвиговой податливости сотового заполнителя [1, 3, 5, 17, 18, 39]. При этом собственная изгибная жесткость каждой обшивки (в сравнении с изгибной жесткостью всего трехслойного пакета) считается пренебрежимо малой т.е., полагается, что тонкая обшивка работает только на растяжение-сжатие. Такие расчетные гипотезы обеспечивают достаточную точность в случаях, когда толщина обшивки значительно меньше толщины заполнителя.
В данной работе модель опорного узла (рис. 4.1) представлена в виде круглой пластины, шарнирно опертой по контуру и нагруженной в центре сосредоточенной силой. Такое решение было принято после анализа ряда работ [60, 79-81], где представлены методы испытания прочности опорных узлов и некоторые расчетные модели. По такой же схеме проводятся испытания прочности опорных узлов на передовых отечественных предприятиях по производству трехслойных панелей (ОНПП «Технология», НПО им. Лавочкина, НПО прикладной механики им. М.Ф. Решетнева).
Ниже рассматривается осесимметричный изгиб круглой или кольцевой пластины. Решение подобных задач представлено в работах [7, 16, 33, 41, 57, 69, 70, 74]. Пластина не имеет распределенных нагрузок, но нагружена в центре сосредоточенной силой F (рис. 4.1). По внешнему контуру радиуса В -шарнирное закрепление. Для того чтобы в дальнейшем решить задачу изгиба пластины, состоящей из двух участков, рассматривается также кольцевая пластина с внутренним радиусом Ri=Ry.
Толщина каждой обшивки равна hb толщина заполнителя - 2c=h3. Для заполнителя принимаются гипотезы Тимошенко [69]. При этом связь между поперечным прогибом срединной поверхности заполнителя w, углом поворота пластины $ и деформацией сдвига в заполнителе у имеет вид: $ = wr+r, (4.1) (индекс после запятой здесь и далее обозначает дифференцирование по соответствующей координате) Радиальные перемещения точек заполнителя [74]: u{2)=-zS, (4.2) где z - нормальная координата, отсчитываемая от срединной поверхности заполнителя. Поскольку обшивки работают только на растяжение-сжатие, радиальные перемещения в каждой из них считаются постоянными по толщине и равными И(,Л,)=±С5, (4.3) где знак «плюс» относится к нижней обшивке, а «минус» - к верхней (при положительном направлении оси z вверх). Радиальная деформация в обшивках круглой пластины при осесимметричном изгибе определяется производной от радиального перемещения, а окружная деформация - его отношением к текущему радиусу [16]: sr=u,r = ±c3,r г г Единственная из деформаций заполнителя, которая вносит вклад в энергию изгиба трехслойной пластины - это сдвиговая деформация в плоскости rz - yrz(3), которая в соответствии с (4.1) равна разности между величинами & и w,r. Удельная потенциальная энергия на единицу площади координатной поверхности U0 =±[2ф,є, + сгвєв)+2ст?Г?]. (4.5) С учетом закона Гука для обшивок и заполнителя Uo = hl{g +2grer0+gees2e)+cG(:)(3-wJ, (4.6) где grr, gre, gee - коэффициенты матрицы жесткости материала обшивок пластины, Grz(3) - модуль сдвига сотового заполнителя (предполагается осевая симметрия и соответствующая ортотропия материала).
Удельная потенциальная энергия изгиба пластины составляет интеграл по площади координатной поверхности пластины от выражения (4.6).
Если пластина нагружена в центре сосредоточенной силой F и при этом поперечная распределенная нагрузка отсутствует, то полная потенциальная энергия системы [5] составляет: В \1к Ґ О I 0L V И/ ЫОУг-Fw ,(4.7) bc2(gX+—К# + Ч$2) + cGl?(&2 -2&w,r+w,l) где В - внешний радиус пластины (для случая кольцевой пластины пределы внешнего интеграла выражения (4.7) - от R, до В). Выражение (4.7) можно записать в виде: Э = я \[Dnr&,2r+2Dre3,r & + &2+ Кпг(&2 - 2&w,r+w2j\dr - Ai[=o, (4.8) где: Drr, Dro, DOG, - изгибные, Krz -сдвиговая жесткости трехслойной пластины. -2-. "irr Drr=2hxc gr Dr9 = 2/z,c2gr ? Уве = \c See Kre=2cG ?. Примечание: в формулах для определения Drr, Dro, Dee, c=(h3+hi)/2. Дифференциальное уравнение изгиба и естественные граничные условия можно получить [13], приравнивая к нулю первую вариацию выражения (4.8): 5Э = 0. дЭ = п \[2Drrr3r8Sr + 2Dr0989r + 2Dre9r8& + - S& + 2Knr&59 о -г (4.9) - 2Knrwr89 - 2Knr95wr + 2Knrw,dw,]dr - F8v\r=0 = 0. Для того чтобы избавиться от вариаций производных под интегралом (первое, второе, седьмое и восьмое слагаемые), эти слагаемые в выражение для 5Э следует проинтегрировать по частям [5, 72], после чего условие (4.9) приобретает вид: olV Г J J (4.10) -F Mi rS, гЩвЩ-+2ЖІщг-гЗ)д4 = 0. Поскольку подынтегральное выражение должно быть равно нулю при произвольных вариациях обеих переменных, дифференциальные уравнения изгиба трехслойной пластины имеют вид: (4.11) 3 + Кгег\у,г = 0 v г J r3,r+S-rw,rr-w,r = 0, Для случая квазиизотропной пластины, когда Drr = Dee = D, D U-iD, выражения (4.11) можно записать в виде - + кг гК+К 0 + Krw,r = 0 (4.12) rd,r+9-rw,rr-w,r = 0, где: кА D Примечание: поскольку речь идет об осесимметричном изгибе пластины, в первом приближении сотовый заполнитель также рассматривается как квазиизотропная структура с использованием усредненного значения модуля сдвига.
Система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (4.12) имеет четвертый порядок; его общее решение содержит четыре произвольные константы. Этому уравнению соответствуют четыре граничных условия (два при г = 0 и два при г = R; для кольцевой пластины - на внутреннем и внешнем радиусе). Данные условия можно записать, если приравнять к нулю внеинтегральные члены уравнения (4.10): О = const или Drrrd,r+Died = 0; w = const или r(w,r—Э) = 0. Смысл первого из условий заключается в равенстве нулю погонного изгибающего момента Мг, а последнего условия - в равенстве нулю перерезывающей силы. Особый интерес представляют условия в центре пластины при г = 0. Одно из этих условий - условие симметрии: 9 = 0, (4.15) а второе - для случая незакрепленной в центре пластины, нагруженной силой F, вместо последнего условия (4.14) имеет вид: 2?iKrzr{&-w,r)+F = 0. (4.16) Смысл последнего уравнения заключается в равенстве силе F суммарной перерезывающей силы для любого сколь угодно малого радиуса г. В случае отсутствия распределенных нагрузок выражение (4.16) сохраняет справедливость и для любого конечного значения радиуса г.
