Содержание к диссертации
Введение
1. Введение 9
1.1. Декомпозиция процесса проектирования конструкций 9
1.2. Обзор методов оптимизации распределения материала в конструкциях . 10
1.2.1. Методы математического программирования 11
1.2.2. Методы критериев оптимальности 13
1.2.2.1. Полнонапряженный проект 13
1.2.2.2. Критерий равномерной плотности энергии деформаций.. 14
1.2.2.3. Критерий эквивалентного ограничения перемещений 16
1.2.2.4. Гибридный критерий оптимальности 16
1.2.2.5. Критерий наиболее нарушенного ограничения 17
1.2.2.6. Обобщенный критерий оптимальности 17
1.2.2.7. Итерационные схемы непрямой оптимизации 18
1.3. Особенности оптимизации тонкостенных комбинированных конструкций 21
1.4. Задачи и особенности тестирования алгоритмов оптимизации 25
1.5. Цель и задачи исследования 26
2. Оптимизация распределения материала в тонкостенных комбинированных конструкциях 28
2.1. Постановка задачи оптимизации 28
2.2. Анализ чувствительности 31
2.2.1. Ограничение на обобщенные перемещения 32
2.2.2. Ограничение на частоты собственных колебаний 34
2.2.3. Ограничение на величину критической скорости дивергенции несущих поверхностей 36
2.3. Оптимизация комбинированных конструкций при ограничениях на напряжения 39
2.4. Оптимизация комбинированных конструкций на широкий спектр ограничений 42
2.5. Выводы по главе 2 51
3. Тестирование алгоритмов оптимизации распределения материала в конструкциях 52
3.1. Методика тестирования 52
3.2. Первая группа тестов. Фермы 57
3.3. Вторая группа тестов. Мембранные конструкции 71
3.4. Третья группа тестов. Тонкостенные комбинированные конструкции 79
3.5. Анализ результатов тестирования 83
3.6. Выводы по главе 3 89
4. Реализация алгоритмов и решение прикладных задач 90
4.1. Краткое описание системы РИПАК 90
4.2. Особенности реализации алгоритмов оптимизации 91
4.3. Исследование композиционного киля самолета Ил-114 96
4.4. Проектирование пилона самолета ИЛ-86 под новый двигатель'... 103
4.5. Выводы по главе 4 108
Основные результаты работы 109
Литература
- Обзор методов оптимизации распределения материала в конструкциях
- Ограничение на обобщенные перемещения
- Вторая группа тестов. Мембранные конструкции
- Исследование композиционного киля самолета Ил-114
Введение к работе
Теория проектирования конструкций исторически развивалась в двух направлениях, называемых прямой и обратной задачами [114]. Под прямой задачей понимается анализ поведения конкретной конструкции под воздействием внешней среды. Обратная задача заключается в определении совокупности параметров силовых элементов конструкции, удовлетворяющей заданным критериям.
Достаточно достоверно прогнозировать поведение конструкции при статическом и динамическом нагружении позволяют численные эксперименты на математических моделях. Предлагаемые в данной работе алгоритмы оптимизации ориентированы на использование метода конечных элементов (МКЭ)[10,50,120].
Обширная библиография на тему оптимального проектирования конструкций содержится в работах [4,8,15,35,66,91,103,105,106,108,112, 129, 130, 150, 163, 176]. Большой вклад в развитие теории оптимизации конструкций внесли Я. Арора, Н.В. Баничук, Л. Берке, В.И. Бирюк, В.А. Бунаков, Г. Вандерплац, В.В. Васильев, 3. Васютинский, В.П. Валуйских, В.Б. Венкайя, В.Г. Гайнутдинов, Г.И. Гребенюк, В.И. Гришин, А.И. Данилин, М. Доббс, В.А. Зарубин, В.Г. Киселев, Д.М. Козлов, А.А. Комаров, В.А. Комаров, А.С. Кретов, Я. Кьюсалаас, И.Б. Лазарев, Е.К. Липин, Л.С. Ляхович, В.П. Малков, А. Мичелл, И.Ф. Образцов, Л.В. Петухов, В.- Прагер, Н.В. Пустовой, И.М. Рабинович, Ю.А. Радциг, Г.И. Расторгуев, Д. Рожваны, Р. Розани, А.П. Сейранян, Н.Н. Складнев, В.Ю. Столбов, А.Г. Угодчиков, В.М. Фролов, К. Флюри, Э. Хог, Н.СХот и другие.
Решение обратной задачи для сложных технических объектов обычно делится на несколько этапов [3,104, 72,42]. На первом этапе, называемом структурной оптимизацией [72,71,80,104,42,2], выбирается конструктивно силовая схема изделия, то есть определяется количество, тип и форма конструктивных элементов, а так же их ориентация в пространстве и способы соединения между собой. На этапе параметрической оптимизации [89, 72, 103,129,150,176,42,2] определяются размеры сечений силовых элементов.
Структурную оптимизацию упругих систем можно разделить на задачи оптимизации топологии (исследуются различные варианты схемы соединения элементов) [160, 75] и задачи оптимизации формы конструкции [5, 91, 108, 112]. Наиболее широко исследованы оптимизация форм контуров отверстий в пластинах [4,5,112,37], оптимизация форм поперечных сечений стержней [6,137,164], оптимизация пластин с ребрами жесткости [85,49, 58,15, 101, 112,119,98,182,143].
В данной работе ограничимся рассмотрением задачи параметрической оптимизации тонкостенных комбинированных конструкций. Обзор методов параметрической оптимизации конструкций представлен в разделе 1.2, особенности оптимизации тонкостенных комбинированных конструкций -в разделе 1.3.
1.2. Обзор методов оптимизации распределения материала в конструкциях
За проектные переменные (ПП) для задачи параметрической оптимизации силовой конструкции обычно принимаются параметры X., описывающие размеры сечений конечных элементов (толщина пластины или площадь поперечного сечения стержня) [68,103,129,68,161,89]. Задача оптимизации распределения материала в силовой конструкции чаще всего формулируется как задача условной оптимизации с нелинейными ограничениями -неравенствами: минимизировать М(Х) = Е PJAJXJ (1.1) при G/X) = С/Х) - С. 0, j=l,2,...,p, (1.2) X_min X_ Xm« І=1,2,...,П, (1.3) где M - масса конструкции; р{ - плотность материала і-го элемента; А. - постоянная составляющая объема і-го элемента - площадь в плане двумерного элемента (пластины) или длина одномерного (стержневого) элемента;
п - количество ПП;
G. - j-e физическое ограничение;
С. иС" j-ая переменная состояния конструкции и ее допускаемое значение;
р - количество физических ограничений;
X min и х max _ ограничение снизу и сверху на величину i-ой ПП.
Переменными состояния конструкции являются напряжения в различных точках конструкции, обобщенные перемещения, частоты собственных колебаний, критические скорости дивергенции несущих поверхностей, флаттера и так далее.
Физические ограничения будем называть активными, следуя [55, 103, 129], если соотношения (1.2) выполняются в форме равенства. Активными будем называть ПП, для которых ограничения (1.3) являются строгими неравенствами [55,103,129].
Все многообразие методов оптимизации распределения материала в конструкциях можно разделить на прямые, или методы математического программирования, и непрямые, или методы, основанные на критериях оптимальности [103, 129]. В работах К. Флюри [149, 150] показано, что прямые и непрямые методы могут быть получены один из другого незначительными изменениями в логике алгоритмов. Предложены гибридные методы оптимизации [129,169,151].
1.2.1. Методы математического программирования. В основе прямых методов лежит идея пошагового улучшения качества проекта на основании локального поведения функций цели и ограничений вблизи текущей точки области поиска.
Для проектирования конструкций применяется метод альтернативного шага [170, 171], проекции градиента [129, 138], возможных направлений [140], методы рекурсивного квадратичного программирования [113, 160]. Все эти методы, как правило, определяют последовательность поисковых шагов в допустимой области вдоль гиперповерхностей ограничений, при которых значения целевой функции монотонно убывают. Отметим, что все эти методы решение исходной задачи оптимизации с ограничениями -неравенствами сводят к решению вспомогательной задачи с ограничениями - равенствами (физические ограничения, имеющие статус пассивных просто не рассматриваются). Разумеется, речь идет о возможности эвристического определения набора активных ограничений в текущей точке без точного знания этого набора в оптимальной точке. На каждой итерации может решаться вопрос определения подходящей длины шага [140]. Меньший шаг может замедлить сходимость, а слишком большой - привести к осцилляциям вычислительного процесса и даже расходимости [129].
Штрафные методы [33, 154] преобразуют исходную задачу с ограничениями к задаче безусловной оптимизации. При таком подходе к целевой функции добавляется функция, которая называется штрафной. Расширенная целевая функция учитывает степень нарушенности ограничений. Различают методы внутреннего и внешнего штрафа [33]. В общем случае эквивалентность между исходной и преобразованной задачами обеспечить не удается. Точность определения локального решения.весьма чувствительна к выбору штрафной функции (настройке алгоритма).
В работе [129] в качестве достоинства прямого подхода отмечается устойчивость алгоритмов при движении к границе допустимой области, но их скорость сходимости уменьшается при подходе к локальному минимуму. Еще один недостаток прямых методов - зависимость числа итерационных шагов от количества 1111.
1.2.2. Методы критериев оптимальности. В рамках непрямого подхода задача минимизации целевой функции с ограничениями - неравенствами заменяется косвенной. Постулируется критерий, которому должна отвечать рациональная конструкция и строится итерационная процедура поиска этой конструкции. Критерии оптимальности могут выводиться из математической формулировки задачи или основываться на особенностях поведения, подмеченных для некоторых классов конструкций. Непрямой подход позволяет строить эффективные алгоритмы, число итерационных шагов которых не зависит от количества 1111.
Большую часть всех физических ограничений составляют ограничения напряжений, так как они записываются для локальных точек конструкции. Поэтому начнем обзор необходимых условий оптимальности с критериев для задачи проектирования конструкций при наличии только ограничений на напряжения.
1.2.2.1. Полнонапряженный проект (ПНП). Конструкция называется полнонапряженной (равнопрочной), если во всех элементах, где сечение больше минимально допустимого, реализуется предельное состояние хотя бы в одном из случаев нагружений [70]. Для поиска ПНП используется классическая формула отношения напряжений:
Х =Х тах(ст„)/а., j=l, 2,..., s, (1.4)
где а..- напряжение в i-элементе при j-м случае нагружения;
ст - допускаемое напряжение для і-го элемента;
s - число случаев нагружений;
v - номер итерации.
Достоинства метода - простота и высокая эффективность. Критерий ПНП строгий в случае статически определимых конструкций, для которых внутренние усилия не зависят от распределения материала. Оптимальный
проект при этом получается за один пересчет конструкции. Для большинства статически неопределимых конструкций справедливо свойство консерватизма внутренних усилий [103, 75] и ПНП удается получить за 5-10 итераций, независимо от числа ПП.
Концепция ПНП не включает в себя в явном виде целевую функцию -массу конструкции. ПНП находится в вершине области допустимых значений, чего в общем случае недостаточно для оптимальности проекта [62,116,170, 20]. Тем не менее, алгоритм, построенный на соотношении (1.4), часто приводит крациональному проекту [69]. Это подтверждают многочисленные исследования, например [72, 62,20, 84, ПО, 115,116,45].
1.2.2.2. Критерий равномерной плотности энергии деформации. В основу данной концепции положена идея замены совокупности локальных ограничений напряжений интегральной характеристикой - потенциальной энергией:
U= 1/2 {К}ТЦ}, (1.5)
где {Р.} - вектор j-ой нагрузки, приложенной к узлам КЭМ;
{и.} - вектор перемещений, связанных с j-ой нагрузкой.
Этот подход использовался и развивался многими авторами [180, 181, 66, 67,176,62, 75, 42, 9, 15, 112, 31,21].
Требование к жесткости конструкции при единственном активном j-м случае нагружения может быть записано в следующем виде [176]:
а(х)=ц(Х)-с=о. (1.6)
Дифференцируя функцию Лагранжа
L(X) = M(X) + X.G.(X), (1.7)
где X. - множитель Лагранжа,
по переменной X, можно прийти к следующему выражению:
X. е7р; = 1 или eVp=const, i=l, 2,..., n, (1.8)
где e» - удельная энергия деформации і-го элемента при j-м нагружении;
п - количество активных ПП.
Согласно рассматриваемому критерию оптимальности, отношение плотности энергии деформации к плотности материала должно быть одинаковым для всех активных ПП. В работе Комарова А.А. [66] получен аналогичный результат, минимизируя потенциальную энергию конструкции при неизменном объеме материала в случае проектирования конструкции, выполненной из однородного материала. Конструкции, удовлетворяющие данному критерию, получили название наиболее жестких (НЖК).
В работе [176] рассматривается задача минимизации массы при ограничениях жесткости вида (1.6) для нескольких случаев нагружения. Такой подход приводит к следующим необходимым условиям оптимальности:
Под НЖК при нескольких случаях нагружении в работе [67] понимается конструкция, полученная минимизацией суммы потенциальных энергий всех случаев нагружении при постоянном объеме. В этом подходе, к сожалению, остается открытым вопрос о выборе значимых (активных) случаев нагружения. Тем не менее, масса НЖК иногда оказывается меньше, чем масса ПНП [62,20] - в ПНП могут оказаться зоны, которые эффективно работают в одних случаях нагружении и слабо нагружены в других. Для таких конструкций масса ПНП может быть уменьшена за счет усиления "связывающих" элементов, которые заставят указанные зоны взаимно поддерживать друг друга в различных случаях нагружении. При этом в "связывающих" элементах предельное состояние может не реализовываться ни в одном из случаев нагружении.
Для поиска НЖК используется метод множителей Лагранжа [67], а также рекуррентное соотношение, аналогичное формуле отношения напряжений (1.4) [45,20]:
X. v+i) = х.мmax.(VeX), j=l, 2,..., s, (1.10)
где е. - допускаемая удельная энергия деформации для і-го элемента.
1.2.2.3. Критерий эквивалентного ограничения перемещений. Ограничение напряжения в j-м элементе может быть представлено в следующем виде [103,129]:
G= {Spiv} -о; 0, j=l, 2,..., р, (1.11)
где {S.} - вектор, связывающий перемещения j-ro элемента {и.} с ограничиваемым напряжением в этом элементе.
Сущность критерия эквивалентного ограничения перемещений (ЭОП) заключается в сведении ограничений на напряжения к ограничениям обобщенных перемещений [103, 176]. В этом подходе вектор {S.} рассматривается в качестве виртуальной нагрузки для j-ro элемента.
Продифференцировав функцию Лагранжа
Ь = М + ІЩ (1.12)
по ПП, приходим к следующему выражению:
. І X. е 7Р = 1, i=l, 2,..., п, (1.13)
j=i
где е г - удельная псевдоэнергия в і-м элементе от виртуальной нагрузки (S.) на действительных перемещениях {UL}.
1.2.2.4. Гибридный критерий оптимальности. С одной стороны, алгоритм, построенный на основе критерия ЭОП, предполагает использование множества виртуальных случаев нагружений для
аппроксимации всех ограничений на напряжения. Это резко увеличивает вычислительные затраты на этапе анализа конструкции. С другой стороны, концепция ПНП не требует дополнительных случаев нагружений, но является менее строгой. Найти компромисс между точностью и эффективностью можно на основе гибридного критерия [149,150]. При этом подходе только часть ограничений на напряжения учитывается в виде соотношений (1.11) с помощью критерия ЭОП, а остальные ограничения - в соответствии с критерием ПНП. Так, ограничение напряжения в і-м элементе можно учесть, сделав более жестким ограничение снизу на величину ПП Х™1:
X.™ = max ( Х,Ч Х, ), (1.14)
где Xj(L) - ограничение і-ой ПП снизу, обусловленное КТО;
X.(F) - значение ПП, получаемое из формулы отношения напряжений:
X/» = X maxj (ст/а), j=l, 2,..., s.
Отметим, что гибридный критерий удачно приспособлен для проектирования конструкций с концентрацией напряжений [52].
Следующие два критерия относятся к классу задач проектирования конструкций на весь спектр физических ограничений (напряжения, обобщенные перемещения, частоты собственных колебаний, критическую скорость флаттера и т. д.).
1.2.2.5. Критерий наиболее нарушенного ограничения. Этот критерий выводится в предположении, что точке оптимума будет соответствовать единственное активное ограничение. Далее используются эвристические алгоритмы типа "огибающей" или "последовательного удовлетворения наиболее нарушенных ограничений" [103]. Алгоритмы, построенные на основе рассматриваемого критерия, обладают высокой эффективностью. Однако, они не позволяют точно идентифицировать набор активных ограничений в оптимальной точке [161,163].
1.2.2.6. Обобщенный критерий оптимальности. Данный критерий [148,
103, 129] совпадает с необходимыми условиями Куна - Таккера для оптимизационной задачи (1.1) - (1.3). Фунция Лагранжа записывается так:
ЦХ) = М(Х) +1 KG.(X). (1.15)
j-i
Необходимые условия Куна - Таккера формулируются следующим образом :
ЭЬ(Х)/ЭХ = 0, i=l, 2,..., n, (1.16)
Я, Gj(X) = 0f j=l, 2,..., р, (1.17)
\ 0, j=l, 2,..., p. (1.18)
Условия (1.17) и (1.18) задают набор активных физических ограничений для точки локального оптимума. Для пассивных ограничений соотношения (1.2) являются строгими неравенствами и множители Лагранжа равны нулю.
Условия стационарности функции Лагранжа (1.16), с учетом соотношений дМ(Х)/дХі = р.А., записываются следующим образом:
-1 / (р, A,) S Х} аО/ЭХ = 1 , i=l, 2,..., п. (1.19)
j=i
1.2.2.7. Итерационные схемы непрямой оптимизации. Любой ранее рассмотренный критерий оптимальности можно представить в простом виде:
R=l, i=l, 2,..., n, (1.20)
где R. - некоторый параметр оптимальности.
Например, критерию ИНН соответствует параметр вида R.=max.(cr..)/сг, где j=l, 2,..., s, параметр для других критериев легко определить из соотношений (1.8), (1.9), (1.13), (1.19).
Для поиска проектов, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, применяются различные итерационные схемы. Изменение ПП производится на основе рекуррентных соотношений. Согласно экспонен циальным рекуррентным соотношениям [163], ПП варьируются следующим образом:
X.(V+D=X/V [R/v ]l/r, (1.21)
где г - параметр, влияющий на размер шага в пространстве проектирования;
v - номер итерации.
Линейная форма рекуррентных соотношений предложена Я. Кьюса-лаасом [129] в следующем виде:
X.(-i)=xм [a+(l-a)R, v ], (1.22)
где a - коэффициент релаксации, управляющий размером шага.
Параметр R/v) в соотношениях (1.21) и (1.22) определяется на текущей итерации. При достижении оптимальной точки, параметр R v будет равен единице. Следовательно, при дополнительных итерациях ПП останутся неизменными.
Для определения множители Лагранжа, соответствующих физическим ограничениям, существует несколько подходов.
Н. С: Хот, В. Б. Венкайа и Л. Берке [163] предложили для поиска множителей Лагранжа рекуррентную зависимость следующего вида:
Х ЩС/С)» , j=l,2,...,p, (1.23)
где Р - коэффициент настройки алгоритма.
Для использования соотношений (1.23) необходимо задаться начальными значениями множителей Лагранжа А,(Я Далее эти значения корректируются в зависимости от степени нарушенности ограничений.
Рицци П. [168] для вычисления множителей Лагранжа использовал линейную аппроксимацию активных физических ограничений в следующем виде: aG/aX, AX,= AG, 3=1,2,..., (1.24)
i=l
где AGj - невязка j-го ограничения АО.=С.-С AX- коррекция і-ой ПП, получаемая из рекуррентного соотношения; 2 - число активных физических ограничений.
Подставляя АЗС из рекуррентного соотношения (1.22) в (1.24), получим следующее выражение:
I [Х.дсуах.асуах, х .A.)1] = -AG/(i-a) аэ/ах, х, а=1 i=l " i-1
j=l,2,...,E. (1.25)
Выражение (1.25) представляет собой систему линейных уравнений относительно множителей Лагранжа Хл. М. В. Доббс и Р. Б. Нельсон [145] для вычисления множителей Лагранжа использовали функцию среднеквадратичных ошибок:
E( )=I(R,-1)2. (1.26)
І=І
Минимизация этой функции по множителям Лагранжа приводит к следующей системе линейных уравнений:
І ї.іКдо/д до/дх А -їідо/щірлу], j=i,2,..., .(1.27)
а=1 і=1 і=1
Соотношения (1.27) позволяют определить множители без учета невязки ограничений.
Приведенные ранее подходы к определению множителей Лагранжа и рекуррентные соотношения позволяют строить итерационные алгоритмы поиска проектов, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности.
1.3. Особенности оптимизации тонкостенных комбинированных
конструкций
Обзор методов оптимизации распределения материала в конструкциях, представленный в разделе 1.2, показывает, что несмотря на успехи, достигнутые в данной области, остаются нерешенные вопросы. Во-первых, задачи оптимизации конструкций описываются большим количеством 1111. Это обстоятельство затрудняет подробное исследование области поиска и, следовательно, получение точных результатов. Во-вторых, физические
ограничения могут выдвигаться условиями прочности, жесткости, аэроупругости и т. д. Гиперповерхности этих ограничений могут иметь различный характер рельефа, кривизну. В-третьих, физические ограничения и КТО сильно сужают область допустимых значений, что затрудняет выбор набора активных ограничений и активных 1111.
Один из возможных путей развития методов оптимального проектирова Щ ния конструкций, по нашему мнению, может быть следующим. В рамках непрямого подхода предложен ряд методов оптимизации на основе концепции полнонапряженности. Такой подход позволяет резко уменьшить количество активных физических ограничений за счет сведения ограничений на напряжения к ограничениям на ПП. Следовательно, ограничения на ПП при этом становятся более жесткими, что обостряет вопрос идентификации активных 1111. При использовании непрямых методов часто возникает осцилляция вычислительного процесса, связанная с "мерцанием" наборов активных ограничений и активных ПП. После стабилизации указанных наборов итерационный процесс быстро сходится [129]. Таким образом, эффективность процедуры определения наборов активных ограничений и ПП может стать основой эффективности алгоритма оптимизации в целом.
Дополнительная сложность на данном пути возникает в связи с тем, что алгоритм поиска ПНП иногда приводит к некорректным результатам. В частности, может появляться неопределенность выбора точки, по напряжению в которой определяется толщина элемента. Для четырехугольного мембранного элемента в качестве такой точки, как правило, выбирается геометрический центр элемента. При этом элемент, нагруженный, например, чистым изгибом в процессе нахождения ПНП будет вырождаться, что недопустимо.
Особенность выбора точек, определяющих толщины мембранных элементов в комбинированных упругих системах, поясним на примере тонкостенной балки, нагруженной поперечной силой Q и изгибающим моментом MQ. Известно, что для восприятия поперечного изгиба наиболее выгодно двутавровое сечение балки. Приближенная модель такого сечения, достаточно адекватная на начальных стадиях проектирования, представлена на рисунке 1.1. В этой задаче целесообразны две ПП: толщина стенки (Xj) и площадь поперечного сечения поясов ру. Требуется минимизировать погонную массу балки MpC Xj) при выполнении ограничений G.= а- а О, где j=1,2,3; а, - эквивалентное напряжение в точке А стенки; ст2 - эквивалентное напряжение в точке О стенки; а3 - эквивалентное напряжение в поясе; а -допускаемое эквивалентное напряжение.
X Ї 3 - /..— " т А vMo \ Q
• —
\ 0 h и і - dz / г- — Рисунок 1.1 - Модель балки
На рисунке 1.2 представлены функции физических ограничений и линии равных уровней целевой функции М при Q=20 кН, М =20 кН м, h=0,2 м.
Если G=0, то G2 0; G O для всей области поиска. Оптимальный проект располагается в точке касания функции G =0 и линии равных масс (проект I, на рисунке 1.2 обозначен звездочкой).
Если толщину стенки определять по эквивалентным напряжениям в точке А, то это приведет к вырождению поясов (проект II - точка пересечения функций G=0 и G3=0, рисунок 1.2). Такое решение для данной задачи не является корректным. Выбор в качестве определяющей для стенки точки О приведет к нарушению условия прочности в точке А (проект III - точка пересечения функций G2=0 и G3=0, рисунок 1.2). Масштабирование по условиям прочности (движение по лучу из начала координат) приводит к проекту IV, далекому от оптимальной точки (отклонение по погонной массе составляет около 15%).
Неопределенности с выбором ведущей точки на элементе можно избежать, если использовать концепцию НЖК. При этом будет происходить выравнивание по элементам не эквивалентных напряжений, а удельных энергий
деформаций (проект V, рисунок 1.2). Отклонение погонной массы НЖК относительно оптимального проекта составляет примерно 9%.
Рисунок 1.3 - Двухстержневая конструкция
В случае проектирования конструкций, выполненных из различных материалов, ПНП и НЖК также не являются гарантированно оптимальными. Для того, чтобы подчеркнуть сложность решения задачи распределения материала в этом случае, рассмотрим двухстержневую конструкцию (рисунок 1.3). Допустим, что Ej=E2, р,=р2, Я. где М°ДУЛЬ упругости материала. Проектными переменными являются площади поперечного сечения стержней. Данная задача имеет тривиальное решение. Оптимальным является проект, в котором стержень 2 вырожден, а в первом стержне реализуется предельное состояние. Несмотря на кажущуюся простоту, эта задача весьма сложная с точки зрения применения методов оптимизации. Возьмем за основу оптимальный проект и внесем небольшое возмущение - введем элемент 2 с очень малым поперечным сечением. При этом деформация полученной конструкции будет практически такой же, как и оптимальной. Следовательно, в элементе 2 напряжение превысит допускаемое и соответствующее ограничение станет активным. Очевидно, что непрерывными вариациями, отправляясь от проекта с невырожденным элементом 2, невозможно получить оптимальный проект. Такая особенность возникает благодаря изменению силовой схемы (структуры) конструкции, связанной с добавлением или исключением элемента конструкции. Задача структурной оптимизации выходит за рамки темы настоящего исследования и автор планирует ее
рассмотреть в дальнейшем. В данной работе в разделе 2.3 предлагается метод оптимизации конструкций, выполненных из различных материалов при фиксированной конструктивно - силовой схеме.
1.4. Задачи и особенности тестирования алгоритмов оптимизации
В процессе решения как прямой, так и обратной задачи теории сооружений, проектировщику приходится опираться на такие субъективные факторы, как интуиция и опыт.
Практически во всех статьях и монографиях по МКЭ уделяется серьезное внимание тестированию предлагаемых или описываемых элементов. В работе Макеева Е. Г. [87] разработана методика тестирования конечных элементов. Применение этой методики обеспечивает разностороннее исследование любых элементов, вводимых в конечноэлементную базу, исключает возможность использования конечных элементов с нежелательными свойствами и дефектами, а также предоставляет необходимую информацию об элементах для создания таких моделей, которые наиболее точно и полно отображают действительное поведение рассматриваемых конструкций. В некоторых задачах результаты расчетов по МКЭ можно сопоставить с точными аналитическими решениями из теории упругости или с данными натурных испытаний.
Методы оптимального проектирования конструкций также имеют особенности, затрудняющие их использование: сложные математические преобразования для определения направления движения в пространстве проектирования, резкое увеличение объема вычислений с ростом количества ПП, чувствительность алгоритмов к начальной точке, размеру шага и другим настраиваемым параметрам. Систематическая и полная информация о точности, эффективности, влиянии на процесс оптимизации настроечных коэффициентов позволяет обоснованно очертить область применимости алгоритмов, уменьшить вычислительные затраты, что в конечном итоге
определяет возможность получения необходимых результатов в заданные сроки. Систематизированное тестирование алгоритмов оптимального проектирования конструкций способствует накоплению опыта и развивает интуицию у проектировщика, то есть обладает обучающим эффектом.
Конечная цель испытаний - проверить алгоритм так, чтобы им можно было успешно и уверенно пользоваться. В известных работах по оптимальному проектированию конструкций, например [4,15,33,91,103,106,108, ПО, 129, 161, 178], тестирование алгоритмов не носит системный характер. Как правило, испытания производятся на отдельных численных примерах, подчеркивающих те или иные положительные свойства алгоритмов. Процесс тестирования не должен исчерпываться демонстрацией работоспособности алгоритма. Выделим следующие основные задачи тестирования алгоритмов оптимизации конструкций:
-определение области рационального применения алгоритмов;
-выявление возможных отрицательных свойств алгоритмов;
-анализ влияния на итерационный процесс настроечных параметров;
-выбор критерия прекращения вычислений;
-накопление знаний о свойствах алгоритмов.
1.5. Цель и задачи исследования
В данной главе сделан обзор методов оптимизации распределения материала в конструкциях. Отмечены особенности проектирования комбинированных упругих систем. Рассмотрены задачи и особенности тестирования алгоритмов оптимизации.
Цель данного исследования заключается в повышении качества проектирования комбинированных авиационных конструкций. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
1. Разработать алгоритм параметрической оптимизации комбинированных авиационных конструкций.
2. Разработать методику тестирования алгоритмов параметрической оптимизации конструкций.
3. Выполнить разностороннее испытание разработанного алгоритма.
4. Создать программное обеспечение, реализующее разработаный алгоритм в рамках промышленной МКЭ-системы.
5. Апробировать разработанный алгоритм и программное обеспечение на решении прикладных задач.
Обзор методов оптимизации распределения материала в конструкциях
За проектные переменные (ПП) для задачи параметрической оптимизации силовой конструкции обычно принимаются параметры X., описывающие размеры сечений конечных элементов (толщина пластины или площадь поперечного сечения стержня) [68,103,129,68,161,89]. Задача оптимизации распределения материала в силовой конструкции чаще всего формулируется как задача условной оптимизации с нелинейными ограничениями -неравенствами: п минимизировать М(Х) = Е PJAJXJ (1.1) при G/X) = С/Х) - С. 0, j=l,2,...,p, (1.2) X_min X_ Xm« І=1,2,...,П, (1.3) где M - масса конструкции; р{ - плотность материала і-го элемента; А. - постоянная составляющая объема і-го элемента - площадь в плане двумерного элемента (пластины) или длина одномерного (стержневого) элемента; п - количество ПП; G. - j-e физическое ограничение; С. иС" j-ая переменная состояния конструкции и ее допускаемое значение; р - количество физических ограничений; X min и х max _ ограничение снизу и сверху на величину i-ой ПП.
Переменными состояния конструкции являются напряжения в различных точках конструкции, обобщенные перемещения, частоты собственных колебаний, критические скорости дивергенции несущих поверхностей, флаттера и так далее.
Физические ограничения будем называть активными, следуя [55, 103, 129], если соотношения (1.2) выполняются в форме равенства. Активными будем называть ПП, для которых ограничения (1.3) являются строгими неравенствами [55,103,129].
Все многообразие методов оптимизации распределения материала в конструкциях можно разделить на прямые, или методы математического программирования, и непрямые, или методы, основанные на критериях оптимальности [103, 129]. В работах К. Флюри [149, 150] показано, что прямые и непрямые методы могут быть получены один из другого незначительными изменениями в логике алгоритмов. Предложены гибридные методы оптимизации [129,169,151].
Методы математического программирования. В основе прямых методов лежит идея пошагового улучшения качества проекта на основании локального поведения функций цели и ограничений вблизи текущей точки области поиска.
Для проектирования конструкций применяется метод альтернативного шага [170, 171], проекции градиента [129, 138], возможных направлений [140], методы рекурсивного квадратичного программирования [113, 160]. Все эти методы, как правило, определяют последовательность поисковых шагов в допустимой области вдоль гиперповерхностей ограничений, при которых значения целевой функции монотонно убывают. Отметим, что все эти методы решение исходной задачи оптимизации с ограничениями -неравенствами сводят к решению вспомогательной задачи с ограничениями - равенствами (физические ограничения, имеющие статус пассивных просто не рассматриваются). Разумеется, речь идет о возможности эвристического определения набора активных ограничений в текущей точке без точного знания этого набора в оптимальной точке. На каждой итерации может решаться вопрос определения подходящей длины шага [140]. Меньший шаг может замедлить сходимость, а слишком большой - привести к осцилляциям вычислительного процесса и даже расходимости [129].
Штрафные методы [33, 154] преобразуют исходную задачу с ограничениями к задаче безусловной оптимизации. При таком подходе к целевой функции добавляется функция, которая называется штрафной. Расширенная целевая функция учитывает степень нарушенности ограничений. Различают методы внутреннего и внешнего штрафа [33]. В общем случае эквивалентность между исходной и преобразованной задачами обеспечить не удается. Точность определения локального решения.весьма чувствительна к выбору штрафной функции (настройке алгоритма).
Ограничение на обобщенные перемещения
В основе детерминированных методов оптимизации (прямых и непрямых) лежит построение аппроксимаций переменных состояния конструкции. При построении аппроксимации используются значения функций и их производных (чаще всего первых) в текущей точке области поиска. Другой подход заключается в построении регрессионных зависимостей с использованием данных об аппроксимируемой функции в совокупности точек заданной области [36].
Поиск частных производных функций цели и физических ограничений по ПП - коэффициентов чувствительности (КЧ) - в проектировании конструкций стал самостоятельной областью исследования [130, 132, 41]. Особенностью анализа чувствительности в данной работе является то, что в качестве ПП приняты массы подконструкций т. в виде (2.2). Частные производные целевой функции по ПП имеют простой вид: аМ(т)/ат; = 1 . (2.10)
Ограничения на обобщенные перемещения. На перемещения конструкции под нагрузкой могут быть наложены различные виды ограничений. Например, могут ограничиваться: перемещение какой - либо точки в определенном направлении, относительные перемещения различных точек конструкции, углы поворота или закручивания сечений и т. д.
Перемещения узлов конечноэлементной модели под нагрузкой определяются путем решения системы линейных алгебраических уравнений следующего вида: [K] {u } = {Р}, (2.11) где {Р} - вектор нагрузки; [К] - матрица жесткости КЭМ; {и } - перемещение узлов КЭМ от нагрузки {Р}. Обобщенное перемещение С. представим, следуя [130,41],в следующем виде: =( )4 1, (2.12) где {Q} - вектор коэффициентов линейной комбинации перемещений узлов КЭМ.
Дифференцирование соотношения (2.12) по пг, с учетом того, что {Q.} не зависит от пг, приводит к следующему соотношению: дС/дт. = {Q.}r д{и}/дт.. (2.13) Продифференцируем соотношение (2.11) по пг: дЩІдт. {U P } + [К] д{иЫ}/дт. = {0}. (2.14) Решив систему уравнений [К] {u«D}={Q}, (2.15) где вектор {Q} используется как виртуальная нагрузка, определим виртуальные перемещения {u(q)}. Выражение (2.14) умножим слева на вектор {u(q)}T: {и(ч }т Э[К]/Эт. (и )} + {и«»}Т [К] д{иЫ}/дт. = {0}. (2.16) Так как {и(ч)}Т [К] = {Q}T, то получаем следующее соотношение: {Q}T д{и}/дт. = -{и«»}т дЩ1дт{ {u }. (2.17) Соотношение (2.17) с учетом (2.13) принимает следующий вид: ac/am, = -{и ч)}т a[K]/am. {u p }. (2.18)
Вид частной производной матрицы жесткости элемента по ПП зависит от типа конечного элемента. Напомним, что в данной работе рассматриваются тонкостенные конструкции, которые моделируются комбинацией двухузловых осевых элементов с растягивающими и сжимающими нагрузками и четырехузловых мембранных элементов, моделирующих плоские пластины с тангенциальными (мембранными) усилиями. Для этих элементов имеет место линейная зависимость коэффициентов матриц жесткости и масс от площади поперечного сечения или толщины, а значит, и от массы элемента. Так как массы элементов, входящих в подконструкцию, связаны линейной зависимостью (2.2), то имеет место линейная зависимость коэффициентов матриц жесткости и масс подконструкции от массы подконструкции.Таким образом, д[К]/дт.= [aJT д\К.удт. [aj = [а.]т [KJ [aj / т., (2.19) д[Щ/дт. = [а.]Т д\М.)/дт. [aj = [а.]Т [М.] [aj / т., (2.20) где [К.] - матрица жесткости і-ой подконструкции; [М.] - матрица масс і-ой подконструкции; [а/ - булева матрица перехода от матрицы подконструкции к глобальной матрице. Зависимость (2.18) с учетом (2.19) принимает следующий вид: дС/Злі = - (и(я)}т [aJT [KJ [a.] {u } I т, (2.21)
В числителе соотношения (2.21) записано произведение внутренних усилий і-ой подконструкции [К.] [aj {и } и виртуальных перемещений узлов і-ой подконструкции {u(q)}T [а.]т, то есть выражение для псевдоэнергии
Вторая группа тестов. Мембранные конструкции
Данная задача в различных вариантах рассматривается многими исследователями как характерный концентратор, в том числе в докторских диссертациях Данилина А. И., Зарубина В. А., Комарова В. А., Малкова В. П. и других.
Попытки использования алгоритма поиска ПНП для нерегулярных конструкций выявили тенденцию к неограниченному росту толщин элементов с концентрацией напряжений [95]. Это происходит из-за того, что концепция полнонапряженности предполагает выполнение условия прочности для каждого элемента за счет варьирования толщины только данного элемента. В то же время цель отыскания окантовки - выполнить условия прочности в элементах с концентрацией напряжений за счет некоторых зон конструкции в стороне от концентратора. Для решения настоящего примера используем алгоритм ПЛМКО на основе гибридного критерия оптимальности.
Для борьбы с концентрацией напряжений будем ограничивать деформацию материала на краю выреза (первый ряд) в элементах 1-6 (рисунок 3.9). На каждом элементе это ограничение можно представить как ограничение на обобщенное перемещение узлов, выходящих на контур отверстия, приводящее к растяжению соответствующей стороны рассматриваемого элемента [52]. Для остальных элементов условия прочности учтем с помощью концепции полнонапряженности.
В исходной конструкции наиболее нагруженым оказался элемент №1 (рисунок 3.9, первый ряд). Коэффициент концентрации напряжений Кс=3.04, что близко к теоретическому. Анализ чувствительности для этого элемента показывает, что положительные коэффициенты чувствительности сосредоточены в зоне А (рисунок 3.10), которая имеет веерообразную структуру. На контуре отверстия в непосредственной близости к элементу 1 (элементы 2,3,4 и так далее) коэффициенты чувствительности отрицательные. Аналогичная ситуация наблюдается и для других элементов. Например, на рисунке 3.11 представлены коэффициенты для элемента 5. Противоречивость коэффициентов чувствительности осложняет решаемую задачу.
В качестве критерия эффективности окантовки примем коэффициент Кт, равный отношению массы материала, служащего для компенсации выреза, к массе вырезанного материала [72].
Первоначально конструкция оптимизировалась с помощью алгоритма А1. После четырех итераций внешнего цикла А1 процесс практически сошелся к проекту с Ко=1.62 и массой 3,38 кг (Кш=1,19). В результате внутренних циклов все 1111 перешли в-разряд пассивных и допустимый проект получить не удалось. Ход итерационного процеса представлен на рисунке 3.12, полученная конструкция - на рисунке 3.13.
С помощью алгоритма А2 получен проект (рисунок 3.14) массой 3,54 кг (Кш=7,11) без концентрации напряжений (Ко=1). Сделать логически точное заключение об оптимальности найденного решения, к сожалению, не представляется возможным. В то же время все элементы, расположенные в зоне А (рисунок 3.10), в данном проекте имеют максимально возможные значения толщин 10мм. Эти два аспекта позволяют сделать предположение о близости найденного проекта к локальному оптимуму.
Тест №6. Консольная балка коробчатого сечения представлена на рисунке 3.15. Имеется два случая нагружения конструкции распределенной нагрузкой с интенсивностью 8 кН/м (Pj и Р2). Ограничения на ПП снизу - 0,5 мм - для всех элементов, ограничения сверху отсутствуют. Характеристики материала: р=2700 кг/м3, Е=72000 МПа, ст=400 МПа, ц=0.3.
Рассматриваются ограничения на напряжения, обобщенные перемещения и частоты собственных колебаний. Закручивание концевого сечения ограничивается значением 0,005. Первые три собственных частоты должны быть либо меньше 6 Гц, либо принадлежать диапазону от 70 до 150 Гц. Начальное распределение толщин всюду 1 мм, кроме левой стенки, где толщины равны 2 мм.
Исследуем влияние на итерационный процесс коэффициента релаксации а, который принимается равным соответственно 0.75, 0.5, 0.25. Проекты, полученные за пять итераций работы алгоритмаЕШМКО, приведены на рисунке 3.16. Итерационный процесс отражен в приложении на рисунке П. 12. Обращает на себя внимание, что процесс сходится к различным проектам, что говорит о полимодальности задачи. После десяти итераций массы проектов составили соответственно 3.24 кг, 3.23 кг и 3.29 кг.
В качестве начального распределения для второго варианта оптимизации принимается проект, представленный на рисунке 3.16,в. Коэффициент релаксации принимаем 0,75. Рассматриваются все физические ограничения. В исходном проекте нарушены три ограничения по частотам собственных колебаний (рисунок 3.17). Для того, чтобы собственные частоты попали в допустимые диапазоны, необходимо первую и третью частоты уменьшить, вторую - увеличить, не нарушая условий прочности и жесткости. После первой итерации вторая частота осталась нарушенной, первая и третья выполнились с запасом, но остались вблизи границы. Если в качестве активных принимать только нарушенные ограничения, то ограничения первой и третьей частоты попадают в разряд пассивных. После второй итерации ограничение третьей частоты вновь нарушается (рисунок 3.17, цифра 1)
Исследование композиционного киля самолета Ил-114
В качестве объекта проектирования рассмотрим вариант киля самолета ИЛ-114. Конечноэлементная модель конструкции (рисунок 4.3) разработана в ОКБ им. С.В.Ильюшина. Киль состоит из двух лонжеронов, четырнадцати нервюр и обшивки, подкрепленной стрингерным набором. Рассматривается вариант конструкции, все силовые элементы которого выполнены из композиционного матерала. Четыре направления укладки волокон в обшивке киля представлены на рисуноке 4.3. Узлам навески руля направления соответствует 4 усиленных нервюры. Предполагается, что киль жестко закреплен в узлах навески на фюзеляж (рисунок 4.3).
Конструкция рассчитывается на два случая нагружения: MHB02N (вторая маневренная нагрузка), МНВОЗ (третья маневренная нагрузка). Для оценки прочности конструкционных элемениов из композиционного материала использован критерий Хашина [111].
На рисунках П. 16 и П. 17 приложения представлены значения критерия Хашина для всех слоев обшивки в обоих случаях нагружения. Отметим, что материал обшивки работает с избытком по прочности. Только в случае нагруженияМНВОЗ для слоя с ориентацией 90(рисунок 4.3) в корневой части киля критерий прочности имеет значение выше единицы. Концентрация напряжений наблюдается также в поясах переднего лонжерона.
Анализ деформированного состояния позволяет сделать заключение, что исходный вариант композиционной конструкции значительно жестче своего металлического аналога. Этот вывод дает основание сформулировать следующую оптимизационную задачу. Минимизировать массу конструкции при выполнении условий прочности и незначительном уменьшении крутильной жесткости конструкции на 5% по сравнению с исходным вариантом конструкции. Величина крутильной жесткости оценивается углами закручивания концевого сечения 0 в двух случаях нагружения и ограничивается заданным углом 0.
Проектными переменными являются массы подконструкций, объединяющих разнородные элементы. Условия выполнения требований устойчивости учитываются путем выдерживания соотношений между толщиной обшивки (слои +45) и площадями поперечных сечений стрингеров. Для получения технологичного проекта элементы слоев обшивки объединены в подконструкций, представленные на рисунке 4.4. Толщины слоев в многослойных поясах лонжеронов варьируются в соответствии с толщиной слоя, волокна которого направлены по размаху (0).
Для оптимизации конструкции использован гибридный подход на основе объединения обобщенного критерия оптимальности и концепции полнонапря-женности в виде соотношений (4.1). Выполнено восемь итераций алгоритма ПЛМКО. Характеристики итерационного процесса приведены на рисунках 4.5-4.7. Нарисунке 4.5 представлено изменение массы фрагментов конструкции и суммарной массы. Конструкция стала легче, так как уменьшилась масса обшивки и заднего лонжерона при незначительном увеличении массы переднего лонжерона.
На рисунке 4.6 представлено изменение крутильной жесткости. Относительная крутильная деформация 0/9 имеет значение, равное 1 на восьмой итерации, то есть жесткость уменьшилась на заданную величину.
Нарисунке 4.7 показано, как выполнены условия прочности, нарушенные в исходном проекте для переднего лонжерона и слоя обшивки с ориентацией 90 в корневой части киля.
На рисунках П. 18 - П. 19 приложения представлены КЧ для ограничений по углу закручивания концевого сечения киля в двух случаях нагружения. Анализ чувствительности показывает, что слои с ориентацией 90 и +45 оказывают слабое влияние на оба ограничения. Для случая МНВ02 передний лонжерон и слои -45 имеют положительные КЧ, а КЧ для заднего лонжерона - отрицательные. Для случая МНВОЗ картина противоположна по знакам КЧ за исключением слоев обшивки -45 в концевой и корневой частях киля, где есть зоны с положительными КЧ.
Значения площадей поперечных сечений заднего лонжерона (рисунок П.23) определены ограничениями "снизу". Следует обратить внимание на большие значения этих ограничений в корневой части, в зоне стыка с фюзеляжем. Уменьшение ограничений "снизу" на этом участке позволит снизить массу конструкции.
Наибольшие напряжения в обшивке полученной конструкции возникают в случае МНВОЗ. Картина напряжений, по сравнению с исходным проектом, качественно не изменилась. Критерии прочности, представленные на рисунках П.25 и П.26 приложения, показывают, что условия прочности выполнены с запасом.
Особенность рассматриваемой задачи - наличие ограничений с противоположными знаками КЧ для большей части проектных переменных. Получены хорошие характеристики сходимости алгоритма ПЛМКО для данной оптимизационной задачи. Ограничения по прочности и жесткости выполнены. Масса модели найденного проекта меньше исходной.
